Báo cáo phương pháp ảnh điện

PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN
Vũ Đức Thọ, Nguyễn Văn Huyên- Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định
MỞ ĐẦU .
Một trong những mục tiêu quan trọng đề ra cho các môn học trong trường phổ thông là
ngoài việc trang bị cho học sinh vốn kiến thức, kỹ năng tối thiểu cần thiết, cần phải tạo ra
cho học sinh một năng lực sáng tạo để họ có thể đi xa hơn những hiểu biết mà họ đã thu
lượm được trong nhà trường. Năng lực đó chính là khả năng giải quyết những vấn đề mà
trong quá trình học tập, nghiên cứu và trong cuộc sống đặt ra cho họ, là khả năng tự vạch ra
đường đi để đạt tới những nhận thức mới.
Để đạt được mục đích đó, chúng ta cần phải nghiên cứu, áp dụng và liên tục đổi mới
phương pháp giảng dạy. Hiện nay chúng ta đã sử dụng một số phương pháp dạy học vật lý
mang lại những hiệu quả nhất định như phương pháp thực nghiệm, phương pháp tương tự
hóa, phương pháp mô phỏng, phương pháp đồ thị
Phương pháp mô hình là một trong những phương pháp nhận thức khoa học được vận
dụng vào trong dạy học ở hầu hết các môn học, đặc biệt là trong giảng dạy và nghiên cứu vật
lý. Nó thể hiện trước hết ở tính sâu sắc, tính hệ thống của các kiến thức, tạo điều kiện cho
học sinh phát hiện những mối liên hệ giữa các hệ thống khác nhau ở các phần khác nhau của
vật lí. Nội dung cơ bản của phương pháp mô hình là dựa trên các tính chất khác nhau liên
quan đến tính đồng dạng vật lí của các hiện tượng ta có thể thay thế những bài toán khó,
phức tạp bằng các bài toán gắn với những hiện tượng đơn giản hơn, đã biết dựa vào tính
đồng dạng của chúng.
Ảnh điện là một ví dụ cụ thể của phương pháp mô hình áp dụng trong vật lý
Nội dung bài viết này được trích từ các chuyên đề mà chúng tôi đã dùng để giảng dạy
cho học sinh các lớp chuyên lý và học sinh các đội tuyển HSG của tỉnh tham dự kì thi HSG
quốc gia môn vật lý với mục tiêu là giúp học sinh có thói quen nhìn nhận các vấn đề tổng
quát và mô hình, những thao tác hết sức cần thiết cho học tập và nghiên cứu. Vận dụng
phương pháp này có thể giải được khá nhiều các bài toán thuộc chương trình thi HSG Tỉnh,
quốc gia, khu vực, quốc tế thuộc các phần khác nhau của vật lý.
PHẦN THỨ NHẤT:
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN.
1. Nội dung của những bài toán cơ bản của tĩnh điện học là biết được sự phân bố điện tích

trong không gian, ta cần tìm điện thế và cường độ điện trường ở mỗi điểm. Ngược lại, có khi
ta biết được giá trị điện thế, hay điện trường ở một số điểm, ta cần tìm sự phân bố điện tích
trong không gian, hay giá trị điện thế tại những điểm khác.
Về mặt toán học, những bài toán như thế dẫn đến việc giải một số phương trình tổng
quát. Đó là các phương trình Poisson và phương trình Laplaxe.
1.1. Phương trình Poisson :
2 2 2
2 2 2
0
x y z
∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ρ
+ + = −
ε
∂ ∂ ∂
Hay
2
0
P
∇ ϕ = −
ε
(1-1)
Trong đó ϕ là điện thế của trường gây bởi các điện tích khối có mật độ P. Còn ∇ là
toán tử Laplaxe.
1.2. Trong trường hợp miền khảo sát không có điện tích thì ρ = 0 và ta có phương
trình Laplaxe. ∇
2
ϕ = 0 (1-2)
Các phương trình (1-1) và (1-2) là các phương trình cơ bản của tĩnh điện học. Để tìm lời
giải cho những bài toán tĩnh điện, trong từng trường hợp cụ thể ta còn cần biết những điều
kiện biên, điều kiện ở các mặt giới hạn…

2. Trong trạng thái cân bằng tĩnh điện, tất cả các điện tích phân bố trên bề mặt vật dẫn, nên
mậtđộ điện tích khối trong vật dẫn cũng như trong không gian giữa các vật dẫn đều bằng 0.
Hàm điện thế ϕ trong không gian sinh ra bởi hệ thống các vật dẫn chính là nghiệm của
phương trình Laplaxe. Hàm ϕ phải đồng thời thoả mãn các điều kiện biên của bài toán đã
cho nghĩa là :
2.1. Bằng các giá trị điện thế cho trước ở các vật dẫn hoặc điện tích trên mỗi vật dẫn
tương ứng bằng các giá trị điện tích cho trước ở từng vật dẫn.
2.2. Trong trường hợp có điện môi, hàm điện thế ϕ phải là hàm liên tục và thoả mãn
các điều kiện về sự biến thiên của điện trường ở mặt giới hạn chất điện môi :
- Theo phương tiếp tuyến : E
1t
= E
2t
- Theo phương pháp tuyến : E
1n
= ε
2
E
2n
3. Hàm điện thế ϕ thoả mãn phương trình Laplaxe được gọi là hàm điều hoà, nó có tính chất
là giá trị trung bình của ϕ trên mặt cầu bất ký bằng giá trị ϕ ở tâm hình cầu đó.
4. Người ta chứng minh được rằng hàm điện thế ϕ là nghiệm của phương trình Laplaxe và
thoả mãn các điều kiện biên sẽ là nghiệm duy nhất. Từ định lý về tính duy nhất này ta rút ra
các hệ quả sau :
4.1. Cho trước sự phân bố của một hệ các điện tích. Điện trường do hệ điện tích này
sinh ra ở phần bên ngoài các vật dẫn sẽ không thay đổi nếu ta thay thế một tập hợp nào đó có
các điện tích đã cho bằng tập hợp các điện tích mới, sao cho điện thế tổng cộng thoả mãn các
điều kiện biên đã cho.
4.2. Điện trường của hệ điện tích cho trước sẽ không bị thay đổi nếu ta lấp đầy thể
tích được giới hạn bởi một mặt đẳng thế nào đó, có chứa trong nó một điện tích tổng cộng Q

bằng một vẫn dẫn điện cũng chứa điện tích Q.
4.3. Một mặt đẳng thế bất kỳ có thể được thay thế bằng một bản dẫn mỏng vô hạn có
điện thế tương ứng, trường ở cả hai phía của bản khi đó không thay đổi.
5. Nội dung của phương pháp ảnh điện.
5.1. Vấn đề tính toán trực tiếp trường sinh ra bởi hệ thống các điện tích và các vật dẫn
(hoặc các điện môi) là rất khó khăn vì khi có mặt thêm các điện tích hưởng ứng (hoặc các
điện tích liên kết) sự phân bố điện tích mặt trở lên phức tạp.
5.2. Để khắc phục khó khăn này ta cần chú ý rằng đặc điểm của điện trường tĩnh điện
hoàn toàn được xác định bởi các giá trị điện thế mô tả tính chất của trường tại biên giới giữa
các vật dẫn và điện môi khác nhau, lẫn đạo hàm của chúng theo phương pháp tuyến với bề
mặt đó. Như vậy nếu ở về một phía của mặt biên, ta làm biến đổi các thông số của môi
trường (chẳng hạn thay vật dẫn này bằng vật dẫn khác hoặc điện môi, thay điện môi này
bằng điện môi khác hoặc vật dẫn). Rồi ta thiết lập sự phân bố các điện mới đơn giản hơn,
sao cho các điều kiện biên hoàn toàn được giữ nguyên như trước. Theo định luật về tính duy
nhất ta có thể kết luận rằng: trường ở phía bên kia của mặt biên vẫn không thay đổi.
5.3. Khi đó ta dễ dàng tiến hành mọi tính toán và giải các bài tập tĩnh điện đối với hệ
điện tích điểm này. Hệ điện tích vừa được đưa vào như vậy được gọi là điện tích ảnh của các
điện tích đã cho.
5.4. Nội dung chủ yếu của phương pháp ảnh điện là xác định được các điện tích ảnh, sau
đó ta bước vào giải bài toán tĩnh điện trên hệ điện tích ảnh đã tìm và hệ điện tích điểm ban
đầu đã biết. Nghiệm của bài toán cũng là nghiệm duy nhất phải tìm. Như vậy ta đã chuyển
bài toán phức tạp có những điện tích phân bố liên tục về bài toán đơn giản chỉ gồm các điện
tích điểm bằng cách thay thế hệ vô hạn các điện tích phân bố phức tạp bằng các điện tích ảnh
điểm.
PHẦN THỨ HAI
ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TĨNH ĐIỆN
I. TRƯỜNG GÂY BỞI CÁC ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ TRÊN MẶT GIỚI HẠN LÀ
MẶT PHẲNG
Bài toán 1: Một điện tích điểm q = 20,0 nc đặt trong chân không cách một thành phẳng
bằng kim loại đã nối đất một khoảng a = 50mm.

1. Tìm lực F trong tương tác giữa điện tích q và thành phẳng .
2. Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn.
Bài giải :
1. Vì thành phẳng kim loại nối đất nên điện thế của thành
phẳng bằng 0.
Ta xét phổ đường sức và mặt đẳng thế của một hệ hai điện tích điểm bằng nhau, trái dấu
(hình vẽ). Ta thấy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điện tích + q và - q là một
mặt đẳng thế, mọi điểm trên mặt phẳng có điện thế bằng 0.
Như vậy nếu ta thay mặt đẳng thế này bằng một mặt kim loại phẳng vô hạn (nối đất, lúc
đầu không mang điện) thì theo kết quả trên điện trường giữa + q và mặt phẳng sẽ không bị
thay đổi, nghĩa là điện trường đã được gây ra bởi các điện tích σ trong kim loại trùng với
điện trường gây bởi điện tích – q đặt đối xứng với q qua bản kim loại. Điện tích ảo – q gọi là
ảnh của điện tích q qua bản kim loại.
Vậy lực tương tác giữa q và bản kim loại là : F =
2
4
2
3,6.10
16
q
F N
a
−
= =
πε
Chú ý: bài toán này ta cũng có thể giải bằng phương pháp thông thường như sau:
+ Trước hết chúng ta tính điện trường E
1(x)
tạo bởi các điện tích cảm ứng trên thành tại
điểm M

x
(x > 0) . Do tính đối xứng (thành rộng vô hạn nên
)(1 x
E
có hướng dọc theo trục ox.
Ta hãy tính điện thế V
1(x)
tại M(x) gây bởi các điện tích cảm
ứng của thành.
Xét điểm M’
(x)
nằm trong kim loại. Vì thành rộng vô hạn, có thể
xem các điện tích cảm ứng chỉ phân bố trên mặt phẳng trung trực
của MM’ do đó.
V
t(x)
= V
t(-x)
(1)
Điện thế tại M’ là V
(-x)
= 0 Vì thành nối đất . Hơn nữa V
t(-x)
là kết
quả của sự chồng chất V
t(-x)
và V
q(-x)
nên:
0 = V

(-x)
= V
t(-x)
+ V
q(-x)
= V
t(-x)
+
xa
kq
+
(2)
Từ (1) và (2) → V
t(x)
=
2
)( xa
kq
+
−
(3)
Do đó E
(x)
=
( ) ( )
( )
2 2
( ) 4
t x
d V

kq kq
E x E a
dx
a x a
= = − → =−
+

Lực tương tác giữa điện tích q và thành phẳng xác định bởi: F = E
(a)
.q = -
2
2
4a
kq
Dấu (-) chứng tỏ F hướng theo chiều âm của ox tức là thành hút điện tích .
Ta nhận thấy E
(x)
giống như một điện trường gây bởi một điện tích điểm – q đặt đối
xứng với q qua mặt phẳng . Điều đó cho phép ta áp dụng phương pháp ảnh điện tức là thay
toàn bộ điện tích cảm ứng trên thành bằng một điện tích điểm ảnh –q đặt đối xứng với q.
2. Xét trường gây ra tại điểm M nằm trên mặt vật dẫn, cách
A một khoảng r. Cường độ điện trường do các điện tích q và
-q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ. Độ lớn :
1 2
2
0
4
q
E E
r

= =
πε
.
Cường độ điện trường tổng hợp do hệ hai điện tích q và
-q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ.
Độ lớn :
1
3
0
2 os
2
qa
E E c
r
= α=
πε
.
Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn :
0
3
2
qa
E
r
σ=ε =
π
.
Bài toán 2: Tính điện dung của một dây dẫn hình trụ bán kính R dài vô hạn, mang điện
dương, đặt song song với mặt đất và cách mặt đất một khoảng h ( h >> R).
Bài giải :

Điện phổ của điện trường giữa dây dẫn và mặt đất được biểu diễn
như hình vẽ.
Áp dụng phương pháp ảnh điện, ta có thể coi điện trường này là
do dây dẫn và ảnh của nó qua mặt đất gây nên. Đó là điện trường
tổng hợp của hai mặt trụ dẫn điện dài vô hạn tích điện trái dấu gây ra.
Có thể sử dụng định lý Ostrograski – Gaox để tính cường độ điện trường do một dây dẫn
H
hình trụ gây ra tại điểm cách trục của dây khoảng r là :
0
0 0
2
R
E
r r
λ σ
= =
πε ε ε ε
Trong đó : λ, σ là mật độ điện dài và mật độ điện mặt. R là bán kính hình trụ.
Cường độ điện trường tổng hợp do một đoạn dây dẫn hình trụ dài 1 gây ra tại một điểm
cách dây mang điện dương một khoảng x là :
0 0
2 2 (2 )
q q
E
lx l h x
= +
πεε πεε −
Trong đó : q là độ lớn điện tích trên một đoạn dây l
Hiệu điện thế giữa hai dây dẫn :
2 2

1 2
0 0
2 2 (2 )
h R h R
R R
q q
V V Edx dx
lx l h x
− −
 
− = = +
 
πεε πεε −
 
∫ ∫

1 2
0
2
ln
q h
V V
l R
⇒ − =
πεε
Vì hiệu điện thế giữa dây dẫn và ảnh của nó lớn gấp đôi hiệu điện thế giữa hai dây dẫn
và mặt đất. Nên hiệu điện thế giữa dây dẫn và mặt đất sẽ là :

1 2
0

2
ln
2 2
V V q h
U
l R
−
= =
πεε
Coi hệ thống dây dẫn và mặt đất như một tụ điện đơn giản, ta sẽ tính được điện dung của
một đơn vị dài của dây dẫn:
0
2
2
ln
lq
C
h
U
R
πεε
= =
Bài toán 3 : Một điện tích điểm q đặt tại điểm A cách mặt phẳng phân chia hai môi trường
điện môi đồng chất, vô hạn một khoảng a, hằng số điện môi của các môi trường ε
1
, ε
2
.
1. Tìm điện thế ϕ của điện trường.
2. Lực tác dụng lên điện tích q.

Bài giải :
1. Khi đặt điện tích q vào trong môi trường điện môi, môi
trường sẽ bị phân cực. Điện thế ϕ của trường tĩnh điện khi đó
được xác định bằng tổng điện thế ϕ
0
gây bởi các điện tích tự do
và điện thế ϕ’ gây bởi các điện tích liên kết trong môi trường
điện môi.
+ Đối với môi trường ε
1
:
1
1 1
'
.
kq
r
ϕ = + ϕ
ε
(1)
Trong đó : ϕ’ là điện thế do các điện tích liên kết gây ra còn r
1
là khoảng cách từ điểm
quan sát đến điện tích q.
Ta cần chú ý rằng điện tích khối trong toàn điện môi ρ = 0
Mặt khác ta có thể nhận xét thấy rằng, dưới tác dụng của lực điện trường, cả hai điện môi
đều bị phân cực với mức độ khác nhau. Sự phân cực có tính chất đối xứng qua trục Oz hạ từ
điểm đặt q xuống mặt phẳng. Do tính đối xứng trong toàn không gian mà ta có thể đặt vấn
đề là thay các điện tích liên kết trên mặt phân cách bằng điện tích λq đặt tại điểm B đối xứng
với A qua mặt phân cách. Khi đó :

'
1 2
'
.
k q
r
λ
ϕ =
ε
(2)
Vì rằng trong môi trường hai không có các điện tích tự do nên điện thế ϕ
2
có thể viết :

2
2 2
.
k q
r
µ
ϕ =
ε
(3)
Do tính liên tục của điện thế trên mặt điện môi nên:
1 0 2 0z z= =
ϕ =ϕ
(4)
Ta hãy biểu diễn r
1
, r

2
trong hệ trục toạ độ đề các
2 2 2
1
( )r x y z a= + + −
;
' 2 2 2
2
( )r x y z a= + + +
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có :
2 2 2 2
1 2
(1 )k q k q
x a x a
+ λ µ
=
ε + ε +

1 2
(1 )+λ µ
⇒ =
ε ε
(a)
Vì trên mặt phân cách không có điện tích liên kết khối nối theo phương tiếp tuyến với
mặt phân cách điện trường không đổi, còn thành phần pháp tuyến với mặt phân cách thì :
ε
1
E
1n
= ε

2
E
2n
(5)
Lấy đạo hàm điện thế ϕ theo z tại z = 0 thay vào (5) ta được :
1 - λ = µ (b)
Từ (a) và (b) ta được :
1 2 2
1 2 1 2
2
;
ε − ε ε
λ = µ =
ε + ε ε + ε
Cuối cùng :
1 2
1
'
1 1
1 1 2 2
( )
( )
kq kq
r
r
ε − ε
ϕ = +
ε
ε ε + ε
(6)

2
1 2
2
( )
kq
ϕ =
ε + ε
(7)
* Nhận xét :
Các hệ thức (6) và (7) nói lên rằng, khi xét điện trường trong môi trường ε
1
ta đã đem
gộp và thay thế tác dụng của các lưỡng cực trên mặt phân cách bằng một điện tích q' = λq
đặt đối xứng với q qua mặt phân cách với giả thiết toàn không gian là môi trường ε
1
. Còn khi
xét điện trường trong môi trường ε
2
ta đã thay thế tác dụng của các điện tích tự do và các
điện tích phân cực trên mặt phân cách bằng một điện tích q'' = µq đặt ở vị trí của q. Với giả
thiết toàn không gian chứa môi trường ε
2
.
2. Lực tương tác giữa q và lớp điện môi có thể thay bằng lực tương tác giữa q và điện tích
1 2
1 2
' .q q
ε − ε
=

ε + ε
là ảnh của nó qua mặt phân cách giữa hai lớp điện môi, với giả thiết toàn
không gian là môi trường ε
1
.
F =
2
1 2
2
1 1 2
( )
( ) . 4
k q
a
ε − ε
ε ε + ε
Khi
1 2
ε >ε
, lực F là lực đẩy, như vậy điện tích lúc đầu ở trong môi trường có ε lớn sẽ bị
đẩy khỏi mặt phân cách và hướng ra xa vô hạn.
Khi
1 2
ε < ε
lực F là lực hút. Điện tích lúc đầu ở trong môi trường có ε nhỏ bị hút về mặt
phân cách, cắt mặt đó rồi đi vào môi trường kia, lúc đó nó bị đẩy khỏi mặt phân cách và đi ra
xa vô hạn.
II. TRƯỜNG GÂY BỞI CÁC ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ TRÊN MẶT GIỚI HẠN LÀ
MẶT CẦU
Bài toán 1: Một điện tích điểm q cách tâm quả cầu kim loại bán kính R nối đất một khoảng

a. Hãy xác định :
1. Xác định lực tương tác giữa điện tích q và quả cầu.
2. Cường độ điện trường do hệ gồm điện tích q và điện tích hưởng ứng trên bề mặt quả cầu
gây ra trong không gian xung quanh và trên mặt cầu.
Bài giải :
Vì quả cầu nối đất nên điện thế trên mặt quả cầu bằng 0. Trên quả cầu chỉ có các điện
tích hưởng ứng âm.
Ta có thể thay điện tích hưởng ứng trên mặt quả cầu bằng điện tích - q' sao cho điện thế
do q và -q' gây ra trên mặt cầu phải bằng 0, tức là mặt đẳng thế có điện thế bằng 0 sẽ trùng
với mặt cầu nối đất.
Vì trường có tính chất đối xứng qua trục Oq nên cần phải đặt điện tích -q' ở trên trục này.
* Đặt OC = b. Điện thế tại một điểm N bất kỳ trên mặt cầu là :

1
2 1 2
' '
0
kq kq R q
R R R q
− = ⇒ =

+ Khi N trùng B thì R
1
= R + b ; R
2
= R + a

'R b q
R a q
+

=
+
(1)
+ Khi N trùng A thì R
1
= R - b ; R
2
= a – R
'R b q
a R q
−
=
−
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
2
; '
R qR
b q
a a
= =
(3)
Vậy lực tương tác giữa quả cầu và điện tích điểm có độ
lớn là :
2 2
2 2 2 2
0 0
4 ( ) 4 ( )
Rq Raq
F

a a b a R
= =
πε − πε −
(4)
2. Cường độ điện trường do điện tích q và điện tích hưởng ứng
trên bề mặt ưủa cầu gây ra trong không gian xung quanh là :

3 3
0 0
'
4 4 '
q q
E R R
R R
= −
πε πε
uur ur uur
Trong đó : R, R’ khoảng cách từ điện tích q và q’ đến điểm quan sát.
Cường độ điện trường do q và –q’ gây ra tại N trên mặt cầu có phương, chiều như hình
vẽ. Độ lớn :
1 2
2 2
0 1 0 2
'
;
4 4
q q
E E
R R
= =

πε πε
(5)
Cường độ điện trường tổng hợp do các điện tích gây ra tại N trên mặt cầu có phương
vuông góc với mặt cầu, chiều hướng vào tâm.
Độ lớn :
2 2
1 2 1 2
2E E E E E Cos= + − α
(6), trong đó
·
·
1
EE N CNMα= =

Từ phương trình (3) và (5) ta có :
2
1 2 2 2
1 2
2
2 1 1
1
'E q R R R
E E
E R R
qR
= = ⇒ =
(7)
Trong tam giác CNM có:
( )
2 2

1 2 1 2
2a b R R R R Cos− = + − α
(8)
Từ (6), (7), (8) và để ý
1
2
'R q R
R q a
= =
ta được :
2
2
2
2
1
2
( )
R
kq a
a R kq
a
E E
R
R
R
R
a
−
−
= = ×

2 2
3
2
( )kq a R
E
RR
−
⇔ =
Nhận xét :
+ Nếu quả cầu không nối đất và không mang điện thì điện tích trên nó phải đảm bảo luôn
luôn bằng 0 và mặt cầu phải có điện thế không đổi. Như vậy điều kiện biên của bài toán sẽ là
ϕ(mặt cầu) = const và Q(mặt cầu) = 0 (9)
Dựa vào kết quả bài toán trên, để thoả mãn điều kiện biên ta có thể thay thế quả cầu bằng
điện tích q' =
qR
a
−
đặt ở C và thêm điện tích q'' = - q' =
qR
a
đặt ở tâm quả cầu. Như vậy
điện tích q'' đảm bảo cho điện thế trên mặt quả cầu ϕ (mặt cầu) = const khác 0. Còn điện tích
trong mặt cầu bằng nhau và trái dấu.
Bài toán 2: Một hạt khối lượng m, tích điện q quay quanh quả cầu dẫn điện bán kính r, tích
điện Q. Quĩ đạo của hạt là đường tròn bán kính R và tâm trùng với tâm quả cầu. Tính tốc độ
góc quay của hạt.
Bài giải
Ta có thể coi trường tạo bởi điện tích q , điện tích Q và các điện tích hưởng ứng như là
trường tạo bởi hệ của 3 điện tích : q, điện tích
'

qr
q
R
= −
đặt ở C và điện tích
qr
Q
R
+
đặt ở
tâm hình cầu
Theo kết quả bài toán trên, điện tích
'q
đặt tại C, cách tâm O một đoạn
2
/d r R=

Lực tác dụng lên điện tích q có độ lớn:
( )
2 2
0
0
' ( ')
4
4
q q q Q q
F
R
R d
+

= −
πε
πε −
( )
2
2 3
2 2
0
0
( )
4
4
q rR q QR qr
F
R
R r
+
⇔ = −
πε
πε −
F
ur
luôn hướng vào tâm O →đóng vai trò của lực hướng tâm
( )
2
2
2 3
2 2
0
0

( )
4
4
q rR q QR qr
m R
R
R r
+
⇒ − = ω
πε
πε −
( )
2 4
2 2
0
0
( )
4
4
q qr QR qr
m
R
R r
 
+
 
⇒ ω = −
 
πε
πε

−
 
 
Bài toán 3 : Một mặt phẳng dẫn điện nối đất có một chỗ lồi lên
hình bán cầu bán kính a. Tâm bán cầu nằm trên mặt phẳng.
điện tích điểm q nằm trên trục đối xứng của hệ và cách mặt
phẳng một khoảng b (b > a). Xác định điện thế ϕ và điện tích
hưởng ứng ở chỗ lồi lên.
Bài giải
1. Ta có thể coi trường tạo bởi điện tích q và các điện tích
hưởng ứng trên bề mặt kim loại như là trường tạo bởi hệ
của 4 điện tích :
+ Điện tích q.
+ Điện tích – q
1
là ảnh của điện tích q qua mặt phẳng dẫn
điện, cách mặt phẳng dẫn điện một khoảng b.
+ Điện tích – q
2
là ảnh của điện tích q qua mặt cầu bán kính a, Cách tâm mặt cầu một
khoảng b' =
2
a
b
, độ lớn điện tích
2
qa
q
b
=

+ Điện tích +q'
2
là ảnh của điện tích – q
2
qua mặt phẳng dẫn điện. Với q'
2
= q
2
=
qa
b
, cách
mặt phẳng dẫn điện một khoảng b' =
2
a
b
Điện thế ϕ của trường :
'
2 2
1 2 3 4
( )
q q q q
M k k k
r r r r
ϕ = − + −
Hay :
1 4 2 3
1 1 1 1
( )
a

M kq
r r b r r
 
 
ϕ = − − −
 
 ÷
 
 
2. Các véc tơ cường độ điện trường do các điện tích q, –
q
2
, q’
2
, -q
1
gây ra tại điểm N (x,0,0) trên mặt phẳng của
vật dẫn có phương, chiều như hình vẽ.
Độ lớn :
1 2 3 4
2 2
1 2
;
kq kq
E E E E
r r
= = = =
Cường độ điện trường tổng hợp có phương vuông
góc với mặt vật dẫn, có chiều như hình vẽ. Độ lớn :
( )

1 2
2 os osE E c E c= α− β
Từ hình vẽ :

2 2 2 2
'
;
'
b b
cos cos
x b x b
α= β=
+ +
Từ đó :
( ) ( )
3/2 3/2
2 2 2 2
2 2 ' '
'
kqb kq b
E
b x b x
= −
+ +
với
2
' ; '
qa a
q b
b b

= =

+ Điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn :
0
a a
Q ds Eds
∞ ∞
= σ = ε
∫ ∫
. Với ds = 2πxdx ; 4kπε
0
= 1
( ) ( )
3/2 3/2
2 2 2 2
' '
'
a a
qbx q b x
Q dx dx
b x b x
∞ ∞
⇒ = −
+ +
∫ ∫
Lấy tích phân ta được:
2 2
2 2
b a
Q q

b a b
−
=
+
Điện tích hưởng ứng ở những chỗ lồi lên:
2 2
2 2
' ( ) (1 )
b a
Q q Q q
b a b
−
= − = −
+
III. TRƯỜNG GÂY BỞI CÁC ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ TRÊN MẶT GIỚI HẠN LÀ
MẶT TRỤ
Bài toán 1 : Một dây dẫn thẳng, dài vô hạn được tích điện với mật độ điện dài λ, đặt song
song với trục của một hình trụ có bán kính r mang điện -λ trên một đơn vị độ dài. Khoảng
cách giữa dây dẫn và trục hình trụ bằng a.
1. Xác định lực tác dụng lên một đơn vị độ dài của dây dẫn.
2. Tìm điện thế, cường độ điện trường do hệ sinh ra trên mặt trụ.
3. Tìm phân bố điện tích mặt trên mặt trụ .
Bài giải :
+ Mặt trụ ở trạng thái cân bằng điện là một mặt đẳng thế. Mọi điểm trên mặt có cùng
điện thế.
+ Mặt đẳng thế của hai dây dẫn thẳng, dài vô hạn mang điện λ và -λ trên một đơn vị độ
dài là những mặt trụ bao quanh các dây.
Như vậy ta có thể thay mặt trụ tích điện bằng một dây dẫn thẳng, dài vô hạn mang điện -λ
đặt ở vị trí nào đó bên trong hình trụ và song song với trục hình trụ sao cho mặt đẳng thế do
hệ hai dây gây ra trùng mặt trụ. Khi đó trường do hệ gây ra trong không gian không thay đổi.

Gọi b : khoảng cách giữa hai dây λ và -λ
Cường độ điện trường do một dây dẫn dài vô hạn gây ra
tại một điểm M là :
0
2
E
R
λ
=
πε
(1)
Trong đó R : khoảng cách từ dây dẫn đến điểm quan sát M.
Ta chọn ϕ ở khoảng cách R
0
>> b bằng 0 thì :
+ Điện thế do dây dẫn gây ra tại một điểm :
0
0 0
ln
2
R
R
R
Edr
R
λ
ϕ= = −
πε
∫
(2)

+ Điện thế do hai dây gây ra tại M trên mặt trụ :

1 2
0 0 0
ln ln
2
R R
R R
 
λ
ϕ= − +
 
πε
 
⇔
2
0 1
ln
2
R
R
λ
ϕ=
πε
(3)
+ Khi M ≡ A thì R
1
= a – r, R
2
= r – (a – b)

⇔
0
( )
ln
2
r a b
a r
 
λ − −
ϕ=
 
πε −
 
(4)
+ Khi M ≡ B thì R
1
= a + r, R
2
= r + (a – b) ⇔
0
( )
ln
2
r a b
a r
 
λ + −
ϕ=
 
πε +

 
(5)
Từ điều kiện mặt đẳng thế cho ta :
( ) ( )r a b r a b
a r a r
+ − − −
=
+ −
⇔ r
2
= a(a – b) (6)
Như vậy : ta có thể thay thế mặt trụ bán kính r tích điện đều -
λ
đặt cách một dây dẫn thẳng
dài vô hạn mang điện
λ
trên một đơn vị dài một khoảng a bằng một dây dẫn mang điện -
λ

trên một đơn vị dài đặt ở khoảng cách b = (a
2
– r
2
)/a .
1. Lực tác dụng lên một đơn vị dài của dây:
2
2 2
0
0
2

2 ( )
a
F
b
a r
λ λ
= λ =
πε
πε −
(7)
2. Điện thế do hệ gây ra tại một điểm trên mặt trụ :
0
( )
ln
2
r a b
a r
 
λ + −
ϕ=
 
πε +
 
(8)
Thay b = (a
2
– r
2
)/a ta được:
0

ln
2
r
a
λ
ϕ=
πε
(9)
3. Cường độ điện trường do hệ điện tích gây ra tại điểm M trên mặt trụ :

1 2
E E E= +
uur uur uuur
(10)
Trong đó : E
1
, E
2
là cường độ điện trường do các điện tích gây ra tại M .

1 2
0 1 0 2
;
2 2
E E
R R
λ λ
= =
πε πε
(11)

Cường độ điện trường tổng hợp có phương vuông góc với mặt trụ, chiều hướng vào trong.
Độ lớn :
2 2
1 2 1 2
2E E E E E Cos= + − α
(12) . Trong đó
·
CMNα=
Với :
2
1 2
1
R
E E
R
=
và
2 2
1 2 1 2
2b R R R R Cos
= + − α
ta tìm được :
0 1 2
2
b
E
R R
λ
=
πε

Mật độ điện tích liên lết mặt :
0
1 2
2
b
E
R R
λ
σ = ε =
π
Bài toán 2: Trường tĩnh điện tạo bởi hai hình trụ dẫn điện có các trục song song, bán kính
R
1
, R
2
và có mật độ điện dài là ±λ. Khoảng cách giữa hai trụ là l. Tìm điện dung tương hỗ
của các hình trụ trên một đơn vị độ dài.
Bài giải:
Vì các mặt trụ là các mặt đẳng thế. Ta có thể thay thế các mặt trụ tích điện này bằng các
dây dẫn thẳng dài vô hạn mang điện ±λ sao cho các mặt đẳng thế trùng với mặt trụ. Khi đó
trường bên ngoài các hình trụ không thay đổi.
Gọi b : khoảng cách giữa hai dây λ và -λ.
a
1
: khoảng cách giữa dây -λ và o
1
; a
2
: khoảng cách giữa dây -λ và o
2

Theo kết quả bài toán trên ta có :
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
;R a a b R a a b= − = −
Từ hình vẽ : a
1
+ a
2
– b = l
Giải các phương trình trên ta được :
( )
2 2
2 2 1 2
1 1 2
2 ;
2
l l b R R
b c R a a
+ − −
= − =
Trong đó :
2 2 2
1 2
2
l R R
c
l
− −
=
+ Điện thế do hệ điện tích gây ra tại mặt trụ R

2
xác
định theo công thức :
2
2
0 2
ln
2
R
a
λ
ϕ =
πε
+ Điện thế do hệ điện tích gây ra tại mặt trụ R
1
là
:
1
1
0 1
ln
2
a
R
λ
ϕ =
πε
+ Hiệu điện thế hai mặt trụ :

1 2

1 2
0 1 2
ln
2
a a
R R
λ
ϕ −ϕ =
πε
Điện dung tương hỗ giữa hai mặt trụ trên một
đơn vị độ dài :
( )
2 2
1 2
0
0
1 2
1 2 1 2
1 2
2
2 ln
2
ln
l l b R R
C
a a
R R
R R
 
+ − −

πελ
= = = πε
 
ϕ −ϕ
 
 
PHẦN THỨ BA
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Một lò xo nhẹ, cách điện, một đầu gắn chặt vào giá cố định, đầu
còn lại treo quả cầu kim loại nhỏ khối lượng m, tích điện q. Hệ được
đặt trong không khí và khi cân bằng quả cách một thành phẳng bằng
kim loại đã nối đất một khoảng a (hình vẽ)
1. Từ vị trí cân bằng người ta kéo quả cầu xuống dưới, cách VTCB
một đoạn
0
x
(
0
2x a<<
) rồi thả nhẹ. Chứng minh quả cầu dao động
điều hòa. Lập biểu thức tính chu kì và viết phương trình dao động của
quả cầu.
2. Nghiên cứu sự biến đổi mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn tại điển M cách vị trí
cân bằng của quả cầu khoảng 2a.
Bài giải :
1. Khi quả cầu cách mặt phẳng khoảng r, theo kết quả bài toán 1,
lực tương tác giữa điện tích q và bản kim loại là :
2
2
0

16
q
F
r
=
πε

Chọn trục Ox thẳng đứng hướng xuống, gốc O tại VTCB của quả cầu
+ Vị trí cân bằng, gọi
l∆
: độ biến dạng của lò xo
0
dh
P F F+ − =
2
2
0
0
16
q
mg k l
a
⇔ + − ∆ =
πε
(1)
+ Khi quả cầu có li độ x. Phương trình động lực học
( )
( )
2
2

0
"
4 2
q
mg k l x mx
a x
+ − ∆ + =
πε −
( )
2
2
2
0
"
16 1
2
q
mg k l x mx
x
a
a
⇔ + − ∆ + =
 
πε −
 ÷
 
(2)
Ta chỉ xét dao động nhỏ (x << 2a). Khi đó
2
1 1

2
x x
a a
−
 
− ≈ +
 ÷
 
Thay vào (2) được:
( )
2
2
0
1 "
16
q x
mg k l x mx
a
a
 
+ + − ∆ + =
 ÷
πε
 
2 2
2 3
0 0
"
16 16
q q

mg k l x kx mx
a a
 
⇔ + − ∆ + − =
 ÷
 ÷
πε πε
 
(3)
Từ (2) và (3)
2 2
3 3
0 0
" " 0
16 16
q k q
x kx mx x x
m
a m a
 
⇒ − = ⇔ + − =
 ÷
 ÷
πε π ε
 
Đặt
2
2
3
0

" 0
16
k q
x x
m
m a
ω = − ⇒ +ω = →
π ε
quả cầu dao động điều hòa với chu kì
0
2 2
3 3
0 0
2 1
2
1 1
16 16
T
k
T
m
q q
k a k a
π
= = π × =
ω
− −
πε πε
, trong đó T
0

là chu kì dao động khi quả
cầu không tích điện.
Phương trình dao động
( )
cosx A t= ω +ϕ
.
Từ điều kiện ban đầu:
( )
( )
0
0
0
0
cos
0
0 0
x x
A x
x x t
v
 =
=


⇒ → = ω
 
ϕ=
=




2. Xét trường gây ra tại điểm M nằm trên mặt vật dẫn, ở thời điểm t, cách quả cầu khoảng r.
Cường độ điện trường do các điện tích q và -q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ.
Độ lớn :
1 2
2
q
E E k
r
= =
Theo kết quả bài 1, mật độ điện tích hưởng ứng trên
mặt vật dẫn :
0
3 3
1 2
4
2
kqa qa
E
k
r r
σ=ε = × =
π
π
.
+ Khi quả cầu ở vị trí cân bằng thì
0
2
16
q

r a
a
= → σ =
π
và
( )
2
2
2 3HM a a a= − =
+ Khi quả cầu có li độ x thì:
( )
( )
2
2
2 2
3 4 2 2 1
2
x
r a a x a ax x a
a
= + − = − + ≈ −
Khi đó
3/2
0
2
3
1 1
2 4
16
q x x

a a
a
−
   
σ= − ≈ σ + →
 ÷  ÷
π
   
mật độ điện tích tại M cũng biến đổi tuần
hoàn.
H
+
0
ax 0 0
3
1
4
m
x
x x
a
 
σ = σ + ⇔ = →
 ÷
 
quả cầu ở vị trí thấp nhất
+
0
min 0 0
3

1
4
x
x x
a
 
σ = σ − ⇔ =− →
 ÷
 
quả cầu ở vị trí cao nhất
Bài 2 : Một quả cầu nhỏ khối lượng m, điện tích q ban đầu được giữ ở vị trí thẳng đứng,
cách một mặt phẳng kim loại rộng vô hạn, có mật độ điện mặt σ một khoảng h. Thả quả cầu
cho nó chuyển động. Hãy nghiên cứu chuyển động của quả cầu.
Bài giải :
Vì bản rộng vô hạn nên có thể coi điện trường do bản gây ra là điện trường đều, có
phương vuông góc với bản, có cường độ :
E =
0
2
σ
ε
Lực điện do bản kim loại tác dụng lên điện tích q là tổng hợp của lực do điện trường
E tác dụng lên q và do điện tích hưởng ứng tác dụng lên.
+ Lực do điện trường E tác dụng lên q là lực đẩy, hướng ra xa bản và có độ lớn :
1
0
2
q
F qE
σ

= =
ε
Lực do điện tích hưởng ứng tác dụng lên q bằng lực tác dụng giữ điện tích q và điện
tích – q là ảnh của q qua mặt phẳng vô hạn. Lực này là lực hút, nó có hướng ra xa bản và có
độ lớn :
2
2
2
4
kq
F
d
=
Trong đó : d – khoảng cách từ q đến bản kim loại.
Cuối cùng lực điện tổng hợp tác dụng lên bản kim loại
2
1 2
2
0
.
2
4
q kq
F F F
d
σ
= − = −
ε
* Vị trí cân bằng : P = F
⇔ mg =

2
2
0
0
.
2
4
q kq
d
σ
−
ε
⇒
2
0
0
0
2 4
k q
d
q mg
ε
=
σ − ε
+ Nếu h < d
0
quả cầu chuyển động xuống và bị hút vào bản kim loại.
+ Nếu h = d
0
quả cầu ở vị trí cân bằng.

+ Nếu h > d
0
quả cầu chuyển động ra xa bản kim loại.
Bài 3 : Một điện tích q đặt trong một điện môi đồng chất và cách mặt phẳng phân chia điện
môi và một vẫn dẫn rộng vô hạn một khoảng a. Tìm điện thế ϕ trong điện môi, phân bố điện
tích hưởng ứng σ trên bề mặt kim loại.
Bài giải :
Khi đặt điện tích q trong điện môi do ảnh hưởng của điện môi mà cường độ điện
trường E và
điện thế ϕ đều giảm đi ε lần. Như vậy khi kể đến ảnh hưởng
của điện môi thì điện tích q trong điện môi tương đương với
điện tích q' =
q
ε
trong chân không. Sử dụng phương pháp ảnh
điện ta có thể thấy điện thế ϕ do điện tích q' gây ra tại một
điểm trong không gian có kể đến các điện tích hưởng ứng trên
kim loại là :
1 2 1 2
' 'kq kq kq kq
r r r r
ϕ = − = −
ε ε
Trong đó : - q : là ảnh của điện tích q' qua mặt bản kim loại
+ Cường độ điện trường trên bản kim loại, do tính chất đối xứng của q' và - q' nên véctơ
cường độ điện trường E theo phương pháp tuyến với mặt bản và có độ lớn:
2 3
2 2
. cos
kq kqa

E
r r
= α =
ε ε
Mật độ điện mặt σ được các định từ định lý Ôxtrô - Graxtki – Gaus
σ = ε
0
.E. ε =>
0
3 3
2 kqa
qa
r r
ε
σ = =
π
.
Bài 4 : Một quả cầu dẫn điện bán kính R
1
đặt trong một
điện môi đồng chất có hằng số điện môi ε
1
. Bên trong
quả cầu có một lỗ hổng hình cầu bán kính R
2
chứa đầy
điện môi đồng chất hằng số điện môi ε
2
. Trong lỗ hổng
có một điện tích điểm q ở cách tâm nó một khoảng a (a

< R
2
). Tìm thế của điện trường trong toàn không gian.
Bài giải :
- Vì vật dẫn ở trạng thái cân bằng tĩnh điện là vật đẳng thế nên điện thế ϕ của trường ở bên
ngoài quả cầu bằng :
1
1
q
k
r
ϕ =
ε
- Do tính chất liên tục của hàm điện thế nên ở bên trong vật dẫn ta phải có :
2
1 1
q
k
R
ϕ =
ε
- Còn ở bên trong lỗ hổng trường sinh ra bởi điện tích q, điện tích
2
2 2
' ; '
'
qR R
q a
a a
− = − =

và điện thế ϕ
2
của vật dẫn :
3
2 1 2 2 1 1
'kq kq kq
R r R
ϕ = − +
ε ε ε
Bài 5 : Một quả cầu dẫn điện bán kính R ở trong trường của một điện tích điểm q cách tâm
quả cầu một khoảng a > R. Hệ trên được nhúng vào một điện môi đồng chất hằng số điện
môi ε. Tìm thế của trường ϕ nếu cho trước
1. Điện tích của quả cầu Q
2. Điện thế của quả cầu ϕ
0
(ở vô cực ϕ = 0)
Bài giải :
1. Điện thế của điện tích điểm và của quả cầu
tích điện trong miền r > a rút lại thành điện thế của 4
điện tích điểm đặt trên các trục đối xứng: điện tích q ở
cách gốc toạ độ một khoảng a và ba ảnh của nó là các
điện tích Q và
' /q qR a=
ở gốc toạ độ và điện tích – q' ở
điểm
2
' /a R a=
liên hợp điều hoà đối với mặt cầu.
Điện tích – q' mô tả tác dụng của điện tích hưởng ứng ở phía mặt quả cầu gần q nhất (dấu
điện tích này ngược dấu với q) điện tích + q' mô tả tác dụng của điện tích hưởng ứng ở phần

quả cầu xa q hơn và nó cùng dấu với q.
Điện thế do hệ gây ra tại điểm M là :
1 2
' 'q Q q q
r r r
+
ϕ = + −
ε ε ε
ở đây : q' =
qR
a
;
2 2
2
' 2 ' cosr r a a r= + − θ
; a' =
2
R
a
θ là góc tạo bởi giữa 0M và trục 0Z
b- Trong trường hợp (b) thay Q = εϕ
0
R -
qR
a
Nhận xét : + Nếu quả cầu chung hoà thì không có số hạng chứa Q.
+ Nếu quả cầu nối đất (ϕ
0
= 0) thì điện thế có dạng :
1 2

'q q
r r
ϕ = −
ε ε
Bài 6: Một quả cầu dẫn điện bán kính r = 2cm
được nối đất. Có 1 điện tử ban đầu từ xa chuyển
động với vận tốc v
0
theo hướng thẳng cách tâm quả
cầu một khoảng bằng 2r. Hãy xác định giá trị vận
tốc của điện tử khi bay tới gần quả cầu nhất, nếu biết rằng tại vị trí gần nhất điện tử cách tâm
quả cầu một khoảng 3r/2.
Bài giải
+ Theo phương pháp ảnh điện thì ảnh của điện tích p là ở p’
Với
2
' ' ; '
r r
OP x e e
x x
= = = −
( )
( )
2
( )
2 2
2 2
0 0
1 . '
.

4πε 4πε
'
x
e e e rx
F
x x
x r
−
= =
−
−
Thế năng ở P là:
( )
2
( )
2 2
0
8πε
P x
e r
E F dx C
x r
= − = − +
−
∫
Khi x = ∞ thì E
P
= 0 → c = 0
Theo ĐLBTNL ta có:
( )

)1(
r10
e
2
mv
2
mv
2
r3
xvíi
rx8
re
2
mv
2
mv
0
22
2
0
22
0
22
2
0
επ
επ
−=→=
−
−=

Bảo toàn mô men động lượng:
0
3
. 2 . (2)
2
r mv r mv
=
Từ (1) và (2)
0
32 1
.
70π ε
v e
r m
→ =
Bài 7: Một lưỡng cực điện có mô-men lưỡng cực P
e
nằm cách mặt phẳng dẫn điện 1 khoảng

và
vuông góc với mặt phẳng đó. Hãy tính độ lớn của lực tác dụng lên lưỡng cực, biết rằng mặt phẳng
được nối đất.
Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp ảnh điện: coi tương tác giữa lưỡng cực điện với mặt phẳng như
tương tác giữa 2 lưỡng cực điện với nhau và cách nhau một khoảng 2

.
.
32
P3
F

r2
P3
r4
P6
r4
P2
dr
d
dr
)P(dF
E
4
0
2
e
2
4
0
2
e
4
0
2
e
3
0
2
ee
r



επ
−=→
επ
−=
επ
−=








επ
==→
Bài 8 : Một lưỡng cực điện có mômen
P
ở trong chân không, gần một mặt phẳng dẫn điện rộng vô
hạn. Xác định lực tương tác F giữa lưỡng cực và điện tích hưởng ứng trên mặt kim loại.
Hướng dẫn : Giả sử lưỡng cực ở điểm (O ; Oz) nếu hình chiếu của mô men lưỡng cực
P
lên các
trục x , y, z bằng psinα, 0 , pcosα thì hình chiếu ảnh của nó lên cùng các trục sẽ là - psinα, 0 , pcosα
Ta có thể thay tương tác giữa lưỡng cực và mặt phẳng bằng tương tác giữa lưỡng cực và ảnh của
nó qua mặt phẳng. Từ đó ta có thể tìm được
)cos1(
16
3

2
4
2
α
+−=
z
p
F
z
Bài 9: Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng dẫn điện nối đất bằng α. Bên trong góc có một điện tích
điểm q. Tìm điện thế gây ra tại một điểm khảo sát trường hợp α = 90
0
; α = 60
0
; α = 45
0
.
Hướng dẫn : Trường bên trong góc nhị diện có thể coi như tạo bởi hệ điện tích như hình vẽ:
KẾT LUẬN
1. Qua việc vận dụng mô hình ảnh điện, ta có thể thấy mô hình này đã chứng tỏ là có
hiệu quả khi giải một số bài toán khác phức tạp về trường tĩnh điện mà mặt biên có tính chất
đối xứng (mặt phẳng, mặt cầu, mặt trụ…). Nhờ mô hình này mà ta đã chuyển việc nghiên
cứu trường của các điện tích phân bố phức tạp về nghiên cứu trường của một số hữu hạn các
điện tích điểm gây ra và ta có thể sử dụng những công cụ toán học thông thường, phù hợp
với phổ thông để giải hơn nữa cũng nhờ mô hình ảnh điện này mà ta có thể nghiên cứu được
những hiện tượng vật lý xảy ra phức tạp dựa vào một số bài toán lấy ảnh cơ bản.
2. Cơ sở lý thuyết của phương pháp ảnh điện chủ yếu dựa trên định lý về tính duy
nhất. Mặc dù với kiến thức vật lý phổ thông chưa đủ để chứng minh định lỳ này nhưng qua
thực tế giảng dạy tôi thấy rằng với học sinh ban A nhất là các lớp chuyên, với những kiến
thức mà các em có được thì việc ta cho thừa nhận định lý về tính duy nhất và các hệ quả của

nó , từ đó xây dựng mô hình ảnh điện là nội dung không vượt ra ngoài nhận chức của các
em.
3. Trong bài viết này tôi đã cố gắng chọn lọc và đơn giản hoá một số bài toán để phù
hợp với học sinh phổ thông. Đối với các em ban A có thể giải quyết được các bài toán về sự
phân bố điện tích mặt ở các vật dẫn có mặt giới hạn là mặt phẳng vô hạn, mặt cầu nối đất và
không nối đất. Còn đối với học sinh các lớp chuyên, nhất là các em nằm trong đội dự tuyển
Quốc gia và Quốc tế, có thể giải quyết được cả các bài toán vật dẫn trong các môi trường
khác nhau.
Do khả năng có hạn với những kinh nghiệm ban đầu thu thập được, bài viết không thể
tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của đọc giả.
Cuối cùng chúng tôi xin cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Vật lý kĩ thuật, các
em học sinh các lớp và các đội tuyển chúng tôi đã giảng dạy trong những năm qua đã đóng
góp nhiều ý kiến và những nhận xét giá trị về cách diễn đạt và nội dung bài viết.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. I. E. TAMM- Những cơ sở lí thuyết của điện học- Người dịch ĐẶNG QUANG
KHANG . NXB khoa học và kĩ thuật 1972
2. VŨ THANH KHIẾT- NGUYỄN THẾ KHÔI- VŨ NGỌC HỒNG- Giáo trình điện đại
cương tập I . NXBGD 1977.
3. V. V. BATƯGIN- I. N. TỐPTƯGIN- Tuyển tập các bài tập điện động lực học. Người
dịch : Vũ thanh khiết, nguyễn phúc thuần- NXBGD 1980
4. I. E. IRÔĐỐP, I.V XAVALIÉP, O.I.ĐAMSA- Tuyển tập các bài tập vật lí đại cương.
Người dịch LƯƠNG DUYÊN BÌNH, NGUYỄN QUANG HẬU. NXB đại học và trung học
chuyên nghiệp Hà Nội
5. Республиканская физическая олимпиада (III этап).
6. Э. ПAРССEM. ЭЛEKТPИЧECTBО И MAГHETИЗM. ИЗГA-TEMCTBO
“HAУKA”– MOCKBA 1971.
7. C. B. AЩEУЛOB- B. A. БAPЫШEB. ЗAДAЧИ ПO ЭЛEMEHTAPHOЙ ФИЗИKE.