các phương pháp đặc sắc tính tích phân ứng dụng tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (779.73 KB, 22 trang )
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC GIA PHAN
HỌC LỄ NGHĨA ĐỂ THÀNH NHÂN-HỌC TRI THỨC ĐỂ THÀNH TÀI
Ths. PHAN CÔNG THU NGUYÊN
CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶC SẮC TÍNH TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY.
KHÓA CẤP TỐC KHAI GIẢNG 6.6.2014
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
1
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
Bài học đầu tiên
Bàn Tay Của Mẹ, Bài Học Cho Con
Một thanh niên học hành xuất sắc nộp đơn vào
chức vụ quản trị viên cho một công ty lớn. Anh
ta vừa xong buổi phỏng vấn đầu tiên, ông giám
đốc phỏng vấn lần cuối để quyết định nhận hay
không nhận anh ta.
Viên giám đốc khám phá học bạ của chàng thanh
niên, tất cả đều tốt và năm nào, từ bậc trung học
đến các chương trình nghiên c
ứu sau đại học,
cũng đều xuất sắc, không năm nào mà anh chàng
thanh niên không hoàn thành vượt bực.
Viên giám đốc hỏi “Anh đã được học bỗng nào
của trường?” Chàng thanh niên đáp “Thưa
không”
Viên giám đốc hỏi “Thế cha anh trả học phí cho
anh đi học?” Chàng thanh niên đáp “Cha tôi chết
khi tôi vừa mới một tuổi đầu. Mẹ tôi mới là
người lo trả học phí”
Viên giám đốc lại hỏi “Mẹ của anh là việc ở
đâu?” Chàng thanh niên đáp “Mẹ tôi làm việc
giặt áo quần”. Viên giám đốc bảo chàng thanh
niên đưa đôi bàn tay cho ông ta xem. Chàng
thanh niên đưa hai bàn tay mịn màng và hoàn
hảo của chàng cho ông giám đốc xem.
Viên giám đốc hỏi “Vậy trước nay anh có bao
giờ giúp mẹ giặt giũ áo quần không?” “Chưa bao
giờ, mẹ luôn bảo tôi lo học và đọc thêm nhiều
sách. Hơn nữa, mẹ tôi giặt áo quần nhanh hơn
tôi.” Chàng thanh niên đáp.
Viên giám đốc dặn chàng thanh niên “Tôi yêu
cầu anh một việc. Hôm nay khi trở l
ại nhà, lau
sạch đôi bàn tay của mẹ anh, và rồi ngày mai đến
gặp tôi. ”
Chàng thanh niên cảm thấy khả năng được công
việc tốt này rất là cao. Khi vừa về đến nhà, chàng
ta sung sướng thưa với mẹ để được lau sạch đôi
bàn tay của bà. Mẹ chàng cảm thấy có gì đó khác
lạ, sung sướng, nhưng với một cảm giác vừa vui
mà cũng vừa buồn, bà đưa đôi bàn tay cho con
trai xem.
Chàng thanh niên từ từ
lau sạch đôi bàn tay của
mẹ. Vừa lau, nước mắt chàng tuôn tràn. Đây là
lần đầu tiên chàng thanh niên mới khám phá đôi
tay mẹ mình, đôi bàn tay nhăn nheo và đầy
những vết bầm đen. Những vết bầm làm đau
nhức đến nỗi bà đã rùng mình khi được lau bằng
nước. Lần đầu tiên trong đời, chàng thanh niên
nhận thức ra rằng, chính từ đôi bàn tay giặt quần
áo mỗi ngày này đã giúp trả học phí cho chàng.
Nhữ
ng vết bầm trong tôi tay của mẹ là giá mẹ
chàng phải trả cho ngày chàng tốt nghiệp, cho
những xuất sắc trong học vấn và cho tương lai sẽ
tới của chàng.
Sau khi lau sạch đôi tay của mẹ, chàng thanh
niên lặng lẽ giặt hết phần áo quần còn lại của me.
Tối đó, hai mẹ con tâm sự với nhau thật là lâu.
Sáng hôm sau, chàng thanh niên tới gặp ông
giám đốc.
Viên giám đốc lưu ý những giọt nước mắt chư
a
ráo hết trong đôi mắt của chàng thanh niên, và
hỏi “Anh có thể cho tôi biết những gì anh đã làm
và đã học được hôm qua ở nhà không?”
Chàng thanh niên đáp “Tôi lau sạch đôi tay của
mẹ, và cũng giặt hết phần áo quần còn lại.” Viên
giám đốc hỏi “Cảm tưởng của anh ra sao?”
Chàng thanh niên đáp, “Thứ nhất, bây giờ tôi
hiểu thế là ý nghĩa của lòng biết ơn; không có
mẹ, tôi không thể thành tựu được như hôm nay.
Thứ hai, qua vi
ệc hợp tác với nhau, và qua việc
giúp mẹ giặt quần áo, giờ tôi mới ý thức rằng
thật khó khăn và gian khổ để hoàn tất công việc.
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
2
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
Thứ ba, tôi biết ơn sự quan trọng và giá trị của
quan hệ gia đình.”
Viên giám đốc nói, “Đây là những gì tôi tìm
kiếm nơi người sẽ là quản trị viên trong công ty
chúng tôi. Tôi muốn tuyển dụng một người biết
ơn sự giúp đở của những người khác, một người
cảm thông sự chịu đựng của những người khác
để hoàn thành nhiệm vụ, và một người không chỉ
nghĩ đến ti
ền bạc là mục đích duy nhất của cuộc
đời. Em được nhận.”
Sau đó, chàng thanh niên làm việc hăng say, và
nhận được sự kính trọng của các nhân viên dưới
quyền. Tất cả nhân viên làm việc kiên trì và hợp
tác như một đội. Thành tựu của công ty mỗi ngày
được nhiều cải thiện.
Một đứa bé, được che chỡ và có thói quen muốn
gì đước nấy, có thể sẽ phát triển “tâm lý đặc
quyền” và sẽ luôn ngh
ĩ đến mình trước. Hắn sẽ
thờ ơ về các nỗ lực của cha mẹ.
Khi làm việc, hắn giả thiết rằng mọi người phải
vâng lời hắn, và khi trở thành một quản trị viên
hắn có thể sẽ không bao giờ biết sự chịu đựng
của các nhân viên dưới quyền và luôn đổ thừa
cho người khác.
Đối với loại người này, có thể học giỏi, có thể
thành công một thời gian ngắn nhưng thật sự sẽ
không cảm nhận được ý nghĩa của thành tựu.
Hắn sẽ cằn nhằn, lòng chất đầy oán ghét và đấu
tranh để có được nhiều thứ cho mình. Nếu chúng
ta thuộc loại cha mẹ chuyên bao che con cái như
thế này, phải chăng chúng ta đang cho chúng
thấy tình thương của cha mẹ hay thay vì đang tàn
phá chúng?
Bạn có thể cho con cái sống trong những căn nhà
lớn, ăn th
ức ăn ngon, học dương cầm, xem TV
màn ảnh rộng. Nhưng khi chúng ta cắt cỏ, xin
vui lòng cho chúng làm việc đó. Sau bữa cơm,
hãy để chúng rữa chén bát cùng với anh chị em
chúng. Không phải vì các bạn không có tiền để
mướn người làm trong nhà, nhưng bởi vì bạn nên
thương con đúng cách.
Bạn muốn chúng hiểu rằng, bất kể cha mẹ giàu
có cỡ nào, một ngày tóc họ cũng sẽ bạc như mẹ
của người b
ạn trẻ kia. Điều quan trọng nhất là
con cái của bạn học để biết hơn sự khó khăn, học
khả năng cùng làm việc với những người khác để
hoàn thành công việc.
Phần 1. Tóm tắt lý thuyết.
Bài 1. Nguyên Hàm
1. Định nghĩa nguyên hàm:
2. Tính chất nguyên hàm:
1.
() ()ux vx dx
2.
()ku x dx
3.
()()ku x v x dx
3. Bảng nguyên hàm.
STT Nguyên Hàm cơ bản Nguyên Hàm thường dùng
1.
1dx x C
bdx bx C
2.
1
1
m
m
x
xdx C
m
1
1( )
() .
1
m
m
kx b
kx b dx C
km
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
2
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
3.
1
ln | |dx x C
x
11
ln | |dx kx b C
kx b k
4.
1
11
(1)
mm
dx C
xmx
1
11
() (1)()
mm
dx C
kx b k m kx b
5.
1
2dx x C
x
12
dx kx b C
k
kx b
6.
xx
edx e C
1
kx b kx b
edx e C
k
7.
ln
x
x
a
adx C
a
ln
kx b
kx b
a
adx C
ka
8.
cos sinxdx x C
1
cos( ) sin( )kx b dx kx b C
k
9.
sin cosxdx x C
1
sin( ) cos( )kx b dx kx b C
k
10.
2
1
tan
cos
dx x C
x
2
11
tan( )
cos ( )
dx kx b C
kx b k
11.
2
1
cot
sin
dx x C
x
2
11
cot( )
sin ( )
dx kx b C
kx b k
4. Học sinh tự hoàn thành bảng NH sau:
STT NH cơ bản NH thường dùng
1.
1dx
bdx
2.
m
xdx
()
m
kx b dx
3.
1
dx
x
1
dx
kx b
4.
1
m
dx
x
1
()
m
dx
kx b
5.
1
dx
x
1
dx
kx b
6.
x
edx
kx b
edx
7.
x
adx
kx b
adx
8.
cos xdx
cos( )kx b dx
9.
sin xdx
sin( )kx b dx
10.
2
1
cos
dx
x
2
1
cos ( )
dx
kx b
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
3
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
11.
2
1
sin
dx
x
2
1
sin ( )
dx
kx b
STT NH cơ bản NH thường dùng
1.
1dx
bdx
2.
m
x
dx
()
m
kx b dx
3.
1
dx
x
1
dx
kx b
4.
1
m
dx
x
1
()
m
dx
kx b
5.
1
dx
x
1
dx
kx b
6.
x
edx
kx b
edx
7.
x
adx
kx b
adx
8.
cos xdx
cos( )kx b dx
9.
sin xdx
sin( )kx b dx
10.
2
1
cos
dx
x
2
1
cos ( )
dx
kx b
11.
2
1
sin
dx
x
2
1
sin ( )
dx
kx b
Bài 2. Tích Phân Xác Định
1.
Định nghĩa TPXĐ:
2.
Tính chất: Như nguyên hàm và thêm
1.
() ()
b
a
ux vx dx
2.
()
b
a
ku x dx
3.
()()
b
a
ku x v x dx
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
4
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
4. () () ()
c
a
u x dx u x dx u x dx
3.
Nhận xét: Sự giống nhau và khác nhau giữa phép toán nguyên hàm và phép toán tính tích
phân xác định.
Bài 3. Tích phân Hàm Hữu Tỷ
132
13210
132
13210
():
( ):
b
nn
nn
nn
nn
a
Px ax a x ax ax ax a
Idx
Qx bx b x bx bx bx b
1. Bậc tử
³ Bậc mẫu: chia đa thức là xong
2. Bậc tử < bậc mẫu:Nhiều trường hợp để nhớ….?
1. ĐB1:
'( )
()
ux
dx
ux
2. ĐB2:
1
()()
dx
xaxb
Tquát:
1
()()()
dx
xaxbxc
3. Ứng dụng vô địch để tính:
22
1
()()
Idx
xa xb
Xem hướng dẫn tại lớp
4. ĐB3:
1
()
m
dx
kx b
5. ĐB4:
()
()
m
px
dx
kx b
6. ĐB5:
2
1
1
dx
x
22
1
dx
xc
22
1
()
dx
ax b c
Bài 4. Các Phương Pháp Tính Tích Phân.
1. Phương pháp từng phần
Dùng công thức:
b
a
udv
A.
2
TP
-Chuẩn được tạo từ ba nhóm chuẩn:
1. Nhóm chuẩn 1:
2. Nhóm chuẩn 2:
3. Nhóm chuẩn 3:
Nếu trong TP ta thấy……………………………………………………
Đặt:
u
dv
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
5
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
Dùng công thức trên là xong .
Trong tích phân từng phần ta luôn luôn nhớ dùng kỷ thuật “Thăng hoa trí tuệ” để đưa tích
phân vô cùng phức tạp thành bài tích phân vô cùng đơn giản. Chi tiết xem tại lớp học
.
Ví dụ như: Tính
1.
1
0
ln( 1)
xx
Iee dx
2.
2
0
sin ln(2 cos )Ix xdx
3.
2
1
2ln( )
e
e
Ixxedx
+
=-
ò
4.
4
0
(3cos 2sin ) ln(3sin 2cos 4) dx
π
Ixxxx=- ++
ò
5.
3
2
2
ln(2 1)Ixxdx=
ò
6.
3
2
2
ln(3 4 1)Ixx xdx=-+
ò
7.
1
2
0
(12 7) ln(6 7 2)Ix xxdx=+ ++
ò
8.
2
32
1
ln
(1)
e
xx
Idx
x
=
+
ò
9.
2
32
1
ln
(2)
e
xx
Idx
x
=
+
ò
10.
1
2
0
ln 1Ixxdx=+
ò
11.
2
3
0
cos ln (3 sin )
π
Ix xdx=+
ò
12.
ln 6
0
ln 2
xx
Ie edx=+
ò
13.
8
3
3ln( 12)
1
x
Idx
x
+++
=
+
ò
14.
1
0
2
ln
1
x
Ix dx
x
æö
+
ç÷
=
ç÷
+
èø
ò
15.
(
)
4
1
ln 1Ixdx=+
ò
16.
(
)
4
1
ln 1 2Ixdx=+
ò
17.
/4
2
0
ln(sin 3cos )
cos
π
xx
Idx
x
+
=
ò
18.
1
0
(1)ln( 2)
xx
Ie xedx=+ ++
ò
B.
2
TP
-Không chuẩn gồm 6 dạng cơ bản sau: nhưng rất
Nếu trong TP ta thấy……………………………………………………
1.
()
()
m
fx
dx
kx b
u
dv
2.
22
()
{sin ,cos }
fx
dx
xx
u
dv
3.
()
{1 s i n , 1 c o s }
fx
dx
kx kx
4.
(' ') ( )'
bb
aa
Iuvuvdxuvdx=+ = =
òò
5.
'
2
''
bb
aa
uv uv u
Idxdx
vv
æö
-
ç÷
===
ç÷
èø
òò
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
2
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
6.
2
xkdx
u
dv
2. Phương pháp đổi biến số
Khi nào ……………………………………………………………………
Ví như: Yêu cầu ti… tích phân sau:
() ()
b
a
Ifxdx Igtdt
: Xong rồi
Ví dụ: Xem mục lục.
3. Các dạng đổi biến đặc biệt.
1.
()
1
k
x
k
fx
Idx
a
-
=
+
ò
;
()
1
x
k
x
k
afx
Idx
a
-
=
+
ò
với f(-x)=f(x), 01a<¹ .
2.
0
(sin )
π
Ixf xdx=
ò
3.
ln(1 tan .tan )
b
a
Ibxdx=+
ò
;
4
0
ln(1 tan )xdx
;
ln 2
8
4.
Bài 5: Phương Pháp Tính Tích Phân Hàm Lượng Giác
Yêu cầu:
Lưu ý: TP chỉ có hàm
tan ,cotxx
: Đặt tan cottxtx :
4
10
0
tan xdx
;
2
9
/4
cot xdx
TP hàm lượng giác: Phép đổi biến đặc biệt :
tan
2
ax b
t
2
22
21
sin( ) , ( )
11
tt
ax b cos ax b
tt
1.
21
21
0
sin , {0,1,2, ,5}
n
n
Ixdxn
2.
2
2
0
sin , {0,1,2, ,6}
n
n
Ixdxn
3.
2
21
21
0
cos , {0,1,2, ,6}
n
n
Ixdxn
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
3
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
4.
2
2
2
0
cos , {0,1,2, ,6}
n
n
Ixdxn
5.
4
2
2
0
1
, {0,1, 2, ,6}
cos
n
n
Idxn
x
6.
2
2
2
4
1
, {0,1,2, ,6}
sin
n
n
Idxn
x
7.
4
21
21
0
1
, {0,1, 2, ,6}
cos
n
n
Idxn
x
8.
2
21
21
4
1
, {0,1,2, ,6}
sin
n
n
Idxn
x
9.
sin cosIaxbxdx
10.
cos cosIaxbxdx
Bài 6. Khái quát phương pháp tính tích phân và ví dụ minh họa
1. Nếu thấy
n
: Đặt
n
t
:
2. Nếu đặt
n
t
không được. TP có dạng sau:
1.
2
1
dx
xk
;
5
2
0
1
4
dx
x
;
12
2
2
1
3
dx
x
2.
22
1
()
dx
xkxk
;
5
22
0
1
(4) 4
dx
xx
3.
22
22
1
;cx dx
cx
3/2
22
0
3xx
2
22
1
1
4
dx
xx
3
2
(1)(5)xxdx
4.
1
dx
ax b ax c
1
0
1
31 36
dx
xx
5
3
24
0
4
x
dx
xx
5.
22
m
n
ax b
dx
xc
4
3
2
0
1
16
dx
x
6.
22
1
dx
xx k
33
22
3
1
9
dx
xx
8
22
3
1
1
dx
xx
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
4
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
7.
1
(1) 1
nnn
Idx
xx
=
++
ò
8.
64
3
1
1
dx
xx
9.
2
1
4
1
6
31x
Idx
x
+
=
ò
;
6
3
6
1
9
1
2
21x
Idx
x
-
=
ò
;
10.
/2
55
5
6
sin sin
cot
sin
xx
xdx
x
11.
55
4
5
0
cos cos
tan
cos
xx
xdx
x
12.
/2
0
cos sin
3sin2
xx
dx
x
/2
2
0
cos
13cos
x
dx
x
13.
(sin cos )
asin cos
xx
dx
xxb
±
+
ò
/2
/4
sin cos
sin 2 3
π
π
xx
dx
x
+
-
ò
14.
1
4
0
1
x
dx
x
;
1
2
4
0
1
x
dx
x
;
1
2
2
0
1
4
x
dx
x
3. TP từng phần không chuẩn
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
5
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
1.
()
()
m
fx
dx
ax b
2
2
2
1
ln( 2 )
(1)
xx
dx
x
1
2
0
(1)
x
xe
dx
x
2.
22
()
sin ,cos
fx
dx
x
;
/3
2
4
sin
x
dx
x
4
2
0
tanxxdx
3.
22
() ()
1cos
sin ;cos
fx fx
dx dx
ax
;
6
0
1cos
x
dx
x
4.
2
xkdx
;
4
2
0
9xdx
4. Tích phân hàm hữu tỷ
()
,(),():
()
Px
dx P x Q x
Qx
là các đa thức)
1. Bậc tử
Bậc mẫu: Chia rồi tính TP.
1
0
1
21
x
dx
x
1
2
0
1
1
xx
dx
x
1
3
0
1
21
xx
dx
x
;
1
2
2
0
31
22
xx
dx
xx
;
0
2
2
1
31
23
xx
dx
xx
2. Bậc tử
Bậc mẫu: Có các TH đặc biệt sau:
1. Bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt:
1
2
0
1
34
dx
xx
;
0
2
1
23
23
x
dx
xx
2. Bậc 2 có nghiệm kép và dạng tổng quát nghiệm bội:
1
2
0
1
44
dx
xx
;
1
4
2
0
1
44
dx
xx
;
0
3
32
1
1
331
dx
xxx
3. Bậc 2 vô nghiệm :
15
22
02
11
;
347
dx dx
xxx
;
1
2
0
2
1
x
dx
xx
5. TP hàm chỉ có
x
e
: có thể đặt
x
te
:
ln 2
2
0
1
2
x
dx
e
;
ln 6
22
ln 5
1
43
xx
dx
ee
ln 2
2
2
0
3
32
xx
xx
ee
dx
ee
6. TP chỉ có
1
;lnx
x
: có thể đặt lntx :
22
22
ln 5 ln
;
(1 ln )(3ln 2) ln (3ln 2)
ee
ee
xx
IdxIdx
xxx xxx
Thà đổ những giọt mồ hôi nơi này còn hơn nhỏ lệ mai sau. Ngạn ngữ Anh.
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-TRỌNG TÂM ÔN THI ĐẠI HỌC
6
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
Không đề
Đỗ Trung Quân
Ta dặn mình trong chiều mưa ảm đạm
Hãy kéo rèm và mở cánh cửa ra
Tìm trong xám cơn mưa tháng bảy
Chút nắng –trời trong chùm cúc vàng hoa.
Ta dặn mình khi ngồi trong khuya khoắt
Đêm vây quanh bóng tối vây quanh
Hãy cám ơn cuối vườn bông lựu đỏ
Cháy lập lòe ngọn lửa của bình minh.
Ta dặn mình dù mai chia cắt
Một chia ly làm ứa máu trái tim
Ta sẽ đến những con đường bóng mát
Học hàng cây muôn thuở đứng chung tình.
Ta dặn mình làm con kiến nhỏ
Họ
c đường đi nhẫn nại vô cùng
Và mở cửa tìm ra đời sống
Học trời xanh mây trắng bao dung.
Khát Vọng
Hãy sống như đồi sông để biết yêu nguồn cội
Hãy sống như đồi núi vươn tới những tầm cao
Hãy sống như biển trào, như biển trào để thấy bờ
bến rộng
Hãy sống như ước vọng để thấy đời mênh mông
Và sao không là gió, là mây để thấy trờ
i bao la
Và sao không là phù sa rót mỡ màu cho hoa
Sao không là bài ca của tình yêu đôi lứa
Sao không là mặt trời gieo hạt nắng vô tư
Và sao không là bão, là giông, là ánh lửa đêm đông
Và sao không là hạt giống xanh đất mẹ bao dung
Sao không là đàn chim gọi bình minh thức giấc
Sao không là mặt trời gieo hạt nắng vô tư
Tác giả: Phạm Minh Tuấn
Phần 2 : Bài tập
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
1.
1
0
1xxdx
2.
1
5
0
1
x
xdx
-
ò
3.
ln 2
0
1
1
x
dx
e
-
+
ò
4.
ln 20
2
3
0
17
x
x
e
dx
e
5.
2
log 6
0
4
122 3
x
x
dx
6.
/2
3
22
0
sin 2
18sin cos
x
dx
xx
33
12ln
14 2
7.
/2
0
cos 3sin 2
113sin
xx
dx
x
8.
ln 12
2
ln 5
4
x
dx
e
9.
dx
x
x
1
0
2
2
4
1
3
2
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
10.
/2
0
(2 sin )(2 3)
π
Ixxdx
=+ +
ò
11.
1
2
0
()(31)
x
Ixexdx
=+ +
ò
12.
1
0
(2 ln(2 1))(4 1)Ixxdx
=+ + +
ò
13.
1
22
0
(1)
x
x
edx
2
51
4
e
14.
2
0
2
3cos
xdxe
x
13
23
e
15.
2
0
(2 1)sinxxdx
2
26
16.
23
1
(1 )(3 3ln )
e
xx xdx
17.
0
1/2
1
ln
1
x
xdx
x
131
ln
28 3
18.
2
2
1
1
ln 1xdx
x
10 1
3ln3 ln2
36
19.
2
1
ln
,1
t
x
dx t
x
Chấp
Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận?
Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học
10
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
20.
2
2
11
ln ln
e
e
dx
xx
2
2
e
e
21.
1
3
0
2ln( 1)
(1)
x
dx
x
22.
1
2
0
(1)
x
xe
dx
x
2
2
e
23.
/4
2
0
cos
xdx
x
2ln2
4
24.
/2
2
/4
sin
x
dx
x
2ln2
4
25.
4
2
0
tanxxdx
2
1
ln 2
32 4 2
26.
/4
0
1cos2
x
dx
x
2ln2
8
27.
2
ln ln(ln )
e
e
xx
dx
x
1
2ln2
2
Tổng hợp các dạng bài tập
28.
4
0
2
sin
dxx
2
29.
2/
2/
2sin3
)sin(cos
x
dxxx
)32ln(
30.
2
0
(cos sin )
3sin2
xxdx
x
2
31.
2
22 22
0
sin cos
cos sin
xxdx
axbx
1
ab
32.
dx
xx
x
2
0
22
sin4cos
2sin
3
2
33.
/2
3
0
sin cos
x
xdx
1
4
34.
/2
3
0
sin .cos
1cos
xx
dx
x
11 2
ln
42 3
35.
/2
0
1cos
dx
x
1
36.
/2
1cos
dx
x
1
37.
/2
2
0
sin
3cos
xdx
x
3
18
38.
/2
/3
sin 3 sin
cos 2 1
x
x
dx
x
1ln3
39.
/2
/3
sin 3 sin
cos 1
xx
dx
x
5
4ln2
2
40.
6
0
cos3 cos
2cos2 2
xx
dx
x
1
(1 ln 3)
2
41.
2
2
0
cos
13cos
x
dx
x
9
3
42.
dx
xx
x
2
0
22
sin4cos
2sin
3
2
43.
2
23
0
(1 sin ) sin 2xxdx
4
44.
/2
0
sin 2 sin
13cos
xx
dx
x
34
27
45.
/2
0
sin 2 cos
1cos
x
x
dx
x
2ln2 1
46.
4
22
0
sin 3cos
dx
xx
3
18
47.
2
2
2
0
1sin
sin
1cos
x
xdx
x
3
1
4
48.
3
6
0
tan
cos 2
x
dx
x
131
ln
226
49.
2
2
2
cos
4sin
xx
dx
x
1
ln 3
2
50.
4
0
1tan
dx
x
1
ln 2
48
51.
/4
0
1tan
π
x
dx
xx
+
ò
Chấp
Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận?
Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học
11
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
52.
2
0
1sin2
dx
x
1
53.
2
2
0
(3cos sin)
dx
xx
3
3
54.
2
2
0
cos
13cos
xdx
x
3
9
55.
2
0
sin cos
x
xxdx
3
56.
4
2
0
(sin 2cos )
dx
xx
1
6
57.
/2
0
sin 2 sin
13cos
xx
dx
x
58.
/2
0
cos 1 sin
sin 3
xx
dx
x
2ln3 2
59.
60.
1
2
1
||
(1)(1)
x
xdx
xe
1
ln 2
2
61.
/4
2
/4
3
(3 1)cos
x
x
dx
x
1
62.
1
1
cos
1
x
x
ex
Idx
e
-
=
+
ò
63.
4
22
0
1
cos 1 tanxx
64.
/2
22
/4
1
sin 1 cot
dx
x
x
65.
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
xx
dx
xx
PHỤ LỤC
Đề thi Đại học-Cao Đẳng 2002-2010
1. D2002. Không có
2. B2002. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi:
22
4,
4
42
xx
yy
3. A2002. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
|43|, 3yx x yx
4. D.2003. Tính
2
2
0
||Ixxdx
5. B2003. Tính
/4
2
0
12sin
1sin2
x
Idx
x
6. A2003. Tính
23
2
5
4
dx
I
xx
7. D2004. Tính
3
2
2
ln( )Ixxdx
8. B2004. Tính
1
1 3ln ln
e
xx
Idx
x
9. A2004.Tính
2
1
11
x
Idx
x
10. D2005. Tính
/2
sin
0
cos cos
x
Ie xxdx
11. B2005. Tính
/2
0
sin 2 cos
1cos
xx
Idx
x
12. A2005. Tính
2
0
sin 2 sin
13cos
xx
Idx
x
13. D2006. Tính
1
2
0
(2)
x
Ixedx
14. B2006.Tính
ln 5
ln 3
23
xx
dx
I
ee
15. A2006. Tính
2
22
0
sin 2
cos 4sin
x
Idx
xx
16. D2007. Tính
32
1
ln
e
Ixxdx
17. B2007. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
ln , 0,yxxy xe
.
18. A2007. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(1), (1 )
x
ye xy ex
.
19. CĐ 2008 Tính diện tích giới hạn bởi
2
4yx x
và yx .
20. D2008. Tính
2
3
1
ln x
Idx
x
2
2
Chấp
Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận?
Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học
12
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
21. B2008. Tính
4
0
sin
4
sin 2 2(sin cos 1)
x
Idx
xxx
22. A2008. Tính
/6
4
0
tan
cos 2
x
Idx
x
23. CĐ 2009. Tính
1
2
0
xx
Iexedx
24. D2009. Tính
3
1
1
1
x
Idx
e
25. B2009. Tính
3
2
1
3ln
(1)
x
Idx
x
26. A2009. Tính
2
32
0
(cos 1)cosIxxdx
27. CĐ 2010 Tính TP
1
0
21
1
x
Idx
x
28. D.2010 Tính TP
1
3
2ln
e
Ix xdx
x
29. B.2010 Tính TP
2
1
ln
(2 ln )
e
x
Idx
xx
30. A 2010 Tính TP
1
22
0
2
12
xx
x
xe xe
Idx
e
31. CĐ 2011 Tính TP
2
1
21
(1)
x
Idx
xx
32. D.2011 Tính TP
4
0
41
212
x
Idx
x
33. B 2011 Tính TP
3
2
0
1sin
cos
xx
Idx
x
34. A 2011 Tính TP
2
0
sin ( 1)cos
sin cos
xxx x
Idx
xx x
35. A.2012 Tính
3
3
1
1ln(1 )x
Idx
x
36. B.2012 Tính
1
3
42
0
32
x
Idx
xx
37. D.2012 Tính
4
0
(1 sin 2 )Ix xdx
38. CĐ 2012 Tính
3
0
1
x
Idx
x
39. A.2013. Tính
2
2
2
1
1
ln
x
Ix
x
40. B.2013 Tính
1
2
0
2Ix xdx
41. D.2013. Tính
1
2
2
0
(1)
1
x
Idx
x
42. CĐ 2013. Tính
5
1
1
121
Idx
x
43. DBD1.2005. Tính
3
2
1
ln
ln 1
e
x
Idx
xx
44. DBD2.2005. Tính
2
2
0
(2 1)cos
Ix xdx
45. DBD1.2007. Tính
1
2
0
1
4
xx
Idx
x
46. DBD2. 2007. Tính
2
2
0
cosIx xdx
47. DBD1.2006. Tính
2
0
(1)sin2
Ix xdx
48. DBD2.2006. Tính
2
1
(2)lnIx xdx
49. DBB1.2005. Tính
2
0
ln
e
Ixxdx
50. DBB2. 2005. Tính
4
sin
0
(tan cos )
x
xe xdx
51. DBB2. 2006. Tính
4
0
(sin 2 )cosxx xdx
Chấp
Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận?
Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học
13
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
52.
53. DBB1.2007. Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi các đường thẳng y = 0 và
2
1
1
xx
y
x
.
54. DBB2.2007. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính
diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
= x
2
và
2
x2y
55. DBB1.2006. Tính
10
5
12 1
dx
I
x
56. DBA1.2007. Tính
4
0
2x 1
Idx
12x1
Góc thư giãn
Ta sẽ làm được những điều kỳ diệu trong lúc
đang làm thật tốt những điều rất tầm thường.
Không ai trong cuộc đời này lo cho cuộc đời
của chúng ta bằng chính chúng ta.
Hãy dùng đôi mắt để nhìn, tai lắng nghe và
hướng vào tim với khối óc bình thường chúng ta
biết được đâu là chân, thiện và mỹ.
Ths. Phan Công Thu Nguyên
DBA2.2007. Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng
(H) giới hạn bởi các đường
2
xy4
và y = x. Tính
thể tích vật thể tròn trong khi quay (H) quanh trục
Ox trọn một vòng.
DBA1.2006. Tính
6
2
21 41
dx
I
xx
DBA2.2006. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
3, 2 1yx x y x
Bài tập làm thêm
1.
/2
71
0
cos
4
x
Ixedx
2.
1
2
72
2
0
(1)
1
x
xx edx
I
x
3.
2
73
2
1
1
x
x
Iedx
x
4.
1
2010 2
74
0
(1 ) (3 2)Ixxdx
5.
3
4
86
23
2
(1)
x
Idx
x
6.
/2
87
0
2sin 3
dx
I
x
7.
/8
88
0
2cos 2
dx
I
x
8.
/4
94
0
2
ln
1tan
Idx
x
9.
1
4
95
2
1
sin
1
xx
Idx
x
10.
2
5
96
1
ln 1 ln
e
xdx
I
x
11.
/2
102
0
cos
cos sin
n
nn
xdx
I
xx
12.
4
103
0
cos ;sin
cos sin
k
kx kx dx
I
kx kx
13.
4
104
{2,3}
0
cos ;sin
(cos sin )
k
n
kx kx dx
I
kx kx
14.
/4
112
0
sin
;
sin 3cos
x
Idx
xx
15.
/4
113
0
3sin 4cos
;
4sin 3cos
xx
Idx
xx
16.
1
124
2
0
331
xdx
I
xx
17.
1
3
125
2
0
1
xdx
I
xx
18.
8
3
129
2
ln 1 ln
e
e
dx
I
xx x
19.
1
2
1
136
3
0
23 .
(1)
x
dx
Ie
x
Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và
thể tích khối tròn xoay.
20. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
Chấp
Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận?
Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học
14
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
1) Huế 99.
ln
1; ; 0;
2
x
xxey y
x
2)
3; 4 ; 0
x
yyxx
3)
ln , 1.yxy
4)
3
log ; 4 ; 0yxyxy
5) A.02.
2
|43|; 3yx x yx
6)
ln
1; 1;
x
yx yx xe
x
21. Tính thể tích khối tròn xoay.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường sau và
quay hình phẳng quanh Ox được khối tròn xoay.
Tính thể tích khối tròn xoay đó.
1) ĐHNNI-1999:
2
2
1
;
12
x
yy
x
2)
;0,1;(0 1)
x
yxey x x
.
3) ĐHNN I-1997.
tan ; 0, 0;
3
yxyxx
4) ĐHTS. TPHCM-2000.
22
4; 2yxyx
.
.
.07. ln ; 0;B yxxy xe
Phương pháp đánh giá trực tiếp hàm
()fx
trên đoạn
[,]ab
1. Phương pháp:
+ Nếu
() 0, [,]fx x ab³"Î
thì
()dx
b
a
Ifx=
ò
+ Nếu
() 0, [,]fx x ab£"Î
thì
()dx
b
a
Ifx=-
ò
2. Ví dụ minh họa: Tính các tích phân sau:
1.
22
22
11
4
|1| (1)
3
Ix dxxdx=-=-=
òò
.
(Vì
2
10, [1;2]xx
-³ "Î
)
2.
11
22
11
4
|1| (1)
3
Jxdx xdx
=-= =
òò
.
(Vì
2
10, [1;1]xx
-£ "Î-
)
Phương pháp xét dấu hàm
()fx
trên đoạn
[;]ab
1. Phương pháp
.
B1. Tìm các nghiệm
() 0fx=
(1)
B2. Lập bảng xét dấu.
Giả sử (1) có các nghiệm
012
;;xxx
B3
. Biểu diễn tích phân cần tính bằng tổng các tích phân trên từng đoạn xác định.
Vậy
12
12
() () ()
xx
b
axx
I f xdx f xdx f xdx=-+
òòò
Chp
Chp nhn s phn hay vt lờn s phn?
Bi Tp Tớch Phõn Trng Tõm ễn Thi i Hc
15
Ths. Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095
2. Vớ d minh ha: Tớnh tớch phõn
55
2
00
|43| |f(x)|Ixxdx dx=-+=
ũũ
Cho
2
1
430
3
x
xx
x
ộ
=
ờ
-+=ị
ờ
=
ở
Xột du:
Vy:
135
013
() () ()I f xdx f xdx f xdx=-+
ũũũ
33
13
22
01
3
5
2
3
23| 23|
33
56
23|
36
xx
xx xx
x
xx
ổửổử
ỗữỗữ
=-+ +
ỗữỗữ
ốứốứ
ổử
ỗữ
+-+ =
ỗữ
ốứ
Phõn ró on
[,b]a
ti cỏc nỳt nghim ca phng trỡnh
() 0fx=
1. Phng phỏp:
B1. Tỡm cỏc nghim
() 0fx=
(1)
B2. Chn cỏc nghim
12
;[;]xx ab
ẻ
B3. Phõn ró tớch phõn thnh tng cỏc tớch phõn :
12
12
() () ()
xx
b
ax x
I fxdxfxdxfxdx=++
ũũũ
Vỡ
12
112 2
() () 0
() 0, (; ) ( ; ) ( ;)
fx fx
fx x ax xx xb
ỡ
==
ù
ớ
ạ"ẻ ẩ ẩ
ù
ợ
Nờn tớch phõn c vit li
12
12
() () ()
xx
b
ax x
I f xdx f xdx f xdx
=++
ũũũ
2. Chng minh: Xột
|()|
d
c
Ifxdx=
ũ
vi
( ) ( ) 0, ( ) 0, ( , )fc fd fx x cd== ạ"ẻ
.
Th1:
(, ): () 0 ()
d
c
xcdfx I fxdx
"ẻ > ị =
ũ
Th2:
(, ): () 0xcdfx"ẻ <
Chấp
Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận?
Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học
16
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
() ()
dd
cc
I f xdx f xdx
Þ=- =
òò
(đpcm)
3. Xét lại ví dụ trên:
55
2
00
|43| |f(x)|Ixxdx dx=-+=
òò
Cho
2
1
430
3
x
xx
x
é
=
ê
-+=Þ
ê
=
ë
Vậy
135
013
() () ()I f xdx f xdx f xdx
=++
òòò
333
135
222
013
56
23| 23| 23|
3336
xxx
xx xx xx
æöæöæö
ç÷ç÷ç÷
=-+ +-+ +-+ =
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
1.
Tính tích phân
3
32
1
44I xxxdx=-+
ò
Gợi ý:
333
22
111
(44) (2) |2|I x x x dx x x dx x xdx=-+=-=-
òòò
2.
Tính tích phân
7
4
2
1sin2
π
π
Ixdx
-
=+
ò
Gợi ý:
77
44
2
22
(sin cos ) | sin cos |
ππ
ππ
Ixxdxxxdx
=+=+
òò
3.
Tính tích phân
5
2
2002
0
|43|(3)Axxxdx=-+-+
ò
Gợi ý:
5
2002
0
|()|Afxdx=
ò
Làm theo phương pháp phân rã.
Tính Diện Tích hình Phẳng
1. Định lý: Nếu hàm số f(x) , g(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì diện tích S của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số f(x), g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b là
|()() |
b
a
gxxS f dx=-
ò
(đvdt)
2. Hình minh họa
3. Giả sử có hình trên thì
Chấp
Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận?
Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học
17
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
[]
[][]
2
3
23
() ()
(
() ()
() ())()
x
x
b
aa
x
b
x
g x dx g x dx
gx dx g
fx f
xdxx
S x
ffx
==
+
+
òò
òò
4. Nếu không có hình trên, ta tính bằng 1 trong 3 phương pháp của tích phân chứa trị
tuyệt.
5. Ví dụ minh họa. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D.
1.
;0
:
2
yxy
D
x
ì
==
ï
í
=±
ï
î
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
miền D là:
22
22
02
20
22
02
02
20
20
|0| ||
|| ||
||
22
22 dt)4 (vd
xdx xdx
xdx xdx
xx
xdx xdx
S
-
-
-
=- =
=+
=+=+
=- + =
òò
òò
òò
1.
32
:{ 9 12 4; 0}Dyx x x y
=- + - =
PTHĐGĐ:
32
2
91240
1
2
x
xx x
x
é
=
ê
-+-=Û
ê
=
ê
ë
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
miền D là:
(
)
2
32
1
2
29124
D
Sxxxdx=-+-
ò
4
2
32
1
2
364| ( )
2
27
32
x
xxx dvdt
éù
êú
=-+- =
êú
ëû
Chp
Chp nhn s phn hay vt lờn s phn?
Bi Tp Tớch Phõn Trng Tõm ễn Thi i Hc
18
Ths. Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095
2. D:
,0 3
3
,3 12
,12 14
,13 14
,0 1
1
2
1
0
0
226
3
x
x
x
x
yx
x
x
x
11213 14
0312 13
10 10
.()212026 )
23 2
(
xxx
Sdxdx dx dxdvdtx
ổử ộ ự
ỗữ
=-=
ờỳ
ỗữ
ờỳ
-
-
-
++
ốứ ở ỷ
+
ũũũ ũ
2.
3
:{ ; }Dyxyx==
PTHG:
3
0
1
x
xx
x
ộ
=
ờ
=
ờ
=
ở
Din tớch hỡnh phng gii hn bi min D l:
11
3
11
()||||Sxxdxfxdx
-
=-=
ũũ
01
10
42 42
01
10
() ()
11
=| |
42 42 4
1
4
(dvdt)
2
fxdx fxdx
xx xx
-
-
=+
ổửổử
-
ỗữỗữ
-+-=+=
ỗữỗữ
ốứốứ
ũũ
1.
A. 2002 Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 ng
2
|43|, 3yx x yx=-+ =+
.
Gi ý:
Cỏch 1: Dựng phng phỏp xột du.
Cỏch 2: Dựng phng phỏp phõn ró on
[a;b]
Cỏch 3: V th ca 2 hm trờn mt h trc
Oxy.
PTHG:
2
2
2
3
0
|43|3
50
5
360
x
x
xx x
xx
x
xx
ỡ
-
ù
ộ
=
ù
ộ
ờ
-+=+ ị
-=
ớ
ờ
ờ
=
ù
ở
ờ
ù
-+=
ở
ợ
5
0
2
|43| )3(S xx x dx=-+-+
ũ
(Xem trờn)
Chấp
Chấp nhận số phận hay vượt lên số phận?
Bài Tập Tích Phân Trọng Tâm Ôn Thi Đại Học
19
Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095
2. B.2002. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
22
4;
4
42
xx
yy=- =
Cách 1: Dùng phương pháp xét dấu.
Cách 2: Dùng phương pháp phân rã đoạn [a;b]
Cách 3: Vẽ đồ thị của 2 hàm trên một hệ trục Oxy.
PTHĐGĐ:
2
22
42
2
8
4 8 8.16 0
4
42
16
x
xx
xx
x
é
=
ê
-= Û- - =Û
ê
=-
ë
2
2
2
8
8
22 22
22
2
22
4
4
4
4
4
2
42
) (
*
x
x
N
Sdx
dx dx
x
x
M
-
=-
=-
=
-
-
-
ò
òò
Với N=
22
22
2
42
8
3
dx
x
-
=
ò
M=
22 22
22 2
2
2
2
1
416
4 2
dx
x
x dx
- = -
òò
, Đặt
4sinxt=
24πMÞ=+
Thay M, N vào (*) sẽ tìm được
4
2
3
S π
= +
.
3.
A. 2007
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
(1); (1 )
x
ye xy ex
=+ =+
.
Cách 1
:
Dùng phương pháp đánh giá.
Cách 2:Dùng phương pháp xét dấu.
Cách 3: Dùng phương pháp phân rã đoạn [a;b
]
Cách 4: Vẽ đồ thị của 2 hàm trên một hệ trục Oxy.
PTHĐGĐ:
0
(1) (1 )
1
x
x
ex ex
x
é
=
ê
+=+ Û
ê
=
ë
11
00
||) )( (11
xx
Sdxxdeex xex e +==+
òò
Vì
0
01
x
xeee
££Þ £ £
Vậy:
1
0
2
2
()
x
Seexdx
e
==
-
-
ò
