Đồ án tốt nghiệp mô hình và phương pháp số tính toán dao động phi tuyến của cơ hệ có đạo hàm cấp phân số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.43 MB, 60 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG VÀ CLC
***
ĐỀ TÀI:
MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP SỐ
TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA
CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
Giảng viên hướng dẫn : GS.TSKH Nguyễn Văn Khang
Sinh viên thực hiện : Dương Văn Lạc
Lớp : KSTN – CĐT – K54
MSSV : 20091541
HÀ NỘI 6/2014
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………………………………………………………
CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CẤP PHÂN SỐ………………………………………………………………………
1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên…………………………….…… ……… …….
1.2. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên……………………………………………………………….
1.3. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số …………………………………………………………………………………
1.4. Các tính chất của đạo hàm và tích phân cấp phân số…………………………………………………………………………
1.5. Một số ví dụ về đạo hàm, và tích phân cấp phân số……………………………………………………………………………
1.6. Phép biến đổi Fourier và Laplace của đạo hàm cấp phân số. ……………………………………
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ………………………
2.1. Các mô hình hệ đàn nhớt…………………………………………………………………………………………………………………
2.2. Hệ dao động một bậc tự do……………………………………………………………………………………………………………
2.3. Hệ dao động hai bậc tự do………………………………………………………………………………………………………………
2.4. Hệ dao động nhiều bậc tự do…………………………………………………………………………………………………………
CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ………
3.1. Xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số…………………………………………………………………………………………
3.2. Phương pháp số giải phương trình vi phân cấp phân số……………………………………………………………………
3.2.1. Phương pháp Newmark……………………………………………………………………………………………………………….
3.2.2. Phương pháp Runge-Kutta-Nystrӧm ……………………………………………………………………………………………
3.2.3. Phương pháp Gauss………………………………………………………………………………………………………………………
3.2.3. Phương pháp Runge-Kutta……………………………………………………………………………………………………………
CHƯƠNG 4: TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ…………………………………….
4.1. Tính toán hệ dao động một bậc tự do……………………………………………………………………………………………….
4.2. Tính toán hệ dao động hai bậc tự do…………………………………………………………………………………………………
CHƯƠNG 5: CHƯƠNG TRÌNH FDE SOLVER TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG ……………… …………………………
5.1. Tổng quan về chương trình……………………………………………………………………………………………………………
5.2. Sử dụng chương trình……………………………………………………………………………………………………………………
KẾT LUẬN
……………………………………………………………………………………………………………………………………
TÀI LIỆU THAM KHẢO
………………………………………………………………………………………………………………
PHỤ LỤC
………………………………………………………………………………………………………………………………………
1
2
2
3
6
8
12
15
19
19
20
24
28
30
30
35
35
36
36
37
38
38
45
47
47
49
50
51
52
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 1
LỜI NÓI ĐẦU
Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong các lĩnh vực vật lý, hóa học, cơ
khí, giao thông vận tải, xây dựng, tài chính và các ngành khoa học khác đã được quan tâm nghiên cứu.
Oldham và Spanier ứng dụng đạo hàm cấp phân số vào quá trình khuyếch tán; Kempfle mô tả cơ hệ tắt
dần; Bagley và Torvik, Caputo nghiên cứu về tính chất của các vật liệu mới…
Các nhà cơ học cũng bắt đầu nghiên cứu việc áp dụng đạo hàm cấp phân số vào các hệ dao động,
động lực học như hệ đàn nhớt và nhớt dẻo. Nutting (1921, 1943) là một trong những nhà nghiên cứu đầu
tiên nghĩ rằng hiện tượng chùng ứng suất có thể được mô hình thông qua thời gian bậc phân số. Shimizu
(1995) nghiên cứu dao động và đặc tính xung của bộ dao động với mô hình Kelvin – Voigt phân số của vật
liệu đàn nhớt dựa trên gel silicone và chứng minh một số tính chất khác biệt giữa khả năng giảm chấn của
vật liệu này so với vật liệu đạo hàm cấp nguyên. Zhang và Shimizu (1999) nghiên cứu một vài phương
diện quan trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt được mô hình bởi quy luật kết cấu Kelvin
– Voigt phân số. Họ đã thảo luận sự ảnh hưởng của điều kiện đầu tới trạng thái tắt dần …
Thực tế rằng đối với những biến dạng lớn, đáp ứng phi tuyến xuất hiện. Một số mô hình được đề
xuất để giải thích sự đáp ứng phi tuyến. Một mô hình có thể được đưa ra là một lò xo phi tuyến được
thêm vào vế phải của phương trình trên. Một mô hình khác được đưa ra bởi Nasuno yêu cầu đối với một
số vật liệu đàn nhớt, tính phi tuyến xuất phát từ đạo hàm cấp phân số của biến dạng nén.
Đồ án tốt nghiệp này trình bày các mô hình cơ bản của đạo hàm cấp phân số, và các phương pháp
số giải phương trình vi phân cấp phân số. Áp dụng tính toán của một vài mô hình dao động phi tuyến của
các hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Bùi Thị Thúy là tác giả của tài liệu [11]. Và đặc
biệt là thầy GS.TSKH.NGND Nguyễn Văn Khang, thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện
đồ án tốt nghiệp này.
Hà Nội, Ngày 30 tháng 4 năm 2014
Sinh viên thực hiện: Dương Văn Lạc
Email:
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 2
CHƯƠNG 1
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CẤP PHÂN SỐ
1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên
Chúng ta sử dụng
n
và
N
là những số nguyên dương,
, , , ,
p q r
và
Q
là những số bất kỳ. Cho
một hàm số
f x
. Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp
n
,…của hàm
f x
như sau
2
2
, , , ,
n
n
df x d f x d f x
dx
dx dx
(1.1)
Ngoài ra ta cũng có các ký hiệu đạo hàm tương tự
2
2
, , , ,
n
n
df x d f x d f x
dx
dx dx
(1.2)
Đạo hàm của hàm
f x
theo
x a
bằng đạo hàm theo
x
của nó
2 2
2 2
, , , ,
n n
n n
df x d f x d f x d f x d f x
df
dx
d x a
dx dx
d x a d x a
(1.3)
Do tích phân là sự nghịch đảo của đạo hàm nên ta viết
1
0 0
1
0
x
d f x
f x dx
dx
(1.4)
Các tích phân nhiều lớp được ký hiệu
1
2
1 0 0
2
0 0
x
x
d f x
dx f x dx
dx
(1.5)
1
2 1
1 2 1 0 0
0 0 0 0
.
n
x x x
x
n
n n
n
d f x
dx dx dx f x dx
dx
(1.6)
Khi giới hạn dưới khác 0, các tích phân sẽ được viết
1
0 0
1
x
a
d f x
f x dx
d x a
(1.7)
1 2 1
1 2 1 0 0
.
n
x
x x
x
n
n n
n
a a a a
d f x
dx dx dx f x dx
d x a
(1.8)
Lưu ý phương trình sau đúng với đạo hàm nhưng không đúng với tích phân
n n
n n
d f x d f x
dx
d x a
(1.9)
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 3
Tức là
.
n n
n n
d f x d f x
dx
d x a
(1.10)
Đạo hàm cấp
n
thường được viết
n
f x
Từ đó ta sẽ sử dụng đối với tích phân
1
2 1
1 2 1 0 0
.
n
x
x x
x
n
n n
a a a a
f x dx dx dx f x dx
(1.11)
Với
p
là số bất kỳ
.
p p p
p
p p p
d f x d f x d f x
f x
dx
dx
d x a
(1.12)
.
p
p
p p
x b
d f x
d f
b
d x a d x a
(1.13)
Một số ký hiệu sau thường được sử dụng
.
p
p
a x
p
p
a
D f x
d f x
D f x
d x a
(1.14)
1.2. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên
1.2.1. Đạo hàm cấp n của hàm
f x
Trước khi giới thiệu đạo hàm cấp phân số, ta sẽ rút ra biểu thức hợp nhất cho đạo hàm và tích
phân cấp nguyên. Đầu tiên, ta có định nghĩa đạo hàm cấp 1 của hàm
f x
1
1
1
0 0
lim lim .
x x
d f x df x f x f x x
x f x f x x
dx x
dx
(1.15)
Đạo hàm cấp 2 của hàm
f x
2
0 0
2
0 0
2
0
2
lim lim
lim lim
lim 2 2
x x
x x
x
f x f x x f x x f x x
d f x f x f x x
x x
x x
dx
x f x f x x f x x
(1.16)
Tương tự ta có đạo hàm cấp 3
3
3
3
0
lim 3 3 2 3 .
x
d f x
x f x f x x f x x f x x
dx
(1.17)
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 4
Bởi các hệ số trong những phương trình trên gần giống với hệ số nhị thức Newton, ta có thể viết
đạo hàm cấp
n
0
0
lim 1 .
n
n
n j
n
x
j
n
d f x
x f x j x
j
dx
(1.18)
Giả thiết rằng tất cả các đạo hàm đều tồn tại và
x
tiến tới 0 liên tục, nghĩa là tất cả những giá trị
của nó đều tiến tới 0. Đối với sự biểu diễn hợp nhất với tích phân, ta sẽ cần có một giới hạn chặt. Để làm
được điều này, chia khoảng
x a
thành
N
đoạn bằng nhau
, 1,2,3
N
x x a N N
(1.19)
Thay vào phương trình (1.18)
0
0
lim 1 .
N
n
n
n j
N N
n
x
j
n
d f x
x f x j x
j
dx
(1.20)
Chú ý rằng hệ số nhị thức
n
j
= 0 nếu
j n
, (1.20) được viết lại như sau
1
0
0
lim 1 .
N
n
N
n j
N N
n
x
j
n
d f x
x f x j x
j
dx
(1.21)
Từ (1.19) và (1.21) suy ra
1
0
lim 1 .
n
n
N
j
n
N
j
n
d f x
x a x a
f x j
jN N
dx
(1.22)
1.2.2. Tích phân nhiều lớp của một hàm số
Bây giờ ta sẽ chú ý vào biểu thức tích phân
n
lớp của
f x
. Vì một tích phân cấp nguyên được
định nghĩa qua diện tích, ta biểu diễn nó với tổng Riemann
1
1 1
0 0
1
0
1
0
0
lim 2
lim .
N
N
x
a x a x
a
N N N N
x
N
N N
x
j
d f x
I f x D f x f x dx
d x a
x f x f x x f x x f a x
x f x j x
(1.23)
Tích phân 2 lớp:
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 5
1
2
2 2
1 0 0
2
2
0
1
2
0
0
lim 2 3 2
lim 1 .
N
N
x
x
a x a x
a a
N N N N
x
N
N N
x
j
d f x
I f x D f x dx f x dx
d x a
x f x f x x f x x Nf a x
x j f x j x
(1.24)
Đối với tích phân 3 lớp
2 1
3
3 3
2 1 0 0
3
1
3
0
0
1 2
lim .
2
N
x x
x
a x a x
a a a
N
N N
x
j
d f x
I f x D f x dx dx f x dx
d x a
j j
x f x j x
(1.25)
Tương tự với tích phân
n
lớp viết như sau
1
1
1 2 0 0
1
0
0
1
lim .
n
N
x x
x
n
n n
a x a x n n
n
a a a
N
n
N N
x
j
d f x
I f x D f x dx dx f x dx
d x a
j n
x f x j x
j
(1.26)
1
0
1
lim .
n
n
N
n
N
j
j nd f x
x a x a
f x j
j
N N
d x a
(1.27)
1.2.3. Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp
Bây giờ ta thay
n n
với
n
nhận giá trị âm thì phương trình (1.27) có dạng
1
0
1
lim .
n
n
N
n
N
j
j nd f x
x a x a
f x j
j
N N
d x a
(1.28)
So sánh phương trình (1.22) và (1.28) ta thấy
1
1
j
n j n
j j
(1.29)
Thật vậy ta sẽ chứng minh công thức (1.29)
Theo định nghĩa
1 2 1 1 2
1 1
! !
11 !
! 1 !
j j
n
n n n n j j n j n n
j j j
j nj n
j
j n
(1.30)
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 6
Với
1 !, 1
n n n n n
1 2 1 1
!
! ! ! 1 1
m
m m m m k m
m
k
k k m k k m k
Thay
1
m j n
k j
ta có
1 ,
1 1 ,
1 .
m j n
k j
m k n
Mặt khác
1
1
1
j
n j n
j n
j j
n j
(1.31)
Do đó có thể viết biểu thức (1.22) và (1.28) dưới một dạng chung
1
0
lim .
1
n
n
N
n
a x
n
N
j
d f x j n
x a x a
D f x f x j
N n j N
d x a
(1.32)
Trong đó
n
nhận cả giá trị nguyên âm và dương.
1.3. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số
1.3.1. Ðịnh nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald-Letnikov.
Công thức (1.32) đúng với mọi tùy ý, ta đạt được định nghĩa cơ bản và tổng quát nhất theo - Letnikov
1
0
lim .
1
p
p
N
p
a x
p
N
j
d f x j p
x a x a
D f x f x j
N p j N
d x a
(1.33)
Với
p
là số thực tùy ý.
Cách định nghĩa theo
Grunwald
- Letnikov như trên có ưu điểm là đạo hàm, tích phân cấp phân số
được tìm thông qua giá trị của hàm, không cần các phép tính tích phân và đạo hàm của nó.
Mặt khác người ta đã chứng minh được rằng hàm
0
p p
có thể không hữu hạn nhưng tỉ
số
j p
p
hữu hạn.
Hệ số:
1
1
1
j
j p
j p
A
j
j p
(1.34)
được gọi là hệ số
Grunwald
.
1.3.2. Ðịnh nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann Liouville.
Với
0
p
đạo hàm, tích phân cấp phân số có dạng
1
1
, 0 .
x
p
p
a x
a
D f x x y f y dy p
p
(1.35)
Với
0
p
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 7
1
1
, 0, 1 .
( )
x
n
n p
p
a x
n
a
d
D f x x y f y dy p n p n
n p
dx
(1.36)
Định nghĩa theo Riemann – Liouville có ứng dụng rất phổ biến. Tích phân trong phương trình
(1.35) chỉ hội tụ với
0
p
. Tuy nhiên,với
0
p
bài toán được biến đổi bằng việc áp đặt điều kiện
n p
trong phương trình (1.36).
1.3.3. Ðịnh nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Caputo.
Ta có
1
1
, 1
t
n
n p
p
a t
n
a
d
D f t t f d n p n
n p
dt
(1.37)
Với các giá trị đầu
1
1
2
2
lim ,
lim ,
lim .
p
a t
t a
p
a t
t a
p n
a t n
t a
D f t b
D f t b
D f t b
(1.38)
Bài toán giá trị đầu này về mặt toán học hoàn toàn hợp lý nhưng về mặt ứng dụng, ý nghĩa vật lý
của những điều kiện đầu rất khó lý giải. Để giải quyết điều này, Caputo đưa ra một định nghĩa khác của
đạo hàm và tích phân cấp phân số như sau
1
1
, 0 1 .
x
n p
n
C p
a x
a
D f x x y f y dy n p n
n p
(1.39)
1
lim .
x
n n n
C p
a x
p n
a
D f x f a f y dy f x
(1.40)
1.3.4. Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác
1.3.4.1. Đạo hàm cấp phân số dạng dãy (dạng Miller – Ross)
Định nghĩa
: 0 1 ;
: ,
p
np p p p
x x x x
n
d
D p
dx
D f x D D D f x
(1.41)
Phương trình trên được gọi là đạo hàm cấp phân số dạng dãy. Trong đó
p
x
D
được định nghĩa dạng
Riemann – Liouville (hoặc dạng
Grunwald
- Letnikov). Ta có định nghĩa đạo hàm cấp phân số dạng dãy
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 8
1 2
1 2
,
,
, 1 .
n
pp p
p
x x x x
n
n p
p
a x a x
n
D f x D D D f x
p p p p
d d d
D f x D f x n p n
dx dx dx
(1.42)
Nếu sử dụng dạng Caputo
, 1 .
n p
C p C
a x a x
n
d d d
D f x D f x n p n
dx dx dx
(1.43)
1.3.4.2. Định nghĩa dạng Weyl (tích phân Weyl)
Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville , cho
a
ta có định nghĩa dạng Weyl
1
1
.
x
p
W p
a x
D f x x y f y dy
p
(1.44)
1.3.4.3. Định nghĩa Davison – Essex
1
1
0
,
1
x
k
n k
p
x
n k k
x y d f y
d
D f x dy
dx dx
(1.45)
Với
, 0 1, 0 1,
p n k n n
là số nguyên.
Khi
0
k
định nghĩa Davision – Essex trở về định nghĩa Riemann- Liouville với
0,
a p n
1
( )
1
0
1
.
1
x
n
p n
p
x
n
d
D f x x y f y dy
n p
dx
(1.70)
1.4. Các tính chất của đạo hàm và tích phân cấp phân số
1.4.1. Tính chất tuyến tính
Đạo hàm cấp
p
của tổng
1 1 2 2
1 2
1 2
p
p p
p p p
d c f x c f x
d f x d f x
c c
d x a d x a d x a
(1.46)
1.4.2. Quy tắc Leibniz
Đạo hàm và tích phân cấp
p
của tích hai hàm
f
và
g
0
.
p
p j j
p p j j
j
d f x g x
p d f x d g x
j
d x a d x a d x a
(1.47)
Trong đó hệ số nhị thức được xác định bằng việc thay thế giai thừa với hàm Gamma tương ứng.
0
.
j
p p j
a x a x
j
p
D f x g x D f x g x
j
(1.48)
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 9
1.4.3. Tính chất biến đổi thang bậc
Phép biến đổi thang bậc của một hàm số đối với giới hạn dưới
a
,
f x f x a a
(1.49)
Với
là hệ số thang bậc không đổi. Nếu giới hạn dưới là 0, (1.49) trở thành
,
f x f x
(1.50)
Khi
0
a
, ta có sự thay đổi thang bậc
, .
p p
p
p p
d f X d f X
X x a a
d x a d X a
(1.51)
Khi
0
a
.
p p
p
p p
d f x d f x
dx
d x
(1.52)
1.4.4. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của một chuỗi
Cho 1 chuỗi hàm hội tụ đều
0
j
j
f x
. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của chuỗi
0 0
.
q
q
j
j
q q
j j
d f
d
f x
d x a d x a
(1.53)
Với hàm được khai triển thành chuỗi lũy thừa
0
j
j
j
f x a x a
, áp dụng công thức Riemann
1
, 1
1
p q
q p
q
p x
d x
p
p q
d x a
(1.54)
0 0
,
q
j j
p p q
n n
j j
q
j j
pn j n
d
n
a x a a x a
pn qn j n
d x a
n
(1.55)
Trong đó
q
lấy giá trị bất kỳ nhưng
0
1, 0,
j
p a n
n
1.4.5. Tính chất hợp thành
1.4.5.1. Khi m, n nguyên dương
,
m n m n
n m
n m n m m n
d f x d f x d f x
d d
d x a d x a d x a d x a d x a
(1.56)
.
m n m n
n m
n m n m m n
d f x d f x d f x
d d
d x a d x a d x a d x a d x a
(1.57)
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 10
.
n m n
m
m n m n
d f x d f x
d
dx
d x a d x a
(1.58)
1
.
!
k
m m n
n n
m k n
n m m n
k n m
d f x d f x x a
d
f a
k
d x a d x a d x a
(1.59)
Ví dụ 1.1. Cho hàm
3
x
f x e
. Hãy tìm
3
3
3 3
, .
d f x df x
d d
dx dx
dx dx
Áp dụng (1.58) và (1.59) ta có
3 2
2 2 1
3 2
0 0 .
d f x d f x
d
f x f x f
dx
dx dx
1 1
3 3
0
1 1
0 ,
3 3
x
x x
f x e dx e f
2 2
3 3
0
1 1 1
0 ,
3 9 9
x
x x
f x e dx e f
Do đó
3
3
3
1 1
.
9 3 9
x
d f x
d x
e
dx
dx
Từ (1.59) ta tìm được
2
3 2 2
3
3 2
1 1
0 .
2 9 3 9 2
x
df x d f x
d x x x
f e
dx
dx dx
1.4.5.2. Khi p, q là các số bất kỳ
Công thức sau chỉ đúng khi có điều kiện xác định nào đó
,
p q p
q
q p q p
d f x d f x
d
d x a d x a d x a
(1.60)
Giả sử
f x
được khai triển thành chuỗi lũy thừa
0
, 1, không nguyên.
p j
j
j
f x a x a p j p
(1.61)
Khi đó (1.60) chỉ đúng khi
f x
thỏa mãn điều kiện dưới đây
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 11
0.
p
p
p p
d f x
d
f x
d x a d x a
(1.62)
Tổng quát, quy tắc hợp thành đối với
,
p q
.
p
q
q p
q p p
q p p
q p q p p p
d f x
d
d x a d x a
d f x d f x
d d
f x
d x a d x a d x a d x a
(1.63)
Chú ý rằng khi
p n
ta có
1
0
.
1
n
q
q n
q n n
q n n
q n q n n n
k q n
k
q n
n
q n
k
d f x
d
d x a d x a
d f x d f x
d d
f x
d x a d x a d x a d x a
d f x x a f a
k q n
d x a
(1.64)
Ví dụ 1.2. Cho hàm
1 2
f x x
.
Với
0, 1 2, 1 2
a p q
.
a. Kiểm tra điều kiện (1.62)
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
0 0
0
d d x d
x x x
dx dx dx
Vậy điều kiện (1.62) không được thỏa mãn.
b.Tính
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
d d x
dx dx
Theo (1.63) ta có
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
.
d d x d x d d d x
x
dx dx dx dx dx dx
Do
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
0 0
d x d d x
dx dx dx
Dẫn đến
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 12
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
0 0.
d d x d x d
x x x
dx dx dx dx
1.5. Một số ví dụ về đạo hàm, và tích phân cấp phân số
1.5.1. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của một hằng số
Trước tiên ta sử dụng định nghĩa
Grunwald
, ta có đạo hàm và tích phân cấp phân số của
1
C
1
0
1
lim .
1
p
p
N
p
N
j
d
j p
N
x a j p
d x a
(1.65)
Theo tính chất của hàm Gamma
1
0
, lim 1.
1 1
1
.
1
p
N
N
j
p
p
p
j p N p N N p
p j p N N
d x a
p
d x a
(1.66)
Khi
C
là một hằng số bất kỳ ta có
1
.
1
p
p p
p p
d C d x a
C C
p
d x a d x a
(1.67)
1.5.2. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm
f x x a
Sử dụng định nghĩa
Grunwald
- Letnikov đối với hàm
f x x a
1
0
1 1
1
1
0 0
lim
1
lim lim .
1 1
p
p
N
p
N
j
N N
p
p p
N N
j j
d x a j p N x a j x a
N
x a j p N
d x a
j p j j p
x a N N
p j p j
(1.68)
Kết hợp với tính chất của hàm Gamma, sự liên hệ giữa các hàm Gamma
1
0
, 2 1 1
2 1
N
j
j p p N p
p p p
p j p N
ta được
1
1
,
1 2
p
p
p
d x a
p
x a
p p
d x a
(1.69)
1
1
1
.
2 2 2
p
p
p
p
d x a x a
p p
x a
p p p
d x a
(1.70)
1.5.3. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của
1
p
f x x a p
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 13
Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville, mối liên hệ giữa các hàm Bêta và hàm Gamma, ta có
đạo hàm và tích phân cấp
q
của hàm
f x
1
, 1.
1
p p q
q
q
d x a p x a
p
p q
d x a
(1.103)
1.5.4. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm
1
p
f x x
Để xây dựng công thức cho tất cả giá trị
,
p q
ta viết
1 1
x a x a
Áp dụng công thức nhị thức cho hàm
f x
0
1
1 1 1 .
1 1
p j p j j
j
p
x a x a
j p j
(1.71)
Từ công thức đạo hàm và tích phân cấp phân số của một chuỗi số, công thức Riemann cùng với
tính chất của hàm Gamma và hàm Bêta, ta được
1 1
, .
p
p q
q
x
q
d x x
q q p
q
d x a
(1.72)
với
x
là hàm bêta không đầy đủ.
1.5.5. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm bước nhảy đơn vị và hàm Delta – Dirac
1.5.5.1. Hàm Heaviside
Ta có hàm Heaviside
0
0
0
0 khi
.
1 khi
x x
H x x
x x
Khi
0
0,
p a x x
0
0
0
0
1
0
1 1
1
1 0 1 1
.
1
x
p
p p
a
p
x
x
p p
a x
H x x
d
H x x dy
p
x y
d x a
x x
dy dy
p p p
x y x y
(1.73)
Mở rộng với hàm
0
f x H x x
0
0
0
0 khi
khi
x x
f x H x x
f x x x
.
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 14
0 0 0
0
.
p
p
p p
d f x
d
f x H x x H x x a x x
d x a
d x x
(1.74)
1.5.5.2. Hàm Delta – Dirac
0
x x
Ta có hàm Delta – Dirac
0
x x
0 0
x
a
x x f y dy f x
nếu
0
a x x
.
Chọn
11
0
0
1
0 ,
x
pp
p
a
x x
f x y dy x x p
x y
1
0 0
0
1
1
.
p
x
p
p p
a
x x x x
d
x x dy
p p
x y
d x a
(1.75)
Từ (1.74) và (1.75) ta có mối liên hệ
1
0 0
1
0 0
,
.
p p
p p
d H x x d x x
d x a d x a
d
H x x x x
dx
(1.76)
1.5.6. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm
at
f t e
Hàm
at
f t e
có đạo hàm cấp phân số
1
0
1
,
t
p
p a
t
D f t t e d
p
(1.77)
Đặt
u t
ta có
1
0
1
t
a u t
p p
t
D f t u e du
p
(1.78)
1
1,1
0
.
t
at
p p au p
t p
e
D f t u e du t E at
p
Trong đó
1,1 p
E at
là hàm Mittag – Leffler hai tham số.
Vậy :
1,1
.
p p
t p
D f t t E at
(1.79)
1.5.7. Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm
sin , cos
f t t f t t
Hàm
cx
f x e
có đạo hàm cấp phân số
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 15
.
p cx p cx
x
D e c e
Với
c i
ta có
.
p
p i x i x
x
D e i e
2 2
cos sin .
2 2
i i p
p
i e i i e
2
cos sin .
2 2
i x p
p i x p p p
x
D e e x p i x p
(1.80)
Mặt khác ta có
cos sin
i x
e x i x
cos sin cos sin
p i x p p p
x x x x
D e D x i x D x iD x
sin sin
2
.
cos cos
2
p p
x
p p
x
D x x p
D x x p
(1.81)
1.6. Phép biến đổi Fourier và Laplace của đạo hàm cấp phân số
1.6.1. Phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân biến một hàm
f t
trong miền thời gian
sang
L
f s
trong mặt phẳng phức
0
, .
st
L L
f t f s f s e f t dt f t
(1.82)
Laplace ngược của ảnh
L
f s
1 1
.
L
f s f t f t f t
(1.83)
Nếu
f t
là một hàm gốc và
L
f s
là ảnh của nó thì tại mọi điểm liên tục của
f t
ta có
1
.
2
i
st
L
i
f t e f s ds
i
(1.84)
Trong đó tích phân được tính dọc theo đường thẳng đứng
Re s
.
1.6.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace
Hàm
f t
được gọi là hàm cấp mũ khi
t
nếu tồn tại các hằng số C, K, T sao cho
,
CT
f t Ke t T
(1.85)
Khi đó Laplace của
f t
sẽ tồn tại với
.
s C
1.6.3. Tính chất
a. Định lý vi phân
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 16
Nếu
f t
có các đạo hàm tới cấp
n
và
L
f t f s
ta sẽ có các đạo hàm của nó
2
2 1
1 2
0 ;
0 0 ;
0 0 0 0 .
L
L
n n n
n n n
L
f t s f s f
f t s f s sf f
f t s f s s f s f sf f
(1.86)
b. Tích chập của 2 hàm số
Cho 2 hàm số
f t
và
g t
.Tích chập của 2 hàm số là một hàm số của
t
0
,
t
f t g t f t g d
(1.87)
Nếu
L
f t f s
,
L
g t g s
, ảnh của tích chập bằng tích các ảnh
. .
L L
f g f g f s g s
.
(1.88)
1.6.4. Phép biến đổi Laplace của đạo hàm và tích phân cấp phân số
1.6.4.1. Phép biến đổi Laplace của đạo hàm và tích phân cấp phân số Riemann - Liouville
Khi
0
a
ta có
1
0
0
0
1
,
.
t
n p
p n
t
n
p
t
n
g t t f d D f t
n p
d
g t D f t
dt
(1.89)
Hay
0 0
,
n p
t t
D g t D f t
(1.90)
Phép biến đổi Laplace
1
1
0
0
0 .
n
n k
n n k
t L
k
D g t s g s s g
(1.91)
1
1
0
1
,
t n p
n p
t
g t t f d H t f t
n p n p
1
1
,
n p p n
L L
g s g t t f t s f s
n p
1
1
0
1
1
0 0
0
0 0 ,
0 .
n k
p k
t
n
p p k p k
t L t
k
g D f
D f t s f s s D f
(1.92)
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 17
1.6.4.2. Phép biến đổi Laplace của đạo hàm và tích phân cấp phân số Caputo
1
0
0
1
,
t
n p
n
C p
t
D f t t f d
n p
(1.93)
Đặt
n
g f
1
0 0
0
1
1
0
1
, 1
0 .
t
n p
C p p n
t t
n
p k
C p p k
o t L
k
D f t t g d D g t n p n
n p
D f t s f s s f
L
(1.94)
1.6.5. Phép biến đổi Fourier của đạo hàm và tích phân cấp phân số
1.6.5.1. Phép biến đổi Fourier
Định nghĩa 1
.
i t
F f t e f t dt
(1.95)
Chú ý: Phép biến đổi Fourier của hàm
f t
tồn tại khi
f t
là hàm khả tích tuyệt đối ( tức là
f t
khả tích
,
). Nói cách khác nếu
f t
là hàm khả tích liên tục từng khúc và
f t dt
thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier của
f t
.
Định nghĩa 2
Phéo biến đổi Fourier ngược cho ta hàm gốc
f t
1
1
.
2
i t
f t F e F d
(1.96)
1.6.5.2. Tính chất
a. Biến đổi Fourier của đạo hàm
.
d
f t F f t i F
dt
,
(1.97)
.
n
n
n
d
f t i F
dt
(1.98)
b. Tích chập của 2 hàm số
Cho 2 hàm số
f t
và
g t
.Tích chập của 2 hàm số là một hàm số của
t
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 18
,
f t g t f t g d
(1.99)
Nếu
f t F
,
g t G
, ảnh của tích chập bằng tích các ảnh
. .
f g f g F G
.
(1.100)
1.6.5.3. Phép biến đổi Fourier của đạo hàm và tích phân cấp phân số
Định nghĩa theo Weyl
1
1
.
x
p
W p
a x
D f x x x f x dx
p
(1.101)
Phép biến đổi Fourier của đạo hàm cấp phân số
.
p
W p
a x
D f x i F
(1.102)
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 19
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ
ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
2.1. Các mô hình hệ đàn nhớt
Với sự phát triển khoa học kỹ thuật, ngày càng có nhiều các vật liệu mới ra đời (như vật liệu silicone, vật
liệu cao su…), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên không thể hiện được đầy đủ tính
chất của vật liệu. Do đó để giải quyết vấn đề này, đạo hàm cấp phân số được áp dụng bởi các nhà nghiên
cứu trong thời gian gần đây.
Hình 2.1 Mô hình cổ điển Hình 2.2 Mô hình mới
Trong đó lực đáp ứng của hệ đàn nhớt cổ điển có dạng như sau:
n
F kx cx
(2.1)
Với các hệ đàn nhớt mới, lực đáp ứng có dạng chứa thành phần cấp phân số như sau:
p
v
F kx c x D xb x
(2.2)
Trong đó:
- Các hệ số:
, ,
k c
là các hệ số của vật liệu.
- Các hàm điều chỉnh
,
c x b x
.
Các hàm
( )
c x
và
( )
b x
là hàm của x với
(0) (0) 1
c b
. Hàm
( )
b x
để giải thích tác động của lực cản
nhớt trong trường hợp biến dạng lớn.
Các mô hình theo kinh nghiệm, theo tài liệu [5] đã đưa ra 5 mô hình
( )
c x
và
( )
b x
như sau:
- Mô hình 1:
4
( ) 1 3 , ( ) 1
c x x b x
- Mô hình 2:
2
1 2
( ) 1 , ( ) 1
c x c x c x b x
- Mô hình 3:
2
1
2
2
1
( ) , ( ) 1
1
c x c x b x
c x
- Mô hình 4:
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 20
1
1
( ) , ( ) 1
(1 )
c x b x
c x
- Mô hình 5:
1
1
( ) 1, ( )
1
c x b x
c x
Ngoài ra ta có thể viết (2.2) dưới dạng ứng suất, gây ra bên trong vật liệu đàn nhớt như sau:
v e n e e n e e n e e n n
F A A A x A Ax A kx A
(2.3)
Với A là diện tích mặt cắt ngang của vật mẫu, và trong trường hợp này vật mẫu được xem như là một vật
trụ.
Theo tài liệu [4] đưa ra 4 mô hình lý thuyết
n
có dạng như sau:
-
Mô hình
IIa và IVa:
2
1
q
n a
x D
(2.4)
-
Mô hình
IIIb:
2 2
1
1 1
q q
n a a
x D D
(2.5)
-
Mô hình
IIIc:
3
3 2
2 1 1
1 1
3 3
q q
n a a
x D D
(2.6)
-
Mô hình
IVc:
3/2 1/2 2
2
2 1 1 1
3 3
q q
n a a
x D D
(2.7)
Trong đó:
1
1 /
c x H
Với: H là chiều cao của vật mẫu và
1
c
là hệ số điều chỉnh mô hình.
2.2. Hệ dao động một bậc tự do.
2.2.1. Mô hình Kelvin – Voigh
Hình 2.3 Mô hình Kelvin – Voigh
m
F
x
k
μ
, c(x)
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 21
Để lập phương trình dao động, ta sử dụng định lý chuyển động khối tâm:
e v
mx F f f F mg
(2.8)
Trong đó:
-
e
f
: Thành phần lực tuyến tính (lực đàn hồi).
e
f kx
(2.9)
-
v
f
: Thành phần lực cản phi truyến cấp phân số (cản đàn nhớt).
p
v
f c x D x
(2.10)
-
F
: Thành phần ngoại lực.
Do vậy (2.8) được viết lại như sau:
p
mx c x D x kx F mg
(2.11)
Nhận xét :
- Đối với mô hình này ta có thế áp dụng cho các trường hợp cụ thể sau
+ Hệ có nền rung dịch chuyển u khi đó phương trình dao động của hệ thu được bằng cách thay x=x-u.
p
p p
mx c x u D x u k x u F
mx c x u D x kx F c x u D u ku
(2.12)
+ Hệ dao động chịu kích động va đập, phương trình có dạng như sau.
p
mx c x D x kx mg
(2.13)
Với :
- m là khối lượng của vật dao động và vật kích động :
0 1
m m m
- Điều kiện đầu :
0
0 ; 0 2
m
x x gh
m
+ Hệ chịu kích động lệch tâm (điều hòa), phương trình có dạng như sau:
2 2
sin( )
p
e
mx c x D x kx mg m e t
(2.14)
Với:
- m là khối lượng của vật, và vật lệch tâm :
1
e
m m m
- Điều kiện đầu:
0 ; 0
x x
2.2.2. Mô hình Maxwell
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 22
Hình 2.4 Mô hình Maxwell
Để lập phương trình dao động, ta sử dụng định lý chuyển động khối tâm:
e
e
mx F f F mg
f mx F mg
(2.15)
Trong đó :
-
e
f
: Thành phần lực tuyến tính (lực đàn hồi).
1 1
e
e
f
f kx x
k
(2.16)
-
v
f
: Thành phần lực cản phi truyến cấp phân số (cản đàn nhớt).
2 2
p
v
f c x D x
(2.17)
-
1 2
,
x x
: Dịch chuyển của thành phần tuyến tính và phi tuyến cấp phân số .
1 2 2 1
x x x x x x
(2.18)
Để đơn giản, thì hàm dịch chuyển c(x) trong trường hợp này được chọn là :
1
c x
.
Thay (2.18) vào (2.17) ta có :
2 2 1 1 1
p p p
v
f c x D x c x x D x x D x x
(2.19)
Thay (2.16) vào (2.19) ta được:
1
p p p p
e
v e e
p p
e e
f
f f D x x D x D x D f
k k
f D x D f
k
(2.20)
Thay (2.15) vào (2.20) ta được phương trình dao động của hệ như sau:
2
p p
p p p
mx F mg D x D mx F mg
k
D x mx D x mg F D F
k k
(2.21)
m
F
x
k
μ
, c(x)=1
Dương Văn Lạc – KSTN – CĐT- K54 23
2.2.3. Mô hình dao động cấp 3
Hình 2.5 Mô hình dao động cấp 3
Để lập phương trình dao động, ta sử dụng định lý chuyển động khối tâm:
e v
e v
mx F f f F mg
f mx f F mg
(2.22)
Trong đó:
-
v
f
: Thành phần lực cản phi truyến cấp phân số (cản đàn nhớt).
p
v
f c x D x
(2.23)
Để đơn giản, thì hàm dịch chuyển c(x) trong trường hợp này được chọn là :
1
c x
.
-
e
f
: Thành phần lực tuyến tính (lực đàn hồi).
1 1
e
e
f
f kx x
k
(2.24)
-
c
f
: Thành phần lực cản nhớt.
2
c
f cx
(2.25)
-
1 2
,
x x
: Dịch chuyển của thành phần tuyến tính và phi tuyến cấp phân số .
1 2 2 1
x x x x x x
(2.26)
Thay (2.26) vào (2.25) ta có :
2 1
c
f cx c x x
(2.27)
Thay (2.24) và (2.27) ta được :
2 1
e
c e
e e
f
c
f cx c x x c x cx f
k k
c
f cx f
k
(2.28)
m
F
x
μ
, c(x) =1
k
c
