Tải bản đầy đủ (.doc) (9 trang)

Tuyen tap mot so De Thi HSG cap Huyen co dap an.doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (167.97 KB, 9 trang )

Phòng GD & ĐT quỳ hợp kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2009 2010
Đề chính thức Môn Thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu1. Chứng minh rằng nếu ba số a , a + k , a + 2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì k
chia hết cho 6.
Câu2. Cho biểu thức A =









+
+











1


2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
223 +=x
.
c) Tìm các giá trị của x sao cho A < 0.
Câu 3. Cho
0
++
cba
. Chứng minh rằng:
.0
3
333

++

cba
cbaabc
Câu4. a) Giải phơng trình sau:
1)3(13
22

++=++ xxxx
.
b) Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn:





=+
=+++
622
36432
222
2222
dba
dcba
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
2222
dcba +++
.
Câu5. Cho (O;R) và điểm S nằm ngoài đờng tròn với SA, SB là hai tiếp tuyến. Đờng
thẳng a đi qua S cắt (O) tại M và N ( M nằm giữa S và N, a không đi qua O). Gọi I là
trung điểm của MN, hai đờng thẳng AB và OI cắt nhau tại E.
a) Chứng minh OI. OE = R
2
.
b) Cho SO = 2R; MN= R
3
. Hãy tính số đo góc NSO.
c) Với SO = 2R; MN = R

3
. Tính diện tích tam giác ESM .
======= Hết ======
L u ý: Học sinh bảng A làm cả 5 câu;
Học sinh bảng B không phải làm câu 4b
Học sinh bảng C không phải làm câu 4b và Câu5c
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
đáp án và biểu điểm
1
Câu Nội dung
Bảng
A
Bảng
B
Bảng
C
Câu1

Do a; a + k; a + 2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số
lẽ và không chia hết cho 3.
+ Vì a và a+k đều lẽ nên (a+k) - a = k

2 (1)
+ Vì a; a+k; a+ 2k đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho
3 thì ít nhất có hai số có cùng số d, khi đó
* Nếu a và a+k có cùng số d thì (a+k) - a = k

3
*Nếu a và a+ 2k có cùng số d thì (a+2k) - a = 2k


3
nhng (2;3) = 1 nên k

3
* Nếu a+k và a+2k có cùng số d thì (a+2k) - (a+k) =k

3
Vậy ta có k

3 (2)
từ (1) và (2) và do (2;3) = 1 ta suy ra k

6 (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
Câu2

a) ĐK x > 0 và x

1
A =
( ) ( )( )








+
+
+












11
2
1
1
:
1
1
1 xxxxxx
x
=
( ) ( )( )
11
21
:
1
1.
+
+


xx
x
xx
xx
=
( ) ( )( )
11
1
:
1

1
+
+


xx
x
xx
x
=
( ) ( )
1
1
:
1
1


xxx
x
=
( )
( )
1
1
.
1
1




x
xx
x
=
x
x 1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b) x= 3+2
2
= ( 1 +
2
)
2
=>
x
= 1+
2
=> A =

( )
2
21
212
21
1223
=
+
+
=
+
+

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
c) A < 0 < =>
x
x 1
< 0
< => x- 1 < 0 x<1

x
> 0 < => x>0

0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5
Câu3

Ta có: 3abc - a
3
- b
3
- c
3
= - (a +b)
3
- c
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+3abc
= - [(a+b) + c][(a+b)
2
- ( a+b)c + c
2
] + 3ab(a+b+c)
= - (a+b+c)(a
2
+b
2

+c
2
- ab - bc - ac)
= -
( )
acbcabcba
cba
222222
2
222
++
++
= -
( ) ( ) ( )
( )
222
2
accbba
cba
++
++
Do đó
( ) ( ) ( )
0
2
3
222
333

++

=
++

accbba
cba
cbaabc

(đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
0,75
0,5
0,5
0,5
0,75
0,5
Câu4

a) (3đ) x
2

+ 3x +1 = ( x+3)
1
2
+
x
< => x
2
+ 3x +1 - ( x+3)
1
2
+
x
= 0
< => (
1
2
+
x
)
2
- x.
1
2
+
x
+ 3x - 3
1
2
+
x

= 0
< =>
1
2
+
x
(
1
2
+
x
- x ) - 3(
1
2
+
x
- x) = 0
< => (
1
2
+
x
- x)(
1
2
+
x
- 3) = 0
< =>
1

2
+
x
- x = 0 < =>
1
2
+
x
= x

1
2
+
x
- 3 = 0
1
2
+
x
= 3
< => x
2
+1 = x
2
( vô nghiệm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,75
0,5
0,5
0,5
0,75
0,75
0,5
0,5
0,5
0,75
2
H
I
N
M
E
O
S
B
A
Phòng GD & ĐT yên thành kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2006 2007
Đề chính thức Môn Thi: Toán 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 1: Cho biểu thức: A =







+






+
+
xxx
1
1.
1
1
1
1
a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để
AA >
.
Bài 2 : Giải các phơng trình sau:
a)
11 =+ xx

b)
21212 =++ xxxx
c)
5634224 ++=+++ zyxzyx

Bài 3:
a) Cho 2 số không âm a và b.
Chứng minh rằng:
ab
ba

+
2
, dấu =xảy ra khi nào?

b) Tìm cặp số x, y sao cho:
xyxyyx =+ 11
.
c) Cho 0 < a, b, c < 2.
Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:
a(2 b) > 1; b(2 c) > 1; c(2 a) > 1
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A,đờng cao AH. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu
của điểm H trên AB và AC. Biết BH=4cm, CH=9cm.
a) Tính độ dài đoạn DE .
b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC
c) Chứng minh: AH
3
= BC.BD.CE.
Bài 5: Cho n số a
1
; a
2
; ; a
n
, mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc bằng (1)

và a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ + a
n
a
1
= 0. Hỏi n có thể bằng 2006 đợc không? Tại sao?
======= Hết ======
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
đáp án, biểu điểm chấm môn toán 9
Bài Nội dung Điểm
1
(1,5đ)
Câu a:1 điểm, câu b: 0,5 điểm
a)TXĐ =
{
1;0/ > xxRx
}

0.5
3
A=
x
x

x
xx 1
.
1
11 +

++
=
1
2
)1)(1(
)1(2
)1(
)1(2

=
+
+
=

+
xxx
x
xx
xx
b)
10)1( <>> AAAAA
(Điều kiện:A

0


101 >> xx
)

93121
1
2
><<<

xxx
x
(Thỏa mãn)
Vậy với x>9 thì
AA >
0.5
0.25
0.25
2
(3đ)
Câu a:1 điểm. Câu b: 1 điểm. Câu c: 1điểm
a)
11 =+ xx
Điều kiện:x
1

2
)1(1 =+ xx

0)1( = xx



0
=
x
(loại) hoặc x=1 (Thỏa mãn)
b)
21212 =++ xxxx

22
)11()11( ++ xx
=2

1111 ++ xx
=2
Điều kiện x
1
Nhận xét:
=++ 1111 xx

1111 ++ xx
2

Dấu bằng xẩy ra khi
)11 +x
.(1-
)1x

0

2-x

0


x

2
Vậy nghiệm của phơng trình là:1
2

x
0) x+y+z+4 = 2
56342 ++ zyx
Điều Kiện :x
5;3;2 zy

[ ] [ ] [ ]
095.6)5(43.4)3(122)2( =+++++ zzyyxx

2
)12( x
+
0)35()23(
22
=+ zy









=
=
=

035
023
012
z
y
x





=
=
=

14
7
3
z
y
x
Là nghiệm
0.25
0.5

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
3
(2đ)
Câu a:0,5 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 0.5 điểm
a) vì a và b không âm nên tồn tại
a

b
Ta có
0)(
2
ba
02 + abba
abba 2+
ab
ba

+

2
Dấu = xảy ra khi a=b
0.25
0.25

4
3
(2,0đ)
b) Điều kiện : x

1 ; y

1

2
1
22
11
)1(11
xy
xy
xx
xx =
+
=
(1)
Tơng tự
2
1
2
1
xy
yx
y
y

(2)
Từ (1) và (2) ta có : x
xyxyy + 11

Dấu "="xảy ra




=
=
11
11
y
x





=
=
2
2
y
x
c) Giả sử các BĐT trên đều đúng. Khi đó nhân vế với vế các BĐT lại với
nhau ta đợc:
a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > 1 (1)
Ta lại có a(2 - a) = 2a - a

2
= 1 - (1-a)
2


1
Tơng tự b(2 - b)

1
c(2 - c)

1
Do 0 < a, b, c < 2 nên a( 2 - a) > 0; b(2 - b) > 0; c(2 - c) > 0
Suy ra: a(2 - a)b(2 - b)c(2 - c)

1 Mâu thuẫn với (1)
Vậy có ít nhất một trong các BĐT đã cho là sai.
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
4
(2,5đ)
Câu a: 1điểm; câu b: 1điểm; câu c: 0.5đ

a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông

DE = AH
Tam giác ABC vuông ở A, có AH


BC, nên AH
2
=BH.CH=4.9=36


AH=6(cm) Vậy DE=6cm.
b) Ta có AH
2
=AD.AB ; AH
2
=AE.AC


AD.AB=AE.AC
c) Ta có AH
2
=BH.CH


AH
4
=BH
2
CH
2
=AB.BD.AC.CE=AH.BC.BD.CE


AH

3
=BC.BD.CE
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
5
(1đ)
Vì a
j
= + 1 nên a
i
a
j
= + 1
Do đó tổng n số hạng a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ + a
n
a
1
mỗi số hạng bằng 1 hoặc -1.

Mà tổng này bằng 0 (g thiết) nên suy ra n chẵn.
Giả sử n = 2k với k số hạng bằng 1, k số hạng bằng -1.
Tích của n số hạng đó (a
1
a
2
)(a
2
a
3
) (a
n
a
1
) = (a
1
a
2
a
n
)
2
= 1
Nên số hạng bằng -1 phải là số chẵn, k = 2p
Vậy n = 2k = 4 p.
Mà 2006 không chia hết cho 4, suy ra n không thể bằng 2006.
0.5
0.25
0.25
Các cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa

Phòng GD & ĐT quỳ hợp kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2009 2010
Đề chính thức Môn Thi: Toán 9 (Vòng 2)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
A
B
C
D
E
H
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chử số
abc
sao cho:





=
=
2
2
)2(
1
ncba
nabc
.
Bài 2: Tìm các nghiệm của phơng trình

0
2
=++ qpxx
. Biết rằng chúng là số nguyên

10=+ qp
.

Bài 3: Giải phơng trình:
3)1071)(25(
2
=+++++ xxxx

Bài 4: a) Cho a, b, c

N
*
. Chứng minh rằng:
21 <
+
+
+
+
+
<
ac
c
cb
b
ba

a
b) Cho hai số x, y thoả mãn hệ thức
4
4
1
8
2
22
=++
x
yx
. Xác định x, y để tích x.y đạt
giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho nữa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. M, N là hai điểm trên nữa đờng tròn (O)
sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN bằng R
3
.
a) Tính độ dài MN theo R.
b) Gọi I là giao điểm của AN với BM, K là giao điểm của AM với BN. Chứng minh M, N,
I, K cùng thuộc một đờng tròn. Tính bán kính đờng tròn đó.
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi nhng vẩn
thoả mãn giả thiết bài toán.
======= Hết ======
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Phòng GD & ĐT nghi lộc kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2009 2010
Đề chính thức Môn Thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 1: Chứng minh rằng: A =

2130
3921 +
chia hết cho 45.
Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a)
5168143 =++++ xxxx
.
6
b)





+=
=+
))((
2
20102010
22
yxxyyx
yx

Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:





=++

=++
1
1
333
222
cba
cba

Bài 4: Cho
1
22
=+ yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S =
)2)(2( yx
.
Bài 5: Cho tam giác ABC có AH là đờng cao, nội tiếp đờng tròn tâm O đờng
kính BC. Đờng tròn tâm O đờng kính AH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2
là G, cắt AB và AC lần lợt tại M và N .
a) Chứng minh : AM.AB = AN.AC.
b) Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M và N cắt BC lần lợt tại I và K.
so sánh IK và BC.
c) Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm.
======= Hết ======
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
h ớng dẫn chấm toán lớp 9.
Bài 1 (3,0 đ): A= 21
30
+ 39
21

= 3
30
. 7
30
+ 3
21
. 13
21
0,5 đ
A= 3
21
( 3
9
.7
30
+ 13
21
)
Kết luận đợc A chia hết cho 9 (1) 0,5 đ
A= 21
30
+ 39
21
= (21
30
-1) + (39
21
+ 1) 0,5 đ
A= (21-1)P + (39+1)Q (P và Q nguyên) 0,5 đ
A = 20(P+2Q) chia hết cho 5 (2) 0,5 đ

Vì (5;9)=1 kết hợp (1) và (2) ta có A chia hết cho 45. 0,5 đ
Bài 2: a, Nhận xét : =
(3.0 đ) =
2
3)-1(

x
Vậy tìm đợc ĐK là: x 1
0,75 đ
0,5 đ
HS biến đổi đợc: +
2
3)-1( x
= 5
+2+ = 5 0,5 đ
+ Nếu x 10, ta có : +2+-3=5 x=10 (thoả mãn)
0,5 đ
+ Nếu 1 x<10, ta có 5=5 (luôn đúng)
Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 10
0,75 đ
7
b, Điều kiện x,y 0
(2,0 đ) Từ
2yx
22
=+
(x,y)

(0,0) x
2010

+y
2010
> 0
0,5 đ
Nếu x>y thì PT thứ 2 có VT > 0 > VP ( Vô nghiệm)
Nếu y>x thì PT thứ 2 có VP > 0 > VT (Vô nghiệm)
0,5 đ
0,5 đ
Nếu x=y , HS kết luận đợc thoả mãn PT thứ 2.
Thay vào PT thứ nhất và tìm đợc: x = y = 1 0,5 đ
Bài 3 (2,0 đ): Ta có
1
222
=++ cba
nên
1;1;1 cba
0,5 đ
Ta có :
0)()(
333222
=++++ cbacba
=>
0)1()1()1(
222
=++ ccbbaa
0,5 đ

0)1(;0)1(;0)1(
222
ccbbaa

=>
0)1()1()1(
222
=== ccbbaa
0,5 đ
Nếu a=b=c=1 thì trái với giả thiết a
2
=b
2
=c
2
=1.
HS kết luận đợc có ít nhất 1 số bằng 0 vậy tích abc = 0. 0,5 đ
Câu 4: Ta có: S = 4-2x-2y+xy
(3,0 đ) 2S = 8 - 4x 4y + 2xy
2S = 1+4+3 - 4x 4y + 2xy 0,5 đ
2S = x
2
+ y
2
+ 4 - 4x 4y + 2xy +3
2S =(x+y-2)
2
+ 3
S =
2
3 2)-y(x
2
++
0,25 đ

Vậy S
max
(x+y-2)
2
đạt max và S
min
(x+y-2)
2
đạt min
0,25 đ
Ta có (x-y)
2
0 với mọi x,y 2xy x
2
+y
2
(x+y)
2
2(x
2
+y
2
)=2
- x+y
0,5 đ
- -2 x+y-2 -2 < 0
0,5 đ
S = =
Vậy S
Max

= Đẳng thức xảy ra x=y= -
0,5 đ
S
2
249
2
34242
2
3)22(
2

=
++
=
+

Vậy S
Min
= Đẳng thức xảy ra x=y=
0,5 đ


8
Bài 5:a) (2 đ) HS kết luận đợc :
AM.AB = AH
2
(0,75 đ)
AN.AC = AH
2
(0,75 đ)

AM.AB = AN.AC (0,5 đ)
b) Kết luận đợc

IMH cân tại I (0,5 đ)
Kết luận đợc : MI=BI=IH . (0,75 đ)
IH=1/2 BH. (0,25 đ)
Tơng tự kết luận đợc:
HK =1/2 HC. (1,5 đ)
IK = 1/2 BC. (0,5 đ)

C) (2,0 đ) Nối AO căt MN tại P; gọi giao AG và CB là S.
Kết luận đợc

OAC =

OCA


ONA =

OAN


OAC+

ONA=

OCA+

OAN =90

0
0,5 đ
Rút ra đợc: MN

AO (1)
0,25 đ
OO là đờng nối tâm của (O) và (O) nên OO

AG hay OO

AS
0,5 đ
Xét tam giác : SAO có AH là đờng cao; OO là đờng cao => O là trực tâm của
tam giác . 0,25 đ
=> SO

AO (2) kết hợp với (1) => SO và MN cùng vuông góc với AO
0,25 đ
Và có chung điểm O => đờng thẳng SO trùng đờng thẳng MN =>
S; M; N thẳng hàng => AG; MN và BC đồng quy (ĐPCM) 0,25 đ
9
(3,0 đ)

×