CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
A. Phương pháp dùng bảng nguyên hàm
Bài 1. (ĐH-B-2003) Tính tích phân
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫
Bài 2. Tính tích phân
4
2
0
sin 2
4 cos
x
dx
x
π
−
∫
Bài 3. (ĐH-A-2006) Tính tích phân
4
2 2
0

sin 2
cos 4sin
x
dx
x x
π
+
∫
Bài 4. Tính tích phân
( )
ln3
3
0
1
x
x
e dx
e +
∫
Bài 5. Tính tích phân
( )
2
3
3
sin cos
sin cos
x x dx
x x
π
π

+
−
∫
Bài 6. Tính tích phân
1
3
2
0
1
x dx
x +
∫
Bài 7. Tính tích phân
3
2 2
4
sin
os 1 cos
xdx
c x x
π
π
+
∫
Bài 8. Tính tích phân
1
0
1
x
dx

e+
∫
Bài 9. (ĐH-D-2005) Tính tích phân
( )
2
sin
0
cos cos
x
e x xdx
π
+
∫
Bài 10. Tính tích phân 1.
6
0
sin 2 cos3x xdx
π
∫
; 2.
2
3
cos cos5x xdx
π
π
∫
Bài 11. Tính tích phân 1.
4
3
0

sin xdx
π
∫
; 2.
3
4
0
cos x
π
∫
Bài 12. Tính tích phân
( )
1
3
0
1
xdx
x +
∫
Bài 13. Cho hàm số
2
3
3 3 3
3 2
x x
y
x x
+ +
=
− +

1. Xác định các hằng số A, B, C để
( )
2
1 2
1
A B C
y
x x
x
= + +
− +
−
2. Tìm họ các nguyên hàm của y.
Bài 14.
B. Phương pháp đổi biến số
Bài 1. (ĐH-A-2004) Tính tích phân
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫
Bài 2. Tính tích phân
2
1
1 1
xdx
x+ −
∫

Bài 3. Tính tích phân
1
1 3ln .ln
e
x x
dx
x
+
∫
Bài 4. Tính tích phân
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+
+
∫
Bài 5. Tính tích phân
ln5
2
ln2
1
x
x
e dx
e −

∫
Bài 6. Tính tích phân
4
7
3
3 4
0
1 1
x dx
x+ +
∫
Bài 7. Tính tích phân
1
2 3
0
2x x dx+
∫
Bài 8. Tính tích phân
1
2
0
1x x dx+
∫
Bài 9. Tính tích phân
3
1
3 ln
1 2ln
x
x xdx

−
+
∫
Loại 2. Đổi biến x = -t
Bài 1. Cho
( )
f x
là hàm số lẻ trên
[ ]
;a a−
và tồn tại
( )
0
a
a
f x dx
−
=
∫
. Chứng minh rằng
( )
0
a
a
f x dx
−
=
∫
.
Bài 2. Cho

( )
f x
là hàm số chẵn trên
[ ]
;a a−
và tồn tại
( )
a
a
f x dx
−
∫
. Chứng minh rằng
( ) ( )
0
2
a a
a
f x dx f x dx
−
=
∫ ∫
.
Bài 3. Tính tích phân
2
6
2
1
x
x dx

e
−
+
∫
Bài 4. Tính tính phân:
( )
4
2 3
4
cos 1
x
dx
I
x e
π
π
−
−
=
+
∫
Loại 3. Phép đổi biến nếu như biểu thức dưới dấu tích phân có chứa số hạng dạng:
2 2
a x−
, với
0a
>
.
Bài 1. Tính tích phân:
3

2
1
4I x dx
−
= −
∫
.
Bài 2. Tính tích phân:
( )
3
2
3
2
3 2
2
9
dx
x
−
−
∫
Bài 3.
2
2
2
2
0
1
x dx
x−

∫
Bài 4. Tính tích phân:
6
2
3 2
9
dx
x x −
∫
Loại 4. Phép đổi biến khi hàm dưới dấu tích phân là các biểu thức dạng
( )
2 2
, 0
k
a x a+ >
.
Bài 1. Tính tích phân
2
2
0
4
dx
x+
∫
Bài 2. Tính tích phân
( )
3
3
2
3

3
1
dx
x
−
+
∫
Bài 3. Tính tích phân
1
4 2
0
1
xdx
x x+ +
∫
Bài 4. Tính tích phân
1
4 2
0
4 3
dx
x x+ +
∫
Loại 5. Đổi biến khi biểu thức dưới dấu tích phân có chứa hàm số lượng giác.
Bài 1. (ĐH-B-2005) Tính tích phân
2
0
sin 2 cos
1 cos
x xdx

x
π
+
∫
Bài 2. Tính tích phân
2
0
cos
7 cos2
xdx
x
π
+
∫
Bài 3. Tính tích phân
2
3 5
0
sin cosx xdx
π
∫
Bài 4. Tính tích phân
2
3
sin
dx
x
π
π
∫

Bài 5. Tính tích phân
2
0
1 sin cos
dx
x x
π
+ +
∫
Bài 6. Tính tích phân
4
2
4 4
0
sin
sin cos
xdx
x x
π
+
∫
Bài 7. Tính tích phân:
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x
π

+
∫
Bài 8. Tính tích phân
2
0
sin cosx x xdx
π
∫
Bài 9. Tính tích phân
( )
4
0
ln 1 tan x dx
π
+
∫
Bài 10. Tính tích phân:
2
2
sin
( 3 )
1 cos
x x
I dx x t
x
π
π
π
= = −
+

∫
Loại 6. Một vài phép đổi biến khác khi lấy tích phân.
Bài 1. (ĐH-B-2006) Tính tích phân
ln5
ln3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
Bài 2. Tính tích phân
( )
1
6
5 3
0
1x x dx−
∫
Bài 3. Tính tích phân
2
0
2
2
x
dx
x
+
−

∫
C. Phương pháp tích phân từng phần
Bài 1. (ĐH-D-2004) Tính tích phân
( )
3
2
2
ln x x dx−
∫
Bài 2. (ĐH-D-2006) . Tính tích phân
( )
1
2
0
1
x
x e dx−
∫
Bài 3. Tính tích phân
3 2
1
ln
e
x xdx
∫
Bài 4. Tính tích phân
( )
2
2
0

sin cosx x xdx
π
+
∫
Bài 5. Tính tích phân
2
1
3
0
x
x e dx
∫
Bài 6. Tính tích phân
2
2
0
cos3
x
e xdx
π
∫
Bài 7. Tính tích phân
4
0
1 cos2
xdx
x
π
+
∫

Bài 8. Tính tích phân
( )
2
2
2
0
2
x
x e
dx
x +
∫
TÍCH PHÂN VỚI HÀM CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
VÀ MỘT VÀI TÍCH PHÂN TRUY HỒI
Bài 1. (ĐH-D-2003) Tính tích phân
2
2
0
I x x dx= −
∫
Bài 2. Tính tích phân
0
1 sin 2xdx
π
−
∫
Bài 3. Tính tích phân
( )
5
3

2 2x x dx
−
+ − −
∫
Bài 4. Cho
( )
3 2
3 4 1f x x x x= − − +
và
( )
3 2
2 3 1g x x x x= + − −
Tính tích phân
( ) ( )
2
1
I f x g x dx
−
= −
∫
Bài 5. Cho
2
0
sin
n
n
I xdx
π
=
∫

và
2
0
cos
n
n
J xdx
π
=
∫
1. Chứng minh
2
1
n n
n
I I
n
−
−
=
,
2
1
n n
n
J J
n
−
−
=

với
2n ≥
.
2. Áp dụng tính
4 5
,I J
.
Bài 6. Cho
1
0
n x
n
I x e dx=
∫
, với
1n ≥
là số tự nhiên
1. Chứng minh
1n n
I e nI
−
= −
2. Áp dụng tính
5
I
.
Bài 7. Cho tích phân
0
cos cos
n

n
I x nxdx
π
=
∫
Chứng minh rằng
1
1
2
n n
I I
+
=
.
Từ đó hãy tính
5
I
.