về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bệnh (tóm tắt)

n


Bộ giáo dục và đào tạo
TRờng đại học vinh






CH TH KIM PHNG

V M RNG PHN BC
CA NHểM PHM TR BN


Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s

Mó s: 62. 46. 01. 04




TóM TắT Luận án tiến sĩ toán học












NGH AN - 2014

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh


Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang
2. PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng


Phản biện 1:


Phản biện 2:


Phản biện 3:


Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng đánh giá luận án cấp Trường họp tại
Trường Đại học Vinh vào hồi giờ ngày tháng năm



Có thể tìm hiểu luận án tại:
1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh
2. Thư viện quốc gia Việt Nam
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phạm trù với tích tenxơ bắt đầu được nghiên cứu bởi J. Bénabou
(1963) và S. MacLane (1963). Các tác giả trên đã xét các phạm trù trên đó có

trang bị một phép toán ⊗ cùng với ràng buộc kết hợp a và ràng buộc đơn vị
l, r thỏa mãn một số biểu đồ giao hoán. S. MacLane (1963) gọi phạm trù này
là phạm trù monoidal và đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu
tự nhiên a, l, r. S. MacLane cũng chỉ ra điều kiện đủ cho tính khớp của các
đẳng cấu tự nhiên trong một phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm
trù monoidal có thêm đẳng cấu giao hoán c tương thích với các ràng buộc kết
hợp và đơn vị. Sau đó, lý thuyết phạm trù monoidal đã được nhiều nhà toán
học quan tâm và phát triển theo nhiều hướng khác nhau.
Phạm trù monoidal có thể được “mịn hóa” để trở thành phạm trù với cấu
trúc nhóm bằng việc bổ sung vật khả nghịch (xem M. L. Laplaza (1983) và N.
S. Rivano (1972)). Nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên
đều đẳng cấu) thì ta được phạm trù monoidal giống nhóm (xem A. Fr¨ohlich
và C. T. C. Wall (1974)), hay Gr-phạm trù (xem H. X. Sính (1975)). Trong
luận án này chúng tôi gọi phạm trù như thế là nhóm phạm trù theo cách gọi
phổ biến gần đây (xem P. Carrasco và A. R. Garzón (2004), A. M. Cegarra
và các đồng tác giả (2002)). Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm đẳng
cấu giao hoán thì nó trở thành phạm trù Picard (xem H. X. Sính (1975)), hay
nhóm phạm trù đối xứng (xem M. Bullejos và các đồng tác giả (1993)).
Phạm trù monoidal bện xuất hiện trong công trình của A. Joyal và R. Street
(1993) và là sự mở rộng của khái niệm phạm trù monoidal đối xứng. Các tác
giả đã “mịn hoá” phạm trù monoidal bện để trở thành nhóm phạm trù bện khi
bổ sung điều kiện mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên là đẳng cấu. Họ cũng
đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic dựa trên
kết quả của S. Eilenberg và S. MacLane (1953) về biểu diễn hàm quadratic bởi
nhóm đối đồng điều aben H
3
ab
(G, A). Một trường hợp riêng của nhóm phạm
2
trù bện là phạm trù Picard đã được phân lớp trước đó bởi H. X. Sính (1975).

Một hướng tổng quát của nhóm phạm trù đã được giới thiệu bởi A. Fr¨ohlich
và C. T. C. Wall (1974) với tên gọi là nhóm phạm trù phân bậc. Sau đó, A.
M. Cegarra và E. Khmaladze (2007) đã nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậc
bện và phạm trù Picard phân bậc. Các cấu trúc này lần lượt là các trường hợp
tổng quát của nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard. Họ đã thu được những
kết quả về phân lớp nhờ các lý thuyết đối đồng điều Γ-môđun do họ xây dựng.
Theo một hướng khác, một số tác giả đã quan tâm đến lớp nhóm phạm
trù đặc biệt, trong đó các ràng buộc là các đồng nhất và các vật đều khả
nghịch chặt chẽ, nghĩa là X ⊗ Y = I = Y ⊗ X. Lớp phạm trù này được gọi
là G-groupoid theo R. Brown và C. B. Spencer (1976), Gr-phạm trù chặt chẽ
theo H. X. Sính (1978), nhóm phạm trù chặt chẽ theo A. Joyal và R. Street
(1993), 2-nhóm chặt chẽ theo J. C. Baez và A. D. Lauda (2004) hay 2-nhóm
theo B. Noohi (2007).
R. Brown và C. B. Spencer (1976) đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo được xác
định bởi một G-groupoid và ngược lại. Từ đó các tác giả đã chứng minh rằng
phạm trù các môđun chéo tương đương với phạm trù các G-groupoid (tương
đương Brown-Spencer).
Như trên, mỗi G-groupoid còn được gọi là nhóm phạm trù chặt chẽ, tuy
nhiên phạm trù các G-groupoid chỉ là phạm trù con của phạm trù các nhóm
phạm trù chặt chẽ. N. T. Quang và cộng sự (2014) đã chỉ ra mối liên hệ của
phạm trù thứ hai này với phạm trù các môđun chéo, mà tương đương Brown-
Spencer chỉ là trường hợp riêng. Kết quả này cho phép ứng dụng các kết quả
về lý thuyết cản trở đối với các hàm tử và lý thuyết đối đồng điều vào việc
nghiên cứu các môđun chéo. Hơn thế, cách làm này mở ra một hướng liên kết
một số lớp môđun chéo nào đó với một đại số phạm trù thích hợp, như chúng
tôi sẽ trình bày trong Chương 3 và Chương 4.
Ý tưởng của R. Brown và C. B. Spencer cũng đã được A. Joyal và R. Street
(1993) phát triển cho môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Tuy
nhiên, A. Joyal và R. Street mới chỉ dừng lại ở việc xác định lẫn nhau giữa các
cấu trúc nói trên, nghĩa là chỉ giữa các vật. Vấn đề đặt ra là có hay không một

3
tương đương Brown-Spencer cho các đối tượng này. Chúng tôi cho rằng đây là
một vấn đề cần được giải quyết.
Ngoài môđun chéo bện còn có một số kiểu môđun chéo khác cũng đã nhận
được sự quan tâm của nhiều tác giả, chẳng hạn như: môđun chéo aben (xem
P. Carrasco và các đồng tác giả (2002)), Γ-môđun chéo và Γ-môđun chéo bện
(xem B. Noohi (2011)). Theo cách làm của N. T. Quang và các cộng sự (2014),
chúng tôi mong muốn kết nối được những môđun chéo này với những đại số
phạm trù thích hợp nào đó, và hy vọng sẽ nhận được những tương đương
Brown-Spencer cho những đối tượng này.
Theo một hướng khác, môđun chéo có liên quan chặt chẽ đến bài toán mở
rộng nhóm. Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo đã được giới thiệu bởi
P. Dedecker (1964) và được giải quyết bởi R. Brown và O. Mucuk (1994). Điều
đó gợi ý cho chúng tôi một hướng nghiên cứu là tìm hiểu bài toán mở rộng
kiểu môđun chéo nào đó trong số các kiểu môđun chéo đã được đề cập.
Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của
mình là: “Về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu về cấu trúc của các đại số phạm trù
như: phạm trù Picard phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, nhóm
phạm trù phân bậc chặt chẽ bện, nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Từ đó, chúng
tôi phân lớp đối với Γ-môđun chéo bện, môđun chéo bện, môđun chéo aben và
trình bày lý thuyết Schreier cho mở rộng Γ-môđun, mở rộng aben kiểu môđun
chéo aben, mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben và mở rộng tâm của
các nhóm đẳng biến.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nhóm phạm trù bện, nhóm phạm trù phân bậc bện, một số kiểu môđun
chéo và bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu về tính chặt chẽ và tính đối xứng trong nhóm

4
phạm trù bện và nhóm phạm trù phân bậc bện để phân lớp các kiểu môđun
chéo và giải các bài toán mở rộng kiểu môđun chéo nào đó.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thực
hiện đề tài.
Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
- Dùng lý thuyết hệ nhân tử để nghiên cứu cấu trúc đại số phạm trù;
- Dùng lý thuyết cản trở của hàm tử để giải bài toán mở rộng;
- Dùng đại số phạm trù để phân lớp kiểu môđun chéo tương ứng.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án đã được đăng hoặc nhận đăng trên các tạp chí
quốc tế. Vì vậy, chúng có thể được xem là có ý nghĩa khoa học theo một mức
độ nào đó và đóng góp về tư liệu cho những ai quan tâm đến những vấn đề có
liên quan.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
A. M. Cegarra và E. Khmaladze (2007) đã xây dựng đối đồng điều đối xứng
của các Γ-môđun H
n
Γ,s
(M, N). Từ đó, họ đã ứng dụng lần lượt các nhóm đối
đồng điều thứ 2 và 3 để phân lớp các mở rộng Γ-môđun và phân lớp các phạm
trù Picard phân bậc.
Nội dung đầu tiên của luận án là nghiên cứu phạm trù Picard Γ-phân bậc
bằng phương pháp hệ nhân tử như N. T. Quang (2010) đã làm cho các nhóm
phạm trù Γ-phân bậc. Chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trù Picard phân
bậc P tương đương với một rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy hệ tử trong
phạm trù Picard thu gọn kiểu (π
0

P, π
1
P), đồng thời chỉ ra mỗi hệ nhân tử
nói trên cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên các nhóm aben π
0
P, π
1
P và cảm
sinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ Z
3
Γ,s
(π
0
P, π
1
P). Như một ứng dụng
của lý thuyết phạm trù Picard phân bậc, chúng tôi trình bày sự phân lớp các
mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử monoidal phân bậc đối xứng. Những
5
kết quả này cho phép thu lại được định lý phân lớp các phạm trù Picard phân
bậc và phân lớp đối đồng điều các mở rộng Γ-môđun của A. M. Cegarra và E.
Khmaladze (2007).
Khái niệm môđun chéo đã được giới thiệu bởi J. H. C. Whitehead (1949).
A. Joyal và R. Street (1993) đã nghiên cứu một khái niệm mịn hơn khái niệm
môđun chéo. Khái niệm này được gọi là môđun chéo bện. Năm 2004, từ khái
niệm môđun chéo, P. Carrasco và các đồng tác giả trong (2002) đã xét trường
hợp các nhóm có tính chất giao hoán và đưa ra khái niệm môđun chéo aben.
Họ chứng minh rằng phạm trù các môđun chéo aben tương đương với phạm
trù các môđun phải trên vành các ma trận. Năm 2011, B. Noohi đã bổ sung
một Γ-tác động từ nhóm Γ lên các nhóm và đồng cấu nhóm trong khái niệm

môđun chéo, môđun chéo bện và đưa ra khái niệm Γ-môđun chéo, Γ-môđun
chéo bện khi so sánh các phương pháp khác nhau để tính đối đồng điều lấy hệ
tử trong một môđun chéo. Tuy nhiên, trong bài báo đó, tác giả chưa đề cập
đến sự phân lớp các kiểu môđun chéo này. Năm 2013, N. T. Quang và P. T.
Cúc đã xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để phân lớp các Γ-môđun
chéo và giải bài toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo. Mở rộng
này là dạng tổng quát của mở rộng nhóm đẳng biến của A. M. Cegarra và các
đồng tác giả (2002) và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo của R. Brown và O.
Mucuk (1994).
Nội dung thứ hai của luận án là xây dựng mũi tên trong phạm trù các môđun
chéo bện bao gồm một đồng cấu (f
1
, f
0
) : M → M

của các môđun chéo bện
và một phần tử thuộc nhóm các 2-đối chu trình aben Z
2
ab
(π
0
M, π
1
M

). Từ
đó, chúng tôi chứng minh rằng phạm trù các môđun chéo bện tương đương với
phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Mũi tên trong phạm trù các nhóm
phạm trù chặt chẽ bện là các hàm tử monoidal đối xứng (F,


F ) : P → P

bảo
toàn phép toán tenxơ và

F
x,y
=

F
y,x
với x, y ∈ Ob(P). Nếu môđun chéo bện
là môđun chéo aben thì nhóm phạm trù chặt chẽ bện là phạm trù Picard chặt
chẽ. Khi đó, chúng tôi thiết lập một tương đương phạm trù cho phạm trù các
môđun chéo aben và phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ, đồng thời giải
bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben.
6
Nội dung thứ ba của luận án là giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù phân
bậc chặt chẽ bện để biểu diễn Γ-môđun chéo bện. Từ đó, chúng tôi nghiên cứu
mối liên hệ giữa các đồng cấu Γ-môđun chéo bện và hàm tử monoidal phân
bậc đối xứng của các nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện liên kết với các
Γ-môđun chéo bện tương ứng. Điều này làm cơ sở cho phép chứng minh một
tương đương phạm trù giữa phạm trù các Γ-môđun chéo bện với phạm trù các
nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện. Đồng thời, chúng tôi cũng giải bài toán
mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben.
Phần cuối của luận án sẽ ứng dụng nhóm phạm trù phân bậc để chỉ ra rằng
nếu h là bất biến thứ ba của nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ Hol
Γ
G và

p : Π → Out G là một hạt nhân đẳng biến thì p
∗
(h) là một cản trở của p,
và phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến A → E → Π với A ⊂ ZE bởi các
tự hàm tử monoidal Γ-phân bậc của nhóm phạm trù Γ-phân bậc

Γ
(Π, A, 0).
Đồng thời chúng tôi xây dựng một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ là hợp
thành của một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với một Γ-đồng cấu. Kết
quả này mở rộng cấu trúc pull-back của S. MacLane (1963) trong phép dựng
mở rộng nhóm Eγ của mở rộng E và đồng cấu nhóm γ.
7.2. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận chung, Danh mục công trình liên quan
trực tiếp đến luận án, Tài liệu tham khảo, phần nội dung chính của luận án
được trình bày trong năm chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở
để sử dụng cho những chương tiếp theo. Chương 2 nghiên cứu các phạm trù
Picard phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử. Chương 3 nghiên cứu nhóm
phạm trù chặt chẽ bện để phân lớp các môđun chéo bện, môđun chéo aben
và mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. Chương 4 xây dựng nhóm phạm trù
phân bậc chặt chẽ bện để phân lớp các Γ-môđun chéo bện và các mở rộng
Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben. Chương 5 nghiên cứu về nhóm phạm trù
phân bậc chặt chẽ gắn với bài toán mở rộng nhóm đẳng biến.
7
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về phạm
trù monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc,
đối đồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù
Picard phân bậc. Những nội dung này làm cơ sở cho các chương tiếp theo.

Mục 1.1 nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal, hàm tử monoidal, đồng
luân và nhóm phạm trù.
Mục 1.2 nhắc lại khái niệm nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, hàm tử
monoidal đối xứng, nhóm phạm trù bện thu gọn và trình bày hai kết quả về
cản trở của hàm tử kiểu (ϕ, f) để trở thành một hàm tử monoidal đối xứng.
Mục 1.3 nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal phân bậc, nhóm phạm trù
phân bậc và nhóm phạm trù phân bậc kiểu (Π, A, h).
Mục 1.4 nhắc lại một cách ngắn gọn về các nhóm đối đồng điều aben (đối
xứng) chiều thấp của các Γ-môđun.
Mục 1.5 nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal phân bậc bện (đối xứng),
nhóm phạm trù phân bậc bện (đối xứng), hàm tử monoidal phân bậc đối xứng
và nhóm phạm trù phân bậc bện kiểu (M, N, h). Phần cuối của mục sẽ trình
bày hai kết quả về cản trở của hàm tử phân bậc kiểu (ϕ, f) để trở thành hàm
tử monoidal phân bậc đối xứng.
8
CHƯƠNG 2
HỆ NHÂN TỬ TRONG
CÁC PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC
Trong chương này, chúng tôi mô tả hệ nhân tử đối xứng trong phạm trù
Picard phân bậc để giải thích nhóm đối đồng điều đối xứng thứ 3 của các
Γ-môđun và phân lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ các hàm tử monoidal phân
bậc đối xứng. Các kết quả chính của chương được viết dựa theo bài báo [1].
2.1. Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard
Ký hiệu Pic là phạm trù của các phạm trù Picard và các hàm tử monoidal
đối xứng giữa chúng. Ký hiệu Z
3
s
là phạm trù con đầy của phạm trù Pic có
vật là một phạm trù Picard P =


(M, N, h), trong đó M, N là các nhóm
aben và h = (ξ, η) ∈ Z
3
s
(M, N) với ξ : M
3
→ N, η : M
2
→ N, còn mũi tên

(M, N, h) →

(M

, N

, h

) là một hàm tử monoidal đối xứng (F,

F ), trong
đó F là cặp đồng cấu nhóm ϕ : M → M

và f : N → N

,

F liên kết với hàm
g : M
2

→ N

sao cho f
∗
(h) = ϕ
∗
(h

) + ∂g ∈ Z
3
s
(M, N

).
2.1.1 Định nghĩa. Một hệ nhân tử đối xứng F trên Γ với các hệ tử trong
phạm trù Picard P (hay một giả hàm tử F : Γ → Pic) bao gồm một họ các tự
tương đương monoidal đối xứng F
σ
: P → P với σ ∈ Γ và các đẳng cấu giữa
các hàm tử monoidal đối xứng θ
σ,τ
: F
σ
F
τ
→ F
στ
với σ, τ ∈ Γ, thỏa mãn các
điều kiện:
(i) F

1
= id
P
;
(ii) θ
1,σ
= id
F
σ
= θ
σ,1
, σ ∈ Γ;
9
(iii) Với mọi σ, τ, γ ∈ Γ, biểu đồ sau giao hoán
F
σ
F
τ
F
γ
θ
σ,τ
F
γ
−−−−→ F
στ
F
γ
F
σ

θ
τ,γ






θ
στ,γ
F
σ
F
τγ
θ
σ,τ γ
−−−→ F
στ γ
(2.1.1)
Ta viết F = (P, F
σ
, θ
σ,τ
) và ký hiệu đơn giản là (F, θ).
Hệ nhân tử đối xứng F được gọi là một hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ
nếu F
σ
∗
= id với mọi σ ∈ Γ.
2.1.5 Định lý. Giả sử P là phạm trù Picard Γ-phân bậc và Ker P(h) là

phạm trù Picard thu gọn của Ker P. Khi đó tồn tại hệ nhân tử F lấy hệ
tử trong Ker P(h) sao cho P tương đương với ∆F.
2.2. Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard

(M, N, h)
Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần của hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm
trù Picard.
2.2.1 Định lý. Giả sử Γ là một nhóm và S =

(M, N, ξ, η) là một phạm
trù Picard. Khi đó
(i) Mỗi hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ F = (S, F
σ
, θ
σ,τ
) : Γ → Z
3
s
cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩn
tắc h
F
∈ Z
3
Γ,s
(M, N);
(ii) Điều kiện F
1
= id
S
trong định nghĩa của hệ nhân tử có thể suy ra

được từ những điều kiện còn lại.
Kết quả sau đây được suy ra từ Định lý 2.1.5 và Định lý 2.2.1.
2.2.2 Định lý. Mỗi phạm trù Picard phân bậc P cảm sinh các cấu trúc
Γ-môđun trên M = π
0
P, N = π
1
P và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩn
tắc h
F
∈ Z
3
Γ,s
(M, N).
Trong định nghĩa sau đây, chúng tôi giới thiệu khái niệm phạm trù Picard
Γ-phân bậc tiền đính kiểu (M, N). Khi đó bài toán phân lớp tương đương các
phạm trù Picard Γ-phân bậc sẽ được thực hiện trên các phạm trù Picard phân
bậc dạng này.
10
2.2.8 Định nghĩa. Giả sử M và N là những Γ-môđun. Một phạm trù Picard
Γ-phân bậc P được gọi là một phạm trù Picard Γ-phân bậc tiền đính kiểu
(M, N) nếu tồn tại cặp đẳng cấu của các Γ-môđun
(p, q) : (M, N) → (π
0
P, π
1
P).
Dễ thấy rằng mỗi hàm tử Γ-phân bậc giữa hai phạm trù Picard Γ-phân bậc
tiền đính kiểu (M, N) là một tương tương Γ-phân bậc.
Với sự chuẩn bị như trên, chúng tôi nhận lại được kết quả phân lớp các

phạm trù Picard phân bậc của A. M. Cegarra và E. Khmaladze (2007).
2.2.9 Định lý. Tồn tại song ánh
Γ
Pic[M, N] ↔ H
3
Γ,s
(M, N),
trong đó
Γ
Pic[M, N] là tập các lớp tương đương của phạm trù Picard Γ-
phân bậc tiền đính kiểu (M, N).
2.3. Mở rộng Γ-môđun
Mục này trình bày sự phân lớp các mở rộng Γ-môđun của N bởi M nhờ
vào các hàm tử monoidal phân bậc đối xứng giữa hai phạm trù Picard phân
bậc Dis
Γ
M và Red
Γ
N.
2.3.1 Định nghĩa. Một mở rộng Γ-môđun của N bởi M là một dãy khớp
ngắn của các Γ-môđun và các đồng cấu Γ-môđun
E : 0 → N
i
−→ B
p
−→ M → 0. (2.3.1)
Ký hiệu Ext
ZΓ
(M, N) là tập tất cả các lớp tương đương của các mở rộng
Γ-môđun của N bởi M.

Phạm trù Picard Γ-phân bậc rời rạc Dis
Γ
M được xác định
Dis
Γ
M =

Γ
(M, 0, 0).
Do đó Dis
Γ
M có các vật là các phần tử của nhóm aben M và các mũi tên
σ : x → y là các phần tử σ thuộc Γ sao cho σx = y. Hợp thành của các mũi
11
tên là phép nhân trong Γ. Hàm tử phân bậc gr : Dis
Γ
M → Γ được cho bởi
gr(σ) = σ. Tích tenxơ trên các vật là phép cộng trong M và tích tenxơ trên
hai mũi tên được xác định
(x
σ
−→ y) ⊗ (x

σ
−→ y

) = (x + x

σ
−→ y + y


).
Hàm tử phân bậc đơn vị I : Γ → Dis
Γ
M cho bởi
I(∗
σ
−→ ∗) = (0
σ
−→ 0).
Các ràng buộc kết hợp, giao hoán và đơn vị là đồng nhất.
Phạm trù Picard Γ-phân bậc thu gọn Red
Γ
N được cho bởi
Red
Γ
N =

Γ
(0, N, 0).
Do đó Red
Γ
N có một vật ∗ duy nhất và các mũi tên là các cặp (n, σ) với
n ∈ N và σ ∈ Γ. Hợp thành của hai mũi tên là
(n, σ)(m, τ ) = (n + σm, στ).
Hàm tử phân bậc gr : Red
Γ
N → Γ cho bởi gr(n, σ) = σ. Tích tenxơ phân bậc
trên các mũi tên là
(n, σ) ⊗ (m, σ) = (n + m, σ).

Hàm tử phân bậc đơn vị I : Γ → Red
Γ
N được xác định I(σ) = (0, σ). Các
ràng buộc kết hợp, giao hoán và đơn vị là đồng nhất.
Ký hiệu Hom
Γ,s
[Dis
Γ
M, Red
Γ
N] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử
monoidal đối xứng phân bậc từ Dis
Γ
M đến Red
Γ
N.
2.3.2 Định lý. (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng Γ-môđun) Tồn tại một
song ánh
Ω : Ext
ZΓ
(M, N) → Hom
Γ,s
[Dis
Γ
M, Red
Γ
N].
12
CHƯƠNG 3
MÔĐUN CHÉO BỆN VÀ

NHÓM PHẠM TRÙ CHẶT CHẼ BỆN
Chương này được dành để xác định mũi tên trong phạm trù các môđun chéo
bện và chứng minh phạm trù này tương đương với phạm trù các nhóm phạm
trù chặt chẽ bện. Chúng tôi cũng thiết lập tương đương phạm trù giữa phạm
trù các môđun chéo aben với phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ và giải
bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. Các kết quả chính của chương
được viết dựa theo hai bài báo [2] và [4].
3.1. Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện
Sự xác định lẫn nhau giữa môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện
đã được trình bày bởi A. Joyal và R. Street (1993). Trong mục này, chúng tôi
xây dựng một tương đương phạm trù cho phạm trù các môđun chéo bện và
phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Trước hết, chúng tôi chỉ ra một số
tính chất và một ví dụ về môđun chéo bện.
3.1.5 Mệnh đề. Giả sử M là một môđun chéo bện. Khi đó
(i) η(x, 1) = η(1, y) = 0;
(ii) Ker d là nhóm con của ZB;
(iii) Coker d là nhóm aben;
(iv) Đồng cấu ϑ cảm sinh phép đồng nhất trên Ker d, do đó tác động
Coker d lên Ker d, cho bởi sa = ϑ
x
(a) với a ∈ Ker d và x ∈ s ∈ Coker d, là
tầm thường.
3.1.6 Ví dụ. Cho N là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho nhóm
thương G/N là nhóm aben, hay nói cách khác N là một nhóm con chuẩn tắc
13
của G chứa nhóm dẫn xuất của G. Khi đó hệ (N, G, i, µ, η) là một môđun chéo
bện, trong đó i : N → G là đồng cấu bao hàm, µ : G → Aut N được cho bởi
liên hợp và η : G × G → N được xác định η(x, y) = [x, y].
3.1.7 Định nghĩa. Giả sử M = (B, D, d, ϑ, η) và M


= (B

, D

, d

, ϑ

, η

) là
hai môđun chéo bện. Một đồng cấu giữa hai môđun chéo bện M và M

bao
gồm hai đồng cấu nhóm f
1
: B → B

và f
0
: D → D

thỏa mãn:
(H
1
) f
0
d = d

f

1
;
(H
2
) f
1
(ϑ
x
b) = ϑ

f
0
(x)
f
1
(b);
(H
3
) f
1
(η(x, y)) = η

(f
0
(x), f
0
(y))
với mọi x, y ∈ D, b ∈ B.
3.1.8 Bổ đề. Giả sử (f
1

, f
0
) : M → M

là một đồng cấu của hai môđun
chéo bện M và M

. Gọi P và P

là hai nhóm phạm trù chặt chẽ bện lần
lượt liên kết với hai môđun chéo bện M và M

. Khi đó
(i) Tồn tại một hàm tử F : P → P

được xác định F(x) = f
0
(x) và
F (b) = f
1
(b) với x ∈ Ob(P) và b ∈ Mor(P);
(ii) Đẳng cấu tự nhiên

F
x,y
: F (x)F (y) → F (xy) cùng với F là một hàm
tử monoidal đối xứng khi và chỉ khi

F
x,y

= p
∗
ϕ(x, y) = ϕ(px, py), trong đó
p : D → Coker d là phép chiếu chính tắc và ϕ là một 2-đối chu trình aben
thuộc Z
2
ab
(Coker d, Ker d

).
Ký hiệu BrCross là phạm trù có vật là các môđun chéo bện và mũi tên
là các bộ ba (f
1
, f
0
, ϕ), trong đó (f
1
, f
0
) : M → M

là một đồng cấu của các
môđun chéo bện và ϕ ∈ Z
2
ab
(Coker d, Ker d

).
3.1.9 Định nghĩa. Giả sử P và P


là hai nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Khi đó
hàm tử monoidal đối xứng (F,

F ) : P → P

được gọi là một hàm tử monoidal
đối xứng chính qui nếu
(B
1
) F (x) ⊗ F (y) = F (x ⊗ y);
(B
2
) F (b) ⊗ F(c) = F (b ⊗ c);
(B
3
)

F
x,y
=

F
y,x
với mọi x, y ∈ Ob(P) và b, c ∈ Mor(P).
14
3.1.10 Bổ đề. Giả sử P và P

là hai nhóm phạm trù chặt chẽ bện lần lượt
liên kết với hai môđun chéo bện M và M


, (F,

F ) : P → P

là một hàm tử
monoidal đối xứng chính qui. Khi đó bộ ba (f
1
, f
0
, ϕ), trong đó
f
1
(b) = F (b), f
0
(x) = F (x), ϕ(px, py) =

F
x,y
với b ∈ B và x, y ∈ D, là một mũi tên trong phạm trù BrCross.
Ký hiệu BrGr
∗
là phạm trù có các vật là các nhóm phạm trù chặt chẽ bện
và các mũi tên là các hàm tử monoidal đối xứng chính qui. Ta thu được định
lý sau đây về sự phân lớp phạm trù các môđun chéo bện.
3.1.11 Định lý. (Định lý phân lớp) Tồn tại một tương đương phạm trù
Φ : BrCross −→ BrGr
∗
,
M −→ P
M

(f
1
, f
0
, ϕ) −→ (F,

F )
trong đó F (x) = f
0
(x), F (b) = f
1
(b),

F
x,y
= ϕ(px, py) với x, y ∈ D và b ∈ B.
3.2. Môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ
Khái niệm môđun chéo aben sau đây đã được nghiên cứu trong công trình
của P. Carrasco và đồng tác giả (2002).
3.2.1 Định nghĩa. Môđun chéo M = (B, D, d, ϑ) được gọi là một môđun
chéo aben nếu B, D là các nhóm aben và ϑ = 0.
Chú ý rằng môđun chéo aben M cũng là một trường hợp riêng của môđun
chéo bện. Để tiện sử dụng M còn được ký hiệu là (B, D, d) hay đơn giản là
B → D.
Chúng tôi gọi một phạm trù Picard chặt chẽ là một nhóm phạm trù chặt
chẽ đối xứng, trong đó ràng buộc giao hoán c = id.
Mục 3.1 đã thiết lập một tương đương phạm trù cho các đối tượng là môđun
chéo bện M và nhóm phạm trù chặt chẽ bện P
M
. Bây giờ, nếu M = (B, D, d)

15
là môđun chéo aben thì nhóm phạm trù bện P
M
liên kết với M là một phạm
trù Picard chặt chẽ.
Ký hiệu AbCross là phạm trù có các vật là các môđun chéo aben và mũi
tên là các bộ ba (f
1
, f
0
, ϕ), trong đó (f
1
, f
0
) : (B, D, d) → (B

, D

, d

) là một
đồng cấu môđun chéo aben và ϕ ∈ Z
2
s
(Coker d, Ker d

).
3.2.5 Định nghĩa. Giả sử P và P

là các phạm trù Picard chặt chẽ. Hàm

tử monoidal đối xứng (F,

F ) : P → P

được gọi là một hàm tử monoidal đối
xứng chính qui nếu F (x) ⊗ F(y) = F (x ⊗ y) với x, y ∈ Ob(P).
Ký hiệu Picstr là phạm trù có vật là các phạm trù Picard chặt chẽ và mũi
tên là các hàm tử monoidal đối xứng chính qui. Khi đó, chúng tôi thu được kết
quả phân lớp phạm trù các môđun chéo aben như sau.
3.2.7 Định lý. (Định lý phân lớp) Tồn tại một tương đương phạm trù
Φ : AbCross −→ Picstr,
(B → D) −→ P
B→D
(f
1
, f
0
, ϕ) −→ (F,

F )
trong đó F (x) = f
0
(x), F (b) = f
1
(b) và

F
x
1
,x

2
= ϕ(s
1
, s
2
) với x ∈ D, b ∈ B
và x
i
∈ s
i
∈ Coker d, i = 1, 2.
3.3. Mở rộng aben kiểu môđun chéo aben
R. Brown và O. Mucuk (1994) đã giải thích định lý về sự tồn tại và phân
lớp đối đồng điều các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo bằng cách sử dụng
phương pháp phức chéo. Gần đây, N. T. Quang và các cộng sự (2013) đã sử
dụng lý thuyết cản trở của hàm tử monoidal để giải bài toán mở rộng nhóm
kiểu môđun chéo.
Mục này sẽ trình bày một phiên bản của các kết quả trên cho trường hợp
môđun chéo aben.
3.3.1 Định nghĩa. Giả sử M = (B, D, d) là môđun chéo aben và Q là nhóm
aben. Một mở rộng aben của B bởi Q kiểu M là một biểu đồ các đồng cấu
16
nhóm
E : 0
//
B
j
//
E
p

//
ε

Q
//
0,
B
d
//
D
(3.3.1)
trong đó dòng trên là khớp và (id
B
, ε) là một đồng cấu của các môđun chéo
aben.
Mỗi mở rộng E cảm sinh một đồng cấu ψ : Q → Coker d. Mục đích của
chúng tôi là nghiên cứu tập Ext
ab
B→D
(Q, B, ψ) các lớp tương đương các mở
rộng aben của B bởi Q kiểu môđun chéo aben B
d
→ D cảm sinh ψ.
Định lý sau đây trình bày về sự phân lớp các mở rộng aben kiểu môđun chéo
aben nhờ vào các hàm tử monoidal đối xứng. Ký hiệu Hom
P ic
(ψ,0)
[Dis
s
Q, P

B→D
]
là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal đối xứng kiểu (ψ, 0) từ
Dis
s
Q đến P
B→D
.
3.3.3 Định lý. (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng aben kiểu môđun chéo
aben) Cho môđun chéo aben B → D, nhóm aben Q và đồng cấu ψ : Q →
Coker d. Khi đó tồn tại một song ánh
Ω : Hom
P ic
(ψ,0)
[Dis
s
Q, P
B→D
] → Ext
ab
B→D
(Q, B, ψ)
nếu một trong hai tập nói trên khác rỗng.
Do phạm trù Picard thu gọn của P
B→D
là P(h) =

(Coker d, Ker d, h),
h ∈ Z
3

s
(Coker d, Ker d) nên cặp đồng cấu (ψ, 0) : (Q, 0) → (Coker d, Ker d)
cảm sinh một cản trở ψ
∗
h ∈ Z
3
s
(Q, Ker d). Với khái niệm cản trở này, ta có:
3.3.4 Định lý. Cho môđun chéo aben (B, D, d) và đồng cấu của các nhóm
aben ψ : Q → Coker d. Khi đó sự triệt tiêu của ψ
∗
h trong H
3
s
(Q, Ker d) là
điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng aben của B bởi Q kiểu B → D cảm
sinh ψ. Hơn nữa, khi ψ
∗
h triệt tiêu thì tập các lớp tương đương của các
mở rộng này là song ánh với H
2
s
(Q, Ker d).
17
CHƯƠNG 4
Γ-MÔĐUN CHÉO BỆN VÀ
NHÓM PHẠM TRÙ PHÂN BẬC CHẶT CHẼ BỆN
Phần đầu của chương sẽ giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt
chẽ bện để biểu diễn khái niệm Γ-môđun chéo bện của B. Noohi (2011). Từ
đó, chúng tôi phân lớp các Γ-môđun chéo bện và trình bày lý thuyết Schreier

cho mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben. Các kết quả chính của chương
được viết dựa theo bài báo [4].
4.1. Γ-môđun chéo bện và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện
Định nghĩa sau đây mô tả cấu trúc của nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ
bện liên kết với Γ-môđun chéo bện. Trước hết, ta gọi hệ nhân tử đối xứng (xem
Định nghĩa 2.1.1, Chương 2) là hệ nhân tử đối xứng chính qui nếu với mọi
σ, τ ∈ Γ thì F
σ
là hàm tử monoidal đối xứng chính qui và θ
σ,τ
= id.
4.1.5 Định nghĩa. Nhóm phạm trù phân bậc bện P được gọi là một nhóm
phạm trù phân bậc chặt chẽ bện nếu
(i) Ker P là một nhóm phạm trù chặt chẽ bện;
(ii) P cảm sinh một hệ nhân tử đối xứng chính qui (F, θ) trên Γ với các hệ
tử trong Ker P.
Chúng tôi đã chỉ ra rằng mỗi Γ-môđun chéo bện M xác định một nhóm
phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ bện P
M
và ngược lại.
Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày mối liên hệ giữa các đồng cấu Γ-môđun chéo
bện và các hàm tử monoidal Γ-phân bậc đối xứng giữa các nhóm phạm trù
phân bậc bện liên kết tương ứng.
18
Trước hết ta nhận xét rằng mỗi mũi tên x
(b,σ)
−−−→ y trong P
M
có thể phân
tích thành

x
(0,σ)
−−−→ σx
(b,1)
−−→ y
và do đó mỗi hàm tử monoidal phân bậc đối xứng (F,

F ) : P
M
→ P
M

xác
định một hàm f : D
2
∪ (D × Γ) → B

được cho bởi
(f(x, y), 1) =

F
x,y
, (f(x, σ), σ) = F (x
(0,σ)
→ σx).
4.1.7 Bổ đề. Giả sử (f
1
, f
0
) : M → M


là một đồng cấu của hai Γ-môđun
chéo bện. Gọi P và P

là hai nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện lần
lượt liên kết với hai Γ-môđun chéo bện M và M

. Khi đó tồn tại một hàm
tử monoidal phân bậc đối xứng (F,

F ) : P → P

sao cho F (x) = f
0
(x) và
F (b, 1) = (f
1
(b), 1) nếu và chỉ nếu f = p
∗
ϕ, trong ϕ ∈ Z
2
Γ,s
(Coker d, Ker d

)
và p : D → Coker d là phép chiếu chính tắc.
Ký hiệu
Γ
BrCross là phạm trù có vật là các Γ-môđun chéo bện và mũi tên
là các bộ ba (f

1
, f
0
, ϕ), trong đó (f
1
, f
0
) : M → M

là một đồng cấu Γ-môđun
chéo bện và ϕ ∈ Z
2
Γ,s
(Coker d, Ker d

).
4.1.8 Định nghĩa. Hàm tử monoidal đối xứng phân bậc (F,

F ) : P → P

được gọi là hàm tử monoidal đối xứng phân bậc chính qui nếu (F,

F ) là một
hàm tử monoidal đối xứng chính qui và thỏa mãn
(B
4
) F (σx) = σF (x);
(B
5
) F (σb) = σF (b)

với mọi x ∈ Ob(P), σ ∈ Γ và mọi mũi tên b bậc 1 trong P.
4.1.9 Bổ đề. Giả sử P và P

là hai nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ
bện, lần lượt liên kết với các Γ-môđun chéo bện M và M

, (F,

F ) : P → P

là một hàm tử monoidal đối xứng Γ-phân bậc chính qui. Khi đó bộ ba
(f
1
, f
0
, ϕ), trong đó
(i) f
0
(x) = F (x) và (f
1
(b), 1) = F (b, 1) với σ ∈ Γ, b ∈ B và x ∈ D;
(ii) p
∗
ϕ = f,
là một mũi tên trong phạm trù
Γ
BrCross.
19
Ký hiệu
Γ

BrGr
∗
là phạm trù có vật là các nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt
chẽ bện và mũi tên là các hàm tử monoidal phân bậc đối xứng chính qui, ta
thu được kết quả sau.
4.1.10 Định lý. (Định lý phân lớp) Tồn tại tương đương phạm trù
Φ :
Γ
BrCross −→
Γ
BrGr
∗
,
M −→ P
M
(f
1
, f
0
, ϕ) −→ (F,

F )
trong đó F (x) = f
0
(x), F(b, 1) = (f
1
(b), 1), F(x
(0,σ)
→ σx) = (ϕ(px, σ), σ) và


F
x,y
= (ϕ(px, py), 1) với mọi x ∈ D, b ∈ B và σ ∈ Γ.
4.2. Mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben
Mục này được dành để trình bày sự phân lớp các mở rộng Γ-môđun kiểu
Γ-môđun chéo aben. Mở rộng này là sự tổng quát của mở rộng Γ-môđun (xem
Mục 2.3) và mở rộng nhóm aben kiểu môđun chéo aben (xem Mục 3.2). Trước
hết chúng tôi trình bày khái niệm phạm trù Picard phân bậc chặt chẽ và
Γ-môđun chéo aben.
Từ định nghĩa Γ-môđun chéo bện, ta gọi một Γ-môđun chéo aben M là
một Γ-môđun chéo bện (B, D, d, ϑ, η) có ϑ = 0, η = 0. Phép dựng một nhóm
phạm trù phân bậc chặt chẽ bện từ một Γ-môđun chéo bện (xem Mục 4.1)
đảm bảo rằng mỗi Γ-môđun chéo aben M xác định một phạm trù phân bậc
P
M
mà Ker P
M
là phạm trù Picard chặt chẽ. Ta gọi P
M
là một phạm trù
Picard phân bậc chặt chẽ.
4.2.1 Định nghĩa. Giả sử M = (B, D, d) là một Γ-môđun chéo aben và Q
là một Γ-môđun. Khi đó một mở rộng Γ-môđun của B bởi Q kiểu Γ-môđun
chéo aben M là một biểu đồ các Γ-đồng cấu
E : 0
//
B
j
//
E

p
//
ε

Q
//
0,
B
d
//
D
(4.2.1)
20
trong đó dòng trên là khớp và (id
B
, ε) : (B, E, j) → (B, D, d) là một đồng cấu
của các Γ-môđun chéo aben.
Mỗi mở rộng E cảm sinh một đồng cấu Γ-môđun ψ : Q → Coker d. Mục này
nghiên cứu tập Ext
M
ZΓ
(Q, B, ψ) các lớp tương đương của các mở rộng Γ-môđun
của B bởi Q kiểu Γ-môđun chéo aben M cảm sinh ψ : Q → Coker d nhờ vào
lý thuyết cản trở cho các hàm tử monoidal Γ-phân bậc đối xứng giữa các phạm
trù Picard Γ-phân bậc chặt chẽ Dis
Γ,s
Q và P
M
, chúng tôi thu được các kết
quả chính sau đây.

4.2.3 Định lý. (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun
chéo aben) Cho Γ-môđun chéo aben M = (B, D, d), Γ-môđun Q và Γ-đồng
cấu ψ : Q → Coker d. Khi đó tồn tại một song ánh
Ω : Hom
(ψ,0)
[Dis
Γ,s
Q, P
M
] → Ext
M
ZΓ
(Q, B, ψ),
trong đó Hom
(ψ,0)
[Dis
Γ,s
Q, P
M
] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử
monoidal phân bậc đối xứng kiểu (ψ, 0) giữa phạm trù Picard phân bậc chặt
chẽ Dis
Γ,s
Q và P
M
.
Do phạm trù Picard phân bậc thu gọn của P
M
là P(h) =


Γ
(Coker d, Ker d, h),
h ∈ Z
3
Γ,s
(Coker d, Ker d) nên Γ-đồng cấu (ψ, 0) : (Q, 0) → (Coker d, Ker d) cảm
sinh một cản trở ψ
∗
h ∈ Z
3
Γ,s
(Q, Ker d). Với khái niệm cản trở này, ta có:
4.2.4 Định lý. Giả sử M = (B, D, d) là một Γ-môđun chéo aben và ψ :
Q → Coker d là một đồng cấu Γ-môđun. Khi đó sự triệt tiêu của ψ
∗
h trong
H
3
Γ,s
(Q, Ker d) là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng E kiểu M cảm
sinh ψ. Hơn nữa, khi ψ
∗
h triệt tiêu thì tập các lớp tương đương của các
mở rộng như vậy là song ánh với H
2
Γ,s
(Q, Ker d).
21
CHƯƠNG 5
MỞ RỘNG NHÓM ĐẲNG BIẾN VÀ

NHÓM PHẠM TRÙ PHÂN BẬC CHẶT CHẼ
Trong chương này, chúng tôi chỉ ra mối liên hệ giữa bất biến thứ ba của
nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ Hol
Γ
G với cản trở của hạt nhân đẳng biến
(Π, G, p). Chúng tôi cũng phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến là mở rộng
tâm và xây dựng một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ từ một nhóm phạm
trù phân bậc chặt chẽ và một Γ-đồng cấu đẳng biến. Các kết quả chính của
chương được viết dựa theo bài báo [3].
5.1. Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ
Khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ sau đây đã được giới thiệu
bởi N. T. Quang và P. T. Cúc (2013).
5.1.1 Định nghĩa. Nhóm phạm trù phân bậc G được gọi là một nhóm phạm
trù phân bậc chặt chẽ nếu
(i) Ker G là một nhóm phạm trù chặt chẽ;
(ii) G cảm sinh một hệ nhân tử chính qui (F, θ) trên Γ với các hệ tử trong
nhóm phạm trù Ker G.
Sau đây chúng tôi sẽ trình bày ba ví dụ về nhóm phạm trù phân bậc chặt
chẽ.
5.1.2 Ví dụ. Với Γ-nhóm Π, ta có thể xây dựng nhóm phạm trù phân bậc
chặt chẽ Dis
Γ
Π giống như phạm trù Picard Γ-phân bậc Dis
Γ
M (xem Mục
2.3), chỉ cần bỏ qua tính giao hoán của phép toán.
22
5.1.3 Ví dụ. Với Γ-nhóm G, ta có thể xây dựng nhóm phạm trù phân bậc
chặt chẽ Hol
Γ

G như sau. Vật của nó là các phần tử của Γ-nhóm Aut G và mũi
tên bậc σ là cặp (u, σ) : α → β sao cho σα = µ
u
β với u ∈ G và σ ∈ Γ. Phép
hợp thành của hai mũi tên α
(u,σ)
−−−→ β
(v,τ )
−−−→ γ là
(v, τ ) ◦ (u, σ) = (τ u + v, τ σ). (5.1.1)
Tích tenxơ trên các vật là phép hợp thành của các tự đẳng cấu trong Γ-nhóm
Aut G và tích tenxơ trên hai mũi tên được xác định
(α
(u,σ)
−−−→ β) ⊗ (α

(u

,σ)
−−−→ β

) = (αα

(u+β(u

),σ)
−−−−−−−→ ββ

). (5.1.2)
Hàm tử đơn vị phân bậc I : Γ → Hol

Γ
G được cho bởi
I(∗
σ
−→ ∗) = id
G
(0,σ)
−→ id
G
.
Các ràng buộc đơn vị và kết hợp là các đồng nhất.
5.1.4 Ví dụ. Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ liên kết với Γ-môđun chéo
(Ví dụ này được lấy ra từ công trình của N. T. Quang và P. T. Cúc (2013)).
5.2. Hạt nhân đẳng biến
Khái niệm hạt nhân đẳng biến đã được giới thiệu bởi A. M. Cegarra và các
đồng tác giả (2002). Đó là bộ ba (Π, G, p), trong đó Π, G là các Γ-nhóm và
p : Π → Out G là một đồng cấu của các Γ-nhóm. Khi đó ZG là OutG-môđun
Γ-đẳng biến với tác động [f]a = f(a). Cái cản trở của hạt nhân đẳng biến
(Π, G, p), ký hiệu là Obs(p), là một phần tử thuộc H
3
Γ
(Π, ZG).
Định lý sau đây sẽ mô tả các bất biến của nhóm phạm trù phân bậc Hol
Γ
G
và chỉ ra mối liên hệ giữa bất biến thứ ba của Hol
Γ
G với Obs(p).
5.2.1 Định lý. Giả sử (Π, G, p) là hạt nhân đẳng biến. Khi đó nhóm phạm
trù phân bậc chặt chẽ Hol

Γ
G có các bất biến:
(i) π
0
(Hol
Γ
G) = Out G, π
1
(Hol
Γ
G) = ZG;
(ii) h ∈ Z
3
Γ
(Out G, ZG) sao cho p
∗
h ∈ Obs(p).
23
5.3. Phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến là mở rộng tâm
Trong mục này, chúng tôi phân lớp các mở rộng nhóm Γ-đẳng biến A 
E  Π với A ⊂ ZE qua các tự hàm tử của nhóm phạm trù Γ-phân bậc

Γ
(Π, A, 0). Để trình bày kết quả này, ta ký hiệu Ext
c
Γ
(Π, A) là tập các lớp
tương đương của các mở rộng nhóm Γ-đẳng biến của A bởi Π là mở rộng tâm.
5.3.1 Định lý. (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng tâm của các nhóm đẳng
biến) Giả sử Π là Γ-nhóm và A là Π-môđun Γ-đẳng biến. Khi đó tồn tại

song ánh
Ext
c
Γ
(Π, A) ↔ End
id
Γ


Γ
(Π, A, 0)

,
trong đó End
id
Γ


Γ
(Π, A, 0)

là tập các lớp đồng luân của các hàm tử
monoidal phân bậc (F,

F ) từ

Γ
(Π, A, 0) đến chính nó thỏa mãn
F (x) = x, x ∈ Π, F (b, 1) = (b, 1), b ∈ A.
5.4. Hợp thành của nhóm phạm trù phân bậc với Γ-đồng cấu

Theo tài liệu “Homology” của S. MacLane (1963), với đồng cấu nhóm γ :
Π

→ Π và mở rộng
E : 0 → A
i
−→ B
q
−→ Π → 1,
trong đó A là nhóm aben, tồn tại mở rộng E

của A bởi Π

sao cho E

= Eγ.
Trong định lý sau đây, chúng tôi xét bài toán tương tự cho trường hợp nhóm
phạm trù phân bậc chặt chẽ.
5.4.1 Định lý. Giả sử H là một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với các
bất biến Π, C, h và p : Π

→ Π là một đồng cấu nhóm đẳng biến. Khi đó tồn
tại nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ G tương đương với

Γ
(Π

, C, h

), trong

đó C là Π

-môđun với tác động xc = p(x)c với x ∈ Π

, c ∈ C và h

= p
∗
h.