Đề + đáp án TS 10 Quảng Ninh 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

KỲ THI TUYỂ SIH LỚP 10 THPT
ĂM HỌC 2011 - 2012


ĐỀ THI CHÍH THỨC
MÔ : TOÁ
(Dùng cho mọi thí sinh)
Ngày thi : 29/6/2011
Thời gian làm bài : 120 phút
(không kể thời gian giao đề)

Chữ ký giám thị 1:



Chữ ký giám thị 2:


(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =
( )
2
1 2 1
+ −
b) B =

1 1
5 3
2 3 2 3
− +
+ −

2. Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax - 4 đi qua điểm M(2; 5). Tìm a.

Bài 2. (2,0 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) x
2
- 3x + 2 = 0 b) x
4
+ 2x
2
= 0
2. Cho phương trình: x
2
- 2(m+1)x + 2m - 2 = 0 với x là Nn s.
a) Chng minh rng phương trình luôn có hai nghim phân bit vi mi m.
b) Gi hai nghim ca phương trình là x
1
, x
2
, tính theo m giá tr ca biu thc

E =
(
)

2
1 2
x 2 m+1 x 2m 2
+ + −


Bài 3. (2,0 im) Gii bài toán sau bng cách lp h phương trình:
N hà Mai có mt mnh vưn trng rau ci bp. Vưn ưc ánh thành nhiu
lung, mi lung trng cùng mt s cây ci bp. Mai tính rng: nu tăng thêm 7
lung rau nhưng mi lung trng ít i 2 cây thì s cây toàn vưn ít i 9 cây, nu
gim i 5 lung nhưng mi lung trng tăng thêm 2 cây thì s rau toàn vưn s
tăng thêm 15 cây. Hi vưn nhà Mai trng bao nhiêu cây rau ci bp ?

Bài 4. (3,0 im)
Cho ưng tròn (O) ưng kính AB và mt im C c nh trên ưng kính
AB (C ≠ A, B), im M di ng trên ưng tròn (M ≠ A, B). Qua M k ưng
thng vuông góc vi CM, ưng thng này ct các tip tuyn ti A và B ca ưng
tròn (O) ln lưt  D và E.
a) Chng minh ACMD và BCME là các t giác ni tip.
b) Chng minh DC ⊥ EC.
c) Tìm v trí ca im M  din tích t giác ADEB là nh nht.

Bài 5. (1,0 im)
Tìm các b s thc (x, y, z) tho mãn:
( )
1
29 2 6 3 2011 1016
2
x y z x y z
− + − + − + = + +

………………… Ht …………………

H và tên thí sinh: S báo danh:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢG IH

HƯỚG DẪ CHẤM THI TUYỂ SIH LỚP 10 THPT ĂM HỌC 2011-2012.
MÔ: TOÁ CHUG (ĐỀ CHÍH THỨC)

Bài

Sơ lược cách giải Cho
điểm
Bài
1
1a
0,5 đ

Rút gn ưc A = 1+
2
-1
T ó suy ra: A =
2



0,25

0,25
1b

0,75 đ

Bin i ưc: B =
(2 3) (2 3)
5 3
(2 3)(2 3) (2 3)(2 3)
− +
− +
+ − + −

B =
(
)
(
)
2 3 2 3 5 3
− − + +
=
2 3 2 3 5 3
− − − +
Suy ra : B = 3
3



0,25

0,25

0,25

2.
0,75 đ
Do  th ca hàm s y = ax - 4 i qua im M(2; 5) nên : 5 = a.2 - 4
t ó tìm ưc: a = 9/2.
0,5
0,25

Bài
2
1a
0,5 đ
N hn thy phương trình x
2
- 3x + 2 = 0 có a+b+c = 1-3+2 = 0
suy ra phương trình có mt nghim là x =1, còn nghim kia là x = c/a = 2
0,25
0,25
1b
0,5 đ
Bin i phương trình ã cho: x
4
+ 2x
2
= 0 <=> x
2
(x
2
+2) = 0
<=> x
2

= 0 hoc (x
2
+2) = 0
Gii phương trình x
2
= 0 ưc mt nghim x = 0
Phương trình: x
2
+2 = 0 vô nghim. Vy phương trình ã cho có duy nht
nghim là x = 0


0,25

0,25
2a
0,5 đ
Có ∆' = [-(m+1)]
2
- (2m -2), tính ưc ∆' = m
2
+ 3
Do m
2
≥ 0 vi ∀m nên m
2
+ 3 > 0 vi ∀m hay ∆' > 0 vi ∀m
t ó suy ra phương trình ã cho có hai nghim phân bit vi ∀m

0,25

0,25
2b
0,5 đ
E =
(
)
2
1 2
x 2 m+1 x 2m 2
+ + −

=
(
)
2
1 1
x 2 m+1 x 2m 2
− + −
+ 2(m+1)x
1
+2(m+1)x
2

=
(
)
2
1 1
x 2 m+1 x 2m 2

− + −
+ 2(m+1)(x
1
+x
2
)
Do x
1
, x
2
là nghim ca phương trình x
2
- 2(m+1)x + 2m - 2 = 0 nên ta có

(
)
2
1 1
x 2 m+1 x 2m 2
− + −
= 0 và (x
1
+x
2
) = 2(m+1)
t ó suy ra E = 4(m+1)
2
.

0,25



0,25








Bài

Sơ lược cách giải Cho
điểm
Bài
3
2,0 đ
* Gi s lung rau trong vưn nhà Mai là x, s cây rau ci bp trng trên mi
lung là y. iu kin: x, y nguyên, x >5; y >2.
N u tăng thêm 7 lung rau nhưng mi lung trng ít i 2 cây thì s cây
toàn vưn là (x+7)(y-2), theo bài ra ta có ph/tr: (x+7)(y-2) = xy - 9
(1)
N u gim i 5 lung nhưng mi lung trng tăng thêm 2 cây thì s cây rau
toàn vưn là (x-5)(y+2), theo bài ra ta có ph/tr: (x-5)(y+2) = xy + 15
(2)

t ó ta có h phương trình:
(x+7)(y-2) = xy - 9
(1)

(x-5)(y+2) = xy + 15
(2)
* Bin i h trên thành h phương trình : -2x + 7y = 5
2x - 5y = 25
Gii h phương trình trên, ưc: x = 50 và y = 15.
* Các giá tr x = 50 và y = 15 u tho mãn các iu kin ca bài toán.
T ó tính ưc s cây rau ci bp trong vưn là: 50.15 = 750 (cây)
Tr li: V
ưn nhà Mai trng
750
cây rau ci bp.



0,25

0,25

0,25

0,25 


0,5 

0,5 
Bài
4
4a
1,0 đ
V hình úng và  cho ý 4a
T giác ACMD có

CAD
= 90
0
và

CMD
= 90
0

=>

CAD
+

CMD
= 180
0
suy ra
ACMD là t giác ni tip.

Chng minh tương t, ưc BCME là t giác ni tip.

0,25
0,25
0,25
0,25
4b
1,0 đ
Do t giác ACMD ni tip nên ta có

MDC
=

MAC
, và t giác BCME ni tip
nên

MEC
=

MBC
.
mà

AMB
= 90
0
(góc ni tip chn na /tròn (O) ) =>

MAC
+


MBC
= 90
0
t ó có :

MDC
+

MEC
= 90
0
.
suy ra

DCE
= 90
0
hay
DC ⊥ EC (pcm !)



0,25


0,5
0,25
4c
1,0 đ
T giác ABED là hình thang vuông nên có din tích là S = (1/2).AB.(AD+BE)

Chng minh ưc: ∆ADC
∼
∆BCE ri suy ra : AD.BE = AC.CB, do im C c
nh nên tích AC.CB = k không i => tích AD.BE = k không i.
Áp dng BT Côsi cho 2 s dương, ta có: AD+BE ≥ 2
.
AD BE
= 2
k

du bng xy ra khi và ch khi AD = BE
T ó suy ra: S ≥ AB
k
(không i), du bng xy ra <=> AD = BE
<=> DE // AB <=> CM ⊥ AB.
Vy vi
v trí ca M thuc ương tròn (O) sao cho
CM ⊥ AB thì
din tích t
giác ADEB là nh nht.

0,25



0,25

0,25

0,25

Bài
5
1,0 đ
Bin i ưc:
( )
1
29 2 6 3 2011 1016
2
x y z x y z
− + − + − + = + +

<=>
(2 29 4 6 6 2011 2032) 0
x y z x y z
+ + − − + − + − + =

<=>
2 2 2
( 29 1) ( 6 2) ( 2011 3) 0
x y z
− − + − − + − − =

<=>
2 2 2
( 29 1) ( 6 2) ( 2011 3) 0
x y z
− − = − − = − − =

T ó tìm ưc duy nht b s thc (x, y, z) tho mãn yêu cu ca bài toán
là: x = 30; y = 10; z = 2020



0,25

0,25

0,25

0,25


Các chú ý khi chấm:


1. Hưng dn chm này ch trình bày sơ lưc
mt cách gii. Bài làm ca hc sinh phi chi tit,
lp lun cht ch, tính toán chính xác mi ưc
im ti a. Trong các phn có liên quan vi nhau,
nu hc sinh làm sai phn trưc thì phn sau liên
quan dù làm úng cũng không cho im. Trưng
hp sai sót nh có th cho im nhưng phi tr
im ch sai ó. Không cho im li gii bài hình
nu hc sinh không v hình.
2. Vi các cách gii úng nhưng khác áp án,
t chm trao i và thng nht im chi tit nhưng
không ưc vưt quá s im dành cho câu hoc
phn ó. Mi vn  phát sinh trong quá trình

chm phi ưc trao i trong t chm và ch cho
im theo s thng nht ca c t.
3. Có th chia nh im thành phn nhưng
không dưi 0,25 . im toàn bài là tng s im
các phn ã chm, không làm tròn im.


O
A
B
C
M
E
D

Bài 3
2,0 đ
* Gi  dài các cnh góc vuông ca tam giác vuông là x (cm) và y (cm).
iu kin: x, y > 3; x hoc y > 5.
N u mi cnh tăng lên 2 cm thì din tích tam giác là :
1
2
(x+2)(y+2), theo bài ra
ta có phương trình:
1
2
(x+2)(y+2) =
1
2
xy + 23 (1)
N u mt cnh gim i 3 cm, còn cnh kia gim i 5 cm thì din tích tam giác là :

0,25



0,25


1
2
(x-3)(y-5), theo bài ra ta có phương trình:
1
2
(x-3)(y-5) =
1
2
xy - 33 (2)
t ó ta có h phương trình:
1
2
(x+2)(y+2) =
1
2
xy + 23 (1)

1
2
(x-3)(y-5) =
1
2
xy - 33 (2)

* Bin i h trên thành h phương trình : x + y = 21
5x + 3y = 81
Gii h phương trình trên, ưc: x = 9 và y = 12.
* Các giá tr x = 9 và y = 12 u tho mãn các iu kin
Tr li: Hai cnh góc vuông ca tam giác vuông ó là 9 cm và 12 cm.


0,25 



0,25 

0,25 

0,5 

0,25 

Câu 5. ( 1,0 điểm )
Gii phương trình: (x
2
+ 3x +1)
2
+ 3(x
2
+ 3x + 1) + 1 - x = 0

∆DAC ∆CBE
∼

Câu 3. ( 2 im ) Gii bài toán sau bng cách lp h phương trình:
N hà Mai có mt mnh vưn trng rau ci bp. Vưn ưc ánh thành nhiu
lung, mi lung trng cùng mt s cây ci bp. Mai tính rng : nu tăng thêm 7
lung rau nhưng mi lung trng ít i 2 cây thì s cây toàn vưn ít i 9 cây, nu
gim i 5 lung nhưng mi lung trng tăng thêm 2 cây thì s rau toàn vưn s
tăng thêm 15 cây. Hi vưn nhà Mai trng bao nhiêu cây rau ci bp ?

Tính din tích ca mt tam giác vuông, bit rng nu tăng mi cnh lên 2 cm
thì din tích tam giác ó s tăng thêm 23 cm
2
, và nu mt cnh gim i 3 cm, cnh
kia gim i 5 cm thì din tích ca tam giác ó gim i 33 cm
2
.

Câu 3. ( 2 im )
2. Cho phương trình: x
2
- 2mx + m
2
- 2 = 0 vi x là Nn s.
a) Chng minh rng phương trình luôn có hai nghim phân bit vi mi m.
b) Gi hai nghim ca phương trình là x
1
, x
2
, tìm các giá tr m  biu thc sau
nhn giá tr nh nht: A =

2 2
1 2
x 2mx m 2m 2
+ + − −