Bài toán hay luyện thi HSG toán lớp 5 (ứng dụng diện tích và tỉ lệ cạnh trên chiều cao tam giác

BÀI TOÁN HAY LUYỆN THI HS GIỎI TOÁN LỚP 5
Ứng dụng tính diện tích và tỷ lệ cạnh/ chiều cao tam giác
I Vấn đề đặt ra
Có nhiều bài toán tính diện tích, tỷ lệ ( hoặc độ dài) cạnh hoặc chiều cao tam giác
rất khó với HS tiểu học, kể cả HS THCS & PTTH cũng khó giải. Nhưng nếu biết tận
dụng những kiến thức đã học cộng với động não một chút thì HS Giỏi tiểu học hoàn
thoàn có thể giải được.
Vận dụng công thức tính diện tich tam giác và lý thuyết tỷ lệ, phân số ta có:
Diện tich tam giác = 1/2 chiều cao x cạnh đáy hạ chiều cao
hoặc: S∆1 = 1/2 x a1 x h1 ; S∆2 = 1/2 a2 x h2
suy ra tính chất để so sánh:
1/- Nếu S∆1 = S∆2 thì a1 = a2 ; h1 = h2
2/- Nếu S∆1 & S∆2 khác nhau nhưng có cùng chiều cao thì cạnh đáy tương ứng
a1 / a2 = S∆1 / S∆2
3/- Nếu S∆1 & S∆2 khác nhau nhưng có cùng cạnh đáy thì chiều cao cùng hạ
xuống đáy h1 / h2 = S∆1 / S∆2
II Bài toán mẫu
Bài 1:
Cho ∆ ABC, Trên cạnh AC lấy diểm M sao cho
AM=MC; trên AM lấy điểm N sao cho AN=NB. Nối CN
và nối BM cát nhau tại O. Hãy so sánh OB với MB, so
sánh OC với NC. (Hình 1)
Tóm tắt cách giải bài 1
a/ Xét S∆MNC = 1/2 S∆ANC; S∆ANC = 1/2 S∆ABC
Do đó S∆MNC = 1/2 x 1/2 = 1/4 S∆ABC
Vì có BN=1/2 AB nên S∆ NBC = 1/2 S∆ABC
Suy ra S∆MNC = 1/2 S∆ NBC
Hai tam giác ∆MNC và ∆NBC có chung đáy CN, nếu hạ đường cao MI và BH xuống CN
thì MI = 1/2 BH.
Hai tam giác ∆MNO và ∆NBO cũng có chung đáy CN, hai đường cao MI và BH xuống
CN

Mà MI = 1/2 BH ; nên S∆MNO = 1/2 S∆NBO
Hai tam giác ∆MNO và ∆NBO lại có chung đỉnh N (nghĩa là nếu hạ đường cao từ N
xuống MB thì chúng bằng nhau). nếu S∆MNO = 1/2 S∆NBO thì cạnh đáy OM=1/2 OB.
Vậy OB = 2/3 MB ( Đáp án)

b/ Xét S∆MNB = 1/2 S∆AMB; S∆AMB = 1/2 S∆ABC
Do đó S∆MNB = 1/2 x 1/2 = 1/4 S∆ABC
Vì có CM=1/2 AC nên S∆ MBC = 1/2 S∆ABC
Suy ra S∆MNB = 1/2 S∆ MBC
1
Suy lun tng t nh phn trờn ta cú CO = 2/3 CN ( ỏp ỏn)
Bi 2:
Cho ABC Trờn cnh AC ly dim M sao cho
AM=2/3 MC; trờn AM ly im N sao cho
AN=1/3 NB. Ni CN v ni BM cỏt nhau ti O.
Hóy so sỏnh OB vi MB, so sỏnh OC vi NC.
(Hỡnh 2)
Nhn xột : Bi 2 tng t bi 1, ch khỏc cỏc t l
ly im M v N.
Hng gii : cng tng t nh trờn nhng phộp tớnh phõn s phc tp hn.

Kt qu c: OM=1/6 OB OB = 6/7 MB
ON= 4/3 OC OC= 3/7 NC
( trờn õy ch nờu túm tt. hng gii, cỏc bn cú th tớnh c th kim tra kt qu)
Bi thc hnh:
Di õy l mt s bi tp cho cỏc s o c th giỳp bn rốn luyn thờm k nng tớnh
toỏn
Bài 1
Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = DC; trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho AE = EC. Nối DE, trên DE lấy điểm M sao cho

DM = ME.

Tính S
AME
biết S
ABC
= 180 cm
2
.
(Gợi ý: Sau khi vẽ đúng hình, nối thêm CM, Hãy chứng tỏ S
AME =
S
EMC
)
Bài 2:
Cho hình tam giác ABC có đáy BC= 36cm. Trên AB lấy điểm M sao cho
AM =
3
1
AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN =
3
1
AC. Trên BC lấy điểm P sao
cho CP =
3
1
CB.
Biết diện tích tam giác ABC = 216cm
2
. Tính:

a, Diện tích MNB P
b, Đoạn thẳng MN
Gợi ý: Sau khi vẽ đúng hình, nối thêm NP, Hãy chứng tỏ MN //BC; MP//AC;
S NPC = S NMP

2
Bài 3:
Cho tứ giác ABCD. M là điểm trên cạnh AB sao cho AM =
1
4
AB. Tính diện tích tam
giác MDC, biết diện tích tam giác ADC là 24 cm
2
và diện tích tam giác BCD là 16cm
2
.
Gợi ý: Trên AB lấy thêm P, và Q sao cho MP = PQ = QM = MA = 1/4 AB, lần lợt kẻ
các đờng vuông góc với BC qua các điểm A, M, P, Q, B. Dựa vào tỷ lệ đờng cao để tính
diện tich tam giác phải tìm)
Bài 4:
Trong hình vẽ bên, biết: ABCD là hình chữ nhật có DC = 6 cm, BC = 4cm.
Điểm M nằm trong đoạn thẳng AB, MC cắt BD ở O.
a) So sánh diện tích hai tam giác MOD và BOC.
b) Hãy xác định độ dài của đoạn thẳng AM để diện tích hình thang MBCD bằng 20 cm
2.
A M B
D C
c) Với AM = 2cm, hãy so sánh độ dài hai đoạn thẳng MO và OC.
Tính diện tích tứ giác AMOD.
Bài 5:

Cho tam giác ABC và hình thang MNCB nh hình vẽ. Biết BC bằng 2 lần MN ,
BN cắt MC tại O, diện tích tam giác ABC bằng 120cm
2
.
a. Điểm M có là điểm chính giữa AB không? Vì sao?
b. Tính diện tích tam giác OMN.
A
M N

B C
3
O
O

4