Toán ứng dụng - Chương 1: Quan hệ và suy luận toán học

GV. Trần Văn Linh Email:
QUAN HỆ &
SUY LUẬN TOÁN HỌC
Chƣơng 1
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
(Tài liệu cập nhật – 2011)
TRƢỜNG TRUNG CẤP NGHỀ NINH THUẬN
1.1 Tập hợp và Quan hệ
1.2 Suy luận toán học
1.3 Quan hệ hai ngôi
1- Khái niệm về tập hợp
2- Quan hệ giữa các tập hợp
3- Các phép toán về tập hợp
4- Quy nạp toán học
5- Định nghĩa bằng đệ quy
6- Các thuật toán đệ quy
7- Tính đúng đắn của chƣơng trình
8- Quan hệ tƣơng đƣơng
9- Quan hệ thứ tự
Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ
1- Khái niệm về Tập hợp
+ TẬP HỢP; một số các
phần tử cùng tính chất
Tập hợp các SV lớp A, trường B
Tập hợp các số nguyên
Tập hợp các điểm trên một đường tròn
+ Tập hợp A , B, C
các phần tử x, y, z
phần tử x thuộc tập hợp A,

x không thuộc tập hợp B
Ax
Bx
A
B
X
Y
Z
C
C là tập hợp rỗng

TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
+ CÁCH DIỄN TẢ
MỘT TẬP HỢP;
L
N
R
+ Liệt kê
Azyx ,,
 
z,y,xA 
+ Đặc trƣng
A = xx có tính chất p
+ THCS tự nhiên N
+ THCS nguyên Z
+ THCS hữu tỷ Q
+ THCS vô tỷ
+ Tập hợp
các số thực

R
+ THCS nguyên tố NT
+ THCS chẵn C
+ THCS lẻ L
+ THCS phức P
+ THCS ảo A
1- Khái niệm về Tập hợp
B = {x x=n
2
+1; nN và 1<n≤5}
A = {5, 10, 17, 26}
Ví dụ 1.1:
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
2- Quan hệ giữa các tập hợp;
+ Tập hợp CON
Az,y,x 
Bt,z,y,x 
BA
B
A
X
Y
Z
B
C
CB 
CA
Tính bắc cầu:
t
n

CBA ,,
Quy ước:
+ Sự bằng nhau của
2 tập hợp
 
z,y,xA 
 
z,y,xA 
 
z,x,yE 
AE 
EA
 AE
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
E
X
Y
Z
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
3- Các phép toán về tập hợp
a. Phép hợp
b. Phép giao
c. Hiệu của 2 tập hợp
d. Tập bù
e. Tích của 2 tập hợp
f. Phân hoạch
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
3- Các phép toán về tập hợp
a. Phép HỢP

1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
B
A
1
3
2
4
b 3
2
a
B
A
1
3
2
4
b
3
2
a
BA
 
4,3,2,1A 
 
b,a,3,2B 
 
b,a,4,3,2,1BA 
Tính chất (hợp)
T.lũy đẳng
T.kết hợp

T. rỗng
AAA 
CBACBA  )()(
AAA 
T.giao hoán
ABBA 
     
x A x A hay x    BB
Ví dụ 1.2:
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
3- Các phép toán về tập hợp
b. Phép GIAO
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
B
A
1
3
2
4 b
3
2
a
BA
     
àx A x A v x    BB
T.lũy đẳng
T.kết hợp
T.rỗng
AAA 
CBACBACBA  )()(

 AA
T.giao hoán
ABBA 
Tính chất (GIAO )
 
4,3,2,1A 
 
b,a,3,2B 
BE
E rời B
E
f
 
3,2BA
Ví dụ 1.3:
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
3- Các phép toán về tập hợp
c. HiỆU của 2 tập hợp
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
F
E
1
3
2
4 b
3
2
a
     
\àx F E x F v x E   

 
4,3,2,1E 
 
b,a,3,2F 
E
3
2
4
3
2
F
b
a 1
3
2
 
4,1\ FE
 
baEF ,\ 
Ví dụ 1.4:
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
3- Các phép toán về tập hợp
d/ Tập BÙ
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
EA 
AACAE
E
\
Bù của A trong E
E

A
E
A
Luật De Morgan
EB,A 
BABA 
BABA 
 
6,5,4,3,2,1E
 
3,2A
 
6,5,4,1\  ACAEA
E
Ví dụ 1.5:
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
3- Các phép toán về tập hợp
d/ TÍCH của 2 tập hợp
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
   
( , ) àx y A B x A v y B    
Không có tính giao hóan
AxB
A
B
 
3,2,1A
 
baB ,
   

(1, ),(2, ),(3, ),(1, ),(2, ),(3, )A B a a a b b b
Ví dụ 1.6:
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
3- Các phép toán về tập hợp
e/ PHÂN HOẠCH
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
Các tập con A
1
, A
2
, A
3
…của tập X tạo nên một PHÂN HOẠCH của X, nếu:
1
( ) à ( )
n
i i j
i
A X v A A

    
1
A
2
A
4
A
3
A
5

A
6
A
Ví dụ 1.7:
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
3- Các phép toán về tập hợp
Ví dụ 1.8- (Hệ nhị phân)
1.1- TẬP HỢP - QUAN HỆ (tt)
 
9,7,5,3,110NL 
 
10,8,6,4,210NC 
1: ; 0:True False
1010101010
0101010101
 
5,4,3,2,15N 
1111100000
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
 
10,9,8,7,6,5,4,3,2,110NU 
1111111111
 
17, ,,3,2,117NU 
1717 NLNC 
1717 NNL 
1717 NNC 
1717 NNL 
17\17 NNC
17\17 NNL

Bài tập 1.1: Biết Hãy tính:
Bài tập về nhà DẠNG 1 (Homework-1):
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
BA
BA
BA\
BA
Cho A = {x x=n
2
+1; nN và 1<n≤9}
và B = {y y=5n; n=2, 5, 8, 10, 13} Xác định:
trong A
BA
trong B
BA
trong AB
Bài tập 1.2:
Bài tập về nhà DẠNG 1 (Homework-1):
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
1.2 Suy luận toán học
4- Quy nạp toán học
5- Định nghĩa bằng đệ quy
6- Các thuật toán đệ quy
7- Tính đúng đắn của chƣơng trình
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
1. Phương pháp
Với những bài toán chứng minh tính đúng đắn của một biểu
thức mệnh đề có chứa tham số n, như P(n). Quy nạp toán
học là một kỹ thuật chứng minh P(n) đúng với mọi số tự
nhiên n ≥N

0
.
- Quá trình chứng minh quy nạp bao gồm 2 bước:
 Bước cơ sở: Chỉ ra P(N
0
) đúng.
 Bước quy nạp: Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1)
đúng. Trong đó P(k) được gọi là giả thiết quy nạp.
Chứng minh 1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n-1)= n
2

với n ≥ 1
4- Quy nạp toán học
1.2 Suy luận toán học
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
Bước 1: Chỉ ra n=1 (*) đúng:
Bước 2: Giả sử (*) đúng với n= k :
Chứng minh
2
1 3 5 (2 1) (*)nn     
Giải:
2
11
2
1 3 5 (2 1)kk     
 Chứng minh (*) đúng với n =k+1:
1 3 5 (2 1) [2( 1) 1]kk        
22
( 2 1) ( 1)k k k    
 Bài toán đã được chứng minh đúng với n=k+1) :

Ví dụ 1.9:
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
5- Định nghĩa bằng đệ quy
(Định nghĩa quy nạp)
3)(2)1(,3)0(  nfnff
1.2 Suy luận toán học
Biết
Tính f(3)
93)0(2)1(,3)0(0  fffn
213)1(2)2(,9)1(1  fffn
Giải:
453)2(2)3(,21)2(2  fffn
Ví dụ 1.10:
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
5)(3)1(,2)0(  nfnff
Bài tập 2.1:
Biết
Tính f(4)
3)]([)1(,4)0(
2
 nfnff
Bài tập 2.2:
Biết
Tính f(3)
4
2
)(
)1(,2)0( 
nf
nff

Bài tập 2.3:
Biết
Tính f(5)
Bài tập về nhà DẠNG 2 (Homework-2):
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
6- Các thuật toán đệ quy
Ví dụ 1.11- Thuật toán đệ quy tính a
n
Hàm lũy thừa

(aR và a0; nN và n0 )
if n=0 then luythua(a,n) :=1
else luythua(a,n)=a*luythua(a,n-1)
1
*


nn
aaa
1.2 Suy luận toán học
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
7- Tính đúng đắn của chƣơng trình
Chương trình đúng đắn  Mọi đầu vào khả dĩ  đầu ra đúng
 
qSp
Chương trình (Đọan CT) S là đúng đắn bộ
phận đối với khẳng định đầu p và khẳng
định cuối q
If điều_kiện then
S1

else
S2
Câu lệnh điều kiện
While điều_kiện
S
Bất biến vòng lập While
1.2 Suy luận toán học
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
Định nghĩa
Một quan hệ hai ngôi từ tập A đến tập B là tập con của tích Đề
các R  A x B.
Chúng ta sẽ viết a R b thay cho (a, b)  R
Quan hệ từ A đến chính nó được gọi là quan hệ trên A
R = { (a
1
, b
1
), (a
1
, b
3
), (a
3
, b
3
) }
23
1.3 Quan hệ hai ngôi
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
Ví dụ. A = tập sinh viên; B = các lớp học.

R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b}


24
1.3 Quan hệ hai ngôi
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3, 4}, và
R = {(a, b) | a là ước của b}
Khi đó
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)}
1 2 3 4
1 2 3 4
25
1.3 Quan hệ hai ngôi
TOÁN ỨNG DỤNG Chƣơng 1: QUAN HỆ - SUY LUẬN TOÁN HỌC