BD HSG_chuyên đề 7: PHÂN SỐ& LIÊN PHÂN SỐ

Chuyên đề 7:
PHÂN SỐ VÀ LIÊN PHÂN SỐ
I. KHÁI NIỆM PHÂN SỐ VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ:
1.
a) - Phân số có dạng
b
a
, trong đó a,b ∈ Z, b ≠ 0, a gọi là tử, b là mẫu.
- Mọi số nguyên a đều có thể viết được dưới dạng phân số với mẫu bằng 1 (
1
a
)
b) - Có 02 tính chất cơ bản của phân số: (b,m≠0, a,b,m∈Z)

c) - Rút gọn một phân số là chia tử và mẫu của phân số cho ƯC (khác 1 và –1) của
chúng.
- Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. Muốn rút gọn một phân
số đến tối giản ta chia tử và mẫu cho ƯCLN của chúng. a/b tối giản ⇒ ƯCLN (a;b)=1
d) Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số có mẫu dương ta làm theo 3 bước:
Bước 1: Tìm BC của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu bằng cách lấy mẫu chung chia cho từng
mẫu.
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phấn số với thừa số phụ tương ứng.
 Nếu mẫu của các phân số là nguyễn tố cùng nhau thì mẫu chung bằng tích của các
mẫu.
2. Bài tập:
Bài 1: Chứng rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số là phân số tối giản.
Gọi d là ƯCLN (21n + 4 ; 14n + 3 ) (d ∈N; d ≥ 1)
Khi đó ta có: 2.(21n + 4) d và 3.(14n + 3) d
Hay 42n + 8 d và 42n + 9 d
Theo tính chất hiệu chia hết của 1 tổng (hiệu) thì:

(42n + 9) – (42n + 8) = 1 d
Suy ra: d = 1
Vậy phân số là phân số tối giản với ∀ n ∈ N

Bài 2: Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số tự nhiên n ≠ 0
Gọi d là ƯCLN ( ; ) (d ∈ N ; d ≥ 1)
- 1 -
Ta có: và
Khi đó
⇒ (n
4
+ 3n
2
+1 - n
4
- 2n
2
) = n
2
+ 1

d
⇒ n.(n
2
+ 1)

d
Ta lại có: (n
3
+ 2n - n

3
- n) = n

d
⇒ n.n = n
2


d
do đó: n
2
+ 1 - n
2
= 1

d
Suy ra: d = 1

Vậy phân số là phân số tối giản.

Bài 3. Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số là phấn số tối giản
Giải
Ta có:
Ta thấy: 3 và 7 ; 3 và 3n + 1 ; 3n + 1 và 6n + 1 đôi một nguyên tổ cùng nhau
Để tối giản thì 6n + 1

7
Suy ra n ≠ 7k + 1 ( k ∈ N)
Bài 4. Tìm các số nguyên x, y, z biết:
Giải

Ta có ⇒ x
2
= 3 . 12 = 36 = (-6)
2
= (6)
2
⇒ x = - 6 hoặc x = 6
 Khi x = 6 thì
⇒
⇔
- 2 -
Vậy
II. SO SÁNH PHÂN SỐ:
Trong hai phân số có cùn mẫu dương phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
- Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu ta viết chúng dưới dạng 2 phân số
có cùng mẫu dương rồi so sánh tử. Phân số nào có tử lớn hơn thì lơn hơn.
- Trong hai phân số có cùng tử, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì lớn hơn.
- Nếu tử nhỏ hơn mẫu thì phân số nhỏ hơn 1. Nếu tử lớn hơn mẫu thì phân số lớn
hơn 1.
2) Bài tập:
Bài 1: So sánh hai phân số:
Đặt a = 5555555557 ; b = 6666666669 ⇒ a < b
Hai phân số đã cho được viết :
hay
Ta cần so sánh
Ta có : 5.a = 555555555557 > 55500000000 = 27500000000
4b = 46666666669 < 46700000000 = 26800000000
⇒ 5a > 4b hay

Vậy:

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của phân số:
Ta có :
- 3 -
 Để K lớn nhất thì a/b nhỏ nhất ⇒ b nhận giá trị nhỏ nhất, mà b là chữ số
hàng đơn vị của số nên b = 0. Khi đó a nhận giá trị 1 đến 9.
⇒ Giá trị lớn nhất của K = 10.
 Để K đạt giá trị nhỏ nhất thì a/b lớn nhất, b nhận giá trị lớn nhất, a nhận
giá trị nhỏ nhất khác 0 ⇒ a = 1, b = 9.
⇒ Giá trị nhỏ nhất của K = 19/10.
Bài 3: Người ta viết thêm những chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số có hai chữ
số, sau đó lập tỉ số giữa số có ba chữ số và số đã cho. Hỏi giá trị bằng số số tự nhiên lớn
nhất, nhỏ nhất của tỉ số này là bao nhiêu?
Giải
Gọi số ban đầu là ; a, b là chữ số a ≠ 0
Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai số ta được
Đặt
Ta có:
 Để K lớn nhất khi
b
a
nhỏ nhất, suy ra: b = 0, a lấy giá trị tuỳ ý từ 1 đến 9.
⇒ Giá trị lớn nhất của K = 10.
 Để K nhỏ nhất khi a/b lớn nhất, b nhận giá trị lớn nhất, a nhận giá trị nhỏ nhất.
⇒ a = 1, b = 9.
⇒ mà K ∈ N nên K = 6
⇒ Giá trị nhỏ nhất của K = 6
III. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ:
1. Kiến thức:
 Tổng của hai phân số cùng mẫu là một phân số có tử bằng tổng các tử và
mẩu là mẫu chung.

 Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu. Ta viết chúng dưới dạng 2 phân số
có cùng mẫu dương rồi cộng tử giữ nguyên mẫu.
 Tính chất cơ bản của phép cộng phân số:
+ Tính chất giao hoán:
- 4 -
+ Tính chất kết kợp:
+ Cộng với số 0:
 Muốn trừ phân số a/b cho phân số c/d ta cộng phân số a/b với số đối của
phân số c/d.
2. Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng: Tổng của một phân số tối giản với 1 cũng là phân số
tối giản.
Gọi a/b là phân số tối giản
Cần chứng minh hay là phân số tối giản.
Giả sử không tối giản
Gọi ƯCLN (a + b; b) = d > 1
Khi đó: a+ b : d và b : d ⇒ a + b – d = a : d ⇒ a/b không tối giản (trái với giả
thiết). Vậy tối giản.
Bài 2: Chứng minh rằng:
Giải
Ta có:
hay
Vậy:
Bài 3: Chứng minh rằng:
Giải
- 5 -
Ta có:
Do đó:
Hay
Bài 4: Tính tổng:

a)
+
5.2
3
++
8.5
3
20.17
3
b)
6.1
5.5
+
11.6
5.5
+…+
31.26
5.5
Giải
a) Ta có:
=
5.2
3

−
2
1
5
1

=
8.5
3
−
5
1

8
1
. . . . . . .

=
20.17
3

−
17
1
20
1
⇒
+
5.2
3
+
8.5
3
… +
=
20.17

3
20
9
20
110
20
1
2
1
20
1
17
1

8
1
5
1
5
1
2
1
=
−
=−=−++−+−
b)
6.1
5.5
+
11.6

5.5
+…+
31.26
5.5
=5(
6.1
5
+
11.6
5
+…+
31.26
5
)=5(1-
31
1
)=
31
150
=4
31
26
Bài 5: Tìm x:
a)
3
2
1)
100.89
11

34.23
11
23.12
11
12
11
( =+++++ x
b)
3
1
2
231
221
4)
21.19
2

15.13
2
13.11
2
( =+−+++ x
- 6 -
Giải
a) Tính tổng:
100.89
11

34.23
11

23.12
11
12
11
++++

100
1
89
1

34
1
23
1
23
1
12
1
12
1
1 −++−+−+−=

100
99
100
1
1 =−=
Do đó:
3

2
1
100
99
=+ x

300
203
300
3.99500
100
99
3
5
=
−
=
−=
x
x
x

Vậy:
300
203
=x

b) Ta có:
21
1

19
1

15
1
13
1
13
1
11
1
21.19
2

15.13
2
13.11
2
−++−+−=+++

231
10
21.11
1121
21
1
11
1
=
−

=−=
Do đó:
3
1
2
231
221
4
231
10
=+− x

3
7
5 =− x

3
8
3
7
5
=
−=
x
x
Vậy :
3
2
2
3

8
==x
IV. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA:
1. Kiến thức:
a) Quy tắc phép nhân phân số:

db
ca
d
c
b
a
.
.
. =
(a, b, c, d ∈ Z; b, d ≠ 0)
b) Quy tắc phép chia phân số:
- 7 -

db
ca
c
d
b
a
d
c
b
a
.

.
.: ==
(b, c ≠ 0) với
c
d
là nghịch đảo của
d
c

cb
a
c
b
a
c
da
c
d
a
d
c
a
.
:
.
.:
=
==
2. Bài tập:
 Bài 1: Thực hiện phép tính:

a) 182
343
1
49
1
7
1
1
343
4
49
4
7
4
4
:
27
2
9
2
3
2
2
27
1
9
1
3
1
1

−+−
−+−
+++
+++
:
80808080
91919191
b)
80
1
).
25
3
288,1(
2
1
1).
20
3
3,0(
5
2
4).65,2
20
1
3
03,0:)
2
1
46(

+
−
−
+−
−
: 2
20
1
c)
10.2,21
25,0
1
.
2
1
1
4
1
2
1
:1
50
.4,0.
2
3
5,1
:8,0
3
1
:6

+
+
++−
Giải
a) Ta có:
2
1
)
27
1
9
1
3
1
1.(2
)
27
1
9
1
3
1
1(
27
2
9
2
3
2
2

27
1
9
1
3
1
1
=
+++
+++
=
+++
+++

80
91
80.1010101
91.1010101
80808080
91919191
4
)
343
1
49
1
7
1
1(
)

343
1
49
1
7
1
1.(4
343
1
49
1
7
1
1
343
4
49
4
7
4
4
==
=
−+−
−+−
=
−+−
−+−
Biểu thức đã cho được viết lại:
20

91
80
.
8
1
.182
80
91
:)4:
2
1
.(182 ==
b) Đáp số: 10
c) Đáp số: 11
Bài 2: Tìm x biết
a)
→=
−
+
−++
−
−
625,2
3,4:)3,1
5
2
2(
9,1:)3,70:66,1546,1(
11
9

8
7
3
:)4,12,5(
3
1
2).8,07,2(
x
Đáp số
8
1
1=x
- 8 -
b)
→=+−+++ 1912,0:)]05,1(:04,2[462).
21.19
2
15.13
2
13.11
2
( x
Đáp số x=15,95
V. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ:
1. Kiến thức cơ bản:
a) Muốn tìm giá trị phân số của một số cho trước ta nhân số cho trước với phân
số đó.
b) Muốn tìm một số biết giá trị phân số của nó ta chia giá trị này cho phân số.
c) Tỉ số của 2 số a và b là thương trong phép chia a cho b (b ≠ 0)
i) Tìm tỉ số phần trăm của a và b

%
100.
b
a
ii) Muốn tìm tỉ lệ xích của một bản vẽ khi biết khoảng cách a giữa hai
điểm trên bản vẽ và khoảng cách b giữa hai điểm tương ứng trên thực tế, ta tính
b
a
T =
2. Bài tập:
Dạng 1 Bài 1: Hiện nay tổng số tuổi của 3 anh em là 58 tuổi. Hỏi tuổi của mỗi
người, biết rằng ¾ số tuổi của người em út bằng
3
2
số tuổi của người thứ 2 và bằng ½ số
tuổi của người anh cả.
Gọi a,b,c là số tuổi của anh cả, thứ hai, em út.
Ta có: a + b + c = ½ a ⇒ 9c = 8b = 6a (2)
Thay (2) vào (1) ta được : a+ ¾ a +
2
3
a = 58 ⇒ a = 24, b = 18, c= 16
Vậy tuổi của anh cả là 24, anh thứ hai là 18, em út là 16.
Bài 2: Trong một lớp chuyên toán chỉ gồm hai loại học sinh giỏi và khá. Cuối học
kì I. SỐ học sinh giỏi bằng
7
2
số học sinh khá. Đến cuối năm học có 1 học sinh khá được
xếp vào loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng

3
1
số học sinh khá. Tính số học sinh của lớp (Đáp
số: 36 hs)
Bài 3: Tìm a) 2.5% của
→
−
04,0
3
2
2).
18
5
83
30
7
85(
Đs:
24
11
b) 5% của
→
−
−
5,2:)25,121(
6
5
5).
14
3

3
5
3
6(
Đs: 0,125
Dạng 2:
- 9 -
Bài 4: Tìm 12% của
34
3 b
a +
, biết :
a=
67,0)88,33,5(03,06.32,0
)
2
1
2:15,0(:09,0
5
2
:3
+−−+
−
b=
625,0.6,1
25,0:1
013,0:00325,0
)045,0.2,1(:)965,11,2(
−
−

Đáp số: 0,69
Bài 5: Ba tổ học sinh phải trồng một số cây xung quanh trường. Tổ thứ nhất trồng
được ¼ số cây, tổ thứ hai trồng 40% số cây còn lại, tổ thứ 3 trồng được 140 cây, như vậy so
với quy định cả tổ 3 trồng nhiều hơn 5cây. Hỏi cả 3 tổ trồng được bao nhiêu cây?
Đáp số: 305 cây.
Dạng 3: Bài 6: Ba tổ học sinh trồng được 179 cây xung quanh vườn trường. Số cây tổ
I trồng bằng
11
6
số cây tổ II trồng và bằng
10
7
số cây tổ III đã trồng. Hỏi mỗi tổ trồng được
bao nhiêu cây ?
Đáp số: Đội I trồng 42 (cây)
Đội II trồng 77 (cây)
Đội III trồng 60 (cây)
Bài 7: Tổng các luỹ thừa bậc ba của ba số tự nhiên là 1009. Biết rằng tỉ số giữa
số thứ nhất và số thứ hai là
3
2
, giữa số thứ nhất với số thứ ba là
9
4
. Tìm ba số đó?
Đáp số: (4; 6; 9)
Bài 8: Tìm hai số biết tỉ số của chúng là
7
5
và tổng bình phương của hai số ấy

là 4736.
Đáp số: (40; 56)
VI. LIÊN PHÂN SỐ:
1. Kiến thức cần nhớ:
a) Định nghĩa: Một liên phấn số hữu hạn cấp n là một biểu thức có dạng
q
o
+ 1
q
1
+ 1
q
2
+ 1
q
3
+ …
. . . . . . . . . .
- 10 -
+ 1
q
n-1
+ 1/ q
n

Trong đó q
o
là số nguyên, còn q
1,
q

2,
q
3 …
q
n
là những số nguyên dương và q
n
>1.
- Số q
s
với S = 0,1, … , n là số hạng thứ 3 của liên phân số đã cho.
- Cách viết gọn liên phấn số trên là: [q
o
, q
1
, q
2
,…, q
n
]
b) Cách viết một phân số dưới dạng một liên phân số hữu hạn.
Giả sử ta có x=
b
a
(a,b ∈ Z; b ≥ 1)
Ta dùng thuật toán O’cơlit trên hai số a và b.
a = bq
o
+

r
1
( 0 < r
1
< b )
b = r
1
q
1
+

r
2
( 0 < r
2
< r
1
)
r
1
= r
2
q
2
+

r
3
( 0 < r
3

< r
2
)
… … … … …
r
n – 2
= r
n - 1
q
n
- 1 +

r
n
0 < r
n
< r
n – 1
r
n – 1
= r
n
q
n
Suy ra:

11
=
+
+=+=+=

r
r
q
q
r
b
q
b
r
q
b
a
= q
o
+ 1
q
1
+ 1
q
2
+ …
. . . . . . . .
+ 1
q
n-1
+ 1/ q
n

c) Cách viết một liên phân số dưới dạng một phân số: (gọi là giản phân cấp s ).
A

0
=

q
0
Và A
1
= q
1
q
0
+

1
B
0
= 1 B
1
=

q
1

A
s
= q
s
A
s-1
+

A
s

B
s
= q
s
B
s - 1
+

B
s - 2
r
1
= r
2
q
2
+

r
3
Với s ≥ 2
Phân số tìm được có dạng:
b
a
= A
s

/ B
s
 Cách lập bảng:
s 0 1 2 … K-2 K-1 K …
q
s
q
0
q
1
q
2
… q
k-2
q
k-1
q
k
…
- 11 -
A
s
q
0
A
1
A
2
= q
2

A
1
+

A
0
… A
k-2
A
k-1
A
k
= q
k
A
k-1
+

A
k-2
…
B
s
1 B
1
B
2
= q
2
B

1
+

B
0
… B
k-2
B
k-1
B
k
= q
k
B
k-1
+

B
k-2
…
3. Bài tập:
Dạng 1: 1. Biểu diễn các số hữu tỉ thành liên phân số:
Dùng thuật toán O’cơlit
a)
1
3
48
47
+−=
−

= [-3; 2; 1; 1; 3]

1
2 +
1
1+

3
1
1+
b)
]2;2;1;1;1;1;1;4[
1200
5544
=
2)Hãy biểu diễn các số hữu tỉ sau thành liên phân số:
a)
52
127
b)
117
38
c)
175
258−
d)
367
1657−
e) 3,14
Dạng 2:3) Tìm phân số biểu diễn liên phân số sau:

[4; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2]
s 0 1 2 3 4 5 6 7
q
s
4 1 1 1 1 1 2 2
A
s
4 5 9 14 23 37 97 231
B
s
1 1 2 3 5 8 21 50
Vậy phân số cần tìm là
50
231
4) Tìm phân số biểu diễn liên phân số sau:
a) [3, 7,15,1, 292] b) [1; 2; 2; 2; 2]
c) [-2; 1; 1; 2; 2] d) [a; a; a; a]
- 12 -