Các dạng bài tập về giới hạn

Trn S Tựng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 1



www.MATHVN.com

I. Gii hn ca dóy s


Gii hn hu hn Gii hn vụ cc
1. Gii hn c bit:

1
lim 0
n
n
đ+Ơ
=
;
1
lim 0 ( )
k
n
k
n
+
đ+Ơ
= ẻ
Â

lim 0 ( 1)
n
n
q q
đ+Ơ
= <
; lim
n
C C
đ+Ơ
=

2. nh lớ :
a) Nu lim u
n
= a, lim v
n
= b thỡ

ã
lim (u
n
+ v
n
) = a + b

ã
lim (u
n

v
n
) = a b

ã
lim (u
n
.v
n
) = a.b

ã
lim
n
n
u
a
v b
=
(nu b
ạ
0)
b) Nu u
n


0,
"
n v lim u
n

= a
thỡ a

0 v lim
n
u a
=
c) Nu
n n
u v
Ê
,
"
n v lim v
n
= 0
thỡ lim u
n
= 0
d) Nu lim u
n
= a thỡ lim
n
u a
=

3. Tng ca cp s nhõn lựi vụ hn
S = u
1
+ u

1
q + u
1
q
2
+ =
1
1
u
q
-

(
)
1
q
<

1. Gii hn c bit:
lim n
= +Ơ

lim ( )
k
n k
+
= +Ơ ẻ
Â

lim ( 1)

n
q q
= +Ơ >

2. nh lớ:
a) Nu lim
n
u
= +Ơ
thỡ
1
lim 0
n
u
=

b) Nu lim u
n
= a, lim v
n
=
Ơ
thỡ lim
n
n
u
v
= 0
c) Nu lim u
n

= a
ạ
0, lim v
n
= 0
thỡ lim
n
n
u
v
=
. 0
. 0
n
n
neỏu a v
neỏu a v
ỡ
+Ơ >
ớ
-Ơ <
ợ

d) Nu lim u
n
= +
Ơ
, lim v
n
= a

thỡ lim(u
n
.v
n
) =
0
0
neỏu a
neỏu a
ỡ
+Ơ >
ớ
-Ơ <
ợ


* Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ
nh:
0
0
,
Ơ
Ơ
,
Ơ

Ơ
, 0.
Ơ
thỡ phi tỡm cỏch kh

dng vụ nh.

Mt s phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s:

ã
Chia c t v mu cho lu tha cao nht ca n.
VD: a)
1
1
1 1
lim lim
3
2 3 2
2
n
n
n
n
+
+
= =
+
+
b)
2
1
1 3
3
lim lim 1
1

1 2
2
n n n
n
n
n
+ -
+ -
= =
-
-

c)
2 2
2
4 1
lim( 4 1) lim 1n n n
n
n
ổ ử
- + = - + = +Ơ
ỗ ữ
ố ứ


ã
Nhõn lng liờn hp: Dựng cỏc hng ng thc

(
)

(
)
(
)
(
)
3 3
2 2
3 3 3
;
a b a b a b a b a ab b a b
- + = - - + + = -

VD:
(
)
2
lim 3
n n n
- -
=
(
)
(
)
( )
2 2
2
3 3
lim

3
n n n n n n
n n n
- - - +
- +
=
2
3
lim
3
n
n n n
-
- +
=
3
2
-


ã
Dựng nh lớ kp: Nu
n n
u v
Ê
,
"
n v lim v
n
= 0 thỡ lim u

n
= 0
CHNG IV
GII HN
www.MATHVN.com Trn S Tựng
Trang 2 www.mathvn.com
VD: a) Tớnh
sin
lim
n
n
. Vỡ 0
Ê

sin 1
n
n n
Ê
v
1
lim 0
n
=
nờn
sin
lim 0
n
n
=

b) Tớnh
2
3sin 4cos
lim
2 1
n n
n
-
+
. Vỡ
2 2 2 2
3sin 4cos (3 4 )(sin cos ) 5
n n n n
- Ê + + =

nờn 0
Ê

2 2
3sin 4cos 5
2 1 2 1
n n
n n
-
Ê
+ +
.
M
2
5

lim 0
2 1
n
=
+
nờn
2
3sin 4cos
lim 0
2 1
n n
n
-
=
+


Khi tớnh cỏc gii hn dng phõn thc, ta chỳ ý mt s trng hp sau õy:

ã
Nu bc ca t nh hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng 0.

ã
Nu bc ca t bng bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng t s cỏc h s ca lu
tha cao nht ca t v ca mu.

ã
Nu bc ca t ln hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú l +
Ơ
nu h s cao nht

ca t v mu cựng du v kt qu l
Ơ
nu h s cao nht ca t v mu trỏi du.



Baứi 1: Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
2
2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
- +
+ +
b)
3 2
2 1
lim
4 3
n
n n
+
+ +
c)
3 2
3
3 2

lim
4
n n n
n
+ +
+

d)
4
2
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n
+ + +
e)
2
4
1
lim
2 1
n
n n
+
+ +
f)
4 2
3 2
2 3
lim

3 2 1
n n
n n
+ -
- +

Baứi 2: Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
1 3
lim
4 3
n
n
+
+
b)
1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
+
+
+
c)
1 2
4 6
lim
5 8

n n
n n
+ +
+
+

d)
1
2 5
lim
1 5
n n
n
+
+
+
e)
1 2.3 7
lim
5 2.7
n n
n n
+ -
+
f)
1
1 2.3 6
lim
2 (3 5)
n n

n n+
- +
-

Baứi 3: Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
+ + -
+ + +
b)
2
2
3 4
lim
2
n n
n n
+ - -
+ +
c)
3
2 6
4 2
1

lim
1
n n
n n
+ -
+ +

d)
2
2
4 1 2
lim
4 1
n n
n n n
+ +
+ + +
e)
(2 1)( 3)
lim
( 1)( 2)
n n n
n n
+ +
+ +
f)
2 2
2
4 4 1
lim

3 1
n n n
n n
- - +
+ +


Baứi 4: Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
1 1 1
lim
1.3 3.5 (2 1)(2 1)
n n
ổ ử
+ + +
ỗ ữ
- +
ố ứ
b)
1 1 1
lim
1.3 2.4 ( 2)
n n
ổ ử
+ + +
ỗ ữ
+
ố ứ

c)

2 2 2
1 1 1
lim 1 1 1
2 3
n
ổ ửổ ử ổ ử
- - -
ỗ ữỗ ữ ỗ ữ
ố ứố ứ ố ứ
d)
1 1 1
lim
1.2 2.3 ( 1)
n n
ổ ử
+ + +
ỗ ữ
+
ố ứ

e)
2
1 2
lim
3
n
n n
+ + +
+
f)

2
2
1 2 2 2
lim
1 3 3 3
n
n
+ + + +
+ + + +


Baứi 5: Tớnh cỏc gii hn sau:
Trn S Tùng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 3

a)
(
)
n n n
2
lim 2 1
+ - -
b)
(
)
n n n
2 2
lim 2
+ - +
c)

(
)
n n n
3
3
lim 2 1
- + -

d)
(
)
n n n
2 4
lim 1 3 1
+ - + +
e)
(
)
2
lim
n n n
- -
f)
2 2
1
lim
2 4
n n
+ - +

g)
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
+ - -
+ + -
h)
3
2 6
4 2
1
lim
1
n n
n n
+ -
+ -
i)
2 2
2
4 4 1
lim
3 1
n n n
n n
- - +

+ -

Baøi 6: Tính các gii hn sau:
a)
2
2
2cos
lim
1
n
n
+
b)
2
( 1) sin(3 )
lim
3 1
n
n n
n
- +
-
c)
2 2 cos
lim
3 1
n n
n
-
+

d)
6 2
2
3sin 5cos ( 1)
lim
1
n n
n
+ +
+
e)
2 3 2
2
3sin ( 2)
lim
2 3
n n
n
+ +
-
f)
2
3 2 2
lim
(3cos 2)
n n
n n
- +
+

Baøi 7: Cho dãy s (u
n
) vi u
n
=
2 2 2
1 1 1
1 1 1
2 3
n
æ öæ ö æ ö
- - -
ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø
è ø
, vi " n ³ 2.
a) Rút gn u
n
. b) Tìm lim u
n
.
Baøi 8: a) Chng minh:
1 1 1
1 ( 1) 1
n n n n n n
= -
+ + + +
("n Î N
*

).
b) Rút gn: u
n
=
1 1 1

1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1)
n n n n
+ + +
+ + + + +
.
c) Tìm lim u
n
.
Baøi 9: Cho dãy s (u
n
) đc xác đnh bi:
1
1
1
1
( 1)
2
n n
n
u
u u n
+
ì
=

ï
í
= + ³
ï
î
.
a) t v
n
= u
n+1
– u
n
. Tính v
1
+ v
2
+ … + v
n
theo n.
b) Tính u
n
theo n.
c) Tìm lim u
n
.
Baøi 10: Cho dãy s (u
n
) đc xác đnh bi:
1 2
2 1

0; 1
2 , ( 1)
n n n
u u
u u u n
+ +
ì
= =
í
= + ³
î

a) Chng minh rng: u
n+1
=
1
1
2
n
u
- +
, "n ³ 1.
b) t v
n
= u
n
–
2
3
. Tính v

n
theo n. T đó tìm lim u
n
.














II. Gii hn ca hàm s
www.MATHVN.com Trn S Tùng
Trang 4 www.mathvn.com

Gii hn hu hn Gii hn vơ cc, gii hn  vơ cc
1. Gii hn đc bit:

0
0
lim
x x
x x

®
=
;
0
lim
x x
c c
®
=
(c: hng s)
2. nh lí:
a) Nu
0
lim ( )
x x
f x L
®
=
và
0
lim ( )
x x
g x M
®
=

thì:
[
]
0

lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
®
+ = +


[
]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
®
- = -


[
]
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M
®
=


0
( )
lim

( )
x x
f x L
g x M
®
= (nu M
¹
0)
b) Nu f(x)
³
0 và
0
lim ( )
x x
f x L
®
=

thì L
³
0 và
0
lim ( )
x x
f x L
®
=
c) Nu
0
lim ( )

x x
f x L
®
=
thì
0
lim ( )
x x
f x L
®
=

3. Gii hn mt bên:
0
lim ( )
x x
f x L
®
=
Û


Û

0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
- +
® ®

= =


1. Gii hn đc bit:
lim
k
x
x
®+¥
= +¥
;
lim
k
x
nếu k chẵn
x
nếu k lẻ
®-¥
ì
+¥
=
í
-¥
ỵ

lim
x
c c
®±¥
=

;
lim 0
k
x
c
x
®±¥
=


0
1
lim
x
x
-
®
= -¥
;
0
1
lim
x
x
+
®
= +¥


0 0

1 1
lim lim
x x
x x
- +
® ®
= = +¥

2. nh lí:
Nu
0
lim ( )
x x
f x L
®
=
¹
0 và
0
lim ( )
x x
g x
®
= ±¥
thì:
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( )

lim ( )
x x
x x
x x
nếu L và g x cùngdấu
f x g x
nếu L và g x tráidấu
®
®
®
ì
+¥
ï
=
í
-¥
ï
ỵ

0
0 0
0
0 lim ( )
( )
lim lim ( ) 0 . ( ) 0
( )
lim ( ) 0 . ( ) 0
x x
x x x x
x x

nếu g x
f x
nếu g x và L g x
g x
nếu g x và L g x
®
® ®
®
ì
= ±¥
ï
ï
= +¥ = >
í
ï
-¥ = <
ï
ỵ

* Khi tính gii hn có mt trong các dng vơ đnh:
0
0
,
¥
¥
,
¥
–
¥
, 0.

¥
thì phi tìm cách kh dng vơ
đnh.
Mt s phng pháp kh dng vơ đnh:
1. Dng
0
0

a) L =
0
( )
lim
( )
x x
P x
Q x
®
vi P(x), Q(x) là các đa thc và P(x
0
) = Q(x
0
) = 0
Phân tích c t và mu thành nhân t và rút gn.
VD:
3 2 2
2
2 2 2
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12
lim lim lim 3
( 2)( 2) 2 4

4
x x x
x x x x x x
x x x
x
® ® ®
- - + + + +
= = = =
- + +
-

b) L =
0
( )
lim
( )
x x
P x
Q x
®
vi P(x
0
) = Q(x
0
) = 0 và P(x), Q(x) là các biu thc cha cn cùng bc
S dng các hng đng thc đ nhân lng liên hp  t và mu.
VD:
(
)
(

)
( )
0 0 0
2 4 2 4 2 4 1 1
lim lim lim
4
2 4
2 4
x x x
x x x
x
x
x x
® ® ®
- - - - + -
= = =
+ -
+ -

c) L =
0
( )
lim
( )
x x
P x
Q x
®
vi P(x
0

) = Q(x
0
) = 0 và P(x) là biêåu thc cha cn khơng đng bc
Gi s: P(x) =
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
m n
m n
u x v x với u x v x a
- = =
.
Ta phân tích P(x) =
(
)
(
)
( ) ( )
m n
u x a a v x
- + - .
Trn S Tựng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 5

VD:
3 3
0 0
1 1 1 1 1 1
lim lim
x x
x x x x

x x x
đ đ
ổ ử
+ - - + - - -
= +
ỗ ữ
ố ứ

=
0 2
3
3
1 1 1 1 5
lim
3 2 6
1 1
( 1) 1 1
x
x
x x
đ
ổ ử
+ = + =
ỗ ữ
ỗ ữ
+ -
+ + + +
ố ứ

2. Dng

Ơ
Ơ
: L =
( )
lim
( )
x
P x
Q x
đƠ
vi P(x), Q(x) l cỏc a thc hoc cỏc biu thc cha cn.
Nu P(x), Q(x) l cỏc a thc thỡ chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x.
Nu P(x), Q(x) cú cha cn thỡ cú th chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x hoc
nhõn lng liờn hp.
VD: a)
2
2
2
2
5 3
2
2 5 3
lim lim 2
6 3
6 3
1
x x
x x
x
x

x x
x
x
đ+Ơ đ+Ơ
+ -
+ -
= =
+ +
+ +

b)
2
2
3
2
2 3
lim lim 1
1
1
1 1
x x
x
x
x x
x
đ-Ơ đ-Ơ
-
-
= = -
+ -

- + -

3. Dng
Ơ

Ơ
: Gii hn ny thng cú cha cn
Ta thng s dng phng phỏp nhõn lng liờn hp ca t v mu.
VD:
( )
(
)
(
)
1 1 1
lim 1 lim lim 0
1 1
x x x
x x x x
x x
x x x x
đ+Ơ đ+Ơ đ+Ơ
+ - + +
+ - = = =
+ + + +

4. Dng 0.
Ơ
:
Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp nh cỏc dng trờn.

VD:
2
2 2
2. 0. 2
lim ( 2) lim 0
2
2
4
x x
x x x
x
x
x
+ +
đ đ
-
- = = =
+
-



Baứi 1: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2 3
0
1
lim
1
x

x x x
x
đ
+ + +
+
b)
2
1
3 1
lim
1
x
x x
x
đ-
+ -
-
c)
2
sin
4
lim
x
x
x
đ
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ

p
p

d)
4
1
1
lim
3
x
x
x x
đ-
-
+ -
e)
2
2
1
lim
1
x
x x
x
đ
- +
-
f)
2
1

2 3
lim
1
x
x x
x
đ
- +
+

g)
1
8 3
lim
2
x
x
x
đ
+ -
-
h)
3
2
2
3 4 3 2
lim
1
x
x x

x
đ
- - -
+
i)
2
0
1
lim sin
2
x
x
đ

Baứi 2: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
3 2
2
1
1
lim
3 2
x
x x x
x x
đ
- - +
- +
b)
x

x
x x
4
3 2
1
1
lim
2 1
đ
-
- +
c)
5
3
1
1
lim
1
x
x
x
đ-
+
+

d)
3 2
4 2
3
5 3 9

lim
8 9
x
x x x
x x
đ
- + +
- -
e)
5 6
2
1
5 4
lim
(1 )
x
x x x
x
đ
- +
-
f)
1
1
lim
1
m
n
x
x

x
đ
-
-

g)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
x
đ
+ + + -
h)
2
1

lim
1
n
x
x x x n
x
đ
+ + + -
-
i)
4
3 2

2
16
lim
2
x
x
x x
đ-
-
+

www.MATHVN.com Trn S Tựng
Trang 6 www.mathvn.com
Baứi 3: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x
đ
+ -
-
b)
3
3
1

1
lim .
4 4 2
x
x
x
đ
-
+ -
c)
2
0
1 1
lim
x
x
x
đ
+ -

d)
2
2 2
lim
7 3
x
x
x
đ
+ -

+ -
e)
1
2 2 3 1
lim
1
x
x x
x
đ
+ - +
-
f)
2
0 2
1 1
lim
16 4
x
x
x
đ
+ -
+ -

g)
3
0
1 1
lim

1 1
x
x
x
đ
+ -
+ -
h)
2
3
3 2
lim
3
x
x x
x x
đ-
+ -
+
i)
0
9 16 7
lim
x
x x
x
đ
+ + + -

Baứi 4: Tỡm cỏc gii hn sau:

a)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
đ
+ - +
b)
3
2
2
8 11 7
lim
3 2
x
x x
x x
đ
+ - +
- +
c)
3
0
2 1 8
lim
x
x x

x
đ
+ - -

d)
3
2
0
1 4 1 6
lim
x
x x
x
đ
+ - +
e)
3
2
2
8 11 7
lim
2 5 2
x
x x
x x
đ
+ - +
- +
f)
3

3 2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x
đ
- - +
-

g)
0
1 4 . 1 6 1
lim
x
x x
x
đ
+ + -
h)
3
0
1 2 . 1 4 1
lim
x
x x
x

đ
+ + -
i)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
đ
+ - -

Baứi 5: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
2
1
lim
2 1
x
x
x x
đ+Ơ
+
- +
b)
2
2 1
lim

2
x
x x
x
đƠ
- +
-
c)
2
3 2
2 1
lim
3 2
x
x
x x
đ+Ơ
+
- +

d)
2
2
2 3 4 1
lim
4 1 2
x
x x x
x x
đƠ

+ + + +
+ + -
e)
2
2
4 2 1 2
lim
9 3 2
x
x x x
x x x
đƠ
- + + -
- +
f)
2
1
lim
1
x
x x
x x
đ+Ơ
+
+ +

g)
2
2
(2 1) 3

lim
5
x
x x
x x
đ-Ơ
- -
-
h)
2
2
2 3
lim
4 1 2
x
x x x
x x
đ+Ơ
+ +
+ - +
i)
2
5 2
lim
2 1
x
x x
x
đ-Ơ
- +

+

Baứi 6: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
lim
x
x x x
đ+Ơ
ổ ử
+ -
ỗ ữ
ố ứ
b)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x
đ+Ơ
ổ ử
- - - -
ỗ ữ
ố ứ

c)
3
2 3
lim 1 1
x
x x

đ+Ơ
ổ ử
+ - -
ỗ ữ
ố ứ
d) lim
x
x x x x
đ+Ơ
ổ ử
+ + -
ỗ ữ
ố ứ

e)
(
)
3 3
lim 2 1 2 1
x
x x
đ+Ơ
- - +
f)
(
)
3
3 2
lim 3 1 2
x

x x
đ-Ơ
- + +

g)
3
1
1 3
lim
1
1
x
x
x
đ
ổ ử
-
ỗ ữ
-
-
ố ứ
h)
2 2
2
1 1
lim
3 2 5 6
x
x x x x
đ

ổ ử
+
ỗ ữ
- + - +
ố ứ

Baứi 7: Tỡm cỏc gii hn sau:
a)
2
15
lim
2
x
x
x
+
đ
-
-
b)
2
15
lim
2
x
x
x
-
đ
-

-
c)
2
3
1 3 2
lim
3
x
x x
x
+
đ
+ -
-

d)
2
2
4
lim
2
x
x
x
+
đ
-
-
e)
2

2
2
lim
2 5 2
x
x
x x
+
đ
-
- +
f)
2
2
2
lim
2 5 2
x
x
x x
-
đ
-
- +

Baứi 8: Tỡm cỏc gii hn mt bờn ca hm s ti im c ch ra:
a)
3
1 1
0

1 1
( ) 0
3
0
2
x
khi x
x
f x taùi x
khi x
ỡ
+ -
>
ù
ù
+ -
= =
ớ
ù
Ê
ù
ợ
b)
2
9
3
( ) 3
3
1 3
x

khi x
f x taùi x
x
x khi x
ỡ
-
ù
<
= =
ớ
-
ù
-
ợ

Trn S Tùng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 7

c)
2
3
4
2
2
8
( ) 2
16
2
2
x x

khi x
x
f x taïi x
x
khi x
x
ì
-
>
ï
ï
-
= =
í
-
ï
<
ï
-
î
d)
2
2
3 2
1
1
( ) 1
1
2
x x

khi x
x
f x taïi x
x
khi x
ì
- +
>
ï
ï
-
= =
í
ï
- £
ï
î

Baøi 9: Tìm giá tr ca m đ các hàm s sau có gii hn ti đim đc ch ra::
a)
3
1
1
( ) 1
1
2 1
x
khi x
f x taïi x
x

mx khi x
ì
-
ï
<
= =
í
-
ï
+ ³
î
b)
3
2 2
1 3
1
( ) 1
1
1
3 3 1
khi x
f x taïi x
x
x
m x mx khi x
ì
- >
ï
= =
-

í
-
ï
- + £
î

c)
2
0
( ) 0
100 3
0
3
x m khi x
f x taïi x
x x
khi x
x
ì
+ <
ï
= =
í
+ +
³
ï
+
î
d)
2

3 1
( ) 1
3 1
x m khi x
f x taïi x
x x m khi x
ì
+ <-
= = -
í
+ + + ³-
î

www.MATHVN.com Trn S Tựng
Trang 8 www.mathvn.com
III. Hm s liờn tc

1. Hm s liờn tc ti mt im: y = f(x) liờn tc ti x
0

0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
đ
=

ã
xột tớnh liờn tc ca hm s y = f(x) ti im x
0
ta thc hin cỏc bc:
B1: Tớnh f(x
0
).
B2: Tớnh
0
lim ( )
x x
f x
đ
(trong nhiu trng hp ta cn tớnh
0
lim ( )
x x
f x
+
đ
,

0
lim ( )
x x
f x
-
đ
)
B3: So sỏnh
0
lim ( )
x x
f x
đ
vi f(x
0
) v rỳt ra kt lun.
2. Hm s liờn tc trờn mt khong: y = f(x) liờn tc ti mi im thuc khong ú.
3. Hm s liờn tc trờn mt on [a; b]: y = f(x) liờn tc trờn (a; b) v

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
+ -
đ đ
= =
4.
ã
Hm s a thc liờn tc trờn R.

ã

Hm s phõn thc, cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong xỏc nh ca chỳng.
5. Gi s y = f(x), y = g(x) liờn tc ti im x
0
. Khi ú:

ã
Cỏc hm s y = f(x) + g(x), y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tc ti x
0
.

ã
Hm s y =
( )
( )
f x
g x
liờn tc ti x
0
nu g(x
0
)
ạ
0.
6. Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ tn ti ớt nht mt s c
ẻ
(a; b): f(c) = 0.
Núi cỏch khỏc: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú ớt
nht mt nghim c
ẻ
(a; b).

M rng: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b]. t m =
[ ]
;
min ( )
a b
f x
, M =
[ ]
;
max ( )
a b
f x
. Khi ú vi mi T
ẻ
(m; M) luụn tn ti ớt nht mt s c
ẻ
(a; b): f(c) = T.


Baứi 1: Xột tớnh liờn tc ca hm s ti im c ch ra:
a)
3
1
( ) 1
1
1 1
x
khi x
f x taùi x
x

khi x
ỡ
+
ù
ạ
= = -
ớ
-
ù
- =
ợ
b)
3 2
1
1
( ) 1
1
1
4
x
khi x
x
f x taùi x
khi x
ỡ
+ -
ạ
ù
ù
-

= =
ớ
ù
=
ù
ợ

c)
2 3
2
2 7 5
2
( ) 2
3 2
1 2
x x x
khix
f x taùi x
x x
khi x
ỡ
- + -
ù
ạ
= =
ớ
- +
ù
=
ợ

d)
2
5
5
( ) 5
2 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x taùi x
x
x khi x
ỡ
-
>
ù
= =
ớ
- -
ù
- + Ê
ợ

e)
1 cos 0
( ) 0
1 0
x khi x
f x taùi x
x khi x

ỡ
- Ê
= =
ớ
+ >
ợ
f)
1
1
( ) 1
2 1
2 1
x
khi x
f x taùi x
x
x khi x
ỡ
-
<
ù
= =
ớ
- -
ù
-
ợ

Baứi 2: Tỡm m, n hm s liờn tc ti im c ch ra:
a)

x khi x
f x taùi x
mx khi x
2
1
( ) 1
2 3 1
ỡ
<
= =
ớ
-
ợ

b)
x x x
khi x
f x taùi x
x
x m khi x
3 2
2 2
1
( ) 1
1
3 1
ỡ
- + -
ù
ạ

= =
ớ
-
ù
+ =
ợ

Trn S Tựng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 9

c)
m khi x
x x
f x khi x x taùi x vaứ x
x x
n khi x
2
0
6
( ) 0, 3 0 3
( 3)
3
ỡ
=
ù
ù
- -
= ạ ạ = =
ớ
-

ù
=
ù
ợ

d)
x x
khi x
f x taùi x
x
m khi x
2
2
2
( ) 2
2
2
ỡ
- -
ù
ạ
= =
ớ
-
ù
=
ợ

Baứi 3: Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s sau trờn tp xỏc nh ca chỳng:
a)

3
3
2
1
1
( )
4
1
3
x x
khi x
x
f x
khi x
ỡ
+ +
ạ -
ù
ù
+
=
ớ
ù
= -
ù
ợ
b)
2
3 4 2
( ) 5 2

2 1 2
x x khi x
f x khi x
x khi x
ỡ
- + <
ù
ớ
= =
ù
+ >
ợ

c)
2
4
2
( )
2
4 2
x
khi x
f x
x
khi x
ỡ
-
ù
ạ -
=

ớ
+
ù
- = -
ợ
d)
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
khi x
f x
x
khi x
ỡ
-
ạ
ù
=
ớ
-
ù
=
ợ

Baứi 4: Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc hm s sau liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng:
a)

2
2
2
( )
2
2
x x
khi x
f x
x
m khi x
ỡ
- -
ù
ạ
=
ớ
-
ù
=
ợ
b)
2
1
( ) 2 1
1 1
x x khi x
f x khi x
mx khi x
ỡ

+ <
ù
ớ
= =
ù
+ >
ợ

c)
3 2
2 2
1
( )
1
3 1
x x x
khi x
f x
x
x m khi x
ỡ
- + -
ù
ạ
=
ớ
-
ù
+ =
ợ

d)
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
mx khi x
ỡ
<
=
ớ
-
ợ

Baứi 5: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau cú 3 nghim phõn bit:
a)
3
3 1 0
x x
- + =
b)
3 2
6 9 1 0
x x x
+ + + =
c)
3
2 6 1 3
x x

+ - =

Baứi 6: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim:
a)
5
3 3 0
x x
- + =
b)
5
1 0
x x
+ - =
c)
4 3 2
3 1 0
x x x x
+ - + + =

Baứi 7: Chng minh rng phng trỡnh:
5 3
5 4 1 0
x x x
- + - =
cú 5 nghim trờn (2; 2).
Baứi 8: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s:
a)
3
( 1) ( 2) 2 3 0
m x x x

- - + - =
b)
4 2
2 2 0
x mx mx
+ - - =

c)
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
a x b x c b x c x a c x a x b
- - + - - + - - =
d)
2 3 2
(1 )( 1) 3 0
m x x x
- + + - - =

e)
cos cos2 0
x m x
+ =
f)
(2cos 2) 2sin5 1
m x x
- = +

Baứi 9: Chng minh cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim:
a)
2
0

ax bx c
+ + =
vi 2a + 3b + 6c = 0 b)
2
0
ax bx c
+ + =
vi a + 2b + 5c = 0
c)
3 2
0
x ax bx c
+ + + =

Baứi 10: Chng minh rng phng trỡnh:
2
0
ax bx c
+ + =
luụn cú nghim x ẻ
1
0;
3
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
vi a ạ 0
v 2a + 6b + 19c = 0.

www.MATHVN.com Trn S Tùng
Trang 10 www.mathvn.com
BÀI TP ÔN CHNG IV

Bài 1. Tìm các gii hn sau:
a)
n
n
3
1 2 3
lim
3
+ + + +
b)
n
n n
n
2 sin
lim
1
2
æ ö
+
+
ç ÷
+

è ø
c)
1
3
2
lim
2
2
+
+
+
n
n
nn

d)
n n
n n
2
2
2
lim
2 3 1
+
+ -
e)
n
n
5 1
5 2

2 3
lim
3 1
+
+
+
+
f)
n n
n n
1
( 1) 4.3
lim
( 1) 2.3
+
- +
- -

g)
(
)
n n n
2 2
lim 3 1
- - +
g)
(
)
n n n
3

3 2
lim 3
+ -
h)
(
)
n n n
2 4
lim 1
+ - +

i)
n
n
2
2
2cos
lim
1
+
k)
n
n n
2 2
lim
3 1 1
+ - -
l)
(
)

n n n
3
2 3
lim 2 2
- - +
Bài 2. Tìm các gii hn sau:
a)
x
x x
x x
2
2
3
5 6
lim
8 15
®
- +
- +
b)
x
x
x x
2
2
1
2
8 1
lim
6 5 1

®
-
- +
c)
x
x x x
x x
3 2
2
3
4 4 3
lim
3
®
- + -
-

d)
x
x x x
x x x
4 3 2
4 3 2
1
2 5 3 1
lim
3 8 6 1
®
- + +
- + -

e)
x
x x
x x
3
4
1
3 2
lim
4 3
®
- +
- +
f)
x
x x x
x x
3 2
4 2
2
2 4 8
lim
8 16
®
- - +
- +

g)
x
x x

x x
3
5
1
2 1
lim
2 1
®
- -
- -
h)
x
x
x x
2
2
2
lim
2 5 2
®-
+
+ +
i)
x
x
x
2
2
1
( 2) 1

lim
1
®-
+ -
-

Bài 3. Tìm các gii hn sau:
a)
x
x
x
2
2
lim
3 7
®
-
- +
b)
x
x
x
2
0
1 1
lim
®
+ -
c)
x

x
x x
2
1
8 3
lim
2 3
®
+ -
+ -

d)
x
x
x
4
1 2 3
lim
2
®
+ -
-
e)
x
x
x
1
2 7 3
lim
3 2

®
+ -
+ -
f)
x
x
x
2
0 2
1 1
lim
4 16
®
+ -
- +

g)
2
3
1
7 5
lim
1
x
x x
x
®
+ - -
-
h)

x
x x
x
3 3
0
1 1
lim
®
+ - -
i)
x
x
x
3
2
4 2
lim
2
®
-
-

k)
x
x
x
3
0
1
lim

1
®
-
-
l)
x
x
x
3
2
2
0
1 1
lim
®
+ -
m)
x
x x
x
2
2 7 5
lim
2
®
+ + + -
-

Bài 4. Tìm các gii hn sau:
a)

x
x x
x
2
2
2 3 2
lim
2
+
®-
- +
+
b)
x
x
x x
2
1
1
lim
3 4
-
®
-
+ -
c)
x
x x
x
3

1
3 4 1
lim
1
+
®-
- +
+

d)
x
x x
x
2
2
2
2 5 2
lim
( 2)
-
®
- +
-
e)
x
x
x
3
3 4
lim

3
+
®
+
-
f)
x
x x
x x
0
lim
+
®
+
-

g)
x
x
x
2
8 2 2
lim
2
+
®-
+ -
+
h)
x

x x
x
2
2
3
2 5 3
lim
( 3)
-
®-
+ -
-
i)
( )
x
x
x
x
2
2
lim 2
4
+
®
-
-

Bài 5. Tìm các gii hn sau:
a)
x

x x x
x x x x
3 2
4 3 2
2 3 4 1
lim
5 2 3
®-¥
- + -
- + - +
b)
x
x x
x x
2
2
1
lim
2 1
®+¥
+ -
+ +
c)
x
x x
x x
2 3
3 2
(2 3) (4 7)
lim

(3 1)(10 9)
®+¥
- +
+ +

d)
x
x x x
x x
4 3
4 2
2
lim
3 2 7
®+¥
- +
+ -
e)
(
)
x
x x
2
lim 1
®-¥
+ +
f)
x
x x x
2

lim ( 1)
®-¥
+ - +

Trn S Tựng www.MATHVN.com
www.mathvn.com Trang 11

g)
x
x x
x
2
1
lim
5 2
đ -Ơ
+ -
+
h)
(
)
x
x x x
2
lim 3
đ-Ơ
- + +
i)
x
x x

x
5 3 1
lim
1
đ-Ơ
+ -
-

k)
x
x x x
x x
2
2
2 3
lim
4 1 2
đ-Ơ
+ +
+ - +
l)
(
)
x
x x x
2 2
lim 2 1
đ-Ơ
+ - -
m)

(
)
x
x x x
2
lim 2
đ-Ơ
+ +

Bi 6. Xột tớnh liờn tc ca hm s:
a)
x khi x
f x
x x
khi x
x
2
1 3
( )
2 3
3
2 6
ỡ
- Ê
ù
=
ớ
- -
>
ù

-
ợ
trờn R b)
x
khi x
x
f x
khi x
2
1 cos
0
sin
( )
1
0
4
ỡ
-
ạ
ù
ù
=
ớ
ù
=
ù
ợ
ti x = 0
c)
x

khi x
f x
x x
khi x
2
12 6
2
( )
7 10
2 2
ỡ
-
ạ
ù
=
ớ
- +
ù
=
ợ
trờn R d)
x khi x
f x
x khi x
2
0
( )
1 0
ỡ
ù

<
=
ớ
-
ù
ợ
ti x = 0
Bi 7. Tỡm a hm s liờn tc trờn R:
a)
2
3 2
2 1 1
( )
2 2
1
1
a khi x
f x
x x x
khi x
x
ỡ
ù
+ Ê
ù
ù
ù
=
ớ
- + -

ù
>
ù
ù
-
ù
ợ
b)
x
khi x
f x
x
x a khi x
2
1
1
( )
1
1
ỡ
-
ù
ạ
=
ớ
-
ù
+ =
ợ

c)
x x
khi x
f x
x
a khi x
2
2
2
( )
2
2
ỡ
+ -
ù
ạ -
=
ớ
+
ù
= -
ợ
d)
x x
khi x
f x
x
ax khi x
2
4 3

1
( )
1
2 1
ỡ
- +
ù
<
=
ớ
-
ù
+
ợ

Bi 8. Chng minh rng phng trỡnh:
a) x x x
3 2
6 9 1 0
+ + + =
cú 3 nghim phõn bit.
b) m x x x
3 2 4
( 1) ( 4) 3 0
- - + - =
luụn cú ớt nht 2 nghim vi mi giỏ tr ca m.
c) m x x
2 4 3
( 1) 1 0
+ =

luụn cú ớt nht 2 nghim nm trong khong
(
)
1; 2
- vi mi m.
d) x mx
3 2
1 0
+ - =
luụn cú 1 nghim dng.
e) x x x
4 2
3 5 6 0
- + =
cú nghim trong khong (1; 2).
Bi 9. Cho m > 0 v a, b, c l 3 s thc tho món:
a b c
m m m
0
2 1
+ + =
+ +
. Chng minh rng
phng trỡnh: f x ax bx c
2
( ) 0
= + + =
cú ớt nht mt nghim thuc khong (0; 1).
HD: Xột 2 trng hp c = 0; c
ạ

0. Vi c
ạ
0 thỡ
m c
f f
m m m
2
1
(0). 0
2 ( 2)
ổ ử
+
= - <
ỗ ữ
+ +
ố ứ





www.MATHVN.com