nghiên cứu một số vấn đề về văn phạm và ngôn ngữ mờ, đặc biệt là văn phạm và ngôn ngữ phi ngữ cảnh mờ, văn phạm max-product phi ngữ cảnh

Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
A. mở đầu
Trong nhng nm gn õy, chỳng ta ó chng kin s phỏt trin mnh
m trong cỏc lnh vc nghiờn cu toỏn hc liờn quan n mỏy tớnh v tin hc.
Nhng phỏt trin a dng ca toỏn hc ó tr thnh nn tng cho s phỏt trin
ca mỏy tớnh v tin hc. Ngc li, cỏc tin b trong tin hc ó dn n s
phỏt trin rt mnh m mt s ngnh toỏn hc.
Vỡ vy, toỏn hc úng vai trũ trung tõm trong cỏc c s ca tin hc.
Trong ú lý thuyt ngụn ng hỡnh thc v ụtụmat úng mt vai trũ rt quan
trng. Ngụn ng hỡnh thc c s dng trong vic xõy dng cỏc ngụn ng
lp trỡnh v lý thuyt v cỏc chng trỡnh dch.
Ngụn ng hỡnh thc thỡ rt chớnh xỏc trong khi cỏc ngụn ng t nhiờn
li a dng v khụng chớnh xỏc. gim khong cỏch gia chỳng ngi ta
a tớnh cht m vo cu trỳc ngụn ng hỡnh thc.
Tiu lun nhm nghiờn cu mt s vn v vn phm v ngụn ng
m, c bit l vn phm v ngụn ng phi ng cnh m, vn phm max-
product phi ng cnh. Nghiờn cu mt s tớnh cht ca nhng h thng sinh
ngụn ng m, dng chun tc ca F-CFDS, tp cỏc cõy suy dn ca vn phm
phi ng cnh m, ụtụmat cõy m v b chuyn i cõy m.
Thc ra, vn vn phm v ngụn ng c sinh bi vn phm l mt
lớnh vc ó c nghiờn cu sõu v ng dng mnh m, c bit l vn
vn phm v ngụn ng m. Tiu lun khụng nhm trỡnh by thờm nhng vn
mi m ch l túm tt nhng kin thc m bn thõn ó thu nhn c thụng
qua thi gian hc tp ngn v tham kho mt s ti liu.
hon thnh c ti ny, ngoi s c gng n lc ca bn thõn,
chỳng tụi c s giỳp nhit tỡnh ca PGS.TS Nguyn Gia nh. Dự rt
tõm c vi vn nghiờn cu v am mờ vi mụn hc, nhng vi thi gian
hn ch v khi lng kin thc ca bn thõn cũn ớt i nờn chc chn tiu lun
khụng trỏnh khi nhng sai sút. Chỳng tụi xin trõn trng cm n s giỳp
quý bỏu ca Quý Thy v mong mun ún nhn t Quý Thy v cỏc bn s
gúp ý b sung giỳp chỳng tụi cú cỏch nhỡn ỳng hn v vn cn nghiờn

cu ng thi mong c s lng th cho nhng s sut trong tiu lun ny.
Xin trõn trng cm n!
B. Nội dung
1. Ngôn ngữ mờ
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
1
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Cho T biểu thị một tập các trạng thái kết thúc và N biểu thị một tập
trạng thái không kết thúc sao cho TN=. Một ngôn ngữ mờ là một tập con
mờ của T
*
. Cho
1
và
2
là hai ngôn ngữ mờ trên T.
Hợp của
1
và
2
là một ngôn ngữ mờ đợc biểu thị bởi
1

2
và đợc
định nghĩa bởi: (
1

2
)(x) =

1
(x)
2
(x) xT* (1)
Giao của
1
và
2
là một ngôn ngữ mờ đợc biểu thị bởi
1

2
và đợc
định nghĩa bởi: (
1

2
)(x) =
1
(x)
2
(x) xT* (2)
Nối của
1
và
2
là một ngôn ngữ mờ đợc biểu thị bởi
1

2

, đợc định
nghĩa bởi (
1

2
)(x) = {
1
(u)
2
(v) | x=uv, u,vT*} xT* (3)
Cho là một ngôn ngữ mờ trong T. Khi đó tập con mờ

của T* đợc
định nghĩa:

(x)={
n
(x) | n=0,1, } xT* đợc gọi là bao đóng Kleene
của .
Một văn phạm mờ có thể đợc xem nh một tập các quy tắc để sinh ra
những phần tử của một tập con mờ. Một văn phạm mờ, hoặc đơn giản một văn
phạm, là một bộ bốn G=(N,T,P,S), trong đó T là một tập các trạng thái kết
thúc, N là một tập các trạng thái không kết thúc (TN=), P là một tập các
quy tắc mờ và SN.
Một phần tử của P là biểu thức có dạng: à(r

w)=c c>0 (4)
trong đó r và w là những xâu trong (TN)*, c là độ thuộc. Ta có thể viết gọn à
(r

w)=c thành r

w.
Nh trong trờng hợp của văn phạm không mờ, biểu thức r

w biểu
diễn một quy tắc viết lại. Vì vậy nếu r
c

w và s và t là xâu tùy ý trong
(TN)* thì ta có srt
c

swt. swt đợc gọi là suy dẫn trực tiếp từ srt.(5)
Nếu r
1
, ,r
m
là các xâu trong (TN)* và r
1
2
c

r
2
, , r
m-1
m
c

r
m
với
c
2
, ,c
m
>0 thì r
1
đợc gọi là sinh ra r
m
trong văn phạm G, hoặc r
m
có thể đợc
sinh từ r
1
trong văn phạm G. Điều này đợc biểu diễn bởi r
1
r
m
.
r
1
2
c

r
2
, , r
m-1

m
c

r
m
là một dãy phép suy dẫn từ r
1
đến r
m
(6)
Một văn phạm mờ G sinh ra một ngôn ngữ mờ L(G) theo nghĩa: Một
xâu các ký hiệu kết thúc x đợc gọi là thuộc L(G) nếu và chỉ nếu x đợc sinh từ
S. Độ thuộc của x trong L(G) là: à
G
(x)=(à(S,r
1
)à(r
1
,r
2
) à(r
m
,x))(7)
Trong đó cận trên nhỏ nhất đợc lấy trên tất cả dãy phép suy dẫn từ S đến
x. Nh vậy (7) định nghĩa L(G) nh một tập con mờ của (TN)*. Nếu
L(G
1
)=L(G
2
) trong nghĩa của tính bằng nhau của tập con mờ thì văn phạm G

1
và G
2
đợc gọi là tơng đơng.
Phơng trình (7) có thể đợc giải thích nh sau:
à
G
(x) là độ thuộc của x trong ngôn ngữ đợc sinh bởi văn phạm G.
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
2
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
à
G
(x) là độ lớn của dãy suy dẫn mạnh nhất từ S đến x.
Cho à(S,r
1
)=c
1
, à(r
1
,r
2
)=c
2
, , à(r
m
,x)=c
m+1
, thì (7) có thể đợc viết: à
G

(x)
= (c
1
c
2
c
m+1
) (8)
Ví dụ 1.1 Cho T={0,1}, N={A,B,S} và P đợc cho bởi:
à(S,AB)=0.5 à(A,0)=0.5
à(S,A)=0.8 à(A,1)=0.6
à(S,B)=0.8 à(B,A)=0.4
à(AB,AB)=0.4 à(B,0)=0.2
Xét xâu kết thúc x=0. Những dãy suy dẫn có thể đối với xâu này là
S
0.8

A
0.5

0
S
0.8

B
0.2

0
S
0.8

B
0.4

A
0.5

0
Do đó: à
G
(0) = (0.8 0.5) (0.8 0.2) (0.8 0.4 0.5) = 0.5
Tơng tự, những dãy suy dẫn có thể đối với chuỗi x=01 là
S
0.5

AB
0.5

0B
0.4

0A
0.6

01
S
0.5

AB
0.4

AA
0.5

0A
0.6

01
S
0.5

AB
0.4

BA
0.2

0A
0.6

01
S
0.5

AB
0.4

BA
0.4

AA
0.5

0A
0.6

01
Do đó: à
G
(01) = (0.4 0.4 0.2 0.4 = 0.4
Cho G là một văn phạm mờ. Khi đó liệu tồn tại hay không một thuật
toán để tính toán à
G
(x) bằng cách sử dụng định nghĩa phơng trình (7). G đợc
gọi là đệ quy nếu tồn tại thuật toán nh vậy.
2. Các loại văn phạm
Tơng tự với định nghĩa thờng dùng của những văn phạm không mờ, ta
định nghĩa bốn loại văn phạm mờ chủ yếu dới đây:
Văn phạm loại 0: Là văn phạm mà các quy tắc có dạng tổng quát r
c

w, c>0 trong đó r và w là các xâu trong (TN)*.
Văn phạm loại 1 (cảm ngữ cảnh): Là văn phạm mà các quy tắc có dạng
r
1
Ar
2
c

r

1
wr
2
, c>0 trong đó r
1
, r
2
và w là các xâu trong (TN)*, AN và
wA. Quy tắc S

A cũng thuộc văn phạm loại này.
Văn phạm loại 2 (phi ngữ cảnh): Là văn phạm mà các quy tắc có dạng
A
c

w, c>0, AN và w(TN)* wA, và S

A.
Văn phạm loại 3 (chính quy): Là văn phạm mà các quy tắc có dạng A
c

aB hoặc A
c

a, c>0, trong đó aT, A, BN. Quy tắc S

A cũng
thuộc văn phạm loại này.
Ta có thể chỉ ra rằng văn phạm cảm ngữ cảnh là đệ quy và vì vậy văn
phạm phi ngữ cảnh và văn phạm chính quy cũng đệ quy.

Định lý 2.1 Nếu G=(N,T,P,S) là văn phạm cảm ngữ cảnh mờ thì G là đệ quy.
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
3
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Chứng minh: Trớc hết ta chỉ ra rằng đối với một loại văn phạm bất kỳ, cận trên
nhỏ nhất trong (7) có thể đợc lấy trên một tập con của tập hợp tất cả dãy suy
dẫn từ S đến x, đó là tập con của tất cả những dãy suy dẫn không lặp (là dãy
mà trong đó không có r
i
(i=1 m) xuất hiện hơn một lần)
Giả sử rằng trong dãy suy dẫn
C= S
1
c

r
1
2
c

r
2

m
c

r
m
1m
c

+

x, r
i
là giống r
j
, j>i.
Đặt C là dãy kết quả từ việc thay thế dãy con
r
i
1i
c
+


j
c

r
j
1j
c
+

r
j+1
trong C bởi r
j
1j
c

+

r
j+1
.
Rõ ràng, nếu C là một dãy suy dẫn từ S đến x thì C cũng là một dãy suy
dẫn từ S đến x.
Tuy nhiên {c
1
, ,c
i
,c
i+1
, ,c
j+1
, ,c
m+1
}{c
1
, ,c
i
,c
j+1
, ,c
m+1
}
vì vậy C có thể bị xóa mà không ảnh hởng đến cận trên nhỏ nhất trong (7).
Nh vậy ta có thể thay thế định nghĩa (7) của à
G
(x) bằng

à
G
(x) = {(à(S,r
1
), à(r
1
,r
2
), ,à(r
m
,x)} (9)
trong đó cận trên nhỏ nhất lấy trên tất cả dãy suy dẫn không lặp từ S vào x
Bây giờ ta chỉ ra rằng đối với những văn phạm cảm ngữ cảnh, tập hợp
cận trên nhỏ nhất đợc lấy trong (9) bị giới hạn vào độ dài l
0
của những dãy suy
dẫn, trong đó l
0
phụ thuộc vào
x
và số lợng các ký hiệu trong (TN).
Nếu G là văn phạm cảm ngữ cảnh thì vì đặc tính không thu hẹp đợc của
các quy trong P nên nó kéo theo:
j i
r r
nếu j>i (10)
Đặt
T N
=k. Vì có tối đa k xâu phân biệt trong (TN)* có độ dài l và
vì dãy suy dẫn là không lặp nên từ (10) ta có tổng độ dài của dãy đợc giới hạn

bởi l
0
= 1+k+ +k
x
.
Tiếp theo ta đa ra một phơng pháp sinh ra tất cả dãy suy dẫn hữu hạn từ
S đến x có độ dài l
0
. Ta bắt đầu với S và dùng P sinh ra tập Q
1
của tất cả các
xâu trong (TN)* có độ dài
x
mà có thể sinh từ S trong một bớc. Sau đó ta
xây dựng Q
2
, tập hợp tất cả các chuỗi trong (TN)* có độ dài
x
mà có thể
sinh từ S trong hai bớc. Lu ý, Q
2
đồng nhất với tập tất cả các xâu trong
(TN)* với độ dài
x
mà đợc sinh trực tiếp từ các xâu trong Q
1
. Tiếp tục với
quá trình này, ta xây dựng liên tiếp Q
3
, Q

4
, , Q
k
cho đến khi k=l
0
hoặc Q
k
=.
Vì Q
i
(i=1 k) là tập hữu hạn, ta có thể tìm trong một số hữu hạn của các tập
tất cả các dãy suy dẫn không lặp từ S đến x với độ dài l
0
và vì vậy để tính
toán à
G
(x) bằng sử dụng (9). Sau đó thiết lập một thuật toán để tính toán
à
G
(x). Vì vậy G là đệ quy.
3. Văn phạm phi ngữ cảnh mờ
Nhiều kết quả cơ sở trong lý thuyết ngôn ngữ hình thức có thể dễ dàng
đợc mở rộng thành ngôn ngữ mờ. Phần này ta đa ra một mở rộng nh vậy trong
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
4
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
trờng hợp những dạng chuẩn tắc của Chomsky và Greibach đối với những
ngôn ngữ phi ngữ cảnh.
Trớc hết, ta xét dạng chuẩn tắc Chomsky đối với ngôn ngữ phi ngữ cảnh
mờ.

Bất kỳ ngôn ngữ phi ngữ cảnh đợc sinh ra bởi một văn phạm trong đó
các quy tắc có dạng A

BC hoặc A

a, với A,B,C là ký hiệu không kết
thúc và a là ký hiệu kết thúc. Dạng này đợc gọi là dạng chuẩn tắc Chomsky.
Cho G là một văn phạm phi ngữ cảnh mờ. Văn phạm này tơng đơng với
một văn phạm G trong đó tất cả quy tắc có dạng A
c

BC, A
c

a, với
c>0 và A,B,C là ký hiệu không kết thúc và a là ký hiệu kết thúc.
Ta xây dựng G theo ba giai đoạn:
Thứ nhất, ta xây dựng một văn phạm G
1
tơng đơng với G trong đó
không có quy tắc dạng A

B, A,BN
Giả sử rằng trong G ta có quy tắc dạng A

B mà dẫn đến dãy suy
dẫn dạng: A
1
c

B
1

2
c

B
2

3
c


m
c

B
m

1m
c
+

B
2m
c
+

r với rN,
khi đó ta thay thế tất cả các quy tắc dạng:

A
1
c

B
1
, B
1
2
c

B
2
, , B
m

1m
c
+

B trong G bằng các quy tắc đơn
dạng A
c

r trong đó c = à(AB) à(B,r) (11)
trong đó à(AB) = {à(A
1
,B
1
) à(A

m
,B)} (12)
với cận trên nhỏ nhất đợc lấy trên tất cả dãy suy dẫn không lặp từ A đến B.
Suy ra văn phạm kết quả G
1
tơng đơng với G.
Thứ hai, ta xây dựng một văn phạm G
2
tơng đơng với G
1
trong đó không
có quy tắc dạng A
c

B
1
B
2
B
m
, c>0 m>2, trong đó một hoặc nhiều B là ký
hiệu kết thúc. Nh vậy giả sử rằng B
i
là một ký hiệu kết thúc a. Thì B
i
trong B
1
B
2
B

m
đợc thay bởi một ký hiệu không kết thúc mới C
i
mà không xuất hiện
trong vế phải của bất kỳ quy tắc nào. Sau đó ta đặt
à(A, B
1
B
2
B
i
,B
m
)= à(A, B
1
B
2
C
i
,B
m
) (13)
Ta thêm vào tập quy tắc của G quy tắc C
i
1

a. Thực hiện điều này đối
với tất cả ký hiệu kết thúc trong B
1
B

2
B
m
trong tất cả quy tắc dạng A
c

B
1
B
2
B
m
. Nh vậy ta thu đợc một văn phạm G
2
trong đó tất cả quy tắc là có dạng
A

a hoặc A
c

B
1
B
2
B
m
, m>2 với tất cả B là ký hiệu không kết thúc.
Rõ ràng G
2
tơng đơng với G

1
.
Thứ ba, ta xây dựng một văn phạm G
3
tơng đơng với G
2
trong đó tất cả
quy tắc có dạng A

a hoặc A

BC, A,B,CN, aT. Xét một quy tắc
trong G
2
dạng A
c

B
1
B
2
B
m
, c>0 m>2. Ta thay thế tất cả quy tắc này bởi
quy tắc
A
c

B
1

D
1
D
1
1

B
2
D
2


D
m-2
c

B
m-1
B
m
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
5
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
trong đó các D là những ký hiệu không kết thúc mới mà không xuất
hiện trong vế phải của của bất kỳ quy tắc nào trong G
2
. Thực hiện nh vậy đối
với tất cả quy tắc trong G
2
có dạng A

c

B
1
B
2
B
m
, ta thu đợc một văn phạm
G
3
tơng đơng với G
2
. Vì vậy G
3
trong dạng chuẩn tắc Chomsky là tơng đơng
với G.
Ví dụ 3.1 Xét văn phạm mờ dới đây, trong đó T={a,b} và N={A,B,S} và các
quy tắc nh sau
S
0.8

bA B
0.4

b
S
0.6

aB A

0.3

bSA
A
0.2

a B
0.5

aSB
Để tìm ra một văn phạm tơng đơng trong dạng chuẩn tắc Chomsky, ta
thực hiện nh sau:
Thứ nhất, ta thay S
0.8

bA bởi S
0.8

C
1
A, C
1

1

b.
thay S
0.6

aB bởi S

0.6

C
2
B, C
2
1

a.
thay A
0.3

bSA bởi A
0.3

C
3
SA, C
3

1

b
và thay B
0.5

aSB bởi B
0.5

C

4
SB, C
4
1

a
Thứ hai, ta thay A
0.3

C
3
SA bởi A
0.3

C
3
D
1
, D
1

1

SA,
và thay B
0.5

C
4
SB bởi B

0.5

C
4
D
2
, D
2

1

SB.
Vậy các quy tắc trong dạng chuẩn tắc Chomsky tơng đơng nh sau:
S
0.8

C
1
A A
0.3

C
3
D
1
C
1

1

b D
1

1

SA
S
0.6

C
2
B C
3

1

b
C
2
1

a B
0.5

C
4
D
2
A
0.2

a D
2

1

SB
B
0.4

b C
4
1

a
Sau đây ta xét dạng chuẩn tắc Greibach.
Cho G là văn phạm phi ngữ cảnh mờ bất kỳ. G tơng đơng với một văn
phạm mờ G
G
trong đó tất cả các quy tắc có dạng A

ar, với A là một ký
hiệu không kết thúc, a là một ký hiệu kết thúc và r là một xâu trong N*. Văn
phạm mờ G
G
là trong dạng chuẩn Greibach. Để xây dựng G
G
ta phải sử dụng
hai bổ đề dới đây:
Bổ đề 3.2 Cho G là một văn phạm phi ngữ cảnh mờ.

Đặt A

r
1
Br
2
là một quy tắc trong P, với A,BN, và r
1
, r
2
(TN)*.
Đặt B

w
1
, , B

w
k
là tập tất cả các quy tắc với B thuộc vế trái
(B-production).
Đặt G
1
là văn phạm kết quả từ sự thay thế của mỗi quy tắc có dạng A

r
1
Br
2
bởi quy tắc A

r
1
w
1
r
2
, , A

r
1
w
r
r
2
trong đó
à(A, r
1
w
i
r
2
) = à(A, r
1
wr
2
) à(B,w
i
) i=1 k. (15)
Khi đó G

1
tơng đơng với G.
Bổ đề 3.3 Cho G là một văn phạm phi ngữ cảnh mờ.
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
6
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Đặt A

Ar
i
(i=1 k) là những quy tắc trong đó A là ký kiệu bên trái
nhất ở vế phải (A-production).
Đặt A

w
j
, là những quy tắc còn lại, với r
i
, w
j
(TN)*, (i,j=1 k).
Gọi G
2
là văn phạm kết quả từ việc thay thế A

Ar
i
trong G bằng các
quy tắc: A

w
j
Z (j=1 m) (16)
Z

r
i
Z

r
i
Z (i=1 k) (17)
Trong đó:
à(Z,w
j
Z) = à(A,w
j
)
à(Z,r
i
) = à(A,Ar
i
)
à(Z,r
i
Z) = à( A,Ar
i
) i=1 k (18)
Khi đó G
2

tơng đơng với G
Với việc sử dụng những bổ đề này, ta đa ra dạng chuẩn tắc Greibach đối
với G.
Trớc hết, ta đặt G vào dạng chuẩn Chomsky. Đặt A
1
, ,A
m
là các ký hiệu
không kết thúc.
Sau đó, ta sửa những quy tắc dạng A
i

A
j
s, s(TN)*, thực hiện
nh vậy đối với tất cả quy tắc, ji. Điều này đợc thực hiện nh sau:
Giả sử rằng nó đã đợc thực hiện đối với i k, đó là, nếu
A
i

A
j
s (19)
là một quy tắc với i k, thì j>i. Để mở rộng thành A
k+1
-production, giả sử rằng
A
k+1

A

j
s là quy tắc bất kỳ với j<k+1. Sử dụng bổ đề 3.2 và phép thế đối
với A
j
vế phải của mỗi A
j
-production, ta thu đợc bởi sự lặp lại phép thế các
quy tắc dạng A
k+1

A
l
s l k+1 (20)
Trong (20), những quy tắc trong đó l bằng k+1 đợc thay bởi việc sử
dụng bổ đề 3.3. Kết quả này thuộc một ký hiệu không kết thúc mới Z
k+1
. Sau
đó bằng cách lặp lại quá trình này, tất cả quy tắc đợc đặt vào dạng
A
k

A
l
s l k s(N{Z
1
, ,Z
n
})* (21)
A
k

as aT (22)
Z
k

s (23)
với độ thuộc đã cho bởi mệnh đề 3.2 và 3.3
Với (21) và (22), ký hiệu bên trái nhất của vế phải của bất kỳ quy tắc
đối với A
m
phải là một ký hiệu kết thúc. Tơng tự, đối với A
m-1
, ký hiệu bên trái
nhất của vế phải bắt buộc là A
m
hoặc ký hiệu kết thúc. Sử dụng bổ đề 3.2 thay
thế đối với A
m
, ta thu đợc các quy tắc mà vế phải của nó bắt đầu với ký hiệu
kết thúc. Lặp lại quá trình này đối với A
m-2
, ,A
1
, các quy tắc A
i
(i=1 m), đợc
đặt vào dạng mà vế phải của chúng bắt đầu là các ký hiệu kết thúc.
Tại giai đoạn này, chỉ những quy tắc trong (23) có thể không là trong
dạng mong muốn. Suy ra ký hiệu bên trái nhất trong trong (23) có thể hoặc
một ký hiệu kết thúc hoặc một trong những A

i
(i=1 m). Nếu trờng hợp thứ hai
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
7
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
thỏa mãn, áp dụng bổ đề 3.2 vào mỗi Z
i
quy tắc sinh ra các quy tắc của dạng
mong muốn. Điều này hoàn thành việc xây dựng.
Ví dụ 3.4 Ta chuyển về dạng chuẩn tắc Greibach văn phạm mờ G dới đây.
Cho T={a,b}, N={A
1
,A
2
,A
3
}, và cho các quy tắc là trong dạng chuẩn
tắc Chomsky
A
1

0.8

A
2
A
3
A
3

0.2

A
1
A
2
A
2

0.7

A
3
A
1
A
3

0.5

a
A
2

0.6

b
Bớc 1: Vế phải của các quy tắc đối với A
1
và A

2
bắt đầu với ký hiệu kết thúc
hoặc những biến có chỉ số cao hơn. Vì vậy ta bắt đầu với quy tắc A
3
0.2

A
1
A
2
và thế A
2
A
3
cho A
1
. Chú ý, A
1

0.8

A
2
A
3
chỉ là quy tắc với A
1
ở bên
trái.
Những quy tắc kết quả nh sau:

A
1

0.8

A
2
A
3

A
2

0.6

b
A
3

0.6

b
A
2

0.7

A
3
A

1
A
3

0.2

A
2
A
3
A
2
Chú ý, A
3

0.2

A
2
A
3
A
2
, 0.2=0.8 0.2.
Vế phải của quy tắc A
3
0.2

A
2

A
3
A
2
bắt đầu với một biến đợc đánh số
thấp hơn. Vì vậy ta thế A
3
A
1
hoặc b vào sự xuất hiện đầu tiên của A
2

Những quy tắc mới đợc cho dới đây
A
1

0.8

A
2
A
3

A
2

0.6

b
A

3

0.2

bA
3
A
2
A
2

0.7

A
3
A
1
A
3

0.2

A
3
A
1
A
3
A
2

A
3

0.5

a
Tiếp theo, ta áp dụng bổ đề 3.3 vào quy tắc A
1

A
3
A
1
A
3
A
2
, A
3

bA
3
A
2
và A
3


a. Đa vào Z
3

và thay quy tắc A
3

A
3
A
1
A
3
A
2
bởi A
3

bA
3
A
2
Z
3
, A
3

aZ
3
, Z
3

A
1

A
3
A
2
và Z
3

A
1
A
3
A
2
Z
3
.
Kết quả nh sau:
A
1

0.8

A
2
A
3

A
2

0.6

b
A
3

0.5

a
Z
3
0.2

A
1
A
3
A
2
Z
3
A
2

0.7

A
3
A
1

A
3

0.2

bA
3
A
2
A
3
0.5

aZ
3
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
8
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Z
3
0.2

A
1
A
3
A
2
A
3

0.2

bA
3
A
2
Z
3
Bớc 2: Bây giờ tất cả quy tắc với A
3
ở bên trái có vế phải bắt đầu với ký hiệu
kết thúc. Những quy tắc này đợc dùng để thay thế A
3
trong quy tắc A
2
0.7

A
3
A
1
và sau đó quy tắc với A
2
ở bên trái đợc dùng để thay thế A
2
trong quy tắc
A
1
0.8

A
2
A
3
. Kết quả thu đợc nh sau:
A
3

0.2

bA
3
A
2
A
3

0.5

a
A
2

0.2

bA
3
A
2

A
1
A
2
0.5

aA
1
A
2

0.6

b
A
1
0.2

bA
3
A
2
Z
3
A
1
A
3
A
1

0.6

bA
3

Z
3
0.2

A
1
A
3
A
2
A
3

0.2

bA
3
A
2
Z
3
A
3
0.5

aZ
3
A
2

0.2

bA
3
A
2
Z
3
A
1
A
2
0.5

aZ
3
A
1
A
1
0.2

bA
3

A
2
A
1
A
3
A
1
0.5

aA
1
A
3
A
1

0.8

A
2
A
3

Z
3
0.2

A
1

A
3
A
2
Z
3
Chú ý, trong A
2
0.2

bA
3
A
2
A
1
, 0.2 = 0.7 0.2. Trong A
1
0.5

aA
1
A
3
,
0.5=0.5 0.8. Độ thuộc của những quy tắc khác đợc xác định tơng tự.
Bớc 3: Hai quy tắc Z
3
0.2

A
1
A
3
A
2 và
Z
3
0.2

A
1
A
3
A
2
Z
3
, đợc biến đổi thành
dạng mong muốn bằng cách thế vế phải của mỗi trong năm quy tắc với A
1
nằm bên trái đối với sự xuất hiện đầu tiên của A
1
. Vì vậy Z
3
0.2

A
1
A

3
A
2
đ-
ợc thay thế bởi:
Z
3
0.2

bA
3
A
3
A
2
Z
3
0.2

aA
1
A
3
A
3
A
2
Z
3
0.2

aZ
3
A
1
A
3
A
3
A
2
Z
3
0.2

bA
3
A
2
A
1
A
3
A
3
A
2
Z
3
0.2

bA
3
A
2
Z
3
A
1
A
3
A
3
A
2
Những quy tắc khác đối với Z
3
đợc biến đổi trong một cách tơng tự. Tập
quy tắc cuối cùng thu đợc:
A
3

0.2

bA
3
A
2
A
3

0.5

a
A
2

0.2

bA
3
A
2
A
1
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
9
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
A
2
0.5

aA
1
A
2

0.6

a

A
1
0.2

bA
3
A
2
Z
3
A
1
A
3
A
1
0.5

aZ
3
A
1
A
3
Z
3
0.2

bA
3

A
3
A
2
Z
3
0.2

bA
3
A
2
A
1
A
3
A
3
A
2
Z
3
0.2

aA
1
A
3
A
3

A
2
Z
3
0.2

bA
3
A
2
Z
3
A
1
A
3
A
3
A
2
Z
3
0.2

aZ
3
A
1
A
3

A
3
A
2
A
3

0.2

bA
3
A
2
Z
3
A
3
0.5

aZ
3
A
2

0.2

bA
3
A
2

Z
3
A
1
A
2
0.5

aZ
3
A
1
A
1
0.2

bA
3
A
2
A
1
A
3
A
1
0.5

aA
1

A
3
A
1

0.6

bA
3

Z
3
0.2

bA
3
A
3
A
2
Z
3
Z
3
0.2

bA
3
A
2

A
1
A
3
A
3
A
2
Z
3
Z
3
0.2

aA
1
A
3
A
3
A
2
Z
3
Z
3
0.2

bA
3

A
2
Z
3
A
1
A
3
A
3
A
2
Z
3
Z
3
0.2

a Z
3
A
1
A
3
A
3
A
2
Z
3

4. văn phạm max-product phi ngữ cảnh
Định nghĩa 4.1 Một văn phạm max-product phi ngữ cảnh (CMG) là một bộ
bốn G=(T,N,P,) sao cho thỏa mãn những điều kiện dới đây:
(1)- T và N là những tập rời nhau, hữu hạn và không rỗng.
(2)- P là một tập hợp hữu hạn các quy tắc mờ mà mỗi quy tắc có dạng A
p

x,. trong đó AN, x(TN)*, và p

0
(3)- là một hàm từ N vào

0
.
Hơn nữa, nếu đối với mọi (A
p

x) P, [0,1] và

là một hàm từ
N vào [0,1], thì G đợc gọi là một CMG chặt.
Trong định nghĩa 4.1, những phần tử của T đợc gọi là ký hiệu kết thúc,
những phần tử của N đợc gọi là ký hiệu không kết thúc, (A) là độ thuộc mà
A là ký hiệu bắt đầu của G, và A
p

x có nghĩa là độ thuộc là p mà A sẽ đợc
thay bởi x.
Cho G=(T,N,P,) là một CMG. Khi đó ta viết x
p

y(mod w), trong đó
w=(r
1
,k
1
) (r
2
,k
2
) (r
n
,k
n
), x,y(TN)*, r
i
=(A
i
i
p

x
i
)P, k
i
N (i=1 n) và
p=p
1
p
2
p

n
nếu và chỉ nếu tồn tại z
i
(TN)* (i=0 n) sao cho z
0
=x, z
n
=y, và đối
với mỗi i =1,2, ,n, z
i
thu đợc từ z
i-1
bằng cách thay thế sự xuất hiện thứ k
i
của
A
i
trong z
i-1
bởi x
i
. Cách viết khác: x
0
y(mod w)
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
10
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Nếu đối với mọi i=1,2, ,n, k
i
=1 và z

i-1
=uA
i
v, trong đó uT*, thì ta viết:
x
p
L
y(mod w). Cách viết khác: x
0
L
y(mod w)
Rõ ràng, p đợc xác định duy nhất bởi x,y(TN)* và w(PìN)*. Điều
này cho phép ta định nghĩa, đối với mỗi w(PìN)*, hàm
w
và
L
w
từ
(TN)*ì(TN)* vào

0
sao cho
w
(x,y)=p nếu và chỉ nếu x
p
y(mod w) và

L
w
(x,y)=p nếu và chỉ nếu x

p
L
y(mod w)
Cho G=(T,N,P,) là một CMG. Cho W=PìN.
Định nghĩa
G
: T*



0
và
L
G
: T*



0
với xT*

G
(x) =
w

W*

A

N

(A)
w
(A,x) và

L
G
(x) =
w

W*

A

N
(A)
L
w
(A,x)
Định nghĩa 4.3 Một ngôn ngữ mờ trên S là một hàm từ S* vào

0
. Một ngôn
ngữ mờ hữu hạn là một hàm từ S* vào

0
.
Cho G là CMG. Khi đó
G
là ngôn ngữ mờ đợc sinh ra bởi G và
L

G
là
ngôn ngữ mờ đợc sinh ra bởi G chỉ sử dụng suy dẫn trái nhất
Định lý 4.4 Cho G là một CMG. Khi đó
G
=
L
G

Chứng minh: Đặt G=(T,N,P,). Nó là đủ để chỉ ra rằng đối với tất cả AN,
xT* và p

0
, nếu A
p
x(mod w) đối với w(PìN)* thì A
p
L
x(mod w) đối
với w(Pì{1})* Điều này có thể đợc hoàn thành bởi phơng pháp quy nạp
trên
x
Định nghĩa 4.5 Cho là một ngôn ngữ mờ hữu hạn trên T. đợc gọi là một
ngôn ngữ mờ phi ngữ cảnh hữu hạn (CFFL) nếu =
G
đối với CMG G.
Mệnh đề 4.6 Cho là một CFFL trên T. Khi đó =
G
đối với CMG
G=(T,N,P,) sao cho thỏa mãn các tính chất dới đây:

(1)-Tồn tại A
0
N sao cho (A
0
)=1 và (A
p

x) P hàm ý A
0
không
xuất hiện trong x.
(2) Đối với mọi AN và x(TN)*, (A
1
p

x) P và (A
2
p

x) P
hàm ý p
1
=p
2
>0
(3)- Đối với mọi AN, tồn tại u,vT* và w(PìN)* sao cho

w
(A
0

,uAv)>0
(4)- Đối với mọi AN, tồn tại u,vT* và w(PìN)* sao cho
w
(A,x)>0
Một CMG thỏa mãn điều kiện (1) đến (4) của mệnh đề 4.6 đợc gọi là đ-
ợc thu gọn.
Mệnh đề 4.8 Cho G=(T,N,P,) là một CMG thu gọn. Khi đó
G
là hữu hạn nếu
và chỉ nếu đối với mọi AN và w(PìN)* thì
w
(A,A)1
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
11
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Bổ đề 4.9 Cho là một CFFL hữu hạn. Khi đó =
G
đối với những CMG thu
gọn G=(T,N,P,A) trong đó P không chứa bất kỳ quy tắc mờ có dạng A
p

A
và với AN\{A
0
}.
Chứng minh: Đặt =
G
, trong đó G
0
=(T,N,P

0
,A
0
) là một CMG. Đối với mọi
quy tắc mờ A
p

x
0
A
1
x
1
A
2
x
n
A
n
trong P
0
, với n0, mọi A
i
N và
x=x
0
x
1
x
n

(TN)
+
, đặt A
'p

x là một quy tắc mờ sao cho
p=p
n
i=1
q(A
i
)>0. Khi đó, đối với mỗi BN, q(B)=
w

W*

W
(B,A), với W=P
0
ì.
Đặt G=(T,N,P,A
0
) là CMG trong đó P là tập các quy tắc mờ thu đợc trong cách
mô tả ở trên cộng với quy tắc mờ A
0
p

A, với p=
G
(A). Rõ ràng (A

0
p

A)P hàm ý A=A
0
. Hơn nữa, nó có thể đợc chỉ ra rằng =
G
. Nếu G không là
một CMG thu gọn, nó có thể dễ dàng đợc đa vào dạng thu gọn mà vẫn giữ
thuộc tính mong muốn.
Định lý 4.10 là một CFFL hữu hạn nếu và chỉ nếu =
G
đối với những
CMG thu gọn G=(T,N,P,A
0
), trong đó P không chứa bất kỳ quy tắc mờ có dạng
A
p

B với A,BN và A
p

A với AN\{A
0
}
Chứng minh: Giả sử rằng là một CFFL hữu hạn. Vì bổ đề 4.9, =
G
đối với
những CMG rút gọn G=(T,N,P
0

,A
0
), trong đó A
p

AP
0
hàm ý A=A
0
. Cho
là hàm từ (TN)*ì(TN)* vào

0
sao cho đối với mọi s,t(TN)*
(s,t)=
p
s
otherwise
p t P
o





Đặt
n
, n=0,1,2 , là hàm từ (TN)*ì(TN)* vào

0

đợc định nghĩa
một cách đệ quy nh sau

0
(s,t)=
1 s=
otherwise
t P
o






n+1
(s,t)=
[ ]
( , ) ( , ) s,
otherwise
A N n
A t s A t N
o

Đặt Là hàm từ (TN)*ì(TN)* vào

0
sao cho đối với mọi
s,t(TN)*
(s,t)=
[ ]
{ }
( , ), ( , ) ( , ) s,
otherwise
n
s t A t s A t N
o







Đặt G=(T,N,P,A
0
) là CMG, trong đó P là tập tất cả quy tắc mờ s
p

t
trong đó (s,t)=p>0. Suy ra G có những tính chất mong muốn. Cho xT*.
Đối với mọi w(Pì)
+
và >0 tồn tại w

0
(P
0
ì)
+
sao cho

w
(A,x)>
w0
(A,x)-. Hơn nữa đối với mọi w
0
(P
0
ì)
+
tồn tại w(Pì)
+
sao cho

w0
(A,x)
w
(A,x). Nh vậy =
G
. Mệnh đề đảo dới đây xuất phát từ điều đó.

G
(x)={{(A)
w

(A,x) | AN} | w(Pì)*,
w

x
}
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
12
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Định lý 4.11 (Dạng chuẩn tắc chomsky): là một CFFL hữu hạn nếu và chỉ
nếu =
G
đối với các CMG rút gọn G=(T,N,P,A
0
), trong đó P chỉ chứa những
quy tắc mờ dạng A
0
p

A và A
p

a và A
p

BC với A,B,CN và aT
Định lý 4.12 (Dạng chuẩn tắc Greibach): là một CFFL hữu hạn nếu và chỉ
nếu =
G
đối với các CMG rút gọn G=(T,N,P,A
0

), trong đó P chỉ chứa những
quy tắc mờ có dạng A
0
p

A và A
p

az với AN và aT và zN*
z
2
Nói chung, định lý 4.11 và 4.12 không còn đúng nếu không hữu hạn,
trừ khi ta mở rộng định nghĩa của những quy tắc mờ gồm A
p

x với p=

5. Ngôn ngữ phi ngữ cảnh mờ
Trong phần này, ta nghiên cứu tập các ngôn ngữ đợc sinh bởi văn phạm
max-product phi ngữ cảnh.
Cho là một ngôn ngữ mờ trên T và r

0

. Đăt L(,r,>) biểu thị tập
{xT* | (x)>r}, L(,r,) biểu thị tập {xT* | (x) r}, và L(,r,=) biểu thị
tập {xT* | (x)=r}
Đặt G=(T,N,P,A
0
) là một CMG. Khi đó xL(,r,>) nếu và chỉ nếu tồn

tại w(P
0
ì)* sao cho A
p
x(mod w) và p>r.
Một văn phạm là một bộ bốn G=(T,N,P,A
0
) trong đó T là ký hiệu kết
thúc và N là ký hiệu không kết thúc, sao cho TN=, P là một tập hữu hạn
các quy tắc, và A
0
N là ký hiệu bắt đầu. Suy dẫn theo G, ngôn ngữ L(G) đợc
sinh ra bởi G, và những loại văn phạm khác nhau trong phân cấp Chomsky đ-
ợc định nghĩa trong cách thông thờng.
Định lý 5.1 L là một ngôn ngữ phi ngữ cảnh (CFL) nếu và chỉ nếu L=L(,r,>)
đối với những CFFL
Chứng minh: Giả sử =
G
, trong đó G=(T,N,P,A
0
) là một CMG. Đặt
G=(T,N,PA
0
) là một văn phạm phi ngữ cảnh, trong đó P={s

t | (s
p

t)P và p>0}. Khi đó nó kéo theo L=L(G). Dễ dàng chứng minh đợc chiều
ngợc lại.

Định nghĩa 5.2 Đối với mọi aT, cho T
a
là một tập khác rỗng hữu hạn và
:T
a
*

P(T
a
*). Giả sử rằng (A)={A} và (ax)=(a)(x) đối với mọi
aT và mọi xT*. Thì đợc gọi là một phép thế. Nếu LT*, đặt
(L)=
x

L
(x)
Định nghĩa 5.3 Một bộ chuyển đổi là một bộ sáu M=(X,Q,Y,H,q
0
,F) với X, Q
và Y là những tập khác rỗng hữu hạn, H là một tập hữu hạn QìX*ìY*ìQ,
q
0
Q là phát biểu ban đầu, FQ là tập các phát biểu chấp nhận.
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
13
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Cho M=(X,Q,Y,H,q
0
,F) là một bộ chuyển đổi. Đối với mỗi xX*, đặt
M(x)={yY* | x

1
,x
2
, ,x
k
X* và y
1
,y
2
, ,y
k
Y* và q
1
,q
2
, ,q
k
Q sao cho
x=x
1
x
2
x
k
, y=y
1
y
2
y
k

, q
k
F và (q
i-1
,x
i
,y
i
,q
i
)H đối với mọi i =1 k}. Đối với
mỗi LX*, đặt M(L)=
x

L
M(x).
Nếu L là một CFL và M là bộ chuyển đổi, thì M(L) là một CFL. Nếu L
là một CFL và là một phép thế sao cho (a) là một CFL đối với tất cả a thì
(L) cũng là một CFL.
Định lý 5.4 L là một CFL nếu và chỉ nếu L=L(
G
,r,>) đối với một số CMG
chặt G và r

0
Chứng minh: Đặt L= L(
G
,r,>), trong đó G=(T,N,P,A
0
) là một CMG chặt và r

0
. Không mất tính tổng quát, ta giả sử N=N
1
N
2
, trong đó
(1)- N
1
N
2
=
(2)- A
0
N
1
(3)- Nếu (A
1

x)P thì AN
1
(4)- Nếu (A
p

x)P và p<1 thì AN
2
Đặt P
1
là tập hợp của tất cả quy tắc mờ trong P có dạng A

1

x, và đặt
P
2
=P\P
1
. Đối với tất cả r=A
p

xP
2
, đặt M
r
=(X,Q,Y,H,q
0
,{q
1
}) là một bộ
chuyển đổi, trong đó X=TN
2
, Q={q
0
,q
1
}, Y=TN, và H={(q,u,u,q) | qQ,
uTN
2
}{(q
0

,A,x,q
1
)}. Chú ý rằng nếu

L
0
(TN
2
)*, thì M
r
(L
0
) thu đợc từ
L bằng cách bỏ qua tất cả những từ trong L
0
không chứa bất kỳ xuất hiện của
A, và sau đó thay thế đúng một xuất hiện của A bởi x trong những từ còn lại
của L
0
. Đối với tất cả AN
1
, đặt L(A)=(
GA
,0,>), với G
A
=(TN
2
,N
1
,P

1
, A)
Rõ ràng, L(A) là một CFL đối với tất cả AN
1
. Đặt là một phép thế
sao cho (A)=L(A) nếu AN
1
và (A)={a} nếu aTN
2
. Đối với tất cả L
1
,
L
2
(TN
2
)* và kN, định nghĩa L
1

L
2
nếu và chỉ nếu tồn tại
L
0
,L
1
, ,L
k
(TN
2

)* sao cho L
1
=L
0
, L
2
=L
k
và L
i-1

L
i
đối với
i=1,2 ,k. Định nghĩa L
1

k
L
2
nếu và chỉ nếu L
3
(TN
2
)* sao cho L
1

k
L
3

và
L
2
=L
3
T*. Rõ ràng nếu L
1
là một CFL và L
1

k
L
2
đối với k thì L
2
cũng là một
CFL. Vì r>0 nên tồn tại n sao cho xL hàm ý xL
2
đối với các L
2
T*,
trong đó (A
0
)
k
L
2
và kn. Đặt ={L
2
T* | (A

0
)
k
L
2
đối với k n và
L
2
L }. Suy ra L
2
hàm ý L
2
L. Do đó L=
L2

L
2
. Vì vậy, L là một
CFL. Dễ dàng chứng minh đợc điều ngợc lại. (ĐPCM)
Định lý 5.5 Cho G=(T,N,P,A
0
) là một CMG, trong đó tồn tại c<1 sao cho (A
p

x)P hàm ý pc. Khi đó L(
G
,r,>) là hữu hạn đối với tất cả r

0
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006

14
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Chứng minh: Rõ ràng,
G
là một CFFL hữu hạn. Nh vậy, theo định lý 4.12,
G
=
G1
đối với CMG G
1
mà trong dạng chuẩn tắc Greibach. Đặt n là số nguyên
lớn nhất sao cho c
n
> r. Khi đó xL(
G1
,r,>) hàm ý
x
n. Nh vậy L(
G
,r,>)=
L(
G1
,r,>) là hữu hạn (ĐPCM)
Chú ý, Định lý 5.4 và định lý 5.5 còn đúng nếu > đợc thay bởi
Định lý 5.6 Cho là một CFFL. Khi đó L(,,=) là một CFL.
Chứng minh: Đặt =
G
, trong đó G=(T,N,P,A
0
) là một CMG. Bằng nhận xét

sau định lý 4.11 và 4.12, ta có thể giả sử rằng G là trong dạng chuẩn tắc
Greibach với điều kiện là ta cho những quy tắc mờ có dạng s
p

t, với p=.
Đối với tất cả aT, đặt a một ký hiệu mới và đặt T={a| aT}. Đối với tất cả
x(TN)* đặt x(TN)*, trong đó x thu đợc từ x bằng cách thay thế tất cả
aT trong x bởi a. Đặt G=(TT, N, P
0
,A
0
) là văn phạm phi ngữ cảnh, trong
đó P
0
={A

x | A
p

xP và p<}{A

x | A
p

xP và p=}.
Đặt M=(X,Q,Y,H,q
0
,{q
1
}) là một bộ chuyển đổi trong đó X=TT, Q={q

0
,q
1
},
Y=T, và H={(q,u,u,q) | uT, qQ}{(q,a,a,q
1
) | aT, qQ}
Đối với tất cả L
0
TT)*, M(L
0
) thu đợc từ L
0
bằng cách bỏ tất cả
những từ trong L
0
mà không chứa aT, và sau đó thay thế tất cả aT bởi a
tơng ứng aT trong những từ còn lại. Vì G là một dạng chuẩn tắc Greibach
nên xL(,,=) nếu và chỉ nếu x đợc sinh ra từ A bằng cách sử dụng ít nhất
một quy tắc mờ có dạng (A
p

x)P với p=. Nh vậy L=M(L(G
0
)). Vì vậy
L là một CFL. (ĐPCM)
Cho r

0
. Đặt L

r
={L(,r,>) | là một CFFL} và L=
0
r



Ă
L
r
.
Đặt C là họ của tất cả CFL và R là họ của tất cả ngôn ngữ chính quy.
Định lý 5.7 L
0
=C. Việc chứng minh đợc suy ra từ định lý 5.1.
Định lý 5.8 Cho r

0
. Khi đó CL
r
.
Chứng minh: Đặt LC. Khi đó L=L(G) đối với văn phạm phi ngữ cảnh
G=(T,N,P,A
0
). Đặt p=1+r và G=(T,N,P,A
0
) là một CMG, trong đó P={A

x | (A

x)P}. Suy ra L=L(
G
,r,>). Do đó LL
r
. Vì vậy CL
r
(ĐPCM)
Định lý 5.9 Cho r và r>0. Khi đó L=L
r

Chứng minh: Đặt LL
.
Khi đó L=L(
G1
,r,>) đối với CMG G1=(T,N,P,
1
) và
r
1
0. Theo định lý 5.7 và 5.8, nó là đủ để xem xét trờng hợp với r
1
>0. Đặt
G=(T,N,P,) trong đó (A)=r/r
1

1
(A) đối với tất cả AN. Rõ ràng
L=L(
G
,r,>). Do đó LL

r
. Vì vậy L L
r
. Vì L
r
L nên L= L
r
(ĐPCM)
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
15
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Định lý 5.10 LL nếu và chỉ nếu L=L(,r,>) đối với CFFL hữu hạn và
r

0
.
Chứng minh: Đặt LL. Theo định lý 5.9 L=L(
G
,1/2,>) đối với CMG
G=(T,N
1
,P
1
,A
1
). Từ theo định lý 4.11 và 4.12, ta có thể giả sử rằng G trong
dạng chuẩn tắc Greibach với điều kiện là ta chấp nhận những quy tắc mờ có
dạng A
p

x, với p=. Theo định lý 5.6 L(
G
,=)=L(G
2
) đối với ngôn ngữ
phi ngữ cảnh G
2
=(T,N
2
,P
2
,A
2
). Giả sử rằng G
2
cũng là dạng chuẩn tắc Greibach
và N
1
N
2
=. Đặt A
0
TN
1
N
2
. Đặt G=(T,N,P,A
0
) là một CMG, trong đó
N=N

1
N
2
{A
0
}, và P gồm tất cả quy tắc mờ có dạng sau:
A
p

x, trong đó (A
p

x) P
1
và p<
A
0
p

x, trong đó (A
p

x) P
1
và p<
A
1

x trong đó (A

x) P
2

A
0
1

x trong đó (A

x) P
2

Rõ ràng, G là trong dạng chuẩn tắc Greibach. Vì vậy theo định lý 4.12,

G
là hữu hạn. Suy ra L=L(
G
,1/2,>). Dễ dàng chứng minh điều ngợc lại.
Định lý 5.11 C là một họ con riêng biệt của L.
Chứng minh: Cho L={a
n
b
n
c
m
| nm1}. Ta có LC. Bây giờ đặt G=({a,b,c},
{A
0
,A
1

,A
2
},P,A
0
) là một CMG trong đó P gồm có những quy tắc mờ A
0

1

A
1
A
2
, A
1

2

aA
1
b, A
1

1

ab, A
2

0.5

A
2
, A
2

1

c. Suy ra
L=L(
G
,b,>). Nh vậy LL
Ta viết s
p
t nếu s
p
t(mod w) đối với một số w.
Bổ đề 5.12 Đối với tất cả L trong đó L=L(
G
,b,>) đối với một số CMG G và
r

0
, tồn tại nN sao cho mọi từ xL với
x
>n có dạng s
1
s
2
s
3

s
4
s
5
, với s
2
A
và hoặc s
1
s
2
k
s
3
s
4
k
s
5
L đối với mọi k hoặc s
1
s
3
s
5
L.
Chứng minh: Theo định lý 4.12, 5.9 và 5.10, L=L(
G
,b,>), trong đó
G=(T,N,P,A

0
) là một CMG trong dạng chuẩn tắc Greibach. Đặt
N
=m, nếu
x=s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
L và
x
>m, suy ra có một AN sao cho A
0

p1
s
1
At
1

p2
s
1
s
2

At
2
t
1

p3
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
=x, trong đó s
i
T*, t
i
N*, s
2
A, A
p4
s
3
,

t
2

p5
s
4
, t
1

p6
s
5
,
p
4
p
5
p
6
=p
3
, và p
1
p
2
p
3
>1. Dễ dàng kiểm tra lại rằng (1) nếu p
2
p
5
1 thì

s
1
s
2
k
s
3
s
4
k
s
5
L k và (2) nếu p
2
p
5
<1 thì s
1
s
3
s
5
L. (ĐPCM)
Định lý 5.13 {a
n
b
n
c
n
| n1}L .

Chứng minh: Giả sử rằng L={a
n
b
n
c
n
| n1}L. Theo định lý 4.12, 5.9 và 5.10,
L=L(
G
,1,>), trong đó G=(T,N,P,A) là một CMG trong dạng chuẩn tắc
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
16
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Greibach. Đặt
N
=m và đặt x= s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
s
6
s
7
L, trong đó

x
>m
2
. Khi đó tồn
tại AN sao cho:
A
0
1
p

s
1
At
1
2
p

s
1
s
2
At
2
t
1
3
p

s
1

s
2
s
3
At
3
t
2
t
1
4
p

s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
s
6
s
7
. Với s
i
T*,

t
i
N*, s
2
s
3
e, A
p5
s
3
,

t
3

p6
s
5
, t
1

p7
s
7
, p
5
p
6
p
7

p
8
=p
4
, và p
1
p
2
p
3
p
4
>1. Từ bổ đề 5.12, ta
thấy rằng không phải p
2
p
7

1 mà cũng không phải p
3
p
6

1. Tuy nhiên, nếu
p
2
p
7
<1 và p
3

p
6
<1 thì theo bổ đề 5.12, s
1
s
2
s
4
s
6
s
7
và s
1
s
3
s
5
s
6
s
7
là thuộc L. Điều
này là không thể xảy ra. Nh vậy LL. (ĐPCM)
Định lý 5.14 Tồn tại một ngôn ngữ cảm ngữ cảnh mà không thuộc L.
Sử dụng định lý 5.13 và 5.11 ta chứng minh đợc định lý này
6. Cây và giả số hạng
Cho là tập hợp các số tự nhiên và * là tập hợp của tất cả các xâu trên
bao gồm cả xâu rỗng . Một tập con đóng hữu hạn U của * đợc gọi là một
cây phạm vi (tree domain) hữu hạn nếu những điều kiện sau đợc thỏa mãn:

(1) wU và w=uv hàm ý uU trong đó u,v,w *;
(2) wnU và mn hàm ý wmU, trong đó w*, m,n,.
Cho U là một cây phạm vi hữu hạn. Thì tập con
U
={wU | w.1U} đ-
ợc gọi là nút lá. Một cặp (N,T) của những bảng chữ hữu hạn N và T, trong đó
NT= đợc gọi là một bảng chữ đợc săp xếp từng phần. Một cây t trên một
bảng chữ đợc sắp xếp từng phần (N;T) là một hàm từ một phạm vi cây hữu
hạn U vào NT, đợc viết t: U

(N;T), sao cho:
t(w)N đối với wU\
U
t(w)T đối với w
U
Tất nhiên, một cây hữu hạn t: U

(N;T), có thể đợc biểu diễn bởi
một tập hữu hạn các cặp (w,t(w)), nghĩa là {(w,t(w)) | wU}
Những cây trên (N;T) có thể đợc biểu diễn bằng đồ thị bằng cách xây
dựng một cây gốc (trong đó mỗi nút kế tiếp đợc đánh số thứ tự) biểu diễn
phạm vi của ánh xạ, và nhãn của những nút với những phần tử của NT biểu
diễn giá trị của hàm. Trong hình dới đây có hai ví dụ, một ánh xạ, cây bên trái
có miền U={

, 1,2,11,12} và giá trị tại 11 là a. Cũng chú ý rằng
U
={2,11,12}
Sự định nghĩa của một cây và sự biểu diễn bằng hình vẽ tơng ứng cung
cấp một cơ sở tốt cho trực giác để xem xét hệ thống cây thao tác.

Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
17

A
B1
11
a
12
b
a2
g
f
b
a
b
a
f
1
11
a
111
112
g
12
121
122
f
2
21
b

22
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Tuy nhiên, sự phát triển của lý thuyết sẽ đơn giản hơn nếu sự biểu diễn
tuyến tính quen thuộc của những cây nh vậy đợc xem xét. Vì vậy, ta định
nghĩa tập D
P
(N;T)
của giả số hạng trên NT nh tập con nhỏ nhất của
[NT{(,)}]* thỏa mãn những điều kiện dới đây:
(1) T D
P
(N;T)
(2) Nếu n>0 và AN và t
1
,t
2
, ,t
n
D
P
(N;T)
thì A(t
1
,t
2
, ,t
n
)D
P
(N;T)

.
(chú ý: dấu ngoặc đơn không phải ký hiệu của NT)
Ta xét những cây và giả số hạng là sự hình thức hóa tơng đơng. Với ví
dụ trên, các cây tơng ứng với giả số hạng dới đây:
A(B(a b)a), f(g(f(ab) g(ab) f(ab))
Sự tơng đơng này có thể đợc thực hiện nh dới đây:
(1)-Nếu một giả số hạng t
P
D
P
(N;T)
là nguyên tố, nghĩa là t
P
=aT thì cây
t tơng ứng có phạm vi {

} và t{

}=a.
(2)-Nếu t
P
=A(t
P
1
, t
P
2
, , t
P
m

) thì t có phạm vi
i

m
{iw | wphạm vi
(t
i
)}{

}, t(

)=A, và đối với w=iw trong phạm vi của t, t(w)=t
i
(w).
Ta biểu thị tập các cây trên (N;T) bằng D
P
(N;T)
, các phần tử của nó bởi t,
và các giả số hạng tơng ứng với một cây t bởi p(t) hoặc t
P
.
Một tập T mờ của các cây đợc định nghĩa bởi một hàm thuộc à
T
: D
P
(N;T)

[0,1]. Tập tất cả các tập mờ của các cây đợc biểu thị bởi F(D
P
(N;T)

)
7. Những hệ thống sinh ngôn ngữ mờ
Định nghĩa 7.1 Một hệ thống sinh ngôn ngữ phi ngữ cảnh mờ (F-CFDS) là bộ
năm S=(N
0
,N,T,P,
0
) sao cho những điều kiện dới đây đợc thỏa mãn:
(1)- N
0
là một tập hữu hạn các ký hiệu mà phần tử của nó đợc gọi là ký
hiệu nút không kết thúc.
(2)- N là một tập hữu hạn các ký hiệu mà phần tử của nó đợc gọi là ký
hiệu nút.
(3)- T là một tập hữu hạn các ký hiệu mà phần tử của nó đợc gọi là ký
hiệu lá.
(4)-P là tập hữu hạn các quy tắc viết lại mờ có dạng à(,t)=c mà có thể
biểu diễn
c

t, t
0
(N;N T)
D

; c[0,1] hoặc tơng đơng với
c

p(t); p(t) là
một giả số hạng tơng ứng mới một cây t.

(5)-
0
N
0
là một nút ký hiệu không kết thúc khởi động.
Định nghĩa quan hệ mờ
c

trên tập
0
(N;N T)
D

của cây nh dới đây:
Đối với tất cả ,
0
(N;N T)
D


c

nếu và chỉ nếu:
p()=xy
p()=xp(t)y
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
18
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ

c

t thuộc P, trong đó x,y[NN
0
T{(,)}]*, N
0
và t
0
(N;N T)
D

.
Hơn nữa, định nghĩa bao đóng bắc cầu
*c

của quan hệ mờ
c

nh sau:

*1

đối với mọi
0
(N;N T)
D


*c

nếu và chỉ nếu c=

c

0
(N;N T)
D

{cc |
* 'c

,
* ''c

}
Định nghĩa 7.2 Tập mờ D(S)={(t;c) |
0

*c

cD
(N;T)
} đợc gọi là một ngôn ngữ
phi ngữ cảnh mờ (F-CFDL) đợc sinh ra bởi F-CFDS, S
Ví dụ 7.3 Giả sử N
0
={,,}, N={A}, T={a} và P đợc cho nh sau:

.8o


.8o

a

.7o



.8o


.6o

a

.8o


.6o

a
Khi đó F-CFDS, S=(N
0
,N,T,P,) sinh ra CFDS, D(S)={(t;0.7) | p(t)=A(
n
(a A(a
647 48
A(aa)
}
n
) )

, n0}{(t;0.6) | p(t)=
n
A( A
67 8
(A(aa)
}
n
a) )
, n 1}
Ví dụ, nh một suy dẫn, ta có:

0.7

0.8

0.8

0.6

0.6

hoặc một cách tơng đơng:
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
19
A
a

A

A

a
A

a
A

A
A

A

a
A
A

A
a
A

a
A
A

A
a
A
a a
A
A aA

a
A
a a
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ

0.7

A()
0.8

A(A(a))
0.8

A(A(A(a)a))
0.6

(A(A(A(aa)a))
0.6

A(A(A(aa)a)a).
8. Dạng chuẩn tắc của F-CFDS
Độ sâu của cây t với phạm vi U
t
đợc định nghĩa bởi d(t)={
w
| wU
t
}
trong đó
w

là độ dài của w. Bậc của F-CFDS đợc định nghĩa là giá trị lớn
nhất của các độ sâu của cây xuất hiện trong vế phải của quy tắc.
Hai F-CFDS đợc gọi là tơng đơng nếu chúng sinh ta cùng một ngôn ngữ
mờ. Trong phần này, ta chỉ ra rằng đối với bất kỳ F-CFDS có một F-CFDS t-
ơng đơng có bậc 1 nghĩa là cái mà quy tắc của nó có dạng:

c

a hoặc
c

(k1)
trong đó ,
i
N
0
(i=1, ,k), AN, và aT.
Bổ đề 8.1 Cho S=(N
0
,N,T,P,
0
) là một F-CFDS có bậc n (n2). Khi đó tồn tại
một F-CFDS tơng đơng có bậc n-1
Chứng minh Ta xác định một F-CFDS mới, S=(N
0
,N,T,P,
0
) từ F-CFDS đã
cho. P đợc định nghĩa nh sau: Đối với mỗi quy tắc
c

t trong P,
(1)-Nếu d(t)<n thì
c

t là thuộc P
(2)-Nếu d(t)=n và p(t)=X(p(t
1
) p(t
k
)), thì

c


và
i

1

t
i
đối với tất cả i sao cho p(t
i
)N
0
là thuộc P, trong đó
i
là một ký
hiệu nút không kết thúc mới riêng biệt nếu p(t

i
)N
0
và
i
=p(t
i
) nếu p(t
i
)N
0
.
Rõ ràng, N
0
là một hợp của N
0
và tập tất cả các ký hiệu nút không kết
thúc mới đợc đa ra bởi việc áp dụng những quy tắc (2) ở trên.
Giả sử
c

trong S. Khi đó p()=xy, p()=xp(t)y và
c

t thuộc
P. Nếu d(t)<n thì sự xây dựng ở trên cho thấy
c

trong S vì
c

t cũng
đợc chứa trong P. Nếu d(t)=n, ta có bằng sự xây dựng ở trên mà
p()=xy
c

xX(
1

k
)y
*1

xX(p(t
1
) p(t
k
))y=p().
Đảo lại, nếu xy
c

xX(
1

k
)y trong S thì
i

1

t
i
; i=1, ,k phải đ-
ợc áp dụng vì các ký hiệu không kết thúc
i
chỉ có thể đợc viết lại bởi chúng.
Nh vậy xy
c

xX(
1

k
)y
*1

xX(p(t
1
) p(t
k
))y. Đối với suy dẫn này ta có:
xy
c

xp(t)y trong S.
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
20
A

1

2


k
A

1

2


k
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Do đó D(S)=D(S). Từ thủ tục xây dựng của S, rõ ràng rằng S có bậc
n-1 (ĐPCM).
Bổ đề 8.2 Đối với bất kỳ F-CFDS, tồn tại một F-CFDS tơng đơng S có bậc
bằng 1.
Chứng minh: Bằng cách lặp lại việc áp dụng bổ đề 8.1, ta chứng minh đợc bổ
đề này.
Định lý 8.3 Đối với bất kỳ F-CFDS tồn tại một F-CFDS tơng đơng mà những
quy tắc của nó có dạng
(1)
c

a hoặc (2)
c

(k1)
Trong đó ,

i
i=1,2, ,k là những ký hiệu nút không kết thúc, a là một
ký hiệu lá, và A là một ký hiệu nút kết thúc.
Chứng minh Đặt S là một F-CFDS. Theo bổ đề 8.2, tồn tại một F-CFDS tơng
đơng mà những quy tắc của nó là có dạng dới đây:
(1)
c

a hoặc (2)
c

x
i
TN
0
Nh vậy, nếu ta thay thế quy tắc của dạng (2) bởi quy tắc

c

trong đó
i
=X
i
nếu X
i
N
0
và
i
là một ký hiệu mới nếu X

i
T, và những quy
tắc
i

1

X
i
đối với tất cả X
i
T thì ta thu đợc F-CFDS mong muốn. (ĐPCM)
Một F-CFDS mà những quy tắc của nó có dạng (1) hoặc (2) của định lý
8.3 đợc gọi là chuẩn tắc.
Ví dụ 8.4 Xét tập hợp các quy tắc dới đây

0.7


0.6


0.7


0.8

Điều này cho thấy một F-CFDS có bậc 2. Dạng chuẩn tắc đối với F-
CFDS đợc cho bởi những quy tắc dới đây:

0.8


1
1


1
1

a
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
21
A

1

2


k
A
x
1
x
2

x
k
A

1

2


k
A
a b
A

B

a
B

A

b
A
b a
A

1

B

2
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ

0.6


3
1


4
1

b

0.8


5
1

a
6
1

b

0.7


7
1

b
8
1

a
9. Tập các cây suy dẫn của văn phạm phi ngữ cảnh mờ
Trong phần này ta định nghĩa tập hợp những cây suy dẫn của văn phạm
phi ngữ cảnh mờ nh những tập mờ của các cây và biểu thị chúng là F-CFDS
Định nghĩa 9.1 Một văn phạm phi ngữ cảnh mờ (F-CFG) là một bộ bốn
G=(N,T,P,S) trong đó
(1)-N là một tập ký hiệu không kết thúc.
(2)-T là một tập ký hiệu kết thúc.
(3)-P là tập những quy tắc mờ.
(4)-S là một ký hiệu không kết thúc khởi động.
Đối với một suy dẫn w
0
(=S)
1
c

w
1
2
c

w
2

m
c

w
m
(=w) trong một văn
phạm phi ngữ cảnh mờ G, ta định nghĩa một cây suy dẫn có độ thuộc nh sau:
(1)-Đối với w
0
(=S), (
w0
;1)=({A,S)};1)
(2)-Giả sử (
1i
w


;c) đợc cho đối với một số i và w
i-1
i
c

w
i
đợc nhận ra bởi
A
i
c

Y
1
Y

2
Y
k
(Y
i
NT) với w
i-1
= xAy và w
i
=xY
1
Y
2
Y
k
y. (Giả sử ký
hiệu A đợc thay thế bởi Y
1
Y
2
Y
k
tơng ứng với một nút lá u trong
U
1i
w


). Khi
đó (

wi
;c) đợc cho bởi
i
w

=
i-1
w

{(u.i,Y
i
) | 1ik, (u,A)
xAy
, u
U
1i
w


}
Trong đó
U
1i
w


là tập nút lá của
i-1
w

và với c=cc
i
.
Đặt D
G
là một tập mờ của những cây trên (N;T) đợc định nghĩa nh trên
cho tất cả những suy dẫn có thể của một văn phạm phi ngữ cảnh mờ G. Khi đó
D
G
đợc gọi là một tập mờ của những cây suy dẫn mờ của G.
Định lý 9.2 Đối với một F-CFG cho trớc, G=(N,T,P
G
,S), tồn tại một F-CFDS,
S=(N
0
,N
S
,T
S
,
0
) mà sinh ra tập mờ D
G
của cây suy dẫn mờ của G.
Chứng minh Đặt N
0
={
X
| XN}, N
S

=N, T
S
=T và
0
=
S
.
Xác định P
S
nh sau: Nếu X
c

Y
1
Y
2
Y
k
thuộc P thì
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
22
B

3

A

4
B

5

6
A

7

8
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ

X
c

thu đợc thuộc P
S
nếu Y
i
= aT, thì
Yi
=a.
Vì sự thu đợc (
i
w

,c) từ (
i-1
w

,c) trong định nghĩa của D
G

tơng đơng với
việc áp dụng các quy tắc

A
i
c


trong F-CFDS, nó kéo theo D
G
=D(S) (ĐPCM)
Ví dụ 9.3 Xét F-CFG đợc cho bởi những quy tắc dới đây:
S
0.5

AB, A
0.8

AB, B
0.4

BA, A
0.5

a, A
0.3

b,B
0.9

b
Đối với F-CFG này, xây dựng một F-CFDS đợc xác định bởi những quy
tắc dới đây:

S
0.5


A
0.8


B

0.4


A
0.8


A
0.3


B

0.9

Đối với suy dẫn của F-CFG

S
0.5

AB
0.4

ABA
0.8

aBA
0.9

abA
0.3

abb
Cây suy dẫn của nó đợc sinh ra bởi F-CFDS nh sau:

S
0.5

0.4

0.8


0.9


0.3

Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
23
X

Y1

Y2


Yk
A

Y1

Y2


Yk
S

A

B
A

A

A
B

B

A
A
a
A
b
B
b
S

A
B

B

A
S
a
B

B

A
S
a
B
b

A
S
a
B
b b
S

A

B
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
Đảo lại của định lý 9.2. Ta chứng minh rằng đối với bất kỳ F-CFDS, tồn
tại một F-CFG, G, tơng đơng với S trong nghĩa của định lý 9.5 dới đây. Cho h:
[NT{(,)}]*

T là một đồng cấu đợc định nghĩa bởi h(a)=a đối với a
thuộc T và h(X)=

đối với XT .
Bổ đề 9.4 Cho S là một F-CFDS, khi đó tập mờ p(D(S)) của giả số hạng của
D(S) là một ngôn ngữ phi ngữ cảnh mờ.
Chứng minh Cho S=(N
0
,N,T,P,
0
) là một F-CFDS. Xây dựng một F-CFG,
G=(N
G
,T
G

,P
G
,S
G
) nh sau:
Đặt N
G
=N
0
, T
G
= NT{(,)}, S
G
=
0
và xác định P
G
nh sau:
Nếu
c

t thuộc P thì
c

p(t) thuộc P
G
. Từ việc xây dựng ở trên,
suy ra L(G)=p(D(S)) (ĐPCM)
Định lý 9.5 Đối với bất kỳ F-CFDS,S, h(p(D(S))) là một ngôn ngữ phi ngữ
cảnh mờ trên T.

Chứng minh Việc chứng minh đợc kéo theo từ bổ đề 9.4 và rõ ràng một ảnh
đồng cấu của một ngôn ngữ phi ngữ cảnh mờ cũng là một ngôn ngữ phi ngữ
cảnh mờ
Định lý 9.6 Mọi F-CFDL là một phép chiếu của một tập mờ các cây suy dẫn
của một F-CFG.
Chứng minh Đặt S=(N
0
,N,T,P,
0
) là một F-CFDS chuẩn tắc. Xét F-CFG,
G=(N
G
,T
G
,P
G
,S
G
), trong đó N
G
=N
0
ì(NT), T
G
={(,a) | aT} và là một ký
hiệu mới không thuộc N
0
, S
G
={(

0
,X) | XNT} và P
G
đợc định nghĩa nh
sau:
[1] Nếu

c

thuộc P thì
1 1 2 2 k k
,X ,X ,X ,X
c

thuộc P
G
trong đó X
i
NT
[2] Nếu
c

a thuộc P thì quy tắc
, ,
c
a f a


thuộc P
G

.
Suy ra: nếu (t;c) là một cây suy dẫn mờ của văn phạm này thì ((t);c),
một phép chiếu của (t;c), là một cây mờ đợc sinh ra bởi F-CFDS, S, trong đó
(t) đợc định nghĩa trong điều kiện giả số hạng, nh sau:
(1)- [
, ( , )a f a

]=a
(2)- [
1
, ( ( ) ( ))
k
X p t p t

]=
[ ] [ ]
1 k
( ( ) p(t ) )X p t
Ví dụ 9.7 Xét F-CFDS đợc cho bởi những quy tắc sau:

0.8


0.9

a
Đối với F-CFDS, định nghĩa một F-CFG bởi những quy tắc sau:
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
24
A

X

1

2


k
Tiểu luận kết thúc môn học: Logic mờ
, A

0.8

, A

, A

, A

0.8

, A

,a

, A

0.8

,a

, A

, A

0.8

,a

,a

,a

0.9

,f a
Đối với ví dụ, suy dẫn mờ

,a

0.8

, A

,a

0.8

,a

,a

,a

*0.9

,f a
,f a
,f a

có một cây suy dẫn
và độ thuộc của nó là 0.8. Phép chiếu của cây này đợc định nghĩa trong
sự chứng minh của định lý 9.6 là: (chứa trong F-CFDL đợc sinh ra bởi F-
CFDS đã cho)
10. ÔtÔmat Cây mờ
Trong phần 8, ta giới thiệu một hệ thống sinh ngôn ngữ mờ mà đợc
dùng trong phần 9 để biểu thị tập mờ của cây suy dẫn của một văn phạm phi
ngữ cảnh mờ. Trong phần này, ta định nghĩa một ôtomat cây mờ nh một bộ
đoán nhận của một ngôn ngữ mờ.
Định nghĩa 10.1 Ôtomat cây mờ (F-TA) là bộ năm A=(S,N,T,,F) trong đó:
(1)-S là một tập hữu hạn những ký hiệu trạng thái.
(2)-N là tập hữu hạn các ký hiệu nút kết thúc.
(3)-T là tập hữu hạn các ký hiệu lá, trong đó NT=
(4)-: (NT)

{ | SìS

[0,1]}, trong đó S là một tập con hữu
hạn của S* chứa xâu rỗng . Đối với XN, (X)=

X
là một hàm từ (S\{})ìS
vào [0,1]. Nó đợc gọi là một hàm chuyển đổi trực tiếp mờ. Đối với aT,
(a)=
a
là một hàm từ {}ìS vào [0,1].
a
định nghĩa một tập con mờ trên S
mà đợc gán vào nút của a.
X
(s
1
s
2
s
k
,s)=c nghĩa là khi một nút của X có k con
Học viên: Lê Thủy Thạch Lớp: Cao học Tin học khóa 2004-2006
25
, A

, A

,a

,a

,a

,f a

,f a
,f a
A
A
a a
a
X
s
1
s
2

s
k