Chuyên đề: Tỉ lệ thức

Chuyên đề: Tỉ lệ thức
i. l ý THUYếT
1. Định nghĩa tỉ lệ thức:
d
c
b
a
=
với b, d

0 gọi là một tỉ lệ thức
2. Tính chất của tỉ lệ thức :
d
c
b
a
=


ad = bc với a,b,c,d

0
3. Tính chất của dãy ti số bằng nhau:
...
=


=
+
+
==

db
ca
db
ca
d
c
b
a
( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa )
4. Mở rộng:
+
....
=
+
+
=


=
++
++
===
tgndmb
tencma
gdb
eca
gdb
eca
g
e

d
c
b
a
+
( )
( )
....
22
22
2
2
2
2
2
2
=


=
+
+
====
db
ca
db
ca
bd
ac
d

c
b
a
d
c
b
a
+
....
33
33
3
3
3
3
3
3
=
+
+
======
ndmb
ncma
bdg
ace
g
e
d
c
b

a
g
e
d
c
b
a
( Với giả thiết các tỉ số dều có nghĩa )
GV gợi ý cho HS chứng minh các tính chất này
5. Chú ý:
Các số a,b,c tỉ lệ với các số x,y,z khi và chỉ khi
z
c
y
b
x
a
==
hoặc a:b:c = x:y:z
II. Một số dạng toán:
1. Dạng 1: Lập tỉ lệ thức
VD
1
: Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức sau: 7.(-28)=(-49).4
HD: áp dụng tc của tỉ lệ thức ta đợc 4 tỉ lệ thức
VD
2
: Các số sau có lập thành tỉ lệ thức không: 0,9; -1,7; 4,25; -0,36
HD: Cách 1: Xét tích: (-0,36).4,25=0,9.(-1,7)(=-1,53) => Lập đợc tỉ lệ thức
Kinh nghiệm: So sánh tích của số có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất và số có giá trị

tuyệt đối lớn nhất với tích của 2 số còn lại
Cách 2: Xét thơng







=

=

5
2
25,4
7,1
9,0
36,0
=> Lập đợc tỉ lệ thức
Kinh nghiệm: So sánh thơng của 2 số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn với thơng của
2 số còn lại
2. Dạng 2: Tìm số hạng cha biết trong tỉ lệ thức
VD: Tìm x biết: a)
7
3
13
37
=
+

x
x
; b)
3
2
2
1
+

=
+

x
x
x
x
; c)
x
x
25
24
6
=
HD: a) Cách 1:
7
3
13
37
=

+

x
x
=> 7.(37-x)=3.(x+13) => Tìm đợc x
Cách 2:
7
3
13
37
=
+

x
x
=>
5
10
50
73
1337
7
13
3
37
==
+
++
=
+

=

xxxx
=> Tìm đợc x
Cách 3:
7
3
13
37
=
+

x
x
=> 1+
7
3
1
13
37
+=
+

x
x
=>
7
10
13
50

7
10
13
3713
=
+
=
+
++
xx
xx
=> Tìm đợc x
Với các cách làm tơng tự ta tính đợc x ở phần b và phần c
3. Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức
(Với giả thiết các tỉ số đa ra đều có nghĩa)
VD
1
: Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
. Chứng minh rằng: a)
dc
c
ba
a

=

b)
dc
dc
ba
ba
+

=
+

c)
22
2
22
2
811
37
811
37
dc
cdc
ba
aba

+
=

+
HD: a) Cách 1: Đặt

d
c
b
a
=
=k với k

0 => a=kb; c=kd. Ta tính
ba
a

theo k và
dc
c

theo k rồi suy ra đpcm
Cách 2:
d
c
b
a
=
=>
dc
ba
d
b
c
a

==
=> đpcm
Cách 3:
d
c
b
a
=
=>
c
dc
a
ba
c
d
a
b
c
d
a
b

=

==
11
=> đpcm
b) Với các cách làm tơng tự nh phần a
c) Cách 1: Nh cách 1 ở phần a

Cách 2:
d
c
b
a
=
=>
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
11
3
3
8
8
7
7
c
a
cd
ab
d

b
c
a
cd
ab
d
b
c
a
d
b
c
a
=======
=> đpcm
Kinh nghiệm: Với cách 1 ta sẽ giải đợc tất cả các bài toán nh VD1
VD2: Cho a+c=2b và 2bd=c(b+d) . Chứng minh 4 số a,b,c,d lập đợc tỉ lệ thức
HD: Từ a+c=2b => d(a+c)=2bd
=> d(a+c)=c(b+d) => ad=bc => đpcm
VD3: Cho
cd
ab
dc
ba
=
+
+
22
22
CMR:

d
c
b
a
=
hoặc
c
d
b
a
=
HD:
cd
ab
dc
ba
=
+
+
22
22
=
cddc
abba
cddc
abba
cd
ab
2
2

2
2
2
2
22
22
22
22
+
+
=
++
++
=
=>
dc
ba
dc
ba
dc
ba
dc
ba


=
+
+

=






+
+
22
Khi
dc
ba
dc
ba


=
+
+
biến đổi ta đợc
d
c

b
a
=
Khi
dc
ba
dc
ba


=
+
+
biến đổi ta đợc
c
d
b
a
=
4) Dạng 4: Tìm số hạng cha biết thoả mãn điều kiện cho trớc
VD: Tìm x,y,z biết:
a)
53
yx
=
và x+y=16
b)
53
yx
=

và xy=90
c)
352

==
zyx
và 3x+y-2z=34
d) x:y:z=2:5:(-3) và xyz=-120
e) x:y:z=2:5:(-3) và x
2
-y
2
+2z
2
=78
f) 3x=5y; 7y=2z và 2x-3y+z=46
g) 5x=8y=20z và y
2
-z
2
=42
HD: Cách 1: Cách làm chung đối với các bài tập dạng này là:
Đặt điều kiện thứ nhất là k (k

0).
Rút x,y,z theo k
Thay x,y,z vào điều kiện thứ 2 để tìm k
Thay k trở lại điều kiện 1 ta tìm đợc x,y,z
Cụ thể: a) Gọi
53

yx
=
=k (k

0) => x=3k, y=5k => x+y=8k=16
=> k=2 => x=6 và y=10
Tuy nhiên ở phần d),e),f),g) ta phải biến đổi điều kiện 1 về dạng nh phần c)
Cách 2: a) HS dễ dàng làm đợc
b) HS dễ mắc sai lầm là áp dụng
53
yx
=
=
15
90
5.3
=
xy
=6 => x,y...
GV cần lu ý để HS không phạm sai lầm đó
53
yx
=
=>
6
15
90
5.3259
22
====

xyyx
=> x
2
=54 => x=
54

y
2
=150 => y=
150

=> (x;y) = (
150;54
);(-
150;54

)
c) HS làm đợc
d) x:y:z=2:5:(-3) và xyz=-120
Từ x:y:z=2:5:(-3) =>
352

==
zyx
=>
4
30
120
)3.(5.2271258
333

=


=

=

==
xyzzyx
. Từ đó tìm đợc x
3
,y
3
,z
3
rồi suy ra x,y,z
( Cần nhấn mạnh để HS không mắc sai lầm nh ở phần b)
e) x:y:z=2:5:(-3) và x
2
-y
2
+2z
2
=78
Từ x:y:z=2:5:(-3) =>
352

==
zyx
=>

26
3
78
9.2254
2
9254
2222222
=

=
+
+
===
zyxzyx
=> Không có giá trị của x,y,z thoả mãn đầu bài
f) 3x=5y; 7y=2z và 2x-3y+z=46
3x=5y =>
61035
yxyx
==
7y=2z =>
21672
zyzy
==
=>
21610
zyx
==
kết hợp với 2x-3y+z=46 tìm đợc x,y,z
g) 5x=8y=20z và y

2
-z
2
=42
Từ 5x=8y=20z =>
25840
20
40
8
40
5 zyxzyx
====
=
=>
2
21
42
42542564
22222
==


===
zyzyx
. Tìm đợc x,y,z
5. Dạng 5: áp dụng vào giải toán
VD1: Chia một số M thành 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ
với 5 và 6, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 8và 9, phần thứ ba hơn phần thứ
hai là 150. Tìm số M
HD: Gọi mỗi phần lần lợt là x,y,z (x,y,z > 0)

Theo bài ta có:
98
,
65
zyyx
==
và z - y=150
Theo dạng 4 tìm đợc x,y,z
VD2: Tìm ba số tự nhiên, biết rằng BCNN của chúng là 3150. Tỉ số của số thứ
nhất và số thứ hai là 5:9, tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10:7
HD: Gọi mỗi số lần lợt là a,b,c ( a,b,c

N
*
)
Ta có: BCNN(a,b,c)=3150,
9
5
=
b
a
và
7
10
=
c
a
Từ
9
5

=
b
a
và
7
10
=
c
a
=>
k
cba
===
71810
(k > 0)
=> a=10k, b=18k, c=7k => BCNN(10k,18k,7k)=3150 => 630k=3150 => k=5
=> Tìm đợc a,b,c
VD3: Ba lớp 7A,7B,7C có 144 HS. Nếu rút ở lớp 7A đi
4
1
số HS của lớp đó, rút
ở lớp 7B đi
7
1
số HS của lớp đó, rút ở lớp 7C đi
3
1
số HS của lớp đó thì số HS
của ba lớp bằng nhau. Tính só HS lúc đầu ở mỗi lớp
HD: Gọi số HS cần tìm là x,y,z (x,y,z

N
*
)
Ta có:
zzyyxx
3
1
7
1
4
1
==
và x+y+z=144
Từ
zzyyxx
3
1
7
1
4
1
==
=>
9783
2
7
6
4
3 zyx

zyx
====
kết hợp với x+y+z=144
tìm đợc x,y,z
6) Một số dạng toán khác
VD1: Cho 3 số a,b,c

0 thoả mãn
b
bac
a
acb
c
cba
+
=
+
=
+
.
Hãy tính giá trị của biểu thức: P=






+

+






+
a
c
c
b
b
a
111
HD: Xét 2 trờng hợp:
- Nếu a+b+c

0 ta có:

1=
++
++
=
+
=

+
=
+
cba
cba
b
bac
a
acb
c
cba
=> a+b=2c =>
b
c
b
a 2
1
=+
b+c=2a =>
c
a
c
b 2
1
=+
c+a=2b =>
a
b
a
c 2

1
=+
=> P=
8
2
.
2
.
2
=
a
b
c
a
b
c
( V× a,b,c
≠
0)
- NÕu a+b+c=0 => a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b
=> P=
1....
−=
−−−
=
+++
a
b
c
a

b
c
a
ca
c
cb
b
ba
VËy...
VD2: Cho
c
bxay
b
azcx
a
cybz
−
=
−
=
−
. Chøng minh:
z
c
y
b
x
a
==
HD: Tõ

c
bxay
b
azcx
a
cybz
−
=
−
=
−
=>
0
0
222222
=
++
=
−
=
−
=
−
cbac
bcxacy
b
abzbcx
a
acyabz