Chuyên đề tỷ lệ thức

Chuyên đề I: Các bài toán về tỷ lệ thức
A.Kiến thức cơ bản
1. Học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ lệ
thức bằng nhau.
2. Bổ xung:
Nếu:
b
a
=
d
c
=
f
e
= K Thì
K
fKdKbK
eKcKaK
=
++
++


321
321
B.Các bài toán
Dạng 1:
Tìm thành phần cha biết của tỷ lệ thức (hoặc dẫy tỷ số bằng nhau).
Ví dụ 1: Tìm các số x,y,z biết.
5.x=8.y=20.z và x y - z=3.
**Có thể định hớng học sinh giải theo 3 cách

*Để tìm đợc 3 số x, y, z cần sử dụng tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ
số bằng nhau. Muốn vậy cần sử dụng giả thiết của bài toán, đi từ giả thiết của bài toán,
biến đổi để xuất hiện các tỷ lệ thức, các tỷ số bằng nhau.
Cách 1.
Vì 5x = 8y
8
x
=
5
y
(1)
8y = 20z
20
y
=
8
z

5
y
=
2
z
(2)
Từ (1) và (2)
8
x
=
5
y

=
2
z

*Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau biến đổi để sử dụng điều kiện còn lại của
bài toán.
Cách 2:
Vì 5.x = 8.y = 20.z

20
1
8
1
5
1
===
zyx
Cách 3:
5x=8y=20z
Cùng chia các tích trên cho BCNN ( 5, 8, 20 ) là 40 ta đợc.

40
20
40
8
40
5 zyx
==

8

x
=
5
y
=
2
z
=
Trong các cách giải trên:Cách 1 đơn giản, dễ hiểu nhng hơi dài.
Cách 2: Ngắn song bớc biến đổi tiếp theo lại phức tạp hơn ( Cộng 3 phân số khác mẫu)
Cách 3:Đối với học sinh khá, giỏi phù hợp hơn.
Ví dụ 2: Tìm x, y biết
1

x
yxyx
6
132
7
23
5
12 +
=

=
+
.
*Hớng dẫn học sinh nhận xét mối quan hệ các biểu thức trong 3 tỷ số từ đó có cách
làm hợp lý:
Một số bài toán:

Bài 1. Tìm 3 số x, y, z biết.

2
3
2
2
1
4
+
=

=
+ zyx
và x.y.z = 12
Bài 2. Tìm x, y biết.

53
2222
yxxy +
=

và x
10
.
y
10
= 1024
Bài 3. Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng hai
đợng cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là 5:7:8.
Dạng 2.

Chứng minh tỷ lệ thức.
Từ một tỷ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức đúng giữa hai tích. Học sinh nắm
vững phơng pháp chứng minh tỷ lệ thức, sau này có thể giải quyết tốt dạng toán chứng
minh đẳng thức ở các lớp trên. Do đó khi dạy về tỷ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi
hiểu và chứng minh đợc các tính chất của tỷ lệ thức và tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau.
Ví du 1: Cho tỷ lệ thức
d
c
b
a
=
1 Với a, b, c, d 0
Chứng minh rằng :
c
dc
a
ba
=

Giáo viên định hớng cho học sinh các cách chứng minh.
Cách 1. Dựa vào tính chất của tỷ lệ thức

d
c
b
a
=
a.d = b.c
Để có đợc tỷ lệ thức ( Điều cần chứng minh ) cần có hai tích bằng nhau. Ta biến
đổi tích thứ nhất để có kết quả bằng tích thứ hai.

Xét tích (a-b). c = a.c - b.c
= a.c - a.d
= a.(c-d) (Vì
d
c
b
a
=
a.d = b.c Đặt thừa số chung)
Vậy (a-b).c = a.(c-d)
c
dc
a
ba
=

.
Cách 2. Để chứng minh tỷ lệ thức ( Hai tỷ số bằng nhau ) ta chứng minh hai tỷ số
đó bằng tỷ số thứ 3.
2
Đặt
d
c
b
a
=
= K

=
=
Kdc
Kba
.
.
Nếu có:
K
K
Kb
Kb
Kb
bKb
a
ba 1
.
)1(
.
.
=

=

=

(1)

K
K
Kd

Kd
Kd
dKd
c
dc 1
.
)1(
.
.
=

=

=

(2)
Từ (1) và (2)
c
dc
a
ba
=

.
**GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức có thể biến đổi cả hai
vế để chúng có cùng một giá trị.
Cách 3. Vì
d
c
b

a
=

c
d
a
b
=
1-
c
d
a
b
= 1

c
dc
a
ba
=

*Hớng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, cho học sinh nhận
xét các cách giải. Giáo viên chốt lại cách nào hay vận dụng và giải quyết đợc nhiều bài
toán nhất. Tuỳ theo từng bài mà có cách giải hợp lý.
Ví dụ 2. Cho
d
c
b
a
=

( c
d
5
3
).
CMR:
dc
ba
dc
ba
35
35
35
35


=
+
+
.
Cách 1. Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau.
Cách 2. Chứng minh 2 tỷ số có cùng giá trị.
Đặt
d
c
b
a
=
= K. Khi đó cả hai tỷ số cùng bằng
d

b
.
Các bài toán:
Bài 1. Cho b
2
= a.c. Chứng minh rằng.
c
a
cb
ba
=
+
+
22
22
.
Bài 2. Cho
d
c
b
a
=
1 và c 0
CM rằng:
dc
ba
dc
ba
.
.

2
=








.
Bài 3 CM rằng nếu ta có dẫy tỷ số bằng nhau.

2006
2005
4
3
3
2
2
1

a
a
a
a
a
a
a
a

====
Thì có thể suy ra đợc biểu thức.
3

2005
2006432
2005321
2006
1










++++
++++
=
aaaa
aaaa
a
a
.
Dạng 3.
Tính giá trị của biểu thức.
Ví dụ 1: Cho bốn số a, b, c, d; Sao cho a + b + c + d 0

Biết
K
d
cba
c
bad
b
adc
a
dcb
=
++
=
++
=
++
=
++
Tính giá trị của K.
Cách 1. áp dụng tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau ta đợc.

K
dcba
dcba
=
+++
+++ )(3
K = 3
Cách 2. Cộng thêm 1 vào mỗi tỷ số a = b = c = d
K=3

Các bài toán:
Bài 1: Biết
4
,,,
===
c
c
b
b
a
a
Và a
,
+ 3b
,
- 2c
,
0
Tính giá trị của biểu thức P =
,,,
23
23
cba
cba
+
+
Bài 2. Cho M =
zyx
zyx
32

32
+
+
.
Tính giá trị của M biết các số x, y, z tỷ lệ với 5; 4; 3.
Bài 3. Cho các số A, B, C tỷ lệ với các số a, b, c.
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức. Q =
cbyax
CyBxA
++
++

Không phụ thuộc vào giá trị của x,y.

Chuyên đề II: Phơng pháp tam giác bằng nhau
Đối với học sinh lớp 7 bớc đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học. Chứng
minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau. Cách làm thông thờng cũng là cách làm đợc
coi là cơ bản đó là: Gắn vào các tam giác, chứng minh các tam giác chứa các yếu tố cần
chứng minh đó bằng nhau. Các tam giác đó có thể là các tam giác có sẵn hoặc phải tạo ra
bằng cách vẽ thêm đờng phụ. Đờng phụ có thể là đoạn thẳng nối hai trung điểm, hạ đờng
vuông góc, song song,vẽ tia phân giác
Ví du1: Cho ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A
là ABE và ACF.
4
a.CM rằng BF = CE và BF CE
b.Gọi M là trung điểm của BC
CM rằng AM =
2
1
EF

Câu a. GV hớng dẫn học sinh những định hớng ban đầu.
Thờng đặt hệ thống câu hỏi theo sơ đồ phân tích đi lên.
Giúp học sinh thấy đợc mối liên hệ giữa kết luận và
giả thiết của bài toán. Những câu hỏi đó học sinh đợc rèn,
tập dợt nhiều lần. Sau này đó chính là những suy nghĩ, t duy
của học sinh khi làm toán.
Sơ đồ phân tích đi lên:
BE = CE
ABF = AEC
AB = AE BAF = EAC AF = AC
(gt) ( = 90
o
+ BAC) (gt)
Câu b: Học sinh vẽ tách riêng hình, định hớng cho học sinh cách chứng minh thờng là 2
cách:
Cách 1: Gấp đôi đoạn thẳng nhỏ đợc đoạn thẳng mới. CM đoạn đó bằng đoạn thẳng
lớn.
Cách 2: Chia đôi đoạn thẳng lớn.
CM một nửa của nó bằng đoạn thẳng nhỏ
Với bài toán làm theo cách 1 ( Hình vẽ )
Khai thác bài toán:
1. Vẽ thêm đờng cao AH của ABC ( H BC ). Chứng minh đờng thẳng AH đi
qua trung điểm EF.
2. Gọi I, K lần lợt là trung điểm của BE, CF. Tính các góc của MIK.
5
Các bài toán:
Bài 1: Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên
cạnh AC lấy điểm F sao cho EMF = 90
o
. Chứng minh AE = AC.

Bài 2: Cho ABC có đờng cao AH và đờng trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc
bằng nhau. Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho AE = AH
a. CM rằng ME =
4
1
BC
b. Tính các góc của EMC
c. Biết AB = 4cm. Tính AC.
Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi H, G, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm
các đờng trung trực của tam giác đó. Chứng minh.
a. AH bằng hai lần khoảng cách từ O đến BC.
b. Ba điểm H, G, O thẳng hàng.
Chuyên đề III. Phơng pháp tam giác đều
*Phơng pháp tam giác đều thể hiện một cách vẽ hình phụ nhằm tạo thêm trong hình
vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau. Giúp cho việc giải bài toán đợc thuận lợi.
Nhất là dạng toán tính số đo của góc.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân ở A, A = 80
o
.Gọi O là một điểm ở trong tam
giác sao cho OBC = 30
o
, OCB=10
0
. Tính COA.
*Hớng dẫn học sinh dựa vào mối quan hệ góc.
ABC cân tại A, A=80
0
B = C = 50
0
*Liên quan đến góc của tam giác đều.

50
0
+ 10
0
= 60
0

Vậy để dựng tam giác đều: Nh hình vẽ
Nối D với A : CBO = CDA (c.g.c)
CA=CO.
*Giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ góc cần tìm số đo thờng là góc đặc
biệt hoặc góc đợc gắn vào tam giác đặc biệt ( Cân, Vuông cân, một nửa đều)
hoặc gắn vào tam giác đã biết đợc số đo các góc của nó.
Các bài toán.
Bài 1. Cho ABC cân tại A, A=100
0
. Gọi O là một điểm trên tia phân giác của C
Sao cho CBO = 30
0
. Tính CAO
Bài 2. Cho ABC Cân tại A, A=100
0
.Trên tia AC lấy điểm D Sao cho AD = BC
6
TÝnh ∠ CBD
Bµi 3. Cho ABC C©n t¹i A, ∠A=80
0
.Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm I sao cho ∠BAI =50
0

Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm K sao cho ∠ABK=30
0
. Hai ®o¹n th¼ng AI vµ BK c¾t nhau t¹i H :
CM r»ng  HIK C©n.
7