Đại số quan hệ và phép tính quan hệ

1
i s quan h
và
Phép tính quan h
Chng 4
Ni dung trình bày
̇ Gii thiu
̇ Phép toán mt ngôi
̇ Phép toán hai ngôi.
̇ Phép toán khác.
̇ Phép tính quan h bin b.
̇ Phép tính quan h bin min.
2
Gii thiu (1)
̇ i s quan h
•Làtp hp các phép toán c s ca mô hình d liu
quan h.
•Biu thc đi s quan h là mt chui các phép toán.
•Kt qu ca mt biu thc là mt th hin quan h.
̇ Ý ngha
•C s hình thc cho các phép toán ca mô hình quan
h.
•C s đ cài đt và ti u hóa các truy vn trong các
HQT CSDL quan h.
• c áp dng trong SQL.
Gii thiu (2)
̇ Toán hng
• Các th hin quan h.
•Các tp hp.
̇ Toán t là các phép toán
• Phép toán tp hp

-Hi, giao, hiu, tích Cartesian.
• Phép toán quan h
-Chn, chiu, kt, chia, đi tên.
-Mt s phép toán khác.
3
Phép toán 1 ngôi
̇ Là các phép toán ch tác đng lên mt quan
h.
̇ Gm
• Phép chn (Select).
• Phép chiu (Project).
• Phép đi tên (Rename).
Phép chn (1)
̇  rút trích các b d liu tha điu kin chn t
mt quan h.
̇ Cú pháp
• σ
<K>
(R).
•<K> là biu thc logic.
1023
ββ
71
αα
DCBA
σ
A= B ∧ D> 5
(R)
1023
ββ

312
ββ
75
βα
71
αα
DCBAR
4
Phép chn (2)
̇ Biu thc điu kin
•Cha các mnh đ có dng
-<thuc tính> <toán t so sánh> <hng s>.
-<thuc tính> <toán t so sánh> <thuc tính>.
• Toán t so sánh: =, <, ≤, >, ≥, ≠.
•Các mnh đ đc ni bi toán t logic: ∧, ∨, ¬.
̇ c trng
• Phép chn có tính giao hoán.
- σ
<K1>
(σ
<K2>
(R)) = σ
<K2>
(σ
<K1>
(R)).
•Kt qu là mt quan h
- Có cùng bc vi R.
-Cós b ít hn hoc bng s b ca R.
Phép chiu (1)

̇  rút trích các ct ng vi các thuc tính nào đó
ca mt quan h.
̇ Cú pháp
• π
<DSTT>
(R).
• <DSTT> là danh sách các thuc tính ca R.
1023
ββ
312
ββ
75
βα
71
αα
DCBAR
π
A,D
(R)
10
β
3
β
7
α
7
α
DA
10
β

3
β
7
α
DA
5
Phép chiu (2)
̇ c trng
• Phép chiu không có tính giao hoán.
- π
<DSTT1>
(π
<DSTT2>
(R)) ≠π
<DSTT2>
(π
<DSTT1>
(R)).
• Phép chiu loi b các b trùng nhau.
•Kt qu là mt quan h
-Cóbc bng s thuc tính ca danh sách thuc tính.
-Cóbc nh hn hoc bng bc ca R.
-Cós b ít hn hoc bng s b ca R.
̇ M rng phép chiu
• Cho phép s dng các phép toán s hc trong danh
sách thuc tính.
- π
A,2*C
(R).
Chui các phép toán và phép gán

̇ Chui các phép toán
•Mun s dng kt qu ca phép toán này làm toán hng ca phép
toán khác.
•Mun vit các phép toán lng nhau.
- π
A,C
(σ
A=B ∧ D>5
(R))
̇ Phép gán
•Mun lu li kt qu ca mt phép toán.
•  đn gin hóa mt chui phép toán phc tp.
•Cúpháp
-R’← E
-E làbiu thc đi s quan h.
•Víd
-R’←σ
A=B ∧ D>5
(R)
π
A,C
(R’)
6
Phép đi tên
̇  đi tên quan h và các thuc tính.
̇ Cú pháp: cho quan h R(A
1
, , A
n
)

• i tên quan h R thành S
- ρ
S
(R).
• i tên quan h R thành S và các thuc tính A
i
thành B
i
- ρ
S(B1, B2, , Bn)
(R).
• i tên các thuc tính A
i
thành B
i
- ρ
(B1, B2, , Bn)
(R).
• i tên quan h R thành S và thuc tính A
1
thành B
1
- ρ
S(B1, A2, A3, , An)
(R).
• i tên thuc tính A
1
thành B
1
- ρ

(B1, A2, A3, , An)
(R).
Mt s ví d
̇ Tìm các nhân viên làm vic trong phòng s 4.
• σ
MaPB = 4
(NHANVIEN)
̇ Tìm các nhân viên làm vic trong phòng s 4 và có mc
lng t 25.000 đn 40.000.
• σ
MaPB = 4 ∧ Luong ≥ 25.000 ∧ Luong ≤ 40.000
(NHANVIEN)
̇ Cho bit h, tên, gii tính và mc lng ca các nhân viên.
• π
Ho, Ten, Gtinh, Luong
(NHANVIEN)
̇ Cho bit h, tên, gii tính và mc lng ca các nhân viên
ca phòng s 5.
• π
Ho, Ten, Gtinh, Luong
(σ
MaPB = 5
(NHANVIEN))
7
Phép toán 2 ngôi
̇ Là các phép toán tác đng lên hai quan h.
̇ Gm 2 loi
• Phép toán tp hp
- Phép hi (Union).
- Phép giao (Intersection).

- Phép hiu (Mimus).
- Phép tích Cartesian.
• Phép toán phi tp hp
- Phép kt (Join).
- Phép chia (Division).
Phép toán tp hp (1)
̇ Ch đc s dng khi hai quan h đc tác
đng là kh hp.
̇ Hai quan h R(A
1
, , A
n
) và S(B
1
, , B
n
) gi
là kh hp nu
•Bc R = Bc S.
•Min xác đnh A
i
≡ Min xác đnh B
i
, vi i = 1, ,
n.
8
Phép hi
̇ Hi ca R và S
•R ∪ S
• Là quan h gm các b thuc R hoc thuc S.

•Các b trùng nhau b loi đi.
̇ R ∪ S = {t | t ∈ R ∨ t ∈ S}
23
β
12
β
5
α
1
α
CAR
23
β
12
γ
1
α
CAS
1
α
23
β
12
β
5
α
12
γ
23
β

1
α
CA
R ∪ S
12
β
23
β
12
γ
5
α
1
α
CA
Phép giao
̇ Giao ca R và S
•R ∩ S
• Là quan h gm các b thuc R đng thi thuc S.
̇ R ∩ S = {t | t ∈ R ∧ t ∈ S}
23
β
12
β
5
α
1
α
CAR
23

β
12
γ
1
α
CAS
R ∩ S
23
β
1
α
CA
9
Phép hiu
̇ Hiu ca R và S
•R -S
• Là quan h gm các b thuc R nhng không thuc S.
̇ R - S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S}
23
β
12
β
5
α
1
α
CAR
23
β
12

γ
1
α
CAS
R - S
12
β
5
α
CA
Phép toán tp hp (2)
̇ c trng
• Phép hi và giao có tính giao hoán
-R ∪ S = S ∪ R và R ∩ S = S ∩ R.
• Phép hi và giao có tính kt hp
-R ∪ (S ∪ T) = (R ∪ S) ∪ T và R ∩ (S ∩ T) = (R ∩ S)
∩ T.
10
Phép tích Cartesian
̇ Tích Cartesian ca R và S (không nht thit kh hp).
•R × S
• Là quan h Q mà mi b là mt t hp ca mt thuc R và mt b thuc S.
•Bc Q = Bc R + Bc S.
•S b Q = S b R × S b S.
̇ R × S = {(a
1
, , a
m
, b
1

, , b
n
) | (a
1
, , a
m
) ∈ R ∧ (b
1
, , b
n
) ∈ S}
12
ββ
5
βα
1
αα
CBAR
75
71
EDS
751
αα
715
βα
5
1
5
1
D

712
ββ
712
ββ
75
βα
71
αα
ECBA
R × S
Mt s ví d
̇ Tìm mã s các nhân viên ca phòng s 5 hoc giám sát
trc tip các nhân viên phòng s 5.
•Q1 ←σ
MaPB = 5
(NHANVIEN)
Q2 ←π
MaNV
(Q1)
Q3 ←π
MaGS
(Q1)
Q ← Q2 ∪ Q3
̇ Cho bit h, tên ca các nhân viên n và tên các thân nhân
ca h.
•Q1 ←σ
GTinh = ‘Nu’
(NHANVIEN)
Q2 ←ρ
(HoNV, TenNV, MaNV1)

(π
Ho, Ten, MaNV
(Q1))
Q3 ← Q2 × THANNHAN
Q4 ←σ
MaNV1 = MaNV
(Q3)
Q ←π
HoNV, TenNV, Ten
(Q4)
11
Phép kt
̇  kt hp các b có liên quan t hai quan
h.
̇ Có 3 loi
•Kt theta (Theta Join)
-R
<K>
S.
-<K> là biu thc logic.
•Kt bng (Equi Join)
•Kt t nhiên (Natural Join)
- R S hoc R * S.
Phép kt theta
̇ Biu thc điu kin
•Cha các mnh đ có dng
-A
i
<toán t so sánh> B
j

.
+A
i
là thuc tính ca R.
+B
j
là thuc tính ca S.
+Min xác đnh A
i
≡ Min xác đnh B
j
.
• Toán t so sánh: =, <, ≤, >, ≥, ≠.
•Các mnh đ đc ni bi toán t logic: ∧.
12
ββ
5
αβ
5
βα
1
αα
CBAR
12
β
4
α
1
α
FES

R
A=E ∧ C<F
S
β
α
E
125
αβ
41
αα
FCBA
12
Phép kt bng
̇ Tt c các toán t so sánh trong biu thc điu kin đu là
=.
̇ Trong mi b luôn có mt hoc nhiu cp thuc tính có giá
tr ging nhau.
12
ββ
5
αβ
5
βα
1
αα
CBAR
12
β
4
α

1
α
FES
R
A=E ∧ C=F
S
β
α
E
1212
ββ
11
αα
FCBA
Phép kt t nhiên
̇ Là phép kt bng và các cp thuc tính trong các mnh đ
phi cùng tên và cùng min xác đnh.
̇ Nu các cp thuc tính không cùng tên thì phi thc hin
phép toán đi tên trc khi kt.
• R(A, B, C) và S(E, F), mun kt t nhiên trên 2 cp thuc tính (A, E)
và (C, F).
- R (ρ
(A, C)
(S)).
12
ββ
5
αβ
5
βα

1
αα
CBAR
12
β
4
α
1
α
CAS
R S
12
ββ
1
αα
CBA
13
Phép chia (1)
̇  rút trích các b ca mt quan h liên quan vi
tt c các b ca quan h còn li.
̇ Cho 2 quan h R(Z) và S(X)
•Z tp hp các thuc tính ca quan h R.
•X tp hp các thuc tính ca quan h S.
•X ⊆ Z.
• R chia S là quan h T(Y) vi Y = Z – X.
- T(Y) = {t | t ∈π
Y
(R) ∧∀u ∈ S ⇒ (t, u) ∈ R}.
̇ Cú pháp
•R ÷ S

Phép chia (2)
1013
ββ
5223
αβ
101023
ββ
2723
αβ
1
7
2
7
D
212
ββ
212
βα
51
αα
21
αα
ECBAR
3
ββ
23
ββ
23
αβ
12

ββ
12
βα
1
αα
CBA
2
7
D
5
2
ES
π
A,B,C
(R)
23
αβ
1
αα
CBA
R ÷ S
14
Mt s ví d
̇ Cho bit tên, đa ch ca các nhân viên ca phòng Nghiên
cu.
•Q1 ←σ
TenPB = ‘Nghien cuu’
(PHONGBAN)
Q2 ← Q1 * NHANVIEN
Q ←π

Ho, Ten, DChi
(Q2)
̇ Cho bit tên các nhân viên tham gia tt c các d án do
phòng s 5 điu phi.
•Q1 ←π
MaDA
(σ
PhongQL = 5
(DUAN))
Q2 ←π
MaNV, MaDA
(THAMGIA)
Q3 ← Q2 ÷ Q1
Q ←π
Ho, Ten
(Q3 * NHANVIEN)
Các phép toán khác
̇  biu din các truy vn mà không th thc hin
vi các phép toán đi s quan h c s
• Các truy vn mang tính cht thông kê đn gin trên mt
tp hp các giá tr hoc các nhóm tp hp giá tr d liu.
• Các truy vn dùng đ to các báo cáo.
̇ Gm
•Hàm tp hp (Aggregate Function).
• Phép gom nhóm các b d liu (Grouping).
• Phép kt m rng (Outer Join).
15
Hàm tp hp và gom nhóm (1)
̇  thc hin các truy vn thng kê đn gin trên tp hp các giá tr s
• SUM - Tính tng ca các giá tr trong tp hp.

• AVG - Tính giá tr trung bình ca các giá tr trong tp hp.
• MAX, MIN - Tìm giá tr ln nht, nh nht ca các giá tr trong tp hp.
̇  đm s b ca mt quan h hoc s các giá tr ca mt thuc tính.
• COUNT
̇  gom nhóm các b ca mt quan h theo các thuc tính ri áp dng
các hàm tp hp.
̇ Cú pháp
•
<DSTT>

<DSH>
(R)
 <DSTT> là danh sách các thuc tính thuc R.
• <DSH> là danh sách các cp (hàm tp hp, thuc tính) áp dng trên các
nhóm.
Hàm tp hp và gom nhóm (2)
1020
ββ
312
ββ
85
βα
71
αα
DCBAR
1632
ββ
55
βα
11

αα
FEBAS
1220
β
15
α
MIN_CMAX_CA
74
AVG_DCOUNT_C
ρ
S(A, B, E, F)
(
A, B

SUM(C), AVG(C)
(R))
A

MAX(C), MIN(C)
(R)

COUNT(C), AVG(D)
(R)
16
Phép kt m rng (1)
̇  gi li tt c các b trong mt quan h bt chp
chúng có đc liên kt vi các b trong quan h
còn li hay không nhm tránh mt thông tin hoc
to các báo cáo.
̇ Có 3 dng

•M rng trái (Left Outer Join)
- R
<
K
>
S.
•M rng phi (Right Outer Join)
- R
<
K
>
S.
•M rng hai phía (Full Outer Join)
- R
<
K
>
S.
Phép kt m rng trái
̇ Gi li tt c các b ca quan hbên trái phép toán kt
mà không liên kt đc vi b nào ca quan h bên phi.
23
ββ
12
ββ
5
βα
1
αα
CBAR

1023
312
72
71
EDS
10235
βα
10231
αα
3121
αα
nullnull23
ββ
23
12
2
D
1012
ββ
35
βα
71
αα
ECBA
R
C<D
S
17
Phép kt m rng phi
̇ Gi li tt c các b ca quan hbên phi phép toán kt

mà không liên kt đc vi b nào ca quan h bên trái.
23
ββ
12
ββ
5
βα
1
αα
CBAR
1023
312
72
71
EDS
R
C>D
S
31223
ββ
7223
ββ
7123
ββ
7212
ββ
23
1
2
1

D
10nullnullnull
712
ββ
75
βα
75
βα
ECBA
Phép kt m rng hai phía
̇ Gi li tt c các b ca tng quan hhai bên phép toán
kt mà không liên kt đc vi b nào ca quan h còn li.
23
ββ
12
ββ
5
βα
1
αα
CBAR
1023
312
72
71
EDS
R
C=D
S
72nullnullnull

nullnull5
βα
102323
ββ
12
1
D
312
ββ
71
αα
ECBA
18
Mt s ví d
̇ Vi mi phòng ban cho bit mã s, tng s nhân viên và
mc lng trung bình.
• ρ
(MaPB, SoNV, LuongTB)
(
MaPB

COUNT(MaNV), AVG(Luong)
(NHANVIEN))
̇ Vi mi nhân viên cho bit h, tên và tên phòng nu h là
trng phòng.
•Q1 ← NHANVIEN
MaNV = TrPhong
PHONGBAN
Q ←π
Ho, Ten, TenPB

(Q1)
Phép tính quan h (1)
̇ Mt s khái nim logic toán hc
•Mnh đ
-Các khng đnh có giá tr chân lý xác đnh.
•V t
-Làmt khng đnh P(x, y, ) vi x, y, là các bin trên các min xác
đnh A, B,
+ P(x, y, ) không là mnh đ.
+ Thay x, y, bng các giá tr c th ta đc mt mnh đ.
- x, y, là các bin t do.
•Lng t
-Mnh đ “∀x ∈ A, P(x)” và “∃x ∈ A, P(x)” là các lng t hóa ca v t
P(x).
+ ∀ là lng t ph dng.
+ ∃ là lng t tn ti.
- x không còn là bin t do, nó b buc bi các lng t ∀ hay ∃.
19
Phép tính quan h (2)
̇ Tng quan
• Ngôn ng hình thc ca mô hình quan h.
•Ch quan tâm đn ni dung d liu cn truy vn.
• Ngôn ng phi th tc.
•Da trên logic toán hc.
̇ Chia làm 2 dng
• Phép tính quan h bin b.
• Phép tính quan h bin min (min xác đnh).
Bin b và quan h min giá tr
̇ Bin b (Tuple Variable)
•Bin bin thiên trên mt quan h R xác đnh.

̇ R đc gi là quan h min giá tr ca bin b
(Range Relation).
̇ Phép tính quan h bin b đn gin
• {t | P(t)}.
-t làbin b.
- P(t) là v t hoc công thc.
̇ Ví d
• {t | t ∈ NHANVIEN ∧ t.Luong > 50000}.
• {t.Ho, t.Ten | NHANVIEN(t) ∧ t.Luong > 50000}
20
Biu thc và công thc (1)
̇ Biu thc tng quát ca phép tính quan h bin b
•{t
1
.A
j
, t
2
.A
k
, , t
n
.A
m
| P(t
1
, t
2
, , t
n

, , t
n+m
)}
-t
1
, , t
n+m
là các bin b.
-A
i
là thuc tính ca quan h min giá trng vi bin b t
i
.
̇ Công thc nguyên t
•Thuc mt trong 3 dng sau
-t ∈ R hoc R(t)
-t
i
.A <phép toán so sánh> t
j
.B.
-t
i
.A <phép toán so sánh> c.
• Có chân tr ÚNG hoc SAI.
t ∈ NHANVIEN hoc NHANVIEN(t)
t.MaNV = s.MaNV
t.Luong > 50000
Biu thc và công thc (2)
̇ P đc xây dng t các

công thc nguyên t liên
kt vi nhau bi các phép
toán logic ∧, ∨, ¬ theo các
lut sau
1. Công thc nguyên t là
công thc.
2. F là công thc thì ¬F cng là
công thc.
F, G là công thc thì F ∧ G,
F ∨ G cng là công thc
3. F là công thc thì (∀t)(F)
cng là công thc.
4. F là công thc thì (∃t)(F)
cng là công thc.
̇ Bin b t do và b buc
• F là nguyên t
-Bin b là t do.
•(∀t)(F), (∃t)(F)
-Bin b là b buc.
• ¬F, F ∧ G, F ∨ G
-Bin b là t do hoc b
buc.
-Bin b có th là t do trong
F và b buc trong G.
̇ Ví d
•
•
F
1
: NHANVIEN(d)

F
2
: (∀d)(d.MaGSat =
‘123456789’)
21
Bin đi gia hai lng t
̇ Quy tc bin đi
•(∀) thay bng ¬(∃), và ngc li.
• ∧ thay bng ∨, và ngc li.
• ¬P thay bng P, và ngc li.
̇ Mt s bin đi thng gp
•(∀x)(P(x)) ⇔
•(∃x)(P(x)) ⇔
•(∀x)(P(x) ∧ Q(x)) ⇔
•(∀x)(P(x) ∨ Q(x)) ⇔ ¬(∃x)(¬(P(x)) ∧¬(Q(x)))
•(∃x)(P(x) ∧ Q(x)) ⇔ ¬(∀x)(¬(P(x)) ∨¬(Q(x)))
•(∃x)(P(x) ∨ Q(x)) ⇔ ¬(∀x)(¬(P(x)) ∧¬(Q(x)))
¬(∃x)(¬(P(x)))
¬(∀x)(¬(P(x)))
¬(∃x)(¬(P(x)) ∨ ¬(Q(x)))¬(P(x)) ¬(Q(x))
Truy vn dùng lng t tn ti (1)
̇ Tìm tên và đa ch ca các nhân viên phòng Nghiên
cu.
•
• {e.Ten, e.DChi | NHANVIEN(e) ∧ F}
-F = (∃d)(PHONGBAN(d) ∧ F
1
)
-F
1

= (d.TenPB = ‘Nghiên cu’ ∧ d.MaPB = e.MaPB)
{e.Ten, e.DChi |
NHANVIEN(e) ∧ (∃d)(PHONGBAN(d) ∧
d.TenPB = ‘Nghiên cu’ ∧ d.MaPB = e.MaPB)}
NHANVIEN(e) ∧ (∃d)(PHONGBAN(d) ∧
d.TenPB = ‘Nghiên cu’ ∧ d.MaPB = e.MaPB)
22
Truy vn dùng lng t tn ti (2)
̇ Vi mi d án trin khai ti Th c, cho bit mã
d án, mã phòng qun lý d án và h tên ngi
trng phòng.
•
̇ Nhn xét
• Trong mt truy vn có th có nhiu bin b t do.
{p.MaDA, p.Phong, e.Ho, e.Ten |
DUAN(p) ∧
NHANVIEN(e) ∧ p.Diadiem = ‘Th c’ ∧
(∃d)(PHONGBAN(d) ∧ d.MaPB = p.Phong ∧ d.TrPhg =
e.MaNV)
}
DUAN(p) ∧
NHANVIEN(e) ∧ p.Diadiem = ‘Th c’ ∧
(∃d)(PHONGBAN(d) ∧ d.MaPB = p.Phong ∧ d.TrPhg =
e.MaNV)
Truy vn dùng lng t tn ti (3)
̇ Vi mi nhân viên, cho bit h tên ca nhân viên
và h tên ca ngi qun lý nhân viên đó.
•
̇ Nhn xét
•Mt vài bin b trong cùng mt truy vn có th có cùng

quan h min giá tr.
{e.Ho, e.Ten, s.Ho, s.Ten |
NHANVIEN(e) ∧
NHANVIEN(s) ∧ e.MaGSat = s.MaNV }
NHANVIEN(e) ∧
NHANVIEN(s) ∧ e.MaGSat = s.MaNV
23
Truy vn dùng lng t tn ti (4)
̇ Tìm các nhân viên tham gia các d án do phòng s
5 điu phi.
• {e | NHANVIEN(e) ∧ (∃x)(∃w)(DUAN(x) ∧ THAMGIA(w) ∧
x.Phong = 5 ∧ x.MaDA = w.MaDA ∧ x.MaNV = w.MaNV)}
Truy vn s dng lng t ph dng
̇ Tìm các nhân viên tham gia tt c các d án do
phòng s 5 điu phi.
• {e | NHANVIEN(e) ∧ ((∀x)(¬(DUAN(x)) ∨¬(x.MaDA = 5)
∨ ((∃w)(THAMGIA(w) ∧ w.MaNV = e.MaNV ∧ x.MaDA =
w.MaDA))))}
• {e | NHANVIEN(e) ∧ F}
-F = (∀x)(¬(DUAN(x)) ∨ F
1
)
-F
1
= ¬(x.MaDA=5) ∨ F
2
-F
2
= (∃w)(THAMGIA(w) ∧ w.MaNV=e.MaNV ∧ x.MaDA=w.MaDA)
• {e | NHANVIEN(e) ∧ (¬(∃x)(DUAN(x) ∧ x.MaDA = 5 ∧

(¬(∃w)(THAMGIA(w) ∧ w.MaNV = e.MaNV ∧ x.MaDA =
w.MaDA))))}
24
Biu thc an toàn
̇ Xét biu thc
•{t | ¬(NHANVIEN(t))}
•Nhn xét
-Kt qu ca biu thc không
là mt s hu hn các b.
-Biu thc là không an toàn.
̇ Biu thc an toàn là biu
thc có mt s hu hn
các b trong kt qu.
̇ nh ngha hình thc
•Min xác đnh ca biu thc
là tp hp gm
-Các hng xut hin trong P.
-Giátr thuc tính ca các b
ca các quan h xut hin
trong P.
•Víd
- {t | R(t) ∧ t.A = 5}
-Mxđ = {5, 1, 7, 23, 10}
•Biu thc là an toàn nu mi
giá tr trong kt qu thuc
min xác đnh ca biu thc.
1023
71
BAR
Phép tính quan h bin min

̇ Biu thc tng quát ca phép tính quan h bin
min
•{x
1
, x
2
, , x
n
| P(x
1
, x
2
, , x
n
, , x
n+m
)}
-x
1
, , x
n+m
là các bin min.
̇ Công thc nguyên t
•Thuc mt trong 3 dng sau
-<x
1
, , x
j
> ∈ R hoc R(x
1

, , x
j
)
-x
i
<phép toán so sánh> x
j
.
-x
i
<phép toán so sánh> c.
• Có chân tr ÚNG hoc SAI.
̇ Các khái nim khác tng t bin b.