- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
BÀI TẬP TOÁN CAO CÓ LỜI GIẢI
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.85 MB, 86 trang )
CHƯƠNG 1: GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN
_______________________________________________________
I. Giá trị riêng và vector riêng của ma trận – Chéo hóa ma trận:
1. Tìm giá trị riêng và vector riêng của một ma trận:
Ví dụ:
Cho ma trận
7 2
4 1
A
.
a) Xác định đa thức đặc trưng của
A
.
b) Xác định các giá trị riêng
i
của
A
.
c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng
( )
A i
E
.
d) Xác định một cơ sở
S
của
2
gồm các vectơ riêng của
A
.
Giải
a) Đa thức đặc trưng
( )
A
P
t
của
A
là
2 2
( ) tr( ) det 8 15.
A
t t A t A t tP
b) Các giá trị riêng
i
của
A
là các nghiệm của phương trình đặc trưng
( ) 0
A
f t
. Phương
trình đặc trưng
( ) 0
A
f t
có các nghiệm 3, 5. Vậy
1
3
và
2
5
là các giá trị riêng của ma
trận
A
.
c) Với
1
3
. Các véc tơ riêng của ma trận
A
ứng với giá trị riêng
1
3
là các nghiệm
không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
1 2 1
1 2 2
4 2 0
4 2 0 2
x x x a
x x x a
Vậy không gian véc tơ riêng
(3)
A
E
của
A
ứng với giá trị riêng
1
3
là
(3) {( , 2 ) | } { (1, 2) | } (1, 2)
A
E a a a a a
Vậy
dim (3) 1
A
E
và
{(1, 2)}
là một cơ sở của
(3)
A
E
.
* Với
2
5
. Các véc tơ riêng của ma trận
A
ứng với giá trị riêng
2
5
là các nghiệm
không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
1 2 1
1 2 2
2 2 0
4 4 0
x x x a
x x x a
Vậy không gian véc tơ riêng
(5)
A
E
của
A
ứng với giá trị riêng
2
5
là
(5) {( , ) | } { (1, 1) | } (1, 1)
A
E a a a a a
Vậy
dim (5) 1
A
E
và
{(1, 1)}
là một cơ sở của
(5)
A
E
.
d) Đặt
{(1, 2),(1, 1)}
S
gồm các véc tơ riêng của
A
độc lập tuyến tính trong
2
. Do
đó
S
là một cơ sở của
2
.
Bài tập:
1) Cho ma trận
1 4 2
3 4 0
3 1 3
A
.
a) Xác định đa thức đặc trưng của
A
.
b) Xác định các giá trị riêng
i
của
A
.
c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng
( )
A i
E
.
d) Xác định một cơ sở
S
của
3
gồm các vectơ riêng của
A
.
Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự như ví dụ.
2) Cho ma trận
1 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
A
a) Xác định đa thức đặc trưng
( )
A
f t
của
A
.
b) Xác định các giá trị riêng
i
của
A
.
c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng
( )
A i
E
.
d) Xác định một cơ sở
S
của
4
gồm các vectơ riêng của
A
.
Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự ví dụ
Đa thức đặc trưng
( )
A
P
t
của
A
là
2
1 0 1 1
0 1 1 1
( ) det( ) ( 1) ( 1)( 3).
1 1 1 0
1 1 0 1
A
t
t
t A tI t t t
t
t
P
2. Chứng minh các tính chất đối với giá trị riêng và vector riêng:
1) Cho
là giá trị riêng của
M ( )
n
A K
,
K
và
k
. Chứng minh rằ ng
a)
là giá trị riêng của ma trận
A
.
b)
k
là giá trị riêng của ma trận
k
A
.
c)
là giá trị riêng của ma trận
A I
.
d)
( )f
là giá trị riêng của ma trận đa thức
( )f A
.
Hướng dẫn:
a) Do
là giá trị riêng của
M ( )
n
A K
nên tồn tại
n
v K
sao cho
Av v
.
( )
A v Av v v
.
Vậy
là giá trị riêng của ma trận
A
.
b) Ta có
1 1 1
( )
k k k k k
A v A Av A v A v v
.
Vậy
k
là giá trị riêng của ma trận
k
A
.
c) Ta có
( ) ( )A I v Av Iv v v v
Vậy
là giá trị riêng của ma trận
A I
.
d) Giả sử
1
( ) [ ].
n
i
i
i
f t a t K t
Khi đó,
1 1
( ) , ( )
n n
i i
i i
i i
f a f A a A
Và
1 1 1 1
( ) ( )
n n n n
i i i i
i i i i
i i i i
f A v a A v a A v a v a v f v
Vậy
( )f
là giá trị riêng của f (A).
Sinh viên cho ví dụ minh họa cho những kết quả trên.
2) Cho
là giá trị riêng của
M ( )
n
A K
. Chứng minh rằng
a) Nếu
A
khả nghịch thì
1
là giá trị riêng của ma trận
1
A
.
b) Nếu
A
khả nghịch thì
1
là giá trị riêng của ma trận
1
A A
.
Hướng dẫn :
a) Vì A khả nghịch nên
0
. Ta có,
1 1 1 1 1 1
A v A v A Av v
Vậy Nếu
A
khả nghịch thì
1
là giá trị riêng của ma trận
1
A
.
b) Vì A khả nghịch nên
1 1
A v v
.
Khi đó, ta có
1 1 1 1
( ) ( )A A v Av A v v v v
Nếu
A
khả nghịch thì
1
là giá trị riêng của ma trận
1
A A
.
Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên.
3) Cho
A
là ma trận vuông cấp
n
trên
K
và
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng của nó.
Chứng minh rằng
1 2
det
n
A
.
Hướng dẫn:
Do
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng của A nên
1 2
, , ,
n
là các nghiệm của đa thức đặc
trưng
( )
A
f t
. Do đó,
1 2
( ) det( ) ( 1) ( )( ) ( )
n
A n
f t A I t t t
.
Lấy t = 0, ta có:
1 2 1 2
det (0) ( 1) (0 )(0 ) (0 )
n
A n n
A f
Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên.
4) Cho
A
là ma trận vuông cấp
n
trên
K
và
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng của nó.
Chứng minh rằng
a)
1 2
det( )
n
n
A
.
b)
1 2
det
k k k k
n
A
.
c)
1 2
det( ) ( )( ) ( )
n
A I
.
d)
1 2
det ( ) ( ) ( ) ( )
n
f A f f f
.
Hướng dẫn:
a) Do
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng
A
nên
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng của
ma trận
A
. Do đó
1 2 1 2
det( ) ( )( ) ( ) .
n
n n
A
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
b) Do
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng
A
nên
1 2
, , ,
k k k
n
là các giá trị riêng của ma
trận
k
A
. Do đó
1 2
det
k k k k
n
A
.
c) Do
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng
A
nên
1 2
, ,
n
là các giá trị
riêng của ma trận
A I
. Do đó
1 2
det( ) ( )( ) ( )
n
A I
.
d) Do
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng
A
nên
1 2
( ), ( ), , ( )
n
f f f
là các giá trị riêng
của ma trận
( )f A
. Do đó
1 2
det ( ) ( ) ( ) ( )
n
f A f f f
.
Sinh viên cho các ví dụ minh họa.
5) Cho
A
là ma trận vuông cấp
n
trên
K
và
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng của nó.
Chứng minh rằng
a) Nếu
A
khả nghịch thì
1 1 1 1
1 2
det
n
A
.
b) Nếu
A
khả nghịch thì
1 1 1 1
1 1 2 2
det( ) ( )( ) ( )
n n
A A
.
c) Nếu
K
không là giá trị riêng của
A
thì ma trận
A I
khả nghịch và
1
1
1
det( ) .
n
i
i
A I
Hướng dẫn:
a) Do
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng
A
nên
1 1 1
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng của ma
trận
1
A
. Do đó
1 1 1 1
1 2
det
n
A
.
b) Do
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng
A
nên
1 1 1
1 1 2 2
, , ,
n n
là các giá trị
riêng của ma trận
1
A A
. Do đó
1 1 1 1
1 1 2 2
det( ) ( )( ) ( )
n n
A A
c) Do
không là giá trị riêng của
A
nên định thức của ma trận
A I
khác 0. Vậy
A I
khả nghịch. Theo giả thiết
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng của
A
nên
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng của ma trận
A I
và do đó
1 1 1
1 2
( ) ,( ) , ,( )
n
là các giá trị riêng của
1
( )A I
.
Vậy
1 1
1 1
1
det( ) ( ) .
n n
i
i i
i
A I
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
3. Chéo hóa ma trận:
Cách chéo hóa một ma trận:
Cho A là một ma trận vuông cấp n. Để chéo hóa ma trận A ta làm như sau:
Tìm các giá trị riêng và các vector riêng độc lập tuyến tính của A, bằng cách tìm đa thức
đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng sau đó ứng với từng giá trị riêng
tìm các vector riêng.
Khi đó xảy ra một trong hai khả năng sau:
TH1: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n thì kết luận A không
chéo hóa được.
TH2: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì kết luận A chéo hóa
được. Khi đó ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột của nó là các vector riêng độc lập tuyến
tính của A viết theo cột và khi đó
1
2
1
0 0
0 0
0 0
n
P AP
là ma trận chéo trong đó các
i
là các giá trị riêng của A ứng với
vector riêng là vector cột thứ i của ma trận P.
1. Ví dụ:
Chéo hóa ma trận sau:
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
Hướng dẫn:
Đa thức đặc trưng của ma trận A là:
3
1 1
( ) 1 1 3 2
1 1
A
P
3
( ) 0 3 2 0 1, 2
A
P
Vậy ma trận A có hai giá trị riêng là
1, 2
.
Ứng với
1
, giải hệ pt:
1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số ]
1 2 3
2 2
3 3
x t t
x t
x t
Không gian con riêng ứng với giá trị riêng
1
là
2 3 2 3 2 3
( 1) {( , , ) | , }
E t t t t t t
Cơ sở của E(-1) gồm hai vector
1 2
( 1,1,0); ( 1,0,1)
.
Ứng với giá trị riêng
2
, để tìm vector riêng ta giải hệ pt:
2 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0
1 2 1 0 1 2 1 0 0 3 3 0 0 3 3 0
1 1 2 0 2 1 1 0 0 3 3 0 0 0 0 0
Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số
1
2
3
x t
x t
x t
Do đó, không gian con riêng của A ứng với giá trị riêng
2
là
(2) ( , , ) | }
E t t t t
Cơ sở của
(2)
E
gồm 1 vector
3
(1,1,1)
.
Nhận xét: Các vector
1 2 3
, ,
độc lập tuyến tính nên ma trận A chéo hóa được. Khi đó,
tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho
1
P AP D
với D là ma trận chéo.
1 1 1
1 0 1
0 1 1
P
và
1 0 0
0 1 0
0 0 2
D
2. Bài tập:
1. Cho ma trận
1 2 3
0 2 3
0 0 3
A
. Hỏi ma trận A có chéo hóa được không? Tìm ma trận C
làm chéo hóa A (nếu có).
Hướng dẫn:
SV. Làm tương tự như ví dụ.
2. Cho A, B và P là các ma trận sao cho
1
A PBP
. Chứng minh rằng
1
k k
A PB P
với mọi
k
.
Hướng dẫn: Sử dụng tính chất
1 1 1
.
k
A PBP PBP PBP
(k lần) và
1
.
P P I
.
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
3. Cho ma trận
4 3
2 1
A
a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A.
b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng
c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo
D sao cho
1
A PDP
d) Tính
k
A
với mọi số nguyên dương k.
Hướng dẫn:
Các câu a); b); c) làm tương tự như các ví dụ trong tài liệu.
Câu d) áp dụng tính chất của bài 2.(Tức là khi
1
A PDP
thì
1
k k
A PD P
).
4. Cho ma trận
2 2 1
1 3 1
1 2 2
A
a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A.
b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng
c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo
D sao cho
1
A PDP
d) Tính
k
A
với mọi số nguyên dương k.
Hướng dẫn:
Làm tương tự như bài 3.
5. Cho ma trận
3 12
2 7
A
,
1 2
3 2
,
1 1
u u
. Chứng minh rằng
1 2
,u u
là các vector riêng
của A. Hãy tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo D để
1
A PDP
.
Hướng dẫn:
Để chứng minh
1 2
,u u
là các vector riêng của A thì cần tìm các giá trị
1 2
;
sao cho
1 1 2 2
;
Au u Au u
. Khi đó, ma trận đường chéo D có dạng
1 2
( , )
diag
.
6. Cho ma trận vuông cấp 4 A có các giá trị riêng là 5, 3, -2. Giả sử không gian vector
riêng ứng với giá trị riêng
3
có chiều là 2. Hỏi ma trận A có chéo hóa được không?
Hướng dẫn:
Dựa vào điều kiện chéo hóa được của ma trận.
7. Hãy xác định đa thức đặc trưng và một cơ sở không gian vector riêng của các ma trận
sau. Trong số các ma trận sau đây ma trận nào chéo hóa được, khi đó hãy tìm ma trận khả
nghịch P và ma trận đường chéo D sao cho
1
A PDP
.
2 7 5 3 3 4
)
7 2 4 3 4 8
a
1 0 1 6 2 0 0 3 1
) 2 3 1 2 9 0 3 0 2
0 6 0 5 8 3 1 2 0
b
1 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 4
0 1 1 1 1 0 1 1 12 1 4 9
)
1 1 1 0 1 1 0 1 6 5 2 4
1 1 0 1 1 1 1 0 3 4 5 10
c
8. Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên
1
1
1
a b
A a c
b c
và
a b c d
b a d c
B
c d a b
d c b a
9. Chéo hóa các ma trận sau (nếu được).
3 1
1 5
5 1
0 5
2 3
4 1
4 2 2
2 4 2
2 2 4
1 4 2
3 4 0
3 1 3
7 4 16
2 5 8
2 2 5
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
5 3 0 9
0 3 1 2
0 0 2 0
0 0 0 2
10. Cho ma trận
A
trên trường số thực
như sau
9 1 5 7
8 3 2 4
0 0 3 6
0 0 1 8
A
a) Tính
det A
b) Tính
4
det( )A I
với
.
c) Tính
det ( )f A
biết rằng
2
( ) 1
n
f x x x
.
Hướng dẫn:
a) Đa thức đặc trưng của A là :
2
( 5) ( 6)( 7)
t t t
. Giá trị riêng là 5, 6, 7
detA= 5.5.6.7 = 1050.
b) Đa thức
2
4
det( ) (5 )(5 )(6 )(7 ) (5 ) (6 )(7 )
A I
c)
2
det ( ) (5) (5) (6) (7) (5 24) (6 35)(7 48)
n n n
f A f f f f
11. Chéo hoá ma trận
1 1
2 1
A
trên
và
.
13) Chéo hoá ma trận
4 1 1
2 5 2
1 1 2
A
14) Chéo hóa ma trận
1 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
A
15) Cho ma trận
1 7 5
2 8 6
4 16 12
A
a) Chéo hoá ma trận
A
.
b) Hãy tính luỹ thừa ma trận
n
A
.
16) Cho ma trận
1 7 5
2 8 6
4 16 12
A
a) Hãy tính đa thức ma trận
( )f A
, trong đó
2
( ) 1 [ ]
n
f t t t t
.
b) Hãy tìm một ma trận
B
trên trường số thực
sao cho
2
B A
.
17) Cho ma trận
2 0 0
0 3 0
0 1 2
A
a) Chéo hóa
A
.
b) Đặt
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 0 0 ( ) ( ) ( )
0 3 0 ( ) ( ) ( )
0 1 2 ( ) ( ) ( )
n
a n a n a n
a n a n a n
a n a n a n
.
Tính
22
32
( )
lim
( )
n
a n
a n
và
3 3
1 1
( )
ij
i i
S a n
.
Hướng dẫn:
Đặt
2 0 0
0 3 0
0 1 2
A
. Tính
n
A
bằng cách chéo hoá ma trận
A
.
* Đa thức đặc trưng
( )
A
f t
của ma trận
A
là
( ) ( 2)(3 )
A
f t t t
. Giải phương trình đặc
trưng
( ) 0
A
f t
, ta nhận được các nghiệm phân biệt 2,3. Do đó các giá trị riêng phân biệt của
ma trận
A
là
2,3t
.
* Với
2t
, ta có
E (2) (1,0,0),(0,0,1)
A
và cơ sở
1 1 2
{ (1,0,0), (0,0,1)}.
S v v
Với
3t
, ta có
E (1) (0,1,1)
A
và cơ sở
2 3
{ (0,1,1)}
S v
.
* Do
1 2 3 1 2 3
{ , , }S S S S v v v
nên ma trận
A
chéo hoá được và
1
D P AP
, trong đó
ma trận khả nghịch
P
với các cột là các véc tơ riêng
1 2 3
, ,v v v
và ma trận đường chéo
D
với
các phần tử trên đường chéo chính 2,2,3 tương ứng với các véc tơ riêng
1 2 3
, ,v v v
.
1 2 3
1 0 0 2 0 0
[ ] 0 0 1 và diag(2,2,3) 0 2 0
0 1 1 0 0 3
P v v v D
1
1 0 0 2 0 0 1 0 0
0 0 1 0 2 0 0 1 1
0 1 1 0 0 3 0 1 0
2 0 0
0 3 0
0 3 2 2
n n
n
n
n n n
A PD P
a) Ta có
22 32
( ) 3 , ( ) 3 2
n n n
a n a n
và do đó
22
32
( ) 3
lim lim 1.
( ) 3 2
n
n n
n n
a n
a n
b) Ta có
3 3
1 1
( ) 2 3 3 2 2 2 2·3
n n n n n n n
ij
i i
S a n
.
II. Tìm giá trị riêng – vector riêng -Tìm cơ sở của không gian vector V để ma trận
của một phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở đó là ma trận chéo.
Ví dụ:
Cho T là toán tử tuyến tính trên
3
xác định bởi
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) (2 4 3 , 4 6 3 ,3 3 )T x x x x x x x x x x x x
Hãy xác định các giá trị riêng và vector riêng của T.
Giải
Ma trận của toán tử tuyến tính trên
3
đối với cơ sở chính tắc của
3
là:
2 4 3
4 6 3
3 3 1
A
Đa thức đặc trưng của ma trận A là
3 2 2
( ) 3 4 ( 1)( 2)
A
f t t t t t
.
Giải phương trình đặc trưng
( ) 0
A
f t
ta được các nghiệm là t = 1 và t = 2. Vậy ma trận A
có hai giá trị riêng là
1; 2
. Khi tìm cơ sở của các không gian riêng
(1)
A
E
và
( 1)
A
E
ta
được:
Cơ sở của
(1)
A
E
là
1
1
1
1
u
và cơ sở của
( 2)
A
E
là
2
1
1
0
u
.
Vậy f không chéo hóa được.
Chú ý:
Để nghiên cứu một phép biến đổi tuyến tính
:
f V V
, ta quy về việc nghiên cứu ma trận
của f. Từ đó dẫn đến việc cần tìm cơ sở để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo. Để
tìm cơ sở này ta thực hiện như sau:
- Đầu tiên ta tìm các vector riêng độc lập tuyến tính của f.
- Nếu f có ít hơn n vector riêng độc lập tuyến tính (chú ý dim V = n) thì không có cơ sở
nào của f để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo.
- Nếu f có đúng n vector riêng độc lập tuyến tính thì n vector riêng đó làm thành cơ sở
B của V mà ma trận A của f trong cơ sở B đó là ma trận chéo. Cụ thể:
1
2
/
0 0
0 0
0 0
B
n
A
với
1 2
, , ,
n
là các giá trị riêng ứng với các vector riêng
i
.
(Các
i
có thể trùng nhau).
Ví dụ:
Trong
3
cho cơ sở
1 2 3
(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)
u u u
và một phép biến đổi tuyến tính
3 3
:f
sao cho:
1 2 3
( ) (4,3,2); ( ) (4,3,1); ( ) (1,0,0)
f u f u f u
a) Hãy tìm công thức của f, tức là tìm
1 2 3
( , , )f x x x
b) Tìm một cơ sở của
3
để ma trận của f trong cơ sở này là ma trận chéo.
Hướng dẫn:
a) Gọi
3
1 2 3
( , , )x x x x
, giả sử
1 1 2 2 3 3
x a u a u a u
Xét hệ
1 1 1 2 3
2 1 2 1 3 2 3 2 3
3 1 3 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Suy ra,
1 3
2 2 3
3 1 2
a x
a x x
a x x
Ta có:
1 1 2 2 3 3 3 2 3 1 2 1 2 2 2 3
4 4 1
( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 0 ( 3 ,3 , )
2 1 0
f x a f u a f u a f u x x x x x x x x x x
b) Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc là:
1 3 0
0 3 0
0 1 1
A
Xét
2
1 3 0
( ) 0 3 0 (1 ) (3 )
0 1 1
A
P
Suy ra
( ) 0 1 3
A
P
Do đó, f có hai giá trị riêng là
1, 3
.
Ứng với giá trị riêng
1
, xét hệ pt:
0 3 0 0 0 1 0 0
0 2 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
A
Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:
1
2
3
0
x a
x
x b
Khi đó, f có hai vector riêng độc lập tuyến tính là
1 2
(1,0,0); (0,0,1)
.
Ứng với giá trị riêng
3
, xét hệ pt:
2 3 0 0 2 3 0 0
0 0 0 0 0 1 2 0
0 1 2 0 0 0 0 0
Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số:
1
2
3
3
2
x t
x t
x t
Vector riêng ứng với giá trị riêng
3
là
3
(3,2,1)
Do f có 3 vector riêng độc lập tuyến tính nên f chéo hóa được và cơ sở
1 2 3
( , , )
B
là cơ
sở mà ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo là:
1 0 0
0 1 0
0 0 3
1. Bài tập:
1. Cho toán tử
3 3
:f
xác định bởi:
1 2 3 1 2 1 2 3
( , , ) (3 2 , 2 3 ,5 )f x x x x x x x x
Toán tử f có chéo hóa được không? Tìm cơ sở của
3
mà trong cơ sở ấy f có dạng chéo
(nếu có).
Hướng dẫn:
Tìm ma trận A của f đối với một cơ sở nào đó, có thể chọn cơ sở chính tắc để đơn giản.
Sau đó, tìm các giá trị riêng và vector riêng của ma trận A.
Kiểm tra xem A có chéo hóa được không? Kết luận.
2. Trong
3
cho cơ sở gồm các vector
1 2 3
(1,1,1); ( 1,2,1); (1,3,2)
u u u
. Gọi
3 3
:f
là ánh xạ tuyến tính xác định bởi
1 2 3
( ) (0,5,3); ( ) (2,4,3); ( ) (0,3,2)
f u f u f u
.
a) Hãy tìm công thức của f.
b) Hãy tìm một cơ sở trong đó ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Hướng dẫn:
Làm tương tự như ví dụ.
3. Hãy chéo hóa (nếu có thể) các toán tử tuyến tính
3 3
:f
cho sau đây:
a) f (x, y, z) = (x + y, 2y + z, 2y + 3z)
b) f (x, y, z) = (x + y, y + z, -2y – z)
c) f (x, y, z) = (x – y + z, x + y – z, -x + y + z)
d) f (x, y, z) = (x – y, y – z, x + z)
III. Dạng chính tắc Jordan:
1. Tìm dạng chính tắc của 1
ma trận:
Hãy tìm dạng chính tắc của các
ma trận sau:
a)
1
0
b)
2
2
1 1
1 2 1
c)
0
0 5
d)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Hướng dẫn:
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa về dạng chính tắc.
a) Ta có:
1 2 2 2 1 2 2 1
2 2
2 2
2
1 1 1 1 0
0 0 0 0
1 0
0
c c d d d c c c
d d
Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.
2. Tìm dạng Jordan của một ma trận:
Hãy tìm dạng Jordan của các ma trận sau (bằng cách đưa
A I
về dạng chính tắc và suy
ra ma trận J đồng dạng với A).
a)
0 1 0
4 4 0
2 1 2
A
b)
2 6 15
1 1 5
1 2 6
c)
9 6 2
18 12 3
18 9 6
d)
1 3 0 3
2 6 0 13
0 3 1 3
1 4 0 8
e)
3 4 0 2
4 5 2 4
0 0 3 2
0 0 2 1
Hướng dẫn:
a) Xét ma trận
A I
2
2
1 0 1 0 1 0
4 4 0 4 4 0 0 4 (4 ) 0
2 1 2 1 2 2 0 2 2
1 0 1 0 1 0
0 4 4 0 0 2 2 0 2 2
0 2 2 0 4 4 0 0 0 (2 )( 2)
1 0 0
0 2 2
A
1 0 0
0 2 0
0 0 (2 )( 2) 0 0 (2 )( 2)
Dạng Jordan của ma trận A là:
2 0 0
0 2 0
0 0 2
b) Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.
Bài tập về ma trận đồng dạng:
1) Cho
A
và
B
là các ma trận đồng dạng trên
K
. Chứng minh rằng
a)
det detA B
.
b)
rank rankA B
.
c)
tr( ) tr( )A B
.
Hướng dẫn:
Do
A
đồng dạng với
B
nên tồn tại ma trận
P
khả nghịch để
1
A PBP
.
a)
1 1 1
det det( ) det ·det · det ·det det detA PBP P B P P P B B
.
b)
1 1 1
( ) ( (rank rank rank )) ( )
rank rankA PBP P BP BP B
.
c)
1 1 1 1
tr( ) tr( ) tr(( ) ) tr( ( )) tr( ) tr( )A PBP PB P P PB P PB B
.
Sinh viên tìm ví dụ minh họa.
2) Cho
A
và
B
là các ma trận đồng dạng trên
K
. Chứng minh rằng
a)
k
A
và
k
B
đồng dạng.
b)
( )f A
và
( )f B
đồng dạng với mọi
( ) [ ]f t K t
.
c)
A
khả nghịch khi và chỉ khi
B
khả nghich.
d) Nếu
A
khả nghịch thì AB và BA đồng dạng.
Hướng dẫn:
a) Do
A
đồng dạng với
B
nên tồn tại ma trận
P
khả nghịch để
1
A PBP
. Ta có
1 1 1 1 1
( ) ( )( ) ( )
k k k
A PBP PBP PBP PBP PB P
. Vậy
k
A
và
k
B
đồng dạng. 0,5đ
b) Do
A
đồng dạng với
B
nên tồn tại ma trận
P
khả nghịch để
1
A PBP
.
Giả sử
1
( ) [ ]
k
i
i
i
f t a t K t
. Khi đó
1 1
( ) , ( )
k k
i i
i i
i i
f A a A f B a B
và
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1
( ) ( ) ( )
( )
( )
k k k
i i i
i i i
i i i
k k
i i
i i
i i
f A a A a PBP a PB P
P a B P P a B P
Pf B P
Vậy
( )f A
và
( )f B
đồng dạng.
c) Do
A
và
B
đồng dạng nên
det detA B
. Khi đó
det A
khác 0 khi và chỉ khi
det B
khác 0. Do đó
A
khả nghịch khi và chỉ khi
B
khả nghich.
d) Do
A
đồng dạng với
B
nên tồn tại ma trận
P
khả nghịch để
1
A PBP
. Nếu
A
khả nghịch thì
1 1
( )( ) ( )AB AB AA A BA A
. Do đó AB và BA đồng dạng.
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
3) Chứng minh rằng nếu một trong hai ma trận vuông cùng cấp A và B là không suy biến
thì AB và BA đồng dạng.
4) Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường số thực mà chỉ đồng dạng với chính
nó.
5) Chứng minh các cặp ma trận sau đồng dạng bằng cách chứng minh rằng
A I
đồng
dạng với
B I
:
a)
3 2 5
2 6 10
1 2 3
A
và
6 20 34
6 32 51
4 20 32
B
b)
6 6 15
1 5 5
1 2 2
A
và
37 20 4
34 17 4
119 70 11
B
6) Chứng minh rằng:
a) Mọi ma trận vuông phức A đều đồng dạng với một ma trận Jordan J (sự đồng dạng này
là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các ô Jordan.
b) Mọi toán tử tuyến tính f trên không gian phức n chiều V đều có cơ sở Jordan, tức là cơ
sở của V mà trong đó ma trận của f đối với cơ sở này là ma trận Jordan.
7) Chứng minh rằng:
a) Nếu V là không gian vector trên trường số phức
thì mọi phép biến đổi tuyến tính của
V đều có ít nhất một không gian con bất biến 1 chiều.
b) Nếu V là không gian vector trên trường số thực
thì mọi phép biến đổi tuyến tính của
V đều có ít nhất một không gian con bất biến hoặc 1 chiều hoặc 2 chiều.
9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:
a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau.
b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau.
c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng
(hay các cột) còn lại của định thức.
9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một
dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng
(hoặc cột) khác đều bằng 0.
9.3 Giả sử
nnij
)a(A
,
n21
A,,A,A
là các cột của A. Chứng minh rằng:
0Adet
hệ véc tơ
n21
A,,A,A
là hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không
là thay đổi hạng của ma trận đó.
9.5 Cho
nm
ij
aA
, B là ma trận vuông không suy biến cấp m. Chứng minh rằng
rankAA.Brank
.
Còn nếu
nm
ij
aA
, B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì
rankAB.Arank
. Còn
nếu
nn
ij
aA
, B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì
rankAA.BrankB.Arank
.
9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có
A.BB.A
thì:
a/
222
BB.A2A)BA(
; b/
22
BA)BA)(BA(
;
c/
32233
BB.A3B.A3A)BA(
9.7 Chứng minh rằng: Nếu ma trận vuông A có
2
A
thì các ma trận
EAvµEA
là những ma trận không suy biến.
9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:
a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó.
b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại.
9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu
)kAdet(Adet
. Hãy tính k.
9.12 Chứng minh rằng: Nếu
2Adet
thì các phần tử của ma trận nghịch đảo
không thể gồm toàn các số nguyên.
9.16 Cho các ma trận
82
94
07
C;
41
20
54
B;
32
13
21
A
Hãy tính a/
B2A3
; b/
C2B4A5
9.17 Cho
52
13
B;
31
47
25
A
Tìm
C
AA
và
C
BB
.
9.18 Cho
21
12
34
B;
13
15
31
A
. Tìm X biết a/
;BX3A2
b/
X
3
2
A3
;
9.19 Tính: a/ A
4
với
00
10
A
; b/ B
3
với
acosasin
asinacos
B
9.20 Chứng minh rằng: ma trận
dc
ba
X
thoả mãn phương trình:
E)bcad(X)da(X
2
, trong đó
10
01
E
;
00
00
9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho
EBAAB
, trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.
9.22 Cho
E3X4X)X(fTÝnh.
32
01
X
2
, trong đó
10
01
E
.
9.23 Cho
EX5X3X)X(fvµ
43
12
B;
32
21
A
23
. Tính f(AB).
9.24 Chứng minh rằng: ma trận
300
010
001
X
là nghiệm của đa thức
E9X9XX)X(f
23
.
9.25 Tìm (f(A))
2
nếu
301
210
021
A
và
EX)X(f
.
Giải các phương trình sau:
9.26
0
3x4
x32
det
; 9.27
23/31
13/2
det
x31
21x
132
det
.
9.28
0
003x
0x48
2x126
det
.
9.29 Cho a
1
, a
2
, …, a
n–1
là các hằng số tuỳ ý cho trước, khác nhau và khác 0. Giải
phương trình:
0
a aaa
a aaa
a aaa
x xxx
det
n3
1n
2
1n1n
n
2
3
2
2
22
n
1
3
1
2
11
n32
9.30 Tính các định thức sau: a/
222
222
222
222
222
)3()2()1(1
)3()2()1(1
)3()2()1(1
)3()2()1(1
)3()2()1(1
D
b/
a x x x
D x b x x
x x c x
9.31 Giải phương trình:
1 1 1 . . . 1
1 1 x 1 . . . 1
0
1 1 2 x . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . (n 1) x
Sử dụng tính các chất của định thức, tính các định thức từ bài 32 đến bài 36:
9.32
22721272
22731273
D
9.33 a/
556275363
222
654373461
D
; b/
0x xx1
x0 xx1
xx 0x1
xx x01
11 110
D
n
9.34 a/
5412
3844
1291
2673
D
; b/
x0 00a
1x 00a
00 x0a
00 1xa
00 01a
D
n
1n
2
1
0
1n
9.35
2 3 4 5
3 4 5 6
D
4 6 8 10
2 3 7 8
;
9.36 a/
n nnnn
n 4444
n 4333
n 4322
n 4321
D
n
; b/
5
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
D
2 2 3 2 2
2 2 2 4 2
2 2 2 2 5
;
c/
n 2222
2 4222
2 2322
2 2222
2 2221
D
n
.
9.37 Cho ma trận A cấp
1010
có dạng:
10
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
A
0 0 0 0 1
10 0 0 0 0
, các phần tử
dạng
9,1k1a;10a
1k,k
10
1,10
; E là ma trận đơn vị cấp 10. Chứng minh rằng:
1010
10)EAdet(
.
9.38 a/ Dùng công thức khai triển định thức, tính các định thức sau:
a/
00320
00351
00120
22300
11213
D
; b/
210000
1090000
861600
151200
305043
200021
D
9.39 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
231
121
315
A
9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận:
a/
4331
1241
2152
0121
A
; b/
10000
11000
11100
11110
11111
B
; c/
221
142
213
C
;
9.41 Giải phương trình ma trận: a/
BAX
Với
01
22
63
B;
231
121
312
A
b/
CBAX
với
211
113
362
C;
930
433
1549
B;
102
111
213
A
.
c/
BAX
với
1 000
1 100
1 110
1 111
A
;
1 000
2n 100
1n 210
n 321
B
9.42 Với giá trị nào của thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo:
a/
1 2 2
A 3 0
2 1 1
; b/
2 0
A 2 1
0 1
; c/
31
13
451
A
; d/
23
12
12
A
.
9.43 Dùng phương pháp định thức bao quanh, tìm hạng của ma trận:
a/
1 2 3 4
1 3 0 1
A
2 4 1 8
1 7 6 9
0 10 1 10
;
1 1 2 3 1
0 2 1 2 2
0 0 3 3 3
B
0 0 0 4 0
1 3 6 12 2
1 3 3 5 1
9.44 Dùng các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận:
1 2 1 1 1
2 1 1 2 4
A
1 3 2 1 1
3 3 2 3 1
;
1 4 5 3 1
1 2 1 1 0
B
3 1 2 2 1
0 3 3 3 3
2 1 1 3 2
9.45 Chứng minh rằng một ma trận có hạng bằng r bao giờ cũng viết được thành
tổng của r ma trận có hạng bằng 1.
9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng
rank(A B) rankA rankB
.
9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ
a/
1 2 3 4
A ( 1,0, 3,1); A (1, 2,1,3); A (2,1,1, 1); A (4, 3,3
,5)
b/
1 2 3 4
B ( 1,0, 3,2); B (1, 2,1,0); B (2,0,1, 1); B (2, 3,3
,1)
9.48 a/ Cho hệ véc tơ
1 2 3
A (2,3,5); A (3,7,8); A (1, 6, ); X (1,3,5)
.
Tìm giá trị của để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
321
A,A,A
.
b/ Cho hệ véc tơ
1 2 3
A ( 6,7,3, 2);A (1,3,2,7);A ( 4,18,10,3);X (1,8
,5, )
Tìm giá trị của để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
321
A,A,A
.
c/ Cho hệ véc tơ
1 2 3
A (1, 1,a); A (3,2,2); A (4,3,1); C (2,1,3)
.
Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
321
A,A,A
.
d/ Cho hệ véc tơ
1 2 3
A (4,5,3, 1);A (1, 7,2, 3);A ( 4,1, 1,3);C ( 2,8,a
,4)
Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ
321
A,A,A
.
9.49 Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ sau, biểu diễn các véc tơ còn lại theo cơ sở đó:
a/
1 2 3 4
A (1,2, 1,3); A (0,3, 3,7); A (7,5,2,0); A (2,1,1
, 1)
b/
1 2 3 4
A (2,1,1,3,5); A (1,2,1,1,3); A (7,1,6,0,4); A
(3,4,4,1,2);
5
A (3,1,3,2,1)
9.50 Cho
1 2 m
A ,A , ,A
là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính. Nếu mỗi véc
tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ
n 1
thì hệ m véc tơ
n 1
chiều mới là
độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
9.51 Cho
1 2 m
A ,A , ,A
là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính. Nếu mỗi véc tơ
của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ
n 1
chiều mới là độc lập tuyến tính
hay phụ thuộc tuyến tính?
Giải
9.2: Chứng minh:
n
kj ij
j 1
a A
chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức:
11 12 1n
21 22 2n
k1 k2 kn
k1 k2 kn
a a . . . a
a a . . . a
. . . . . . . . . . . .
a a . . . a
. . . . . . . . . . . .
a a . . . a
. . . . . . . . . . . .
(*1)
.
dòng i
dòng k
trong đó
2n
. Mà định thức (*1) có hai dòng giống nhau nên định thức bằng không
n
kj ij
j 1
a A 0
9.3
Điều kiện cần: Cho
nn
ij
aA
có
0Adet
, ta cần chứng minh hệ véc tơ dòng
(hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại hệ véc tơ dòng (hoặc cột)
của ma
trận là phụ thuộc tuyến tính, theo hệ quả 9.3.5 thì
0Adet
, mâu thuẫn với giả
thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ
hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính.
– Điều kiện đủ: Giả sử hệ n véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính, theo
định nghĩa của hạng của hệ véc tơ thì
nA, ,A,Arank
n21
, theo định lý 9.5.1 thì
nrankA
, theo định nghĩa hạng của ma trận thì
0Adet
.
□
9.5 Do B là ma trận không suy biến nên tồn tại
1
B
. Xét ma trận ghép
1
BA
,
nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được
EA.BB.BA.BBA.B
11
. Đó
chính là phép khử toàn phần thực hiện trên ma trận
1
B
nó là các phép biến đổi sơ
cấp thực hiện trên ma trận A để được B.A
rankAA.Brank
.
Để chứng minh
rankAB.Arank
, ta lấy chuyển vị
B
,
mn
ji
1
aAvµ)B(
. Xét ma trận
ghép
)B(A
1
, nhân vào bên trái của ma trận này với
B
, ta được
E)AB()B.(BAB)B(A.B
11
(vì
E)B.B()B.(B
11
). Như vậy từ ma trận A,
nhờ các phép chuyển vị và các phép biến đổi sơ cấp, ta đã thu được ma trận A.B
rankAB.Arank
□
9.7 Ta có
det A E A E det A E det A E
(*1)
Vì
AE EA
nên
2 2
det A E A E det A E
, do
2
A
nên
2 2 2 n
det A E det E ( 1) 0
det A E 0
và
det A E 0
các ma
trận
A E
và
A E
là những ma trận không suy biến.
9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi
dấu tất cả n dòng của định thức. Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng
của định thức làm cho định thức đổi dấu. Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của
định thức cấp n làm cho định thức được nhân với
n
( 1)
.
b/ Đối với định thức cấp chẵn (
n 2k
) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó)
theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng
2k
cho
nhau; dòng 2 và dòng
2k 1
cho nhau; … dòng k và dòng
k 1
. Ta cũng đã biết: khi
đổi chỗ 2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu. Do đó khi viết các dòng của
định thức cấp
2k
theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với
k
( 1)
. Chẳng hạn
khi làm như vậy đối với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4
thì định thức không đổi dấu.
Đối với định thức cấp lẻ (
n 2k 1
) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo
thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng
2k 1
cho
nhau; dòng 2 và dòng
2k
cho nhau; … dòng k và dòng
k 2
. Do đó khi viết các dòng
của định thức cấp
2k 1
theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với
k
( 1)
.
Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn với định
thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu.
Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các
định thức cấp
4k
và
4k 1
không thay đổi, các định thức cấp
4k 1 vµ 4k 2
sẽ
đổi dấu (k nguyên dương).
9.9 Vì
n
det(kA) k detA
nên
n
k detA detA
. Nếu
detA 0
thì
det(kA) detA
đúng với mọi k. Còn nếu
detA 0
thì
n
k 1
k 1
nếu n lẻ;
k 1
nếu n chẵn.
9.10 Chứng minh rằng: Nếu
1
AA
thì
,3,2,1,0nAA;EA
1n2n2
Từ giả thiết
1
AA
2 1
A A A E
2n n
A E E
n
nguyên dương
2n 1
A A
n
nguyên dương.
□
9.11 Chứng minh rằng: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thoả mãn
BAAB
và
0Adet
thì
11
BABA
.
1 1 1 1 1 1
A B A BAA A ABA BA
.
□
9.12 Chứng minh rằng: Nếu
2Adet
thì các phần tử của ma trận nghịch đảo
không thể gồm toàn các số nguyên.
Do
detA 2 0
tồn tại ma trận nghịch đảo
1
A
1
A.A E
1 1
(detA).(detA ) det(A.A ) detE 1
vì
2Adet
1
1
detA
2
1
A
không thể
toàn các số nguyên.
9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho
EBAAB
, trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.
Từ sự tồn tại của các ma trận AB và BA kéo theo A và B là các ma trận vuông cùng cấp.
Giả sử
ij ij ij ij
n n n n n n n n
A a ; B b ; AB c ; BA d
. Gọi
AB BA
V
là tổng các
phần tử trên đường chéo chính của ma trận
AB BA
n
AB BA ii ii
1
V (c d )
n n n
ik ki ik ki
i 1 k 1 k 1
a b b a
n n n n
ik ki ki ik
i 1 k 1 k 1 i
a b a b 0
. Trong khi đó tổng các phần
tử trên đường chéo chính của ma trận đơn vị E là
E
V n
. Vậy không tồn tại các ma
trận vuông cùng cấp A và B sao cho
EBAAB
.
9.29 Phương trình
2 3 n
2 3 n
1 1 1 1
2 3 n
2 2 2 2
2 3 n
n 1 n 1 n 1 n 1
x x x . . . x
a a a . . . a
det 0
a a a . . . a
. . . . . . . . . . . . . . .
a a a . . . a
(với điều kiện a
1
, a
2
, …, a
n–1
là các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n
nghiệm. Dễ dàng thấy
1 2 1 3 2 n n 1
x 0, x a , x a , , x a
là n nghiệm khác nhau của
phương trình, vì vậy nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi □
9.30 a/
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 1) ( 2) ( 3)
1 ( 1) ( 2) ( 3)
D
1 ( 1) ( 2) ( 3)
1 ( 1) ( 2) ( 3)
1 ( 1) ( 2) ( 3)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(2)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
1 2 1 ( 2) ( 3)
=
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
1 ( 2) ( 3)
vì định thức (2)
có được từ định thức (3) bằng cách cộng vào cột 3 một tổ hợp tuyến tính của 2 cột đầu.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(5)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
D 0
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3)
Vì định
thức (5) có cột 4 bằng tổ hợp tuyến tính của 3 cột đầu.
b/ Nếu
abcx 0
:
a x x x
D x b x x
x x c x
1 x x 1 x x
a 0 b x x x 1 b x x
0 x c x 1 x c x
2
1 0 x 1 1 x 1 0 x 1 1 x
ab 0 1 x ax 0 1 x xb 1 1 x x 1 1 x
0 0 c x 0 1 c x 1 0 c x 1 1 c x
. Vì định thức cuối
cùng có hai cột giống nhau nên nó bằng 0. Định thức đầu tiên là định thức của ma
trận tam giác nên
1 0 x
ab 0 1 x ab(c x) abc abx
0 0 c x
. Lại tách hai định thức giữa
theo cột cuối, mỗi định thức thành hai định thức, ta được:
2 2
1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1
D abc abx acx 0 1 0 ax 0 1 1 xbc 1 1 0 x b 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1
, ở đây lại thấy
1 1 1
0 1 1 0
0 1 1
;
1 0 1
1 1 1 0
1 0 1
(có hai cột giống nhau);
1 1 0
0 1 0 1
0 1 1
;
1 0 0
1 1 0 1
1 0 1
D abc abx acx xbc
Nếu chẳng hạn
a 0
thì
1 0 x
D xb 1 1 x bcx
1 0 c x
.
Nếu
x 0
thì
a 0 0
D 0 b 0 abc
0 0 c
. (Đáp số trong sách sai)
9.31 Phương trình:
1 1 1 . . . 1
1 1 x 1 . . . 1
0
1 1 2 x . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . (n 1) x
là phương trình bậc
n 1
nên nó có không quá
n 1
nghiệm khác nhau. Nhưng dễ thấy phương trình có
n 1
nghiệm khác nhau là
1 2 n 1
x 0; x 1; . . . ; x n 2
phương trình chỉ có các
nghiệm đó mà thôi (Đáp số trong sách bài tập thiếu nghiệm – không điểm) □
