Van de gia tri tuyet doi trong truong PT

trờng đại học s phạm hà nội
khoa toán tin
====***===
đề tài nghiệp vụ s phạm
một số vấn đề về giá trị tuyệt đối trong
trờng thcs

Giảng viên hớng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn.
Ngời thực hiện: Vũ Thị Hoa
Hải Dơng năm 2006
mục lục
A. những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt
đối
Trang
3
I: Các định nghĩa
II: Các tính chất
B. các dạng bài toán về giá trị tuyệt đối
trong chơng trình THCS
Chủ đề I: Giải phơng trình, hệ phơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lu ý
3
6
9
9

9
II. Bài tập điển hình
Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối

I. Kiến thức cần lu ý
II. Bài tập điển hình
Chủ đề III: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt
đối
I. Đồ thị hàm số y = f(
x
)
II. Đồ thị
y
= f(x)
III. Đồ thị y =
)(xf
IV. Đồ thị y =
( )
xf
V. Đồ thị
y
=
)(xf
Chủ đề IV: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lu ý
II. Bài tập điển hình
c. Đáp án
d. tài liệu tham khảo
e.kết luận
f. giáo án thực nghiệm
10
14
14

14
17
17
18
19
20
20
24
24
24
26
30
31
32
Phần I: Lời nói đầu
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm đợc phổ biến rộng rãi trong các
ngành khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật, Trong chơng trình Toán ở bậc
THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số đợc gặp nhiều lần,
xuyên suốt từ lớp 6 đến lớp 9. ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với
khái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinh
nắm đợc cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên và bớc đầu
hiểu ý nghĩa hình học của nó. Nhờ đó sách giáo khoa dần dần đa vào
các quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ. ở lớp 8, tuy không có
trong chơng trình giảng dạy song bài: " Giải phơng trình có chứa dấu
giá trị tuyệt đối" đợc rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đầy
đủ cho học sinh nhất là các học sinh khá giỏi. Đến lớp 9, khi xét các
tính chất của căn thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có
2
thêm ứng dụng mới( đa một thừa số ra ngoài căn, đa một thừa số
vào trong căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, )

Giá trị tuyệt đối là một khái niệm trừu tợng và quan trọng vì nó
đợc sử dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở THCS cũng nh THPT
và Đại Học, Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nền
tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao
hơn ở các bậc học sau.
Trớc nhu cầu nâng cao kiến thức của bản thân cũng nh nâng cao
kiến thức cho ngời dạy cũng nh ngời học về khái niệm " Giá trị tuyệt
đối", chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Giá trị tuyệt đối trong trờng
THCS".
Tôi mong rằng đề tài này của tôi sẽ giúp cho giáo viên cũng nh học
sinh trong quá trình giảng dạy và học tập của mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn GS. TS Tống Trần Hoàn đã hớng dẫn và
giúp đỡ tôi hoàn thành tốt đề tài này !
Vì hoàn thành trong một thời gian ngắn nên đề tài còn nhiều hạn
chế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận đợc sự quan tâm, đóng góp ý kiến
của thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
A. nhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối
I. Các định nghĩa
1. 1. Định nghĩa 1
Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ
f: R R
+
a a
với mỗi giá trị a

R có một và chỉ một giá trị f(a) = a

R
+
1.2. Định nghĩa 2

Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu
a
là:
a nếu a

0

a
=
-a nếu a < 0
Ví dụ1:
1515
=

3232
=

00
=

11 =

1717 =
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A(x), kí hiệu
)(xA
là:
A(x) nếu A(x)

0

)(xA
=
-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:
3
2x - 1 nếu 2x- 1

0 2x - 1 nếu
2
1
x
12

x
= =
-(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0 1 - 2x nếu x <
2
1
1.3. Định nghĩa 3:
Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là
a
, là số đo( theo đơn
vị dài đợc dùng để lập trục số) của khoảng cách từ điểm a đến điểm
gốc 0 trên trục số ( hình 1).
Hình 1
Ví dụ 1:

a
= 3

=
3
3
a
Do đó đẳng thức đã cho đợc nghiệm đúng bởi hai số tơng ứng với
hai điểm trên trục số ( hình 2)
Hình 2
Tổng quát:




=



>
=
b
b
a
b
ba
0

;




==
b
b
aba
Ví dụ 2:
a

3 nếu a

0 0

a

3

a

3





-3

a

3
-a

3 nếu a < 0 -3

a < 0
Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn
[ ]
3;3

và trên trục sôd thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của
đoạn
[ ]
3;3

( hình 3)
Hình 3
Ví dụ 3:
a

3 nếu a

0 a

3 nếu a

0
a

3





3

a hoặc a

3
-a

3 nếu a < 0 a

-3 v nếu a < 0
Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai
nửa đoạn (-

; 3] và [3; +

) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi
hai nửa đoạn tơng ứng với các khoảng số đó. (hình 4)
4
-a
0 a
-a a
-3
0 3

-3
0 3
Hình 4
Tổng quát:






ba
ba
ba
bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a =
a
b) a <
a
c) a >
a
d)
a
= -a
e)
a


a
f)

a
+ a = 0
g)
bba
=+
Bài 2:Tìm các ví dụ chứng tỏ các khẳng định sau đây không đúng:
a)

a

Z


a
> 0
b)

a

Q


a
> a
c)

a, b

Z,
a

=
b

a = b
d)

a, b

Q,
a
>
b

a > b
Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng
a)
a
=
b

a = b
b) a > b


a
>
b
Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau,
sau đó biểu diễn các số tìm đợc lên trục số:
a)

a


1
b)
a


3
c)
a
- 6 = 5
d) 1 <
a


3
Bài 5:
a) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho
x
< 50
b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho
x
+
y
= 5
( Các cặp số nguyên (1, 2) và (2,1)là hai cặp khác nhau)
c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho
x
+

y
< 4
5
-3
0 3
II - một số tính chất về giá trị tuyệt đối
2.1. Tính chất 1:
a


0

a
2.2. Tính chất 2:
a
= 0

a = 0
2.3. Tính chất 3: -
a


a


a
2.4 Tính chất 4:
a
=
a

Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối ngời ta rễ thấy đợc các tính
chất 1, 2, 3, 4.
2.5. Tính chất 5:
baba
++
Thật vậy: -
a


a


a
; -
b

a


b

-(
a
+
b
)

a + b

a
+
b
2.6. Tính chất 6:
a
-
b


baba
+
Thật vậy:
a
=
bababbabba
++
(1)
babababababa
++=++=
)(
(2)
Từ (1) và (2)

đpcm.
2.7. Tính chất 7:

baba
Thật vậy:

baba
(1)

bababaababab == )()(
(2)







=
)( ba
ba
ba
(3)
Từ (1), (2) và (3)

baba

(4)

babababababa
++
)(
(5)
Từ (4) và (5)

đpcm.

2.8. Tính chất 8:

baba =
Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b

0 hay a

0, b= 0

baba =
(1)
6
a > 0 và b > 0


a
= a,
b
= b và a.b > 0

bababababa
===
(2)
a < 0 và b < 0


a
= -a,
b
= -b và a.b > 0

babababababa ))((
====
(3)
a > 0 và b < 0


a
= a,
b
= -b và a.b < 0

babababababa ).(
====
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4)

đpcm.
2.9. Tính chất 9:

)0( = b
b
a
b
a
Thật vậy: a = 0

00 ==
b
a

b
a
b
a
(1)
a > 0 và b > 0


a
= a,
b
= b và
b
a
b
a
b
a
b
a
==> 0
(2)
a < 0 và b < 0


a
= -a,
b
= -b và
b

a
b
a
b
a
b
a
b
a
=


==>
0
(3)
a > 0 và b < 0


a
= a,
b
= -b và
b
a
b
a
b
a
b
a

b
a
=

==<
0
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4)

đpcm.
bài tập tự luyện
Bài 6:
Điền vào chỗ trống các dấu
,
, = để khẳng đinh sau đúng

a, b
a)
ba +

a
+
b
b)
ba

a
-
b
với

a



b
c)
baba
7
d)
b
a
b
a
=
Bài 7:
Tìm các số a, b thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a + b =
a
+
b
b) a + b =
a
-
b
Bài 8:
Cho
3< ca
,
2<cb
Chứng minh rằng

5< ba
Bài 9:
Rút gọn biểu thức:
a)
a
+a
b)
a
- a
c)
a
.a
d)
a
: a
e)
32)1(3 + xx
f)
)14(32 xx
B. các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong ch-
ơng trình THCS
chủ đề i: giải phơng trình và hệ phơng trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý
1.1 A(x) nếu A(x)

0
)(xA
= ( A(x) là biểu thức đại số)
-A(x) nếu A(x) < 0

1.2. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a

0)
Nhị thức bậc nhất ax + b (a

0) sẽ:
+ Cùng dấu với a với các giá trị của nhị thức lớn hơn nghiệm của
nhị thức.
+ Trái dấu với a với các giá trị của nhị thức nhỏ hơn nghiệm của
nhị thức.
Giả sử x
0
là nghiệm của nhị thức ax + b khi đó:
8
+ Nhị thức cùng dấu với a

x > x
0
+ Nhị thức trái dấu với a

x < x
0
1.3. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c (a

0)
- Nếu

< 0, thì f(x) cùng dấu với a

x
- Nếu



0 thì:
+ f(x) cùng dấu với a

x nằm ngoài khoảng hai nghiệm
+ f(x) trái dấu với a

x nằm trong khoảng hai nghiệm
Hay
- Nếu

< 0

a.f(x) > 0

x
- Nếu



0

f(x) có hai nghiệm x
1

x
2
nếu x
1
< x < x
2


a.f(x) < 0
nếu x

x
1
hoặc x

x
2


a.f(x) > 0
Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu
biểu thức không âm) hoặc bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức
âm). Vì thế khi khử dấu giá tị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét
giá trị tuyệt đối của biến làm cho biểu thức dơng hay âm( dựa vào
định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc định lí về dấu của tam
thức bậc hai). Dấu của biểu thức thờng đợc viết trong bảng xét dấu.
II. các bài tập điển hình
2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) -

3x
Thật vậy:
+ Với ( x - 3)

0 hay x

3 thì
3x
= x - 3
+ Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì
3x
= -(x - 3) = 3 - x
ta xét hai trờng hợp ứng với hai khoảng của biến x
+ Nếu x

3 thì A = 2(3x - 1) -
3x
= 2(3x - 1) - (x - 3)
= 6x - 2 - x + 3
= 5x + 1
+ Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) -
3x
= 2(3x - 1) - (3 - x)
= 6x - 2 - 3 + x
= 7x - 5
2.2 Rút gọn biểu thức B =
1

x
-

5

x
Thật vậy
Với x-1

0 hay x

1thì
1

x
=x-1
Với x-1<0 hay x<1thì
1

x
= -(x-1)=1-x
Với x-5

0 hay x

5 thì
5

x
= x+5
Với x-5<0 hay x<5 thì
5

x
=-(x-5) =5-x
áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu
sau:
X 1 5
x-1 - 0 + +
x-5 - - 0 +
Từ bảng xét dấu ta xét ba trờng hợp ứng với ba khoảng của biến x
Nếu x<1 thì B =
1

x
-
5

x

=1-x-( 5-x)
9
=1-x-5+x
= - 4
Nếu 1

x<5 thì B =
1

x
-
5

x
=(x-1)-(5-x)
=x-1-5+x
=2x-6
Nếu x

5 thì B =
1

x
-
5

x
=(x-1)-(x-5)
=x-1-x+5 = 4
2.2 Rút gọn biểu thức B = /x
2
- 4x + 3/-5
Thật vậy: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x
2
4x + 3

f(x) có

' = 4 -3 = 1 > 0

x
1
= 1; x

2
= 3
Với 1 < x < 3

1.f(x) < 0

f(x) < 0
Với x

1 hoặc x

3

4f(x) > 0

f(x) > 0
Vậy ta xét hai trờng hợp ứng với ba khoảng của biến
Với 1 < x < 3 thì B = -(x
2
- 4x + 3) - 5
= - x
2
+ 4x - 3 - 5
= - x
2
+ 4x - 8
Với x

1 hoặc x

3 thì B = ( x
2
- 4x + 3) - 5
= x
2
- 4x + 3 - 5
= x
2
- 4x - 2
2.3. Giải phơng trình
1321 +=+ xxx
Thật vậy:
áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất và lập bảng, ta xét 3 tr-
ờng hợp ứng với 3 khoảng.
+ Nếu x < 1 ta đợc phơng trình: 1 - x + 2 - x = 3x + 1

3 - 2x = 3x + 1

5x = 2

x = 2/5 < 1 ( là nghiệm)
+ Nếu 1

x < 2 ta đợc phơng trình: x -1 + ( 2 - x) = 3x + 1

x = 0

[1, 2] ( không là nghiệm)
+ Nếu x

2 ta đựoc phơng trình: x - 1 + x - 2 = 3x + 1

x = - 4 < 2 ( không là nghiệm)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2/5
2.4. Giải phơng trình
512 =x
Thật vậy:
áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
512
=
x





=
=
)2(512
)1(512
x
x
Giải 1:




=
=
==

)'2(62
)'1(62
62512
x
x
xx
Giải 1':
8862 === xxx
( là nghiệm)
Giải 2':
== 462 xx
x không có giá trị
Giải 2:
42512 == xx
( không có nghĩa)
10
Vậy phơng trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8
2.5 Giải hệ phơng trình





=+
=
32
1
yyx
yx
Thật vậy:

Phơng trình thứ nhất đa đến tập hợp hai phơng trình:



=
=
1
1
yx
yx
hay



+=
=
)2(1
)1(1
xy
xy
Việc phân tích phơng trình thứ hai đa đến tập hợp 4 phơng trình
theo các khoảng xác định.
Theo dạng của phơng trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là
1

x

3 và
32 y
, từ đó - 2

x

4 và -1

y

5
Với - 2

x

1 ta có:
Với -1

y

2, 1 - x + 2 - y = 3 hay là x + y = 0 (I)
Với 2

y

5, 1 - x + y - 2 = 3 hay là y - x = 4 (II)
Với 1

x

4 ta có :
Với -1

y

2, x -1 + 2 - y = 3 hay là x - y = 2 (III)
Với 2

y

5, x -1 + y - 2 = 3 hay là x + y = 6 (IV)
Giải 8 hệ phơng trình bậc nhất:
Hệ (1; I)
2
1
;
2
1
0
1
==



=+
=
yx
yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác
định.
Hệ (1; II)

=
=
4
1
xy
yx
không có nghiệm
Hệ (1; III)



=
=
2
1
yx
yx
không có nghiệm
Hệ (1; IV)
2
5
;
2
7
6
1
==

=+
=
yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng
xác định.
Hệ (2; I)
2
1
;
2
1
0
1
==



=+
=
yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác
định.
Hệ (2; II)

=
=
4
1
xy
yx
không có nghiệm
Hệ (2; III)



=
=
2
1
yx
yx
không có nghiệm
Hệ (2; IV)
2
7
;
2
5
6
1
==

=+
=
yx
yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng
xác định.
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
x
1
= 1/2; y
1
= -1/2 x
2
= 7/2; y
2
= 5/2
x
3
= -1/2; y
3
= 1/2 x
4
= 5/2; y
4
= 7/2
Bài tập luyện tập
11

Bài 10: Tìm x trong các biểu thức
a)
532 =x
b)
735 = xx
c)
131 =+ xx
d)
121 =+ xx
e)
3212 += xx
f)
0121 =+ xxx
g)
133 =+ xxx
h)
321 =+ xx
Bài 11: Tìm x trong các biểu thức
a)
211 =x
b)
2
)3(3 = xx
c)
211 =+= xx
d)
422 =+++ xxx
e)
132 =+x
f)

2323
22
=+ xxxx
g)
2
1 xx =
h)
023214 =+ xxx
Bài 12: với giá trị nào của a, b ta có đẳng thức:
)2()2( baba =
Bài 13: Tìm các số a, b sao cho:
baba =+
Bài 14: Giải các hệ phơng trình sau
a)





=+
=+
3
2
yx
yx
b)

=+
=
4
2
yx
yx
c)





=
=++
072
0953
yx
yx
d)





=+
=+++
531
413
yx

yx
Bài 15: Giải phơng tình sau:
321
22
=++ xxxx
Bài 16: Tìm x
aaxax 322 =+
( a là hằng số)
chủ đề II: giải bất phơng trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý
1.1. Các phép biến đổi bất đẳng thức
a

b

a + c

b + c
a

b

a.c

b.c ( c > 0 )
a

b

a.c

b.c ( c < 0 )
1.2 Các dạng cơ bản của bất phơng trình
+Dạng 1:
axf )(


-a

f(x)

a a: số thực không âm
f(x): hàm số một đối số
12
+Dạng 2:
)(xf


a

f(x)

a hoặc f(x)

-a a: số thực không âm
f(x):hàm số một đối
số
+Dạng 3:
)(xf

g(x)






)()(
)()(
xgxf
xgxf
f(x), g(x): hàm số một đối số
+Dạng 4:
)(xf


g(x)

-g(x)

f(x)

g(x)
f(x), g(x): hàm số một đối số
+Dạng 5:
)(xf

)(xg


[f(x)]
2
= [g(x)]
2

f(x), g(x): hàm số một đối số
II. bài tập điển hình
2.1 Giải bất phơng trình:
752 x
Thật vậy:

752 x


-7

2x - 5

7

-2

2x

12

-1

x

6
2.2 Giải bất phơng trình:
1053 x
Thật vậy:

1053 x

3
5
5
53
153
1053
1053
x
x
x
x
x
x
Vậy x

5 hoặc x

-
3
5
2.3 Giải bất phơng trình:
122
2
xx
Thật vậy:
122
2

xx

1221
2
xx
x
2
-2x-2

1 và x
2
-2x-2

-1
Từ
032122
22

xxxx
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai

-1

x

3
Từ
012122
22

xxxx
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai





+

21
21
x
x
Kết hợp lại ta đợc các nghiệm của hệ là:

211 x

;
321 + x
2.4 Giải bất phơng trình:
1
2

+
x
x
2
Thật vậy:TXĐ:
1

x
13
Cách 1:
1
2

+
x
x
2








+


+

2
1
2
2
1
2

x
x
x
x
+ Với
2
1
2


+
x
x



410
1
4
02
1
2





+
x
x

x
x
x
+ Với
2
1
2
<

+
x
x



100
1
3
02
1
2
<<<

<+

+
x
x
x
x

x
Vậy bất phơng trình có ngiệm: 1

x

4; 0 < x < 1
Cách 2:
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

0122
1222
1
2
2
1
2
>+
>+>

+
>

+
xx
xx
x
x
x
x
áp dụng định lí và dấu của nhị thức, ta xét 3 trờng hợp:

+ Nếu x

-2 thì - x- 2 -2(1 - x) > 0

x > 4 > -2 ( không là
nghiệm)
+ Nếu -2

x < 1 thì x + 2 - 2(1 - x) > 0

3x > 0

x > 0
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 0 < x < 1
+ Nếu x > 1 thì x + 2 - 2(x - 1) > 0

x < 4
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 1 < x < 4
Vậy bất phơng trình có ngiệm: 1

x

4; 0 < x < 1
Cách 3 :
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:
1222
1
2
2
1

2
>+>

+
>

+
xx
x
x
x
x

(x + 2)
2
> 4(x - 1)
2

x
2
4x + 4 > 4(x
2
- 2x + 1)

3x
2
- 12x < 0

3x( x - 4) < 0

0 < x < 4
Kết hợp với TXĐ

1 < x < 4; 0 < x < 1
III Bài tập luyện tập
Bài 17: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
512 x
b)
9432 < xx
c)
732 x
d)
10523 >+ xx
Bài 18: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
423 <x
b)
123 +< xx
c)
513 >x
d)
11
3
++ xx
14
Bài 19: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
31 >+ xx
b)

321 +> xx
c)
851 >++ xx
d)
813 <++ xx
e)
02 xx
f)
07352 + xx
Bài 20: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
1
2
1
2
<
+

x
x
b)
2
1
52
2



x
x

c)
10313 <+++ xxx
d)
8741 <+++ xxx
e)
8152
2
<++ xx
f)
3352
2
+< xxx
Chủ đề III: đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
I. Đồ thị hàm số y = f(|x|)
1.1. Kiến thức cần lu ý:
Ta thấy f(
x
) = f(
x
) .Do đó hàm số y = f(
x
)là hàm chẵn nên đồ
thị của hàm số đối xứng qua trục Oy

Cách dựng :
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) đối với x > 0
- Dựng phần đò thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy
1.2 Ví dụ:
Dựng đồ thị hàm số y = 2|x| - 2
Thật vậy:

Đồ thị của hàm số y = 2x - 2
với x = 1


y = 0

(1, 0) thuộc đồ thị
với x = 0

y = -2

( 0, -2) thuộc đồ thị
15
O
-1
1
-2
y
x
Hình 6
Phần đồ thị in đậm( Hình 6) là đồ thị hàm số y = 2|x| - 2
II. đồ thị hàm số y = |f(x)|
2.1 Kiến thức càn lu ý
Nhận xét

f(x) với f(x)

0
y =
-f(x) với f(x) < 0

Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x)
- Phần đồ thị nằm ở dới mặt phẳng Ox nghĩa là ở đấy f(x) < 0

ta
dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua Ox.
* Chú ý: Đồ thị hàm số y = |f(x)| + k đợc xem nh đồ thị hàm số
y = |f(x)|tịnh tiến theo đờng thẳng đứng một đoạn bằn k ( k là số
thực)
2.2 Ví dụ:
Dựng đồ thị hàm số y = |x - 2|
Đồ thị hàm số y = x - 2
x = 0

y = -2

( 0, -2) thuộc đồ thị hàm số
x = 1

y = -1

(1, -1) thuộc đồ thị hàm số

Hình 7
Phần đồ thị in đậm ( hình 7) là đồ thị hàm số y = |x - 2|
III. đồ thị của hàm số y = |f(|x|)|
16
O

-1
-2
1
y
x
3.1 Kiến thức cần lu ý
Ta có: f(|x|) với f(|x|)

0
y = |f(|x|)|=
- f(|x|) với f(|x|) < 0

Cách dựng
a) Dựng đồ thị hàm số y = |f(|x|)|
+ Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với x > 0
+ Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần bên phải qua Oy
b) Phần đồ thị nằm ở mặt phẳng dới Ox nghiã là ở đấy f(|x|) < 0

ta dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua trục Ox.
( Hay biến đổi các phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng dới
nên nửa mặt phẳng trên đối xứng qua trục Ox)
3.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |1 - |x||
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = 1- x
x = 1

y = 0

( 1, 0 ) thuộc đồ thị hàm số
x = 0

y = 1

( 0, 1) thuộc đò thị hàm số
Đồ thị hàm số
y = 1 - x với x

0
a)
Đồ thị hàm số
y = 1 - |x|
b)
Hình 8
Đồ thịi hàm số
y = |1 - |x||
c)
Phần đồ thị in đậm trong phần b ( hình 8) là đồ thị hàm số
y = |1 - |x||
IV. Đồ thị của |y| = f(x) với f(x)

0
4.1 Kiến thức cần lu ý
Ta có: y =

f(x) với f(x)

0

Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với f(x)

0
( Phần đồ thị của hàm số y = f(x) phía trên trục hoành )
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đẫ thu đợc qua trục Ox.
4. 2 Ví dụ
Dựng đồ thị hàm số |y| =
1
1
2
x +
Thật vậy:
17
1
1
O
y
x
x
-1
1
O
y
x
-1
1
O
y
Đồ thị hàm số y =
1
1

2
x +
x = 0

y = 1

( 0; 1) thuộc đồ thị
x = -2

y = 0

( -2; 0) thuộc đồ thị
Hình 9
Phần đồ thị in đậm ( hình 9 ) là đồ thị hàm số |y| =
1
1
2
x +
V. Đồ thị của hàm số |y| = |f(x)|
5.1 Kiến thức cần lu ý:
Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có: y =

|f(x)|

Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y =|f(x)|( hoàn toàn nằm ở nửa mặt phẳng
trên)
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị thu đợc ở trên qua trục
Ox.
5.2 Ví dụ:

1. Dựng đồ thị hàm số |y| = |x - 3|
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = x - 3
x = 0

y = -3

( 0; -3) thuộc đồ thị
x = 3

y = 0

( 3; 0) thuộc đồ thị
Đồ thị hàm số
y = 1- x với

0
a)
Đồ thị hàm số
y = 1- |x|
b)
Hình 10
Đồ thị hàm số
y = |1- |x||
c)
Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 10) là đồ thị hàm số
|y| = |x - 3|
VI. mở rộng
Đối với mỗi dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối đều có một cách
dựng riêng tơng ứng với nó. Tuy nhiên trong thực tế có thể có các

hàm số giá trị tuyệt đối không chỉ ở một dạng nêu trên mà nó là sự
kết hợp của nhiều dạng khác nhau. Đối với trờng hợp này chúng ta
có thể dựng hàm số đó bằng cách kết hợp nhiều cách dựng nêu trên,
ngoài ra ta còn có thể dựng hàm số đó bằn cách dựng chung. Cách
dựng này có thể áp dụng cho tất cả các dạng đồ thị hàm số giá trị
tuyệt đối.
18
O
-1
-2
-1
O
x
y
3
O
x
y
3
O
x
y
3
Cách dựng chung
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét theo từng khoảng của biến
( xem chủ đề 1)
- Mỗi khoảng ta đều thu đợc một hàm tơng ứng

Dựng đồ thị theo
từng khoảng đang xét.

Ví dụ 1: Dựng đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3|
Thật vậy:
Xét theo từng khoảng của biến x ta thu đợc:

4 - 2x nếu x

1
y = 2 nếu 1

x

3
2x - 4 nếu x

3
Đồ thị hàm số
y = 4- 2x với x

1
a)
Đồ thị hàm số
y = 2 với 1

x

3
b)
Đồ thị hàm số
y = 2x - 4 với x

3
c)
Hình 11
Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 11) là đồ thị hàm số
y = |x - 1| + |x - 3|
Ví dụ 2. Dựng đồ thị hàm số y = ||x| - 2|
Thật vậy: -2 - x nếu x

-2
Với x

0, y = |-2 - x| =
x + 2 nếu x

-2
-2 - x nếu x

-2

y =
x + 2 nếu 0

x

-2
x - 2 nếu x

2
Với x

0, y = |x - 2| =
2 - x nếu x

2
x - 2 nếu x

2

y =
2 - x nếu 0

x

2
Việc dựng đồ thị đợc thực hiện trong 4 khoảng
-2 - x nếu x

-2
x + 2 nếu -2 < x

0
19
O 1
2
4
y
x
x
O 1
2

4
y
3
x
O 1
2
4
y
3
y =
2 - x nếu 0 < x

2
x - 2 nếu x > 2
ĐTHS y= -2 -x
x

-2
a)
ĐTHS y= x + 2
-2 < x

0
b)
ĐTHS y = 2 -
x
0 < x

2
c)

ĐTHS y = x -
2
x > 2
d)
Hình 12
Phần đồ thị in đậm trong phần d) (hình 12) là đồ thị hàm số:
y = ||x| - 2|
VIII.bài tập luyện tập
Bài 21. Dựng đồ thị của các hàm số
a) y =
1
2
3
x
b) y = 3 - 1.5|x| c) y = 1 - |x|
Bài 22. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 2|x - 3| b) y = |x + 2| + 1 c) Y = -|X - 1|
Bài 23. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) y = |2|x| - 3| b) y =
1
1
x

Bài 24. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) |y| = 1 - x b) |y - 1| = x c) |y| = x
2
+ 1
Bài 25. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) |y| = |x| b) |y - 2| = |x| c) |y - 1| = |x - 2|
chủ đề IV: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các

biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý:
Cho A, B là các biểu thức đại số.
1.1 |A|

0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 )
1.2 |A + B|

|A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B

0 )
1.3 |A - B|

|A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B

0 )
20
O
-2
y
x
O
-2
y
x
O
-2
y
x
2

O
-2
y
x
2
1.4 |A - B|

|A| - |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B

0 )
1.5 ||A| - |B||

|A + B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B

0 )
1.5 ||A| - |B||

|A - B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B

0 )
II. Các bài tập điển hình
2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2|3x - 1| - 4
Thật vậy:
Ta có: |3x - 1|

0

x

2|3x - 1|- 4

-4

x

GTNN của B = -4

3x - 1 = 0

x = 1/3
2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
6
3x
với x

Z
Thật vậy:
Xét |x| > 3

C > 0

|x| > 3
Xét |x| < 3 thì do x

Z

|x| = { 0; 1; 2}
Nếu |x| = 0

C = -2

Nếu |x| = 1

C = -3
Nếu |x| = 2

C = -6

GTNN của C = -6

|x| = 2

x =

2
2.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = |x - 2| + |x - 3|
Thật vậy:
Cách 1: áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và lập bảng
( chủ đề I), ta có:
* Xét x < 2 thì D = 2 - x + 3 - x = 5 - 2x
Do x < 2 nên -2x > -4

D > 1 (1)
* Xét 2

x

3 thì D = x - 2 + 3 - x = 1 (2)
* Xét x > 3 thì D = x - 2 + x - 3 = 2x - 5
Do x > 3 nên 2x > 6

D > 1 (3)
So sánh (1), (2), (3) ta đợc minD = 1

2

x

3
Cách 2:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x|

|x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1

(x - 2)(3 - x)

0

2

x

3
Cách 3:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|

| (x - 2) - (x - 3)|

|x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1

(x - 2)(3 - x)

0

2

x

3
2.4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E = ||x - 1|- |x - 5||
Thật vậy:
Cách 1:
Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5||

|(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = 4
Do đó max E = 4

(x - 1)(x + 5)

0

5

x hoặc x

1
Cách 2:
Ta có:
E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | 5 - x||

|x -1 +5 - x| = 4
Do đó max E = 4 khi (x - 1)(5 - x)

0

5

x hoặc x

1
III. bài tập luyện tập
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A = 5 - |2x - 1|
21
b) B =
1
2 3x +
c) C =
2x
x
+
với x

Z
Bài 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A = 2|3x - 2| - 1
b) B = x
2
+ 3|x - 2| - 1

c) C = |x + 2|+ |x + 3|
d) D = |2x - 1|+ | 2x + 4|
e) E = |x
2
- x - 1|+ |x
2
- x - 2|
f) F = (0,5x
2
+ x)
2
- 3|0,5x
2
+ x|
Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = ||x - 2|- |x + 3||
c. Đáp án
Bài 1:
a) a > 0; b) không tồn tại; c) d) a < 0; e) a > 0; f) a < 0; g) a =
-5; h) a = 0
Bài 2:
a) a = 0; b) a = 2; c) a = 1, b = -1; d) a = - 5, b = -2
Bài 3:
a) a, b cùng dấu hoặc cùng bằng 0
b) b = 0 hoặc a, b cùng dơng
Bài 4:
a) -1

a

1; b) a

3 hoặc a

-3; c) a =

11; d) -3

a < -1; 1 < a

3
Bài 5:
a) 99 số; b) 20 cặp số
Bài 6:
a)

; b)

; c) =; d) =
Bài 7:
a) Cách 1:
Xét hai trờng hợp:
Nếu b

0 thì a + b = |a| + b

a = |a|

a

0

Nếu b < 0 thì a + b = |a| - b

|a| - a = 2b

VT

0, VP < 0


đăng thức không xẩy ra

a

0, b

0 là các giá trị thoả mãn
Cách 2:
Ta có a

|a|, b

|b|. Do đó a + b = |a| + |b|

a

0, b

0
b) Tơng tự b

0, a

0 hoặc b < 0, a = -b
Bài 8: |a - b| = |(a + c) + (c - b)|

|a - c| + |c - b| = 3 + 2 = 5
Bài 9:
a) BT = 2a với a

0; BT = 0 với a < 0
22
b) BT = 0 víi a
≥
0, BT = -2a víi a < 0
c) BT = a
2
víi a
≥
0, BT = - a
2
víi a < 0
d) BT = 1 víi a > 0, BT = -1 víi a < 0
e) BT = x - 9 víi x
≥
- 3, BT = 5x + 3 víi x < - 3
f) BT = 2x + 5 víi x < 1/4, BT = -6x + 7 víi 1/4
≤
x < 3, BT = -2x - 5
víi x
≥

3
Bµi 10:
a) x
1
= 4, x
2
= -1; b) x = -1/2 c) x
1
= 5/2, x
2
= -2/3
d) x
1
= 1/2, x
2
= 3/2 e) x = 0 f) x = -1/2 g) 1
≤
x
≤
2 i) x
≥
2
Bµi 11:
a) x = 4 hoÆc x = - 2 b) 1
≤
x
≤
2 c) 2,3 vµ 4 d)
1 5
2

− ±
e) x
≥
1 f) -3/2 g) 0 h) 0 vµ 3/2 i) 2,0,-4 vµ -6 k)
-5,7,3,-1,1
Bµi 12:
a > 0 vµ b < 2 hoÆc a < 0 vµ b > 2
Bµi 13:
a = b = 0 hoÆc a > 0; b< 0 hoÆc a = -b
Bµi 14:
a)
1 1
; 2
2 2
 
−
 ÷
 
;
1 1
2 ;
2 2
 
−
 ÷
 
;
1 1
; 2
2 2

 
−
 ÷
 
;
1 1
2 ;
2 2
 
−
 ÷
 
b) (1; 3) ; (3 ; 1) ; (- 3; -1) ; (-1; -3)
c)
2
6
7
x =
;
4
5
7
y = −
d)
1 3
;
2 2
 
−
 ÷

 
;
1
3 ;3
2
 
−
 ÷
 
Bµi 15:
|A|
≥
-A, dÊu " = " xÈy ra
⇔
A
≤
0
⇔
x
2
- x - 2
≤
0
⇔
(x + 1)(x - 2)
≤
0
⇔
-1
≤

x
≤
2
Bµi 16:
NÕu a > 0 th× - a < 2a; XÐt trêng hîp x < -a, -a
≤
x
≤
2a, x
≥
2a ta ®-
îc c¸c nghiÖm x = -7a, x = a
NÕu a
≤
0 th× 2a < -a; XÐt c¸c trêng hîp x < 2a; 2a
≤
x
≤
-a, x > -a
th× ta ®îc nghiÖm x = -a
Bµi 17:
a) -2
≤
x
≤
3; b) x > -2; c)x
≤
-2; x
≥
5; d) x > 3/2

Bµi 18:
a)
3
2
2
x− < <
b)
3
4
2
x< <
c)
4
; 2
3
x x< − >
d) x
≤
0, x
≥
1
Bµi 19:
a) x < 1; b) x < -1; x > 7; c) -3 < x < 5 d) x
≤
1 e) 0
≤
x
≤
1
g)

2
5
x ≤
hoÆc x
≥
12
Bµi 20:
a)
1 13 1 13
2 2
x
− − − +
< <
; b)
1 15 1 15
2 2
x
− − − +
< <
c) - 3 < x <
2
3
3
23
d) v« nghiÖm e)
1 13 1 13x− − < < − +
f) 0
≤
x
≤

2 hoÆc x
≥
3 21
2
+

hoÆc x
≤

3 21
2
−
Bµi 21:
a b) c)
Bµi 22:
a
b) c)
Bµi 23:
a)
1 1
b)
Bµi 24:
24
x
y
-6
6
O
x
y

-2
2
O
x
y
-1
1
O
1
x
y
O
6
3
x
y
-2
O
3
x
y
-1
1
O
3
2
−
3
2
O

3
y
x
O
y
x
y
x
1
O
y
x
1
O
1
y
x
1
O
a) b) c)
Bài 25:
a) b) c)
Bài 26:
a) max A = 5

1
2
x =
b) max A =
1

3

2x =
c) Xét các trờng hợp

max C = 3 max A = 5

x = 1
Bài 27:
a) min A = -1

2
3
x
=
b) min B = -1

x = 0; y = 2
c) min C = 5

-2

x

3
d) min D = 5

1
2
2

x
e) min E = 3

-1

x

2
f) Đặt |0,5x
2
+ x| = y

min G = -9/4

y = 3/2

x
1
= 1; x
2
= -30
Bài 28: max H = 5

x

2 hoặc x

-3
d. tài liệu tham khảo
1. Giá trị tuyệt đối- I.I. GAIDUCOP- NXB Giáo dục - 1973

2. Một số vấn đề phát triển đại số 7- Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục -
1994
3. Toán nâng cao và chuyên đề đại số 7- Nguyện Ngọc Đạm - Vũ D-
ơng Thuỵ - NXB Giáo dục - 1997
4. Toán cơ bản và nâng cao đại số 7- Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục
1999
5. Toán Bồi dỡng học sinh lớp 7 - Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ
Quang Thiều NXB Hà nội - 1995
6. Một số vấn đề phát triển đại số 8 - Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục
1994
7. Toán nâng cao đại số 8- Vũ Hữu Bình- NXB Giáo dục 1999
25
x
O
y
x
y
O
y
O
x
2
1