ĐỀ THI CAO HỌC TOÁN QUY NHƠN 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN

ðỀ CHÍNH THỨC
ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2011
NGÀNH: TOÁN HỌC
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề.

Câu 1. Chứng minh rằng hàm số
2
:f →
ℝ ℝ
xác ñịnh bởi
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1
sin khi , 0,0
,
0 khi , 0
,0
x y x y
x y
f x y
x y


+ ≠

+
=


≠


liên tục, có các ñạo hàm riêng
' '
,
x y
f f
gián ñoạn nhưng
f
khả vi tại
(
)
0,0
.
Câu 2. a) Cho dãy số
{
}
n
a
và hàm số
[
]

: 0,1f →
ℝ
xác ñịnh bởi
(
)
0 0
f
=
và
(
)
n
f x a
=
nếu
1 1
,
1
x
n n
 
∈


+
 
v
ớ
i m
ọ

i
1
n
≥
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
{
}
n
a
b
ị
ch
ặ
n thì
f
kh
ả
tích trên
[
]
0,1 ;
và
n
ế

u
n
a n
≥
v
ớ
i m
ọ
i
n
thì
f
không kh
ả
tích trên
[
]
0,1 ;
.

b)
Xét tính kh
ả
tích Lebesgue c
ủ
a
f
và tính
( )
1

0
L fd
µ
∫
(n
ế
u có) v
ớ
i
( )
[
]
( )
[ ]
( )
[ ]
2011
2
8 , 0;1
, \ 0;1/ 2
ln , \ 1/ 2;1
x x
f x x x
x x x

∈ ∩


= ∈ ∩



∈ ∩


ℚ
ℝ ℚ
ℝ ℚ

Câu 3. a) Xét không gian ñịnh chuẩn c các dãy số hội tụ với chuẩn cho bởi
sup
n n
x x
=
với mọi
{
}
n
x x c
= ∈
. Chứng minh rằng tập hợp
0
c
các dãy số hội tụ về 0 là không gian con ñóng và
không ñâu trù mật trong c.
b) Cho X là không gian mê-tric ñầy ñủ và
{
}
:
n
n

f X
∈
→
ℕ
ℝ
là các dãy hàm liên tục sao cho với
mọi
x X
∈
tồn tại
(
)
lim
n
n
f x
→∞
. Chứng minh rằng tồn tại tập
V X
⊂
mở, khác rỗng và tồn tại
0
M
>
sao cho
(
)
n
f x M
≤

với mọi
x V
∈
và mọi
n
∈
ℕ
.
Câu 4. Cho
X
là không gian Banach trên trường số
ℂ
. Xét dãy
{
}
* *
0
n
n
x X
≥
⊂
và không gian vectơ
( ) { }
{
}
1
0
:
n n

n
l X x x X x
≥
= = ⊂ < ∞
∑

1) Chứng minh rằng
(
)
1
l X
là không gian Banach với chuẩn
0
0
n
n
x x
≥
=
∑
.
2) a) Giả sử dãy
{
}
*
n
x
bị chặn. Với mỗi
0
n

≥
ñặt
(
)
1
, :
n
A A l X →
ℂ
cho bởi
(
)
(
)
{
}
(
)
* *
1
0
0 0
;
k k n k k k
k
k k n
Ax x x A x x x x x l X
≥
≥ ≤ ≤
= = ∀ = ∈

∑ ∑

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
,
n
A A
xác
ñị
nh các ánh x
ạ
tuy
ế
n tính liên t
ụ
c. Tính các chu
ẩ
n ,
n
A A
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
{

}
n
A
b
ị
ch
ặ
n và h
ộ
i t
ụ
theo
ñ
i
ể
m v
ề
A.
b) Gi
ả
s
ử
ánh x
ạ
A cho trong câu a) hoàn toàn xác
ñị
nh. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng dãy
{
}
*
n
x
b
ị
ch
ặ
n.

3)
Cho dãy
{
}
n
a
⊂
ℂ
. S
ử
d
ụ
ng câu 2) ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các
ñ

i
ề
u ki
ệ
n sau là t
ươ
ng
ñươ
ng:
a)
{
}
1
0
n
k k
k
n
a x l
∞
=
≥
∈
∑
v
ớ
i m
ỗ
i
1

n
x l
∈
;
b)
{
}
n
a l
∞
∈
.
HẾT
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.