Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ninh bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN
TRƯỜNG THPT BÌNH MINH Năm học : 2013-2014
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
(Đề này gồm 5 câu , 1 trang)
Câu 1 (2 điểm)
Tính giá trị của biểu thức
ab
ba
P
+
−
=
1
, biết
2
2
1
1
xx
xx
a
−−
−+
=
;
x
x
b
2
1−

=
(với
)1
2
2
<< x
.
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình
014
2
=+++ mxx
( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
21
, xx
sao cho
3
10
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
.

Câu 3 (2 điểm)
a) Giải phương trình
51235
22
++=++ xxx
.
b) Cho
0,0 >> yx
. Chứng minh rằng
xy
yx
+
≥
+
+
+
1
1
)1(
1
)1(
1
22
.
Câu 4 (3 điểm)
Từ điểm M ngoài đường tròn (C) kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC ( B nằm giữa M và C ) với
đường tròn . Gọi H là hình chiếu của A trên MO , K là giao điểm của đoạn thẳng MO với đường tròn
(O) . Chứng minh rằng
a) Tứ giác OHBC là tứ giác nội tiếp .
b) BK là tia phân giác của góc HBM .

Câu 5 (1 điểm)
Tìm các số tự nhiên
yx,
sao cho
.8
22
++=+ yxyx
Hết
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 CHUYÊN
Năm học : 2013-2014
TRƯỜNG THPT BÌNH MINH MÔN: TOÁN
(hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Câu Đáp án Điểm
1
(2 điểm)








−
−−
−+
+









−
−
−−
−+
=
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
P
2
2
22
2
2
1
.
1
1

1:
1
1
1
0.5 điểm
1
)1(
111
:
)1(
111
2
2222
2
2222
=
−−
−+−+−−
−−
−+−−−+
=
xxx
xxxxxx
xxx
xxxxxx
1.0 điểm
Vậy P=1
0.5 điểm

2

(2 điểm)
a. (0.5 điểm)
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi
03
,
=−=∆ m

3
=⇔
m
0.5 điểm
b. (1.5 điểm)
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
00
,
≤⇔≥∆ m
Theo định lý Viét ta có



+=
−=+
1
4
21
21
mxx
xx
0.5 điểm
Khi đó

3
10
2)(
3
10
21
21
2
21
1
2
2
1
=
−+
⇔=+
xx
xxxx
x
x
x
x
0.5 điểm
2
3
10
1
)1(2)4(
2
=⇔=

+
+−−
⇔ m
m
m
( thỏa mãn điều kiện).
0.5 điểm
a. (1 điểm)
A
B
K
C
N

0412633551235
2222
=++−−+−+⇔++=++ xxxxxx
0
412
2
)2(3
35
4
2
2
2
2
=
++
−

−−+
++
−
⇔
x
x
x
x
x
0.5 điểm
0
412
2
3
35
2
)2(
22
=








++
+
−+

++
+
−⇔
x
x
x
x
x
0.5 điểm
Từ phương trình suy ra
3
5
53 >⇔> xx
, do đó
412
2
35
2
22
++
+
>
++
+
x
x
x
x
, vậy biểu thức trong ngoặc luôn dương.
0.5 điểm

Suy ra phương trình có nghiệm là x=2 0.5 điểm
b. (1 điểm)
Bất đẳng thức tương đương với

)21)(21()222)(1(
2222
yyxxyxyxxy ++++≥+++++
0.25 điểm

0)1()(012
222233
≥−+−⇔≥+−−+⇔ xyyxxyxyyxxyyx

0.25 điểm
Bất đẳng thức cuối đúng do
0,0 >> yx
0.25 điểm
Dấu
'''' =
xảy ra khi
1
1
==⇔



=
=
yx
xy

yx
0.25 điểm

M
H
O
3
(3 điểm)
a. (1,5 điểm)
+ Từ
MAB∆
đồng dạng với
MCA
∆
suy ra
MCMBMA .
2
=
(1)
+ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO ta có
MOMHMA .
2
=
(2)
0.5 điểm
+ Từ (1) và (2) ta có
MB
MH
MO
MC

MOMHMCMB =⇔=
+ Từ đó suy ra
MCO
∆
đồng dạng với
MHB∆
0.5 điểm
OCMBHM
ˆ
ˆ
=⇒
, mà
0
180
ˆˆ
=+ OHBBHM
nên
0
180
ˆ
ˆ
=+ OHBOCM
0.25 điểm
Vậy tứ giác OHBC là tứ giác nội tiếp 0.25 điểm
b. (1.5 điểm)
Gọi N là giao điểm thứ hai của MO với (O) . Khi đó

HOCOCNCNMKBM
ˆ
2

1
ˆ
ˆˆ
===
( Tính chất góc ngoài của tam giác )
(3)
0.5 điểm
Tứ giác OHBC nội tiếp nên
HBMHOC
ˆ
ˆ
=
( cùng bù với
CBH
ˆ
) (4)
0.5 điểm
Từ (3) và (4) suy ra
KBMHBM
ˆ
2
ˆ
=
, hay BK là tia phân giác của
MBH
ˆ
0.5 điểm
4
(1 điểm)
Ta có

)8(4)(48
2222
++=+⇔++=+ yxyxyxyx

2222
5334)12()12( +==−+−⇔ yx
)(∗
0.25 điểm
Vì
Nyx ∈,
, kết hợp với
)(∗
suy ra




=−
=−
512
312
y
x
hoặc



=−
=−
312

512
y
x
0.25 điểm




=
=
⇔
3
2
y
x
hoặc



=
=
2
3
y
x
0.25 điểm
Vậy có hai cặp số (x;y) thỏa mãn là (2;3) và (3;2). 0.25 điểm
Hết

Người ra đề Nhóm chuyên môn Ban giám hiệu

(ký , ghi rõ họ tên) ( ký và xác nhận)