Giao an thay hieu da pha ma

Ngày soạn : 18/01/10
Ngày dạy : 24/01/10
Chủ đề 5
Hệ phơng trình
Buổi 1
các phơng pháp giải hệ phơng trình
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Luyện tập cho học sinh thành thạo việc giải hệ phơng trình bằng ph-
ơng pháp cộng đại số, phơng pháp thế và một số bài toán có liên quan đến
việc giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng lí thuyết vào giải hệ phơng trình bằng
phơng pháp cộng đại số, phơng pháp thế nhanh và chính xác.
- Trình bày lời giải khoa học.
Thái độ
- Học sinh tích cực ôn luyện
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1:
Nêu định nghĩa hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm nghiệm và
tập nghiệm của nó ? Thế nào là hai hệ phơng trình tơng đơng ?
- HS2:
Nêu quy tắc cộng và quy tắc thế để giải hệ phơng trình
III. Bài mới
Phần I.

Lý thuyết:
1.
Định nghĩa (SGK/9)
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:
+ =


+ =

ax by c
(I)
a' x b' y c '
(trong đó a, b, c, a , b, c có thể chứa tham số)
2.
Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm (SGK/9)
- Nghiệm (x
0
; y
0
) của hệ (I) là nghiệm chung của hai phơng trình trong hệ
- Nếu hai phơng trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ phơng trình vô
nghiệm
- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có
vô số nghiệm, vô nghiệm.
ax by c
a' x b' y c '
+ =

+ =

(a, b, c, a, b, c khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
= =
+ Hệ vô nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
=
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a b
a' b'

+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm là
ab ab = 0
3.
Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn .
ax by c
a' x b' y c '
+ =


+ =


a)
Phơng pháp cộng đại số.
*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số

Bớc1: Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao
cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau
hoặc đối nhau.
Bớc 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có
một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng trình
một ẩn)
Bớc 3: Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra nghiệm của hệ đã
cho
*) Tổng quát:
+ Nếu có
ax by c
ax b' y c'
+ =


+ =



+ = +


+ =

(b b')y c c '
ax b' y c'
+ Nếu có
ax by c
ax b' y c '
+ =

+ =




(b b')y c c '
ax b' y c'
=


+ =

+ Nếu có
ax by c
k.ax b' y c '
+ =


+ =


+ =


+ =

k.ax kby kc
k.ax b' y c '

(kb b')y k.c c '
ax by c
=


+ =

b)
Phơng pháp thế.
*) Cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế
Bớc 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng
trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn
Bớc 2: Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
*) Tổng quát:
ax by c
a' x b' y c '
+ =


+ =


a c
y x
b b
a' x b' y c '

= +

+ =



= +





+ + =
ữ



a c
y x
b b
a c
a' x b' x c '
b b
c)
Phơng pháp đồ thị
- Vẽ hai đờng thẳng biểu diễn hai tập nghiệm của hai phơng trình trong hệ
- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối của hai dờng thẳng
+) Nếu hai đờng thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa vào đồ
thị đoán nhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và kết luận nghiệm
của hệ

+) Nếu hai đờng thẳng song song thì hệ vô nghiệm
+) Nếu hai đờng thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trớc khi áp dụng các phơng pháp giải hệ: (áp dụng
cho các hệ phơng trình chứa ẩn ở mẫu, dới dấu căn bậc hai.)
4.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Bớc1: Lập hệ phơng trình
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn và các đại lợng đã biết
- Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng
Bớc 2: Giải hệ hai phơng trình nói trên
Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình, nghiệm
nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Phần II.
Bài tập:
1. Bài 1: Giải hệ phơng trình sau bằng phơng pháp cộng đại số:
a)


x y
x y
=


+ =

b)


x y

x y
+ =


=


c)
( ) ( )
( ) ( )


x y x y
x y x y
+ =


+ =


d)


x y
x y
=


+ =

Giải:
a)


x y
x y
=


+ =






x y
x y
=

+

+ =






x

x y
=


+ =






x
y
=


+ =






x
y
=


+ =

x
y
=


=






x
y
=


=

Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = (2 ; 1)
b)


x y
x y

+ =


=






=


+ =

y
x y




=


+ =

y
x

=


=

y
x





=


=

y
x





=

=

y
x
Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = (

; 4)
c)
( ) ( )
( ) ( )


x y x y
x y x y
+ =


+ =







xy x y x y
xy x y x y
+ =

+ =






x y
x y
+ =


=





( )


y y
x y
+ + =


= +

y y
x y
+ =


= +






y
x y
=


= +

y
x
=


= +






y
x
=


=


Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) =
( )

d)


x y
x y
=

+ =






x y
x y
=

+

+ =






x
x y
=


+ =

x
y
=


=






x
y
=


=






x
y
=

=






x
y
=


=


Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất
( )
x y= =
2. Bài 2: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.
a)




x y
x y

=

+ =


b)




x y
x y

=




+ =


c)





+ =

+



=

+

x y x y
x y x y
Giải:
a) Xét hệ phơng trình:




x y
x y

=




+ =


Điều kiện: x

; y


Đặt a =

x
; b =

y
khi đó hệ phơng trình trở thành


a b
a b
=


+ =






a b
a b
=

+

+ =






a
a b
=

+

+ =









a
b

=

+ =










a
b

=




=

a
b

=




=









a
b

=




=

x
y

=




=









x
y

=

=



Vậy hệ phơng trình có nghiệm là (x; y ) =




ữ

b) Xét hệ phơng trình:




x y
x y

=




+ =

Điều kiện: x

; y

Đặt a =

x
; b =

y
khi đó hệ phơng trình trở thành


a b
a b
=


+ =






a b
a b
=

+

+ =






a
a b
=


+ =






a
b
=


+ =

a
b
=


=






a
b
=


=






a
b
=

=








x
y

=




=









x

y

=




=


(t/m)
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là (x; y ) =




ữ

c) Xét hệ phơng trình:





+ =

+

=

+

x y x y
x y x y
Điều kiện: x


y
Đặt a =

x y+
; b =

x y
khi đó hệ phơng trình trở thành :





a b
a b

+ =


+

=










a
a b

=




+ =

a
b

=




+ =









a
b

=




=

a
b

=




=









x y
x y

=

+

=








x y
x y
+ =


=






x
x y
=


+ =

x
y
=


+ =





x
y
=


=

(t/m)
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là ( x; y ) =
( )

3. Bài 3: Cho hệ phơng trình:

mx y
x my
+ =


+ =

a) Giải hệ phơng trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Giải:
a) Thay m = 2 vào hệ phơng trình


mx y
x my
+ =


+ =

ta có hệ phơng trình trở thành


x y
x y
+ =

+ =




( )


y x
x x
=



+ =






y x
x x
=


+ =

y x
x
=


=






y
x
=


=






y
x

=


=

Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = ( 0 ; 1)
b) Giải hệ phơng trình theo tham số m
Ta có


mx y
x my
+ =


+ =



( )


y mx
x m mx
=



+ =

y mx
x m m x
=


+ =




( )



=



=


y mx
m x m

y mx
m
x
m
=




=













m

y m
m
m
x
m


=
ữ







=

m m
y
m
m
x
m


=






=

m m m
y
m
m
x
m

+
=






=












m

y
m
m
x
m


=






=



(m
1
)
Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) =




m m
m m

ữ


với m
1
- Xét m = 1 => Phơng trình (*) <=> 0x = 1, phơng trình này vô nghiệm nên hệ
đã cho vô nghiệm
- Xét m = - 1 => Phơng trình (*) <=> 0x = 3, phơng trình này vô nghiệm nên
hệ đã cho vô nghiệm
c) Để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1






m m
m m

=



( )

m m m =

m m+ =



( )
m m + =




m
m
=


+ =






m
m
=


=

m = 0 (nhận), m = - 1 (loại)

Vậy với m = 0 thì hpt trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Xét hệ phơng trình


mx y
x my
+ =


+ =


( )
( )


Từ phơng trình
( )




mx y=



y
m
x

=

thay
y
m
x

=
vào phơng trình
( )

ta có phơng trình


y
x y
x


+ =
ữ






y y
x

x

+ =




x y y x+ =




x y y x+ =

Vậy

x y y x+ =
là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
4. Bài 4: Giải các hệ phơng trình sau:
a)


x
x y
+ =


+ =

b)

x y
x y
+ =


+ =

c)
( ) ( )
( ) ( )


+ =


+ =


x y xy
x y xy
d)




x y
x y

+ =




+ =


Giải:
a)


x
x y
+ =


+ =




( )


x
y
=

+ =







x
y
=


+ =







x
y
=


= +

x
y
=


=







x
y
=



=



Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ( x; y) =

ữ

b)


x y
x y
+ =


+ =




( )


x y
x x
+ =



+ + =

+ =


+ + =

x y
x x





+ =


=

x y
x

+ =
ữ





=


y
x









+ =

=


y
x








=




=


y
x
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ( x; y) =




ữ

c)
( ) ( )
( ) ( )


x y x y
x y x y
+ =


+ =







xy x y x y
xy x y x y
+ =


+ =

x y
x y
=

+

+ =





x
x y
=


+ =






x
y
=


+ =

x
y
=


=






x
y
=


=

Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ( x; y) =
( )

d) Xét hệ phơng trình:

x y
x y

+ =




+ =


Điều kiện: x

; y

Đặt a =

x
; b =

y
khi đó hệ phơng trình trở thành


a b
a b
+ =

+ =






a b
a b
+ =



+ =






a
a b
=


+ =

a
b
=


+ =






a
b
=


=






a
b

=


=








x
y

=




=








x

y

=



=

( thoả mãn)
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là (x; y ) =





ữ

5. Bài 5: Cho hệ phơng trình:
( )
( )


m x y m
x m y
+ =


+ =

có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Giải hệ phơng trình khi m = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất
tìm giá trị của m thoả mãn: 2x
2
- 7y = 1
d) Tìm các giá trị của m để biểu thức
x y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
(Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2004 2005)
Giải:
a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình
( )
( )


m x y m
x m y
+ =


+ =


ta có hệ phơng trình trở
thành

( )
( )


x y
x y
+ =


+ =







x y
x y
+ =


+ =





x y

x y
+ =



+ =







x
x y
=


+ =









x
y

=




+ =










x
y

=




=

x
y

=




=









x
y

=

=


Vậy với m = 3 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) =




ữ

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Xét hệ phơng trình
( )
( )


m x y m
x m y
+ =


+ =



( )
( )

Từ phơng trình
( )




x my y+ =



my x y= +



x y
m
y
+
=

thay
x y
m
y
+
=
vào phơng trình
( )

ta có phơng trình:


x y x y
x y
y y

+ +
+ =
ữ






x y y x y
x y
y y

+ +
+ =
ữ






x x y

x y
y y

+
+ =
ữ





x x y x y
y y
+ +
=




x x y x y + = +




x y x y + + =
Vậy

x y x y + + =
là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc
vào m.

c) Giải hệ phơng trình
( )
( )


m x y m
x m y
+ =


+ =


theo tham số m ta có hpt
( )
( )


m x y m
x m y
+ =


+ =



( ) ( ) ( )
( )

m x m y m m
x m y

+ =



+ =




( ) ( )
( )



m x x m m
x m y

=


+ =

( )
( )



m m x m m
x m y

+ =


+ =





( ) ( ) ( )
( )


= +


+ =


m m x m m
x m y

( )



m
x
m
m
m y
m
+

=



+

+ =





( )

m
x
m
m
m y
m
+

=



+

=



`


( )



m
x
m

m m
m y
m
+

=





=





( )



m
x
m
m
m y
m
+

=

=







m
x
m
y
m
+

=




=


Vậy hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) =

m
m m
+

ữ

(
m 0,m 2
)
- Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vô nghiệm
nên hệ đã cho vô nghiệm
- Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vô số
nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là
(
x R;y 2 x =
)
+) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x
2
- 7y = 1





m
m m
+

=

ữ ữ







m m
m m
+ +
=




m m m m+ + =




m m + =



( ) ( )
m m =

m
m
=


=




=


=

2 (loại)
1
m
m
<=> m = 1
Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện:
2x
2
- 7y = 1
d) Thay
m
x
m
+

=
;

y
m
=
vào biểu thức A =
x y
x y

+
ta đợc biểu thức
A =



m
m m
m
m m
+


ữ

+
+
=

m
m
m
m
+
+ +
=


m m
m m
+
=


m
m

+
=
( )


m
m
+
+
=
( )

m
m m
+

+ +
=


m

+
Để biểu thức A =
x y
x y

+
nhận giá trị nguyên



m

+
nhận giá trị nguyên


m +
nhận giá trị nguyên

( )
m +M


(m+2) là ớc của 5. Mà Ư(5) =
{ }







m
m
m
m
+ =


+ =


+ =

+ =

m
m
m
m
=


=


=

=








m
m
m

m
=


=


=

=


Kết hợp với điều kiện


m
;
m

Vậy với các giá trị
{ }
m 7; 3; 1;3
thì giá
trị của biểu thức
x y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
6. Bài 6: Cho hệ phơng trình:

ax by c
a x b y c
+ =


+ =

(a, b, c, a, b, c khác 0)
a) Chứng minh rằng hệ phơng trình có nghiệm duy nhất



a b
a b


b) Chứng minh rằng hệ phơng trình vô nghiệm



a b c
a b c
=
c) Chứng minh rằng hệ phơng trình vô số nghiệm


a b c
a b c
= =

Giải:
a) Ta có hệ phơng trình:

ax by c
a x b y c
+ =


+ =








a c
y x
b b
a c
y x
b b

= +




= +

( )
( )





Số giao điểm của 2 đờng thẳng (1); (2) là số nghiệm của hệ phơng trình

ax by c
a x b y c
+ =


+ =

Nếu 2 đờng thẳng (1) ; (2) cắt nhau




a a
b b

a b
a b

Vậy với

a b
a b

thì hpt có 1 nghiệm duy nhất
b) Nếu 2 đờng thẳng (1) ; (2) song song






a a
b b
c c
b b

=

a b
a b
b c
b c

=











a b c
a b c
=
Vậy với

a b c
a b c
=

thì hệ phơng trình vô nghiệm.
c) Nếu 2 đờng thẳng (1) ; (2) trùng nhau






a a
b b
c c
b b

=




=







a b
a b
b c
b c

=




=





a b c
a b c
= =
Vậy với

a b c
a b c
= =
thì hệ phơng trình có vô số nghiệm.
Kết luận: Hệ phơng trình:

ax by c
a x b y c
+ =


+ =

(a, b, c, a, b, c khác 0)
+) Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất



a b
a b


+) Hệ phơng trình có vô nghiệm



a b c
a b c
=
+) Hệ phơng trình vô số nghiệm



a b c
a b c
= =
IV. Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các bài tập đã chữa, học lại các bớc giải bài toán bằng cách
lập hệ phơng trình
Bài tập về nhà: Cho hệ phơng trình:


mx y

x my
=


+ =

a) Giải hệ phơng trình khi m = 2
b) Giải hệ phơng trình theo tham số m
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x + y = - 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này - />Ngày soạn : 22/01/10
Ngày dạy : 27/01/10
Chủ đề 5
Hệ phơng trình
Buổi 2
Luyện tập (tiết 1)
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Tiếp tục luyện tập cho học sinh thành thạo giải một số bài toán có liên
quan đến việc giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Củng cố cách giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đề bài tìm hớng giải
- Trình bày lời giải khoa học, chính xác.
Thái độ
- Học sinh tích cực ôn luyện, liên hệ kiến thức buổi học với thực tiễn
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:

- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1:
Giải bài tập về nhà câu a đã cho ở buổi học trớc
- HS2:
Giải bài tập về nhà câu b đã cho ở buổi học trớc
- HS3:
Giải bài tập về nhà câu c đã cho ở buổi học trớc
- HS4:
Giải bài tập về nhà câu d đã cho ở buổi học trớc
III. Bài mới
1. Bài 1: Cho hệ phơng trình:


mx y
x my m
+ =


+ = +


Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ? vô
nghiệm ? Vô số nghiệm
Giải:
*) Trờng hợp 1: m = 0 thì hệ phơng trình

y 1
x 1
=


=

=> Với m = 0 thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1 ; 1)
*) Trờng hợp 1: m
0
- Hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất




m
m





m



m

Vậy với
m

thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất
- Hệ phơng trình vô nghiệm




m
m m
=
+






m
m
m m

=






+

=

+

m
m m




=




m
m



m 1=
(t/m)
Vậy với

m
=
thì hệ phơng trình vô nghiệm
c) Hệ phơng trình có vô số nghiệm







=




=

+

m
m
m m





=

= +

m
m m




=


=

m
(vô lí)
Vậy không tìm đợc giá trị nào của m để hệ phơng trình có vô số nghiệm.
2. Bài tập 2:
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng
thêm 14 km/h thì đến B sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến B
muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*) GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi
sau:
Vận tốc ( km/h)
Thời gian (h)
Quãng đờng AB
Dự định
x (h)
y (h)
x.y (km)

Lần 1
x +14 (h)
y - 2 (h)
(x +14).(y - 2) (km)
Lần 2
x - 4 (h)
y + 1 (h)
(x - 4).(y + 1) (km)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đó lập hệ phơng trình
của bài tập
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình

hệ phơng trình của
bài cần lập đợc là:





Giải :
- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h)
(Điều kiện x > 4, y > 2). Thì quãng đờng AB là x.y (km)
- Nếu tăng vận tốc đi 14 km/h thì vận tốc là: x + 14 (km/h) và đến sớm 2
giờ nên thời gian thực đi là: y - 2 (h) do đó ta có phơng trình:

(1)
- Nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì vận tốc là: x - 4 (km/h) và đến muộn 1
giờ nên thời gian thực đi là: y + 1 (h) do đó ta có phơng trình:

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:


























+

(thoả mãn)
- Vậy vận tốc dự định là 28 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 6 (h)
3. Bài tập 3:
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng
thêm 15 km/h thì đến B sớm 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 15 km/h thì
đến B muộn 2 giờ.
Tính quãng đờng AB.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*) GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi
sau:
Vận tốc ( km/h)
Thời gian (h)
Quãng đờng AB
Dự định
x (h)
y (h)
x.y (km)
Lần 1
x +15 (h)
y - 1 (h)
(x +15).(y - 1) (km)
Lần 2
x - 15 (h)
y + 2 (h)
(x - 15).(y +2) (km)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đó lập hệ phơng trình
của bài tập
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình

hệ phơng trình của
bài cần lập đợc là:





Giải :
- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h)
(Điều kiện x > 15, y > 1). Thì quãng đờng AB là x.y (km)
- Nếu tăng vận tốc đi 15 km/h thì vận tốc là: x + 15 (km/h) thì đến sớm 1
giờ thời gian thực đi là: y - 1(h) nên ta có phơng trình:

(1)
- Nếu giảm vận tốc đi 15 km/h thì vận tốc là: x - 15 (km/h) thì đến muộn
2 giờ nên thời gian thực đi là: y + 2 (h) do đó ta có phơng trình:

(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

+

(thoả mãn)
Vậy vận tốc dự định là 45 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 4 (h)
Quãng đờng AB dài là: S = v.t = 45 . 4 = 180 (km)
4. Bài tập 4:
Tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số
hàng đơn vị là 2 và nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng


số ban đầu.
( Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2005 2006)
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*) GV hớng dẫn cho h/s trả lời câu hỏi sau:
- Ta cần tìm đại lợng nào ? ( Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị )
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau
- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 ta có ph-
ơng trình nào ? (

)

- Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng


số ban
đầu ta có phơng trình nào ?
( )



x y

+
ữ

- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập

hệ phơng trình là:
( )







+


x y
Giải:

- Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y
( Điều kiện: 0 < x

9 , 0 < y

9); x; y

N)
- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có
phơng trình:

(1)
- Ta có số đã cho là:
xy x y= +
,
số mới sau khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau là:
yx y x= +

Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng


số ban
đầu ta có phơng trình:
( )



x y+
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

( )







+


x y


( ) ( )




+

x y

+

y x



x y








x y









x y

x








x



( thoả mãn )
Vậy chữ số hàng chục là 4; chữ số hàng đơn vị là 2, Số đã cho là: 42
5. Bài tập 5:
Tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số
hàng chục là 4 và nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng


số
ban đầu.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*) GV hớng dẫn cho h/s trả lời câu hỏi sau:
- Ta cần tìm đại lợng nào ? ( Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị )
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau

- Theo bài ra chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 ta có ph-
ơng trình nào ? (

)
- Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng


số ban
đầu ta có phơng trình nào ?
( )



x y

+
ữ

- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập

hệ phơng trình là:
( )




x y

+



Giải:
- Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y
( Điều kiện: 0 < x , y

9); x , y

N)
- Theo bài ra chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 nên ta có
phơng trình:

(1)
- Ta có số đã cho là:
xy x y= +
số mới sau khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau
là:
yx y x= +

Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì đợc số mới bằng


số ban
đầu ta có phơng trình:
( )

x y+
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
( )




x y



+



( ) ( )

x y


+






y x x y

+ +





x y


=





x y


=





x y

+

=

x y


+ =





x


+





x



( thoả mãn )
Vậy chữ số hàng chục là 1; chữ số hàng đơn vị là 5, Số đã cho là: 15
IV. Hớng dẫn về nhà

- Xem lại các bài đã chữa, giải bài tập sau
Bài tập : Cho hệ phơng trình:


mx y m
x my m
=


= +

a) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình vô nghiệm.
Ngày soạn : 26/01/10
Ngày dạy : 31/01/10
Chủ đề 5
Hệ phơng trình
Buổi 3
Luyện tập (tiết 2)
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Tiếp tục luyện tập cho học sinh thành thạo việc giải bài toán bằng
cách lập hệ phơng trình
- Củng cố và khắc sâu cách giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng phân tích đề bài tìm hớng giải
- Trình bày lời giải khoa học, chính xác.
Thái độ

- Học sinh tích cực ôn luyện, liên hệ kiến thức buổi học với thực tiễn
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1:
Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc
- HS2:
Giải bài tập 2 đã cho ở buổi học trớc
III. Bài mới
1. Bài tập 1: Bài 43: (SGK/27)
- Gọi vận tốc của ngời đi nhanh là
x (m/phút ), vận tốc của ngời đi chậm là y (m/phút) (ĐK: x, y > 0)
- Nếu hai ngời cùng khởi hành đến khi gặp nhau, quãng đờng ngời đi nhanh
đi đợc là 2km = 2000m và quãng đờng ngời đi chậm đi đợc là 1,6km =
1600m => thời gian ngời đi nhanh đi là :

x
phút , thời gian ngời đi chậm
đi là :

y
phút .
Theo bài ra ta có phơng trình:

x y x y
x y
= = =

(1)
Nếu ngời đi chậm đi trớc 6 phút, đến khi gặp nhau mỗi ngời đi đợc 1800m

thời gian ngời đi nhanh đi đến chỗ gặp nhau là :

x
(phút) và của ngời đi
chậm đi là :

y
(phút) . Theo bài ra ta có phơng trình

+ =
x y
( 2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :







=
=

+ =

+ =



x y
x y
x y
x y
Đặt
1 1
a, b
x y
= =
. Kết quả
x 75
y 60
=


=

Vậy vận tốc ngời đi nhanh là: 75 m/phút ; ngời đi chậm là: 60 m/phút
2. Bài tập 2: Bài 44: (SGK/27)
- Gọi số gam đồng và số gam kẽm có trong vật đó là x (g) ; y( g) ( x ; y > 0 )
Vì vật đó nặng 124 gam nên ta có phơng trình : x + y = 124 (1)
- Thể tích x gam đồng là:

x
( cm
3
) . Thể tích của y gam kẽm là :


y
( cm
3
)
- Vì thể tích của vật là 15 cm
3
nên ta có phơng trình:



x y+ =
( 2) .
- Từ (1) và (2) nên ta có hệ phơng trình:




x y
x y
+ =



+ =

từ đó giải hệ phơng
trình tìm đợc x = 89 và y = 35
3. Bài tập 3: Bài tập 45: (SGK - 27)
Gọi đội I làm một mình thì trong x ngày xong công việc, đội II làm một mình
trong y ngày xong công việc. ĐK : x , y > 12 .
Một ngày đội I làm đợc

x
phần công việc, đội II làm đợc

y
phần công việc .
Vì hai đội làm chung thì trong 12 ngày xong công việc nên ta có phơng trình:


x y
+ =
(1)
Hai đội làm chung 8 ngày và đội II làm 3,5 ngày với năng xuất gấp đôi thì
xong công việc nên ta có phơng trình:


x y y

+ + =


( 2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :




x y
x y y

+ =





+ + =




đặt a =

x
; b =

y
ta có hệ:



a b

a b b

+ =



+ + =







a
b

=




=



Thay a , b ta tìm đợc (x; y) = (28; 21) (thoả mãn)
x = 28 ( ngày ) ; y = 21 ( ngày )
Vậy đội I làm một mình trong 28 ngày xong công việc, đội II làm một mình
trong 21 ngày xong công việc .

*) Cách khác lập phơng trình thứ 2: Trong 8 ngày, cả hai đội làm đợc
=
8
2
(công việc)
12 3
; còn lại
1
3
công việc do đội II đảm nhiệm. Do năng suất
gấp đôi nên đội II làm mỗi ngày đợc
2
y
công việc và họ hoàn thành nốt
1
3
công việc nói trên trong 3,5 ngày, do đó ta có phơng trình: 3,5.
2 1
3y
=

4. Bài tập 4: Bài tập 46: (SGK - 27)
- Gọi số thóc năm ngoái đơn vị thứ nhất thu đợc là x ( tấn ), đơn vị thứ
hai thu đợc là y ( tấn ) . ĐK: x , y > 0
- Năm ngoái cả hai đơn vị thu đợc 720 tấn thóc nên ta có phơng trình:
x + y = 720 (1)
- Năm nay đơn vị thứ nhất vợt mức 15%, đơn vị thứ hai vợt mức 12% nên
cả hai đơn vị thu hoạch đợc 819 tấn ta có phơng trình :
(x + 0,15x) + (y + 0,12 y) = 819 (2)
Từ (1 ) và (2) ta có hệ phơng trình :

x y x y y
x y x y x y
+ = + = =



+ = + = + =






y
x
=


=

(thoả mãn)
Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất thu đợc 420 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu đ-
ợc 300 tấn thóc. Năm nay đơn vị thứ nhất thu đợc 483 tấn thóc, đơn vị
thứ hai thu đợc 336 tấn thóc .
5. Bài tập 5:
Một Ô tô du lịch đi từ A đến B, sau 17 phút một Ô tô tải đi từ B về A. Sau
khi xe tải đi đợc 28 phút thì hai xe gặp nhau. Biết vận tốc của xe du lịch
hơn vận tốc của xe tải là 20 km/h và quãng đờng AB dài 88 km. Tính vận

tốc của mỗi xe.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*) GV hớng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi
sau:
Xe du lịch
Xe tải
Vận tốc ( km/h)
x (km/h)
y (km/h)
Thời gian (h)
17ph + 28ph = 45ph =


(h)
28 phút =


(h)
Quãng đờng


.x (km)


.y (km)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn, sau đó lập hệ phơng trình
của bài tập
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập phơng trình

hệ phơng trình của

bài cần lập đợc là:




x



+


Giải :
- Gọi vận tốc xe du lịch là x (km/h); Vận tốc xe tải là y (km/h) (Điều kiện:
x > y > 0).
- Theo bài ra vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe tải là 20 km/h nên ta
có phơng trình:

(1)
- Quãng đờng xe du lịch đi đợc trong 45 phút là:



x
(km)
- Quãng đờng xe tải đi đợc trong 28 phút là:



y

(km)
Theo bài ra quãng đờng AB dài 88km nên ta có phơng trình:




x +
(2)
- Từ (1) và(2) ta có hệ phơng trình:




x



+





x


+

. Kết quả:

(thoả mãn)
Vậy vận tốc xe du lịch là 80 (km/h); Vận tốc xe tải là 60 (km/h)
6. Bài tập 6:
Trên cùng một dòng sông, một ca nô chạy xuôi dòng 108 km và ngợc dòng
63km hết tất cả 7 h. Nếu ca nô xuôi dòng 81km và ngợc dòng 84km thì
cũng hết tất cả 7 h. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nớc.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập.
*) GV hớng dẫn cho h/s trả lời câu hỏi sau:
- Ta cần tìm đại lợng nào ? (Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của
dòng nớc)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn ?
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nớc là: y
(km/h)
- Tính vận tốc xuôi dòng, vận tốc ngợc dòng khi biết vận tốc của dòng nớc,
vận tốc thực của ca nô nh thế nào ?
( V
xuôi dòng
= V
Thực
+ V
nớc
= x + y ; V
Ngợc
= V
Thực
- V

nớc
= x - y)
- Tính thời gian xuôi dòng 108km và thời gian ngợc dòng 63 km ta có ph-
ơng trình nào ? (



)
- Tính thời gian xuôi dòng 81 km và thời gian ngợc dòng 84 km ta có ph-
ơng trình nào ? (



)
- GV hớng dẫn cho học sinh thiết lập

hệ phơng trình là:

Giải:
- Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nớc là: y
(km/h)
( Điều kiện: x > y > 0)
- Thì vận tốc xuôi dòng là: x + y (km/h), vận tốc ngợc dòng là: x - y (km/h)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 108km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ nên
ta có phơng trình:



(1)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km hết 7 giờ nên
ta có phơng trình:



(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

Đặt: a =


; b =


Ta có hệ phơng trình:

a b


+ =

( thoả mãn )
Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 (km/h),vận tốc của dòng nớc là:3 (km/h)
IV. Hớng dẫn về nhà
Bài tập về nhà: Một ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian
nhất định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2 giờ. Nếu
vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến B chậm 3 giờ. Tính chiều dài khúc
sông AB.
+) Tiếp tục ôn tập về qui tắc thế, qui tắc cộng và cách giải hệ phơng trình
bằng phơng pháp thế, phơng pháp cộng và một số bài toán có liên quan
đến hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.

Ôn tập về hệ phơng trình lần thứ hai
Ngày soạn : 20/05/10
Ngày dạy : 27/05/10
Chủ đề 5
hệ phơng trình
Buổi 4
các dạng toán về hệ phơng trình
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Ôn tập và củng cố các kiến thức về hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Học sinh hiểu và giải đợc các dạng toán: Giải hệ phơng trình không
chứa tham số; giải hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số; giải và biện
luận hệ phơng trình theo tham số; tìm giá trị tham số khi biết dấu của
nghiệm của hệ phơng trình

Kĩ năng
- Rèn kĩ năng giải hệ phơng trình, suy luận, trình bày
Thái độ
- Học sinh tích cực, tự giác ôn tập, có tinh thần làm việc tập thể
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức
II. Kiểm tra bài cũ
- HS1:
Nêu định nghĩa hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm nghiệm và
tập nghiệm của nó ? Thế nào là hai hệ phơng trình tơng đơng ?
- HS2:
Nêu các phơng pháp giải hệ phơng trình
III. Bài mới
Dạng 1: Giải hệ phơng trình không chứa tham số
Bài 1: Giải các hệ phơng trình sau:









+ =
+ =

+ =
+


+ =

=


=
=


+

Gii
( )





=

+ = = = =



=

= = = =





+ = + = = =



= = = =

Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (2 ; 1)
!

"#

$ %

= =
+
!&"''()*&


%
$ %
%

$ %
$
$ %




=
+ =
=





+ =

=
+ =





+%,"##"

=





=

+

/0


+ = = =

<=>

= = =

Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x ; y) = (5 ; 3)




+ = = + = + =


+ = + + = = =

= + + = + = =

Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là



=


=


=

Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau:




+ = + =



= =

x y x y
x y x y

= =


=



=

= =




x x
x
x y
y y
1234567#896:67&3);<

=

=




=



x y
x y
x y



=


=

x
x y
=567#896:%>?@67&3)34567#896:%>?@67&3)
Bài 3: Giải các hệ phơng trình sau:



x y x y x y x y
x y x y x y x y
+ + = + + =



+ + = + + =








=

= =

= =


=


x
x y x
x y x y
y
1234567#896:67&3)








x y x y
x y x y
+ + = + + =



+ = =

+ =



= =

x y
x y x y




= = =




= = =




x x x
x y y y
1234567#896:67&3);<
Dạng 2: Giải hệ phơng trình khi biết giá trị của tham số
Ví dụ:
Cho hệ phơng trình :

+ =


+ + =


2
2
3mx (n 3) y 6
(m 1)x 2ny 13
a) Giải hệ phơng trình với m = 2; n = 1
b) Giải hệ phơng trình với m = 1; n = - 3
H ớng dẫn: Thay giá trị của tham số vào hệ phơng trình, sau đó giải hệ ph-
ơng trình không chứa tham số vừa thu đợc.
Dạng 3: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số
Chú ý: Dùng phơng pháp cộng hoặc thế để tìm x theo tham số m (hoặc y theo
tham số m), làm xuất hiện phơng trình có dạng :
Ax = B (1) (hoặc Ay = B)
+ Nếu A = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = B.
- Khi B = 0 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 0


phơng trình có vô số nghiệm
=> hệ phơng trình có vô số nghiệm
- Khi B

0 phơng trình (1) vô nghiệm
=> hệ phơng trình vô nghiệm
+ Nếu A

0 thì phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất
B
A
=> hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
B
x
A
y y(m)

=



=


Ví dụ :
Cho hệ pt:
+ =


=

mx y 2
2x y 1
. Giải và biện luận hệ theo m.
Bài làm:
2x y 1
mx y 2
=

+ =


(2 m)x 3 (1)
2x y 1 (2)
+ =


=

+ Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3
- Nếu 2 + m = 0

m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3)
Do phơng trình (3) vô nghiệm

hệ vô nghiệm.
- Nếu 2 + m

0

m

- 2.
Thì phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x =
3
2 m+
+ Thay x =

3
2 m+
vào phơng trình (2) ta có:y = 2x 1 =
6
2 m+
- 1 =
4 m
2 m

+
Vậy với m

- 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
3
x
2 m
4 m
y
2 m

=


+



=

+
.
Tóm lại:
+) Với m = - 2 thì hệ phơng trình vô nghiệm
+) Với m

- 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
3
x
2 m
4 m
y
2 m

=


+



=


+
.
Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy
nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm.
*) Điều kiện để hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có
vô số nghiệm, vô nghiệm.

ax by c
a' x b' y c'
+ =


+ =

(a, b, c, a, b, c khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
a b c
a' b' c '
= =
+ Hệ vô nghiệm nếu
a b c
a' b' c'
=
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu
a b
a' b'

Ví dụ: Tìm giá trị của m và p để hệ phơng trình
x 7 y
mx 2y p
=


= +

a) Có một nghiệm duy nhất
b) Có vô số nghiệm

c) Vô nghiệm
Giải:
Thay x = 7 y vào phơng trình thứ hai, ta có:
m(7 - y) = 2y + p <=> (m + 2)y = 7m - p (1)
a) Nếu m + 2
0
<=> m
2
=> Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất nên hệ
đã cho có nghiệm duy nhất.
Từ (1) => y =
7m p
m 2

+
, thay vào x = 7 y => x = 7 -
7m p
m 2

+
=
14 p
m 2
+
+
Vậy khi m
2

thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (
14 p

m 2
+
+
;
7m p
m 2

+
)
b) Nếu m = - 2 => Phơng trình (1) trở thành 0.y = - 14 p
Hệ vô số nghiệm khi: -14 p = 0 <=> p = - 14
Vậy khi m = - 2 và p = - 14 thì hệ vô số nghiệm
c) Nếu m = - 2 và p
14
thì phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
*) Cách khác:
Hệ phơng trình đã cho <=>
mx 2y p
x y 7
=


+ =

a) Hệ có nghiệm duy nhất <=>
m 2
m 2
1 1

<=>

b) Hệ vô số nghiệm <=>
p
m 2
1 1 7

= =
=> m = - 2, p = - 14
c) Hệ vô nghiệm <=>
p
m 2
1 1 7

=
=> m = - 2, p
14

Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phơng
trình
Ví dụ :
Cho hệ phơng trình :
+ =


+ =

x 2y 5
mx y 3
Tìm m để x < 0, y < 0