Kn2011

MỘT SỐ DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
CASIO Fx-500 MS, Fx-570 MS
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
Máy tính điện tử cầm tay là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh
trong việc giải toán. Nó giúp cho giáo viên và học sinh giải toán được nhanh hơn, tiết
kiệm được thời gian và hình thành thuật toán, đồng thời phát triển tư duy cho học
sinh. Có những dạng toán nếu không có máy tính điện tử cầm tay thì việc giải gặp rất
nhiều khó khăn, có thể không giải được hoặc không đủ thời gian để giải.
Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động sáng tạo của học sinh là nhiệm
vụ trọng tâm của mỗi nhà trường. Sử dụng máy tính điện tử bỏ túi (MTĐT BT) để
giải toán cũng là một hoạt động phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của học sinh rất
hiệu quả. Xuất phát từ những kỹ năng đơn giản về sử dụng MTĐT BT để tính toán
thông thường như: tính giá trị của biểu thức số, tìm nghiệm của phương trình bậc 2,
bậc 3 và bậc cao, khai phương, hay tìm tỉ số lượng giác của một góc, học sinh còn
được rèn luyện lên một mức độ cao hơn đó là rèn tư duy thuật toán - một thao tác tư
duy rất cần thiết cho lập trình viên máy tính PC sau này, thông qua các bài toán về
tìm số, bài toán về phân tích một số ra thừa số nguyên tố, tìm ước chung lớn nhất
(ƯCLN) hay bài toán phân tích đa thức thành nhân tử,
Hiện nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học - kỹ thuật (KHKT) nhất là
các ngành thuộc lĩnh vực công nghệ thông tin (CNTT), trong đó MTĐT BT là một
thành quả của những tiến bộ đó. MTĐT BT đã được sử dụng rộng rãi trong các nhà
trường, nó là một công cụ hỗ trợ việc giảng dạy, học tập hay cả việc đổi mới phương
pháp dạy học theo hướng hiện đại như hiện nay một cách có hiệu quả. Đặc biệt, với
1
nhiều tính năng mạnh như của các máy Casio Fx - 500MS, …trở lên thì học sinh còn
được rèn luyện và phát triển dần tư duy thuật toán một cách hiệu quả.
Trong những năm gần đây, các cơ quan quản lý giáo dục cũng như các tổ chức
kinh tế tài trợ thiết bị giáo dục (nhất là các công ty cung cấp thiết bị điện tử và máy
văn phòng) rất chú trọng việc tổ chức các cuộc thi giải toán trên MTĐT BT. Từ năm
2001, Bộ GD & ĐT bắt đầu tổ chức cuộc thi “Giải toán trên MTĐT BT”- cho học

sinh THCS, THPT - đến cấp khu vực; báo Toán tuổi thơ 2 tổ chức thi giải toán bằng
MTĐT BT qua thư - cho học sinh THCS - do tập đoàn CASIO tài trợ, báo Toán học
& Tuổi trẻ tổ chức cuộc thi tương tự - cho cả học sinh THCS và THPT- do tập đoàn
SHARP tài trợ, nhằm góp phần phát huy trí lực của học sinh và tận dụng những tính
năng ưu việt của MTĐT BT để hỗ trợ học tốt các môn học khác nữa như Lý, Hoá,
Sinh, Địa,
Thực tế, qua bốn năm phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTĐT
BT, tôi nhận thấy các em học sinh thực sự say mê tìm tòi, khám phá những công dụng
của chiếc MTĐT BT đơn giản nhưng vô cùng hữu ích này và vận dụng tốt trong quá
trình học tập của mình.
Từ những lý do trên, tôi mạnh dạn chọn đề tài:
“MỘT SỐ DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
CASIO Fx-500 MS, Fx-570 MS”
Với mong muốn:
 Để tất cả các em học sinh có điều kiện nắm được những chức năng cơ bản
nhất của MTĐT BT Casio Fx-500MS, Fx-570 MS từ đó biết cách vận dụng các
tính năng đó vào giải các bài toán tính toán thông thường rồi dần đến các bài
toán đòi hỏi tư duy thuật toán cao hơn.
2
 Tạo không khí thi đua học tập sôi nổi hơn, nhất là giáo dục cho các em ý thức
tự vận dụng kiến thức đã được học vào thực tế công việc của mình và ứng dụng
những thành quả của khoa học hiện đại vào đời sống.
 Tạo nguồn học sinh giỏi cho các năm tiếp sau.
II. MỤC TIÊU ĐỀ TÀI
Học sinh thành thạo giải toán trên máy tính điện tử bỏ túi Casio Fx-500MS, Fx-
570MS sẽ thấy được tiện ích của máy tính điện tử Casio Fx-500MS trong việc giải
toán, nhất là giải các bài toán trắc nghiệm, các bài toán về tìm số, phân tích một số ra
thừa số nguyên tố, tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) hay bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử,
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Tìm ra phương pháp tối ưu để giải toán đúng và nhanh nhất bằng máy tính cầm
tay đối với học sinh THCS chung, với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Học sinh giải toán bằng máy tính điện tử Casio Fx-500MS, Fx-570MS.
Phạm vi nghiên cứu tại trường phổ thông DTNT THCS Huyện Bắc Sơn.
Thời gian thực hiện, năm học 2010-2011
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà
trường, trong các trường THCS tại huyện Bắc Sơn.
 Tra cứu tài liệu.
 Thực nghiệm.
 Nhận xét.
3
PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Máy tính điện tử Casio Fx-500MS, Fx-570MS ngoài các phép tính thông
thường như các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, tính giá trị lượng giác của
một góc, tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của một góc, Máy tính điện tử
Casio Fx-500MS, Fx-570MS còn có rất nhiều tính năng ứng dụng vào giải toán. Đề
tài này của tôi viết về ứng dụng của một số tính năng giải toán của máy tính điện tử
Casio Fx-500MS, Fx-570MS.
Giải toán trên máy tính điện tử Casio Fx-500MS dựa trên cơ sở các thuật toán
để giải toán, các kiến thức khoa học, đặc biệt là các kiến thức về toán học.
1. Giới thiệu cơ bản về máy tính Casio Fx_500MS, Fx-570 MS
1.1. Phím chung
Phím Chức Năng
ON
Mở máy
SHIFT

OFF
Tắt máy
<

>
Cho phép di chuyển con trỏ đến vị trí dữ liệu hoặc phép
toán cần sửa
0

1
. . .
9
Nhập từng số
.
Nhập dấu ngăn cách phần nguyên với phần thập phân của
số thập phân
+

-

x

÷
Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia
AC
Xoá hết
DEL
Xoá kí tự vừa nhập
( )

−
Dấu trừ của số âm
CLR
Xoá màn hình
1.2. Phím nhớ
Phím Chức Năng
RCL
Gọi số ghi trong ô nhớ
4
STO
Gán (ghi) số vào ô nhớ
A

B

C

D
E

F

X

Y

M
Các ô nhớ, mỗi ô nhớ này chỉ nhớ được một số, riêng ô
nhớ M thêm chức năng nhớ do M+ ; M- gán cho
M

+

M
−
Cộng thêm vào số nhớ M hoặc trừ bớt ra số nhớ M
1.3. Phím đặc biệt
Phím Chức Năng
SHIFT
Chuyển sang kênh chữ vàng
ALPHA
Chuyển sang kênh chữ đỏ

MODE
Ấn định ngay từ đầu kiểu, trạng thái, loại hình tính toán,
loại đơn vị đo, dạng số biểu diễn kết quả ,. . . cần dùng
(
;
)
Mở ngoặc ; đóng ngoặc
EXP
Nhân với luỹ thừa nguyên của 10
π
Nhập số
π
,,,o

,,,
uuus
o
Nhập hoặc đọc độ, phút, giây

DRG >
Chuyển đơn vị giữa độ, rađian, grad
Rnd
Làm tròn giá trị
nCr
Tính tổ hợp chập r của n
nPr
Tính chỉnh hợp chập r của n
1.4. Phím hàm
Phím Chức Năng
sin

cos

tan
Tính tỉ số lượng giác: sin , cosin , tan
1
sin
−

1
cos
−

1
tan
−
Tính số đo của góc khi biết một tỉ số lượng giác
log

ln
Lôgarit thập phân , lôgarit tự nhiên
e
x
10
x
Hàm mũ cơ số e , cơ số 10
2
x

3
x
Bình phương , lập phương

3

x
Căn bậc hai, căn bậc ba, căn bậc x
1
x
−
Số nghịch đảo
∧
Số mũ
!x
Giai thừa
%
Phần trăm
/ab c
;

/d c
Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số ; đổi phân số ra số thập phân,
hỗn số
.
Dấu ngăn cách giữa hàm số và đối số hoặc đối số và các cận
5
ENG
Chuyển sang dạng a *
n
10
với n giảm
ENG
uuuuus
Chuyển sang dạng a *
n
10
với n tăng
Pol(
Đổi toạ độ đề các ra toạ độ cực
Rec(
Đổi toạ độ cực ra toạ độ đề các
Ran #
Nhập số ngẫu nhiên
1.5. Phím thống kê
Phím Chức Năng
DT
Nhập dữ liệu
;

Dấu ngăn cách giữa số liệu và tần số

S SUM
−
Gọi
2
x
∑
;
x
∑
; n
S VAR
−
Gọi
x
;
n
δ
n
Tổng tần số
x
;
n
δ
Số trung bình , độ lệch chuẩn
x
∑
Tổng các số liệu
2
x
∑

Tổng bình phương các số liệu
2. Cài đặt cho máy
+ Ấn
MODE
nhiều lần để chọn các chức năng của máy.
+ Ấn
MODE

1
: Tính toán thông thường.
+ Ấn
MODE

2
: Tính toán với bài toán thống kê.
+ Ấn
MODE

MODE

1

2
: Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.
+ Ấn
MODE

MODE

1

3
: Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn.
+ Ấn
MODE

MODE

1

>

2
: Giải phương trình bậc 2.
+ Ấn
MODE

MODE

1

>

3
: Giải phương trình bậc 3.
+ Ấn
IFTSH

CLR

1

=
: Xoá giá trị ở các ô nhớ A, B,
+ Ấn
IFTSH

CLR

2

=
: Xoá cài đặt trước đó (ô nhớ vẫn còn).
6
+ Ấn
IFTSH

CLR

3

=
: Xoá tất cả cài đặt và các ô nhớ.
3. Phép gán vào các ô nhớ
+
10

IFTSH

STO

A
: Gán 10 vào ô nhớ A.
+
0

IFTSH

STO

A
: Xoá ô nhớ A.
+
STO

A
(hoặc
ALPHA

A

=
): Kiểm tra giá trị của ô nhớ A.
Chú ý: Các ô nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y, M là các biến nhớ mà khi gán giá trị
mới vào thì giá trị mới sẽ thay thế giá trị trước đó. Còn riêng ô nhớ M, ngoài chức
năng trên, nó còn là một ô nhớ độc lập, nghĩa là có thể thêm vào hoặc bớt ra ở ô nhớ
này.
II. CƠ SỞ PHÁP LÝ
Căn cứ công văn số 1122/BDGĐT-GDTrH ngày 13/05/2010 của Bộ Giáo dục
và Đào tạo về việc tập huấn giáo viên và học sinh sử dụng máy tính cầm tay trong

dạy và học.
Căn cứ công văn số 2603/BDGĐT-CNTT ngày 10/03/2010 của Bộ Giáo dục và
Đào tạo về danh sách máy tính cầm tay được mang vào phòng thi.
Mặt khác, trong thời đại công nghệ thông tin hiện nay đòi hỏi học sinh phải có
khả năng tư duy logic, sắc sảo và nhanh nhẹn, linh hoạt trong mọi hoạt động. Giải
toán bằng máy tính cầm tay sẽ giúp các em có được những kết quả đúng, nhanh và
chính xác nhất. Điều đó có ý nghĩa rất nhiều trong học tập và cuộc sống của các em.
Đặc biệt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi học kỳ, thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh
đại học, các em đều được sử dụng máy tính cầm tay trong phòng thi là điều kiện
thuận lợi đem lại cho các em những thành công nhất định. Các em không mất nhiều
thời gian tính toán và kiểm tra kết quả, sẽ có nhiều thời gian tư duy và làm những bài
tập tiếp theo.
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
7
Để giải bài tập trong chương trình toán phổ thông cơ sở, học sinh cần biết được
rất nhiều kiến thức như khái niệm, công thức, cách giải và kỹ năng tính toán, …do đó
rất nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc giải bài hoặc không giải được bài toán đó.
Nhưng đối với giải toán trên máy tính điện tử Casio Fx-500MS, Fx-570 MS học sinh
chỉ cần hiểu được khái niệm, định nghĩa cơ bản là có thể giải được bài toán đó một
cách dễ dàng ; ví dụ như giải phương trình bậc hai một ẩn, học sinh phải biết công
thức nghiệm và phải có kỹ năng tính toán, nhưng với máy tính điện tử Casio Fx-
500MS học sinh chỉ cần biết được định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn là có thể
giải được trên máy tính điện tử Casio Fx-500MS, Tuy nhiên, cũng có một số bài
toán mà máy tính điện tử Casio Fx-500MS, Fx-570MS không thể giải hết được hoàn
toàn. Do vậy, đòi học sinh cũng như giáo viên phải biết vận dụng kết hợp giữa giải
toán tự luận thông thường và giải toán trên máy tính điện tử Casio Fx-500MS, Fx-
570MS. Trong thực tế, khi học sinh sử dụng máy tính cầm tay Casio Fx-500MS, Fx-
570 MS để giải toán thường gặp phải những khó khăn sau:
- Không biết chức năng của các phím trên máy tính.
- Không biết lập quy trình bấm phím để giải toán.

- Không hiểu ngôn ngữ máy tính dẫn đến mắc lỗi tính toán, chẳng hạn: nhập
thiếu dấu ngoặc, sử dụng không đúng đơn vị đo góc (độ hay radian), …
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
I. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề
tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
- Giúp học sinh hiểu được ý nghĩa và chức năng của mỗi phím bấm trên máy tính
cầm tay.
- Xây dựng thuật toán, quy trình bấm phím cũng như phương pháp giải cho mỗi
dạng toán, mỗi kiểu bài.
- Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
8
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Rèn luyện tư duy thuật toán và kỹ năng tính toán. Qua đó, học sinh có thể thực
hành giải các bài tập tương tự hay biết cách quy bài toán về dạng quen thuộc đã có
phương pháp giải.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán (nếu có) ; giúp
học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải khi chuyển nội dung bài toán sang
ngôn ngữ máy tính, hoặc khi thực hành tính toán trên máy.
- Tăng cường cho học sinh thực hành sử dụng máy tính cầm tay khi giải các bài
toán trong sách giáo khoa, đặc biệt là các tiết thực hành về máy tính cầm tay (theo
phân phối chương trình).
- Sử dụng phần mềm giả lập trên máy tính (khi cần) trong quá trình dạy ôn luyện
cho học sinh.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh bằng các bài toán có
tính tư duy, giải trí trên máy tính.
- Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra
thực hành giải toán trên máy tính. Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương

pháp giảng dạy.
II. NGHIÊN CỨU THỤC TẾ
1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
1.1. Tính toán cơ bản trên dãy các phép tính cồng kềnh
Công thức chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số:

( )
n
1 2
m n m
1 2 1 2 1 2
n m
c c c
A,b b b c c c A,b b b
99 9 00 0
= +
1 2 3 1 2 3
VD1: Đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số:
9
+)
( )
6 2
0, 6
9 3
= =
+)
( )
231 77
0, 231
999 333

= =
+)
( )
18 7
0,3 18 0,3
990 22
= + =
+)
( )
345
6,12 345 6,12
99900
= +
VD2: Tính giá trị của biểu thức (chính xác đến 0,000001):
a) A =
4 2 4
0,8:( .1,25) (1,08 ):
4
5 25 7
(1,2.0,5):
1 5 1 2
5
0,64 (6 3 ).2
25 9 4 17
−
+ +
− −
(kết quả: A =
1
2

3
)
b) B =
1 1
7 90
2 3
0,3(4) 1,(62):14 :
11 0,8(5) 11
+
+ −
(kết quả: B =
106
315
)
1.2. Tính giá trị của biểu thức đại số
VD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x
2
- 11x - 2006 tại:
a) x = 1 b) x = -2 c) x =
2
1
−
d) x =
0,12345
1,23456
Cách làm:
a, Gán 1 vào ô nhớ X:
1

IFTSH

STO

X
Nhập biểu thức đã cho vào máy:
20
ALPHA
X
2
x
−
11
ALPHA
X
−
2006
=
(kết quả: -1 997)
b, Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:
2−

IFTSH

STO

X
Rồi dùng phím
#
để tìm lại biểu thức, ấn
=

để nhận kết quả. (kết quả: -1 904)
Tương tự với trường hợp c) và d)
( kết quả: c)
1
1995
2
−
; d)
≈
-2006,899966 )
VD2: Tính giá trị của biểu thức: x
3
- 3xy
2
– 2x
2
y -
3
2
y
3
tại:
10
a) x = 2 ; y = -3 b) x =
4
3
−
; y = -2
7
3

Cách làm:
a, Gán 2 vào ô nhớ X:
2

IFTSH

STO

X
b, Gán -3 vào ô nhớ Y:
( )
−

3

IFTSH

STO

Y
Nhập biểu thức đã cho vào máy như sau:
ALPHA
X
^
3
−
3
ALPHA
X
ALPHA

Y
2
x
−
2
ALPHA
X
2
x
ALPHA
Y
−
2
b
c
a
3
ALPHA
Y
^
3
=
( kết quả: - 4 )
Sau đó gán tiếp:
( )
−

3

b

c
a

4

IFTSH

STO

X
( )
−

2

b
c
a

3

b
c
a

7

IFTSH

STO

Y
Rồi dùng phím
#

#
để tìm lại biểu thức, ấn
=
để nhận kết quả.
(kết quả:
≈
25,12975279)
Nhận xét: Sau mỗi lần ấn dấu
=
ta phải nhớ ấn tổ hợp phím
IFTSH
b
c
a
để
đổi kết quả ra phân số (nếu được).
1.3. Tính giá trị của biểu thức số có quy luật
VD: Tính giá trị của các biểu thức sau:
A = 1 + 2 + 3 + + 49 + 50
Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50, có quy
luật là số sau lớn hơn số liền trước 1 đơn vị. Ta phải lập một quy trình cho máy để sau
một số lần ấn dấu
=
ta thu được kết quả của biểu thức.
Quy trình:

11
1 A
2 B
A + B A
B + 1 B
Gỏn 1 vo ụ nh A (A l bin cha).
Gỏn 2 vo ụ nh B (B l bin chy).
Dũng lnh 1
Dũng lnh 2
#

IFTSH
#
=

a 2 dũng lnh vo quy trỡnh lp ri n
=
n khi
B + 1 B cú giỏ tr l 50 thỡ n
=
( kt qu: 1 275)
2. Dng 2: Bi toỏn v dóy s v s
2.1. Dng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi
(Fibonacci - là dãy số có dạng u
1
=1; u
2
= 1; u
n+1
= u

n
+ u
n-1
(n = 1, 2, 3 )
Ta có công thức tổng quát:

n n
n
1 1 5 1 5
u
2 2
5


+
ữ
=
ữ ữ
ữ ữ
ữ


- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS.
Bấm 1
SHIFT STO A

1SHIFT STO B
+
Và lặp lại dãy phím:

ALPHA A SHIFT STO A
+

ALPHA B SHIFT STO B
+
Bằng phím

=

Khi bấm 1
SHIFT STO A
đa u
2
= 1 vào
A
Khi bấm
1SHIFT STO B
+
nghĩa là cộng u
2
= 1 với u
1
= 1 đợc u
3
= 2 và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A
+

cộng u
3
= 2 với u
2
= 1 đợc u
4
= u
3
+ u
2
= 3
và ghi vào
A
.
12
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B
+
nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
đợc
u
5
= u
4
+ u

3
= 5 và ghi vào
B
. Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô
A
và
B
để lần lợt tính các giá trị u
n
bằng cách bấm liên tiếp phím

=
ta sẽ đợc u
6
= 8; u
7
=13; u
8
= 21
- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-570 MS
+ Quy trình 1:
Bấm 1
SHIFT STO A

1SHIFT STO B
+
Và lặp lại dãy phím:

ALPHA A SHIFT STO A
+

ALPHA B SHIFT STO B
+
Bằng phím
COPY
=
Giải thích:
Khi bấm 1
SHIFT STO A
đa u
2
= 1 vào
A
Khi bấm
1SHIFT STO B
+
nghĩa là cộng u
2
=1 với u
1
=1 đợc u
3
= 2 và ghi vào
B
.
Khi bấm
ALPHA A SHIFT STO A
+
cộng u
3

= 2 với u
2
= 1 đợc u
4
= u
3
+ u
2
= 3
và ghi vào
A
.
Khi bấm
ALPHA B SHIFT STO B
+
nghĩa là cộng u
4
= 3 với u
3
= 2 trong
B
đợc
u
5
= u
4
+ u
3
= 5 và ghi vào
B

. Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô
A
và
B
để lần lợt tính các giá trị u
n
bằng cách bấm liên tiếp phím
COPY
=
ta sẽ đợc u
6
= 8;
u
7
=13; u
8
= 21
+ Quy trình 2:
Tính dóy Phi - bô - na - xi u
n
trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công thức nghiệm:
( ( (1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X
( ( 1 5 ) 2 ) ^ ALPHA X 5
ữ
ữ ữ
+
Bấm
CALC
máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta đợc các u

n
tơng ứng.
13
Lời bình: Máy tính Casio fx - 570 MS tiện hơn máy tính Casio fx - 500 MS vì chỉ
cần khai báo công thức một lần, sau đó, mỗi lần bấm phím
CALC
chỉ cần thay X
bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta đợc các tơng ứng.
2.2. Tỡm s d ca phộp chia a cho b (a , b

Z ; b 0)
Cỏch lm:
a

IFTSH

STO

A
b

IFTSH

STO

B
Lp biu thc A
ữ
B =
Ly phn nguyờn c (s nguyờn ln nht khụng vt quỏ s ú) ca kt qu thỡ ú

chớnh l thng ca phộp chia A cho B.
Sau ú lp biu thc A cB =
Kt qu ny l s d ca phộp chia.
VD: Tỡm thng v d ca phộp chia (3
20
+1) cho (2
15
+1)
Cỏch lm:
3
^
20
+
1
IFTSH

STO

A
2
^
15
+
1
IFTSH

STO

B
ALPHA

A
ữ
ALPHA
B

=
(

106 404,9682) thng l 106 404.
ALPHA
A
-
106404

ALPHA
B

=
(31 726) s d l 31 726.
2.3. Tỡm c ca mt s
C s: Chia s t nhiờn a cho cỏc s t nhiờn khụng vt quỏ a.
Quy trỡnh:
14
1 → A
a
÷
A → B
A + 1 → A
Gán 1 vào ô nhớ A.
Dòng lệnh 1: B là một biến chứa.

Dòng lệnh 2: A là một biến chạy.
#

IFTSH
#
=

Lặp 2 dòng lệnh trên, ấn dấu
=
và quan sát
rồi chọn các kết quả nguyên à đó là ước.
VD: Tìm tất cả các ước nguyên dương của 60
1 → A
60
÷
A → B
A + 1 → A
Được 60 và 1 là 2 ước.
#

IFTSH
#

=
=
=
=
=
Được 30 và 2 là 2 ước.
Được 20 và 3 là 2 ước.

Được 15 và 4 là 2 ước.
Được 12 và 5 là 2 ước.
Được 10 và 6 là 2 ước.
(các dấu
=
ở đây là của các kết quả nguyên)
Bấm dấu
=
đến khi A = 60 thì dừng lại.
Vậy tập hợp các ước nguyên dương của 60 là
{ }
1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60
2.4. Tìm ước và bội của 1 số - Tìm UCLN, BCNN của các số.
a) Tìm các ước của một số a :
Gán: A = 0 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : a
÷
A
Ấn nhiều lần phím
Quy trình ấn phím:
15
=
Gán:
a
Nhập:
Ấn nhiều lần dấu
Ví dụ: Tìm ( các ước ) tập hợp các ước của 120
Ta gán: A = 0
Nhập: A = A + 1 : 120
÷
A

Ấn nhiều lần phím
Ta có A = {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;30;40;60;120}
a) Tìm các bội của b:
Gán: A = -1 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : b x A
Ấn nhiều lần phím
Ví dụ : Tìm tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn 100.
Ta gán: A = -1
Nhập: A = A + 1 : 7 x A
Ấn nhiều lần phím
Ta có: B = {0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91;98}
c) Tìm ƯCLN, BCNN của hai số :
Vì máy đã cài sẵn chương trình đơn giản phân số thành phân số tối giản.

A a
B b
=
( tối giản )
thì ƯCLN (A, B) = A
÷
a BCNN (A, B) = A x b
Ví dụ : Tìm a) ƯCLN( 209865; 283935 )
16
0 Shift
STO
T
Alpha
A
A
1
=

÷
Alpha
Alpha
A
Alpha
:
+
Alpha
=
=
=
=
A
b) BCNN(209865; 283935 )
Ghi vào màn hình 209865 ┘ 289335 và ấn
Màn hình hiện: 17┘23
a) Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865 17
KQ: ƯCLN( 209865; 283935 ) = 12345
b) Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865 23
KQ: BCNN(209865; 283935 ) = 4826895
2.5. Kiểm tra một số là nguyên tố hay hợp số
Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là một số nguyên tố nếu nó không chia hết
cho mọi số nguyên tố không vượt quá
a
”
Nhận xét: Mọi số nguyên tố đều là lẻ, trừ số 2 ; thế nên ta dùng phép
chia a cho các số lẻ không vượt quá
a
.
Cách làm:

1. Tính
a
.
2. Lấy phần nguyên b =
a
 
 
của kết quả.
3. Lấy số lẻ lớn nhất c không vượt quá b.
4. Lập quy trình
c → A
a
÷
A → B
A – 2 → A
Gán số lẻ c vào ô nhớ A làm biến chạy.
Dòng lệnh 1: B là một biến chứa.
Dòng lệnh 2: A là một biến chạy.
#

IFTSH
#
=

Lặp 2 dòng lệnh trên, ấn dấu
=
và quan sát
đến khi A = 1 thì dừng.
17
=

÷
x =
=
5. Trong quá trình ấn
=

- Nếu tồn tại kết quả nguyên thì khẳng định a là hợp số.
- Nếu không tồn tại kết quả nguyên nào thì khẳng định a là số nguyên tố.
VD: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số
1. Tính
8191

≈
90,50414355
2. Lấy phần nguyên được 90.
3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 89.
4. Lập quy trình:
89 → A 8191
÷
A → B A – 2 → A
#

IFTSH
#
=
(lặp dấu bằng)
Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định
3. Dạng 3: Các bài toán về đa thức
3.1. Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) cho (x - a)
Cơ sở: Giả sử f(x) = g(x).(x-a) + r [g(x) là thương và r là số dư]

Thế thì f(a) = g(a).(a-a) + r
Suy ra f(a) = 0 + r hay
r f (a)
=
Vậy để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho (x-a) ta chỉ việc tính giá trị của đa
thức tại a. Còn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ Hoorner (xem VD2 sau đây).
VD1: Tìm số dư của phép chia f(x)= x
14
- x
9
- x
5
+ x
4
+ x
2
+ x - 723 cho (x-1,624)
Quy trình:
1,624 → X
Nhập biểu thức X
14
- X
9
- X
5
+ X
4
+ X
2
+ X - 723 rồi ấn

=
18
(Kết quả:
≈
85,92137)
VD2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) = x
3
- 5x
2
+ 11x - 19 cho (x-2)
Sơ đồ Hoorner:
1 - 5 11 - 19
2 1 - 3 5 - 9
Quy trình:
1 → A
1
x
A - 5 = (Ghi kết quả - 3)

x
A + 11 = (Ghi kết quả 5)

x
A – 19 = (Ghi kết quả - 9)
Vậy thương là h(x) = x
2
– 3x + 5 , số dư là r = - 9
Nhận xét: Nếu chia đa thức f(x) cho (ax + b) (với
a 0≠
) thì số dư là r =

b
f
a
 
 ÷
 
−
Khi đó:
b 1
f(x) x .h(x) r (ax+b). h(x) r
a a
 
 ÷
 
= + + = +
nên thương phép chia là
1
h(x)
a
3.2. Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử
Cơ sở:
1. “ Nếu tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm là x
1
, x
2
thì nó viết được
dưới dạng ax
2

+ bx + c = a(x-x
1
)(x-x
2
) ”.
2. “ Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có nghiệm hữu tỷ
p
q
thì p là
ước của a
0
, q là ước của a
n
”. (
n
a 0≠
)
3. Đặc biệt: “ Nếu đa thức f(x) = a

n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có a
n
=1 thì
nghiệm hữu tỷ là ước của a
0
”.
19
4. Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì f(x) chia hết cho (x-a).
VD1: Phân tích đa thức f(x) = x
2
+ x - 6 thành nhân tử
Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của
f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x
1
= 2 ; x
2
= - 3.
Khi đó ta viết được: x
2

+ x - 6 = 1.(x-2)(x+3)
VD2: Phân tích đa thức f(x) = x
3
+ 3x
2
- 13 x - 15 thành nhân tử
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của
f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x
1
= 3; x
2
= - 5; x
3
= - 1.
Khi đó ta viết được: x
3
+ 3x
2
- 13 x - 15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1).
VD3: Phân tích đa thức f(x) = x
3
- 5x
2
+11 x - 10 thành nhân tử
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của
f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực x

= 2. Nên ta biết được đa thức x
3
- 5x

2
+11x - 10 chia
hết cho (x-2).
Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x
3
- 5x
2
+ 11 x - 10 cho (x-2) ta được thương là
x
2
- 3x + 5. Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x
2
- 3x + 5)
VD4: Phân tích đa thức f(x) = x
5
+ 5x
4
– 3x
3
– x
2
+ 58x - 60 thành nhân tử
Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là ước của 60.
Tập các ước của 60 là {
±
1;
±
2;
±
3;

±
4;
±
5;
±
6;
±
10;
±
12;
±
15;
±
20;
±
30;
±
60}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:
Gán: - 1 → X
Nhập vào máy biểu thức: X
5
+5X
4
-3X
3
-X
2
+58X-60 rồi ấn dấu
=

(Kết quả: -112)
Gán tiếp: - 2 → X
#

=
(Kết quả: -108)
Gán tiếp: - 3 →X
#

=
(Kết quả: 0)
20
Gán tiếp: - 4 →X
#

=
(Kết quả: 140)
Gán tiếp: - 5 →X
#

=
(Kết quả: 0)
Do vậy ta biết x
1
= - 3 , x
2
= - 5 là các nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết
cho (x + 3) và (x + 5). Dùng sơ đồ Hoorner để chia đa thức (liên tiếp) ta thu được f(x)
= (x + 3)(x + 5)(x
3

- 3x
2
+ 6x - 4)
Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm của đa thức
g(x) = x
3
- 3x
2
+ 6x – 4. Kết quả, là đa thức g(x) có nghiệm là x = 1 nên ta chia g(x)
cho (x-1) thu được g(x) = (x - 1)(x
2
- 2x + 4)
Ta thấy đa thức x
2
- 2x + 4 vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử.
Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x
2
- 2x + 4)
4. Dạng 4: Bài toán về thống kê
 Dùng phím
MODE
để vào SD ta ấn
MODE

2
 Xóa bài thống kê cũ:
1SHIFT CLR

=

 Nhập dãy số liệu, ấn:
1
x

1
SHIFT ; n

DT

2
x

2
SHIFT
; n

DT
(…)
Trong đó x
1
, x
2
, … , x
k
là các giá trị của dãy số liệu ; n
1
, n
2
, … , n
k

là tần số
tương ứng của dãy các giá trị trên.
 Nhập dữ liệu xong thì gọi kết quả như sau :
Giá trị Ấn
2
x
∑
: Tổng bình phương các số liệu
1
−
SHIFT S SUM

=
x
∑
: Tổng các số liệu
2
−
SHIFT S SUM

=
n : Tổng tần số
3
−
SHIFT S SUM

=
x
: Số trung bình cộng
1

−
SHIFT S VAR

=
n
σ
: Độ lệch chuẩn
2
−
SHIFT S VAR

=
21
• Muốn tính phương sai
n
σ
2
thì khi giá trị
n
σ
hiện lên ta ấn thêm
2
x
=
VD: Cho bảng phân bố tần số
Khối lượng của 30 con thằn lằn (đơn vị: gam)
Khối lượng(gam) 140 150 160 170 180 190 Cộng
Tần số 2 3 5 9 8 3 30
Tính số trung bình cộng
x

, tính phương sai
x
s
2
và độ lệch chuẩn
x
s
.
Quy trình:
Bước 1: Chọn
MODE
cho phép toán thống kê, ấn:
MODE

2
Bước 2: Xoá những bài thống kê cũ, ấn:
1SHIFT CLR

=

Bước 3: Nhập dữ liệu, ấn liên tiếp: 140
;SHIFT
2
DT
150
;SHIFT
3
DT
Tương tự đối với các cột 160, 170, 180, 190.
Bước 4: Gọi kết quả

a) Tìm
x
ấn:
1SHIFT S VAR
− =
(Phím
S VAR
−
là phím số 2)
Kết quả:
x
= 169 (gam)
b) Tìm
x
s
ấn:
2SHIFT S VAR
− =
Kết quả:
x
s
≈
13,5 (gam)
c) Tìm
x
s
2
ấn tiếp
2
x

=
Kết quả:
x
s
2
≈
182,33
5. Dạng 5: Bài toán về tăng trưởng
5.1. Bài toán về dân số
Bài toán: Hiện nay, dân số 1 quốc gia là a người, tỷ lệ tăng dân số mỗi năm là m
%. Hỏi sau n năm nữa thì số dân của quốc gia đó là bao nhiêu người ?
Giải:
Sau 1 năm, dân số quốc gia đó là A
1
= a + a.m = a(1+m)
22
Sau 2 năm, dân số quốc gia đó là A
2
= a(1+m) + a(1+m) m = a(1+m)
2

…
Sau n năm, dân số quốc gia đó là
( )
n
n
A a. 1 m
= +

Áp dụng:

a) Dân số nước ta năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm 2010, dân số
nước ta sẽ là bao nhiêu người. Biết tỷ lệ tăng dân số trung bình hàng năm là 1,2%.
b) Nếu năm 2020 dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỷ lệ tăng dân số
bình quân mỗi năm là bao nhiêu ?
Giải: Áp dụng công thức trên ta có
A
9
= 76 300 000.
9
1,2
1
100
 
 ÷
 
+
≈
84 947 216 (người)
Cũng từ công thức trên suy ra:
n
n
A
m 1
a
= −
→
19
100
m 1
76,3

= −

≈
1,43385 %.
5.2. Bài toán về lãi suất ngân hàng
Bài toán: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng (theo hình thức lãi kép) số
tiền là a (đồng). Biết lãi suất hàng tháng là m %. Hỏi sau n tháng, người ấy có bao
nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ?
Giải:
Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền: T
1
= a + a.m = a(1 + m).
Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền: a(1 + m) + a = a((1+m)+1)
Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền: T
2
= a((1+m)+1)(1+m) = a((1+m)
2
+(1+m))
Tương tự, cuối tháng thứ III, người đó có số tiền: T
3
= a((1+m)
3
+(1+m)
2
+(1+m))
…
23
Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là:
T
n

= a((1+m)
n
+ (1+m)
n-1
+…+ (1+m)
2
+ (1+m))
⇔
T
n
=
( )
n
a
(1 m) (1 m) 1
m
+ + −
Áp dụng:
VD1: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 USD. Biết lãi
suất hàng tháng là 0,35 %. Hỏi sau 1 năm, người ấy có bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ?
Giải:
Áp dụng công thức trên với a = 100 , m = 0,35% = 0,0035 , n = 12 ta được:
T
12
=
12
100
[(1+0,0035) -1]
0,0035
(1+0,0035) = 1 227,653435 USD

VD2: Một người muốn sau 1 năm phải có số tiền là 20 triệu đồng để mua xe.
Hỏi người đó phải gửi tiết kiệm vào ngân hàng 1 khoản tiền như nhau hàng tháng là
bao nhiêu. Biết lãi suất tiết kiệm là 0,27% / tháng.
Áp dụng công thức trên với T = 20 ; m = 0,27% = 0,0027 ; n = 12 suy ra:
a
≈
1 637 639,629 đồng
Nhận xét: Hai bài toán về dân số và gửi tiền tiết kiệm là cùng 1 dạng – toán
tăng trưởng. Ở đó, học sinh phải vận dụng các kiến thức toán học để thiết lập công
thức tính toán. MTĐT BT chỉ giúp chúng ta tính toán chính xác nhất các kết quả mà
số liệu thường rất lớn và lẻ.
6. Dạng 6: Phương trình – Hệ phương trình
6.1. Phương trình
Bài tập : giải các phương trình bậc 2 dạng tổng quát : ax
2
+ bx +c = 0 ( a ≠ 0)
a) x
2
-4x + 3 = 0
b) 3x
2
- 5x +2 = 0
24
Cách giải
a) cách ân :
3
MODE
,1,
>
,2, 1,= (-4) = 3 =

Ta ấn tiếp dấu = để tìm nghiệm thứ 2
ta đợc kết quả
1
2
3
1
x
x
=
=
6.2. Hệ phương trình
* Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =

Cách giải
Ta ấn
3
MODE
,1,2 để chọn chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, sau đó
nhập các hệ số của từng phương trình
ví dụ : giải hệ phương trình

2 4 0
2 3
x y
x y
+ − =


− =

Trước tiên ta biến đổi về hệ phương trình dạng chính tắc

2 4
2 3
x y
x y
+ =


− =

Ta lần lượt thực hiện
3
MODE
,1,2 ,1=2=4=2=(-1)=3=
Khi đó màn hình có dạng

Vậy hệ phương trình có nghiệm là x =2 và y =1
7. Dạng 7: Bài toán hình học
25
X= 2

Y= 1