Chuyên đề: PT, Lượng Giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (964.04 KB, 45 trang )
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 1 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Phương trình lượng giác
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 2 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 3 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản
A. Tóm tắt lý thuyết
Các phương trình cơ bản:
☞
sin x sin
x 2k
x 2k
(
k
).
☞
cosx cos
x 2k
(
k
).
☞
tanx tan
x k
(
k
).
Đặc biệt:
☞
sin x 0
x k
(
k
).
☞
sin x 1
2
x 2k
(
k
).
☞
sin x 1
2
x 2k
(
k
).
☞
cosx 0
2
x k
(
k
).
☞
cosx 1
x 2k
(
k
).
☞
cosx 1
x 2k
(
k
).
Ngồi các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng là cơ bản
☞
f x g x 2k
sin f x sin g x
f x g x 2k
(
k
).
☞
os o
f x g x 2k
c f x c g x
f x g
s
x 2k
(
k
).
☞
tan f x tan g x f x g x k
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 4 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
5x x
sin 3x sin cos 1
2 2
.
Giải
1
1
2
sin3x sin3x sin2x
sin 3x sin2x
3x 2x 2k
3x 2x 2k
2k
5 5
x 2k
x
(
k
).
Ví dụ 2. Giải phương trình
sin 3x 1 cos4x cos3xsin4x 1
.
Giải
1
cos3xsin4x sin 3xcos4x sin 3x
sin7x sin 3x
7x 3x 2k
7x 3x 2k
k
2
k
10 5
x
x
(
k
).
Ví dụ 3. Giải phương trình
sin4xsin7x cos3xcos6x 1
.
Giải
1
1 1
2 2
cos11x cos3x cos9x cos3x
cos11x cos9x
cos11x cos 9x
11x 9x 2k
11x 9x 2k
k
20 10
2
x
x k
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 5 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Ví dụ 4. Giải phương trình
1
2
8cos x
sin x 1
.
Giải
Đk:
cosx 0
2
x k
. Ta có
1
2
1
2
8cos x
sinx 0 2
sin x 3
.
3
2 2
8sin xcos x 1
(
cosx 0
)
2
2sin 2x 1
cos4x 0
2
4x k
k
8 4
x
.
thỏa mãn
thỏa mãn
thỏa mãn
thỏa mãn
không thỏa mãn
không thỏa mãn
8
3
8
5
8
7
8
9
8
11
8
13
8
x 2k ( sinx 0, 2 )
x 2k ( sinx 0, 2 )
x 2k ( sinx 0, 2 )
x 2k ( sinx 0, 2 )
x 2k ( sinx 0, 2 )
x 2k ( sinx 0, 2 )
x 2
không thỏa mãn
không thỏa mãn
15
8
k ( sinx 0, 2 )
x 2k ( sinx 0, 2 )
.
Vậy các họ nghiệm của
1
là
8
2k
,
3
8
2k
,
5
8
2k
,
7
8
2k
(
k
).
Chú ý: Họ nghiệm
2k
n
x
(
k
) thực ra là tập hợp
2k
n
k
. Ta có
2k 2 2
n n n
k 2k k 2k k n 1 2 k. k
nói cách khác
2k
n
x
2
n
2
n
x 2k
x 2k
x n 1 2k
(
k
).
Nhận xét: Ở ví dụ trên, việc kiểm tra điều kiện
cosx 0
được thực hiện ngay ở bước biến
đổi đầu tiên phương trình
3
.
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 6 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
C. Bài tập
Giải các phương trình sau
1)
sin 3xcos2x sin 2xcosx
.
Hướng dẫn
Sử dụng cơng thức biến tích thành tổng, phương trình đã cho tương đương với
sin5x sin3x
. Đáp số:
k
,
k
8 4
(
k
).
2)
2
x
cosx 4cos x 3 cos 0
2
.
Hướng dẫn
Biến đổi
2 3
cosx 4cos x 3 4cos x 3cosx cos3x
, phương trình đã cho tương đương với
x
2
cos3x cos
. Đáp số:
4k
5
,
4k
7
(
k
).
3)
sin 2x 1 tan2xtanx 1
.
Hướng dẫn
Đk:
cos2x 0
cosx 0
. Biến đổi
1
cos2x
1 tan2xtanx
, phương trình đã cho tương đương với
tan 2x 1
. Đáp số:
k
8 2
(
k
).
4)
sin 2x tan x 1 sin 2xtan2x
.
Giải
Đk:
cos2x 0
cosx 0
. Nhân hai vế phương trình với
cosxcos2x
ta được
2
cosxsin2xcos2x sinx cos2x sin 2x
sin 2x cos2xcosx sin2xsinx sinxcos2x
sin 2xcosx sinxcos2x
sin 2xcosx cos2xsin x 0
sin x 0
x k
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 7 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
5)
sin x sin2x cosx cos2x 0
.
Hướng dẫn
Sử dụng cơng thức
4
sina cosa 2 sin a
, phương trình đã cho tương đương với
4 4
sin 2x sin x
. Đáp số:
2k
,
2k
6 3
(
k
).
6)
2
x
2 3 cosx 2sin
2 4
1
2cosx 1
. ĐS: .
Hướng dẫn
Đk:
1
2
cosx
. Ta có
2
x
2 4 2
2sin 1 cos x 1 sinx
. Phương trình đã cho tương
đương với
2 3 cosx sin x 1 2cosx 1
tanx 3
. Đáp số:
4
2k
3
(
k
).
7)
2
2
cos2x 1
tan x 3tan x
2
cos x
.
Hướng dẫn
Ta có
tan x cotx
2
Đk:
sinx 0
cosx 0
. Lại có
2
2
cos2x 1
2sin x
cos x
. Do đó phương
trình đã cho tương đương với
3
tan x 1
tanx 1
.
Đáp số:
k
4
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 8 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 9 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
Kỹ thuật rút gọn biểu thức Asin+Bcos
A. Tóm tắt lý thuyết
Phương trình bậc nhất đối với
sin x
,
cosx
là phương trình có dạng:
Asinx Bcos x C 1
với
2 2
A B 0
.
Cách giải:
Chia hai vế của
1
cho
2 2
A B
, ta được phương trình tương đương
2 2 2 2 2 2
A B C
s oinx c
B B A B
sx
A A
.
Vì
2 2
2 2 2 2
A B
1
A B A B
nên tồn tại
0;2
để:
2 2
2 2
A
cos
A B
B
sin
A B
.
Do đó:
2 2
C
1 sinxcos cosxsin
A B
2 2
C
sin x 2
A B
.
Ta thấy
(2)
là phương trình có dạng
sin f x m
.
Chú ý: Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với
sin x
,
cosx
:
1
có nghiệm khi và chỉ khi
2 2 2
A B C 0
.
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 10 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD07] Giải phương trình
2
x x
sin cos 3 cosx 2 1
2 2
.
Giải
Ta có
2
2 2
x x x x x x
sin cos sin cos 2sin cos 1 sinx
2 2 2 2 2 2
. Do đó
1
sinx 3 cos x 1
3
1 1
2 2 2
sinx cosx
1
3 3 2
sinxcos cosxsin
1
3 2
sin x
3 6
5
3 6
x 2k
x 2k
6
2
x 2k
x 2k
(
k
).
Ví dụ 2. [ĐHD09] Giải phương trình
3 cos5x 2sin3xcos2x sinx 0 1
.
Giải
Ta có
2sin3xcos2x sin5x sinx
. Do đó
1
3 cos5x sin5x 2sinx
3
1
2 2
cos5x sin5x sinx
3 3
sin cos5x cos sin5x sinx
3
sin 5x sinx
3
3
5x x 2k
5x x 2k
k
18 3
k
6 2
x
x
(
k
).
Nhận xét: Phương trình ở ví dụ 2 khơng phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình
này liên quan đến việc rút gọn biểu thức
3 cos5x sin5x
.
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 11 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Ví dụ 3. [ĐHA09] Giải phương trình
1 2sin x cosx
3 1
1 2sinx 1 sinx
.
Giải
Đk:
1
2
sinx
sinx 1
4
5
4
2
x 2k
x 2k
x 2k
.
Ta có
2
1 2sinx 1 sinx sinx 1 2sin x sinx cos2x
. Do đó
1
cosx sin2x 3 sin x cos2x
sin2x 3 cos2x cosx 3sinx
3 3
1 1
2 2 2 2
sin2x cos2x cosx sinx
3 3 6 6
sin2xcos cos2xsin sin cosx cos sinx
3 6
sin 2x sin x
3 6
5
3 6
2x x 2k
2x x 2k
2k
18 3
2
x
x 2k
(
k
).
Kết hợp với điều kiện để
1
có nghĩa ta có tập nghiệm của
1
là
2k
18 3
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 12 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Ví dụ 4. Cho phương trình
2sinx cosx 1
a 1
sin x 2cosx 3
, (
a
là tham số).
1) Giải phương trình khi
1
a
3
.
2) Tìm
a
để
1
có nghiệm.
Giải
Xét phương trình
sin x 2cos x 3 0 2
. Ta có
2
2 2
1 2 3 4 0
2
vơ
nghiệm
sinx 2cosx 3 0 x
. Do đó
1
2sinx cosx 1 a sinx 2cosx 3
2 a sinx 2a 1 cosx 3a 1
.
1) Khi
1
a
3
phương trình
1
trở thành
5 5
3 3
sinx cosx 0
tanx 1
x k
4
(
k
).
2) Ta có
2 2 2
2 2
2 a 2a 1 3a 1 4a 6a 4 2 a 3a 2
.
Do đó
1
có nghiệm
2
2 a 3a 2 0
2
a 3a 2 0
1
a 2
2
.
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 13 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1)
2 2 sinx cosx cosx 3 cos2x
.
Hướng dẫn
Đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với
sin 2x
,
cos2x
, áp dụng điều kiện có
nghiệm của phương trình bậc nhất đối với
sin
,
cos
. Đáp số: Vơ nghiệm.
2)
sinx sin2x 3 cosx cos2x
.
Hướng dẫn
Phương trình đã cho tương đương với
3 3
sin x sin 2x
.
Đáp số:
2k
,
2 2k
9 3
(
k
).
3)
4 4
4 sin x cos x 3sin4x 2
.
Hướng dẫn
Đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với
sin4x
,
cos4x
.
Đáp số:
k
12 2
,
k
4 2
(
k
).
4)
3
4sin x 1 3sinx 3cos3x
.
Hướng dẫn
Đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với
sin 3x
,
cos3x
.
Đáp số:
2k
18 3
,
2k
2 3
(
k
).
5) [ĐHB09]
3
sinx cosxsin2x 3 cos3x 2 cos4x sin x
.
Hướng dẫn
Phương trình đã cho tương đương với
6
cos4x cos 3x
.
Đáp số:
2k
6
,
2k
42 7
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 14 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Bài 2. Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;
của phương trình
2 2
x 3
4sin 3cos2x 1 2cos x
2 4
.
Hướng dẫn
Phương trình đã cho tương đương với
3 2
sin 2x sin x
. Đáp số:
5
18
,
17
18
,
5
6
.
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 15 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Chủ đề 2. Đại số hóa phương trình lượng giác
Loại 1. Một số phép đại số hóa đơn giản
A. Nội dung phương pháp
Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép
đặt ẩn phụ đơn giản:
t sinx
,
x
t sin
2
,
t sin2x
,
t cosx
,
x
t cos
2
,
t cos 2x
,
t tanx
,
x
t tan
2
,
t tan2x
, … . Ta sẽ thấy rẳng việc phát hiện ẩn phụ tuy đơn giản
nhưng cũng giải quyết được một lượng lớn bài tốn giải phương trình lượng giác trong các
đề thi đại học.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD06] Giải phương trình
cos3x cos2x cosx 1 0 1
.
Giải
Ta có
1
3 2
4cos x 3cosx 2cos x 1 cosx 1 0
3 2
4cos x 2cos x 4cosx 2 0
3 2
2cos x cos x 2cosx 1 0 2
.
Đặt
t cosx
t 1;1 3
,
2
trở thành
3 2
2t t 2t 1 0
t 1 t 1 2t 1 0
thỏa mãn 3
thỏa mãn 3
1
2
t 1
t
.
* Thay
t 1
vào
3
ta có
cosx 1
sin x 0
x k
(
k
).
* Thay
1
2
t
vào
3
ta có
1
2
cosx
2
x k2
3
(
k
).
Vậy
1
có các họ nghiệm là
k
,
2
k2
3
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 16 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Ví dụ 2. [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn
0;14
của phương trình
cos3x 4cos2x 3cosx 4 0 1
.
Giải
Ta có
1
3 2
4cos x 3cosx 4 2cos x 1 3cosx 4 0
3 2
4cos x 8cos x 0
3 2
cos x 2cos x 0
2
cos x cosx 2 0
cosx 0
(do
cosx 2 1 0 x
)
x k
2
(
k
).
Ta có
k 0;14
2
k 0;1;2;3
.
Vậy các nghiệm thuộc đoạn
0;14
là
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
.
Ví dụ 3. Giải phương trình
1
2cos2x 8cosx 7 1
cosx
.
Giải
Đk:
cosx 0
2
x k
.
Ta có
1
cosx 2cos2x 8cosx 7 1
(
cosx 0
)
2
cosx 2 2cos x 1 8cosx 7 1
3 2
4cos x 8cos x 5cosx 1 0
2
cosx 1 2cosx 1 0
1
2
cosx 1
cosx
x 2k
x k2
3
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 17 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Ta thấy trong ba ví dụ trên việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản. Sau đây là các ví dụ mà ở
đó, ta phải thực hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ.
Ví dụ 4. [ĐHB06] Giải phương trình
x
cot x sinx 1 tanxtan 4 1
2
.
Giải
Đk:
x
2
sinx 0
cosx 0
cos 0
sinx 0
cosx 0
k
x
2
.
Ta có
x x x x
2 2 2 2
x x x
2 2 2
sinxsin cosxcos sinxsin cos
x 1
1 tanxtan 1
2 cosx
cosxcos cosxcos cosxcos
.
Do đó
1
cot x tanx 4
2
tan x 4tanx 1 0
(
sin x 0
,
cosx 0
)
tanx 2 3
tanx 2 3
x k
12
5
x k
12
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 18 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Ví dụ 5. [ĐHA10] Giải phương trình
1 sin x cos2x sin x
1
4
cosx 1
1 tanx
2
.
Giải
Đk:
cosx 0
sinx cosx 0
x k
2
2
x k
4
.
Ta thấy
sin x cosx
1 tanx
cosx
,
sinx cosx
sin x
4
2
. Do đó
1
1 sinx cos2x 1
sin x cos2x 0
2
sinx 1 2sin x 0
2
2sin x sinx 1 0
loại
thỏa mãn
sinx 1 cosx 0,
1
sinx 2
2
x 2k
6
7
x 2k
6
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 19 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1)
2
x
tanx cosx cos x sinx 1 tanx.tan
2
.
Hướng dẫn
Biến đổi
x 1
1 tanx.tan
2 cos x
, đặt
t cosx
phương trình đã cho trở thành
2
t t 0
. Chú
ý tới điều kiện
x
2
cosx 0
cos 0
. Đáp số:
2k
(
k
).
2) [ĐHA06]
6 6
2 sin x cos x sinxcosx
0
2 2sinx
.
Hướng dẫn
Đk:
2
2
sinx . Biến đổi
6 6 2
3
sin x cos x 1 sin 2x
4
, đặt
t sin2x
phương trình đã cho
trở thành
2
3t t 4 0
. Đáp số:
2k
4
(
k
).
3)
sin 2x cos2x
tanx-cot x
cosx sin x
.
Hướng dẫn
Đk:
sinx 0
cosx 0
. Biến đổi
sin 2x cos2x 1
cosx sin x sinx
, nhân hai vế của phương trình với
sin xcosx
, đặt
t cosx
phương trình đã cho trở thành
2
2t t 1 0
.
Đáp số:
2k
3
(
k
).
4)
3 tan x tanx 2sin x 6cos x 0
.
Hướng dẫn
Đk:
sinx 0
cosx 0
. Nhân hai về của phương trình với
2
cos x
, đặt
t cosx
phương trình đã cho
trở thành
3 2
8t 4t 2t 1 0
. Đáp số:
k
6
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 20 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
5) [ĐHB04]
2
5sinx 2 3 1 sin x tan x
.
Hướng dẫn
Đk:
cosx 0
. Nhân hai vế của phương trình với
2
cos x
, giản ước
1 sinx
ở hai vế của
phương trình (
cosx 0
1 sinx 0
), đặt
t sinx
phương trình đã cho trở thành
2
2t 3t 2 0
. Đáp số:
2k
6
,
5
2k
6
(
k
).
6)
3
8cos x cos3x
3
.
Hướng dẫn
Đặt t cos x
3
phương trình đã cho trở thành
3
4t t 0
.
Đáp số:
k
6
,
k
,
k
3
(
k
).
7) [ĐHD05]
4 4
3
sin x cos x sin 3x cos x 0
4 4 2
.
Hướng dẫn
Biến đổi
4 4 2
1
sin x cos x 1 sin 2x
2
,
2
1
sin 3x cos x 2sin 2x sin2x 1
4 4 2
.
Đặt
t sin2x
phương trình đã cho trở thành
2
t t 2 0
. Đáp số:
k
4
(
k
).
8)
4 4
sin x cos x 1 1
cot 2x
5sin2x 2 8sin2x
.
Hướng dẫn
Đk:
sin 2x 0
. Biến đổi
4 4 2
1
sin x cos x 1 sin 2x
2
, nhân hai vế của phương trình với
40sin2x
, đặt
t cos 2x
phương trình đã cho trở thành
2
4t 20t 9 0
.
Đáp số:
k
6
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 21 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
9)
6 2
3cos4x 8cos x 2cos x 3 0
.
Hướng dẫn
Sử dụng cơng thức nhân đơi và cơng thức hạ bậc để biến đổi vế trái của phương trình về
một biểu thức chỉ chứa
cos2x
. Đặt
t cos 2x
phương trình đã cho trở thành
3 2
t 3t 2t 0
. Đáp số:
k
4 2
,
k
(
k
).
10) [ĐHB03] x
2
cot x tan 4sin2x
sin 2x
.
Hướng dẫn
Đk:
sinx 0
cosx 0
. Biến đổi x=
2cos2x
cot x tan
sin 2x
, nhân hai vế của phương trình với
sin 2x
, đặt
t cos 2x
phương trình đã cho trở thành
2
2t t 1 0
. Đáp số:
k
3
(
k
).
11)
2
cos2x cosx 2tan x 1 2
.
Hướng dẫn
Đk:
cosx 0
. Nhân hai vế của phương trình với
cosx
, đặt
t cosx
phương trình đã cho trở
thành
3 2
2t 3t 3t 2 0
. Đáp số:
2k
3
,
2k
(
k
).
12) [ĐHA05]
2 2
cos 3xcos2x cos x 0
.
Hướng dẫn
Sử dụng cơng thức hạ bậc, cơng thức nhân ba biến đổi vế trái của phương trình thành một
biểu thức chỉ phụ thuộc vào
2
cos 2x
, đặt
2
t cos 2x
phương trình đã cho trở thành
2
4t 3t 1 0
. Đáp số:
k
2
(
k
).
13)
2 2 3
sinxcos2x cos x tan x 1 2sin x 0
.
Hướng dẫn
Đk:
cosx 0
. Biến đổi
2 2 2 2
cos x tan x 1 sin x cos x
, đặt
t sinx
phương trình đã cho
trở thành
2
2t t 1 0
. Đáp số:
2k
6
,
5
2k
6
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 22 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Bài 2. [ĐHA02] Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của phương trình
cos3x sin3x
5 sinx cos2x 3
1 2sin2x
.
Hướng dẫn
Đk:
1
2
sin2x
. Biến đổi
cos3x sin3x
sin x cosx
1 2sin2x
. Đặt
t cosx
, phương trình đã cho
trở thành
2
2t 5t 2 0
. Đáp số:
3
,
5
3
.
Bài 3. Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn
1;70
của phương trình
3 2
2
2
cos x cos x 1
cos2x tan x
cos x
.
Hướng dẫn
Đk:
cosx 0
. Nhân hai vế của phương trình với
2
cos x
, đặt
t cosx
, phương trình đã cho
trở thành
2
2t t 1 0
. Đáp số:
374
.
Bài 4. Tìm
m
để phương trình
4 4
2 sin x cos x cos4x 2sin2x m 0
có ít nhất một
nghiệm thuộc đoạn
0;
2
.
Hướng dẫn
Đặt
t sin2x
, phương trình đã cho trở thành
2
3t 2t 3 m 1
. Phương trình đã cho
có nghiệm thuộc đoạn
0;
2
phương trình
1
có nghiệm thuộc đoạn
0;1
.
Đáp số:
13
4
2 m
.
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 23 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Loại 2. Đại số hóa phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos
A. Nội dung phương pháp
Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức: tổng và tích của
sin
và
cos
(phương trình đối xứng đối với
sin
và
cos
) hoặc hiệu và tích của
sin
và
cos
(phương trình
gần đối xứng đối với
sin
và
cos
) ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau:
Dạng 1
Xét phương trình dạng
f sinx cosx;sinx.cos x 0 1
.
Đặt
2
4
t 1
2
t 2; 2
t sinx cosx 2sin x
sinxcosx
.
Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên
1
trở thành
2
t 1
2
f t; 0
.
Dạng 2
Xét phương trình dạng
f sinx cosx;sinx.cosx 0 2
.
Đặt
2
4
1 t
2
t 2; 2
t sinx cosx 2 sin x
sinxcosx
.
Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên
2
trở thành
2
1 t
2
f t; 0
.
Dạng 3
Xét phương trình dạng
f sinx cosx ;sin x.cosx 0 3
.
Đặt
4
t sinx cosx 2 sin x
2
t
2
1
t 0; 2
sinxcosx
.
Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên
3
trở thành
2
t 1
2
f t; 0
.
Dạng 4
Xét phương trình dạng
f sinx cos x ;sinx.cosx 0 4
.
Đặt
4
t |sinx cosx| 2 sin x
2
1 t
2
t 0; 2
sinxcosx
.
Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên
4
trở thành
2
1 t
2
f t; 0
.
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 24 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHA07] Giải phương trình
2 2
1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin2x 1
.
Giải
Ta có
1
2
sinx cosx sin xcosx sinx cosx sin x cosx 2
.
Đặt
2
4
t 1
2
t 2; 2 4
t sinx cosx 2sin x 3
sinxcosx
,
2
trở thành
2
t 1
2
2
t t
.t
2
t 1
2
t
t 1 0
2
t t 1 0
thỏa mãn
thỏa mãn
t 0 4
t 1 4
.
Thay
t 0
vào
3
ta có
4
2 sin x 0
4
sin x 0
x k
4
x k
4
(
k
).
Thay
t 1
vào
3
ta có
4
2 sin x 1
4
1
sin x
2
x 2k
4 4
3
x 2k
4 4
x 2k
x 2k
2
(
k
).
Vậy các nghiệm của
1
là
k
4
,
2k
,
2k
2
(
k
).
10 năm thi chung môn Toán - Phương trình lượng giác
- 25 –
ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
Ví dụ 2. Giải phương trình
sin x cosx 4sin2x 1 1
.
Giải
Đặt
4
t sinx cosx 2 sin x
2
t 0; 2
sin2
1 t 2
x
,
1
trở thành
2
t 4 1 t 1
2
t 1 3
.
Thay
3
vào
2
ta được
sin 2x 0
k
x
2
(
k
).
Vậy các nghiệm của
1
là
k
2
(
k
).
Ví dụ 3. Giải phương trình
1 tanx 2 2 sinx 1
.
Giải
Đk:
cosx 0
x k
2
(
k
).
Ta có
1
cosx sinx 2 2sinxcosx 2
.
Đặt t sinx cosx 2 sin x
4
2
t 2; 2 3
t 1
sinxcosx
2
,
2
trở thành
2
t
t 2 2.
1
2
2
t
1
2 t
2
t t 22
0
thỏa mãn
thỏa mãn
1
2
t 2 3
t 3
.
Do đó
1
4
4
sin x 1
1
sin x
2
4 2
4 6
7
4 6
x 2k
x 2k
x 2k
4
5
12
11
12
x 2k
x 2k
x 2k
2k
x
4 3
(
k
).
