Đề và đáp án Toán 9 vào lớp chất lượng cao năm học 2011-2012

UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN
PHÒNG GD & ĐT
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 9 CHẤT LƯỢNG CAO
Năm học 2011 – 2012
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 6x
2
– x – 1
b) 3x
3
– 7x
2
+ 17x – 5
c) ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c)
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho biểu thức : A =
2
2
2 1 10
: 2
4 2 2 2
x x
x
x x x x
 
−
 
+ + − +

 ÷
 ÷
− − + +
 
 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3: (2.0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
2 2
2 2 2 2014x y xy x+ + − +
b) Cho a, b, c là 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

1 1 1
+ + 9
a b c
≥
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng
qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a) Chứng minh rằng OM = ON.
b) Chứng minh rằng
MNCDAB
211
=+
.
c) Biết
ABC
S
∆

= 2011
2
(đơn vị diện tích);
COD
S
∆
= 2012
2
(đơn vị diện tích).
Tính S
ABCD
.
Câu 5: (1,0 điểm).
Tìm các số nguyên
x
và
y
thỏa mãn

2 2
5 2 4 40 0x xy y x+ + − − =
.
HÕt
Hä vµ tªn thÝ sinh : Sè b¸o danh :
Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 1 : Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 2:

ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND HUYỆN NGHĨA ĐÀN
PHÒNG GD & ĐT
híng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm ĐỀ THI

TUYỂN SINH LỚP 9 CHẤT LƯỢNG CAO
Năm học 2011 – 2012
Môn thi: Toán
(Híng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm gåm 2 trang )
Câu
Ý
Nội dung Điểm
Câu 1 2,0
a 6x
2
– x – 1 = 6x
2
– 3x + 2x – 1 = 3x(2x – 1) + (2x – 1) = (2x – 1)(3x + 1) 0,5
b
3x
3
– 7x
2
+ 17x – 5 = (3x
3
– x
2
) – (6x
2
– 2x) + (15x – 5) =
= (3x – 1)( x
2
– 2x + 5)
0,5
c

ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c) = a
2
b + ab
2
– b
2
c – bc
2
+ ac(a – c) =
= b(a
2
– c
2
) + b
2
(a – c) + ac(a – c) = (a – c)(ab + bc + b
2
+ ac)
=(a – c)(a+b)(b + c)
1,0
Câu 2 1,5
a
ĐKXD: x
≠
-2 và x
≠
2
A =
( ) ( )
( ) ( )

2
2 2 10
2 1
:
2 2 2 2 2
x x x
x
x x x x x
 
 
− + + −
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − + +
 
 
0,25
=
( ) ( )
2( 2) 2 2
.
2 2 6
x x x x
x x
− + + − +
− +
0,5
=

2 4 2
6( 2)
x x x
x
− − + −
−
=
6
6( 2)x
−
−
=
1
2 x−
0,25
b
( )
2x − ∈
Ư(1)
( ) { }
2 1:1x⇒ − ∈ −
0,25
2 1 1( / )
2 1 3( / )
x x t m
x x t m
− = − =
 
⇔
 

− = =
 
0,25
Câu 3 2,0
a
A =
2 2 2 2
2 2 2 2014 ( 1) ( 1) 2012 2012x xy y x x y y+ + − + = + − + + + ≥
0,5
MinA = 2012
⇔
x = 2, y = - 1 0,5
b
Chứng minh:
1 1 1
+ + 9
a b c
≥
VT =
1 1 1 a + b + c a + b + c a + b + c
+ + = + +
a b c a b c
=
a b b c a c
3+( + )+( + )+( + )
b a c b c a
Vì a, b, c là các số dương nên
a b c
; ;
b c a

là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
2 . 2
a b a b
b a b a
+ ≥ =

2 . 2
b c b c
c b c b
+ ≥ =
;
2 . 2
a c a c
c a c a
+ ≥ =
Nên: VT
≥
3 + 2 + 2 + 2 = 9
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4 3,5
O
N
M
D
C
B

A
0,5
a
Lập luận để có
BD
OD
AB
OM
=
,
AC
OC
AB
ON
=
0,5
Lập luận để có
AC
OC
DB
OD
=
0,25
⇒

AB
ON
AB
OM
=

⇒
OM = ON
0,25
b
Xét
ABD∆
để có
AD
DM
AB
OM
=
(1), xét
ADC∆
để có
AD
AM
DC
OM
=
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
OM.(
CDAB
11
+
)
1==

+
=
AD
AD
AD
DMAM
0,5
Chứng minh tương tự ON.
1)
11
( =+
CDAB
0,25
từ đó có (OM + ON).
2)
11
( =+
CDAB

⇒
MNCDAB
211
=+
0,25
c
OD
OB
S
S
AOD

AOB
=
,
OD
OB
S
S
DOC
BOC
=

⇒
=
AOD
AOB
S
S
DOC
BOC
S
S

⇒

AODBOCDOCAOB
SSSS =
0,25
Chứng minh được
BOCAOD
SS =

0,25
⇒

2
)(.
AODDOCAOB
SSS =
0,25
Thay số để có 2011
2
.2012
2
= (S
AOD
)
2

⇒
S
AOD
= 2011.2012
Do đó S
ABCD
= 2011
2
+ 2.2011.2012 + 2012
2
= (2011 + 2012)
2
= 4023

2
(đơn
vị diện tích)
0,25
Câu 5
1,0
Ta có
2 2
5 2 4 40 0x xy y x+ + − − =

( ) ( )
2 2
2 1 41x x y⇔ − + + =
0,25
Vì
,x y∈¢
,
2 1x −
là số nguyên lẻ và
2 2
41 5 4= +
nên
0,25

( )
( )
2
2
2 1 25
16

x
x y

− =


+ =



2 1 5
4
x
x y
− = ±

⇔

+ = ±

0,25
Từ đó suy ra các cặp
( )
;x y
cần tìm là

( ) ( ) ( ) ( )
3;1 ; 3; 7 ; 2;6 ; 2; 2− − − −
0,25
Lưu ý:

- Điểm tối đa là 10, chiết điểm đến 0,25
- HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa