bộ đề thi vào chuyên amsterdam và ĐHSPHN

Mục lục
1 Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 3
1.1 Năm học 1991 - 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 Năm học: 1992 - 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Năm học: 1993 - 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Năm học: 1997 - 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Năm học: 1998 - 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Năm học: 1999 - 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Năm học 2000 - 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Năm học 2001 - 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Năm học 2002 - 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Năm học 2003 - 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Năm học 2004-2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.12 Năm học 2005-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội Amsterdam 23
2.1 Năm học 1989-1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Năm học 1991-1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Năm học 1992-1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Năm học 1993-1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội 29
3.1 Năm học 1991-1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Năm học 1992-1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Năm học 1993-1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Năm học 1994-1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Năm học 1995-1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Năm học 1996-1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
2 MỤC LỤC
3.7 Năm học 1997 - 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8 Năm học 1998 - 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.9 Năm học 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.10 Năm học 2000-2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.11 Năm học 2001-2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.12 Năm học 2002 - 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.13 Năm học 2003 - 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.14 Năm học 2003 - 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Trường THPT Chuyên Ngữ, Đại học Ngoại Ngữ 53
4.1 Năm học 2005-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5 Một số bộ đề thi vào lớp 10 không chuyên Toán 55
5.1 Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Đề số 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chương 1
Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
1.1 Năm học 1991 - 1992
Ngày thi thứ nhất
1. Giải hệ phương trình

y −5|x| − 3 = 0
2x − |y| + 3 = 0
2. Trong một giải bóng đá có 11 đội tham gia, bất cứ hai đội nào dự giải đều phải gặp nhau
hai trận, một trận lượt đi và một trận lượt về. Mỗi trận, bên thắng được 7 điểm, bên
thua bị trừ đi 6 điểm (hay nói một cách khác là được −6 điểm), nếu hòa thì mỗi bên đều
được 0 điểm.
(a) Kết thúc giải, đội B.L được 13 điểm. Hãy tính số trận thắng, số trận hòa và số trận
thua của đội B.L.
(b) Trong buổi tổng kết giải, sau khi nghe công bố số điểm của mỗi đội và thứ tự xếp
hạng của các đội, đội trưởng đội B.L nhẩm tính rồi nói to: "thế là số điểm của đội
mình đúng bằng trung bình cộng số điểm của tất cả các đội dự g iải ". Nghe được

ý kiến đấy một trọng tài lên tiếng: "Ông bạn tính nhầm to rồi đó!" Đội trưởng đội
B.L cãi lại: "Tôi tính đúng rồi đấy!".
Hãy cho biết ai đúng, ai sai và giải thích vì sao?
3. Hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một cát tuyến thay
đổi đi qua A cắt đường tròn thứ nhất tại C và cắt đường tròn thứ hai tại D sa o cho A
nằm trong đoạn thẳng CD. Tìm vị trí của cát tuyến CD sao cho chu vi tam giác BCD
nhận giá trị lớn nhất.
4. Cho tam giác đều ABC. Hai điểm M và N lần lượt biến thiên trên hai cạnh AB và AC
sao cho
AM
MB
+
AN
NC
= 1. Chứng minh rằng, MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp
3
4 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
tam giác ABC.
5. Cho tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn. Chứng minh rằng, sin A + sin B + sin C <
2(cos A + cos B + cos C) trong đó A, B và C là các góc của tam giác ABC.
Ngày thi thứ hai
6. Cho a, b là các số dương. Hãy rút gọn biểu thức sau:
a + 2
√
ab + 9b
√

a + 3
√
b − 2
4
√
ab
− 2
√
b
7. Qua tâm O của hình vuông ABCD ta kẻ một cát tuyến cắt cạnh AB ở M và cắt cạnh
CD ở N sao cho
AM
MB
=
1
2
. Lấy một điểm I trong đoạn MN và gọi d
1
, d
2
, d
3
, d
4
là khoảng
cách từ I đến bốn cạnh của hình vuông sắp xếp theo thứ tự g iảm dần: d
1
≥ d
2
≥ d

3
≥ d
4
.
Chứng minh rằng, khi I chạy trên đoạn MN, ta luôn có d
1
− d
2
= d
2
− d
3
= d
3
− d
4
.
8. Cho hình chữ nhật ABCD. Qua một điểm M tùy ý nằm ở miền trong của hình chữ nhật
đó, ta kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình chữ nhật. Các đường thẳng
này chia hình chữ nhật đã cho thành bốn hình chữ nhật nhỏ, mỗi hình chữ nhật chứa
một trong bốn đỉnh A, B, C, D. Chứng minh rằng, ít nhất một trong hai hình chữ nhật
chứa đỉnh A hoặc đỉnh C có diện tích không vượt quá
1
4
diện tích hình chữ nhật ABCD.
9. a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 có tất cả các tính chất sau: một nửa của nó là bình
phương của một số nguyên, một phần ba của nó là lập phương của một số nguyên, một
phần năm của nó lại là lũy thừa bậc năm của một số nguyên.
b) Cho phương trình a
2

|x
2
− 2| + |a
2
x
2
− 1| + 2a
2
= 1 (1). Tìm các giá trị của tham số
a để phương trình (1) có đúng hai nghiệm trên tập hợp các số nguyên.
10. Hãy chỉ ra một cách sắp xếp mười hai số tự nhiên từ 1 đến 12 trên một vòng tròn sao
cho bất cứ ba số a, b, c nào đứng liền nhau theo thứ tự đó (theo chiều kìm đồng hồ hay
chiều ngược lại đều được) cũng thỏa mãn điều kiện: số b
2
−ac luôn chia hết cho 13. Hãy
giải thích vì sao lại sắp xếp như vậy, nếu có thể.
1.2. NĂM HỌC: 1992 - 1993 5
1.2 Năm học: 1992 - 1993
Ngày thi thứ nhất
1. Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau vô nghiệm:

x + ay = 1
ax − 3ay = 2a + 3
2. Cho hàm số y = f(x) =

x + 2
√
x − 1 +

x − 2

√
x − 1
a) Giải phương trình f(x) = 2.
b) Tìm giá trị bé nhất của hàm số y = f(x).
3. Tìm các giá trị của m để phương trình: x + |x
2
− 2x + m| = 0 có nghiệm và tính các
nghiệm ấy theo m.
4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy một điểm C cố định
nằm ngoài đoạn AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF tới đường tròn đã cho, với E
và F là hai tiếp điểm. Gọi I là giao điểm của AB và EF . Qua C kẻ cát tuyến tùy ý cắt
đường tròn tại M và N . Chứng minh rằng

AIM =

BIN.
5. Cho hệ phương trình:




















x
1
x
2
x
3
x
1992
= 1
x
1
− x
2
x
3
x
1992
= 1
x
1
x
2
− x
3

x
4
x
1992
= 1

x
1
x
2
x
1990
− x
1991
x
1992
= 1
x
1
x
2
x
1991
− x
1992
= 1
Hỏi x
1990
có thể nhận những giá trị nào?
6. Biết rằng n số thực a

1
, a
2
, , a
n
(n ≥ 2) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
a) 0 < a
i
< 1, ∀i = 1, 2, 3, , n.
b) Với mỗi cách phân tích tùy ý số 1993 thành tổng của n số tự nhiên khác 0: 1993 =
k
1
+ k
2
+ + k
n
(với k
i
∈ N) đều tồn tại một chữ số i ∈ {1, 2, , n} sao cho k
i
a
i
∈ Z.
Chứng minh rằng, a
1
+ a
2
+ + a
n
∈ Z.

Ngày thi thứ hai
7. a) Chứng minh rằng nếu hai số x và y cùng dấu (xy ≥ 0) thì ta luôn có



x + y
2
+
√
xy



+



x + y
2
−
√
xy



= |x| + |y|.
6 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
10

+ x
5
+ 1
8. Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng dAB. M là một điểm không nằm trên đường thẳng
AB, nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là AB, nửa mặt phẳng đó không chứa đường thẳng
(d). Gọi C và D là giao điểm của các tia MA và MB với đường thẳng (d). Tìm tập hợp
những điểm M trong mỗi mặt phẳng nói trên sao cho diện tích tam giác MCD là nhỏ
nhất.
9. Cho đa thức f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
a) Chứng minh rằng nếu f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên thì bốn số 6a, 2b, a +
b + c, d đều nguyên.
b) Đảo lại, nếu cả bốn số 6a, 2b, a + b + c, d đều nguyên thì liệu f(x) có nhận giá trị
nguyên với bất cứ giá trị nguyên nào của x hay không? Vì sao?
10. Cho 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: 1, 3, 5, , 199. Tìm số tự nhiên k bé nhất sao cho khi
chọn k số tùy ý trong 100 số đã cho thì bao giờ cũng chọn được hai số trong k số đã chọn
mà một trong hai số đó là bội của số kia.
11. Mỗi điểm trên mặt phẳng đều được tô bởi một trong ba màu: xanh, đỏ, vàng. Chứng
minh rằng bao giờ cũng tìm được hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng
một độ dài cho trước tùy ý.
Compiled by Hà Duy Hưng
2
High School for Gifted Students
Hanoi University of Education
Hanoi, Vietnam.
1.3 Năm học: 1993 - 1994
Ngày thi thứ nhất

1. Cho đa thức
P (x, y) = 4xy(x
2
+ y
2
) − 6(x
3
+ y
3
+ x
2
y + xy
2
) + 9(x
2
+ y
2
)
a) Hãy phân tích P (x, y) thành nhân tử.
b) Tìm trên mặt phẳng tọa độ tập hợp những điểm mà tọa độ (x, y) của chúng thỏa mãn
điều kiện P (x, y) = 0.
1.3. NĂM HỌC: 1993 - 1994 7
2. Cho hình thang ABCD, biết AB CD và AB = a, CD = b. Đường thẳng qua giao điểm
của hai đường chéo và song song với AB cắt các cạnh bên AD và BC ở E và F . Tính độ
dài đoạn EF theo a, b và chứng minh EF ≤
√
ab.
3. Chứng minh rằng với a > 0, hệ bất phương trình sau vô nghiệm








4x
2
< y
2
− 1
2y
2
< 2x
2
+ a
a − xy
√
2 <
1
2
4. Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và c = 0. Biết rằng hai phương trình sau có đúng
một nghiệm chung:
x
2
+ ax + bc = 0 (1)
x
2
+ bx + ca = 0 (2)
Chứng minh rằng các nghiệm các nghiệm còn lại của hai phương trình đó đều là nghiệm
của phương trình

x
2
+ cx + ab = 0 (3)
5. Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đường tròn đó.
Đặt OK = a (0 < a < R). Hai dây cung AC và B D của đường tròn đã cho vuông góc
với nhau tại K.
a) Chứng minh rằng, bốn trung điểm của bốn cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giá c ABCD
và bốn hình chiếu của K trên bốn cạnh đó cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng, đường tròn đi qua tám điểm nói trên vẫn cố định khi các dây cung
AC và BD quay quanh điểm K (mà vẫn vuông góc với nhau). Xác định tâm và bán kính
của đường tròn đó.
c) Với mỗi vị trí của các dây cung AC và BD, vẽ hình chữ nhật KALB. Tìm tập hợp
các đỉnh L của hình chữ nhật này khi AC và BD quay quanh K.
Ngày thi thứ hai
6. Giải hệ phương trình







x +
x + 3y
x
2
+ y
2
= 3 (1)
y −

y −3x
x
2
+ y
2
= 0 (2)
7. Cho 40 số nguyên dương a
1
, a
2
, , a
19
và b
1
, b
2
, , b
21
thỏa mãn các điều kiện sau:

1 ≤ a
1
< a
2
< < a
19
≤ 200
1 ≤ b
1
< b

2
< < b
21
≤ 200
8 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
Chứng minh rằng, tồn tại 4 số a
i
, a
j
, b
k
, b
p
sao cho





a
i
< a
j
b
k
< b
p
a
j
− a

i
= b
p
− b
k
8. Cho 5 số nguyên phân biệt tùy ý a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
. Đặt
P = (a
1
−a
2
)(a
1
−a
3
)(a
1
−a
4
)(a
1

−a
5
)(a
2
−a
3
)(a
2
−a
4
)(a
2
−a
5
)(a
3
−a
4
)(a
3
−a
5
)(a
4
−a
5
)
Chứng minh rằngP luôn chia hết cho 288.
9. Trên mặt phẳng tọa độ, một điểm A(x, y) được gọi là điểm nguyên nếu x, y ∈ Z.
Giả sử A

1
A
2
A
3
A
n
là các đỉnh của một n - giác lồi có tất cả các đỉnh là các điểm nguyên.
Biết rằng, miền đa giác đó (bao bồm tất cả các điểm thuộc miền trong và thuộc biên)
không chứa bất cứ một điểm nguyên nào ngoài chính các đỉnh A
1
, A
2
, , A
n
. Chứng minh
rằng, n ≤ 4.
10. Cho tia Ax và một điểm E khác A, E ∈ Ax. Từ E, vẽ tia Ey. Hai điểm C và D phân
biệt, khác điểm E, cho trước trên tia Ey. Một điểm B chạy trên tia Ex . Các đường thẳng
AC và BD cắt nhau ở M, AD và BC cắt nhau ở N.
a) Chứng minh rằng, đường thẳng MN luôn cắt tia Ey tại một điểm F cố định.
b) Hãy xác định một vị trí của điểm B trên tia Ex sao cho các tam giác MCD và NCD
có diện tích bằng nhau.
Compiled by Hà Duy Hưng
3
High School for Gifted Students
Hanoi University of Education
Hanoi, Vietnam.
1.4 Năm học: 1997 - 1998
Ngày thi thứ nhất

1. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta có 5
n
(5
n
+ 1) −6
n
(3
n
+ 2
n
) chia hết cho
91
1.4. NĂM HỌC: 1997 - 1998 9
2. Cho x, y là hai số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức sau:
A =
x
x
4
+ y
2
+
y
x
2
+ y
4
3. Giải phương trình
√
x + 1 + 2(x + 1) = x − 1 +

√
1 − x + 3
√
1 − x
2
4. Xét một hình vuông và một hình tam giác. Nếu hai hình có diện tích bằng nhau thì hình
nào có chu vi lớn hơn? Vì sao?
5. Cho tam giác ABC có góc A = 45
0
; BC = a; O là tâm đường tròn ngoại tiếp; B

, C

là
chân các đường cao hạ từ B, C xuống các cạnh AC và AB tương ứng. Gọi O

là điểm đối
xứng của điểm O qua đường thẳng B

C

.
a) Chứng minh rằng A, B

, O

, C

cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tính B


C

theo a.
Ngày thi thứ hai
6. Với giá trị nào của tham số a, phương trình sau có nghiệm duy nhất
|2x − a| + 1 = |x + 3|
7. Giải hệ phương trình sau









x + y = 3
xz + yt = 4
xz
2
+ yt
2
= 6
xz
3
+ yt
3
= 10
8. Tìm các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn phương trình:

5
2
p
+ 1997 = 5
2q
2
+ q
2
9. Trong tất cả tứ giác lồi với hai đường chéo có độ dài đã cho và góc g iữa hai đường chéo
có độ lớn đã cho, xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.
10. Hãy xét xem khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
¨Với mọi m, n nguyên dương đều có:



m
n
−
√
2



≥
1
n
2
(
√
3 +

√
2)
¨
10 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
1.5 Năm học: 1998 - 1999
Ngày thi thứ nhất
1. 1) Cho a, b là hai số khác 0 và thỏa mãn điều kiện a + b = 0. Chứng minh rằng:
a)

1
a
2
+
1
b
2
+
1
(a + b)
2
=



1
a
+
1
b
−

1
a + b



.
b)

a
2
+ b
2
+
a
2
b
2
(a + b)
2
=



a + b −
ab
a + b



.

2) Sử dụng kết quả trên, tính giá trị biểu thức sau: x =

1 + 99 ···9
2

 
n số 9
+ 0, 99···9
2

 
n số 9
2. Chứng minh rằng: x +
4x
3
(x − 1)(x + 1)
3
> 3, ∀x > 1.
3. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá (4 +
√
15)
7
.
4. Giải hệ phương trình:





x

2
+ 4yz + 2z = 0
x + 2xy + 2z
2
= 0
2zx + y
2
+ y + 1 = 0
5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng BD và các tiếp tuyến với (O)
tại A, C đồng quy tại S. Kí hiệu I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) AB.CD = AD.BC.
b)
SB
SD
=
IB
ID
=
AB.CB
AD.CD
.
Ngày thi thứ hai
6. Cho 0 < x, y, z, t < 1 và thỏa mãn: xyzt = (1 −x)(1 −y)(1 −z)(1 −t). Chứng minh rằng:
x(1 − t) + t(1 − z) + z(1 − y) + y(1 − x) ≥ 1.
7. Tìm cá c số nguyên dương n sao cho số S
n
= 1.2.3 7 + n(n + 1)(n + 2) (n + 7) có thể
viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai số nguyên dương.
8. Giải bất phương trình:
√

x
4
+ x
2
+ 1 +

x(x
2
− x + 1) ≤

(x
2
+ 1)
3
x
1.6. NĂM HỌC: 1999 - 2000 11
9. Cho tam giác ABC cân ở B, cạnh bên AB lớn hơn cạnh đáy AC và biết diện tích tam
giác ABC bằng 1. Chứng minh rằng ta có thể đặt tam giác ABC lọt vào một miền tam
giác vuông có diện tích không vượt quá
√
3.
10. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M nằm trong hình chữ nhật.
1) Chứng minh: MA + MB + MC + M D ≤ AB + AC + AD
2) Tìm tất cả vị trí có thể có của điểm M sao cho MA.MC ≤ MB.MD.
Compiled by Hà Duy Hưng
5
High School for Gifted Students
Hanoi University of Education
Hanoi, Vietnam.
1.6 Năm học: 1999 - 2000

Ngày thi thứ nhất
1. (a) Tính giá trị biểu thức sau:
A =

1 +
1999
1

1 +
1999
2



1 +
1999
1000


1 +
1000
1

1 +
1000
2



1 +

1000
1999

(b) Cho a là số tự nhiên được viết bằng 222 chữ số 9. Hãy tính tổng các chữ số c ủa số
n = a
2
+ 1.
2. (a) Giải phương trình

x(x + 1) +

x(x + 2) =

x(x − 3).
(b) Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất
x
2
− (3a − 2)x + 2a
2
− 5a − 3
x
2
+ 5x − 14
= 0
3. Cho x, y, z > 0. Chứng minh:
2x
x
6
+ y
4

+
2y
y
6
+ z
4
+
2z
z
6
+ x
4
≤
1
x
4
+
1
y
4
+
1
z
4
4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(−3, 0) và B(−1, 0). Xét hai điểm M và N
thay đổi trên trục tung sao cho AM và BN luôn vuông góc với nhau.
12 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
(a) Chứng minh rằng, AN và BM vuông góc với nhau và tích OM.ON không đổi khi
M, N biến thiên. Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua hai điểm cố
định. Tìm tọa độ hai điểm cố định này.

(b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . Xác định vị trí của M, N
sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.
Ngày thi thứ hai
5. (a) Giải và biện luận theo a phương trình:
(x
2
− 5x + 6)
√
x
2
− 5ax + 6a
2
= 0
(b) Với giá trị nào của a hệ phương trình









x + y +
1
x
+
1
y
= 4

x
2
+ y
2
+
1
x
2
+
1
y
2
=
√
2 − a
2
+

2 −
1
a
2
+
a
2
+ 1
a
có ít nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0. Với các giá trị của a vừa
tìm được, hãy tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đã cho.
6. (a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên không âm của hệ phương trình hai ẩn sau:


2
x
= 2y
2
y
= 2x
(b) Cho P (x) là một đa thức bậc 3 với hệ số của x
3
là một số nguyên. Biết rằng
P (1999) = 2000 và P (200) = 2001. Chứng minh rằng, P (2001) − P(1998) là một
hợp số.
7. Cho x
1
, x
2
, x
3
, x
4
là 4 số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 1. Hãy
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T =
x
4
1
+ x
4
2
+ x
4
3
+ x
4
4
x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
+ x
3
4
8. Cho tam giác ABC có các cạnh không bằng nhau. Gọ i G là trọng tâm của tam giác;
A
1
, B
1

, C
1
theo thứ tự là các điểm đối xứng của A, B, C qua G. Biết AB = 2BC và diện
tích tam giác A
1
B
1
C
1
bằng 72. Tính diện tích miền lục giác chung của hai tam giác ABC
và A
1
B
1
C
1
.
1.7. NĂM HỌC 2000 - 2001 13
1.7 Năm học 2000 - 2001
Ngày thi thứ nhất
1. Giải phương trình
x
3
+
x
3
(x − 1)
3
+
3x

2
x − 1
− 2 = 0
2. Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn:

x + y + z = 0
−1 ≤ x, y, z ≤ 1
Chứng minh rằng, x
2
+ y
4
+ z
6
≤ 2. Đẳng thức có thể xảy ra được không?
3. Tìm tất cả các số nguyên tố P có dạng: P = n
n
+ 1, trong đó n là một số nguyên dương,
biết rằng P có không nhiều hơn 19 chữ số.
4. Giả sử P là một điểm bất kì nằm trong mặt phẳng của một tam giác đều ABC cho trước.
Trên các đường thẳng BC, CA và AB lần lượt lấy các điểm A

, B

và C

sao cho P A

, PB

và PC


theo thứ tự song song với AB, BC và CA.
(a) Tìm mối liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác A

B

C

với các khoảng cách từ
P đến các đỉnh của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng có một điểm P duy nhất
sao cho tam giác A

B

C

là tam giác đều.
(b) Chứng minh rằng với mọi điểm P nằm trong tam giác ABC, ta có

BP C −

B

A

C

=

CP A −


C

B

A

=

AP B −

A

C

B

(= ϕ) và giá trị chung ϕ các các hiệu này không
phụ thuộc vào vị trí của điểm P .
(c) Tìm quỹ tích các điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho tam giác A

B

C

vuông
ở A

. Hãy chỉ rõ cách dựng quỹ tích này.
Ngày thi thứ hai

5. Chứng minh rằng:

2 +

3

4
√
2000 < 3.
6. Giải hệ phương trình sau





x
3
(y
2
+ 3y + 3) = 3y
2
y
3
(z
2
+ 3z + 3) = 3z
2
z
3
(x

2
+ 3x + 3) = 3x
2
7. Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện sau: tích của hai số bất
kì trong ba số ấy cộng với 1, chia hết cho số thứ ba.
14 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
8. (a) (Dành riêng cho học sinh thi Chuyên Toán) Tam giác XY Z có các đỉnh
X, Y, Z lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của một tam giác ABC gọi là nội
tiếp tam giác ABC.
i. Gọi Y

và Z

là hình chiếu vuông góc của Y và Z trên cạnh BC, chứng minh
rằng nếu tam giác XY Z đồng dạng với tam giác ABC thì Y

Z

=
1
2
BC.
ii. Trong số những tam giác XY Z nội tiếp tam giác ABC theo nghĩa trên và đồng
dạng với tam giác ABC, hãy xác định tam giác có diện tích nhỏ nhất.
(b) (Dành riêng cho học sinh Chuyên Tin.)
Compiled by Hà Duy Hưng
6
High School for Gifted Students
Hanoi University of Education
Hanoi, Vietnam.

1.8 Năm học 2001 - 2002
Ngày thi thứ nhất
1. Xét đa thức
P (x) = (1 − x + x
2
− x
3
+ + x
1998
− x
1999
+ x
2000
)(1 + x + x
2
+ + x
1999
+ x
2000
)
Khai triển và ước lượng các số hạng đồng dạng có thể viết
P (x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a

4000
x
4000
Tính a
2001
?
2. Giải phương trình
√
3x
2
− 7x + 3 −
√
x
2
− 2 =
√
3x
2
− 5x − 1 −
√
x
2
− 3x + 4
3. Tìm ba chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm của số A = 26
6
2001
.
4. Cho a, b là hai số dương . Biết rằng phương trình
x
3

− x
2
+ 3ax − b = 0
có ba nghiệm (không nhất thiết phân biệt). Chứng minh rằng
a
3
b
3
+ 27b ≥ 28.
1.8. NĂM HỌC 2001 - 2002 15
5. Gọi A

, B

, C

lần lượt là trung điểm của các cung BC, CA, AB không chứa các đỉnh
A, B, C của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Các cạnh BC, CA, AB cắt các cặp
đoạn thẳng C

A

, A

B

; A

B


, B

C

và B

C

, C

A

lần lượt ở các cặp điểm M, N; P, Q và
R, S. Chứng minh rằng:
(a) Trực tâm H

của tam giác A

B

C

trùng với tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác
ABC.
(b) Các đường chéo MQ, NR và PS của lục giác MNP QRS đồng quy tại I.
(c) Ba đoạn thẳng MN , P Q, RS có độ dài bằng nhau khi và chỉ khi tam giác ABC là
một tam giác đều.
Ngày thi thứ hai
6. Với mỗi số k nguyên dương, đặt
S

k
= (
√
2 + 1)
k
+ (
√
2 − 1)
k
Chứng minh rằng, S
m+n
+ S
m−n
= S
m
.S
n
với mọi m, n nguyên dương và thỏa mãn điều
kiện m > n.
7. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng, tổng T
n
= 1
5
+ 2
5
+ + n
5
chia hết
cho tổng của n số tự nhiên đầu tiên A
n

= 1 + 2 + 3 + + n.
8. Tìm tất cả các số nguyên dương p > 1 sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x
3
+ px
2
+

p − 1 +
1
p − 1

x + 1 = 0
9. Giải hệ phương trình





x
3
+ y
3
+ x
2
(y + z) = xyz + 14
y
3
+ z
3

+ y
2
(z + x) = xyz − 21
z
3
+ x
3
+ z
2
(x + y) = xyz + 7
10. Cho tam giác ABC cân ở A. Kí hiệu x, y, z lần lượt là khoảng MA

, MB

, MC

từ một
điểm M nằm trong mặt phẳng của tam giác đến các đường thẳng BC, CA, AB. Tìm quỹ
tích những điểm M nằm trong góc

BAC sao cho x
2
= yz.
16 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
1.9 Năm học 2002 - 2003
Ngày thi thứ nhất
1. Chứng minh đẳng thức
1 +
√
3

2
1 +

1 +
√
3
2
+
1 −
√
3
2
1 −

1 −
√
3
2
= 1
2. Giải phương trình:
x
3
− x
2
− x =
1
3
3. Giải hệ phương trình sau:






x + y =
√
4z −1
y + z =
√
4x − 1
z + x =
√
4y −1
4. Tìm tất cả các số có 5 chữ số abcde sao cho:
3

abcde = ab
5. Đường tròn (O) nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo
thứ tự tại D, E, F. Đường thẳng vuông góc với OC ở O cắt hai cạnh CA, CB lần lượt
tại I, J. Một điểm P chuyển động trên cung nhỏ DE không chứa điểm F, tiếp tuyến tại
P của (O) cắt hai cạnh CA, CB ở M, N. Chứng minh rằng:
(a) Góc

MON = ϕ (không đổi), hãy xác định ϕ theo các góc của tam giác ABC.
(b) Ba tam giác IM O, OMN, JON đồng dạng với nhau. Từ đó suy ra:
IM.JN = OI
2
= OJ
2
(∗)
(c) Đảo lại, nếu M và N là hai điểm theo thứ tự lấy trên hai đoạn thẳng CE và CD

thỏa mãn (∗) thì MN tiếp xúc với đường tròn (O).
Ngày thi thứ hai
6. Chứng minh rằng, số x
0
=

2 +

2 +
√
3−

6 − 3

2 +
√
3 là một nghiệm của phương
trình:
x
4
− 16x
2
+ 32 = 0
1.10. NĂM HỌC 2003 - 2004 17
7. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn:x + y ≥ 6. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
P = 3x + 2y +
6
x
+
8

y
8. Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng, có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân
của số p
n
có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng, trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số
giống nhau.
9. Cho tam giác ABC và M, N là trung điểm của các cạnh CA, CB.
(a) Lấy I bất kì trên đường thẳng MN (I = M, I = N). Chứng minh rằng, trong ba
tam giác IBC, ICA, IAB có một tam giác mà diện tích bằng tổng các diện tích của
hai tam giác còn lại.
(b) Trường hợp I là giao điểm của tia NM với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh:
BC
IA
=
CA
IB
+
AB
IC
10. Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a
1
, a
2
, , a
n+2
thỏa mãn điều kiện:
1 ≤ a
1
< a

2
< < a
n+2
≤ 3n
Chứng minh rằng, luôn tồn tại hai số a
i
, a
j
(1 ≤ j < i ≤ n + 2) sao cho:
n < a
i
− a
j
< 2n
Compiled by Hà Duy Hưng
8
High School for Gifted Students
Hanoi University of Education
Hanoi, Vietnam.
1.10 Năm học 2003 - 2004
Ngày thi thứ nhất
1. (1điểm) Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x:
A =
√
x +
3

2 −
√
3.

6

7 + 4
√
3 − x
4

9 − 4
√
5.

2 +
√
5 +
√
x
18 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
2. (2 điểm) Với mỗi số nguyên dương n, đặt P
n
= 1.2.3 n. Chứng minh rằng:
(a) 1 + 1.P
1
+ 2.P
2
+ 3.P
3
+ + n.P
n
= P
n+1

(b)
1
P
2
+
2
P
3
+
3
P
4
+ +
n − 1
P
n
< 1
3. (2 điểm) Tìm các số nguyên dương n sao cho hai số x = 2n + 2003, y = 3n + 2005 đều
là những số chính phương.
4. (2 điểm) Xét phương trình ẩn x:
(2x
2
− 4x + a + 5)(x
2
− 2x + a)(|x − 1| − a − 1) = 0
(a) Giải phương trình với a = −1
(b) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình đã cho có đúng ba nghiệm
phân biệt.
5. (3 điểm) Qua một điểm M tùy ý đã cho trên đáy lớn AB của hình thang ABCD ta kẻ
các đường thẳng song song với hai đường chéo AC và BD. Các đường thẳng song song

này cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F . Đoạn EF cắt AC và BD tại I và J
tương ứng.
(a) Chứng minh rằng nếu H là trung điểm của đoạn IJ thì H cũng là trung điểm của
đoạn EF .
(b) Trong trường hợp AB = 2CD, hãy chỉ ra vị trí của một điểm M trên AB sao cho
EJ = IJ = IF .
Ngày thi thứ hai
6. (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau:
P =
(2003
2
.2013 + 31.2004 − 1)(2003.2008 + 4)
2004.2005.2006.2007.2008
7. (2 điểm) Cho ba số x
1
, x
2
, x
3
khác 0, thỏa mãn điều kiện:





x
1
+ x
2
+ x

3
= a
x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
= 0
x
1
x
2
x
3
= b
Chứng minh rằng ab < 0.
8. (2 điểm) Giải phương trình:
(ax
2
+ bx + c)(cx
2
+ bx + a) = 0
trong đó a, b, c là những số nguyên đã cho (a, c = 0), biết rằng x = (

√
2 + 1)
2
là một
nghiệm của phương trình này.
1.11. NĂM HỌC 2004-2005 19
9. (2 điểm) Cho a, b, c là ba số dương khác nhau đôi một. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức sau:
P =
(a − x)(a − y)
a(a − b)(a − c)
+
(b − x)(b − y)
b(b − c)(b − a)
+
(c − x)(c − y)
c(c − a)(c − b)
trong đó x, y là hai số dương thay đổi luôn có tổng bằng 1.
10. (2 điểm) Cho A là một điểm cố định trên đường tròn (C) tâm O, bán kính 1. Giả sử M
là đỉnh góc vuông của một tam giác vuông ABM với cạnh huyền AB là một dây cung
của đường tròn (C).
(a) Chứng minh rằng OM ≤
√
2.
(b) Hãy nói rõ cách dựng các đỉnh góc vuông của các tam giác vuông ABM có cạnh
huyền AB là một dây của đường tròn (C) và OM =
√
2.
1.11 Năm học 2004-2005
Ngày thi thứ nhất

Câu 1. Giải hệ phương trình

x
2
− xy + y
2
= 19
x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
= 931
Câu 2. Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm
(x + 2)
√
x + 1 = 2x + 1
Câu 3. Chứng minh rằng

3

3 + 2
√
2 +
3

3 − 2

√
2

8
> 3
6
Câu 4. Một số tự nhiên n gọi là có tính chất T nếu tồn tại hai số tự nhiên p và q thỏa mãn
0 < p < q < n và tổng p + (p + 1) + (p + 2) + + q chia hết cho n.
(a) Chứng minh rằng, số n = 18
5
2004
có tính chất T .
(b) Hỏi số n = 16
5
2004
có tính chất T hay không?
Câu 5. Cho tam giác ABC có

ABC = 40
0
và điểm P trong tam giác sao cho

P AC =
10
0
,

P CA = 20
0
,


P AB = 30
0
. Giả sử Q là điểm đối xứng của P qua đường trung trực của đoạn
AB.
(a) Tam giác CP Q là tam giác gì?
(b) Tính góc

CP B.
20 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
Ngày thi thứ hai
Câu 6. Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
P =
1
√
x
+
1
√
y
+
1
√
z
Câu 7. Tìm tất cả các bộ ba số dương (x, y, z) thỏa mãn hệ phương trình






2x
2004
= y
6
+ z
6
2y
2004
= z
6
+ x
6
2z
2004
= x
6
+ y
6
Câu 8. Giải phương trình
2(x −
√
2)(x −
√
3)
(1 −
√
2)(1 −
√
3)

+
3(x − 1)(x −
√
3)
(
√
2 − 1)(
√
2 −
√
3)
+
4(x − 1)(x −
√
2)
(
√
3 − 1)(
√
3 −
√
2)
= 3x − 1
Câu 9. Mỗi bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn phương trình
x
2
+ y
2
+ z
2

= 3xyz
được gọi là một nghiệm của nguyên dương của phương trình này.
(a) Hãy chỉ ra bốn nghiệm nguyên dương khác nhau của phương trình đã cho.
(b) Chứng minh rằng, phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương.
Câu 10. Cho tam giá c đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng (∆) thay đổi
nhưng luôn đi qua A, cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng tại M và
N. Giả sử (∆) cắt lại đường tròn (O) tại E (E = A); MC cắt BN tại F . Chứng minh rằng:
(a) Tam giác ACN đồng dạng với tam giác M BA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác
BCN .
(b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp.
(c) Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi (∆) thay đổi nhưng luôn đi qua A.
1.12. NĂM HỌC 2005-2006 21
1.12 Năm học 2005-2006
Ngày thi thứ nhất
1. Cho x, y là các số thay đổi thoả mãn điều kiện x > 0 > y và x + y = 1.
(a) Rút gọn biểu thức
A =
y −x
xy
:

y
2
(x − y)
2
−
2x
2
y
(x

2
− y
2
)
2
+
x
2
y
2
− x
2

(b) Chứng minh rằng A < 4.
2. Cho phương trình 4x
2
− 4(m + 5)x + 2m
2
+ 4m + 34 = 0, trong đó m là tham số thực.
(a) Giải phương trình khi m = 1.
(b) Hãy xác định tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
3. Giải hệ phương trình sau





x + y + z = 6
xy + yz − zx = 7
x

2
+ y
2
+ z
2
= 14
4. Cho tam giác ∆ABC cân ở B có ∠ABC = 40
0
. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng
AC, còn K là chân đường vuông góc của O hạ xuông cạnh AB. Kí hiệu ω là đường tròn
tâm O có bán kính là OK.
(a) Chứng minh rằng ω tiếp xúc với đường thẳng BC.
(b) Giả sử rằng E là một điểm thay đổi trên cạnh AB sao cho ∠AOE = α với (20
0
<
α < 90
0
), và F là điểm trên cạnh BC sao cho EF tiếp xúc với đường tròn ω. Khi đó
i. Hãy tính theo α các góc của tứ giác AEF C.
ii. Chứng minh rằng tam giác ∆AEO đồng dạng với tam giác ∆COF .
iii. Tìm α để AE + CF là bé nhất.
5. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn
4x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
− 4xy − 4xz + 2yz − 6y −10z + 34 = 0
Hãy tính giá trị của biểu thức S = (x − 4)

2005
+ (y − 4)
2005
+ (z − 4)
2005
.
Ngày thi thứ hai
6. Cho
P (x) =

x −
3
2

3
+

x +
1
2

3
+(x + 1)
3
+ (x + 2)
3
thực hiện các phép tính có thể viết P (x) dưới dạng P (x) = ax
3
+ bx
2

+ cx + d. Hãy xác
định tổng a + b + c + d.
22 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
7. Cho bốn số dương a, b, c, d. Đặt
x = 2a + b − 2
√
cd , y = 2b + c − 2
√
da
z = 2c + d − 2
√
ab , t = 2d + a − 2
√
bc
Chứng minh rằng trong bốn số x, y, z, t có ít nhất hai số dương.
8. Hãy xác định tất cả các số nguyên dương n sao cho T = 2
n
+ 3
n
+ 4
n
là một số chính
phương.
9. Cho tam giác đều ∆ABC và E là một điểm thuộc cạnh AC khác với điểm A. Gọi K là
trung điểm của đoạn thẳng AE. Đường thẳng EF đi qua điểm E và vuông góc với đường
thẳng AB (F ∈ AB) cắt đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng BC
ở điểm D.
(a) Chứng minh rằng BCKF là một hình thang c ân.
(b) Chứng minh rằng KE · EC = ED ·EF .
(c) Hãy xác định vị trí của điểm E sao cho đoạn KD có độ dà i bé nhất.

10. Trên mặt bàn có 2005 đồng xu kích thước bằng nhau, mỗi đồng xu có hai mặt: một mặt
mầu xanh và một mặt mầu đỏ. Giả sử rằng ban đầu tất cả các đồng xu đều ngửa mặt
xanh lên trên. Người ta thực hiện một trò chơi sau đây: mỗi lượt chơi phải đổi mặt bốn
đồng xu nào đó trên mặt bàn. Hỏi sau 2006 lượt chơi có thể nhận được tất cả 2005 đồng
xu ngửa mặt đỏ lên trên hay không ?
Chương 2
Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội
Amsterdam
2.1 Năm học 1989-1990
Ngày thi thứ nhất
Thời gian làm bài : 150 phút
1. Hãy rút gọn biểu thức sau đây :
A =



|x − y|
|xy|



+



x + y
xy
−
2
z




+
|x − y|
|xy|
+
y + x
xy
+
2
z
trong đó x > 5 và
y =
x
2
− 25
x +
10x + 25
x
& z =
x
2
− 25
x +
15x + 25
x − 5
2. (a) Chứng minh rằng bao giờ cũng tồn tại một tam giác mà các cạnh có độ dài bằng độ
dài các đường trung tuyến của một tam giác cho trước.
(b) Cho tam giác ∆ABC cân tại A

i. Biết rằng AH ≥ 2BC, với AH là đường cao của tam giác ∆ABC. Chứng minh
rằng không có một tam giác nào mà có các cạnh là độ dài của các đường cao
của tam giác ∆ABC.
ii. Xét trường hợp AH ≤
1
2
BC rồi rút ra kết luận.
3. Chứng minh rằng số n = 8k + 7 trong đó k là một số tự nhiên, không thể biểu diễn được
dưới dạng tổng của ba số chính phương.
Ngày thi thứ hai
Thời gian làm bài : 150 phút
23
24 CHƯƠNG 2. TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VÀ HÀ NỘI AMSTERDAM
4. Cho tam giác ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác cân đồng dạng là
∆ABM và ∆ACN sao cho BA = BM và CA = CN .
(a) Chứng minh rằng hai điểm M và N luôn cách đều một điểm cố định cho dù góc
∠ABM lấy giá trị nào.
(b) Xét trường hợp tam giác cân ∆ABM ở phía ngoài và tam giác ∆ACN cân ở phía
trong đối với tam giác ∆ABC rồi rút ra kết luận.
5. Cho hình vuông kích thước 3 × 3 được chia thành chín ô vuông bằng nhau.
(a) Hãy tìm cách viết vào mỗi ô một số số trong đó các ô từ 1 đến 9 sao cho tổng của
các số trong ba ô theo hàng, theo cột và theo đường chéo của hình vuông đều bằng
nhau.
(b) Chứng minh rằng chỉ có một cách viết duy nhất (Hai cách được coi là giống nhau
nếu chúng đối xứng qua đường chéo của hình vuông).
6. Với mỗi số thực x ta kí hiệu [x] là phần nguyên của số x, nghĩa là số nguyên lớn nhất mà
không vượt quá x (Chẳng hạn, [4.5] = 4, [12.3] = 12, [5] = 5, [−11.3] = −12, . . .). Chứng
minh rằng
[2a] + [2b] ≥ [a] + [b] + [a + b]
với mọi a, b thực.

2.2 Năm học 1991-1992
Ngày thi thứ nhất
Thời gian làm bài : 150 phút
1. Trên một con đường giao thông đi qua ba tỉnh A, B và C (với B nằm giữa A và C) có
hai người chuyển động đều:
Người M xuất phát từ A đi bằng ô tô và N xuất phát từ B đi bằng xe đạp. Họ xuất
phát cùng một lúc và cùng đi về phía C. Đến C thì M quay trở lại A ngay và về đến B
đúng lúc N vừa đến C. Hãy xác định quãng đường AC: biết rằng quãng đường BC dài
gấp đôi quãng đường AB và khoảng cách giữu hai điểm mà họ gặp nhau trên đường đi
(một lần họ đi cùng chiều và một lần họ đi ngược chiều) là 8 km.
2.3. NĂM HỌC 1992-1993 25
2. Cho hai tự nhiên a và b thoả mãn ab = 1991
1992
. Hỏi rằng tổng của hai số a và b đó có
chia hết cho 1992 hay không ?
3. Cho góc nhọn ∠xAy với Az là tia phân giác của nó còn B là một điểm cố định khác A
nằm trên Az. Người ta kẻ một đường tròn tâm O đi qua hai điểm A, B cắt Ax và Ay
tương ứng ở các điểm M và N. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN, dựng hình
vuông ACID. Hãy xác định tập hợp điểm C, tập hợp điểm D khi đường tròn (O) thay
đổi luôn luôn đi qua điểm A và B.
Ngày thi thứ hai
Thời gian làm bài : 150 phút
4. Xét hai đa thức biến x với các hệ số a, b, c tuỳ ý là P (x) = ax
2
+ bx + c và Q(x) =
a(1 − x
2
) + c(1 − x) + b. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai đa thức này có nghiệm
số thực.
5. Cho tam giác ∆ABC vuông ở A. Một điểm D nằm trên cạnh huyền BC. Gọi E là điểm

đối xứng của D qua đường thẳng AB và G là giao điểm của AB với DE. Từ giao điểm
H của BA với CE hạ đoạn thẳng HI vuông góc với BC tại điểm I. Các tia CH và IG
cắt nhau tại điểm K. Chứng minh rằng tia KC là tia phân giác của góc ∠IKA.
6. Có m bạn nữ và n bạn nam cùng tham gia sinh hoạt hè tại mộ t phường. Biết rằ ng
(a) Mỗi bạn nữ đều quen ít nhất một bạn nam.
(b) Với bất kì hai bạn nữ P
1
, P
2
nào và với bất kì hai bạn nam tuỳ ý Q
1
, Q
2
nào nếu
như bạn nữ P
k
tương ứng quen bạn nam Q
k
với k = 1, 2 thì trong hai cặp (P
1
, Q
2
)
và (P
2
, Q
1
) có ít nhất một cặp gồm bởi hai bạn quen nhau.
Chứng minh rằng có ít nhất một bạn nam quen tất cả các bạn nữ. (Chú ý rằng nếu A
quen B thì dĩ nhiên B cũng quen A).

Compiled by Hà Duy Hưng
2
High School for Gifted Students
Hanoi University of Education
Hanoi, Vietnam.
2.3 Năm học 1992-1993
Ngày thi thứ nhất
Thời gian làm bài : 150 phút