Về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện (toàn văn + tóm tắt)

Bộ giáo dục và đào tạo
TRờng đại học vinh

CH TH KIM PHNG




V M RNG PHN BC
CA NHểM PHM TR BN








Luận án tiến sĩ toán học

NGH AN - 2014
























Bộ giáo dục và đào tạo
TRờng đại học vinh

CH TH KIM PHNG




V M RNG PHN BC
CA NHểM PHM TR BN


Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s

Mó s: 62. 46. 01. 04



Luận án tiến sĩ toán học




Ngời hớng dẫn khoa học:

1. PGS. TS. NGUYN TIN QUANG
2. PGS. TS. NGễ S TNG







NGH AN - 2014

i
LỜI CAM ĐOAN
Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tôi xin cam đoan
đây là công trình nghiên cứu của tôi và các đồng tác giả. Các kết quả trong luận
án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai
công bố trước đó.
Tác giả
Chế Thị Kim Phụng
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến
Quang và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới Thầy Nguyễn Tiến Quang và Thầy Ngô Sỹ Tùng.
Tác giả xin cảm ơn NCS. Phạm Thị Cúc về sự cộng tác viết bài báo chung
và thảo luận những bài toán có liên quan.
Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm và
góp ý của PGS. TS. Nguyễn Thành Quang, PGS. TS. Lê Quốc Hán, TS. Nguyễn
Thị Hồng Loan, các thành viên trong Bộ môn Đại số, Khoa Sư phạm Toán học,

Trường Đại học Vinh cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả
xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:
- Khoa Sư phạm Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học
Vinh,
- Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn,
- Khoa Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp,
đã hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của
một nghiên cứu sinh.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn
thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập.
Chế Thị Kim Phụng
1
MỤC LỤC
Mục lục 1
Một số ký hiệu được dùng trong luận án 3
Bảng thuật ngữ 4
Sơ đồ mối liên hệ giữa các khái niệm 6
Mở đầu 7
1 Một số kiến thức chuẩn bị 16
1.1. Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Nhóm phạm trù phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Đối đồng điều của các Γ-môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5. Nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc . . . . 26
1.6. Kết luận của Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Hệ nhân tử trong các phạm trù Picard phân bậc 30
2.1. Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard


(M, N, h) . . . . . . . 35
2.3. Mở rộng Γ-môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. Kết luận của Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện 47
3.1. Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện . . . . . . . . . . 48
3.2. Môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ . . . . . . . . . . . 55
3.3. Mở rộng aben kiểu môđun chéo aben . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. Kết luận của Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Γ-môđun chéo bện và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện 67
4.1. Γ-môđun chéo bện và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện . . . . 68
4.2. Mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben . . . . . . . . . . . . 77
4.3. Kết luận của Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2
5 Mở rộng nhóm đẳng biến và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 85
5.1. Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2. Hạt nhân đẳng biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3. Phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến là mở rộng tâm . . . . . . . 90
5.4. Hợp thành của nhóm phạm trù phân bậc với Γ-đồng cấu . . . . . . 93
5.5. Kết luận của Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Kết luận chung 97
Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án 98
Tài liệu tham khảo 99
Chỉ mục 103
3
MỘT SỐ KÝ HIỆU
ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN ÁN
Ký hiệu Nghĩa
AbCross phạm trù các môđun chéo aben
BrCross phạm trù các môđun chéo bện
Dis M phạm trù rời rạc

∆(F) mở rộng tích chéo của hệ nhân tử F
Ext(Π, A) tập các lớp tương đương các mở rộng nhóm của A bởi Π
(F,

F , F
∗
) hàm tử monoidal
G nhóm phạm trù phân bậc

Γ
(M, N, h) nhóm phạm trù Γ-phân bậc kiểu (M, N, h)
Hom[C, C

] tập các lớp đồng luân của các hàm tử từ C đến C

Hom(X, Y ) tập các mũi tên từ vật X đến vật Y
H
n
ab
nhóm đối đồng điều aben thứ n của nhóm
H
n
s
nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n của nhóm
H
n
Γ,ab
nhóm đối đồng điều aben thứ n của các Γ-môđun
H
n

Γ,s
nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n của các Γ-môđun
id
X
mũi tên đồng nhất của vật X
M (Γ-)môđun chéo bện (aben)
Mor(C) tập các mũi tên của phạm trù C
Ob(C) tập các vật của phạm trù C
P nhóm phạm trù bện

(M, N, h) nhóm phạm trù bện kiểu (M, N, h)
P nhóm phạm trù phân bậc bện
π
0
(C) tập các lớp vật đẳng cấu của phạm trù C
π
1
(C) = Aut(I) tập các tự mũi tên của vật đơn vị I
P(h) phạm trù thu gọn của phạm trù P
Red N phạm trù thu gọn
Z
n
ab
nhóm các n-đối chu trình aben của nhóm
Z
n
Γ,ab
nhóm các n-đối chu trình aben của các Γ-môđun
Z
n

Γ,s
nhóm các n-đối chu trình đối xứng của các Γ-môđun
Z
n
s
nhóm các n-đối chu trình đối xứng của nhóm
✷ kết thúc chứng minh
4
BẢNG THUẬT NGỮ
Tiếng Việt Tiếng Anh
cản trở obstruction
định lý phân lớp classification theorem
đối đồng điều đối xứng symmetric cohomology
Γ-môđun chéo Γ-crossed module
Γ-môđun chéo aben abelian Γ-crossed module
Γ-môđun chéo bện braided Γ-crossed module
Γ-môđun chéo đối xứng symmetric Γ-crossed module
giả hàm tử pseudofunctor
hàm tử monoidal monoidal functor
hàm tử monoidal đối xứng symmetric monoidal functor
hạt nhân đẳng biến equivariant kernel
hệ nhân tử factor set
lý thuyết cản trở obstruction theory
lý thuyết Schreier Schreier theory
môđun chéo crossed module
môđun chéo aben abelian crossed module
môđun chéo bện braided crossed module
môđun chéo đối xứng symmetric crossed module
môđun chéo đẳng biến equivariant crossed module
môđun chéo đẳng biến aben abelian equivariant crossed module

môđun chéo đẳng biến bện braided equivariant crossed module
môđun chéo đẳng biến đối xứng symmetric equivariant crossed module
mở rộng Γ-môđun Γ-module extension
mở rộng nhóm đẳng biến equivariant group extension
mở rộng tâm central extension
nhóm phạm trù categorical group
nhóm phạm trù bện braided categorical group
nhóm phạm trù phân bậc bện braided graded categorical group
nhóm phạm trù chặt chẽ strict categorical group
nhóm phạm trù đối xứng symmetric categorical group
5
nhóm phạm trù phân bậc đối xứng symmetric graded categorical group
nhóm phạm trù phân bậc graded categorical group
nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ strict graded categorical group
nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện braided strict graded cate-group
phạm trù monoidal monoidal category
phạm trù monoidal đối xứng symmetric monoidal category
phạm trù Picard Picard category
phạm trù Picard chặt chẽ strict Picard category
phạm trù Picard phân bậc graded Picard category
phạm trù Picard phân bậc chặt chẽ strict graded Picard category
phạm trù tenxơ bện braided tensor category
phép biến đổi tự nhiên natural transformation
ràng buộc constraint
ràng buộc đơn vị unit constraint
ràng buộc giao hoán commutativity constraint
ràng buộc kết hợp associativity constraint
tích chéo crossed product
tương đương monoidal monoidal equivalence
6

SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC KHÁI NIỆM
Nhóm phạm trù phân bậc bện Phạm trù Picard phân bậc
_
?
oo
Nhóm phạm trù bện Phạm trù Picard
_
?
oo
Nhóm phạm trù
Nhóm phạm trù bện chặt chẽ bện
_
?
oo oo //
Môđun chéo bện
Phạm trù Picard
?

OO
Phạm trù Picard
_
?
oo
?

OO
oo //
Môđun chéo aben
?


OO
Mở rộng aben Mở rộng aben kiểu
_
?
oo
chặt chẽ
môđun chéo aben
Nhóm phạm trù Nhóm phạm trù phân
phân bậc bện bậc chặt chẽ bện
_
?
oo oo //
Γ-môđun chéo bện
Phạm trù Picard phân bậc
?

OO
Phạm trù Picard
_
?
oo
?

OO
oo //
Γ-môđun chéo aben
?

OO
Mở rộng Γ-môđun Mở rộng Γ-môđun

_
?
oo
phân bậc chặt chẽ
kiểu Γ-môđun chéo aben
7
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phạm trù với tích tenxơ bắt đầu được nghiên cứu bởi J. Bénabou
[42] và S. MacLane [25]. Các tác giả đã xét các phạm trù trên đó có trang bị
một phép toán ⊗ cùng với ràng buộc kết hợp a và ràng buộc đơn vị l, r thỏa
mãn một số biểu đồ giao hoán. S. MacLane [25] gọi phạm trù này là phạm trù
monoidal và đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiên a, l, r.
S. MacLane cũng chỉ ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiên
trong một phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm trù monoidal có thêm
đẳng cấu giao hoán c tương thích với các ràng buộc kết hợp và đơn vị. Sau đó,
lý thuyết phạm trù monoidal đã được nhiều nhà toán học quan tâm và phát
triển theo nhiều hướng khác nhau.
Phạm trù monoidal có thể được “mịn hóa” để trở thành phạm trù với cấu
trúc nhóm bằng việc bổ sung vật khả nghịch (xem M. L. Laplaza [23] và N. S.
Rivano [45]). Nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng
cấu) thì ta được phạm trù monoidal giống nhóm (xem A. Fr¨ohlich và C. T. C.
Wall [19]), hay Gr-phạm trù (xem H. X. Sính [46]). Trong luận án này chúng tôi
gọi phạm trù như thế là nhóm phạm trù theo cách gọi phổ biến gần đây (xem
P. Carrasco và A. R. Garzón [10], A. M. Cegarra và các đồng tác giả [11], A. R.
Garzón và A. Del Río [21]). Sự phân lớp các nhóm phạm trù bởi đối đồng điều
nhóm đã được H. X. Sính trình bày trong [46]. Trong trường hợp nhóm phạm
trù có thêm đẳng cấu giao hoán thì nó trở thành phạm trù Picard (xem [46]),
hay nhóm phạm trù đối xứng (xem M. Bullejos và các đồng tác giả [6]).
Phạm trù monoidal bện xuất hiện trong công trình của A. Joyal và R. Street

[22] và là sự mở rộng của khái niệm phạm trù monoidal đối xứng. Họ cũng đã
“mịn hoá” phạm trù monoidal bện để trở thành nhóm phạm trù bện khi bổ sung
điều kiện mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên là đẳng cấu. Các tác giả đã
phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic dựa trên kết
quả của S. Eilenberg và S. MacLane [18] về biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm
đối đồng điều aben H
3
ab
(G, A). Một trường hợp riêng của nhóm phạm trù bện là
8
phạm trù Picard đã được phân lớp trước đó bởi H. X. Sính [46].
Một hướng tổng quát của nhóm phạm trù đã được giới thiệu bởi A. Fr¨ohlich
và C. T. C. Wall [19] với tên gọi là nhóm phạm trù phân bậc. Sau đó, A. M.
Cegarra và E. Khmaladze đã nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậc bện (xem
[14]) và phạm trù Picard phân bậc (xem [15]). Các khái niệm này lần lượt là
các trường hợp tổng quát của nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard. Họ đã
thu được những kết quả về phân lớp nhờ các lý thuyết đối đồng điều Γ-môđun
do chính họ xây dựng.
Theo một hướng khác, một số tác giả đã quan tâm đến lớp nhóm phạm trù
đặc biệt, trong đó các ràng buộc là các đồng nhất và các vật đều khả nghịch
chặt chẽ, nghĩa là X ⊗ Y = I = Y ⊗ X. Lớp phạm trù này được gọi là G-groupoid
(xem R. Brown và C. B. Spencer [5]), Gr-phạm trù chặt chẽ (xem H. X. Sính
[47]), nhóm phạm trù chặt chẽ (xem A. Joyal và R. Street [22]), 2-nhóm chặt
chẽ (xem J. C. Baez và A. D. Lauda [2]) hay 2-nhóm (xem B. Noohi [27]).
R. Brown và C. B. Spencer [5] đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo được xác định
bởi một G-groupoid và ngược lại. Từ đó các tác giả đã chứng minh rằng phạm
trù các môđun chéo tương đương với phạm trù các G-groupoid (tương đương
Brown-Spencer) (xem [5, Định lý 1]).
Như trên, mỗi G-groupoid còn được gọi là nhóm phạm trù chặt chẽ, tuy nhiên
phạm trù các G-groupoid chỉ là phạm trù con của phạm trù các nhóm phạm

trù chặt chẽ. N. T. Quang và cộng sự [34] đã chỉ ra mối liên hệ của phạm trù
thứ hai này với phạm trù các môđun chéo, mà tương đương Brown-Spencer chỉ
là trường hợp riêng. Kết quả trong [34] cho phép ứng dụng các kết quả về lý
thuyết cản trở đối với các hàm tử và lý thuyết đối đồng điều vào việc nghiên
cứu các môđun chéo. Hơn thế, cách làm này mở ra một hướng liên kết một số
lớp môđun chéo nào đó với một đại số phạm trù thích hợp, như chúng tôi sẽ
trình bày trong Chương 3 và Chương 4.
Ý tưởng trong [5] cũng đã được A. Joyal và R. Street [22] phát triển cho
môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Tuy nhiên, A. Joyal và R.
Street mới chỉ dừng lại ở việc xác định lẫn nhau giữa các cấu trúc nói trên,
nghĩa là chỉ giữa các vật. Vấn đề đặt ra là có hay không một tương đương
Brown-Spencer cho phạm trù các môđun chéo bện và phạm trù các nhóm phạm
trù chặt chẽ bện. Chúng tôi cho rằng đây là một vấn đề cần được giải quyết.
9
Ngoài môđun chéo bện còn có một số kiểu môđun chéo khác cũng đã nhận
được sự quan tâm của nhiều tác giả, chẳng hạn như: môđun chéo aben (xem P.
Carrasco và các đồng tác giả [8]), Γ-môđun chéo và Γ-môđun chéo bện (xem B.
Noohi [28]). Theo cách làm của N. T. Quang và các cộng sự [34], chúng tôi mong
muốn kết nối được những kiểu môđun chéo này với những đại số phạm trù thích
hợp nào đó, và hy vọng sẽ nhận được những tương đương Brown-Spencer cho
những đối tượng này.
Theo một hướng khác, môđun chéo có liên quan chặt chẽ đến bài toán mở
rộng nhóm (xem S. Eilenberg và S. MacLane [16]). Bài toán mở rộng nhóm kiểu
môđun chéo được giới thiệu trong các công trình [40] và [43] đã được nghiên cứu
bởi R. Brown và O. Mucuk [4]. Điều đó gợi ý cho chúng tôi một hướng nghiên
cứu là tìm hiểu bài toán mở rộng kiểu môđun chéo nào đó trong số các kiểu
môđun chéo đã được đề cập.
Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của
mình là: “Về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện”.
2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu về cấu trúc của các đại số phạm trù như:
phạm trù Picard phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, nhóm phạm trù
phân bậc chặt chẽ bện, nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Từ đó, chúng tôi phân
lớp đối với Γ-môđun chéo bện, môđun chéo aben, môđun chéo bện và trình
bày lý thuyết Schreier cho mở rộng Γ-môđun, mở rộng aben kiểu môđun chéo
aben, mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben và mở rộng tâm của các nhóm
đẳng biến.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nhóm phạm trù bện, nhóm phạm trù phân bậc bện, môđun chéo và bài toán
mở rộng nhóm kiểu môđun chéo.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu về tính chặt chẽ và tính đối xứng trong nhóm
phạm trù bện và nhóm phạm trù phân bậc bện để phân lớp từng kiểu môđun
chéo và giải các bài toán mở rộng kiểu môđun chéo nào đó.
10
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thực
hiện đề tài.
Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
- Dùng lý thuyết hệ nhân tử để nghiên cứu cấu trúc đại số phạm trù;
- Dùng lý thuyết cản trở của hàm tử để giải bài toán mở rộng;
- Dùng đại số phạm trù để phân lớp kiểu môđun chéo tương ứng.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án đã được đăng hoặc nhận đăng trên các tạp chí quốc
tế. Vì vậy, chúng có thể được xem là có ý nghĩa khoa học theo một mức độ nào
đó và đóng góp về tư liệu cho những ai quan tâm đến những vấn đề có liên quan.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Năm 2002, A. M. Cegarra và các đồng tác giả [11] đã chỉ ra rằng mỗi nhóm
phạm trù Γ-phân bậc G xác định một bộ ba (Π, A, h), trong đó tập Π các lớp

vật đẳng cấu bậc 1 của G là một Γ-nhóm, tập A các tự đẳng cấu bậc 1 của vật
đơn vị của G là một Π-môđun Γ-đẳng biến và [h] là một phần tử thuộc nhóm
đối đồng điều đẳng biến H
3
Γ
(Π, A). Từ kết quả này, các tác giả trong [11] đã xây
dựng được một nhóm phạm trù Γ-phân bậc

Γ
(Π, A, h) tương đương với G. Nhờ
vậy, họ đã chứng minh định lý phân lớp chính xác cho nhóm phạm trù phân bậc
bởi nhóm H
3
Γ
(Π, A) nhờ các phạm trù khung và áp dụng lý thuyết nhóm phạm
trù phân bậc để đưa ra lời giải thích hợp cho bài toán mở rộng nhóm đẳng biến
với hạt nhân không aben. Bài toán này là một sự tổng quát hoá của bài toán
mở rộng nhóm.
Năm 2010, N. T. Quang [31] đã giải bài toán phân lớp các nhóm phạm trù
phân bậc nhờ vào khái niệm hệ nhân tử của A. Grothendieck [44]. Tác giả đã
chứng minh rằng mỗi nhóm phạm trù Γ-phân bậc G tương đương với một mở
rộng Γ-phân bậc của một nhóm phạm trù kiểu (Π, A) và chỉ ra rằng mỗi hệ
nhân tử lấy hệ tử trong một nhóm phạm trù kiểu (Π, A) cảm sinh một 3-đối chu
trình của nhóm đối đồng điều đẳng biến H
3
Γ
(Π, A). Với những kết quả này, N.
T. Quang đã thu lại được định lý phân lớp các nhóm phạm trù Γ-phân bậc của
A. M. Cegarra và các đồng tác giả [11].
11

Năm 2007, A. M. Cegarra và E. Khmaladze đã xét các nhóm phạm trù phân
bậc cho trường hợp có tính bện, tính đối xứng và lần lượt đưa ra các khái niệm
nhóm phạm trù phân bậc bện (xem [14]) và phạm trù Picard phân bậc (xem
[15]). Các khái niệm này lần lượt là các trường hợp tổng quát của nhóm phạm
trù bện (xem A. Joyal và R. Street [22]) và phạm trù Picard (xem H. X. Sính
[46]). A. M. Cegarra và E. Khmaladze đã xây dựng các nhóm đối đồng điều aben
của các Γ-môđun H
n
Γ,ab
(M, N) (xem [14]) để phân lớp các nhóm phạm trù bện
và xây dựng đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun H
n
Γ,s
(M, N) (xem [15]) để
phân lớp các phạm trù Picard phân bậc. Đồng thời họ cũng sử dụng hai đối đồng
điều của các Γ-môđun để phân lớp các mở rộng Γ-môđun theo hai hướng khác
nhau mà không sử dụng đến những kết quả phân lớp về nhóm phạm trù phân
bậc bện hay phạm trù Picard phân bậc như cách tiếp cận của A. M. Cegarra và
các đồng tác giả trong [11] cho các mở rộng nhóm đẳng biến.
Nội dung đầu tiên của luận án là nghiên cứu phạm trù Picard Γ-phân bậc
bằng phương pháp hệ nhân tử. Chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trù Picard
phân bậc P tương đương với một mở rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy
hệ tử trong phạm trù Picard thu gọn kiểu (π
0
P, π
1
P) (Định lý 2.1.5), đồng thời
chỉ ra mỗi hệ nhân tử nói trên cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên các nhóm
aben π
0

P, π
1
P và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ Z
3
Γ,s
(π
0
P, π
1
P)
(Định lý 2.2.1). Như một ứng dụng của lý thuyết phạm trù Picard phân bậc,
chúng tôi trình bày sự phân lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử
monoidal phân bậc đối xứng (Định lý 2.3.2). Những kết quả này cho phép thu
lại được định lý phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và phân lớp đối đồng
điều các mở rộng Γ-môđun trong [15].
Khái niệm môđun chéo bện trên một groupoid được giới thiệu đầu tiên bởi
R. Brown và N. D. Gilbert [3]. Sau đó, khái niệm môđun chéo bện trên các nhóm
xuất hiện trong công trình của A. Joyal và R. Street [22], một môđun chéo bện là
một môđun chéo M = (B, D, d, ϑ), trong đó nhóm B được bổ sung tính chất bện.
Khái niệm này mịn hơn khái niệm môđun chéo. A. Joyal và R. Street đã chỉ ra
rằng mỗi môđun chéo bện được xác định bởi một nhóm phạm trù chặt chẽ bện
và ngược lại. Tuy nhiên, họ vẫn chưa thiết lập một tương đương Brown-Spencer
cho hai đối tượng này. Cũng từ khái niệm môđun chéo, P. Carrasco và các đồng
tác giả [8] đã xét trường hợp các nhóm có tính chất giao hoán và đưa ra khái
12
niệm môđun chéo aben. Ngoài ra, môđun chéo aben có thể được đặc trưng bởi
khái niệm tâm của một môđun chéo như trong công trình của K. Norrie [29].
Chú ý rằng môđun chéo aben cũng là một trường hợp riêng của môđun chéo
bện. Các tác giả trong [8] đã chỉ ra rằng phạm trù các môđun chéo aben CM
ab

tương đương với phạm trù các môđun phải trên vành các ma trận

Z 0
Z Z

=

a 0
b c

; a, b, c ∈ Z

.
Nội dung thứ hai của luận án là nghiên cứu nhóm phạm trù chặt chẽ bện để
phân lớp các môđun chéo bện, môđun chéo aben và giải bài toán mở rộng aben
kiểu môđun chéo aben.
Đối với môđun chéo bện, chúng tôi xác định mũi tên trong phạm trù các
môđun chéo bện. Mũi tên này bao gồm một đồng cấu (f
1
, f
0
) : M → M

của
các môđun chéo bện và một phần tử thuộc nhóm các 2-đối chu trình aben
Z
2
ab
(π
0

M, π
1
M

). Từ đó, chúng tôi chứng minh rằng phạm trù các môđun chéo
bện tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện. Mũi tên
trong phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện là các hàm tử monoidal đối
xứng (F,

F ) : P → P

bảo toàn phép toán tenxơ và

F
x,y
=

F
y,x
với x, y ∈ Ob(P)
(Định lý 3.1.11).
Đối với môđun chéo aben, chúng tôi xác định mũi tên trong phạm trù các
môđun chéo aben và chứng minh phạm trù này tương đương với phạm trù các
phạm trù Picard chặt chẽ, trong đó mũi tên trong phạm trù thứ nhất bao gồm
một đồng cấu (f
1
, f
0
) : M → M


của các môđun chéo aben và một phần tử thuộc
nhóm các 2-đối chu trình đối xứng Z
2
s
(π
0
M, π
1
M

), còn mũi tên trong phạm trù
thứ hai là một hàm tử monoidal đối xứng bảo toàn phép toán tenxơ trên các
vật (Định lý 3.2.7). Đồng thời, chúng tôi giới thiệu bài toán mở rộng aben kiểu
môđun chéo aben và sử dụng lý thuyết cản trở cho các hàm tử monoidal đối xứng
để giải quyết bài toán này như sau. Mỗi môđun chéo aben M xác định một phạm
trù Picard chặt chẽ P. Bất biến thứ ba của P là một phần tử k ∈ H
3
s
(π
0
M, π
1
M)
và mỗi đồng cấu ψ : Q → π
0
M cảm sinh ψ
∗
k ∈ H
3
s

(Q, π
1
M). Khi đó, sự triệt tiêu
của ψ
∗
k trong H
3
s
(Q, π
1
M) là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng aben kiểu
môđun chéo aben M (Định lý 3.3.5). Mỗi mở rộng như vậy cảm sinh một hàm
tử monoidal đối xứng F : Dis Q → P. Tương ứng này xác định một song ánh
Ω : Hom
P ic
(ψ,0)
[DisQ, P] → Ext
ab
M
(Q, B, ψ),
13
trong đó Hom
P ic
(ψ,0)
[DisQ, P
B→D
] là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidal
đối xứng F : Dis Q → P kiểu (ψ, 0) và Ext
ab
M

(Q, B, ψ) là tập các lớp tương đương
của các mở rộng aben kiểu môđun chéo aben M cảm sinh ψ (Định lý 3.3.4).
Năm 2011, B. Noohi [28] đã bổ sung một Γ-tác động từ nhóm Γ lên các nhóm
và đồng cấu nhóm trong khái niệm môđun chéo, môđun chéo bện và đưa ra khái
niệm Γ-môđun chéo, Γ-môđun chéo bện. Với các khái niệm này, B. Noohi đã
tính các nhóm đối đồng điều H
i
(Γ, M) với i = −1, 0, 1 của nhóm Γ với các hệ
tử trong M, trong đó M lần lượt là Γ-môđun chéo và Γ-môđun chéo bện. Tuy
nhiên, trong bài báo đó, tác giả chưa đề cập đến sự phân lớp các Γ-môđun chéo
và Γ-môđun chéo bện. Năm 2013, N. T. Quang và P. T. Cúc [33] đã xây dựng
nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để phân lớp các Γ-môđun chéo và giải bài
toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo. Mở rộng này là dạng tổng
quát của mở rộng nhóm đẳng biến và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo.
Nội dung thứ ba của luận án là xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ
bện để phân lớp các Γ-môđun chéo bện và giải bài toán mở rộng Γ-môđun kiểu
Γ-môđun chéo aben. Trước hết, chúng tôi giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù
phân bậc chặt chẽ bện để biểu diễn Γ-môđun chéo bện (Định nghĩa 4.1.5). Từ
đó, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa các đồng cấu Γ-môđun chéo bện và
hàm tử monoidal phân bậc đối xứng giữa các nhóm phạm trù phân bậc chặt
chẽ bện liên kết. Điều này làm cơ sở cho phép chứng minh định lý phân lớp các
Γ-môđun chéo bện (Định lý 4.1.10). Ngoài ra, chúng tôi còn giới thiệu bài toán
mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben và sử dụng lý thuyết cản trở cho các
hàm tử monoidal đối xứng phân bậc để giải quyết bài toán như đối với mở rộng
aben kiểu môđun chéo aben (Định lý 4.2.3, Định lý 4.2.4).
Phần cuối của luận án được dành để nghiên cứu về nhóm phạm trù phân bậc
chặt chẽ gắn với bài toán mở rộng nhóm đẳng biến. Thứ nhất, chúng tôi chỉ ra
rằng nếu h là bất biến thứ ba của nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ Hol
Γ
G

(được xây dựng từ Γ-nhóm G) và p : Π → Out G là một hạt nhân đẳng biến
của bài toán mở rộng nhóm đẳng biến thì p
∗
(h) là một cản trở của p, trong đó
p
∗
: Z
3
Γ
(Out G, ZG) → Z
3
Γ
(Π, ZG) (Định lý 5.2.1). Thứ hai, chúng tôi phân lớp các
mở rộng nhóm đẳng biến A → E → Π với A ⊂ ZE bởi các tự hàm tử monoidal
Γ-phân bậc của nhóm phạm trù Γ-phân bậc

Γ
(Π, A, 0) (Định lý 5.3.1). Thứ ba,
chúng tôi xây dựng một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ là hợp thành của
14
một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với một Γ-đồng cấu (Định lý 5.4.1). Kết
quả này mở rộng cấu trúc pull-back của S. MacLane [26] trong phép dựng mở
rộng nhóm Eγ của mở rộng E và đồng cấu nhóm γ.
7.2. Cấu trúc của luận án
Nội dung của luận án được trình bày trong năm chương.
Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về phạm trù
monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc, đối
đồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard
phân bậc. Đồng thời, chúng tôi còn trình bày sự phân lớp các hàm tử monoidal
(phân bậc) đối xứng kiểu (ϕ, f).

Chương 2 nghiên cứu các phạm trù Picard phân bậc bằng phương pháp hệ
nhân tử. Mục 2.1 chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P tương đương
với mở rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard thu
gọn của Ker P (Định lý 2.1.5). Mục 2.2 chứng minh rằng mỗi hệ nhân tử đối
xứng khá chặt chẽ lấy hệ tử trong phạm trù Picard kiểu (M, N) cảm sinh các
cấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩn tắc thuộc Z
3
Γ,s
(M, N)
(Định lý 2.2.1). Kết quả này cho phép thu lại được định lý phân lớp đối đồng
điều các phạm trù Picard phân bậc (Định lý 2.2.9). Mục 2.3 trình bày sự phân
lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử monoidal đối xứng phân bậc
(Định lý 2.3.2).
Chương 3 nghiên cứu nhóm phạm trù chặt chẽ bện để phân lớp các môđun
chéo bện, môđun chéo aben và mở rộng aben kiểu môđun chéo aben. Mục
3.1 xác định mũi tên trong phạm trù các môđun chéo bện và chứng minh
phạm trù này tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện
(Định lý 3.1.11). Mục 3.2 chỉ ra rằng mỗi môđun chéo aben được xây dựng từ
một phạm trù Picard chặt chẽ và ngược lại. Từ đó, chúng tôi xác định mũi
tên trong phạm trù các môđun chéo aben và chứng minh phạm trù này tương
đương với phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ (Định lý 3.2.7). Mục 3.3
phát biểu và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben (Định lý 3.3.3,
Định lý 3.3.4).
Chương 4 xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện để phân lớp các
Γ-môđun chéo bện và các mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben. Mục 4.1
giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ bện (Định nghĩa 4.1.5).
15
Từ đó, chúng tôi xác định mũi tên trong phạm trù các Γ-môđun chéo bện và
chứng minh phạm trù này tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù phân
bậc chặt chẽ bện (Định lý 4.1.10). Mục 4.2 phát biểu và giải bài toán mở rộng

Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben (Định lý 4.2.3, Định lý 4.2.4).
Chương 5 nghiên cứu về nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ gắn với bài
toán mở rộng nhóm đẳng biến. Mục 5.1 trình bày khái niệm nhóm phạm
trù phân bậc chặt chẽ và một số ví dụ minh họa. Mục 5.2 xác định cái cản
trở của một hạt nhân đẳng biến trong bài toán mở rộng nhóm đẳng biến
(Định lý 5.2.1). Mục 5.3 phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến mà là mở
rộng tâm (Định lý 5.3.1). Mục 5.4 xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ
từ một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và một đồng cấu nhóm đẳng biến
(Định lý 5.4.1).
16
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về phạm
trù monoidal (xem S. MacLane [26]), nhóm phạm trù bện (xem A. Joyal và R.
Street [22]), phạm trù Picard (xem H. X. Sính [46]), nhóm phạm trù phân bậc
(xem A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall [19]), đối đồng điều của các Γ-môđun, nhóm
phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc (xem A. M. Cegarra và E.
Khmaladze [14], [15]). Những nội dung này làm cơ sở cho các chương tiếp theo.
1.1. Phạm trù monoidal
Phạm trù monoidal (hay phạm trù tenxơ) được nghiên cứu bởi S. MacLane
[25] và J. Bénabou [42] vào năm 1963. Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một
số khái niệm về phạm trù monoidal theo S. MacLane [25].
1.1.1 Định nghĩa. Phạm trù monoidal C = (C, ⊗, a, I, l, r) là một ⊗-phạm trù
C cùng với một vật đơn vị I và các đẳng cấu tự nhiên a = (a
X,Y,Z
), l = (l
X
) và
r = (r
X

), trong đó:
a
X,Y,Z
: (X ⊗ Y ) ⊗ Z
∼
−→ X ⊗ (Y ⊗ Z),
l
X
: I ⊗ X
∼
−→ X,
r
X
: X ⊗ I
∼
−→ X,
thỏa mãn điều kiện l
I
= r
I
và làm cho các biểu đồ sau giao hoán:
(X ⊗ I) ⊗ Y X ⊗ (I ⊗ Y )
X ⊗ Y
✲
a
X,I,Y
❍
❍
❍
❍❥

r
X
⊗id
Y
✟
✟
✟
✟✙
id
X
⊗l
Y
(1.1.1)
17
((X ⊗ Y ) ⊗ Z) ⊗ T (X ⊗ (Y ⊗ Z)) ⊗ T
(X ⊗ Y ) ⊗ (Z ⊗ T) X ⊗ ((Y ⊗ Z) ⊗ T)
X ⊗ (Y ⊗ (Z ⊗ T))
✲
a
X,Y,Z
⊗id
T
❄
a
X⊗Y,Z,T
❄
a
X,Y ⊗Z,T
❍
❍

❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍❥
a
X,Y,Z⊗T
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟✙
id
X
⊗a
Y,Z,T
(1.1.2)
với mọi X, Y, Z, T thuộc C.
Các đẳng cấu tự nhiên a, l và r tương ứng được gọi là ràng buộc kết hợp,
ràng buộc đơn vị trái và ràng buộc đơn vị phải.
Một hàm tử monoidal từ phạm trù monoidal C đến phạm trù monoidal C

, là
bộ ba (F,


F , F
∗
) bao gồm:
(i) Một hàm tử F : C −→ C

,
(ii) Một đẳng cấu hàm tử

F = (

F
X,Y
) với

F
X,Y
: F (X ⊗ Y )
∼
−→ FX ⊗

F Y,
(iii) Một mũi tên đẳng cấu F
∗
: F I
∼
−→ I

, sao cho với mọi vật X, Y, Z ∈ C,
các biểu đồ sau giao hoán:

F ((X ⊗ Y ) ⊗ Z)
F (X ⊗ (Y ⊗ Z))
F (X ⊗ Y ) ⊗

F Z
F X ⊗

F (Y ⊗ Z) (F X ⊗

F Y ) ⊗

F Z
F X ⊗

(F Y ⊗

F Z)
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟✙
F (a
X,Y,Z
)
❍

❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍❥

F
X⊗Y,Z
❄

F
X,Y ⊗Z
❄

F
X,Y
⊗

id
F Z
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍

❍❥
id
F X
⊗


F
Y,Z
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟✙
a
F X,F Y,F Z
(1.1.3)
18
F (X ⊗ I)

F
X,I
−−−→ F X ⊗

F I
F (r
X
)







id
F X
⊗

F
∗
F X
r

F X
←−−− F X ⊗

I

F (I ⊗ X)

F
I,X
−−−→ F I ⊗

F X
F (l
X
)







F
∗
⊗

id
F X
F X
l

F X
←−−− I

⊗

F X
(1.1.4)
Hàm tử monoidal (F,

F , F
∗
) được gọi là một hàm tử monoidal chặt chẽ nếu

F và F
∗

là các đồng nhất. Hàm tử monoidal (F,

F , F
∗
) từ phạm trù monoidal C
đến phạm trù monoidal C

được gọi là tương đương monoidal nếu F : C −→ C

là một hàm tử tương đương. Khi đó ta cũng nói phạm trù monoidal C và phạm
trù monoidal C

tương đương monoidal với nhau.
Giả sử (F,

F , F
∗
) và (G,

G, G
∗
) là hai hàm tử monoidal từ phạm trù monoidal
C đến phạm trù monoidal C

. Mũi tên hàm tử θ : F −→ G được gọi là một mũi
tên hàm tử monoidal nếu các biểu đồ sau giao hoán:
F (X ⊗ Y )

F
X,Y

−−−→ F X ⊗

F Y
θ
X⊗Y






θ
X
⊗

θ
Y
G(X ⊗ Y )

G
X,Y
−−−→ GX ⊗

GY
F I
I

GI
❄
θ

I
❅
❅❘
F
∗

✒
G
∗
(1.1.5)
Giả sử (F,

F , F
∗
) và (G,

G, G
∗
) là hai hàm tử monoidal từ phạm trù monoidal C
đến phạm trù monoidal C

. Một đồng luân (hay tương đương tự nhiên monoidal)
θ : F
∼
−→ G của hai hàm tử monoidal là một tương đương tự nhiên sao cho các
biểu đồ trong (1.1.5) giao hoán.
Phạm trù monoidal đã được “mịn hóa” để trở thành phạm trù với cấu trúc
nhóm khi bổ sung khái niệm vật khả nghịch bởi N. S. Rivano [45] vào năm 1972.
Nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳng cấu) thì ta
được phạm trù monoidal giống nhóm theo A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall [19], hay

Gr-phạm trù theo H. X. Sính [46], hay nhóm phạm trù theo P. Carrasco và A.
R. Garzón [10], A. M. Cegarra và các đồng tác giả [11].
1.1.2 Định nghĩa. ([46]) Một nhóm phạm trù là một phạm trù monoidal mà
tất cả các mũi tên đều đẳng cấu và mọi vật đều khả nghịch theo nghĩa với mọi
vật X đều tồn tại vật X

cùng với mũi tên đẳng cấu X ⊗ X

∼
−→ I.
19
1.2. Nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard
Phạm trù monoidal bện và nhóm phạm trù bện đã xuất hiện trong công trình
của A. Joyal và R. Street [22]. Một trường hợp riêng của nhóm phạm trù bện là
phạm trù Picard đã được nghiên cứu bởi H. X. Sính [46].
Một phạm trù monoidal bện (hay phạm trù tenxơ bện) là một phạm trù
monoidal C cùng với đẳng cấu tự nhiên c = (c
X,Y
) : X ⊗ Y → Y ⊗ X thỏa mãn
các biểu đồ giao hoán:
(X ⊗ Y ) ⊗ Z X ⊗ (Y ⊗ Z) (Y ⊗ Z) ⊗ X
(Y ⊗ X) ⊗ Z Y ⊗ (X ⊗ Z) Y ⊗ (Z ⊗ X)
✲
a
❄
c⊗id
✲
c
❄
a

✲
a
✲
id⊗c
(1.2.1)
X ⊗ (Y ⊗ Z) (X ⊗ Y ) ⊗ Z Z ⊗ (X ⊗ Y )
X ⊗ (Z ⊗ Y ) (X ⊗ Z) ⊗ Y (Z ⊗ X) ⊗ Y
✲
a
−1
❄
id⊗c
✲
c
❄
a
−1
✲
a
−1
✲
c⊗id
(1.2.2)
Đẳng cấu tự nhiên c được gọi là một bện. Nếu bện c trong phạm trù monoidal
bện C thỏa mãn c
Y,X
◦ c
X,Y
= id
X,Y

thì c được gọi là ràng buộc giao hoán (hay
ràng buộc đối xứng) và C được gọi phạm trù monoidal đối xứng (xem S. MacLane
[25]). Trong trường hợp này, hai biểu đồ (1.2.1) và (1.2.2) trùng nhau.
1.2.1 Định nghĩa. ([22]) Một nhóm phạm trù bện là một phạm trù monoidal
bện mà tất cả các vật đều khả nghịch và mọi mũi tên đều đẳng cấu.
Nếu bện c của nhóm phạm trù bện P là một ràng buộc giao hoán thì P được
gọi là một phạm trù Picard (xem H. X. Sính [46]) hay nhóm phạm trù đối xứng
(xem M. Bullejos và các đồng tác giả [6]).
Giả sử (C, ⊗) và (C

, ⊗

) là hai phạm trù monoidal bện. Hàm tử monoidal đối
xứng (F,

F , F
∗
) : (C, ⊗) → (C

, ⊗

) là một hàm tử monoidal thỏa mãn biểu đồ giao
hoán
F (X ⊗ Y )
F X ⊗

F Y
F (Y ⊗ X)
F Y ⊗


F X
✲

F
X,Y
❄
F (c
X,Y
)
❄
c

F X,F Y
✲

F
Y,X
(1.2.3)
20
A. Joyal và R. Street [22] đã phân lớp các nhóm phạm trù bện và hàm tử
monoidal đối xứng bởi các hàm quadratic. Năm 2011, N. T. Quang và các cộng
sự [35] đã chỉ ra rằng mỗi hàm tử monoidal giữa hai nhóm phạm trù thu gọn
là một hàm tử kiểu (ϕ, f). Hơn nữa, các tác giả trong [35] đã sử dụng hàm tử
monoidal kiểu (ϕ, f) như một kỹ thuật để chứng minh định lý phân lớp chính
xác cho các nhóm phạm trù và nhóm phạm trù bện. Kết quả phân lớp nhóm
phạm trù này là một dạng đầy đủ hơn kết quả phân lớp của H. X. Sính [46].
Nội dung tiếp theo trình bày về phép dựng nhóm phạm trù bện thu gọn của
một nhóm phạm trù bện theo tài liệu [35].
Cho P = (P, ⊗, I, a, l, r, c) là một nhóm phạm trù bện. Ký hiệu M = π
0

(P) là
nhóm aben các lớp vật đẳng cấu của P với phép toán được cảm sinh bởi tích
tenxơ, N = π
1
(P) là nhóm aben các tự đẳng cấu của vật đơn vị I của P với phép
toán của nhóm là phép hợp thành. Khi đó, nhóm phạm trù bện thu gọn của P,
ký hiệu là P(h), được xây dựng như sau.
Vật của P(h) là các phần tử x ∈ M và các mũi tên là những tự đẳng cấu
(a, x) : x → x, a ∈ N. Phép hợp thành của các mũi tên được xác định bởi
(a, x) ◦ (b, x) = (a + b, x).
Phép toán ⊗ được cho bởi
x ⊗ y = x + y,
(a, x) ⊗ (b, y) = (a + b, x + y).
Các ràng buộc đơn vị trong B là chặt chẽ. Ràng buộc kết hợp và bện lần lượt
liên kết với các hàm ξ : M
3
→ N và η : M
2
→ N. Do tính khớp của ràng buộc
kết hợp (xem (1.1.2)) và tính tương thích của ràng buộc kết hợp với ràng buộc
bện (xem (1.2.1) và (1.2.2)) nên cặp (ξ, η) lần lượt thỏa mãn các hệ thức
ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, (1.2.4)
ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z) − η(x, y) − η(x, z) = 0, (1.2.5)
ξ(x, y, z) − ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) − η(x + y, z) + η(y, z) + η(x, z) = 0 (1.2.6)
và do tính tương thích của ràng buộc kết hợp và ràng buộc đơn vị (xem (1.1.1))
nên ξ thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc
ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0.
21
Vậy h = (ξ, η) thỏa mãn các hệ thức (1.2.4)-(1.2.6) là một 3-đối chu trình aben
thuộc Z

3
ab
(M, N) (xem S. MacLane [24]). Nhóm phạm trù bện thu gọn P(h) còn
được gọi là một nhóm phạm trù bện kiểu (M, N, h) và tương đương với P bởi các
hàm tử monoidal đối xứng chính tắc G và H. Các hàm tử này được xây dựng
như sau.
Trong P, ta chọn hệ đại diện (X
s
) với s ∈ π
0
(P) sao cho X
0
= I và chọn họ
các đẳng cấu i
X
: X → X
s
sao cho i
X
s
= id
X
s
, i
I⊗X
s
= l
X
s
, i

X
s
⊗I
= r
X
s
. Khi đó







G : P → P(h)
G(X) = [X] = s
G(u) = (γ
−1
X
s
(i
Y
ui
−1
X
), s)

G
X,Y
= G(i

X
⊗ i
Y
)







H : P(h) → P
H(s) = X
s
H(a, s) = γ
X
s
(a)

H
s,t
= i
−1
X
s
⊗X
t
với X, Y ∈ s, u : X → Y và γ
X
: Aut(I) → Aut(X) được xác định bởi γ

X
(a) =
l
X
(a ⊗ id
X
)l
−1
X
.
Trong trường hợp P là một phạm trù Picard, hệ thức (1.2.6) được thay bởi
η(x, y) + η(y, x) = 0. (1.2.7)
Khi đó P(h) là một phạm trù Picard thu gọn và h là một phần tử thuộc nhóm
Hom
Z
(M, N/2N), trong đó N/2N là nhóm con của N bao gồm các phần tử cấp
hai của N (xem H. X. Sính [46]). Sau này, A. M. Cegarra và E. Khmaladze [15]
đã chỉ ra nhóm Hom
Z
(M, N/2N) chính là nhóm đối đồng điều đối xứng của các
nhóm aben H
3
s
(M, N) (xem [17]).
Phần tiếp theo chúng tôi sẽ mô tả và phân lớp các hàm tử monoidal đối xứng
kiểu (ϕ, f) giữa hai nhóm phạm trù Picard thu gọn như N. T. Quang và các
cộng sự đã làm đối với hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f) trong [35].
Với các dữ liệu M, N, h (thay thế cho π
0
(P), π

1
(P), h), nhóm phạm trù bện
thu gọn P(h) còn được ký hiệu bởi

(M, N, h) (để chỉ rằng nó không phụ thuộc
vào P).
Hàm tử F :

(M, N, h) →

(M

, N

, h

) được gọi là một hàm tử kiểu (ϕ, f) nếu
có cặp đồng cấu nhóm ϕ : M → M

, f : N → N

thỏa mãn
F (x) = ϕ(x), F (a, x) = (f(a), ϕ(x))
với x ∈ M, a ∈ N. Khi đó hàm
k = ϕ
∗
h

− f
∗

h, (1.2.8)