Báo cáo đề tài bài tập tĩnh điện

SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN CHUYÊN ĐỀ THAM GIA HỘI TRẠI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ.
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TẬP TĨNH ĐIỆN

Bài 1: xác định cường độ điện trường gây ra bởi mặt cầu kim loại tâm O bán kính R,
tích điện đều với mật độ điện mặt
σ
.
Giải:
Xét điểm A
1
, ở bên ngoài mặt cầu tích điện,cách tâm O một khoảng r > R. giả sử
σ
> 0. Xét mặt cầu S
1
tâm O bán kính r chứa điểm A
1
. Vì lí do đối xứng, cường độ
điện trường tại mọi điểm trên S
1
đều vuông góc với S
1
, có độ lớn bằng nhau, hướng ra
xa tâm O (
σ
> 0) hoặc hướng lại gần tâm O nếu
σ
< 0. Điện thông qua mặt kín S
1

là :
2
4 r E
φ π
=
Điện tích Q bên trong mặt S
1
là điện tích của toàn bộ mặt cầu ;
2
.4Q R
σ π
=
Áp dụng định lí Ô-xtri-Gau-xơ, ta có:
2
2
0 0
.4
4
Q R
r E
σ π
φ π
ε ε
= ⇒ =
Suy ra:
2
2 2
0 0
, E
4

R Q
E hay
r r
σ
ε πε
= =
Thấy cường độ điện trường tại A bên ngoài quả cầu giống cường độ điện trường
do điện tích Q đặt tại O gây ra tại A.
+ Xét điểm A
2
bên trong mặt cầu tích điện,cách tâm O một khoảng r’ < R. xét
mặt cầu S
2
, tâm O bán kính r’ chứa điểm A
2
.
Tương tự như trên ta có điện thông qua mặt kín S
2
là ;
2
4 'r E
φ π
=
Điện tích Q bên trong mặt S
2
bằng Q = 0
Áp dụng định lí Ô-xtri-Gau-xơ, ta có:
2
0
4 ' 0 0

Q
r E E
φ π
ε
= ⇒ = ⇒ =
Cường độ điện trường tại mọi điểm bên trong mặt cầu tích điện bằng không
Bài 2: Xác định cường độ điện trường gây bởi một dây dẫn thẳng dài vô hạn tích
điện đều.
Giải:
Sự phân bố điện tích trên dây được đặc trưng bởi mật độ điện dài
λ
(có giá trị
bằng điện tích trên một đơn vị dài của dây, đơn vị C/m.
Giả sử cần xác định cường độ điện trường gây ra tại A cách trục của dây một
khoảng r sự phân bố điện tích có tính đối xứng qua trục, nên ở mọi điểm cách đều dây
cường độ điện trường có độ lớn bằng nhau. Đường sức là những đường cắt trục và
hướng ra xa trục nếu
λ
>0 và hướng về trục nếu
λ
< 0. Chọn mặt kín S là mặt hình trụ
đồng trục với dây và bán kính bằng r, có chiều dài l. Điện thông qua hai mặt đáy bằng
không vì véc tơ E song song với chúng, điện thông toàn phần bằng điện thông qua mặt
bên hình trụ và bằng:
2 .rl E
φ π
=
Điện tích có bên trong mặt kín S là điện tích có trên dây dài l nằm trong mặt trụ:
Q =
λ

l Áp dụng định lí Ô-xtri-Gau-xơ, ta có:
0 0 0
2 .
2
Q l
rl E E
r
λ λ
φ π
ε ε πε
= ⇒ = ⇒ =
Nhận xét: Cường độ điện trường do dây dẫn dài vô hạn tích điện đều gây ra tại
điểm A có độ lớn tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ A đến dây.
Bài 3:
Một bán cầu kim loại tâm O, đỉnh A, bán kính R, mang điện tích phân bố đều
với mật độ điện mặt
σ
. Xác định cường độ điện trường do bán cầu gây ra tại tâm
O.Ghi chú: Nếu chia bán kính OA thành các đoạn nhỏ
∆
h thì
OA
h h∆
∑
, ứng với tất cả
các đoạn nhỏ
∆
h ( h là khoảng cách từ O đến đoạn
∆
h đang xét),

có trị số bằng
2
2
R
Giải:
Do có tính đối xứng với OA nên véc tơ cường độ điện trường
E
r
do bán cầu gây ra
tại O có phương OA và hướng từ A sang O (nếu
σ
>0) hoặc có chiều ngược lại
σ
<0.
Để xác định
E
r
ta chia bán kính OA thành các đoạn nhỏ
∆
h bằng các mặt phẳng
vuông góc OA, các mặt phẳng này chia bán cầu thành các đới cầu có chiều cao
∆
h
các đới cầu này coi là các vòng dây mảnh có tâm M cách tâm O khoảng OA một
đoạn OM = h và mang điện tích
. .2 .q S R h
σ σ π
∆ = ∆ = ∆
(
2 .S R h

π
∆ = ∆
là diện tích của đới
cầu) . Ta thấy mỗi đới cầu gây ra tại tâm O một điện trường
E∆
r
hướng từ A sang O
(nếu
σ
>0) hoặc có chiều ngược lại
σ
<0, và có cường độ:
3 2
1 .
.
4 2
o o
qh h h
E
R R
σ
πε ε
∆ ∆
∆ = =
. Cường độ điện trường do toàn bộ bán cầu gây ra tại O là:
E E= ∆
∑
r r
Vậy véc tơ
E

r
có phương OA có chiều từ A đến O, có độ lớn:
2 2
2 2
OA OA
o o
E E h h h h
R R
σ σ
ε ε
= = ∆ = ∆
∑ ∑ ∑
ở đây
OA
∑
lấy toàn bộ các đoạn nhỏ
∆
h của OA
Theo đề bài
2
2
OA
R
h h∆ =
∑
do đó
4
o
E
σ

ε
=
( Theo toán học có thể viết:
2
2 2
.
2 2 2 4
o
R
E
R R
σ σ σ
π π ε
= = =
)
Ta thấy cường độ điện trường không phụ thuộc vào bán kính của bán cầu, nếu bán
kính lớn vô cùng thì bán cầu trở thành mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều thế nhưng
cường độ điện trường lại không bằng
2
o
E
σ
ε
=
vậy cần thận trọng khi lập luận những
bài toán mà điện tích ở xa vô cùng.
Bài 4:
Trong một hình cầu bằng kim loại mỏng, bán kính R= 20cm,
có một hình cầu bằng kim loại đồng tâm, bán kính r = 10 cm,
nối với đất bằng một dây dẫn rất dàidi qua một lỗ của hình

cầu lớn, hình cầu lớn được truyền điện tích Q = 10
- 8
C.
Tính: Điện thế của nó và điện dung của hệ thống
vật dẫn tạo thành; vẽ sơ độ điện dung tương đương và tìm điện dung trên.
≈
Giải:
Cách 1:
Gọi q là điện tích cảm ứng trên hình cầu nhỏ. Nếu bỏ qua sự nhiễu nhỏ do dây dẫn
thì điện trường ở ngoài hình cầu lớn không khác gì trường hợp tất cả các điện tích đều
tập trung ở tâm, nghĩa là điện thế của quả cầu lớn là:
1
0
4
Q q
V
R
πε
+
=
mặt khác điện tích
trên cầu lớn không ảnh hưởng gì đến điện trường trong lòng nó, đối với điện trường
này coi như không tồn tại điện tích Q mà chỉ có điện tích q, sinh ra điện thế :
0
4
q
R
πε
ở mặt cầu lớn và điện thế :
0

4
q
r
πε
ở mặt cầu nhỏ hiệu điện thế giữa hai cầu là:
1
( )
4
o
q q
V
r R
πε
∆ = −
Mặt khác ta có
2 1 2 1
1
( )
4
o
Q q
V V V V V V
R r
πε
− = ∆ ⇒ = +∆ = +
2
1
( )
r 4
o

rQ Rq
V
R
πε
+
⇒ =
Cầu nhỏ nối đất nghĩa là V
2
= 0 =>
r
q Q
R
= −
1
2
0 0
1 1 ( )
225
4 4
Q q Q R r
V V
R R
πε πε
+ −
= = =

điện dung
8
1
10

44
225
Q
C pF
V
−
= = =
Cách 2:
Hệ thống tương đương hai tụ ghép song song, C
1
là tụ gồm hai cầu, C
2
là tụ mà
một điện cực là cầu lớn và cực kia là đất.
Điện dung của mộs ở t hình cầu bán kính R
đối với đất ở rất xa là
2 0
4C R
πε
=
.
C
1
C
2
Điện dung của hai hình cầu cái ở trong nối đất là :
1 0
4
Rr
C

R r
πε
=
−
Vậy điện dung của hệ thống là:
2
1 2 0
4
R
C C C
R r
πε
= + =
−
= 44 (pF)
Điện thế của quả cầu lớn là:
1
2
0
1 ( )
225
4
Q Q R r
V V
C R
πε
−
= = =
Bài 5:
Tại các đỉnh của một đa giác đều có 2001cạnh độ dài mỗi cạch là 1 cm nằm trên

mặt phẳng nhẵn nằm ngang, có gắn các quả cầu nhỏ có cùng điện tích q.
Ban đầu một trong các quả cầu đó được giải phóng ra khỏi đa giác, sau một thời gian
đủ lớn, các quả cầu bên cạch lại được giải phóng khỏi đa giác. Khi đã đi rất xa đa
giác( ở vô cực) người ta thấy động năng của quả cầu sau nhỏ hơn động năng của quả
cầu đầu một lượng bằng
∆
E = 0,009 J. Tìm độ lớn của điện tích q.
Giải:
Khi một điện tích q nằm trong điện trường do một điện tích Q gây ra, cách Q
một khoảng r, muốn di chuyển q ra xa vô cùng điện trường đó cần thực hiện một
công : A= q (V – V
∞
) =
kQq
r
, mặt khác khi ở xa vô cùng, điện tích q có
vận tốc v, theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
2
2
mv Qq
k
r
=
Vậy nếu có hệ điện tích như hình 2.1
q
n
q
1
q
2

q
3
q
4
q
n-1
a
1
a
2
a
3
a
n
-
1
a
n
-
2
∞
.
.
.
.
.
.
với: q
1
= q

2
= = q
n-1
= q
n
= q ; a
1
= a
n-1
= a Giả sử ban đầu điện tích q
1
được giải
phóng khỏi đa giác ra xa vô cực. khi đó, điện trương do các điện tích còn lại tạo ra tại
đỉnh đặt q
1
, thực hiện một công: A = A
1
+ A
2
+A
3
+ A
n-1
+ A
n

với:
2
2
2 1

1
q q
A k q k
a a
= =

2
3
3 1
2 2
q
q
A k q k
a a
= =


2
1
1 1
2 2
n
n
n n
q
q
A k q k
a a
−
−

− −
= =

2
1
1 1
n
n
n n
q
q
A k q k
a a
− −
= =
Gọi v
1
là vận tốc của q
1
khi nó ở xa vô cùng,ta có:
2
2
1
2
1 1 1
( )
1 2
mv
A kq
a a a

= + + + =
−
(2)
Sau đó một thời gian đủ lớn, giả sử quả cầu bên cạnh q
2
lại được giải phóng
đi ra xa vô cùng, khoảng cách giữa q
2
và q
3
là a
2
’, giữa q
2 và
q
n
là a’
n-2
Tương tự như trên ta có:
2
' 2
2
2
1 1 1
( )
2 2
mv
A kq
a a a
= + + + =

−
(3)
Theo đề bài từ (2) và (3) ta có:
2 2 2
2
1 2
1
2 2 1
mv mv
q
E kq k
a a
∆ = − = =
−
Từ đó
a E
q
k
∆
=
với k = 9.10
9
đơn vị hệ SI =>
7
10q C
−
=
Bài 6:
Một thanh nhựa mảnh, mang điện tích q = 5.10
-8

C phân bố đều, được uốn thành
một cung tròn 270
0
(3/4 đường tròn) tâm O, bán kính r = 10cm ( Hình 10)
a, Xác định véc tơ cường độ điện trường và điện thế tại tâm O.
b, Người ta ghép thêm một thanh nhựa khác có cùng bán kính r = 10cm vào phần
AD để tạo thành một đường tròn khép kín. Phần AD mang điện tích -q = 5.10
-8
C
phân bố đều. Tính công cần thực hiện để dịch chuyển một điện tích Q = - 3.10
-6
C từ
xa vô cực về điểm O
Giải:
A, Mật độ điện dài
λ
của thanh được tính bởi:
2
3
3
2
4
q q
r
r
λ
π
π
= =
xét đoạn nhỏ dl của thanh tại điểm M, mang điện tíc dq =

λ
dl,
gây ra tại O Cường độ điện trường
dE
r
(Hình vẽ) có phương MO, hướng M->O vì q >0
và có độ lớn
2
dl
dE k
r
λ
=
Phân tích
dE
r
thành hai thành phần
x
dE
r
và
y
dE
r
vì thanh có dạng đối xứng qua trục
O ty, nên nếu xét đoạn dl’ đối xứng dl qua trục Oy thì cường độ điện trường
dE
r
’ do
đoạn dl’ gây ra có hai thành phần

x
dE
r
’ trực đối
x
dE
r
=>
x
dE
r
+
x
dE
r
’=
0
r
điều đó chứng tỏ
cường độ điện trường tổng hợp do thanh gây ra tại O không có thành phần trên trục
Ox, nghĩa là véc tơ
0
E
r
nằm trên trục Oy
=>
0 y
E dE
=
∫

r r
Với dE
y
=dEcos
θ
=
2
osc
k dl
r
λ θ
vì l = r
θ
; dl = rd
θ
nên
os
y
c
dE k d
r
λ θ
θ
=
Vậy
0
os
y
k
E dE c d

r
λ
θ θ
= =
∫ ∫
(1)
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
A
D
H
C
M
B
G
x
y
y
D
+
+

+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
A
D
H
C
M
B
G
x
y
y
D
Từ hình vẽ nhận thấy các đoạn AG và HD của thanh gây ra tại O véc tơ cường độ điện
trường
1
E
r
có hướng ngược chiều dương của Oy, còn đoạn GBCH tạo ra tại O cường độ
điện trường
2
E
r

hướng theo chiều dương của Oy, ta có :
0 1 2
E E E
= +
r r r
Theo(1) ta có:
0
45
1
0
2 os 2
k k
E c d
r r
λ λ
θ θ
= =
∫
;
0
90
2
0
2 os 2
k k
E c d
r r
λ λ
θ θ
= =

∫
Vì E
2
> E
1
nên véc tơ
0
E
r
hướng theo chiều dương của trục Oy và có độ lớn:
0 2 1
2
2
2 (2 2)
3
k kq
E E E
r r
λ
π
= − = = −
 E
0
= 0,53. 10
4
v/m
Điện thế do thanh gây ra tại O ( chọn
V
∞
=0 )

3
0
4,5.10
dq k kq
V k dq V
r r r
= = = =
∫ ∫
b,
0
( )
0
kq k q
V
r r
−
= + =
do đó:
0
( ) 0A Q V V
∞
= − − =
Bài 7:
Một vòng dây bán kính R = 5 cm, tích điện Q phân bố đều trên vòng dây,
vòng được đặt trong mặt phẳng thẳng đứng, quả cầu nhỏ m = 1g tích điện q = Q được
treo bằng sợi dây mảnh cách điện,dài l = 7,2 cm (dây không dãn, khối lượng dây
không đáng kể) vào điểm cao nhất của vòng dây, khi cân bằng, quả cầu nằm trên trục
của vòng dây.
a,Tính điện tích Q của vòng dây
b, Tìm khoảng cách từ điểm đặt điện tích q (điểm M ) đến tâm vòng dây để

cường độ điện trường tại M đạt cực đại.
R
Q
l
x
M
1
dE
r
1x
dE
r
q
α
Giải:
Chia vòng dây thành các phần tử dài
dl, điện tích dq
1
, với mật độ điện dài

2
Q
R
λ
π
=
Điện tích dq
1
gây ra tại M
(cách tâm O đoạn x) cường độ điện trường dE

1
:
1 1
1
2 2 2
dq dq
dE k k
l R x
= =
+
r
thành phần
1
dE
r
gây ra cường độ điện trường dọc theo trục
xx’véc tơ
1x
dE
r
1x 1 1
2 2
2 2 2 2
. os .
x dq x
dE dE c dE k
R x
R x R x
α
= = =

+
+ +
1x
2 2 3/2 2 2 3/2
. . .
( ) ( ) .2
dq x dl x Q
dE k k
R x R x R
π
= =
+ +
Vậy cường độ điện trường do cả vòng dây gây ra tại M là:
2 2
2 2 3/2 2 2 3/2
0 0
. .
( ) .2 ( )
R R
x Q x Q
E dE k dl k
R x R R x
π π
π
= = =
+ +
∫ ∫
Nhận xét:
Nếu: x = 0 => E = 0 ( Tại tâm vòng dây E = 0)
Nếu: x >> R ( điểm M ở rất xa vòng dây)

2
q
E k
x
=
giống như cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm nằm ở tâm
vòng dây.
Vậy cường độ điện trường do vòng dây gây ra tại điểm đặt điện tích q là:

2 2 3/2
.
( )
x Q
E k
R x
=
+
có hướng ra xa vòng dây nếu Q > 0; hướng lại gần vòng dây nếu Q <0.
Lực điện tác dụng vào điện tích q = Q đặt tại M là:
2
2 2 3/2
.
( )
x Q
F qE QE k
R x
= = =
+
(1)
*Điện tích Q tại M chịu tác dụng của 3 lực:

P
r
;
T
r
;
d
F
r
cân bằng tại M.
P
r
+
T
r
+
d
F
r
=
0
r
Có:
tan
d
P R
F h
α
= =
=>

. .
(2)
P h mg h
F
R R
= =
Từ (1) và (2) ta có:
8
9.10 ( )
R
mgl
Q l C
k
−
= =
b, Tìm x để E
Mmax
Từ:
2 2 3/2
.
( )
M
x Q
E k
R x
=
+
áp dụng BĐT cô si có E
Mmax
khi

2
R
x =
Và
ax
2
2
3 3.
Mm
kQ
E
R
=
Bài 8.
Một electrôn chỉ dịch chuyển trên trục đi qua tâm O của một vòng tích điện có
bán kính R. Chứng minh rằng lực tĩnh điện tác dụng lên electrôn có thể làm cho nó dao
động quanh tâm O của vòng với tần số góc
3
0
4 R
eq
m
ω
πε
=
.Trong đó q là điện tíc
trên vòng , m là khối lượng của electrôn.
Giải:
Từ kết quả bài 7 chứng minh được
cường độ điện trường do một vòng dây

tích điện gây ra tại một điểm M trên trục
của nó cách O một khoảng x là:
2 2 3/2
.
( )
M
x q
E k
R x
=
+
• Khi electrôn ở O ( x = 0) nên có E = 0 => F
đ
= 0
• Khi electrôn ở M lực điện tác dụng nên nó bằng:
2 2 3/2
. .
.
( )
M M
x q e
F e E k
R x
= − = −
+
Lực này luôn ngược hướng với x vì luôn kéo
electrôn về vị trí cân bằng O
Giả sử xét dịch chuyển nhỏ của electrôn ( x<<R) => áp dụng gần đúng ta có:
2 2
3/2

2 2 3/2 3 2 3 2
3
(1 ) (1 )
( ) 2
x x x x x
R x R R R R
−
≈ + ≈ − +
+
Lấy gần đúng đến bậc nhất của x ta có:
2
3
xeq
F k m x
R
ω
= − = −
F = mx” và đặt
2
3
R
keq
m
ω
=
R
q
x
M
x

=>
2
" 0x x
ω
+ =
Phương trình mô tả electrôn dao động điều hòa quanh O với tần số
góc
3 3
0
R 4 R
kqe qe
m m
ω
πε
= =
(ĐCCM)
Bài 9.
Một thanh nhựa có điện tích +q phân bố đều dọc theo thanh, tạo thành cung tròn
bán kính R trong mặt phẳng xy. Hỏi độ lớn và hướng của cường độ điện trường ở tâm
của cung tròn.
Giải:
Giả sử cung tròn AB có điện tích –q phân bố đều, do tính chất đối xứng nên
véc tơ cường độ điện trường tại O có phương nằm trên đường OC qua điểm C là trung
điểm của AB. Xét phần tử dl của cung có điện tích dq
dq dl
λ
=
(
λ
là mật độ điện dài)

q
l
λ
=
Gây ra tại O cường độ điện trường
2 2
dq dl
dE k k
R R
λ
= =
Véc tơ cường độ điệntrường tổng hợp tại O là:
AB
E dE
=
∫
r r

chiếu lên OC ta được:
2 2
d
os os os os d
AB AB AB AB
dl R
E dEc k c k c k c
R R R
λ λ θ λ
θ θ θ θ θ
= = = =
∫ ∫ ∫ ∫

Xét trên toàn miền AB có:
0
0
2
0
2 os 2 sinE k c d k
R R
θ
λ λ
θ θ θ
= =
∫
0
2
sin
k
E
R
λ
θ
=
có hướng O > C nếu q < 0
có hướng C > O nếu q > 0
Bài 10.
-
-
-
-
-
-

A
B
R
R
O
dq
d
dq
R
Một thanh mỏng không dẫn điện có chiều dài hữu hạn L và có điện tích trải đều
dọc theo nó. Chứng minh rằng độ lớn của cường độ điện trường ở điểm P nằm trên
đường vuông góc với thanh, cách thanh một khoảng y và qua trung điểm của nó được
cho bởi:
2 2 1/2
0
1
.
2 ( 4 )
q
E
y L y
πε
=
+
Giải:
Xét phần tử dl gây ra tại P điện trường d
E
r
dq =
λ

dl =
q
dl
L
2 2
k dl kqdl
dE
r Lr
λ
= =
(1) chiếu (1) lên HP
ta được
2
cos
y
kqdl
dE
Lr
θ
=
Với: x = y tan
θ
;
2
os
d
dl y
c
θ
θ

=
2 os 2 os
AB AB
E dEc k c d
y
λ
θ θ θ
= =
∫ ∫
2 2
2 2 2
sin
4
k k x kq
E
y y r
y y L
λ λ
θ
= = =
+
=>
2 2 1/2
0
1
2 ( 4 )
q
E
y L y
πε

=
+
p
L
dl
x
y
r
H
M+
+
+
+
+
+
+
+
y
dy