Thể tích khối lăng trụ HH12

Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12
Vấn đề THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ

V Bh=
DẠNG 1. Khối lăng trụ đứng và lăng trụ đều
Chú ý:
 Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy. Do đó các cạnh bên cũng là
chiều cao của lăng trụ đứng.
 Lăng trụ đứng có các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy.
 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Do đó các mặt bên là những hình chữ
nhật bằng nhau.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh
3a
và
' 2A B a
=
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
AB a
=
,
5AC a=
; góc giữa mặt phẳng (C’AB) và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích
của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo

a
.
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
; góc giữa
đường thẳng
'BC
và mặt phẳng (AA’C’C) bằng
0
30
. Tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ theo
a
.
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB a=
,
2AD a=
. Cho biết
' 4B D a=
, tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo
a
.
Bài 5. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có
' 6A C a=
; góc giữa đường thẳng
'A C
và mặt phẳng (ABCD) bằng
0
60

. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo
a
.
GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
.
Khoảng cách giữa đường thẳng A’B’ và mặt phẳng (C’AB) bằng
2
a
. Tính thể tích của khối lăng
trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
Giải
Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có chiều cao
'AA
.
Diện tích tam giác đều ABC.
Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn
Trang 18
A
B
C
A’
B’
C’
B
A
C

D
A’
B’
C’
D’
Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12
2
0
1 1 3 3
. sin 60 . .
2 2 2 4
ABC
a
S AB AC a a= = =
.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’B’ và AB.
Trong
'C MN∆
kẻ
'MH C N⊥
tại H.
( )
'
'
AB MN
AB MNC AB MH
AB C N
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥

.
( )
'
'
MH C N
MH C AB
MH AB
⊥

⇒ ⊥

⊥

.
Vì
( )
' '/ / 'A B C AB
nên
( )
( )
( )
( )
' ', ' , '
2
a
d A B C AB d M C AB MH= = =
.

Ta có
'C M
là đường cao của tam giác đều A’B’C’ nên
3
'
2
a
C M =
.
Trong
'MNC∆
vuông tại M có MH là đường cao nên:
2 2 2
1 1 1
'MH MC MN
= +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 4 8
' 3 3MN MH MC a a a
⇒ = − = − =
.
2
2
3 6
8 4
a a
MN MN⇒ = ⇒ =
.
Chiều cao của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là
6

'
4
a
AA MN= =
.
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
2 3
3 6 3 2
. ' .
4 4 16
ABC
a a a
V S AA= = =
.
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành với
AB a
=
,
2AD a
=
,
·
0
60BCD =
. Góc giữa mặt phẳng (C’BD) và mặt phẳng (ABCD) bằng
0
45
. Tính thể
tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo
a

.
Giải
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng
nên có chiều cao AA’.
Diện tích hình bình hành ABCD là:
0 2
1
2 2. . .sin 60 3
2
ABCD BCD
S S CB CD a= = =
.
Trong
BCD∆
kẻ
CH BD⊥
.
( )
' '
'
BD CH
BD C CH BD C H
BD CC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

.

Suy ra
·
'C HC
là góc giữa hai mặt phẳng (C’BD)
và (ABCD). Ta có
·
0
' 45C HC =
.
Áp dụng định lí côsin trong
BCD
∆
, ta có:
2 2 2 0
2 2 2
2 . cos60
1
4 2.2 . . 3
2
BD BC CD BC CD
a a a a a
= + −
= + − =
3BD a⇒ =
.
Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn
Trang 19
A
B
a

A’
B’
C’
M
N
H
C
2
a
D
A
B
C
H
A’
B’
C’
D’
a
2a
4560
00
Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12
Ta có
2
0
1 1 3 3
. sin 60 2 . .
2 2 2 2
BCD

a
S CB CD a a= = =
.
Mà
2
3
2.
2
1
2
.
2
3
BCD
BCD
a
S
S CH BD CH a
BD
a
= ⇒ = = =
.
Trong
'C CH∆
vuông tại C, ta có:
0 0
'
t an45 ' tan 45
CC
CC CH a

CH
= ⇒ = =
.
Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là
'CC a
=
.
Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là
2 3
. ' 3. 3
ABCD
V S CC a a a= = =
.
Ghi nhớ:
Định lí côsin trong tam giác ABC.
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
2 cosb a c ac B= + −
2 2 2
2 cosc a b ab C= + −
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh
2a
.
Gọi M là trung điểm của AB; góc giữa đường thẳng MC’ và mặt đáy (ABC) bằng
0
60
. Tính thể
tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo

a
.
KQ:
3
3 6
4
a
V =
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
AB a
=
,
3BC a=
. Góc giữa mặt phẳng
( )
'B AC
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
0
60
. Tính thể
tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
KQ:
3
3 3
4

a
V =
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có
AB a
=
,
2BC a
=
,
·
0
120ABC =
.
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (B’AC) bằng
2
a
, tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ theo
a
.
KQ:
3
3 5
10
a
V =
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với
2AB a=
,
2AD a

=
. Góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) bằng
0
30
. Tính thể tích của khối lăng
trụ ABCD.A’B’C’D’ theo
a
.
KQ:
3
4 2
3
a
V =
Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi với
2AB a=
,
3AC a
=
. Cho biết tam giác O’AC vuông tại O’ (với O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’), tính
thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo
a
.
KQ:
3
9 7
4
a
V =
Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn

Trang 20
A
B
C
b
a
c
Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12
DẠNG 2. Khối lăng trụ xiên
Chú ý:
 Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.
 Các cạnh bên song song và bằng nhau. Do đó các mặt bên là những hình bình hành.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu
của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC; góc giữa cạnh bên
AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
3AB a=
,
6BC a=
. Cho biết
' ' ' 2A A A B A C a
= = =

, tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ theo
a
.
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh
3
2
a
. Hình
chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC; góc giữa
mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
2AB a
=
,
·
0
60BAC =
. Tam giác A’AC cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng (ABC); các cạnh bên bằng
5a
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh

3a
. Trên
cạnh BC lấy điểm I sao cho
1
3
BI BC=
; hai mặt phẳng (AB’I) và (BB’I) cùng vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Cho biết
' 2AB a
=
, tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
Bài 6. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB a=
,
3AD a=
. Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật
ABCD. Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy (ABCD) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối lăng trụ
ABCD.A’B’C’D’ theo
a
.
Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn
Trang 21
A
B
C

A’
B’
C’
A
B
C
A’
B’
C’
D
D’
Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12
GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
·
0
30ACB =
và
'AA a
=
. Góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Hình chiếu
vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
Giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có
( )
'A G ABC⊥
. Suy ra AG là hình chiếu
của AA’ trên mặt phẳng (ABC). Do đó
·
'A AG
là góc giữa đường thẳng AA’ và (ABC).
Ta có
·
0
' 60A AG =
.
Trong
'A GA∆
vuông tại G, ta có:
0 0
' 3
sin 60 ' 'sin 60
' 2
A G a
A G AA
AA
= ⇒ = =
.
0 0
cos60 'cos60
' 2
AG a
G AA

AA
= ⇒ = =
.
3 3 3
.
2 2 2 4
a a
AM AG= = =
.
Trong
ABC∆
vuông tại B, ta có
0 0
3
t an30 tan30
3
AB BC
AB BC
BC
= ⇒ = =

2
2
3
BC
AB⇒ =
(1)
Trong
ABM
vuông tại B, ta có

2 2
2 2 2
9
16 4
a BC
AB AM BM= − = −
(2)
Từ (1) và (2). Suy ra
2 2 2 2
2
9 27
3 16 4 28
BC a BC a
BC= − ⇔ =
3 21
14
a
BC⇒ =
.
Suy ra
3 21 3 3 7
.
14 3 14
a a
AB = =
.
Diện tích tam giác ABC vuông tại B là:
2
1 1 3 7 3 21 9 3
. . .

2 2 14 14 56
ABC
a a a
S AB BC= = =
.
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
2 3
. ' ' '
9 3 3 27
. ' .
56 2 112
ABC A B C ABC
a a a
V S A G= = =
.
Bài 2. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB a
=
,
3AD a=
và
' 3A B a
=
. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với
tâm O của hình chữ nhật ABCD. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo
a
.
Giải
Ta có
( )

'A O ABCD⊥
. Suy ra
'A O
là chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
2
. 3
ABCD
S AB AD a= =
.
Trong
ABD∆
vuông tại A, ta có
2 2 2 2 2 2
3 4BD AB AD a a a= + = + =
.

2BD a⇒ =
.
Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn
Trang 22
B
A
C
M
G
A’
B’
C’
0

30
a
0
60
Trường THCS - THPT Khai Minh - Tp.HCM Hình học 12
Ta có
1
2
BO BD a= =
.
Trong
'A OB∆
vuông tại O, ta có:
2 2 2 2 2 2
' ' 9 8A O A B BO a a a= − = − =
' 2 2A O a⇒ =
.
Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
' 2 2A O a=
.
Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:
2 3
. ' 3.2 2 2 6
ABCD
V S A O a a a= = =
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh
2a
; góc giữa

cạnh bên BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng
0
60
. Hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC)
trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
KQ:
3
2 3V a=
Bài 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
·
0
2 , 60AB a BAC= =
. Mặt bên (AA’C’C) vuông góc với mặt phẳng (ABC); cạnh bên
' 3AA a
=
và tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng
0
30
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
theo
a
.
KQ:
3
3 3V a=
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
AB a=
,

2BC a
=
. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của
tam giác ABC; góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (ABC) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ theo
a
.
KQ:
3
2 3
3
a
V =
Bài 4. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a
. Hai
mặt phẳng (B’AC) và (B’D’DB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa cạnh bên
B’B và mặt phẳng (ABCD) bằng
0
60
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo
a
.
KQ:
3
2 3V a=
Bài 5. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành với

2AB a
=
,
3AD a
=
,
·
0
60ABC =
. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với
trọng tâm của tam giác ABC; các cạnh bên bằng
5a
. Tính thể tích của khối lăng trụ
ABCD.A’B’C’D’ theo
a
.
KQ:
3
78V a=
Ghi nhớ: Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
( )
2 2 2
2
2
4
a
b c a
m
+ −
=

( )
2 2 2
2
2
4
b
a c b
m
+ −
=
( )
2 2 2
2
2
4
c
a b c
m
+ −
=
Giáo viên: Hoàng Nhựt Sơn
Trang 23
A’
B
A
C
D
O
B’

C’
D’
a
3a
3
a