Tài liệu ôn thi học kì 2 và tốt nghiệp THPT môn toán

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

1


NI DUNG ƠN TP THI TT NGHIP KHI 12
Mơn : TỐN (2010-2011)

I/. PHẦN GIẢI TÍCH :
1/. Khảo sát và vẽ đồ thò hsố dạng :
y= a x
3
+ bx
2
+ cx + d ; y = ax
4
+bx
2
+c
y =
ax b
cx d
+
+



2.Các bài toán liên quan :
- Sự tương giao của hai đồ thò

- Ba dạng tiếp tuyến
- Biện luận theo m số nghiệm pt bằng đồ thò
- Tìm các điểm trên (c ) có toạ độ là các số nguyên
- Tìm m để hàm số có cđ và ct
- Tìm m để hàm số đạt cực trò thoả đk cho trước
- Tìm m để (
1
c
) và (
2
c
) txúc nhau
- Tìm GTLN và GTNN (trên 1 khoảng hoặc 1 đoạn )
- Tìm m để pt có n nghiệm
3/.Nguyên hàm và tích phân :
- Tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp
- Tính tích phân bằng p
2
đổi biến số và pp tích phân từng phần
- Ứng dụng của tích phân : tính diện tích hình phẳng , thể tích vật thể tròn xoay
4.Phương trình – bt phng trình – h phng trình mũ và logarit :
- Giải phương trình mũ , bất phương trình mũ và logarit.
- Giải hệ phương trình mũ và logarit .
5. Số phức :
- Môđun của số phức , các phép toán trên số phức.
- Căn bậc hai của số phức
- Phương trình bậc hai với hệ số phức .
- Dạng lượng giác của số phức .
II /. PHẦN HÌNH HỌC :
1/.Hình học không gian tổng hợp :

- Tính thể tích khối lăng trụ , khối chóp.
- Tính thể tích khối trụ , khối nón , khối cầu.
- Tính diện tích xung quanh của hình nón , hình trụ , diện tích mặt cầu .
2/. Phương pháp toạ độ trong không gian :
a/.Các bài toán về điểm và vectơ :
· Tìm toạ độ 1 điểm thoả điều kiện cho trước , trọng tâm tam giác , giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng , giao điểm của hai đường thẳng , hình chiếu của 1 điểm trên đường
thẳng , mặt phẳng , tìm điểm đối xứng với 1 điểm qua đường thẳng , mặt phẳng cho trước ,
tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu .
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

2

· Chứng minh hai vectơ cùng phương hoặc không cùng phương , 2 vectơ vuông góc , 3 vectơ
đồng phẳng hoặc không đồng phẳng, tính góc giữa hai vectơ , diện tích tam giác , thể tích tứ
diện , chiều cao tứ diện , đường cao tam giác
b/.Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng :
- Lập pt mặt phẳng :qua 3 điểm , mặt phẳng theo đoạn chắn , qua 1 điểm song song với mặt
phẳng , qua 1 điểm
^
với đường thẳng , qua 1 điểm song song với hai đường thẳng , qua hai
điểm và
^
với mặt phẳng , qua 1 điểm và chứa một đường thẳng cho trước , chứa 1 đt a và
song song với 1 đt b.
- Lập pt đường thẳng : Qua 2 điểm , qua 1 điểm và song song với đt , qua 1 điểm và song
song với 2 mp cắt nhau , qua 1 điểm và vuông góc với 1 mp , pt hình chiếu vuông góc của đt
trên mp , qua 1 điểm và vuông góc với 2 đt , qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng , qua 1 điểm

vuông góc với đt thứ nhất và cắt đt thứ hai.
- Vò trí tương đối của 2 đt , đt và mp.
c/. Khoảng cách :
- Từ 1 điểm đến 1 mp , 1 điểm đến 1 đt , giữa 2 đt.
d/. Mặt cầu:
- Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước.
- Lập pt mặt cầu : Có đường kính AB , có tâm I và tiếp xúc với mp , có tâm I và đi qua 1 điểm
M , qua 4 điểm không đồng phẳng ( ngoại tiếp tứ diện).
- Lập pt mặt phẳng : Tiếp xúc với mặt cầu tại 1 điểm M thuộc mặt cầu , chứa 1 đường thẳng
và tiếp xúc với mặt cầu , song song với mp cho trước và tiếp xúc với mặt cầu.
e/. Góc :
- Góc giữa 2 vectơ
- góc trong của tam giác
- góc giữa 2 đường thẳng
- góc giữa 2 đường thẳng
- góc giữa đường thẳng và mặt phẳng




PHẦN I : GIẢI TÍCH

W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.

Bài 1: cho hàm số y =2x
3
– 3x
2

1/Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) hàm số

2/Tìm k để phương trình : 2x
3
– k= 3x
2
+1 có 3 nghiệm phân biệt
Đáp số :( - 2 < k < -1)
3/Viết phương trình các tiếp tuyến của ( c ) biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ
Đáp số :
0
9
8
y
y x
=
é
ê
ê
= -
ë

Bài 2: Cho hàm số y= x
4
+kx
2
-k -1 ( 1)
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

3

1/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( c ) hàm số khi k = -1
2/ Viết phương trìh tiếp tuyến vơi ( c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y=
2
x
- 1. Đáp số : y= -2x-2
3/. Xác đònh k để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = -2.
Bài 3: Cho hàm số y= (x-1)
2
( 4 - x )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (c ) của hàm số
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) tại điểm uốn của (c ) . Đáp số : y = 3x - 4
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) qua A( 4 , 0 ) . Đáp số : y = 0 và y = -9x + 36
Bài 4: Cho hàm số y=
1
2
x
4
– ax
2
+b
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( c) của hàm số khi a =1 , b = -
3
2

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (c ) tại giao điểm của ( c ) với ox
Đáp số : 12x34y = . và 12x34y -= .
Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số y=
1

2
x
4
-3x
2
+
3
2

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại các điểm uốn .
Đáp số : y = 4x+3 và y = -4x +3
c/ Tìm các tiếp tuyến của (C ) đi qua diểm A ( 0,
3
2
)
Đáp số : y = 0 ; y =
2
3
x22 +± .
Bài 6: Cho hàm số y = x
3
+3x
2
+mx +m -2 có đồ thò (Cm )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C) của hàm số khi m= 3
2/ Gọi A là giao điểm của ( C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C ) tại A.
3/ Tìm m để (Cm )cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số y= 2
2
x

m
3
x
2
2
3
-+ có đồ thò ( Cm )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò( C ) của hàm số với m= -1
2/ Xác đònh m để ( C
m
) đạt cực tiểu tại x = -1.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y= -
5
2 2
x
+
. Đáp số : y =
6
19
x2 - và y =
3
4
x2 +
Bài 8 :1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số y= -
1
3
x
3
– 2x

2
-3x +1
2/ Tìm các giá trò của m để pt :
1
3
x
3
+2x
2
+3x +m =0 có 3 nghiệm phân biệt
3/ Tìm m để pt :
1
3
x
3
+2x
2
+3x -2 +m
2
= 0 có 1 nghiệm
4/ Viết pttt của ( C ) song song với đường thẳng y= -3x
Bài9 : Cho hàm số y= mx
3
– 3x
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số khi m = 4
2/ Tìm giao điểm của (C )với đường thẳng
D
: y = -x +2
Bài 10 : Cho hàm số y= x
3

– 3x +1
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

4

1/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số
2/ Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của (C )và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao
điểm của d và (C )
ĐS: ( 0, 1) (2, 3 ) ( -2, -1 )
Bài 11 : Cho hàm số y= -
4 2
1 9
2
4 4
x x
+ +

1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số
2/ Vẽ và viết pttt với đồ thò (C ) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1
ĐS: y= 3x+1
Bài 12 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = x
3
-6x
2
+ 9x
2/. Với các giá trò nào của m , đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 13 : 1/. Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = -x
3

+ mx + n
đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thò của nó đi qua điểm ( 1 ; 4)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số với các giá trò của m , n tìm được .
Bài 14: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = -x
3
+
2
3
x
2
+ 6x -3
2/. CMR phương trình -x
3
+
2
3
x
2
+ 6x -3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt , trong đó có
một nghiệm dương nhỏ hơn ½ .
Bài 15 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = -x
4
+2x
2
+ 2
2/. Dùng đồ thò ( C) , biện luận theo m số nghiệm của pt :
x
4
-2x
2

-2 +m =0
Bài 16: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = x
4
+x
2
-3
2/. CMR đường thẳng y = -6x-7 tiếp xúc với đồ thò của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ
bằng -1 .
Bài 17 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y =
1
x
2
3x
+
+
-

2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
(d) : 7x – y +2 =0
Bài 18 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y =
1
x
1x2
+
+

2/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( -1 ; 3)
ĐS : y =

4
13
x
4
1
+
Bài 19 : Cho hàm số y =
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
x a x a x
-
+ - + + -

1/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi a = 0
2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) . ĐS : y =
11
4
3
x
-

Bài 20 : Cho hàm số y = x
3
+ ax
2
+ bx +1
1/. Tìm a và b để đồ thò của hàm số đi qua 2 điểm A( 1 ; 2) và B( -2 ; -1)
ĐS : a = 1 ; b = -1

2/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số ứng với a và b tìm được .
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

5

Bài 21 : Cho hàm số y = x
4
+ ax
2
+ b
1/. Tìm a và b để hàm số có cực trò bằng
3
2
khi x = 1
ĐS : a = -2 ; b =
5
2

2/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số ứng với a =
1
2
-
và b = 1 .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 .
Bài 22 : Cho hàm số y =
2
2
x

-

1/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2/. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thò của hàm số y = x
2
+ 1 . Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại mỗi giao điểm .
ĐS : y =
1
1
2
x
+
; y = 2x
Bài 23 : Cho hàm số y =
3 2
1
x
x
-
-

1/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2/. Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt.
ĐS :
6 2 5; 6 2 5
0
m m
m
ì

< - - > - +
ï
í
¹
ï
ỵ





W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ

Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=
2
3
1
x
x
+
-
trên [2 ;4 ]
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y= 2 sinx -
3
4
sin
3
x

1/ Trên đoạn [ 0 ,
p
] 2/ Trên đoạn [ 0 ;
6
p
]
3/ Trên đoạn [ -
2
p
; 0 ] 4/ Trên R
Bài 3 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y =
2 3
1
x
x
+
-
trên đoạn [ -2 ;
0
]
ĐS :miny=
3
-
; maxy =
1
3

Bài 4 : Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số 5x3x2x
3
1

y
23
++-= trên khoảng (1;+
¥
)
ĐS :miny= 5
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

6

Bài 5: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số 5x3x2x
3
1
y
23
++-= trên đoạn [
2
3
;5]
ĐS :miny=
3
35

Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
54
2
-

+-
=
x
xx
y trên đoạn [
2
5
;
2
7
]
Bài 7: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số
x
x
y
-
-
=
2
3
2
trên đoạn [
2
5
; 3] :
Bài 8: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
x4xy -+= :
ĐS : maxy= 22 ; miny = -2
Bài 9 : Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số y = 2sin

2
x +2sinx - 1 với
ú
û
ù
ê
ë
é
p
p
Ỵ ;
2
x
:
Bài 10: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
x
y x e
= - trên [ -1 ; 0 ] :
ĐS : maxy=
1
ln 2
2
- -
; miny = -1 – e
-2

Bài 11 : Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
2ln

y x x
= - trên [
1
e
; e
2
] :
ĐS : maxy= e
4
- 4 ; miny = 1


W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y= x
2
- 3x+ 2 , y= x -1, x = 0 , x = 2
ĐS: S= 2
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x.e
x
, x=1 , y=0
ĐS: S= 1
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= sin
2
x +x , y=x ,x=0 , x=
p

ĐS: S=
2
p

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
2
=2x và y= 2x -2
ĐS : S=
9
4

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y =
2
2 10 12
2
x x
x
- -
+

và đường thẳng y=0
ĐS: S= 63 -16 ln 8
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
2
= 2x +1 và y= x-1
ĐS: 16/ 3
Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
3 1
, 0, 1, 0
1
+ +
= = = =

+
x x
y x x y
x

Bài 8 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh
Oy
của hình giới hạn
bởi Parabol
( )
2
: ; 2; 4
2
x
P y y y
= = =
và trục
Oy

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

7

Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi y=
1
1
x
x

-
+
, các trục toạ độ
quay quanh trục 0x
ĐS : V=
p
( 3- 4 ln2 )



W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 4: PHNG TRÌNH –BT PT – H PHNG TRÌNH M
VÀ LOGARÍT

Bài 1 : Gii các phng trình sau :
1/
2
2
1
3
3
-
=
x x
S : x =1
2/ 5
x
+ 5
x + 1
+ 5
x+2

= 3
x
+ 3
x+3
– 3
x+1
S : x =
5
3
25
log
31

3/. 3
2x+2
– 28.3
x
+ 2 = 0 S : x =1 ; x = -2
4/. log
2
x + log
4
(2x) = 1 S :
3
2
=x
5/.
2
1 2
2

log 3log 1 0
- + =
x x S : x = 2 ; x = 4
6/. 3
x
+2.3
1 – x
-5 = 0 S : x = 1 ; x = log
3
2
7/.
2
3 9
2log 14 log 3 0
- + =
x x S :
3; 27
= =
x x
8/.
1
1
3 7
7 3
-
+
ỉ ư ỉ ư
=
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

x
x
x
S :
1 2
= - ±x
9/.
(
)
2
3
2 1 2 1
-
- = +
x x
S :
3 5
2
±
=x
10/.
x x x
(7 5 2) ( 2 5)(3 2 2) 3(1 2) 1 2 0.
+ + - + + + + - =
S: x = -2; 0; 1.
11/.
x x
(2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3)
+ + + - = + S:
x 0; 2.

=

12/ 125
x
+ 50
x
= 2
3x+1
13/. 4
x
– 2. 6
x
= 3. 9
x
14/. 25
x
+ 10
x
= 2
2x+1
15/.
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
- + + =

16/. 8

x
+ 18
x
= 2. 27
x
Bài 2: Gii bt phng trình :
1/. 2
2x+6
+ 2
x+7
– 17 > 0 5/.
2 1
1
1 1
3. 12
3 3
x x
+
ỉ ư ỉ ư
+ >
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

2/.
1
1 1
3 5 3 1
x x +
<
+ -

6/. log
x
[ log
3
( 3
x
-9) ] < 1
3/. 2. 2
x
+ 3. 3
x
> 6
x
– 1 7/.
2
0,5 0,5
log log 2 0
+ - £
x x

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

8

4/.
1
2 2 1
0

2 1
x x
x
-
- +
£
-
8/.
2
0,3 6
log log 0
4
+
<
+
x x
x

Bài 3: Gii h phng trình :
1/.
9 3
2 .8 2 2
1 1 1
log log (9 )
2 2
-
ì
=
ï
í

+ =
ï
ỵ
x y
y
x
2/.
( )
5
3 .2 1152
log 2
-
ì
=
ï
í
+ =
ï
ỵ
x y
x y

3/.
( ) ( )
log log
log4 log3
3 4
4 3
ì
=

ï
í
=
ï
ỵ
x y
x y



W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 5 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN.

Bài 1 : cho f(x) = sin
2
x , tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(
p
) = 0
Đáp số : F(x) =
1 1
sin 2
2 4 2
x x
p
- -

Bài 2 : chứng minh F(x) = ln
2
1
x x c
+ + +

là nguyên hàm của f(x)=
2
1
1
x
+

Hướng dẫn : Chứng minh : F
/
(x) = f(x)
Bài 3: Tính các tích phân sau :
1/.
2
2 3
1
2.
x x dx
+
ò
; Đáp số :
2
(10 10 3 3)
9
- 2/.
2
2
1
1
xdx
x

+
ò
; Đáp số :
5 2
-
3/.
1
3
2
0
1
x dx
x
+
ò
; Đáp số :
2 2
3
-
4/.
1
3
0
1 .
x x dx
-
ò
; Đáp số : 9/28
5/.
1

2 2
0
1 .
x x dx
-
ò
Đáp số
16
p

Bài 4: Tính các tích phân sau :
1/.
2
0
cos 2
xdx
p
ò
; Đáp số :
2
p
2/.
2
0
sin 3
xdx
p
ò
; Đáp số :
2

p

3/.
4
0
sin
xdx
p
ò
; Đáp số :
3
8
p
4/.
2
5
0
cos
xdx
p
ò
; Đáp số :8/15
5/.
2
6 3
0
cos .sin
x xdx
p
ò

; Đáp số :2/63 6/.
2
2
0
sin 2
1 cos
xdx
x
p
+
ò
; Đáp số :ln2
7/.
4
0
cos 2
1 sin 2
xdx
x
p
+
ò
; Đáp số :
2 1
-

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

9

Bài 5: Tính các tích phân sau :
1/.
2
sin
0
.cos
x
e xdx
p
ò
; Đáp số :e-1 2/.
3
1
2
0
.
x
e x dx
-
ò
; Đáp số :
1 1
3 3
e
-


3/.

4
1
x
e
dx
x
ò
; Đáp số :2e
2
– 2e 4/.
4
ln
2
1
2 1
x
e
dx
x +
ò
; Đáp số :
1
ln11
4

5/.
1
3
0
( 2)

x
x e dx
+
ò
; Đáp số :
3
8 5
9 9
e
-

Bài 6: Tính các tích phân sau :
1/.
2
0
(2 1) cos 2
x xdx
p
-
ò
; Đáp số :-1 2/.
2
0
2 .sin .cos
x x xdx
p
ò
; Đáp số :
4
p

3/.
2
0
sin
x xdx
p
ò
; Đáp số :
2
4
p
-
4/.
1
0
ln( 1)
x dx
+
ò
; Đáp số :2ln2-1
5/.
2
1
( 1) ln
e
x x xdx
- +
ò
; Đáp số :

3 2
2 31
9 4 36
e e
- + 6/.
2
2
1
ln
x
dx
x
ò
; Đáp số :
1 1
ln 2
2 2
-
7/.
2
2
0
.cos
x xdx
p
ò
; Đáp số :
2
1
16 4

p
-
8/.
0
sin 3 .cos
x xdx
p
ò
; Đáp số :0
9/.
2
2
0
( sin ) cos
x x xdx
p
+
ò
; Đáp số :
2
2 3
p
-
10/.
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
xdx

x
p
+
ò
; Đáp số :1/2




W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 6: SỐ PHỨC

Bài 1: Cho các số phức z
1
= 1 + i ; z
2
= 1 -2i .Hãy tính các số phức và tìm mun của chúng :
1/.
2
1
z
2/. z
1
z
2
3/. 2z
1
– z
2

4/.

1 2
z z
5/.
2
1
z
z
6/.
7
1
z

Bài 2 : Tính :
1/.
(
)
2
2
( 3 ) 3
i i
+ - -
2/.
(
)
2
2
( 3 ) 3
i i
+ + -

3/.
(
)
3
3
( 3 ) 3
i i
+ - -
4/.
2
2
( 3 )
( 3 )
i
i
+
-

*Bài 3 : Tìm căn bậc hai của mỗi số phức : - 8 + 6i ; 3 + 4i ;
1 2 2
i
-
Bài 4 : Giải phương trình :
1/. x
2
– 3x + 3 + i = 0. Đáp số : x = 1 +i ; x = 2 - i
*2/. x
2
– (3 + i )x + 2 + 6i = 0. Đáp số : x = 2i ; x = 3 - i
*3/. x

2
+ ix + 2i -4 = 0. Đáp số : x = -2 ; x = 2 - i
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

10

4/. x
2
- 4x + 8 = 0. Đáp số : x = 2 ± 2i
*5/. x
2
+
3
i
x -1 +
3
i
= 0. Đáp số : x = -1 ; x = 1 -
3
i

Bài 5 : Tìm các số thực x , y thỏa mãn đẳng thức :
x( 3 + 5i ) + y( 1 -2i)
3
= 9 + 14i
Đáp số : x =
172
61

và y =
3
61
-

*Bài 6 : Viết dạng lượng giác của số phức :
1/. 3i 2/.
3
+ i 3/. 2- 2i 4/. 1 -
3
i

5/. ( 1 +
3
i
)
5
6/. ( 1 –i)
4
7/. 1 - itan
6
p



PHẦN II : HÌNH HỌC
HÌNH HỌC TỔNG HP

W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 7: HÌNH ĐA DIỆN

.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cnh a, cnh bên SA vng góc vi đáy , cnh
bên SB bng a
3
. Tính th tích khi chóp S.ABCD theo a .
2. Cho hình chóp t giác đu S.ABCD có AB = a và SA = b . Tính th tích khi chóp S.ABCD theo a
và b.
3. Cho hình chóp t giác đu S.ABCD có AB = a và góc SAC bng 45
0
. Tính th tích khi chóp
S.ABCD.
4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng ti đnh B, cnh bên SA vng góc
vi đáy. Bit SA = AB = BC = a. Tính th tích khi chóp S.ABC theo a .
5. Cho hình chóp t giác đu S.ABCD có AB = a và góc gia mt bên và mt đáy bng 60
0
. Tính th
tích khi chóp S.ABCD.
6. Cho khi hp ch nht ABCDA’B’C’D’ có th tích V. Tính th tích khi t din C’ABC theo V.
7. Trên cnh CD ca t din ABCD ly đim M sao cho CD = 3CM. Tính t s th tích ca hai t
din ABMD và ABMC.
8. Cho hình chóp tam giác đu S.ABC có cnh đáy bng 2a , góc gia cnh bên và mt đáy bng 30
0
.
a/. Tính th tích ca khi chóp S.ABC
b/. Xác đnh tâm và tính bán kính mt cu ngoi tip hình chóp S.ABC .
c/. Tính din tích mt cu và th tích ca khi cu ngoi tip hình chóp S.ABC
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cnh a , cnh bên SA vng góc vi đáy ,
cnh bên SB bng a
3

a/. Tính th tích ca khi chóp S.ABC

b/. Chng minh trung đim ca cnh SC là tâm mt cu ngoi tip hình chóp S.ABCD
10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng ti B , cnh bên SA vng góc vi
đáy . Bit SA = AB = BC = a .
a/. Tính th tích ca khi chóp S.ABC
b/. Tính th tích ca khi cu ngoi tip khi chóp S.ABC.
11. Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cnh bng a , cnh bên SA vng
góc vi đáy và SA = AC . Tính th tích khi chóp S.ABCD
12. Cho hình chóp tam giác đu S.ABC có cnh đáy bng a , cnh bên bng 2a . Gi I là trung đim
ca cnh BC .
a/. Chng minh SA ^ BC
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

11


b/. Tính th tích khi chóp S.ABI theo a
13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng ti B , đng thng SA vng góc vi
mp(ABC) , bit AB = a , BC = a
3
và SA = 3a.
a/. Tính th tích khi chóp S.ABC
b/. Gi I là trung đim ca cnh SC , tính đ dài đan thng BI theo a.
c/. Tính tng din tích các mt bên ca hình chóp S.ABC


W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 8 : HÌNH TRỤ

Bài 1 : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
ABC có cạnh bằng a và đường sinh bằng 2a
3
.
ĐS : S
xq
=
2
4
p
a
; V =
3
2 3
3
p
a

Bài 2 : Cho hình lập phương cạnh a . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ ngọai tiếp
hình lập phương .
ĐS : S
xq
=
2
2
p
a ; V =
3
2
p

a

Bài 3 : Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 6cm , một mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ
theo thiết diện (S) có diện tích bằng 48cm
2
.
1/. tính chu vi của thiết diện (S).
2/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (T).
ĐS : 1/. 28cm 2/. S
xq
=
48
p
(cm
2
) ; V = 96p (cm
2
)
Bài 4 : Cho hình trụ (T) có diện tích đáy S
1
= 4pa
2
và diện tích xung quanh bằng S .
1/. tính thể tích của (T) .
2/. Cho S = 25a
2
, Tính diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T).
ĐS : 1/. aS 2/.
2
25

p
a

Bài 5 : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm, một thiết diện song song với trục hình trụ ,
cách trục một khoảng 6cm có diện tích 80cm
2
. Tính thể tích khối trụ (T)
ĐS : V = 500p (cm
3
)
Bài 6 : Cho hình trụ (T) cao 10cm, một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một
khoảng 2cm , sinh ra trên đường tròn đáy một cung chắn góc ở tâm 120
0
.
1/. tính diện tích thiết diện
2/. Tính thể tích và diện tích xq của (T).
ĐS : 1/. 40
3
(cm
2
) 2/. V = 160p (cm
3
) ; S
xq
= 80p (cm
2
)
Bài 7 : Cho hình trụ (T) có 2 đáy là 2 đường tròn ( O ) và (O
/
) .Một điểm A thuộc (O) và điểm B

thuộc (O
/
) . Gọi A
/
là hình chiếu của A trên mp chứa đáy (O
/
). Biết AB = a , góc giữa 2 đường
thẳng AB và trục OO
/
là  và góc BO
/
A
/
là 2 .
Tính thể tích và diện tích xq của (T).
ĐS : V =
3 2
2
sin .cos
4sin
p a a
b
a
; S
xq
=
2
sin 2
sin
p a

b
a

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

12

Bài 8 : Cho hình nón có bán kính đáy là R và đường cao bằng 3R ngoại tiếp hình trụ (T) .Tính bán
kính và chiều cao hình trụ (T) sao cho :
1/. (T) có thể tích lớn nhất.
2/. (T) có diện tích xq lớn nhất .
ĐS : 1/. Bán kính là
2
3
R
; chiều cao là R
2/. Bán kính là
2
R
; chiều cao là
3
2
R


W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 9 : HÌNH NÓN

Bài 1 : Cho hình nón có bán kính đáy là R và góc giữa đường sinh và mp chứa đáy hình nón là  .

1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón
2/. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình nón .
ĐS : 1/. V =
3
tan
3
p a
R
; S
xq
=
2
cos
p
a
R

2/. R
2
tan
Bài 2 : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng R và thiết diện qua trục của hình nón là tam giác
SAB có góc ASB là 60
0
.
1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón
2/. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón .
3/. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón .
ĐS : 1/. V =
3
3

24
p
R
; S
xq
=
2
2
p
R

2/.
3
3
R
3/.
3
6
R

Bài 3 : Một hình nón có diện tích xq là 20p (cm
2
) và diện tích toàn phần là 36p(cm
2
) . Tính thể tích
khối nón .
ĐS : V =36p (cm
3
)
Bài 4 : Một khối nón có thể tích V=

32 5
3
p
( dm
3
) và bán kính đáy hình nón là 4 (dm) .
1/. Tính diện tích xq của hình nón.
2/. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón
ĐS : 1/. S
xq
=24p (dm
2
) 2/.
9 5
5



PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 10 : TOẠ ĐỘ VECTƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG
GIAN.

Bài 1: Cho
a
r
= ( -2 ,1, 0 ),
b
r
= ( 1, 3,-2 ),

c
r
= (2,4,3 )
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

13

1/ Tìm toạ độ
d
ur
=
1 3
2
2 2
a b c
+ -
r r r

Đáp số :
1 17
( 2, , )
2 2
d = - -
ur

2/ Cm
a
r

,
b
r
không cùng phương
3/ Tìm toạ độ
b
r
/
= ( 2, y
o
, z
o
), biết
b
r
/
cùng phương
b
r

Đáp số :
( )
'
2;6; 4
b
= -
uv

Bài 2: Cho A( 0 -2, 4 ) , B( 5,-1,2 ),
3 4

OC i j k
= - + +
uuuv v v v

1/ Cm: A, B. C không thẳng hàng.
2/ Tìm toạ độ M là giao điểm của đường thẳng BC với (0xy), M chia đoạn BC theo
tỉ số nào?
Đáp số : M( -11,9,0 )
2 2
MB MC k
= ® =
uuur uuuur

3/ Tìm toạ độ D , biết
CD
uuur
= ( 1,-2, -4 )
Đáp số : D ( -2,2,-3 )
4/ Tìm toạ độ A
/
đối xứng với A qua B
Đáp số : A
/
( 10,0, 0 )
5/ Tìm toạ độ E để ABED là hình bình hành
Đáp số : E( 2,5,-1 )
Bài 3 :Cho M( x, y, z ), tìm toạ độ các điểm:
1/ M
1
, M

2
, M
3
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mp ( 0xy ) ,( 0yz) ,( 0xz )
Đáp số : M
1
( x, y, o) , M
2
( o, y, z ) , M
3
( x, o, z )
2/ M
/
1
, M
/
2
, M
/
3
lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz
Đáp số : M
/
1
( x,o,o ), M
/
2
( o,y,o ),M
/
3

( o,o,z )
3/ A, B, C lần lượt đối xứng với M qua ox, oy, oz
Đáp số : A( x,-y, –z ), B( -x, y,-z ), C( -x,-y,z )
4/ D, E, F. lần lượt đối xứng với M qua mp ( oxy ), ( oyz ), ( oxz )
Đáp số : D( x, y, -z ), E (-x , y, z ), F ( x, -y, z )
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật OABC . O
/
A
/
B
/
C
/
biết A( 2, 0, 0 ), C( 0 ,3, 0 ) ,
0
/
( 0,0,4) .Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật
Hướng dẫn:
(2,3,0)
OB OA OC B= + Þ
uuur uuur uuur
( vẽ hình )
/ / /
(2,0,4)
OA OA OO A= + ®
uuuur uuuur
uuur
, tương tự B
/
( 2,3,4 ) , C

/
( 0,3,4 )



W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 11: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


1/.
0
n
¹
v v
là vtpt của (P)
( )
n P
« ^
v

- Chú ý : Nếu
0, 0
a b
¹ ¹
v v v v
;
;
a b
v v
không cùng phương và
;

a b
v v
có giá song song
hay nằm trong mp(P) thì (P) có vtpt
,
n a b
é ù
=
ë û
v v v

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

14

2/. Phương trình tổng quát mp(P) : Ax+By+Cz+D = 0
®
vtpt
(
)
, ,
n A B C
=
v

3/. Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M( x
0
; y

0
; z
0
) và có vectơ pháp tuyến
(
)
, ,
n A B C
=
v
:
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
4/. Nếu mp(P) // mp(Q) thì vtpt của (P) cũng là vtpt của (Q)
5/. Nếu mp(P)
^
mp(Q) thì vtpt của (P) song song hay chứa trong mp (Q) và ngược
lại.
6/. Phương trình mp(Oxy) : z = 0
Phương trình mp(Oxz) : y = 0
Phương trình mp(Oyz) : x = 0
7/. Phương trình mp(P) qua A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) :
1
x y z
a b c

+ + =

Với A, B, C đều khác với gốc O.


BÀI TẬP
Bài 1: Cho A(3,-2,-2) , B(3,2,0) , C(0,2,1) , D( -1,1,2)
1/. Viết phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z -7 = 0
2/. Viết ptmp
(
)
a
qua A và
(
)
a
// (BCD).
Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0
3/. Viết pt mp
(
)
b
qua A và
(
)
b
vuông góc với BC
Đáp số : -3x + z + 11= 0
Bài 2: Cho A(5,1,3) , B(1,6,2) ,C(5,0,4) , D(4,0,6)

1/. Viết pt mp
(
)
a
qua A , B và
(
)
a
// CD.
Đáp số :10x+9y+5z-74=0
2/. Viết ptmp trung trực
(
)
b
của CD , tìm toạ độ giao điểm E của
(
)
b
với Ox.
Đáp số :-2x+4z-11=0 ; E(-11/2 , 0 ,0)
3/. Viết ptmp
(
)
g
qua A và
(
)
g
// (Oxy)
Đáp số :Z – 3= 0

Bài 3: Cho A(4,-1,1) , B(3,1,-1)
1/. Viết phương trình mp
(
)
a
qua A và
(
)
a
chứa trục Oy.
Đáp số : x-4z=0
2/. Viết ptmp
(
)
b
qua A và
(
)
b
vuông góc với trục Oy.
Đáp số : y+1=0
3/. Viết ptmp
(
)
g
qua A ,
(
)
g
// Oy ,

(
)
g
^
(
)
a

Đáp số : 4x+z-17=0
4/. Viết pt mp (P) qua B , (P)
^
(
)
a
, (P)
^
(Oxz)
Đáp số : 4x+z-11=0
Bài 4: Cho A(-1,6,0) , B(3,0,-8) , C(2,-3,0)
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

15

1/. Viết ptmp
(
)
a
qua A , B ,C.

Đáp số : 12x+4y+3z-12=0
2/.
(
)
a
cắt Ox , Oy , Oz lần lượt tại M , N, P . Tính thể tích khối chóp OMNP . Viết ptmp
(MNP).
Đáp số : V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z-12=0
Bài 5 : Lập phương trình mp qua G( 2 ; -1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho G
là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 6 : Lập phương trình mp qua H( 1 ; -1 ; -3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho
H là trực tâm của tam giác ABC.










WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT
PHẲNG

· Tóm tắt lý thuyết :
1/. Cho 2 mp :
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0

: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
a
a
+ + + =
+ + + =

·
1
a
cắt
2
a
«
A
1
: B
1
: C
1
≠ A
2
: B
2
: C
2

·
1 1 1 1

1 2
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D
a a
« = = ¹
·
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
A B C D
A B C D
a a
º « = = =
Bài 1: xác đònh n và m để các cặp mp sau song song nhau :
1/. Cho
(
)
a
: 2x + ny + 3z -5 =0

(
)
b
: mx -6y -6z +2 =0
Đáp số : m =4 , n =3
2/. Cho
(
)

a
: 3x - y + nz -9 =0

(
)
b
: 2x +my +2z -3 =0
Đáp số : m = -2/3 ; n = 3
Bài 2: Cho 2 mp :
1
2
: 2 3 1 0
: 5 0
x y z
x y z
a
a
- + + =
+ - + =

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

16

1/. Viết pt mp (P) qua giao tuyến của
1 2
;
a a

và (P)
3
: 3 1 0
x y
a
^ - + =

Đáp số : -3x-9y+13z-33=0
2/. Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của
1 2
;
a a
và (Q) song song với đường thẳng
AB với A(-1,2,0) và B(0,-2,-4).
Đáp số : 8x+5y-3z+31=0



WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 13: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Tóm tắt lý thuyết
Cách lập phương trình đường thẳng d:
Tìm 1 điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) thuộc d và vectơ chỉ phương
(

)
; ;
u a b c
=
v
của d.
Khi đó phương trình của d có một trong 2 dạng sau :
· Pt tham số :
o
o
o
x x a t
y y bt
z z ct
= +
ì
ï
= +
í
ï
= +
ỵ
(1)
· Pt chính tắc :
o o o
x x y y z z
a b c
- - -
= =
(2) VỚI a , b , c đều khác 0

- Ghi nhớ : d
( )
a
^
®
vtcp của d là vtpt của
( )
a
; vtpt của
( )
a
là vtcp của d.

BÀI TẬP
Bài 1: Viết phương trình tham số , pt chính tắc (nếu có ) của d biết :
1/. d qua M (2,3,-1) và d vuông góc với mp
a
: -x-y+5z+7=0
2/. d qua N(-2,5,0) và d// d
/
:
6
3
7 4
x
y t
z t
=
ì

ï
= +
í
ï
= +
ỵ

3/. d qua A(1,2,-7) và B(1,2,4)
Bài 2: Viết phương trình tham số , pt chính tắc (nếu có ) của đt d là giao tuyến của 2 mp :
(
)
( )
: 2 0
: 2 1 0
P x y z
Q x y z
+ - =
- + + =

Bài 4:
1/. Viết pt mp(
a
) qua A(0,1,-1) và (
a
)
1 2
: 3
2
x t
d y t

z t
= -
ì
ï
^ =
í
ï
= - +
ỵ

2/. Tìm toạ độ giao điểm M của (
a
) với trục Ox.
3/. Viết pt tham số của giao tuyến d
/
của (
a
) với (Oxy).


Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

17

WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 14: TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M TRÊN
MP
a
, TRÊN d.

TÌM M
/
ĐỐI XỨNG VỚI M QUA
a
, QUA d.

1/ Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M trên
a
và toạ độ M’đối xứng M qua
a
:
· Viết pt đt d qua M , d
^
a
Þ
d qua M có véc tơ chỉ phương
n
a
uuv

Þ
pttsố của d
· H = d
a
Ç

Þ
tọa độ H
· M
/

đối

xứng M qua
a
Þ
H là trung điểm M M
/

Þ
toạ độ M
/

2/ Tìm toạ độ hchiếu
^
H của M trên đt d và tìm M
/
đối xứng M qua đt d :
+ Viết ptmp
a
qua M ,
d
a
^

+ H =
d
a
Ç Þ
tọa độ của H
+ M

/
đxứng M qua d
Þ
H là trung điểm MM
/

Þ
tđộ M
/


Bài 1: Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H của M( 2, -3, 1 )trên mp() : -x+ 2y +z+ 1= 0 .
Tìm toạ độ M
/
đxứng M qua (
a
)
Đáp số : H (1, -1 , 2 ) ; M
/
( 0, 1, 3)
Bài 2: Tìm toạ độ M
/
đxứng với M( 2, -1, 3) qua đt d :
2
1 2
1
x t
y t
z
=

ì
ï
= - +
í
ï
=
ỵ

Đáp số : M
/
(4,-3,5)



WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 15: LẬP PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC d
/

CỦA d
TRÊN MP (P)

*Phương pháp :
Cách 1 :
- Tìm 2 điểm A và B thuộc d
- Tìm A
/
và B
/
lần lượt là hình chiếu của A và B trên mp(P)
- Lập pt đường thẳng A
/

B
/
chính là đường thẳng d
/

Cách 2 :
- Lập pt mp (Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Vì d
/
= (P) Ç (Q) nên ta lập được pt của d
/


Bài 1: Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của đt d :
1
1 2
3
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= - +
í
ï
=
ỵ
trên mp
a

: x+y+2z-5=0
Bài 2 : Viết pt hình chiếu vuông góc d
/
của d :
1 2
1 2 3
x y z
- +
= =
-
trên mp
a
:x-y+z+10=0

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

18




WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 16: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG d VÀ
d
/


Phương pháp :
+ d có vtcp

u
v
và đi qua điểm M
+ d
/
có vtcp
/
u
uuv
và đi qua điểm M
/

+ Tính
/
MM
uuuuuv

a/. d và d
/
trùng nhau Û
u
v
,
/
u
uuv
và
/
MM
uuuuuv

b/. d // d
/
Û
ì
ï
í
ï
ỵ
uuv
r
uuuuur
r
/
/
u và u cùng phương
u và MM không cùng phương

c/. d cắt d
/
Û
ì
ï
í
é ù
=
ï
ë û
ỵ
uuv

r
uur uuuuur
r
/
/ /
u và u không cùng phương
u,u . MM 0

d/. d và d
/
chéo nhau Û
é ù
¹
ë û
uur uuuuur
r
/ /
u,u . MM 0

* Chú ý :
/ /
d d u u
^ Û ^
uuv
v


Bài 1: Xét vò trí tương đối của 2 đt :
d
1

:
1
2 3
3 4
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= - -
í
ï
= +
ỵ
d
2
:
x t
y 3 3t
z 7 4t
=
ì
ï
= - -
í
ï
= +
ỵ

Đáp số : d
1
// d
2

Bài 2: Xét vò trí tương đối của 2 đt :
d
1
:
1 2
x t
y t
z t
=
ì
ï
= - +
í
ï
=
ỵ
d
2
:
1
1 2 3
x y z
-
= =
-

Đáp số : d
1
chéo d
2

Bài 3: Xét vò trí tương đối của 2 đt :
d
1
:
4
1 1 2
x y z
+
= =
- -
d
2
:
1 2
3 1 1
x y z
- -
= =
- -

Đáp số : d
1
chéo d
2

Bài 4: cho 2 đt d
1
:
7 3
2 2
1 2
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= +
í
ï
= -
ỵ
d
2
:
1 2 5
2 3 4
x y z
- + -
= =
-

a/. Tìm toạ độ giao điểm của d
1

và d
2
. Đáp số : A(1,-2,5)
b/. Viết pt mp (P) chứa d
1
và d
2
. Đáp số : (P) : 2x-16y-13z+31=0
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

19

Bài 5 : Xét vò trí tương đối của 2 đt : d
1
:
1
2
1
x t
y t
z t
= -
ì
ï
= +
í
ï
= - +

ỵ
d
2
:
/
/
/
2 2
3 2
2
x t
y t
z t
ì
= -
ï
= +
í
ï
=
ỵ

Đáp số : d
1
// d
2

Bài 6: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đt d
1
:

3 2
2 3
6 4
x t
y t
z t
= - +
ì
ï
= - +
í
ï
= +
ỵ
và d
2
:
ï
ỵ
ï
í
ì
+=
=
+=
/
/
/
t20z
t41y

t5x

Đáp số : A(3,7,18)



WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 17: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG d VÀ
MẶT PHẲNG
a



1/. Cách 1: d có vtcp
a
v
,
a
có vtpt
n
v

a/. Nếu
a
v
.
n
v
¹
0
®

d cắt
a

b/. Nếu
a
v
.
n
v
=0
®
d//
a
hay d
Ì
a

Tìm M
Ỵ
d:
//
M d
M d
a a
a a
Ï ®
é
ê
Ỵ ® Ì
ë

2/. Cách 2: Giải hệ pt của d và
a

§ Hệ có 1 nghiệm
Û
d cắt
a

§ Hệ vô nghiệm
Û
d //
a

§ Hệ vô số nghiệm
Û
d
Ì
a


Bài 1: Xét vò trí tương đối của đt d :

1
3 2
2
x t
y t
z t
= - +

ì
ï
= -
í
ï
= - +
ỵ

Và mp
a
: x+2y+3z+3=0
Đáp số : d//
a

Bài 2: Cho đt d :
1
2 (2 1)
3 2
x mt
y m t
z t
= +
ì
ï
= - + -
í
ï
= - +
ỵ
và mp

a
:x+3y-2z-5=0
a/. Tìm m để d cắt
a
. Đáp số : m
¹
1
b/. Tìm m để d//
a
. Đáp số : m=1
c/. Tìm m để d vuông góc với
a
. Đáp số : m= -1
Bài 3: Xét vò trí tương đối của đt d :
1 2
2 1 3
x y z
- +
= =
-
với mp
a
: 2x+y+z-1=0
Đáp số : d cắt
a
tại A(2,1/2,-7/2)
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

20

Bài 4: Xét vò trí tương đối của đt d :
2 2
x t
y t
z t
=
ì
ï
= - +
í
ï
= -
ỵ
với mp
a
: 2x+y+z-1=0
Đáp số : d cắt
a
tại A(1, 0,-1)
Bài 5: Xét vò trí tương đối của đt d :
1
4
1
x t
y t
z t
= -
ì

ï
= -
í
ï
= - +
ỵ
với mp
a
: 5x-y+4z+3=0
Đáp số : d
Ì
a




WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 18: KHOẢNG CÁCH

1/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến mp
a
:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
a
+ + +

=
+ +

2/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến đt
D
:
·
D
qua M
0
và có vtcp
u
v

( )
0
u, M M
d M,
u
é ù
ë û
D =
v uuuuuv
v

3/. Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau :
·
1
D
qua M

1
và có vtcp
1
u
uuv

·
2
D
qua M
2
và có vtcp
2
u
uuv

( )
1 2 1 2
1 2
1 2
u , u .M M
d ,
u , u
é ù
ë û
D D =
é ù
ë û
uuv uuv uuuuuuv
uuv uuv

*Chú ý:
Khoảng cách giữa 2 mp song song = Khoảng cách từ 1 điểm trên mp thứ nhất đến mp
thứ hai.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song = Khoảng cách từ 1 điểm trên đt thứ nhất
đến đt thứ hai.
Khoảng cách giữa 1 đường thẳng song song với 1 mp = Khoảng cách từ 1 điểm trên
đt đến mp.

Bài 1: Cho A(1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) . Viết pt mp
a
qua 3 điểm A, B, C .Tính diện
tích tam giác ABC , thể tích khối tứ diện OABC.
Đáp số :
a
: x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)=
3
2
; V
OABC
=
3
2

Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M (1,2,-1) đến đt
D
:
1 2 2
2 1 2
x y z

- + -
= =
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

21

Đáp số :
221
3

Bài 3: Cho 2 đt chéo nhau :
1
D
:
2 2
1
3 2
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= +
í
ï
= -
ỵ

2
D
:
1 2
1 2
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= -
í
ï
=
ỵ

Tính khoảng cách giữa
1
D
và
2
D
. Đáp số : 7/3
Bài 4: Cho 2 đt
1
D
:
1 7 3

2 1 4
x y z
- - -
= = và
2
D
:
ï
ỵ
ï
í
ì
-=
+=
+-=
t2z
t22y
t1x

Chứng minh
1
D
chéo
2
D
. Tính khoảng cách giữa
1
D
và
2

D
.
Đáp số :
5
14



WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 19 : GÓC

1/. Góc giữa 2 vectơ :
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
u u
u u
u u
=
uv uuv
ur uur
uv uuv

1/. Tìm góc
j
giữa 2 đt
1

D
và
2
D
:
· Tìm 2 vtcp
1
u
uuv
và
2
u
uuv
của
1
D
và
2
D
.
·
1 2
1 2
.
cos
.
u u
u u
j
=

uv uuv
uv uuv

2/. Tìm góc
j
giữa 2 mp
a
và
b
:
· Tìm 2 vtpt :
1
n
uv
và
2
n
uuv
của
a
và
b

·
1 2
1 2
.
cos
.
n n

n n
j
=
uv uuv
uv uuv

· Chú ý :
1 2
n n
a b
^ Û ^
uv uuv

3/. Tìm góc
j
giữa đường thẳng d và mp
a
:
· Tìm vtcp
u
v
của d.
· Tìm vtpt
n
v
của
a

·
u.n

sin
u . n
j
=
v uuv
v uuv


Bài 1: Tính góc
j
giữa đt d :
1 1 3
1 1
2
x y z
- + -
= =
-
và trục Ox. Đáp số :
j
=45
0

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

22

Bài 2: Tính góc

j
giữa đt d :
x t
y 1 2t
z 2 t
=
ì
ï
= +
í
ï
= +
ỵ
và mp
a
:
2 1 0
x y z
+ - - =

Đáp số :
j
=30
0

Bài 3: Tính góc
j
giữa 2 mp:
a
: 3y-z-9=0 ;

b
: 2y+z+1=0
Đáp số :
j
=45
0


Bài 4: Tìm m để góc giữa 2 đt sau bằng 60
0
:
1
D
:
4 2
1 1
2
x y z
+ +
= =
-
và
2
D
:
3
1 2
1
x t
y t

z mt
= +
ì
ï
= +
í
ï
= - +
ỵ
Đáp số : m = -1

WWW.MATHVN.COM - WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 20: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.


1/. Phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R :
· ( x –a )
2
+ (y-b)
2
+( z-c)
2
= R
2
(1)
· x
2
+y
2
+z
2

+2ax + 2by + 2cz +d = 0 (2)
Với :
2 2 2
R a b c d
= + + -

Tâm I ( -a ; -b ; -c )
2/. Vò trí tương đối giữa mc(S) và mp
a
:
· Cho (S) : ( x –a )
2
+ (y-b)
2
+( z-c)
2
= R
2

có tâm I và bán kính R.
mp
a
: Ax+By+Cz+D=0
a/.
(
)
,d I R
a
> Û
mp

a
không có điểm chung với (S)
b/.
(
)
,d I R
a
= Û
mp
a
tiếp xúc với (S) (
a
là tiếp diện )
c/.
(
)
,d I R
a
< Û
mp
a
cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có pt :
2 2 2 2
Ax+By+Cz+D=0
( x -a ) + (y-b) +( z-c) = R
ì
í
ỵ

3/. Một số dạng toán về mặt cầu:

a/. Viết pt mc (S) tâm I và tiếp xúc với mp
a
, tìm toạ độ tiếp điểm H của
a
và (S):
· R = d (I ,
a
)
®
pt (1)
· H=
D
I
a
với
D
qua I và
a
D ^

b/.Mặt cầu có đường kính AB
Þ
tâm I là trung điểm của AB,R=
1
(1)
2
AB pt
Þ
c/. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( hay mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D không đồng
phẳng ) :

· Thế toạ độ A,B,C,D vào pt(1) hay pt(2)
, ,
A B C
Þ
hoặc a , b ,c
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

23

d/.Mặt phẳng
a
tiếp xúc (S) tại A
Ỵ
(S) (tiếp diện
a
)
+ (S) có tâm I,
a
qua A có vtpt
IA
uur

Þ
pt (
a
)
e/. Cách tìm toạ độ tâm I
/

, bán kính R
/
của đường tròn giao tuyến của mp
a

và (S) :
§ (S) có tâm I , bán kính R ,
a
có vtpt
n
v

§
( )
2
/ 2
,R R d I
a
= -
é ù
ë û

§ Đường thẳng
D
qua I ,
D

^
a

®
pt tham số
D
.
§ I
/
=
a
D Ç

®
Toạ độ I
/


Bài 1: Cho A(1,-1,2) , B(1,3,2) , C(4,3,2) , D(4,-1,2)
1/. Chứng minh : A,B,C,D đồng phẳng .
2/. Gọi A
/
là hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) , Viết pt mặt cầu (S) qua A
/
,B,C,D
Đáp số : A
/
(1,-1,0) ; ptmc(S) : x
2
+y
2
+z
2

-5x -2y -2z +1 = 0
3/. Viết pt tiếp diện của (S) tại A
/
.
Đáp số :
a
: 3x+4y+2z+1=0
Bài 2: Cho 4 điểm : A,B,C,D biết A(2,4,-1) , 4
OB i j k
= + -
uuuv v v v
, C(2,4,3) , 2 2
OD i j k
= + -
uuuv uuv v v

1/. Chứng minh :
; ;
AB AC AC AD AD AB
^ ^ ^
. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Đáp số : V= 4/3
2/. Viết pt tham số của đường vuông góc chung
D
của 2 đt AB và CD . Tính góc
j
giữa
D

và (ABD).

Đáp số :
(
)
, 0, 4,2
a AB CD
D
é ù
= = -
ë û
uuv uuuv uuuv
;
1
sin
5
j
=
3/. Viết pt mc (S) qua A , B, C, D . Viết pt tiếp diện
a
của (S) song song với (ABD)
Đáp số : (S) : x
2
+y
2
+z
2
-3x -6y -2z +7 = 0 ;
a
1
: z +
21

1
2
-
=0 ;
a
2
: z -
21
1
2
-
=0
Bài 3: Cho mp
a
: x+y+z-1=0 và đt d :
1
1 1 1
x y z
-
= =
-

1/. Tính thể tích khối tứ diện ABCD với A,B,C là giao điểm của
a
với Ox ,Oy ,Oz và D =
d
(
)
Oxy
Ç

Đáp số : V = 1/6
2/. Viết pt mc (S) qua A,B,C,D , tìm toạ độ tâm I
/
và bán kính R
/
của đường tròn giao tuyến
của (S) với mp (ACD).
Đáp số : (S) : x
2
+y
2
+z
2
-x -y -z = 0 ; I
/

/
1 1 1 3
, , ;
2 2 2 2
R
ỉ ư
=
ç ÷
è ø

Bài 4: cho A(3,-2,-2) và mp
a
: x+2y+3z-7 = 0
1/. Viết pt mc (S) tâm A và tiếp xúc với

a
, tìm toạ độ tiếp điểm H của (S) và
a
.
Đáp số : (S) : (x-3)
2
+(y+2)
2
+(z+2)
2
= 14 ; H(4,0,1)
2/. Xét vò trí tương đối của (S) với mp(Oyz) .
Đáp số : (S) cắt mp(Oyz)
Bài 5: Cho mp
a
: 2x-2y-z+9=0 và mc(S) : x
2
+y
2
+z
2
-6x +4y -2z-86 = 0
1/. Tìm toạ độ tâm I , tính bán kính R của (S) .
Đáp số : I(3,-2,1) ; R = 10
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

24

2/. Chứng minh
a
cắt (S) , viết pt đường tròn giao tuyến (C) của
a
và (S).Tìm toạ độ tâm I
/

, bán kính R
/
của ( C ) .
Đáp số : R
/
=8 ; I
/
(-1,2,3)
Bài 6: Cho mc(S) : (x-5)
2
+(y+1)
2
+(z+13)
2
= 77 và 2 đt
d
1
:
5 4 13
2 3 2
x y z
+ - -
= =

-
d
2
:
1 3
1 2
4
x t
y t
z
= +
ì
ï
= - -
í
ï
=
ỵ

Viết pt mp
a
tiếp xúc với (S) và
a
song song với d
1
và d
2
.
Đáp số :
4 6 5 128 0

4 6 5 26 0
x y z
x y z
+ + + =
+ + - =



*WWW.MATHVN.COM - WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 21: CÁCH VIẾT PT ĐƯỜNG
VUÔNG GÓC CHUNG d
CỦA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU d
1
, d
2



d
1
có vtcp
r
a
,d
2
có vtcp
r
b

· Lấy điếm A Ỵ d
1

Þ tọa độ điểm A theo t
1

· Lấy điếm B Ỵ d
2
Þ tọa độ điểm B theo t
2

· AB là đường vuông góc chung Û
. 0
. 0
ì ì
^ =
ï ï
Û
í í
^ =
ï ï
ỵ ỵ
uuur r uuur r
uuur r uuur r
AB a AB a
AB b AB b

· Giải hệ trên ta tìm được t
1
và t
2
Þ tọa độ A và B
· Viết phương trình đường thẳng AB.

Bài 1: Cho 2 đường thẳng : d
1
:
3
1 2
2 2
x t
y t
z t
= -
ì
ï
= +
í
ï
= - +
ỵ
và d
2
:
2 4 1
3 1 2
x y z
- - -
= =
- -

Viết pt đường vuông góc chung của d
1
và d

2
.
Bài 2: Cho 2 đường thẳng : d
1
:
1 2
x t
y t
z t
=
ì
ï
= - +
í
ï
=
ỵ
và d
2
:
1 2
3
=
ì
ï
= -
í
ï
=
ỵ

x t
y t
z t

1/. Chứng minh :
1 2
d d
^
và d
1
chéo d
2
.
2/. Viết pt đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.