Đề thi GVG môn Toán -THPT Yên Thanh2

TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2

KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010-2011

MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1.
a)Anh (chị) hãy nêu phương pháp chung để giải một bài toán? Lấy ví dụ minh hoạ.
b)Anh (Chị) hãy cho biết: Lời giải của một bài toán cần có những yêu cầu nào?
Câu 2.
Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a; AC = BD = b; AB = CD = c. Đặt
, ,
  
theo
thứ tự là góc giữa: BC và AD, AC và BD, AB và CD. Chứng minh rằng trong các số
2 2 2
os , os , os
a c b c c c
  
có một số hạng bằng tổng của hai số hạng còn lại.
(Bài 24 - SBT hình học 11 nâng cao, chương III)
Anh (Chị) hãy giải bài toán trên và nêu cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải.
Câu 3.
Cho dãy (u
n
) với
2 2 2 2
n
u      ( n căn). Chứng minh rằng (u

n
) là dãy số
tăng và bị chặn.
a)Anh (Chị) hãy nêu 2 cách định hướng để học sinh tìm lời giải bài toán trên và
trình bày một cách giải.
b)Khái quát hoá bài toán trên và trình bày lời giải.
Câu 4.
Tìm m để pt sau có nghiệm:
2 2
2 2
x x x x m
     


-Hết-





TRNG THPT YEN
THNH 2

Kè THI CHN GIO VIấN DY GII TRNG
NM HC 2010-2011
HNG DN CHM THI CHNH THC
Mụn: Toỏn
(Hng dn chm ny gm cú 03 trang)

Câu

Ni dung im

1a
(4đ)
-Phơng pháp chung để giải bài toán: Có 4 bớc
1.Tìm hiểu nội dung đề bài
2.Tìm lời giải
3.Trình bày lời giải
4.Nghiên cứu sâu lời giải

-Nói đợc cụ thể từng bớc

-Ví dụ minh hoạ đúng



1đ


1đ

1đ
1b
(2đ)
Các yêu cầu về lời giải của một bài toán
-Kết quả đúng, kể cả các bớc trung gian
-Lập luận chặt chẽ
-Lời giải đầy đủ
-Ngôn ngữ chính xác
-Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

2
2
(4đ)













Ta có
2
. . .cos( , ) .cos( , )
AB CD AB CD AB CD c AB CD


(1)
2

. . .cos( , ) .cos( , )
AC BD AC BD AC BD b AC BD


(2)
2
. . .cos( , ) .cos( , )
AD BC AD BC AD BC a AD BC


(3)

0,5


Mặt khác
2 2 2 2 2 2 2 2
1
. ( ) . . [( ) ( )]
2
AB CD AC CB CD CBCD CD CA a c b b c a a b


(4)

2 2 2 2 2 2 2 2
1
. ( ) . . [( ) ( )]
2
AC BD AB BC BD BD BC BD BA a b c b c a a c


(5)

2 2 2 2 2 2 2 2
1
. ( ) . . [( ) ( )]
2
AD BC AB BD BC BC BD BC BA a b c a c b b c

(6)
Từ (1), (4 suy ra
2 2 2
.cos( , )
c AB CD a b


(7)
Từ (2), (5) suy ra
2 2 2
.cos( , )
b AC BD a c


(8)
Từ (3), (6) suy ra
2 2 2
.cos( , )
a AD BC b c


(9)
Vì
, ,

theo th t l gúc gia: BC v AD, AC v BD, AB v CD nên từ (7),
(8), (9) ta có
2 2 2
.cos
c a b

;
2 2 2
.cos
b a c


;
2 2 2
.cos
a b c



suy ra
2 2 2
.cos cos cos
b a c

(ĐPCM)
+Nêu cách hớng dẫn phù hợp







0,5

0,5



0,5


2
3a
(4đ)
Định hớng 1:




Định hớng 2:



-Trình bày một cách giải

1,5



1,5


1
3b
(3đ)
-Khái quát đợc bài toán
Cho dóy (u
n
) vi
n
u a a a a
( n cn), a>0. Chng minh rng (u
n
)
l mt dóy s tng v l dóy b chn.
-Trình bày lời giải

+Chứng minh dãy số tăng
Ta chứng minh u
n+1
> u
n
(1) với mọi n
Với n = 1 thì u
2

> u
1

Giả sử (1) đúng với n = k hay u
k+1
> u
k
, ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1,
do u
k+1
> u
k
<=> a+u
k+1
> a + u
k
<=>
1
k k
a u a u


<=> u
k+2
> u
k+1

Vậy (u
n
) là dãy số tăng.

1








1


+Chøng minh d·y bÞ chỈn
Do (u
n
) lµ d·y sè t¨ng nªn bÞ chỈn díi, ta sÏ chøng minh (u
n
) bÞ chỈn trªn b»ng
c¸ch chøng minh
*
1 2
n
u a n N
    (2)
Ta thÊy,
1
1 2

u a a
  
Gi¶ sư (2) ®óng víi n = k, hay 1 2
k
u a
  víi k > 1, ta sÏ chøng minh (2) ®óng
víi n = k + 1,
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã
2
1
1 2 1 2 (1 )
1 1 2 1 2
k k
k k
u a a u a a a
a u a a u a

        
        

VËy d·y (u
n
) lµ d·y bÞ chỈn

1
4
(3®)
Xét hàm số
2 2
( ) 2 2
f x x x x x
     
có tập xác định là D=R
có:
 
 
 
    
   
      
   
        
   
   
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1 2 1
'( ) ' 0

2 2 2 2
(2 1) 2 2 1 2 (1)
1 1 7 1 1 7
[( - ) ] [( ) ] 0 thay vào (1)ta thấy không
2 2 4 2 2 4
1
thỏa mãn. Vậy f'(x)=0 vô nghiệm, mà f'(0)= >0, d
2
x x
f x f x
x x x x
x x x x x x
x x x x x
 
  
 
  
    
  
2 2
x +
x +
o đó f'(x)>0 x
2
Mặt khác: Lim ( ) = Lim 1; Lim ( ) 1
2 2
Vậy pt đã cho có nghiệm -1 1
x
R
x

f x f x
x x x x
m












1,5




1,5