Tuyển tập các đề thi HSG môn Toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.88 MB, 210 trang )
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2
TỔ TOÁN
NGUYỄN VĂN XÁ
TÀI LIỆU THAM KHẢO MÔN TOÁN
TẬP HAI
MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI
2009
20092009
2009
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
1
MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009
Bài 1 (6 ñiểm)
1/ So sánh hai số 2009
2010
và 2010
2009
.
2/ Tìm giới hạn
2
0 3
3
1 1
lim
3 ( 1 4 1)
2 ( (1 6 ) 1 6 1)
x
x x
x x x
→
−
+ +
+ + + +
.
Bài 2 (4 ñiểm)
1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x
2009
+ y
2009
+ z
2009
= 3. Tìm giá trị lớn nhất của
F = x
2
+ y
2
+ z
2
.
2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng
1 2 1
2009 2010 2009+n
1 1 1 1
C C C 2007
n+
+ + + <
.
Bài 3 (4 ñiểm)
Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180
o
và các cạnh bên
SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn
3
.
Bài 4 (4 ñiểm)
1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng
2 2 2
1 2 2+ 3
+ - m + n + p
m n p
≤
.
2/ Giải hệ phương trình
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz
+ + + = +
+ + + = −
+ + + = +
.
Bài 5 (2 ñiểm)
1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ
giác ñó.
2/ Cho y = a
0
x + a
1
x
3
+ a
2
x
5
+ … + a
n
x
2n+1
+ … thoả mãn (1 – x
2
)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1).
Tìm các hệ số a
0
, a
1
, a
2
, …,
a
n
.
2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007
BÀI 1: (3 ñiểm)
Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này:
(
)
(
)
2 2 2 2 2
cos 4 4 . cos 4 2 2 0
tan x a tan x a
π π
− − − + + ≤
.
BÀI 2: (3 ñiểm)
Với những giá trị nào của a thì hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1 3 1 2 sin sin
3 2 3
x x
f x x a a a
π
= − + − + +
có không quá
hai ñiểm cực trị trên khoảng (
; 5
π π
) ?
BÀI 3: (4ñiểm)
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
2
Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x
nguyên.
(
)
(
)
(
)
144
2
+≤++− aaxaaxx
.
ðÁP ÁN
BÀI 1 (3 ñiểm)
ðặt t =
(
)
2 2
cos 4
tan x
π
−
, với
1
t tan
≤
. Dễ thấy rằng với
[
]
0
1, 1
t tan tan
∈ −
phương trình
(
)
2 2
0
cos 4
tan x t
π
− =
có s
ố
nghi
ệ
m h
ữ
u h
ạ
n. Do
ñ
ó ta tìm t
ấ
t c
ả
a sao cho h
ệ
2
4 2 2 0
1 1
t at a
tan t tan
− + + ≤
− ≤ ≤
có s
ố
nghi
ệ
m h
ữ
u h
ạ
n.
ð
i
ề
u này ch
ỉ
có th
ể
khi h
ệ
có
ñ
úng m
ộ
t nghi
ệ
m.
N
ế
u bi
ể
u th
ứ
c
∆
c
ủ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai t
ươ
ng
ứ
ng âm thì rõ ràng h
ệ
vô nghi
ệ
m.
N
ế
u
∆
= 0, t
ứ
c là a = 1 hay a =
2
1
− , thì nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a h
ệ
s
ẽ
ch
ỉ
là
m
ộ
t
ñ
i
ể
m t = 2a. T
ừ
hai giá tr
ị
tìm
ñượ
c c
ủ
a a ch
ỉ
có a =
2
1
− là thích h
ợ
p, v
ớ
i a =
2
1
− ta
ñượ
c
t = 1
[
]
1; 1
tan tan
∈ −
t
ừ
ñ
ây suy ra
(
)
2 2
cos 4
tan x
π
− = 1 hay
π
π
π
nx +−=−
4
4cos
22
, v
ớ
i
n Z
∈
.
Ph
ươ
ng trình này có nghi
ệ
m ch
ỉ
khi n = 0. Lúc
ñ
ó
4
4cos
22
π
π
−=− x
hay
π
π
ππ
2
4
arccos4
22
kx +
−±=−
, v
ớ
i k
Ζ
∈
. D
ễ
th
ấ
y r
ằ
ng ph
ươ
ng trình này có nghi
ệ
m:
2
2
4
arccos4
±−±=
π
ππ
x
.
N
ế
u
∆
> 0 thì nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình s
ẽ
là
ñ
o
ạ
n
[
]
21
,tt
,
ñ
o
ạ
n này ph
ả
i có ch
ỉ
m
ộ
t
ñ
i
ể
m
chung v
ớ
i
ñ
o
ạ
n
[
]
1, 1
tan tan
−
. Suy ra t
1
=
tan
1 hay t
2
= -
tan
1 . Lúc
ñ
ó giá tr
ị
c
ầ
n tìm c
ủ
a tham s
ố
ñượ
c
tìm b
ằ
ng cách gi
ả
i t
ậ
p h
ợ
p hai h
ệ
sau :
(
)
0
1 0
1
f tan
tan t
=
<
hay
(
)
0
1 0
1
f tan
tan t
− =
− >
v
ớ
i f(t) = t
2
– 4at +2 + 2a .
Suy ra
2
1 2
4 1 2
1
1
2
tan
a
tan
a tan
+
=
−
>
hay
(
)
2
1 2
4 1 2
1
1
2
tan
a
tan
a tan
− +
=
+
< −
.
D
ễ
th
ấ
y r
ằ
ng h
ệ
th
ứ
nh
ấ
t có nghi
ệ
m , còn h
ệ
th
ứ
hai vô nghi
ệ
m. Giá tr
ị
v
ừ
a tìm c
ủ
a tham s
ố
t
ươ
ng
ứ
ng t =
tan
1. Suy ra
(
)
2 2
cos 4
tan x
π
−
=
tan
1,
ππ
nx +=− 14cos
22
, n
Ζ
∈
. Ph
ươ
ng trình này ch
ỉ
có
ba nghi
ệ
m x
1
= 0 , x
2
= -2
π
, x
3
= 2
π
.
K
ế
t lu
ậ
n :
N
ế
u a =
2
1
thì
2
2
4
arccos4
±−±=
π
ππ
x
.
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
3
N
ế
u
2
1 2
4 1 2
tan
a
tan
+
=
−
, thì x
1
= 0 , x
2
= -2
π
, x
3
= 2
π
.
V
ớ
i các giá tr
ị
còn l
ạ
i c
ủ
a a ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m ho
ặ
c có vô s
ố
nghi
ệ
m .
BÀI 2 (3
ñ
i
ể
m)
Ta có
( ) ( )
3
2
cos
3
cos211
'
xx
aaxf +−+−=
. Nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
(
)
0
'
=xf
s
ẽ
là các
ñ
i
ể
m
t
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm f . Ta vi
ế
t :
( )
0
3
2
cos
3
cos211 =+−+−
xx
aa
D
ễ
th
ấ
y r
ằ
ng ph
ươ
ng trình này t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i t
ậ
p h
ợ
p:
=
−=
a
x
x
3
cos
2
1
3
cos
.
Ph
ươ
ng trình th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p có hai nghi
ệ
m x
1
=
π
2
và x
2
=
π
4 trên kho
ả
ng (
π
,
π
5
). Các
ñ
i
ể
m này là
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm f . Khi vi
ế
t
ñạ
o hàm d
ướ
i d
ạ
ng
( )
−
+= a
xx
xf
3
cos
2
1
3
cos2
'
d
ễ
th
ấ
y r
ằ
ng các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n tr
ở
thành
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
ch
ỉ
khi a
2
1
−≠
(n
ế
u a =
2
1
−
thì
ñạ
o hàm không
ñổ
i
d
ấ
u , và do
ñ
ó hàm f không có
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
).
Nh
ư
v
ậ
y n
ế
u
2
1
−≠a
thì hàm f có ít nh
ấ
t hai
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
trên kho
ả
ng
ñượ
c xét . Do
ñ
ó , c
ầ
n tìm
các giá tr
ị
a sao cho ph
ươ
ng trình th
ứ
hai không có thêm
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.
Trên kho
ả
ng (
π
,
π
5
) hàm y = cos
3
x
nh
ậ
n t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
thu
ộ
c
ñ
o
ạ
n
1
1;
2
−
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-4
-2
2 4 6 8
10
12
14
16
F
E
D
N
ế
u
−∈
2
1
,1a
và
2
1
−≠a
thì hàm f s
ẽ
có 4 c
ự
c tr
ị
. Có ngh
ĩ
a là v
ớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
a khác hàm
f s
ẽ
có không quá hai c
ự
c tr
ị
.
K
ế
t lu
ậ
n :
2
1
≥a
,
2
1
−=a
,
1
−
≤
a
.
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
4
BÀI 3 (4
ñ
i
ể
m)
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i t
ậ
p h
ợ
p hai h
ệ
:
+≥
≤
4
2
ax
ax
hay
+≤
≥
4
2
ax
ax
. Nh
ờ
t
ậ
p
h
ợ
p này ta bi
ể
u di
ễ
n nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình ban
ñầ
u. K
ẻ
các
ñườ
ng th
ẳ
ng x = k , v
ớ
i
Ζ
∈
k
.
14
12
10
8
6
4
2
-5
5
10
15
- 6 12
x=a+4
x=a
2
A
Lúc
ñ
ó giá tr
ị
a
0
mà v
ớ
i nó
ñườ
ng th
ẳ
ng a = a
0
c
ắ
t các
ñườ
ng th
ẳ
ng x = k không quá 4
ñ
i
ể
m
trong t
ậ
p h
ợ
p
ñ
ã
ñượ
c
ñ
ánh d
ấ
u, s
ẽ
là giá tr
ị
c
ầ
n tìm. C
ă
n c
ứ
vào hình v
ẽ
ta có các giá tr
ị
a c
ầ
n tìm là :
06 <−
,
1
0
<
<
a
,
121 << a
.
3.
KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007
Câu 1:
(4
ñ
i
ể
m)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
3 2 cos cos
3 2 cos cos
3 2 cos cos
x y z
y z x
z x y
+ = +
+ = +
+ = +
.
Câu 2:
(4
ñ
i
ể
m)
Cho dãy s
ố
{
}
n
x
tho
ả
mãn:
0
3
1 1
3
3 2
n n n
x
x x x
+ +
=
− = +
. Tìm
lim
n
n
x
→+∞
.
Câu 3:
(4
ñ
i
ể
m)
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên
*
+
R
và tho
ả
mãn:
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
5
2 2
2
(1) 5
4
( ) ( ) 4 , 0 .
f
f x x f x x x
x
=
− = − ∀ >
Câu 4:
(4
ñ
i
ể
m)
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng cho hình vuông ABCD c
ạ
nh a và
ñ
i
ể
m M thay
ñổ
i. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a m
ỗ
i t
ổ
ng
sau:
1)
T
2
= 2.MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
.
2)
T
1
= 2.MA + MB + MC + MD.
Câu 5: (4
ñ
i
ể
m)
Cho t
ậ
p h
ợ
p A =
{
0,1,2,…,2006
}
. M
ộ
t t
ậ
p con T c
ủ
a A
ñượ
c g
ọ
i là t
ậ
p con “ngoan ngoãn” n
ế
u v
ớ
i b
ấ
t
kì x, y
∈
T (có th
ể
x = y) thì | x – y |
∈
T.
1)
Tìm t
ậ
p con “ngoan ngoãn” l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a A và khác A.
2)
Tìm t
ậ
p con “ngoan ngoãn” bé nh
ấ
t c
ủ
a A ch
ứ
a 2002 và 2005.
4.
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007)
Bài 1: (4
ñ
) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
1
( 3) 2 1
x x
−
− =
.
Bài 2
: (4
ñ
) Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
22
yx +
n
ế
u :
3 2 6
7 3 4
x y
x y
+ ≤
− ≤
.
Bài 3
: (4
ñ
) Cho dãy
n21
x, ,x,x
, v
ớ
i
=+=
=
+
, )2,1n(,xxx
2
1
x
n
2
n1n
1
. Hãy tìm ph
ầ
n nguyên c
ủ
a A
bi
ế
t
1x
1
1x
1
1x
1
A
10021
+
++
+
+
+
=
.
Bài 4: (4
ñ
) Cho dãy (a
n
) v
ớ
i :
−−
=
=
+
2
a11
a
2
1
a
2
n
1n
1
. Ch
ứ
ng minh t
ổ
ng t
ấ
t c
ả
các s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a dãy nh
ỏ
h
ơ
n 1,03.
Bài 5: (4
ñ
) Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD trong tam giác BCD ch
ọ
n
ñ
i
ể
m M và k
ẻ
qua M các
ñườ
ng th
ẳ
ng song song
v
ớ
i các c
ạ
nh AB,AC,AD c
ắ
t các m
ặ
t (ACD), (ABD) và (ABC) t
ạ
i
111
C,B,A
. Tìm v
ị
trí c
ủ
a M
ñể
th
ể
tích hình t
ứ
di
ệ
n
111
CBMA
l
ớ
n nh
ấ
t.
5.
THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN
Câu 1
: Gi
ả
i BPT:
x
x
xxxxxx
2
23234
1
ln)ln()1222ln(
−
≤+−+−++
.
Câu 2: Cho tam giác ABC
ñề
u. Tìm t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m M n
ằ
m trong tam giác tho
ả
mãn h
ệ
th
ứ
c:
222
MCMBMA +=
.
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
6
Câu 3
: Cho 2 s
ố
th
ự
c d
ươ
ng x, y tho
ả
mãn: x + y =1. Tìm min c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c: A=
xy
yx
8
11
22
+
+
.
Câu 4
: Cho dãy )(
n
x xác
đị
nh:
1
1
2
2
n n
x
x x
+
=
= +
(n >0). Tìm lim
n
x .
Câu 5
: Cho tam giác
đề
u ABC c
ạ
nh b
ằ
ng 1. Trên dt (d) vng góc v
ớ
i mf (ABC) t
ạ
i A l
ấ
y
đ
i
ể
m M tu
ỳ
ý.
G
ọ
i H là tr
ự
c tâm tam giác MBC. Khi M ch
ạ
y trên dt (d), tìm max V(HABC)
Câu 6: Tìm các
đ
a th
ứ
c P(x) tho
ả
mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1
Câu 7:
V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
t
ự
nhiên n, g
ọ
i P(n) là t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
t
ự
nhiên k sao cho:
1
50750
+
<<
nkn
. Kí hi
ệ
u S
là s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a P(n). CMR v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
t
ự
nhiên n, ta có: S=2 ho
ặ
c S=3; và CMR t
ồ
n t
ạ
i vơ s
ố
s
ố
t
ự
nhiên
k sao cho S = 3.
6
.
KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008
Bài 1: (5 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho PT x
2
+ (m
2
- m)x - m
3
+1 = 0 có một nghiệm nguyên.
b) Giải bất phương trình.
Bài 2
: (5 điểm).
a) Giải phương trình 4sin
2
5x - 4sin
2
x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0.
b) Cho các số thực x
1
,x
2,
… ,x
n
thỏa mãn sin
2
x
1
+2sin
2
x
2
+…+ nsin
2
x
n
= a, với n là số nguyên dương, a là
số thực cho trước,
( 1)
0
2
n n
a
+
≤ ≤
. Xác đònh các giá trò của x
1
, x
2,
… , x
n
sao cho tổng
S = sin2x
1
+2sin2x
2
+ … + nsin2x
n
đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a và n.
Bài 3
: (4 điểm).
a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc =1 .Chứng minh :
6 2 2 6 2 2 6 2 2
1 1 1 3
.
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện
cot (cot 2cot )
2cot( ) cot .
2
2cot( ) cot
2
A A B A B
B
A B
B
+ +
= −
+
+
Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Bài 4
: (2 điểm).
Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’
và CC’ đồng qui tại điểm M. Gọi S
1
, S
2
và S
3
lần lượt là diện tích của các tam giác MBC, MCA,
MAB và đặt
' ' '
, , .
MA MB MC
x y z
MA MB MC
= = =
Chứng minh rằng: (y + -1) S
1
+(x + z-1)S
2
+(x + y -1)S
3
= 0.
Bài 5
: (2 điểm).
Cho dãy {u
n
} , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : .
Tính u
n
và chứng minh rằng u
1
+ u
2
+…+ u
n .
Bài 6: (2 điểm).
Cho đa thức f(x)=x
3
+ ax
2
+ bx + b có ba nghiệm x
1
, x
2
, x
3
và đa thức g(x) = x
3
+ bx
2
+ bx + a. Tính
tổng S = g(x
1
) + g(x
2
) + g(x
3
) theo a, b.
2)12(log13)12(log
22
≤+−++−
xx
1
2
1
1
1 1
.
0
n
n
n
n
u
u
u
u
u
+
=
+ −
=
>
])
2
1
(1[
4
1
1−
−+≥
n
π
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
7
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
Bài 1
: (5 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(3 điểm) + Biến đổi:
x(x+m
2
) -m(x+m
2
) = -1.
+ (x+m
2
)(x-m) = -1.
+ (a)
hoặc
2
1
(b)
1
x m
x m
+ = −
− =
+Giải (a) m =1 hoặc m =-2.
+Giải (b) vô nghiệm.
+Vậy m =1 hoặc m =-2.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm)
+ Biến đổi:
(1)
+Vì
nên
+
+Vậy
2 1 2 1
log 2 3log 2
x
+ +
≤ ≤
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2: (5 điểm).
Câu Đáp án Điểm
21)12(log3)12(log
22
≤−+++−
xx
BABA
xx
+≥+=−+++− ,21)12(log3)12(log
22
⇔≥−++− 0)1)12()(log3)12((log
22
xx
⇔≥−+++− 0)1)12()(log3)12(log(
22
xx
3)12((log1
2
≤+≤
x
−=−
=+
1
1
2
mx
mx
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
8
a)(2 điểm)
Biến đổi 4sin
2
5x+1-sin
2
x+4sin5xcosx=3sin
2
x
4sin
2
5x+4sin5xcosx+cos
2
x=3sin
2
x
(2sin5x+cosx)
2
=3sin
2
x
Vậy nghiệm hoặc hoặc
hoặc
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(3 điểm)
+ Biến đổi
+Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có:
+Dấu = xảõy ra khi
hay
hay
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1 2
2 2 2
1 2
tan tan tan
sin 2sin sin
sin 2 0
n
n
i
x x x
x x n x
x
= = =
+ + +
>
)cos.sin cos2.sin2cos(sin2
2211 nn
xnxnxxxxS +++=
)cos cos2)(cossin sin2(sin2
2
2
2
1
22
2
2
1
2
nn
xnxxxnxxS ++++++≤
)sin sin22sin1(2
2
2
2
1
2
n
xnnxxaS −++−+−≤
)]sin sin2(sin) 21[(2
2
2
2
1
2
n
xnxxnaS +++−+++≤
]
2
)1(
[2 a
nn
aS −
+
≤
n
n
xn
xn
x
x
x
x
cos
sin
cos2
sin2
cos
sin
2
2
1
1
===
≤≤
=
+
====
π
α
α
i
n
x
a
nn
xxx
20
sin
2
)1(
2
21
⇔±=+ xxx sin3cos5sin2
⇔−±= xxx cos
2
1
sin
2
3
5sin
)
6
5
sin(5sin
)
6
sin(5sin
π
π
−=
−=
xx
xx
2
24
π
π
kx +−=
3
36
7
π
π
kx +=
2
24
5
π
π
kx +−=
3
36
11
π
π
kx +=
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
9
Vậy Max S=
( 1)
2 [ ]
2
n n
a a
+
−
khi
1 2
2
sin
( 1)
0
2
n
x x x
a
n n
α
α
π
α
= = = =
=
+
≤ ≤
0.5
Bài 3: (4 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(2 điểm)
p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 2 2 6 2 2 6 2 2
2 2 2 2 2 2 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
6 2 2 6 2 2
1 1 1
( )( ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
1 1 1
( . . . )
1 1 1
( )
( )
( )
1 1 1
(
( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
a b c
b c c a a b
a b c
b c c a a b
a b c b c a
+ + + + + + + ≥
+ + +
≥ + + + + + =
+ + +
= + +
+ +
=
= + + ⇒
+ +
+ +
2 2 2 2 2 2 2
6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
4 4 4
( )
)
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
.
2 2 2
b c c a a b
c a b a b c b c a c a b
b c c a a b a b c
+ +
≥ =
+ + + + + +
+ +
= ≥ =
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm)
+Biến đổi ,ta có
+Biến đổi vế trái
+
+ Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B
Vậy tam giác ABC cân tại C.
0.5
0.5
0.5
0.5
.
3
4
=x
2 2
(cot cot ) 4cot ( ) cot cot 2cot( )
2 2
A B A B
A B A B
+ +
+ = ⇔ + =
sin( ) 2sin( ) 2sin( )
cot cot
sin sin cos( ) cos( ) 1 cos( )
A B A B A B
A B
A B A B A B A B
+ + +
+ = = ≥
− − + − +
2
( ) ( )
4sin cos
( )
2 2
cot cot 2cot
( )
2
2sin
2
A B A B
A B
A B
A B
+ +
+
+ ≥ =
+
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
10
Bài 4
: (2 điểm).
Câu Đáp án Điểm
2 điểm
+ Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có
Ta có
+Suy ra
+Suy ra
1 1
1 2 3
1 2 3
( )
s s
x x s x s s
s s s s
=
⇒
=
⇒
= +
− +
.
+Tương tự
Vậy (y+z-1) s
1
+(x+z-1)s
2
+(x+y-1)s
3
=0
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 5
: (2 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
2 điểm
+Đặt
ta có
+Vì
mà
+
+ Suy ra đpcm
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 6
: (2 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
321
SSSS ++=
'
'
'
'
1
1
MA
AA
s
s
AA
MA
s
s
=
⇒
=
xMA
MA
MA
MAAA
s
ss 1
''
''
1
1
==
−
=
−
2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 3 1 1 2
( ), ( ); ( ) ( ) ( )
s y s s s z s s S s s s x s s y s s z s s
= + = + = + + = + + + + +
tan 0,0
2
n
u
π
α α
= > < <
2
1
1
1
1 tan 1
cos
tan
sin
tan 2
cos
n
u
α α
α
α
α
α
+
−
+ −
= = =
0 tan
2
π
α α α
< <
⇒
<
nn
uuus +++=
21
1 2
2
1 tan tan tan , , tan
4 2.2 2.2 2.2
n
n
u u u
π π π π
= = =
⇒
= =
2
1
2 2
tan tan tan
2.2 2.2 2.2
1 1 1
1 1 ( ) 1 (1 ( ) )
2.2 2.2 2 2 2 4 2
n
n
n
n n
s
π π π
π π π π
−
= + + + ≥
≥ + + + = + + + = + −
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG mơn Tốn
Trang
11
2 điểm
+Theo đònh lý Vi ét,ta có
p
1
=x
1
+x
2
+x
3
=-a ; p
2
=x
1
x
2
+x
2
x
3
+x
3
x
1
=b, p
3
=x
1
x
2
x
3
=-b.
+Ta có
+
+
0.5
0.5
0.5
0.5
Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả đúng, hợp lô gic khoa
học vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
7. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1995
Bài I. Xét
đườ
ng cong:
3 2
y mx nx mx n= − − + (C). Tìm các c
ặ
p s
ố
(m; n) sao cho trong các giao
đ
i
ể
m
c
ủ
a (C) v
ớ
i tr
ụ
c hồnh có hai giao
đ
i
ể
m cách nhau 1995
đơ
n v
ị
và kho
ả
ng cách t
ừ
tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a (C)
đế
n tr
ụ
c hồnh là 2000
đơ
n v
ị
.
Bài II
V
ớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
nào c
ủ
a m thì
∀
x
∈
0;
2
π
ta ln có:
3 2 2
sin 2 os 3 sin osm mc m c
α α α α
+ ≤ .
Bài III
Cho hai dãy s
ố
( )
n
a
và
( )
n
b
trong
đ
ó v
ớ
i m
ọ
i i = 1, 2, 3… ta ln có:
3
1
4
i
i i
a
a a
+
= − và
i i
b a=
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: có ít nh
ấ
t m
ộ
t giá tr
ị
c
ủ
a
i
a sao cho dãy
( )
n
b
có gi
ớ
i h
ạ
n khác 0.
Bài IV
Cho hình Elíp
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = v
ớ
i tâm O và các tiêu
đ
i
ể
m
1 2
,
F F
. Qua O,
1
F
v
ẽ
các
đườ
ng song song
MOM', MF
1
N'. Tính t
ỉ
s
ố
:
1 1
. '
. '
OM OM
F N F N
.
8. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1996
Bài I
Cho dãy ( )
n
x
xác
đị
nh b
ở
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
1
= a ;
2
1
3
4
n n n
x x x
+
− + = ; ( n = 1; 2; 3…).
Tìm giá tr
ị
c
ủ
a a sao cho: x
1996
= x
1997
.
babappppxxx
bappxxx
3333
22
3
321
3
1
3
3
3
2
3
1
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
−+−=+−=++
−=−=++
axxxbxxxbxxxS
3)()()(
321
2
3
2
2
2
1
3
3
3
2
3
1
+++++++++=
)32)((
3)()2()33(
2
23
++−−=
+−+−+−+−=
babaS
aabbabbabaS
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
12
Bài II
Hàm s
ố
f(x)
ñượ
c xác
ñị
nh b
ằ
ng h
ệ
th
ứ
c:
2
(1 ) 2 ( ) sin
f x f x x
− + = .
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
2
sinf(x) <
2
.
Bài III
Cho ph
ươ
ng trình:
( )
3 2
cos2 3 cos2 8sin 2cos 2 sin 4x m x m m
α α α
+ + = − + + +
.
Hãy xác
ñị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m sao cho v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a
α
thì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
Bài IV
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
ñộ
vuông góc Oxy, cho các
ñ
i
ể
m A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); và M(-1; -0,6). K
ẻ
ñườ
ng
th
ẳ
ng
( )
∆
vuông góc v
ớ
i AB t
ạ
i H và
ñườ
ng tròn (C) nh
ậ
n AB làm
ñườ
ng kính. Tìm qu
ỹ
tích tâm I c
ủ
a
ñườ
ng tròn ti
ế
p xúc v
ớ
i
( )
∆
và ti
ế
p xúc trong v
ớ
i (C) sao cho
ñ
i
ể
m M n
ằ
m
ở
bên ngoài
ñườ
ng tròn (I).
9. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1997
Câu 1
(5
ñ
i
ể
m)
: Cho hàm s
ố
( )
2
2
x
e
f x
e e
=
+
.
1. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t và giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
trên
ñ
o
ạ
n ln 2;ln 5
.
2. Tính t
ổ
ng
1 2 3 1996 1997
( )
1998 1998 1998 1998 1998
S f f f f f
= + + + + +
.
Câu 2 (5
ñ
i
ể
m
):
Tìm a
ñể
ph
ươ
ng trình sau có
ñ
úng 3 nghi
ệ
m:
( )
( )
( )
2
2
4
2 sin 1
1
3 log 4 6 3 log 0
2 sin 1 1
x x
x a
x x
x a
π π
− −
− − +
+ + + =
− + +
.
Câu 3 (5
ñiểm):
Cho
1 2 3 4
, , ,
6 4
x x x x
π π
≤ ≤ . Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3+1
1 1 1 1
cotx +cotx +cotx +cotx + + +
cotx cotx cotx cotx
3
≤
.
Câu 4 (5
ñiểm):
Trong h
ệ toạ ñộ trực chuẩn xOy cho ñường thẳng (d) có phương trình:
3 17
4 12
y x= + .
1. Tìm
ñiểm M(a; b) với ,a b Z∈ sao cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ nhất và ñộ dài ñoạn OM ngắn
nh
ất.
2. Cho
ñường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy. Tìm tập hợp tâm các ñường tròn tiếp xúc với Ox và
tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C).
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
13
10. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1998
Câu 1 (5 ñiểm):
Cho h
ọ ñường cong (C
m
):
3 2
3 4y x x mx m= − + + − ( m là tham số). ðường thẳng (d): y=3-x cắt một
ñường cong bất kỳ (C) của họ (C
m
) tại 3 ñiểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến
tại B của (C) lần lượt cắt ñường cong tại ñiểm thứ hai là M và N. Tìm m ñể tứ giác AMBN là hình thoi.
Câu 2 (5 ñiểm):
Gi
ải hệ phương trình:
( )
6 4
sinx
siny
10 x 1 3 2
5
;
4
x y
e
y
x y
π
π
−
=
+ = +
< <
.
Câu 3
(5 ñiểm):
Ch
ứng minh bất ñẳng thức:
1 1 1
2
1 os4a 1 os8a 1 os12ac c c
+ + >
+ + −
, v
ới a∀ làm vế trái có nghĩa.
Có thể thay số 2 ở vế phải bằng một số vô tỷ ñể có một bất ñẳng thức ñúng và mạnh hơn không?
Câu 4 (5 ñiểm):
Cho 2 ñường tròn thay ñổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với một ñường thẳng lần lượt tại 2 ñiểm A và A' cố
ñịnh. Tìm quỹ tích giao ñiểm M của (C) và (C') biết rằng chúng luôn cắt nhau dưới một góc
α
cho trước
(
α
là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai ñường tròn tại M ).
11. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1999
Câu 1 (5 ñiểm):
Cho hai hàm s
ố ( )
1
x
f x
x
=
+
và ( ) arctanxg x = .
1. Cmr: ñồ thị của chúng tiếp xúc nhau.
2. Gi
ải bất phương trình: ( ) ( )
f x g x x
≥ + .
Câu 2
(5 ñiểm):
Cho tam giác ABC tho
ả mãn:
( )
( )
( )
2 2 2
2
3
4
cot cot cot
3 cot cot cot 2 2 2
a b c
m m m
A B C
abc
A B C
+ +
=
+ +
.
Cmr: tam giác ABC
ñều.
Câu 3 (5 ñiểm):
Tìm tham số a sao cho phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên
( )
( )
( )
2 2
2
1
4 4
log 5 10 34 2 0
4 2 2 2 4
a
x a x a
x x a x a
π
π
π π π
π π
+ +
− − + − − − + + =
− − − − +
.
Nguyễn Văn Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
14
Câu 4
(5 ñiểm):
Trong h
ệ toạ ñộ trực chuẩn Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình:
2 2
4x y+ = .
1. Tìm tham s
ố m ñể trên ñường thẳng y = m có ñúng 4 ñiểm sao cho qua mỗi ñiểm có 2 ñường thẳng tạo
v
ới nhau góc 45
0
và chúng ñều tiếp xúc với ñường tròn (C).
2. Cho 2
ñiểm A(a;b), B(c;d) thuộc ñường tròn (C) chứng minh:
4 3 4 3 4 3 6a b c d ac bd− − + − − + − − ≤ .
12. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2001
Câu 1 (4
ñ
i
ể
m):
Cho hàm s
ố
4 2 2
2y x m x n= − + .
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m và n
ñể
ñồ
th
ị
có 3
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
là các
ñỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác
ñề
u ngo
ạ
i ti
ế
p
m
ộ
t
ñườ
ng tròn có tâm là g
ố
c to
ạ
ñộ
.
Câu 2 (4
ñ
i
ể
m):
Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a a và b tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
1
2
a
−
≥ và
1
a
b
> sao cho bi
ể
u th
ứ
c
( )
3
2 1a
P
b a b
+
=
−
ñạ
t
giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t
ñ
ó.
Câu 3 (4
ñ
i
ể
m):
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3
2 log
6
1 2 1
x
x x
+
<
− −
.
Câu 4 (4
ñ
i
ể
m):
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a x,
ñể
v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a y luôn t
ồ
n t
ạ
i giá tr
ị
c
ủ
a z tho
ả
mãn:
( )
3
1
2
sin os 2x+
2 3 2 osx
y
x y z y c
c
π
−
+ + = + +
.
Câu 5
(4
ñ
i
ể
m):
Cho Elíp (E) có 2 tiêu
ñ
i
ể
m là F
1
và F
2
. Hai
ñ
i
ể
m M và N trên (E). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: 4
ñườ
ng th
ẳ
ng MF
1
,
MF
2
, NF
1
, NF
2
cùng ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ộ
t
ñườ
ng tròn.
13. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2003
Câu 1 (4
ñ
i
ể
m):
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n theo tham s
ố
a s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
3 2 3
( 2) 2003( 3) 0
n n n
n x n x a
+ + +
+ − + + = (v
ớ
i n là s
ố
t
ự
nhiên l
ẻ
cho tr
ướ
c).
Câu 2
(4
ñ
i
ể
m):
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
15
Cho
ñườ
ng cong (C) có ph
ươ
ng trình
4 2
4 3y x x= − + − .Tìm m và n
ñể
ñườ
ng th
ẳ
ng
y mx n= +
c
ắ
t
ñườ
ng
cong (C) t
ạ
i 4
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B , C, D ( theo th
ứ
t
ự
) sao cho
1
2
AB CD BC= = .
Câu 3
(4
ñ
i
ể
m):
Cho tam giác ABC có tr
ọ
ng tâm G. G
ọ
i R và R' l
ầ
n l
ượ
t là bán kính
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC
và bán kính
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác có
ñộ
dài 3 c
ạ
nh là GA, GB, GC. Ch
ứ
ng minh n
ế
u có
9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC
ñề
u.
Câu 4 (4
ñ
i
ể
m):
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1./
2cosx+sin19x-5 2 sin 21 3 2 sin10
x x
= −
.
2./
5 3
32 40 10 3 0x x x− + − = .
Câu 5
(4
ñ
i
ể
m):
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
ñộ
Oxy cho Parabol (P):
2
2y px= (p > 0), tiêu
ñ
i
ể
m là F. T
ừ
m
ộ
t
ñ
i
ể
m I k
ẻ
2
ñườ
ng
th
ẳ
ng ti
ế
p xúc v
ớ
i (P) t
ạ
i M và N.
1. Cmr:
FIM
∆
ñồ
ng d
ạ
ng v
ớ
i
FIN
∆ .
2. M
ộ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng (d) tu
ỳ
ý ti
ế
p xúc v
ớ
i (P) t
ạ
i T và c
ắ
t IM, IN t
ạ
i Q và Q'.
Cmr:
FQ.FQ'
FT
không ph
ụ
thu
ộ
c v
ị
trí c
ủ
a (d).
14. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2004
Bài 1
(4
ñ
i
ể
m)
:
Cho hàm s
ố
: f(x) = 1
5
4
54
+−
xmx
và 122004
3
)(
3
2
−−=
xx
m
xg
có
ñồ
th
ị
là (C) và (C’). H
ẵ
y tìm t
ấ
t c
ả
cac giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
ñể
t
ồ
n t
ạ
i 4
ñườ
ng th
ẳ
ng khác nhau, cùng song song v
ớ
i tr
ụ
c tung và m
ỗ
i
ñườ
ng
trong chúng
ñề
u c
ắ
t (C) và (C’) t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a (C)và (C’) t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m
ñ
ó
song song v
ớ
i nhau.
Bài 2
(4
ñ
i
ể
m)
:
Cho b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
222
2222 xxaaxxxxx
xx
−+−<−
.
1.Gi
ả
i bpt khi a = -1.
2.Tìm a
ñể
bpt có nghi
ệ
m x >1.
Bài 3
(4
ñ
i
ể
m)
:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
( ) 3 9 4( )
2 2
cos sin
3 2 2 2
x x
x x
π π
− −
+ = + .
Bài 4
(4
ñ
i
ể
m)
:
M
ộ
t t
ứ
giác có
ñộ
dài ba c
ạ
nh b
ằ
ng 1 và di
ệ
n tích b
ằ
ng
4
33
. Hãy tính
ñộ
dài c
ạ
nh còn l
ạ
i và
ñộ
l
ớ
n các
góc c
ủ
a t
ứ
giác
ñ
ó.
Bài 5
(4
ñ
i
ể
m)
:
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
16
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD DA = a, DB = b, DC = c
ñ
ôi m
ộ
t vuông góc v
ớ
i nhau. M
ộ
t
ñ
i
ể
m M tu
ỳ
ý thu
ộ
c kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n.
1.G
ọ
i các góc t
ạ
o b
ở
i tia DM v
ớ
i DA, DB, DC là , ,
α β γ
. Cmr: 2sinsinsin
222
=++
γβα
.
2.G
ọ
i
DCBA
SSSS
,,, l
ầ
n l
ượ
t là di
ệ
n tích các m
ặ
t
ñố
i di
ệ
n v
ớ
i
ñỉ
nh A, B, C, D c
ủ
a kh
ố
i t
ư
di
ệ
n. Tìm giá
tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
DCBA
SMDSMCSMBSMAQ
+++= .
15. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2006
Câu 1
(5
ñ
i
ể
m)
:
G
ọ
i
( )
m
C
là
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
4 2 2 4
6 4 6
y x m x mx m
= − + + ( m là tham s
ố
).
1. Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
( )
m
C
có 3
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A, B, C.
2. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác ABC có tr
ọ
ng tâm c
ố
ñị
nh khi tham s
ố
m thay
ñổ
i.
Câu 2
(3
ñ
i
ể
m)
:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1.
5 3
15 11 28 1 3
x x x
+ + = − . 2.
( )
2 2
4 1 1 2 2 1
x x x x
− + = + +
.
Câu 3
(3
ñ
i
ể
m)
:
Tam giác ABC có
ñộ
dài các c
ạ
nh là a, b, c và bán kính R c
ủ
a
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tho
ả
mãn h
ệ
th
ứ
c:
( )
3 2
bc R b c a
= + −
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác
ñ
ó là tam giác
ñề
u.
Câu 4
(4
ñ
i
ể
m)
:
Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
a
ñể
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 1
y y y
12 os 5 12 os 7 24 os 13 11 sin
2 2 2 3
3
2 1 2
4
x y
c c c
x y a x y a
π
π π π
− −
− − − + + = −
+ − − = + − −
.
Câu 5
(5
ñ
i
ể
m)
:
Cho t
ứ
di
ệ
n
ñề
u ABCD có c
ạ
nh b
ằ
ng 1. Các
ñ
i
ể
n M, N l
ầ
n l
ượ
t chuy
ể
n
ñộ
ng trên các
ñ
o
ạ
n AB, AC sao
cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (DMN) luôn vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC).
ðặ
t AM = x, AN = y.
1. Cmr: m
ặ
t ph
ẳ
ng (DMN) luôn ch
ứ
a m
ộ
t
ñườ
ng ph
ẳ
ng c
ố
ñị
nh và x + y = 3xy.
2. Xác
ñị
nh v
ị
trí c
ủ
a M, N
ñể
di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n t
ứ
di
ệ
n ADMN
ñạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t và l
ớ
n nh
ấ
t.Tính các
giá tr
ị
ñ
ó.
16. ðỀ THI THỬ HSG VÒNG TỈNH LẦN 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM 2008
Bài 1: (2.0
ñ
i
ể
m) V
ớ
i a,b,c > 0 th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n abc =1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
17
4
3
)1)(1()1)(1()1)(1(
333
≥
++
+
++
+
++ ba
c
ac
b
cb
a
.
Bài 2
: (3.0
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
( )
2
2
2
x x-5 log x-2x 6 0
log
+ + =
.
Bài 3
: (3.0
ñ
i
ể
m) Tìm
ñ
a th
ứ
c P (x) th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
(3) 6
( 1) ( 3) ( ), x
P
xP x x P x R
=
− = − ∀ ∈
.
Bài 4
: (2.0
ñ
i
ể
m) Cho dãy s
ố
d
ươ
ng
)
(
n
x
xác
ñị
nh xác
ñị
nh nh
ư
sau:
1
0
45
1
45 7 (n 0)
2 1
x
x
x x x
n
n n
=
=
= − ≥
+ +
.
1) Xác
ñị
nh s
ố
h
ạ
ng t
ổ
ng quát
n
x
theo n
2) Tính s
ố
ướ
c d
ươ
ng c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2
.
2
1
+
−
+
n
x
n
x
n
x
.
Bài 5
: (3.0
ñ
i
ể
m)
Cho t
ứ
giác ABCD n
ộ
i ti
ế
p trong
ñườ
ng tròn tâm O. Các
ñườ
ng th
ẳ
ng AB,CD, c
ắ
t nhau
ở
E, AD, BC
c
ắ
t nhau
ở
F, AC, BD c
ắ
t nhau
ở
M. Các
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p c
ủ
a các tam giác CBE, CDF c
ắ
t nhau
ở
N.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng O,M, N th
ẳ
ng hàng.
Bài 6 : (2.0
ñ
i
ể
m) Tìm nghi
ệ
m nguyên c
ủ
a ph
ươ
ng trình x
3
+ (x + 1)
3
+ + (x + 7)
3
= y
3
(1).
Bài 7: (2.0
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng, Trong m
ọ
i tam giác ta luôn có:
+ + <
+ + +
sin sin sin
2
sin sin sin sin sin sin
A B C
B C C A A B
.
Bài 8: (3.0
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
1.
−=+−
−=+
yxyxyx
xyx
1788
493
22
23
; 2.
=−+
=−+
=−+
16)(
30)(
2)(
23
23
23
yxzz
xzyy
zyxx
.
17. TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A – NGHỆ AN
Bài 1. (6.0
ñ
i
ể
m )
a) Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
( 3) (2 ) 3 0.
m x m x m
− + − + − =
b) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
3
( ) , (0; ).
2
sinx
cosx x
x
π
> ∀ ∈
Bài 2. ( 6.0
ñ
i
ể
m )
1. Cho hai s
ố
th
ự
c x , y tho
ả
mãn:
0; 1; 3
x y x y
≥ ≥ + =
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
P =
3 2 2
2 3 4 5
x y x xy x
+ + + −
.
2. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2
sinx
siny
3 8x 3 1 6 2 2 1 8
, (0; )
4
x y
e
y y y
x y
π
−
=
+ + = − + +
∈
.
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
18
Bài 3
. ( 2,5
ñ
i
ể
m )
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng n luôn t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t s
ố
th
ự
c
n
x
sao cho
1
0.
2008
n
n
x
x n
− + =
Xét dãy s
ố
(
n
x
)tìm gi
ớ
i h
ạ
n :
1
lim( )
n n
x x
+
− .
Bài 4. ( 5,5
ñ
i
ể
m )
a) Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
ñộ
Oxy cho tam giác ABC có di
ệ
n tích b
ằ
ng
3
2
. Bi
ế
t A(2;-3) , B(3,-2) và tr
ọ
ng
tâm G thu
ộ
c
ñườ
ng th
ẳ
ng d có ph
ươ
ng trình : 3x – y – 8 = 0. Tính bán kính
ñườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p
△
ABC.
b) Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng có
ñườ
ng tròn tâm O , bán kính R và
ñườ
ng th
ẳ
ng d ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñườ
ng tròn (O,R) t
ạ
i
ñ
i
ể
m A c
ố
ñị
nh . T
ừ
ñ
i
ể
m M n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng và ngoài
ñườ
ng tròn (O,R) k
ẻ
ti
ế
p tuy
ế
n MT t
ớ
i
ñườ
ng
tròn (O, R) (T là ti
ế
p
ñ
i
ể
m). G
ọ
i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M lên d.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ñườ
ng tròn tâm M có bán kính MT luôn ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ộ
t
ñườ
ng tròn c
ố
ñị
nh khi M di
ñộ
ng trên m
ặ
t ph
ẳ
ng sao cho: MT = MH.
18. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 2007 QUẢNG NAM
Câu 1
(3
ñ
i
ể
m)
: Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau :
( )
4
1 2 0
1
x
x
x
−
− + ≥
−
.
Câu 2
(3
ñ
i
ể
m)
: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau :
2 2 2
3 2
2 0
2 3 6 12 13 0
x y x y
x x y x
− + =
+ + − + =
.
Câu 3
(3
ñ
i
ể
m)
: Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố
f th
ỏ
a mãn :
3 3
, , 1
1 1
x x
f f x x R x
x x
− +
+ = ∀ ∈ ≠
+ −
.
Câu 4
(3
ñ
i
ể
m)
: Tìm t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m nguyên c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
x
2
– 4xy + 6y
2
– 2x – 20y = 29.
Câu 5
(3
ñ
i
ể
m)
: Tìm s
ố
h
ạ
ng t
ổ
ng quát u
n
c
ủ
a dãy s
ố
(u
n
) th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
( )
1 2
1
2 *
3
2 1
, , ,
. ,
n n n
u a u b a R b R
u u u n N
+ +
+ +
= = ∈ ∈
= ∀ ∈
.
Câu 6
(3
ñ
i
ể
m)
: Cho
∆
ABC. Trên hai c
ạ
nh AB và AC l
ầ
n l
ượ
t l
ấ
y
ñ
i
ể
m D và E sao cho DE song song v
ớ
i
c
ạ
nh BC và ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p
∆
ABC. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: DE ≤
1
8
( AB + BC + CA).
Câu 7
(2
ñ
i
ể
m)
:
ðặ
t x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, v
ớ
i a, b, c là các s
ố
nguyên t
ố
. Cho bi
ế
t
x
2
= y và hi
ệ
u
z y
−
là bình ph
ươ
ng c
ủ
a m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
. Xác
ñị
nh t
ấ
t c
ả
giá tr
ị
c
ủ
a a, b, c.
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
19
19. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000.
Bài 1: ( 2.5
ñ
i
ể
m) Cho ph
ươ
ng trình:
5 2
4
x 34x a (x 1)(x 33) 1
− + − − − =
.
a/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình khi a = 64.
b/ Tìm a
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
Bài 2
:(2.5
ñ
i
ể
m) Cho hai s
ố
a
1
, b
1
v
ớ
i 0 < b
1
=
1
a
< 1. L
ậ
p hai dãy s
ố
(a
n
), (b
n
) v
ớ
i n = 1, 2,
theo quy t
ắ
c sau:
n 1 n n
1
a (a b )
2
+
= + ,
n 1 n 1 n
b a .b
+ +
= .
Tính:
n
n
lim a
→+∞
và
n
n
lim b
→+∞
.
Bài 3
:(2.5
ñ
i
ể
m)
Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không
ñồ
ng ph
ẳ
ng và ba
ñ
i
ể
m A, B, C ( khác
ñ
i
ể
m 0) l
ầ
n l
ượ
t
trên Ox, Oy, Oz.
Dãy s
ố
(a
n
) là m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng có a
1
> 0 và công sai d > 0. V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
n nguyên d
ươ
ng, trên các tia
Ox, Oy, Oz theo th
ứ
t
ự
l
ấ
y các
ñ
i
ể
m A
n
, B
n
, C
n
sao cho OA = a
n
.OA
n
; OB = a
n+1
.OB
n
; OB = a
n+2
.OC
n
.
Ch
ứ
ng minh các m
ặ
t ph
ẳ
ng (A
n,
B
n
, C
n
) luôn luôn
ñ
i qua m
ộ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng c
ố
ñị
nh.
Bài 4:(2.5
ñ
i
ể
m)
T
ậ
p h
ợ
p M g
ồ
m h
ữ
u h
ạ
n
ñ
i
ể
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng sao cho v
ớ
i m
ọ
i
ñ
i
ể
m X thu
ộ
c M t
ồ
n t
ạ
i
ñ
úng 4
ñ
i
ể
m
thu
ộ
c M có kho
ả
ng cách
ñế
n X b
ằ
ng 1.
H
ỏ
i t
ậ
p h
ợ
p Mcó th
ể
ch
ứ
a ít nh
ấ
t là bao nhiêu ph
ầ
n t
ử
?
H
ƯỚ
NG D
Ẫ
N CH
Ấ
M
Bài 1: (2.5
ñ
i
ể
m)
Câu a: ( 2
ñ
i
ể
m)
+(0.25
ñ
)
ðặ
t u =
5
2
x 34x a
− +
v =
4
(x 1)(x 33)
− −
+(0.25
ñ
) Ta có h
ệ
5 4
u (u 1) a 33
(I).
v u 1 0
− − = −
= − ≥
+(1.00
ñ
) Hàm s
ố
f(u) = u
5
– (u – 1)
4
có f’(u) = 5u
4
– 4(u – 1)
3
> 0 ∀u∈ [1; + ∞), nên f(u) t
ă
ng trên
[1; + ∞).
+(0.50
ñ
) a = 64, f(u) = 31 = f(2) và f(u) t
ă
ng nên h
ệ
(I) ch
ỉ
có m
ộ
t nghi
ệ
m: (u = 2,v = 1) t
ừ
ñ
ó ta có
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là: x = 17
257
± .
Câu b
: ( 0.5
ñ
i
ể
m)
+ f(u) t
ă
ng trên [1; + ∞) mà f(1) = 1 nên ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi a – 33 ≥ 1 hay a ≥ 34.
Bài 2
: (2.5
ñ
i
ể
m)
+(0.50
ñ
) Tính a
2
, b
2
v
ớ
i 0 < b
1
=
1
a
< 1 ta có th
ể
ch
ọ
n 0 < a <
2
π
sao cho: b
1
= cosa,
suy ra a
1
= cos
2
a.
2 2
2
1 1 a
a (cos a cosa) cosa(cosa 1) cosa.cos
2 2 2
= + = + =
2
2
a a
b cosacos cosa cosacos
2 2
= =
+(0.75
ñ
) B
ằ
ng quy n
ạ
p, ch
ứ
ng minh
ñượ
c:
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
20
n
n 1 n 1
a a a
a cosacos cos cos (1)
2 2 2
− −
=
n
n 1
a a
b cosacos cos (2)
2 2
−
=
+(0.75
ñ
) Nhân hai v
ế
c
ủ
a (1) và (2) cho
n 1
a
sin
2
−
và áp d
ụ
ng công th
ứ
c sin2a
ñượ
c:
n 1
n n
n n
n 1 n 1
a
sin 2a.cos
sin 2a
2
a , b
a a
2 .sin 2 .sin
2 2
−
− −
= = .
+(0.50
ñ
) Tính gi
ớ
i h
ạ
n:
n n
n n
sin 2a sin 2a
lima , lim b
2a 2a
→∞ →∞
= =
Bài 3
: (2.5
ñ
i
ể
m)
+(0.50
ñ
) Phát bi
ể
u và ch
ứ
ng minh m
ệ
nh
ñề
:
N
ế
u hai
ñ
i
ể
m X,Y phân bi
ệ
t.
ð
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ
ñể
ñ
i
ể
m S thu
ộ
c
ñườ
ng th
ẳ
ng XY là t
ồ
n t
ạ
i c
ặ
p s
ố
th
ự
c x, y th
ỏ
a:
OS xOX yOY
x y 1
= +
+ =
, v
ớ
i
ñ
i
ể
m O tùy ý.
+(0.25
ñ
) T
ừ
gi
ả
thi
ế
t: (a
n
) là c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng công sai d > 0 nên: a
n+1
= a
n
+ d
n 1 n
a a
1
d d
+
− =
.
+(0.75
ñ
) áp d
ụ
ng nh
ậ
n xét trên, ta có:
n 1 n
n n
a a
OI OB OA
d d
+
= −
thì I ∈ A
n
B
n
.
và
n n n 1 n n n 1
OA a OA ; OB a OB ( do a ,a 0)
+ +
= = >
Th
ế
vào trên ta
ñượ
c:
OB OA 1
OI AB , n=1,2
d d d
= − = ∀
suy ra I c
ố
ñị
nh, nên
ñườ
ng th
ẳ
ng A
n
B
n
luôn
ñ
i qua m
ộ
t
ñ
i
ể
m c
ố
ñị
nh I.
+(0.50
ñ
) T
ươ
ng t
ự
, ch
ứ
ng minh
ñượ
c:
•
B
n
B
n
luôn
ñ
i qua m
ộ
t
ñ
i
ể
m c
ố
ñị
nh J xác
ñị
nh b
ở
i:
1
OJ BC
d
=
.
•
A
n
C
n
luôn
ñ
i qua m
ộ
t
ñ
i
ể
m c
ố
ñị
nh K xác
ñị
nh b
ở
i:
1
OK AC
2d
=
V
ậ
y các
ñườ
ng th
ẳ
ng A
n
B
n
, B
n
C
n
, A
n
C
n
l
ầ
n l
ượ
t
ñ
i qua ba
ñ
i
ể
m I, J, K c
ố
ñị
nh.
+(0.50
ñ
) Ch
ứ
ng minh ba
ñ
i
ể
m th
ẳ
ng hàng:
Ta có:
1
OI AB
d
=
,
1
OJ BC
d
=
,
1
OK AC
2d
=
.
Do
ñ
ó:
1 1 1 1
OK AC (AB BC) (d.OI d.OJ) (OI OJ)
2d 2d 2d 2
= = + = + = +
V
ậ
y I, J, K th
ẳ
ng hàng.
ð
i
ề
u này ch
ứ
ng t
ỏ
m
ặ
t ph
ẳ
ng A
n
B
n
C
n
luôn
ñ
i qua m
ộ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng c
ố
ñị
nh.
Bài 4: (2.5
ñ
i
ể
m)
+(0.50
ñ
) Rõ ràng có ít nh
ấ
t hai
ñ
i
ể
m P,Q thu
ộ
c M sao cho PQ ≠ 1.
Ký hi
ệ
u : M
P
= {X ∈ M / PX = 1}. T
ừ
gi
ả
thi
ế
t |M
P
| = 4 ta có: |M
p
∩ M
q
| ≤ 2.
N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i P, Q sao cho |M
p
∩ M
q
| ≤ 1 thì M ch
ứ
a ít nh
ấ
t 9
ñ
i
ể
m.
+(1.50
ñ
) Tr
ườ
ng h
ợ
p v
ớ
i m
ọ
i P,Q sao cho PQ ≠ 1 và |M
p
∩ M
q
| = 2.
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
21
Khi
ñ
ó M
p
∩ M
q
= {R,S}, lúc
ñ
ó M
P
= {R,S,T,U} và M
q
= {R,S,V,W} và gi
ả
s
ử
M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta có TQ ≠ 1, UQ ≠ 1, VP ≠ 1, WP ≠ 1.
•
N
ế
u TR,TS,UR,US khác 1: suy ra M
t
∩ Mq = M
u
∩ M
q
= {V,W} suy ra T hay U trùng v
ớ
i Q, vô
lý.
•
N
ế
u TR,TS,UR,US có m
ộ
t s
ố
b
ằ
ng 1: Không gi
ả
m
ñ
i tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s
ử
TV = 1 lúc
ñ
ó TS ≠ 1
và TV = 1 hay TW = 1. Gi
ả
s
ử
TV = 1 lúc
ñ
ó TW≠ 1 suy ra TU = 1, và M
t
= {P,R,U,V} và
M
u
= {P,T,V,W} lúc
ñ
ó UTV, RPT,UTV là các tam giác
ñề
u c
ạ
nh 1, ta có hình 1.
ð
i
ề
u này mâu thu
ẫ
n vì
VR>2.
+(0.50
ñ
) V
ậ
y M ch
ứ
a ít nh
ấ
t là 9
ñ
i
ể
m. D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra v
ớ
i hình2.
V
ậ
y M có th
ể
ch
ứ
a ít nh
ấ
t là 9
ñ
i
ể
m.
20. ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999.
Bài 1 (5
ñ
i
ể
m)
Cho ph
ươ
ng trình:
cos
3
x + asinx.cosx + sin
3
x = 0.
a/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình khi a =
2
.
b/ V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a a thì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
Bài 2 (5
ñ
i
ể
m)
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình x
3
+ x
2
+ ax + b = 0 có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Hãy xét d
ấ
u c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c: a
2
– 3b.
Bài 3 (5
ñ
i
ể
m)
Tìm các
ñườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố
:
y =
1
x
x
(1 + a )
, (a > 0).
Bài 4
(5
ñ
i
ể
m)
Cho hình chóp S.ABCD,
ñ
áy ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c.
K là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a P xu
ố
ng AC.
a/ Tính
ñộ
dài
ñ
o
ạ
n vuông góc chung c
ủ
a SA và BK.
b/ G
ọ
i M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng AK và CD. Ch
ứ
ng minh: Các
ñườ
ng th
ẳ
ng BM và MN
vuông góc nhau.
A
4
A
8
A
6
A
5
A
9
A
7
A
1
A
2
A
3
V
T
R
U
P
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
22
H
ƯỚ
NG D
Ẫ
N CH
Ấ
M
Bài 1: ( 5
ñ
i
ể
m) cos
3
x + asinx.cosx + sin
3
x = 0.
(0.5
ñ
) +
ðặ
t t = sinx + cosx =
2 cos(x ), |t| 2.
4
π
− ≤
cos
3
x + sin
3
x = (cosx + sinx)(sin
2
x + cos
2
x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx)
vì t
2
= 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx =
2
t 1
2
−
và cos
3
x + sin
3
x =
2
t
(3 t )
2
−
.
(0.5
ñ
) + Ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành:
2
t
(3 t )
2
−
+ a.
2
t 1
2
−
= 0 ⇔ t
3
– at
2
– 3t + a = 0 (2).
Câu a
/
(1
ñ
) + V
ớ
i a =
2
: (2) tr
ở
thành:
t
3
–
2
t
2
– 3t +
2
= 0 ⇔ (t +
2
)(t
2
- 2
2
t + 1) = 0
⇔ (t +
2
)(t -
2
+ 1)(t -
2
- 1) = 0
⇔ t = -
2
hay t =
2
- 1 hay t =
2
+ 1.
(1
ñ
) + so l
ạ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n: | t | ≤
2
nên ph
ươ
ng trình (1) t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:
5
cos(x ) 1 x k2
2 cos(x ) 2
4 4
4
,k Z
2 1 2 1
2 cos(x ) 2 1
cos(x ) x arcos k2
4
4 4
2 2
π π
π
− = − = + π
− = −
⇔ ⇔ ∈
π
π − π −
− = −
− = = ± + π
.
Câu b
/
(0.25
ñ
) + Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi f(t) = t
3
– at
2
– 3t + a = 0 có nghi
ệ
m
t ∈[-
2
;
2
]
(1.25
ñ
) + f(t) liên t
ụ
c trên R
f(-
2
) =
2
- a ; f(
2
) = -
2
- a; f(0) = a.
•
a = 0: f(t) có nghi
ệ
m t = 0 ∈ [-
2
;
2
]
•
a < 0: f(-
2
).f(0) = a(
2
- a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghi
ệ
m t ∈(-
2
;0).
•
a > 0: f(0).f(
2
) = a(-
2
- a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghi
ệ
m t ∈(0;
2
).
(0.25
ñ
) + V
ậ
y ph
ươ
ng trình luôn có nghi
ệ
m v
ớ
i m
ọ
i a.
Bài 2: ( 5
ñ
i
ể
m) y = f(x) = x
3
+ x
2
+ ax + b
(0.5
ñ
) + T
ậ
p xác
ñị
nh: R.
y’ = 3x
2
+ 2x + a là tam th
ứ
c b
ậ
c hai có bi
ệ
t s
ố
∆’ = 1 – 3a.
(0.5
ñ
) + Pt: x
3
+ x
2
+ ax + b = 0 có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t nên y’ = 0 có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
, x
2
và
f(x
1
).f(x
2
)< 0.
(0.25
ñ
) + Suy ra:
1 2
1 3a 0
f(x ).f (x ) 0
− >
<
(x
1
, x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình 3x
2
+ 2x + a = 0).
(1
ñ
) + Th
ự
c hi
ệ
n phép chia
ñ
a th
ứ
c ta
ñượ
c:
f(x) = x
3
+ x
2
+ ax + b =
[ ]
1 1 1
x y' (6a 2)x 9b a
3 9 9
+ + − + −
.
Suy ra f(x
1
) =
[ ]
1
1
(6a 2)x 9b a
9
− + −
; f(x
2
) =
[ ]
2
1
(6a 2)x 9b a
9
− + −
(0.5
ñ
) + f(x
1
).f(x
2
) < 0 ⇒ (6a-2)
2
x
1
x
2
+ (6a-2)(9b-a)(x
1
+ x
2
) + (9b-a)
2
< 0.
Nguy
n V
n Xỏ
thi HSG mụn Toỏn
Trang
23
(1
ủ
) + Vỡ x
1
, x
2
l 2 nghi
m c
a ph
ng trỡnh: 3x
2
+ 2x + a = 0
nờn x
1
+ x
2
=
2
3
; x
1
.x
2
=
a
3
.
Do
ủ
ú:
2 2
a 2
(6a 2) (6a 2)(9b a) (9b a) 0
3 3
+ <
suy ra: 4(3a 1)(a
2
3b) + (9b a)
2
< 0
(1
ủ
) + Vỡ (9b a)
2
0 v 3a 1 < 0 nờn a
2
3b > 0.
Bi 3: ( 5
ủ
i
m)
+ Tỗm
tióỷm cỏỷn õổùng:
Tỏỷp xaùc õởnh: R\{0}.
x 0
+
thỗ
1
x
+
vaỡ a
x
1.
Do õoù :
1
x
x
(1 + a )
x 0
lim
nón x = 0
laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn õổùng
.
a/+ Xeùt trổồỡng hồỹp: 0 < a 1
+ x (0; + ): 0 < 1 + a
x
2
Do õoù:
1
x
x
0 < (1 + a )
2
( vỗ
1
0
x
>
) nón:
1
x
x
x +
1 lim (1 + a )
1
x
x
lim 2 1
+
=
Do õoù:
1
x
x
x 0
lim(1 a ) 1
+
+ =
nón y = 1 laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh phaới.
+ x (- ; 0):
x
1
0 < 1 +
a
2
.
Do õoù:
1
x
x
1
1 > 1 +
a
1
x
2
( vỗ
1
0
x
<
) nón
1
x
x
x - x -
1
1 lim 1 + lim
a
1
x
2 1
=
Do õoù:
x
x -
1
lim 1 + =1
a
Suy ra
x
x -
1
lim 1 + = a
a
1
x
x
x
lim (1 a ) a
+ =
Vỏỷy y = a laỡ tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh traùi.
b/+ Xeùt trổồỡng hồỹp a > 1.
+ x (- ; 0) : 0 < 1 + a
x
< 2
Do õoù:
1
x
x
1> (1 + a )
1
x
2
>
( vỗ
1
0
x
<
) nón:
1
x
x
x
1 lim (1 + a )
1
x
x
lim 2 1
=
Do õoù:
1
x
x
x
lim (1 a ) 1
+ =
nón y = 1 laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh traùi.
+ x (0; + ):
x
1
1 < 1 +
a
2
<
.
Do õoù:
1
x
x
1
1 < 1 + <
a
1
x
2
( vỗ
1
0
x
>
) nón
1
x
x
x x
1
1 lim 1 + lim
a
1
x
2 1
+ +
=
Do õoù:
1
x
x
x
1
lim 1 + =1
a
+
nón
1
x
x
x
1
lim 1 + = a
a
1
x
x
x
lim (1 a ) a
+ +
+ =
(1
õ
)
(1
õ
)
(1
õ
)
(1
õ
)
(1
õ
)
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang
24
Váûy y = a laì âæåìng tiãûm ngang nhaïnh phaíi.
Bài 4
: ( 5
ñ
i
ể
m)
Câu a / (2.5
ñ
i
ể
m)
+ Theo gi
ả
thi
ế
t ta
ñượ
c: SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SAC) ⊥ (ABCD).
Mà BK ⊂ (SAC) và BK ⊥ AC
⇒ BK ⊥ SA.
+ G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a K xu
ố
ng SA
⇒ HK ⊥ SA và HK ⊥ BK ( vì HK ⊂ (SAC))
⇒ HK là
ñ
o
ạ
n vuông góc chung c
ủ
a SA và BK.
Suy ra
ñượ
c: BH ⊥ SA và ∆HBK vuông t
ạ
i K.
+ Do ∆ABC vuông
ñỉ
nh A nên:
2 2
2
2 2 2 2 2
1 1 1 a b
BK
BK AB BC a b
= + ⇒ =
+
.
+ ∆SAB cân
ñỉ
nh S, BH là
ñườ
ng cao nên
2
2
a
c .a
SI.AB
4
HB
SA c
−
= =
+ Do ∆HBK vuông t
ạ
i K nên:
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
(4c a )a a b
HK HB BK
4c a b
−
= − = −
+
2 2 2 4 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
(4c a b )a a (4c a b )
HK HK
4c (a b ) 2c (a b )
− − − −
=
⇒
=
+ +
Câu b (2.5
ñ
i
ể
m)
+
2BM BA BK
= +
( vì M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a AK)
+
1 1
MN MB BC CN (AB KB) BC BA
2 2
= + + = + + +
+
1
MN KB BC
2
= +
.
+ Do
ñ
ó:
_
D
_
C
_
B
_
A
_
S
_
O
_
K
_
M
_
N
(0.25
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(0.5
â
)
(1.75
â
)
