Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính ( Cao Dang)

1
BÀI 3
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH
Gv TRẦN XUÂN THIỆN
Toán cao cấp 2
Ngày 03/11/2008
Kiểm tra bài cũ
Giải phương trình sau :
y’’ - 5y’ + 6y = 0
Bảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình
y’’ + py’ + qy = 0 (11.30)
Nghiệm của phương trình đặc trưng
r
2
+ pr + q = 0 (11.31)
Nghiệm của phương trình (11.30)
r
1
, r
2
thực , r
1
≠ r
2
r
1
= r
2
= r
r
1

, r
2
= α ± iβ ,α ,β thực
1 2
r
1 2
e
x r x
y C C e
= +
r
1 2
e ( )
x
y C C x
= +
1 2
( cos sin )
x
y e C x C x
α
β β
= +
Kiểm tra bài cũ
Giải phương trình sau :
y’’ -5y’+6y = 0
Giải :
Phương trình đặc trưng :
r
2

– 5r + 6 = 0 (*)
Phương trình (*) có nghiệm :
Vậy nghiệm tổng quát tương ứng là :
2
3
r
r
=


=

2 3
1 2
e
x x
y C C e
= +
2
4 25 24 1 0b ac∆ = − = − = >
Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính
3.4 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính
không thuần nhất với hệ số không đổi.
3.4.1. f(x) = e
αx.P
n(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n.
3.4.2. f(x) = P
m(x)cosβx + Pn(x)sinβx , β là hằng số ,với Pn(x) là một đa thức bậc n.
3.4.1. f(x) = e
αx

.P
n
(x) với α là hằng số, P
n
(x) là một đa thức bậc n.
PTVTC2 có dạng
y’’ + py’ + qy = e
αx
.P
n
(x)
Nghiệm riêng của phương trình
(11.32) có dạng:
Y = e
αx
.Q
n
(x) (11.33) với Q
n
(x)
là đa thức bậc n
Các hệ số Q
n
(x) được xác định
bằng cách lấy đạo hàm các cấp
của Y thay vào phương trình đã
cho rồi cân bằng các hệ số của
các lũy thừa cùng bội của x.
Nghiệm riêng của phương trình
(11.32) có dạng :

Y = x. e
αx
.Q
n
(x)
Nghiệm riêng của phương trình
(11.32) có dạng :
Y = x
2
. e
αx
.Q
n
(x)
α
2
+ pα + q ≠ 0
2
p q 0
2 p 0
α α
α

+ + =

+ =

2
p q 0
2 p 0

α α
α

+ + =

+ ≠

Ví dụ
•
Giải các phương trình sau :
1. y’’ + y’ - 2y = 1 – x
2. y’’ - 4y’ +3y = e
x
( x+2 )
3. y’’ -2y + y = x.e
x