de thi vao 10 chuyen toan

Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2010 – 2011
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu

Đề số 1.
Thời gian: 150 phút.
Bài 1.
a) Chứng minh rằng nếu
3 3 3 3
a b c a b c
    
thì với mọi số nguyên dương lẻ n ta
có
n n n n
a b c a b c
    
.
Hướng dẫn: đặt
3 3 3
, ,
x a y b z c
  
, khi đó ta có
3 3 3
3
x y z x y z
    
, lập phương 2
vế và phân tích nhân tử ta có:







3 0
x y x z y z
   
, từ đó suy ra có ít nhất 2 trong 3 số
x, y, z bằng nhau, suy ra 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau. Suy ra điều cần chứng minh.
b) Giải phương trình
2 2
1
x x x x x
    

Hướng dẫn:Nhân 2 vế của phương trình với 2 và biến đổi phương trình như sau:




 
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 0 1 1 0
1
1

x x x x x x x x x
x x
VN
x x
            

 



 



KL: Phương trình vô nghiệm.
c) Giải hệ phương trình :
2 2
2 2 1 0
3 2 3 1 0
x y x y
xy x y

    

    


Hướng dẫn:Cộng 2 phương trình ta có:





2 2
3 2 0 2 1 0
2 1
x xy y x y x y x y
x y
x y
         




 


Thế vào một trong hai phương trình ta sẽ tìm ra x và y.
Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2010 – 2011
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu

Bài 2.
a) Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm:




2 2

2 2 0
x x m x mx
    

Hướng dẫn:




 
 
2 2
2
2
2 2 0
2 0 1
2 0 2
x x m x mx
x x m
x mx
    

  


  



Phương trình có 3 nghiệm khi xảy ra 1 trong hai trường hợp sau:

TH1: 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt và một phương trình có nghiệm kép khác
hai nghiệm của phương trình kia.
Để ý phương trình (2) có – 2 < 0 nên ko thể có nghiệm kép.
Phương trình (1) có nghiệm kép khi m = 1, khi đó nghiệm kép là 1 và cũng là nghiệm của
(2) (Không thỏa)
TH2: Hai phương trình có hai nghiệm phân biệt và có 1 nghiệm chung.
Phương trình có nghiệm chung khi m = - 2 và m = 1. Thế trực tiếp vào phương trình thì
phương chỉ có 2 nghiệm.
KL: Không tồn tại m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
b) Cho a, b, x, y là các số thực dương thỏa a + b + x + y < 2. Nếu
2 2
a b x y
  
và
2 2
a b x y
  
, chỉ ra rằng a = x, b = y
Hướng dẫn:










2 2

a x y b y b y b a x a x y b
         

Mà
  
 
2
1
4
a x y b
a x y b
  
   
, suy ra
a x b y
  

Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2010 – 2011
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu

Bài 3. Một tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên dương và có độ lớn diện tích
bằng chu vi. Tìm kích thước của tam giác vuông đó.
Hướng dẫn: Gọi x, y là độ dài 2 cạnh góc vuông, ta có
2 2 *
, ,
x y x y N
 

Giả sử
x y

. Ta có phương trình
2 2
2
xy
x y x y   




  
2
2 2
2 2 2 2
4 2 2
4 4 8 0
4 4 8 0
4 4 8
x y xy x y
x y x y xy xy
xy x y
x y
   
    
    
   

Bài 4. Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Từ A vẽ

tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ
BC của (O). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC và AO lần lượt tại D, E và F.
a) Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE không đổi và tính giá trị đó theo R.
b) Tìm vị trí của M sao cho khoảng cách từ A đến DE là lớn nhất.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC, ADE và AMF
thẳng hàng.
Hướng dẫn:
a) Học sinh tự giải.
b)Vẽ MH vuông góc DE. Gọi M
0
là giao của AO và (O). Vì MF là tiếp tuyến nên F thuộc
đoạn AM
0
. Từ đó ta có
0
AH AF AM
  . Dấu “=” xảy ra khi và khi
0
M M
 .
c) Chứng minh 3 đường tròn cùng đi qua một điểm khác A. Gọi N là giao điểm của (ADE)
và (ABC), ta chứng minh N thuộc (AMF). ( kí hiệu (XYZ) là đường tròn ngoại tiếp tam
giác XYZ).
Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11

Bộ đề ôn thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2010 – 2011
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu

Gọi K là giao điểm của (ADE)

và (ABC). Ta chứng minh tứ
giác AKMF nội tiếp. Ta có


.
KBD KCE g g


  , suy ra
KD DB MD
KE EC ME
  , suy ra KM là
phân giác góc

KDE
.
Từ đó




1 1
2 2
DKM DKE BAC FAE
  
Từ đó ta có:









0
180
KAF KMF KAE EAF KDM MKD KAE KDE       
.
Từ đó ta có tứ giác AKMF là nội tiếp.
Bài 5. Cho


3
n n

điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kì tạo thành một tam giác vuông.
Tìm tất cả các giá trị của n.
Hướng dẫn:
Với n = 3, ta chọn 3 điểm là 3 đỉnh của tam giác vuông, n = 3 thỏa đề bài.
Với n = 4, ta chọn 4 điểm là 4 đỉnh của một hình chữ nhật, n = 4 thỏa đề bài.
Chứng minh n > 4 thì không tồn tại n điểm thỏa đề bài.
Ta chọn 2 điểm có khoảng cách là lớn nhất là A, B. Khi đó các điểm còn lại cùng với 2 điểm
này tạo thành một tam giác vuông nên phải thuộc đường tròn đường kính AB. Khi đó có ít
nhất 2 điểm cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB, gọi là C, D. Khi đó tam giác
ACD không phải là tam giác vuông. (Vô lý)
Vậy các giá trị của n là 3, 4.