Định lý viét và những ứng dụng

Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

1
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) Ù a.1
2
+ b.1 + c = 0 Ù a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm
1
1x
=
và nghiệm còn lại là
2
c
x
a
=

b) Nếu cho
x = 1 thì ta có (*) Ù a.(−
−
1)
2
+ b(
−
1) + c = 0 Ù a
−
b + c = 0

Như vậy phương trình có một nghiệm là
1
1x
=
−
và nghiệm còn lại là
2
c
x
a
−
=

Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1)
(1) 2)
2
253xx++=0 0
2
3811xx
+
−= (2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
− b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x
=
−
và

2
3
2
x
−
=
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x
=
và
2
11
3
x
−
=
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
35 2.
2
37 2 0xx−+=
2
7 500 507 0xx
+
−=
3.
4.
2
49 50 0xx−−=

2
4321 21 4300 0xx
+
−=
2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số
của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
2
25xpx−+=0
0
0
b) Phương trình
có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
2
5xxq++=
c) Cho phương trình :
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
phương trình.
2
7xxq−+=
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình :
2
50 0xqx
−
+=, biết phương trình có 2 nghiệm và có
một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Bài giải:
a) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
1

2x =

9
44 50
4
pp−+=⇒=
T ừ suy ra
12
5xx =
2
1
55
2
x
x
==
b) Thay
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
1
5x =


25 25 0 50qq++=⇒=−
T ừ
suy ra
12
50xx =−
2
1
50 50

10
5
x
x
−−
===−
c) Vì vai trò của x
1
và x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử
12
11xx
−
=
và theo VI-ÉT ta có
12
7xx
+
=
, ta
giải hệ sau:

12 1
12 2
11 9
72
xx x
xx x
−= =

⎧⎧
⇔
⎨⎨
+= =−
⎩⎩
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

2
2
Suy ra

12
18qxx==−
d) Vì vai trò của x
1
và x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử
1
2
x
x
=
và theo VI-ÉT ta có
12
50xx
=
. Suy ra
2
222

22
2
5
250 5
5
x
xx
x
=−
⎡
=⇔=⇔
⎢
=
⎣

Với
th ì
2
5x =−
1
10x =−
Với
th ì
2
5x =
1
10x =
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
12

;
x
x

Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
1
3x =
2
2x =
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
vậy
12
12
5
6
Sxx
Pxx
=+=
⎧
⎨
==
⎩
12
;
x
x
là nghiệm của phương trình có dạng:


22

056xSxP x x−+=⇔−+=0
Bài tập áp dụng:
1. x
1
= 8 vµ x
2
= -3
2. x
1
= 3a vµ x
2
= a
3. x
1
= 36 vµ x
2
= -104
4. x
1
=
12+
vµ x
2
=
12−

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương
trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt
2

320xx−+=
12
;
x
x
. Không giải phương trình trên, hãy
lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
12
1
1
yx
x
=
+
và
21
2
1
yx
x
=
+

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
12
12 2 1 12 12
12 12 12
11 11 3
() () 3
22

xx
Syy x x xx xx
xx xx xx
⎛⎞
+
=+=+++=++ + =++ =+=
⎜⎟
⎝⎠
9

12 2 1 12
12 12
11 1 1
()() 11 211
22
Pyy x x xx
xx xx
= = + + = +++ = +++ =
9

Vậy phương trình cần lập có dạng:
2
0ySyP
−
+=
hay
22
99
02 99
22

yy yy 0
−
+=⇔ − +=
V í dụ: Gọi
12
;
x
x
là hai nghiệm của PT :
2
251xx 0
−
+= .Hãy lập phương trình bậc hai một ẩn y thoả mãn
1
1
2
1
x
y
x
=
+
;
2
2
1
1
x
y
x

=
+

Bài giải:
Áp dung viét ta có :
12
12
5
2
1
2
xx
xx
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩

Bài tập áp dụng:
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

3
0
1/ Cho phương trình
có 2 nghiệm phân biệt

2
356xx+−=
12
;
x
x
. Không giải phương trình, Hãy lập
phương trình bậc hai có các nghiệm
11
2
1
yx
x
=+
và
22
1
1
yx
x
=
+

(Đáp số:
2
51
0
62
yy+−= hay
2

653yy 0
+
−=)
2/ Cho phương trình :
có 2 nghiệm
2
51xx−−=0
12
;
x
x
. Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn
và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
4
1
yx=
1 2
0
4
2
yx=
(Đáp số :
)
2
727 1 0yy−+=
3/ Cho phương trình bậc hai:
có các nghiệm
22
2xxm−− =
12

;
x
x
. Hãy lập phương trình bậc hai có
các nghiệm
sao cho :
12
;yy
a)
và b)
11
3yx=−
22
3yx=−
11
2yx1
=
−
và
22
21yx=−
(Đáp số a)
b)
2
43yy m−+−=
2
0 0
22
2(4 3)yym
−

−−= )
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

(điều kiện để có hai số đó là S
2
0xSxP−+=
2

−
4P ≥ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =
−
3 và tích P = ab =
−
4
Vì a + b =
3 và ab = −4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : −
2
340xx
+
−=
giải phương trình trên ta được
và
1
1x =
2
4x
=
−

Vậy nếu a = 1 thì b =
4 −
nếu a =
−4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 và P = 2
2. S =
3 và P = 6 −
3. S = 9 và P = 20
4. S = 2x và P = x
2
y−
2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a
2
+ b
2
= 41
2. a
−b = 5 và ab = 36
3. a
2
+ b
2
= 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích
của a v à b.
T ừ x

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
1
2
2
4
9200
5
x
xx
x
=
⎡
−+=⇔
⎢
=
⎣

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c =
−b ta có : a + c = 5 và a.c =
−
36
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
5360

9
x
xx
x
=
−
⎡
−−=⇔
⎢
=
⎣

Do đó nếu a =
−4 thì c = 9 nên b =
−
9
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

4
nếu a = 9 thì c =
−
4 nên b = 4
Cách 2: Từ
()

() ()()
22 22
4 4 169ab ab ab ab ab ab−=+− ⇒+=−+ =

()
2
2
13
13
13
ab
ab
ab
+=−
⎡
⇒+ = ⇒
⎢
+=
⎣
*) Với
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
13ab+=−
1
2
2
4
13 36 0
9
x
xx
x
=
−
⎡

++=⇔
⎢
=
−
⎣

Vậy a =
thì b = 4−
9
−

*) Với
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
13ab+=
1
2
2
4
13 36 0
9
x
xx
x
=
⎡
−+=⇔
⎢
=
⎣

Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
T ừ: a
2
+ b
2
= 61
⇒+
()
2
22 2
112612.30121ab a b ab=++ =+ = =
11
11
ab
ab
+
=−
⎡
⇒
⎢
+=
⎣

*) Nếu
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:
11ab+=−
1
2
2

5
11 30 0
6
x
xx
x
=
−
⎡
++=⇔
⎢
=
−
⎣

Vậy nếu a =
thì b = ; nếu a =
5− 6− 6
−
thì b =
5
−

*) Nếu
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
11ab+=
1
2
2
5

11 30 0
6
x
xx
x
=
⎡
−+=⇔
⎢
=
⎣

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về
biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (
12
x
x
+
) và
12
x
x

Ví dụ 1 a)
22 2 2 2
1 2 1 12 2 12 1 2 12

(2 )2 ( )2
x
xxxxx xxxx xx+= + + − =+ −
b)
()
()
()()
2
33 2 2
1 2 121122 12 12 12
3
x
xxxxxxx xxxx xx
⎡
⎤
+= + − + = + + −
⎣
⎦

c)
(
)
2
2
44 22 22 22 22 2 2
12 1 2 12 12 12 12 1
() () 2 ( ) 2 2
2
2
x

xx x xx xx xx xx xx
⎡⎤
+= + = + − = + − −
⎣⎦

d)
12
12 12
11
x
x
x
xxx
+
+=

Ví dụ 2

12
?xx−=
Ta biết
()() ()
22 2
12 12 12 12 12 12
44
x
xxxxxxx xxx−=+− ⇒−=±+−x
2
2

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1.
2
1
x
x− (
()(
1212
)
x
xxx=− +=…….)
2.
3
1
3
2
x
x− ( =
()
()
()()
2
22
121 122 12 12 12
x
xxxxx xx xx xx
⎡
⎤
−++=− +−
⎣

⎦
=……. )
3.
4
1
4
2
x
x− ( =
(
)
(
)
2222
1212
x
xxx+− =…… )
4.
6
1
6
2
x
x+ ( =
(
)
(
)
23 23 2 2 4 2 2 4
1212112

() ()
2
x
x xxxxxx+=+ −+= …… )
Bài tập áp dụng
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

5
6
2
5.
6
1
x
x− 6.
5
1
5
2
x
x+ 7.
7
1
7
2
x
x
+
8.
12

11
11
xx
+
−−

2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính
2
8150xx−+=
1.
2
1
2
2
x
x+
(34) 2.
12
11
x
x
+

8
15
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

3.
12
21
x
x
x
x
+

34
15
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
4.
(
)
2
12
x
x+
(46)
b) Cho phương trình :
Không giải phương trình, hãy tính:
2
87264xx−+=0
1.
12

11
x
x
+

9
8
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
2.
2
1
2
2
x
x
+

(65)
c) Cho phương trình :
Không giải phương trình, hãy tính:
2
14 29 0xx−+=
1.
12
11
x
x
+

14
29
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
2
2
2.
2
1
x
x
+
(138)
d) Cho phương trình :
Không giải phương trình, hãy tính:
2
231xx−+=0
1.
12
11
x
x
+
(3) 2.
1
12

11
2
x
x
x
x
−
−
+
(1)
3.
2
1
2
2
x
x+ (1) 4.
12
21
11
x
x
xx
+
+
+

5
6
⎛⎞

⎜⎟
⎝⎠

e) Cho phương trình
2
43 8 0xx−+=
có 2 nghiệm x
1
; x
2
, không giải phương trình, tính

22
112
33
12 1 2
610 6
Q
55
2
x
xx x
xx x x
++
=
+

HD:
()
22 2 2

1122 12 12
33
2
2
12 1 2
12 1 2 12
610 6 6( )2
6.(4 3) 2.8 17
Q
55 8
5.8 (4 3) 2.8
52
xxxx xx xx
xx x x
xx x x xx
++ +−
−
== =
+
⎡⎤⎡
−
+−
⎣⎦
⎣⎦
0
=
⎤

V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI
NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm
x
1
và x
2
(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S =
x
1
+ x
2
v à P = x
1
x
2
theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo
x
1
và x
2
. Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
x
1
và x
2
.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
()

có 2 nghiệm
2
12 4mxmxm−−+−=0
12
;
x
x
. Lập hệ thức liên hệ
giữa
12
;
x
x
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm
x
1
và x
2
th ì :
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

6
2
1
1
10 1
4
'0 5 40
(1)(4)0

5
m
m
mm
m
m
mm m
≠
⎧
≠
−≠ ≠
⎧
⎧⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨ ⎨
≥−
≥
−− −≥
⎩⎩
⎩
⎪
⎩

⇔
≥

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

12 12

12 12
22
2(
11
43
1
11
m
xx xx
mm
m
xx xx
mm
⎧⎧
+= +=+
⎪⎪
⎪⎪
−−
⇔
⎨⎨
−
⎪⎪
==−
⎪⎪
−−
⎩⎩
1)
(2)

Rút

m từ (1) ta có :

12
12
22
21
12
xx m
mx
=+−⇔−=
−+x−
(3)
Rút
m từ (2) ta có :

12
12
33
11
11
xx m
mx
=− ⇔ −=
−−x
(4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

()( )()
12 12 12 12
12 12

23
21 3 2 3 2 8 0
21
xx xx xx xx
xx xx
=⇔−=+−⇔++−
+− −
=
Ví dụ 2: Gọi
12
;
x
x
là nghiệm của phương trình :
(
)
2
12 4mxmxm 0
−
−+−=
. Chứng minh rằng biểu thức
không phụ thuộc giá trị của m.
()
12 12
32Axx xx=++ −8
Để phương trình trên có 2 nghiệm
x
1
và x
2

th ì :

2
1
1
10 1
4
'0 5 40
(1)(4)0
5
m
m
mm
m
m
mm m
≠
⎧
≠
−≠ ≠
⎧
⎧⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨ ⎨
≥−
≥
−− −≥
⎩⎩
⎩

⎪
⎩

⇔
≥

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

12
12
2
1
4
.
1
m
xx
m
m
xx
m
⎧
+=
⎪
⎪
−
⎨
−
⎪
=

⎪
−
⎩
thay v ào A ta c ó:

()
12 12
246288(1)0
3283.2.8
11 1 1
mm mm m
Axx xx
mm m m
0
−
+−− −
=++ −= + −= = =
−− − −

Vậy A = 0 với mọi và
1m ≠
4
5
m ≥ . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất
các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

7
0
1. Cho phương trình :
có 2 nghiệm
()( )
2
221xm x m−+ + −=
12
;
x
x
. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
12
;
x
x

sao cho
12
;
x
x
độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
()( ) ()
22
2
2421 48 24mmmmm∆= + − − = − + = − + >0
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

x
1
và x
2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có

12
12
12
12
2(1)
2
1
.21
(2)
2
mx x
xx m
xx
xx m
m
=+−
⎧
+=+
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
+

=−
=
⎩
⎪
⎩

Từ (1) và (2) ta có:

()
12
12 12 12
1
22
2
xx
xx xx xx
+
+−= ⇔ + − −=50

2. Cho phương trình :
()
(
)
2
41 2 4xmxm+++−=0.
Tìm hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2

x
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2
nghiệm phân biệt
x
22
(4 1) 4.2( 4) 16 33 0mmm∆= + − − = + >
1
và x
2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có


12 12
12 12
(4 1) 4 ( ) 1(1)
. 2( 4) 4 2 16(2)
xx m m xx
xx m m xx
+=− + =−+ −
⎧⎧
⇔
⎨⎨
=− = +
⎩⎩
Từ (1) và (2) ta có:

1 2 12 12 1 2
()12162()17xx xx xx xx−+ −= +⇔ + + +=0

VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM
ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm
x
1
và x
2
(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
()
(
)
2
6193mx m x m−−+−=0
Tìm giá trị của tham số
m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
12 1
.
2
x
xxx+=

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x
1
và x
2
l à :
()
()
()
2
22
0
0
0
0
'9 2 1 9 270 '9 1 0
1
' 3 21 9( 3) 0
m
m
m
m
mm m m
m
mmm
≠
≠
⎧
⎧
≠

⎧
≠
⎧
⎪⎪ ⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
∆= − + − + ≥ ∆= − ≥
≥−
∆= − − − ≥⎡⎤
⎪
⎩
⎪
⎩
⎪
⎣⎦
⎩
⎩
⇔
⎨
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
12
12
6( 1)
9( 3)
m
xx
m
m
xx
m

−
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
−
⎪
=
⎪
⎩
v à t ừ gi ả thi ết:
12 12
x
xxx
+
=
. Suy ra:

6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7
mm
mm mm mm
mm
−−
=⇔−=−⇔−=−⇔=⇔=
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

8
(thoả mãn điều kiện xác định )

V
ậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
12 1
.
2
x
xxx+=

Ví dụ 2: Cho phương trình : .
()
22
21 2xmxm−+++=0
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
(
)
12 1 2
35 7xx x x 0

−
++=

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
1
&
2
x
x
là :
22
'(2 1) 4( 2)0mm∆= + − + ≥


22
44148mm m⇔++−−≥0

7
470
4
mm⇔−≥⇔≥

Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
và từ giả thiết
12
2
12
21
2
xx m

xx m
+= +
⎧
⎨
=+
⎩
(
)
12 1 2
35 7xx x x 0
−
++=
. Suy ra

2
2
2
3( 2) 5(2 1) 7 0
3610570
2( )
31080
4
()
3
mm
mm
mTM
mm
mKTM
+− ++=

⇔+−−+=
=
⎡
⎢
⇔−+=⇔
⎢
=
⎣

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
(
)
12 1 2
35 7xx x x 0
−
++=

Bài tập áp dụng

1. Cho phương trình :
()
2
24 7mx m x m+−++=0
Tìm m để 2 nghiệm

1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
12
20xx
−
=

2. Cho phương trình :

()
2
156xmxm+− +−=0
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức:
12
43xx1
+
=

3. Cho phương trình :
()

(
)
2
33231xmxm−−−+=0
.
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
12
35xx6
−
=

Hướng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm
12
x
x
+
và tích nghiệm
12
x
x
nên ta có thể vận
dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây
là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm
12
x
x+
và tích nghiệm
12
x
x
rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ:
16
0&
15
mm≠≤
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

9
-Theo VI-ÉT:
12
12
(4)
(1)
7
m
xx
m
m
xx
m

−−
⎧
+=
⎪
⎪
⎨
+
⎪
=
⎪
⎩

- Từ
Suy ra:
12
2xx−=0
2
12 2
2
12 1
12 1
3
2( ) 9
2( ) 3
xx x
x
xx
xx x
+=
⎧

⇒+=
⎨
+=
⎩
x (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:

2
12
127 128 0 1; 128mm mm+−=⇒==−
BT2: - ĐKXĐ:
2
22 25 0 11 96 11 96mm m∆= − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ +

- Theo VI-ÉT:

12
12
1
(1)
56
xx m
xx m
+=−
⎧
⎨
=−
⎩
- Từ :
. Suy ra: (2)

12
43xx+=1
]
1
[][
112
12 1 2 1 2
212
2
12 1 2 1 2
13( )
13().4()
4( ) 1
7( ) 12( ) 1
xxx
xx xx xx
xxx
xx x x x x
=− +
⎧
⇒=−+ +−
⎨
=+−
⎩
⇔=+− +−
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình :
0
12 ( 1) 0
1
m

mm
m
=
⎡
−=⇔
⎢
=
⎣
(thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì
với mọi số thực m nên phương
trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
22
(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0mmmmm∆= − + + = + + = + ≥
2
- -Theo VI-ÉT:
12
12
32
3
(1)
(3 1)
3
m
xx
m
xx
−
⎧
+=

⎪
⎪
⎨
−+
⎪
=
⎪
⎩

- Từ giả thiết:
. Suy ra: (2)
12
35xx−=6
][][
112
12 12 12
212
2
12 1 2 1 2
85( )6
64 5( ) 6 . 3( ) 6
83( )6
64 15( ) 12( ) 36
xxx
xx xx xx
xxx
xx xx xx
=++
⎧
⇒ = ++ +−

⎨
=+−
⎩
⇔=+−+−
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình:
0
(45 96) 0
32
15
m
mm
m
=
⎡
⎢
+=⇔
⎢
=
−
⎣
(thoả mãn )
VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình:
(a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
2
0ax bx c++=
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm
x

1
x
2
12
Sxx
=
+

12
Pxx
=
∆
Điều kiện chung
trái dấu
±

∓


P < 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P < 0.
cùng dấu,
±

±


P > 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0
cùng dương,

+ + S > 0
P > 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm
− −
S < 0
P > 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

10
0
có 2 nghiệm trái dấu.
()
22
231 6xmxmm−++−−=
Đ
ể phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

22
2
2
(3 1) 4.2.( 6) 0
0
(7)0
23
6
0
(3)(2)0

0
2
mmm
mm
m
mm
P
Pm m
P
⎧
∆= + − − − ≥
∆≥
⎧
∆= − ≥ ∀
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
−−
<
=− +<
=<
⎩
⎩
⎪
⎩
⇔−<<
3

Vậy với

thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
2m−< <
Bài tập tham khảo:
1. có 2 nghiệm cùng dấu.
()()
2
2232mx m x m−++−=0
0
0
2.
có 2 nghiệm âm.
()
2
3221mx m x m+++=
3.
()
có ít nhất một nghiệm không âm.
2
12mx xm−++=

VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

A
m
C
kB
+
⎡
=

⎢
−
⎣
(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*)
Thì ta thấy :
(v ì )
Cm≥ 0A ≥ min 0Cm A⇒=⇔=


C
(v ì )
k≤ 0B ≥ max 0Ck B⇒=⇔=

Ví dụ 1: Cho phương trình :
()
2
21xmxm+−−=0
Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :

22
12 1
6
2
A

xx xx=+− có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
Theo VI-ÉT:
12
12
(2 1)xx m
xx m
+=− −
⎧
⎨
=−
⎩
Theo đ
ề b ài :
()
2
22
1 2 12 1 2 12
68Ax x xx x x xx=+− = + −

(
)
2
2
2
218
4121
(2 3) 8 8
mm
mm

m
=−+
=−+
=−−≥−

Suy ra:
min 8 2 3 0Am=− ⇔ − =
hay
3
2
m
=

Ví dụ 2: Cho phương trình :
2
10xmxm−+−=
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

11
Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức sau:

()
12

22
12 12
23
21
xx
B
xx xx
+
=
++ +

Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
12
12
1
x
xm
xx m
+=
⎧
⎨
=−
⎩


()
12 12
22 2 2 2
12 12 12
23 23

2( 1) 3 2 1
21()222
xx xx
mm
B
xx xx xx m m
++
−
++
⇒= = = =
++ + + + + +

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:

()
()
2
22
22
221
1
1
22
mmm
m
B
mm
+− − +
−

==
++
−

Vì
()
()
2
2
2
1
10 0
2
m
mB
m
−
−≥⇒ ≥⇒≤
+
1

Vậy
ma
m = 1
x B=1 ⇔
Với cách thêm bớt khác ta lại có:

()()
()
()

222 2
2
22
2
111 1
21 44 2
2
1
222 2
22
22
mm m mm m
m
B
mm
m
++− ++− +
+
== =
++
+
2
−

Vì
()
()
()
2
2

2
2
1
20 0
2
22
m
mB
m
+
+≥⇒ ≥⇒≥−
+

Vậy
1
min 2
2
Bm=− ⇔ =−
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để
phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2
2
21
221
2
m
BBmmB
m
+

=⇔−+−
+
0=
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
Ta có:
2
1(21)12
B
BB∆= − − = − +B
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0
hay
(
)
(
)
22
210210211BB BB B B−++≥⇔ −−≤⇔ + −≤0

1
210
2
10 1
1
1
2
210 1
2
10
1
B

B
BB
B
B
B
B
B
⎡
⎧
≤−
⎪
⎢
⎡+≤
⎧
⎨
⎢
⎨
⎢
⎪
−≥ ≥
⎢
⎩⎩
⎢
⇔⇔⇔−≤
⎢
⎢
+≥
⎧⎧
⎢
≥−

⎢
⎪
⎨
⎢
⎨
−≤
⎢
⎩
⎣
⎢
⎪
≤
⎩
⎣
≤

Vậy:
ma
m = 1
x B=1 ⇔

1
min 2
2
Bm=− ⇔ =−
Bài tập áp dụng
Chuyên đề ứng dụng viét trong giải toán - GV:Trịnh Quang Hoà

12
1. Cho phương trình :

()
(
)
2
41 2 4xmxm+++−=0
.Tìm m để biểu thức
(
)
2
12
A
xx=−
có
giá trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trình . Tìm m sao cho nghiệm
2
2( 1) 3 0xmxm−−−−=
12
;
x
x
thỏa mãn điều
kiện
.
22
12
10xx+≥
3. Cho phương trình :
xác định m để phương trình có 2 nghiệm
22

2( 4) 8 0xmxm−−+−=
12
;
x
x
thỏa mãn
a)
12 1
3
2
A
xx xx=+−
đạt giá trị lớn nhất
b)
22
1212
B
xxxx=+− đạt giá trị nhỏ nhất
4. Cho phương trình :
. Với giá trị nào của m, biểu thức dạt giá
trị nhỏ nhất.
22
(1) 2xmxmm−−−+−=0
2
2
0
2
2
2
1

Cx x=+
5. Cho phương trình
. Xác định m để biểu thức
2
(1)xm m+++=
2
1
Ex x
=
+ đạt giá trị nhỏ nhất.