Dáp án đề thi chuyên toán năm 2009-2010
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (161.76 KB, 5 trang )
S GIÁO DC VÀ ÀO TO TNH BÌNH PHC
TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
HNG DN GII THI VÀO TRNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
MÔN TOÁN CHUYÊN NM HC 2009-2010
Bài 1 (2,5 im)
a) Gii phng trình:
2
2 2
4 8
4
+ − = −
x
x x
Gii
+) K:
≥
− ≥ ⇔
≤ −
+) t
= −
, k:
≥
Phng trình tr thành:
+
+ = − +
=
+ +
⇔ = − ⇔ = − ⇔ + − = ⇔
= −
+) Vi
=
ta có:
− = ⇔ = ⇔ = ±
+) KL: Tp nghim ca phng trình là:
= −
.
b) Cho x, y là hai s nguyên dng tha mãn h phng trình
2 2
71
880
+ + =
+ =
xy x y
x y y x
. Tính
= +
.
Gii
+) t
= +
− ≥
=
. H phng trình tr thành
71
. 880
+ =
=
S P
S P
.
Gii h phng trình hai n S, P này ta có:
=
=
=
=
+) Vi
=
=
ta có x, y là các nghim ca phng trình:
=
− + = ⇔
=
. Vy h
phng trình ã cho có hai nghim là
=
=
và
=
=
(u tho mãn iu kin x, y là hai s
nguyên dng). C hai nghim u cho B có cùng mt giá tr là B = 146.
+) Vi
=
=
ta có x, y là các nghim ca phng trình:
− + =
. D thy phng trình
không có nghim nguyên dng nên không tho mãn bài toán.
+) KL:
= + = .
Bài 2 (3,0 im)
a) Mt máy bay trc thng có vn tc 280 km/h. Máy bay bay t A n B cách nhau 960 km.
Khi bay t A ti B do b gió cn nên thi gian bay phi nhiu hn mt gi so vi thi gian bay
t B n A (do c gió y). Tìm vn tc c!a gió.
Gii
+) Gi x là vn tc ca gió, iu kin
< <
.
+) Ta có vn tc ca máy bay khi bay t A n B là: 280 – x
thi gian ca máy bay bay t A n
B là
−
.
+) Ta có vn tc ca máy bay khi bay t B n A là: 280 + x
thi gian ca máy bay bay t B n
A là
+
.
+) Theo gi thit ta có phng trình:
=
= + ⇔ + − = ⇔
− + = −
+) KL: Vn tc ca gió là 40 km/h.
b) Cho parabol (P):
= −
và ng th"ng (d):
= − −
. Ch#ng minh r$ng (d) luôn c%t
(P) t&i hai i'm phân bit A, B khi m thay (i. G)i
l*n lt là hoành c!a A và B. Xác
nh m '
+ &t giá tr nh nh+t và tính giá tr nh nh+t này.
Gii
+) Phng trình hoành giao im ca (d) và (P):
− = − − ⇔ + − − =
, (*).
+) Ta thy phng trình bc hai (*) có
∆ = + + = + + > ∀ ∈
. Do ó (*) luôn có
hai nghim phân bit
(d) luôn ct (P) ti hai im phân bit A và B vi mi m.
+) Áp dng nh lí Viét ta có:
+ = −
= − −
.
Do ó
+ = + = − − − = + = + − ≥ − ∀ ∈
Du “=” xy ra
⇔ = −
.
+) KL: Giá tr nh nht ca biu thc
+ là –16, t c khi
= −
.
Bài 3 (1,5 im)
a) Tìm các s nguyên không âm x, y tha mãn "ng th#c
= + +
.
Gii
+) T gi thit ta có
= − + <
, (1).
+) Ta s i chng minh
+ ≤ +
.
Tht vy ta có:
+ ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔ + ≥
, luôn úng vì
≥
.
+ + ≤ + + = +
, (2). ng thc xy ra
⇔ =
.
+) T (1) và (2) ta có:
< = + + ≤ +
. Vì
+
là hai s chính phng nên ta có
= + + = + =
và x = 1.
+) KL: Vy
=
=
là cp s không âm tho mãn bài toán.
b) Cho
> ≥
. Ch#ng minh r$ng
+ ≥
− +
. D+u “=” xy ra khi nào?
Gii
Cách 1 (Áp dng k thut chn im ri)
+) Áp dng BT Cô Si cho 4 s dng
+ +
−
− +
ta có:
( )
( )
+
+ +
− + + + ≥ −
− + − +
⇔ + ≥ ⇔ + ≥
− + − +
, (pcm).
+) ng thc xy ra
=
+
− = = ⇔
− + =
Cách 2 (Chuyn v BT mt bin).
+) Ta có BT ã cho
⇔ − + ≥ −
− +
+) Áp dng BT Cô Si cho 2 s dng
−
− +
ta có:
( )
− + ≥ − ⇔ − + ≥
− + − + − + +
+) chng minh BT ã cho ta s i chng minh
≥ −
+
, (*)
Ta có (*)
(
)
(
)
⇔ ≥ − + ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
, (luôn úng)
BT ã cho là úng.
+) ng thc xy ra
− =
=
− +⇔ ⇔
=
− =
Cách 3 (Bin !i tng ng r"i s# dng BT Cô Si dng tích).
+) BT ã cho
( ) ( )
⇔ ≥ − ⇔ − + − ≤ ⇔ − + − ≤
− +
, (*).
+) Theo BT Cô Si ta có:
+ + +
+ + + ≥ ⇔ ≤ ∀ ≥
, (**).
+) Áp dng (**) ta có:
( )
( )
− + + + + + −
− + − ≤ =
Vy (*) úng
BT ã cho c chng minh.
+) ng thc xy ra
=
⇔ − = + = − ⇔
=
Cách 4 (S# dng BT Cô Si).
+) Áp dng BT Cô Si cho 4 s dng
+ + − −
ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+ + + + − + − ≥ + + − −
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
⇔ ≥ + − − ⇔ ≥ + − − ⇔ ≥ + − −
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
⇔ ≥ + − − ⇔ ≥ − ⇔ + ≥
+ − + −
+) ng thc xy ra
=
⇔ − = + = − ⇔
=
Bài 4 (2,0 im)
Cho n,a ng tròn ng kính AB = 2a. Trên o&n AB l+y i'm M. Trong n,a m-t ph"ng b
AB ch#a n,a ng tròn ta k. hai tia Mx, My sao cho
= =
. Tia Mx c%t n,a ng
tròn t&i i'm E, tia My c%t n,a ng tròn t&i i'm F. K. EE’ và FF’ vuông góc vi AB l*n lt
t&i E’ và F’.
a) Cho
=
. Tính din tích hình thang vuông EE’F’F theo a.
b) Khi i'm M di ng trên AB. Ch#ng minh r$ng ng th"ng EF luôn tip xúc vi mt
ng tròn c nh.
Gii
a) Tính din tích hình thang vuông EE’F’F theo a.
Gi C, D l$n lt là giao im ca EE’ và FF’ vi n#a
di ca ng tròn, gi H là hình chiu vuông góc
ca O trên CF. D thy MCE và MDF là các tam giác
u.
+) Xét
∆
ta có:
= = =
+) Xét
∆
ta có:
= − = − =
CF = 2HF =
.
+) Mt khác ta có:
= =
( )
+ = + = =
+) Mt khác ta có:
= = =
( )
= + = + = =
Do ó
+
= = =
(vdt).
b) Ch#ng minh r$ng ng th"ng EF luôn tip xúc vi mt ng tròn c nh.
+) Ta có
(
)
(
)
= − + = − + =
+) Ta có
(
)
= +
mà
=
= =
.
+) K%
⊥
ta có
= = =
.
+) Vì O c nh và
=
không !i nên I luôn chy trên ng tròn tâm O bán kính
=
.
Mà
⊥
tip xúc vi ng tròn này.
+) KL: Khi M thay !i thì EF luôn tip xúc vi ng tròn tâm O bán kính
=
.
H
C
D
F'
M
I
O
E'
F
E
B
A
Bài 5 (1 im)
Cho ng tròn (C). V/ hai dây cung AB, EF c%t nhau t&i i'm I, vi I n$m trong ng tròn.
G)i M là trung i'm c!a BF, MI kéo dài c%t AE t&i i'm N. Ch#ng minh r$ng
=
.
(Thí sinh c s, d0ng công th#c
=
).
Gii
+) Ta có hai tam giác IMB và IMF có din tích b&ng
nhau (chung ng cao và cnh áy MB = MF).
+) Ta có hai tam giác IAN và IEN có chung ng cao
=
, (*).
+) Mt khác ta có
=
= =
, (**).
t (*) và (**) ta có
=
, (1)
+) Ta có
∆ ∆ −
=
, (2).
Thay (2) vào (1) ta có
=
, (pcm).
Ht
GV: Ph&m Vn Quý, Trng THPT chuyên Quang Trung
O
I
N
M
F
E
B
A
