Mối quan hệ giữa đại số - hình học qua phép tịnh tiến

Chun đề phương pháp

LỜI NĨI ĐẦU

Để hồn thành bài tiểu luận này, em xin chân thành cảm ơn cô Lê Thị Hồi
Châu đã có sự giúp đỡ và hướng dẫn hết sức tận tình. .
Đây là một đề tài khá mới mẻ nên mặc dù đã có sự cố gắng và đầu tư vào
bài tiểu luận, tuy nhiên khó tránh khỏi hết những thiếu sót, mong cơ và các bạn
khác nếu có dịp đọc bài này góp ý, sửa chữa và bổ sung để góp phần cho bài tiểu
luận sẽ được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cám ơn.
Với kiến thức còn nhiều hạn chế và các nguồn tư liệu vẫn cịn thiếu cho nên
khó tránh khỏi những phân tích mang tính chủ quan về chương trình, sách giáo
khoa. Nếu lỡ vướng phải sai sót gì, thành thật xin lỗi các tác giả sách giáo khoa.
Mong các tác giả thông cảm.

Sinh viên thực hiện

Thổ Thị Nhớ

1
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp

PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài :
• Đại số-Giải tích-Hình học là những bộ mơn cơ bản cấu thành nên khoa học
Tốn học. Do đó, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa ĐS-GT-HH là một việc
làm rất cần thiết. Hơn nữa, khi hiểu rõ mối quan hệ giữa các bộ mơn này, ta

sẽ có một cái nhìn biện chứng về ngành khoa học Tốn học.
• Ngày nay, giáo dục trên thế giới rất coi trọng việc dạy học liên môn: giữa các
môn học với nhau và giữa các phân môn trong cùng một môn học. Việt Nam
cũng đang dần tiếp cận với xu hướng dạy học này.
• Trong chương trình Tốn ở trường THPT hiện nay, bộ mơn Tốn thường
được chia thành 2 quyển : ĐS-GT và HH. Điều đó về mặt tích cực là giúp
cho HS thấy được cấu trúc của chương trình và tiếp thu kiến thức một cách
có hệ thống nhưng mặt khác lại làm cho các em nghĩ rằng các bộ mơn này là
độc lập lẫn nhau, khơng có mối quan hệ gắn bó với nhau.
• Thực tế cũng đã chứng minh điều đó, hầu như đại đa số các em đều cho rằng
các bộ môn này là riêng lẻ. Ở bộ môn nào các em tiếp thu kiến thức và giải
bài tập theo bộ mơn đó mà khơng nhận ra được mối liên hệ giữa các bộ môn
với nhau, không thấy được ứng dụng của một bộ môn với các bộ mơn cịn
lại. Về phía GV, hầu như họ khơng có trách nhiệm trong việc truyền thụ cho
các em học sinh thấy được mối quan hệ giữa những bộ môn mà các em đang
học là ĐS-GT-HH thông qua việc giảng dạy kiến thức cũng như giải bài tập.
Đối với họ, có thể điều đó là khơng thật cần thiết.
• Đây là một đề tài mà từ trước đến nay rất ít người nghiên cứu và chưa có một
cơng trình nào cụ thể.
Vì những lý do trên đây, tơi quyết định chọn đề tài: Mối quan hệ giữa
ĐS-GT-HH trong SGK Toán ở trường THPT hiện nay. Hy vọng qua nghiên
cứu nhỏ này, chúng ta sẽ thấy được rõ hơn mối quan hệ giữa ba bộ mơn cơ
bản của Tốn học. qua việc phân tích sách với lí thuyết và bài tập , mong có
2
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp
thể giúp bạn đọc nắm rõ hơn về bài dạy cũng như khi học bài liên qan đến
phép tịnh tiến .

II. Định hướng nghiên cứu:
1. Thu hẹp đề tài :
Đây là một đề tài rất rộng vì Tốn học cũng như các bộ mơn ĐS-GT-HH là
rất mn màu mn vẻ. Do đó, trong bài nghiên cứu này, tôi chỉ thu hẹp mối
quan hệ giữa ĐS-HH thể hiện ở phần đồ thị .đó là “ứng dụng của phép tịnh tiến
trong nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số”.
ứng dụng này có thể hiện rõ mối quan hệ giữa ĐS-HH hay không ?các đồ thị
hàm số trên cùng hệ trục toạ độ ln có mối quan hệ với nhau . và bản thân việc
v4 đồ thị cũng có những mối liên quan . nắm được điều này thì việc vẽ đồ thị các
hàm số phức tạp trở nên đơn giản .
2. Mục đích nghiên cứu:
Việc nghiên cứu dừng lại ở các công việc sau đây:
2.1. Trả lời cho các câu hỏi:
Phép tịnh tiến được trình bày như thế nào trong đại số và hình học ?ứng
dụng như thế nào trong nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số ?
Sgk đã thể hiện mối quan hệ ĐS-HH ( ứng dụng phép tịnh tiến) này ra sao
qua hệ thống lí thuyết và bài tập ?
Thể hiện như vậy đầy đủ hay chưa ?
Qua việc trình bày của sgk học sinh có thấy rõ mối quan hệ các phân mơn
tốn học , chính xác hơn là có thấy được ứng dụng của phép tịnh tiến trong
việc nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số không ?.
2.2. Tổng hợp lại các dạng bài toán thể hiện rõ nét mối quan hệ trên trong
hệ thống bài tập của chương trình Tốn phổ thơng nhằm giúp GV và HS thấy
rõ mối quan hệ này.đồng thời mở rộng thêm một số dạng toán khác được giải
nhờ phép tịnh tiến .

III. Phương pháp nghiên cứu:
 Tham khảo và tổng hợp lại một số tài liệu nghiên cứu khái niệm phép
biến hình.

 Phân tích 2 bộ SGK Tốn :
Bộ 1:
* Đại số 10, Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, Trần Văn Hạo chủ biên [M1]
* Hình học 10, Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, Văn Như Cương chủ biên

[M2]
Bộ 2:
* Đại số 10 ban nâng cao , bộ 1, trần văn hạo tổng chủ biên [M3]
*đại số 10, SGK ban cơ bản , bộ 1, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên [M4]
Tham khảo các đề cương bài tập Toán của các trường THPT.

3
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A.SƠ LƯỢC HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM
1.PHÉP BIẾN HÌNH :
Phép tịnh tiến là phép dời hình thuận . phép dời hình là một dạng của
phép biến hình được được nghiên cứu ở trường phổ thơng . do vậy việc đi
nghiên cứu lịch sử phép tịnh tiến sẽ là ngiên cứu lịch sử phép biến hình .
Phần này được viết dựa vào [M8 ]
Euclide là nhà Toán học, Triết học của Hy Lạp, sống vào thế kỉ thứ 3 trước
cơng ngun. Ơng đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của việc xây dựng lý
thuyết hình học theo tư tưởng của phương pháp tiên đề. Tác phẩm tốn học nổi
tiếng của ơng là bộ Cơ sở gồm 13 tập là sự đóng góp xuất sắc cho việc xây dựng
và phát triển hình học. Trong hình học Euclide, đối tượng nghiên cứu là các hình
được xét trong tổng thể với tư cách là một hình dạng. Phép biến hình khơng phải

là đối tượng nghiên cứu, chỉ ngầm ẩn xuất hiện trong tình huống so sánh hai
hình, và cũng chỉ được hiểu theo nghĩa là phép chuyển dời hình từ vị trí này sang
vị trí khác, chưa được xem xét như một tác động lên không gian các điểm.
Cho đến thế kỉ thứ 17, 18, với hàng loạt các cơng trình nghiên cứu của các
nhà tốn học như: Desargues (1591-1661), Pascal (1623-1662), De La Hir
(1640-1718), Newton (1642-1727) …phép biến hình vẫn chỉ xuất hiện như một
cơng cụ ngầm ẩn để chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình này sang
hình kia, được sử dụng để giải một số bài toán. Tuy nhiên, phép biến hình chỉ
được xét trong ngữ cảnh các đường cơnic, và cũng chỉ có duy nhất phép chiếu
được sử dụng. Phép biến hình chưa được xem là đối tượng nghiên cứu.Từ “phép
biến hình” được đưa vào như một thuật ngữ được mơ tả chứ khơng phải như một
đối tượng tốn học.
Cuối thế kỉ 18, phép biến hình đã trở thành đối tượng nghiên cứu của Toán
học. Nghiên cứu một cách hệ thống về đối tượng “phép biến hình” được
Bellavitis (1803-1880) trình bày trong Lý thuyết về các hình của ơng và sau đó
được một số nhà tốn học khác bổ sung thêm. Ở giai đoạn này, quan niệm về
phép biến hình gắn liền với quan niệm xem hình là một tập hợp điểm, mà hình
học giải tích đóng vai trị quan trọng trong việc hình thành quan niệm đó. Có thể
nói phương pháp tọa độ do Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665) phát
minh đã đem lại một sự thay đổi rất quan trọng trong quan niệm về hình, nó cho
4
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp
phép chuyển từ cách nhìn các hình trong tổng thể vào cách nhìn theo từng điểm.
Cụ thể hơn, việc thiết lập mối liên hệ giải tích giữa điểm với toạ độ tất yếu dẫn
đến chỗ phải hiểu hình là một tập hợp điểm. Quan niệm hình như một tập hợp
điểm đã đóng vai trị quan trọng trong lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết
về các phép biến hình.

Đến cuối thế kỉ 19, phép biến hình khơng chỉ được sử dụng như cơng cụ để
dựng hình hay tính chất của hình nữa. Khái niệm nhóm các phép biến hình ra đời
từ vấn đề sắp xếp các tính chất bất biến của các phép biến hình. Chính từ sự phát
triển lý thuyết nhóm trong đại số của Galois (1811-1832), nhà toán học Đức,
Felix Klien (1849-1925) đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm. Ơng đã
phân loại các tính chất hình học theo những phép biến hình bảo tồn tính chất
đó. Với các cơng trình của ơng, mỗi hình học được đặc trưng bởi các bất biến
của một phép biến hình xác định.
Việc hiểu khái niệm “phép biến hình” có thể phân thành 4 cấp độ:
+ Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ về hình dáng giữa hai
hình hoặc giữa hai phần của một hình (đặc trưng hàm hồn tồn vắng mặt).
+ Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát
hơn, từ không gian, lên chính nó, ở đó mặt phẳng và khơng gian được nghiên
cứu với tư cách là các tập hợp điểm.
+ Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một cơng cụ giải tốn hình học.
+ Cấp độ 4: Phép biến hình được xem là phần tử của một nhóm và được
dùng để phân loại các lý thuyết hình học.
Trong việc dạy-học chủ đề phép biến hình ở trường phổ thông, nếu như người ta
không yêu cầu phải đạt đến cấp độ 4 ( mà chỉ mong muốn ngầm tạo nên biểu
tượng về một cấu trúc đại số, làm chỗ dựa để sau này học sinh tiếp cận với toán
học hiện đại ) thì cấp độ 2 lại là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao
thấp thế nào tùy từng thể chế dạy học.

3. SƠ LƯỢC MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC:
Phần này được viết dựa trên [M5,6]
Trong lịch sử , quan hệ giữa Đại số và Hình học trước hết ở chỗ hình học
cho phép giải một số bài tốn đại số mà lời giải khó tịm thấy trong phạm
vi đại số .
Trong giai đoạn đầu hình học đóng vai trị thống trị .mọi bài tốn đại số
khó đều chuyển sang hình học .

Vào thế kỉ XVII, Descartes cho công bố cuốn HÌNH HỌC và tác phẩm
LUẬN VỀ PHƯƠNG PHÁP . Từ tác phẩm này, mơn hình học giải tích –
sự kết hợp giữa hình học và đại số đã ra đời . Ngoài Descartes , Fermat
cũng nghiên cứu và đưa ra cơ sở cho mơn hình học giải tích . Cả hai ơng
đều chung tư tưởng , đó là biểu diễn các quan hệ hình họcbằng những
phương trình đại số thơng qua trung gian là một hệ toạ độ . Nhờ phương
pháp này , mọi bài tốn hình học đều có thể được chuyển thành bài toán
đại số và việc giải bài toán thứ hai thường dễ thực hiện hơn là giải trực
tiếp bài toán ban đầu .
3. khái niệm đồ thị hàm số và tầm quan trọng của nó :[M9]
Khái niệm :
5
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp

Đại số 9 (NXBGD 1980) :
Đồ thị của hàm số y=f(x)là quỹ tích những điểm mà toạ độ (x;y) liên hệ
với nhau trong mặt phẳng toạ độ với mọi x thuộc D.
Đại số 10(NXBGD 2006) :
Đồ thị của hàm số y=f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
M(x;f(x)) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x thuộc D.
Từ các định nghĩa đồ thị ta cũng nhận thấy rằng , đây cũng là một phương
tiện phản ánh trực quan hầu hết các tính chất của hàm số :
Các hàm số ở trường phổ thơng đều liên tục trong miền xác định của nó ,
do đó đồ thị của các hàm số là một đường cong liên tục điều này cho
phép vẽ đồ thị bằng cách vẽ từng điểm và nối các điểm rời rạc bằng một
đường cong liền .
Với nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng , đồ thị được

xem là phương tiện quan trọng để khảo sát hàm số .Từ đồ thị suy ra sự
biến thiên của hàm số ( tăng , giảm , liên tục ,cực đại , cực tiểu …) cách
tiếp cận này phù hợp với đổi mới trong dạy học , giáo viên tổ chức các
hoạt động cho học sinh , qua đó học sinh tự khám phá , rút ra kết luận
khoa học cần thiết . đồ thị trở thành một phương tiện nhận thức .
Và ta cũng biết một điều rằng việc dạy học vẽ đồ thị trước và sau khi học
đạo hàm là khác nhau . Học sinh học tốn ngồi u cầu làm đúng thuật
tốn cịn địi hỏi sự hợp lí , ngắn gọn , tư duy nhạy bén .Do đó đối với đồ
thị thì việc vẽ những đồ thị các hàm số phức tạp được trên cơ sở vẽ đồ thị
hàm số các hàm đơn giản nhờ thực hiện các phép biến đổi đồ thị : tịnh
tiến , đối xứng …
ĐIỂM QUA VIỆC DẠY PHÉP BIẾN HÌNH TRONG TRƯỜNG PHỔ
THƠNG CỦA MỘT SỐ NƯỚC :[M5]
Cộng hồ Pháp :
Kiến thức phép biến hình trong trường phổ thơngcủa cộng hồ pháp từ
những năm 1920. chủ đề phép biến hình được dạy rải rác trong nhiều năm
, phân thành hai giai đoạn trong cả hai giai đoạn việc trình bày khái niệm
từng phép biến hình cụ thể đều gắn liền với những hình học quen thuộc ,
nhưng đích cần đạt là cách hiểu phép biến hình như ánh xạ điểm từ khơng
gian lên nó . các phép biến hìn được ứng dụng nhiều vào việc nghiên
cuu71cac1 hình học quen thuộc cũng như để giải toán .
Nhật Bản :
Liên quan đến chủ đề “phép biến hình ”, chương trình ở trường phổ thơng
nhật bản có cấu trúc : bậc tiểu học ( lớp 1 đến lớp 6 )tập trung vào các
hoạt động hình học như gấp hình , vẽ hình , di chuyển hình , phóng đại
6
Thổ Thị Nhớ


Chun đề phương pháp

hoặc thu nhỏ hình để có những biểu tượng ban đầu về phép dời hình và
phép đồng dạng..phép tịnh tiến phép đối xứng trục , phép đối xứng tâm ,
phép quay được giảng dạy ở lớp 8.
Liên bang Nga
Trong chương trình của trường phổ thơng liên bang nga thì chủ đề phép
biến hình chỉ được giảng dạy ở bậc tiểu học và THCS.

B.Phân tích sách giáo khoa
Ở đây khơng q chú trọng đến việc phân tích cách trình bày khái niệm phép
tịnh tiến ở các Sgk ở phổ thơng mà chủ yếu phân tích để thấy được góc độ thể
hiện mối quan hệ giữa đại số và hình học thể hiện ở phần vẽ đồ thị hàm số và
một số ứng dụng khác như : tìm giá trị (x,y)thoả mãn điều kiện cho trước.
Ta hãy xem qua [M1] :
Thấy rằng bóng dáng của phép tịnh tiến xuất hiện trong chương 2, bài 3 , III
trong phần 1công thức đổi trục toạ độ .
Và được trình bày như sau :
Trong hệ trục toạ dộ Oxy , cho điểm I(x, y).lấy I làm gốc ,
ta dựng hệ trục toạ độ mới IXY sao cho IX song song cùng hướng
và cùng đơn vị với Ox , IY song song cùng hướng
và cùng đơn vị với Oy. Gọi M là một điểm của mặt phẳng ,
điểm M có toạ độ (x;y)trong hệ trục toạ độ Oxy và có toạ độ (X;Y)
trong hệ trục toạ độ IXY
. Ta hãy tìm mối liên hệ giữa các cặp toạ độ (x;y) và (X;Y). ta có :
OM=OI+IM
Chiếu các vecto này lên trục Ox vàOy ta được
 x = x0 + X

 y = y0 + Y
Công thức này được gọi là công thức đổi trục toạ độ .

7
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp

Y

y
y

M

Y

X
y0

I
x0

x

x

Như vậy ở đây tác giả đi lập cơng thức và chỉ ra đó là cơng thức đổi trục toạ độ ,
không hề nhắc đến phép tinh tiến .
Trong phần tiếp theo ;
Nhận dạng đồ thị (C) của hàm số y = ax 2 + bx + c

tác giả đã vận dụng công thức đổi trục toạ độ :chuyển phương trình của đồ thị
(C) trong hệ toạ độ Oxy thành Y = aX 2 trong hệ toạ độ IXY. Với :
b

 x = − 2a + X
∆ 

 b
I  − ; −  , công thức đổi trục là : 
 2a 4a 
y = − ∆ +Y

4a

Tuy nhiên đó chỉ là bài tập dạng tổng qt , sang phần ví dụ ta thấy cơng thức
đổi trục toạ độ không được nhắc đến , không được củng cố cho nên học sinh sẽ
không hiểu , mau chóng qn vì thấy rằng có biết đến cũng khơng dùng làm gì
cả . ở đây ứng dụng của phép tịnh tiến không được sử dụng . Xét rằng ứng dụng
trong việc vẽ đồ thị hàm số là rất quan trọng , nó có tác động rất lớn đến sự phát
triển tư duy toán học cho học sinh .
Theo [M2]:
Phép tịnh tiến được trình bày trong chương 3: các phép dời hình và phép đồng
dạng , bài 3.
Định nghĩa :
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M một điểm M’ sao cho
( v là vecto cố định ) gọi là phép tịnh tiến theo vecto v.
Các tính chất của phép tịnh tiến :
Định lí :
Nếu phép tịnh biến hai điểm bất kì M , N thành 2 điểm M’, N’ thì MN = M’N’.
Nói một cách khác phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách .

8
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp

N

M

v

v
M’

N’

Từ định lí suy ra 2 hệ quả :
Hệ quả 1 : phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự 3 điểm thẳng hàng đó .
Hệ quả 2:
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng
Biến một tia thành một tia
Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng
Biến một góc có số đo bằng nó
Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường trịn thành đường trịn
bằng nó .
Áp dụng ; giải 2 ví dụ .
Bài tập : có 6 bài tập .
Căn cứ vào nội dung trình bày ta thấy rằng phép tịnh tiến trong hình học được

trình bày với nội dung khơng liên quan đến đại số , huống hồ là phần đồ thị . Lí
thuyết và bài tập đơn thuần hình học . Điều này làm cho học sinh thấy giữa các
phân mơn khơng có quan hệ với nhau , đại số hồn tồn độc lập với hình học .
Trong SGK hình học của ban cơ bản và nâng cao thì phép tịnh tiến không được
đề cập .
Trong [M3] :
Trong mục 2. đồ thị trình bày :
Dưới đây ( xem bài đọc thêm ) ta sẽ thấy đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c chính là
đường parabol sau một số phép “dịch chuyển “trên mặt phẳng toạ độ .
Ở đây ta thấy cụm từ “ phép dịch chuyển ” thể hiện một phép biến đổi mà qua
nó một đồ thị mới được xây dựng từ đồ thị đã cho .Ở đây học sinh mờ mờ khái
niệm phép dịch chuyển , khơng hề biết nó như thế nào , tưởng là một phép biến
đổi khác chứ khong nghĩ đó là phép tịnh tiến .
Qua bài đọc thêm : Đường parabol nói rằng :
Trong bài 3 , ta đã khẳng định đồ thị hàm số bậc 2 y = ax 2 + bx + c là một đường
parabol . Dưới đây ta sẽ chứng tỏ điều đó và cho thấy đường parabol này được
suy từ parabol Y = aX 2 như thế nào:
2
1. Đồ thị của hàm số : y = ax + yo
sau khi biến đổi công thức , đưa ra kết luận :

9
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp
Đồ thị của hàm số y = ax + yo nhận được từ đồ thị của hàm số y = ax 2 nhờ
phép tịnh tiến song song với trục tung y0 đơn vị , lên trên nếu yo > 0 , xuống
dưới nếu y0 < 0 .
2

y

x

yo > 0

2. Đồ thị của hàm số y = a ( x + x0 ) :
2

đồ thị của hàm số y = a ( x + x0 ) nhận được từ đồ thị của hàm số y = ax 2 nhờ
2

phép tịnh tiến song song với trục hoành x0 đơn vị , lên trên nếu xo > 0 ,
xuống dưới nếu x0 < 0 .

y

x
xo < 0

3. Đồ thị của hàm số y = ax 2 + bx + c :
Đồ thị của hàm số y = ax 2 + bx + c nhận được từ đồ thị của hàm số y = ax 2
nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành

b
đơn vị , về bên trái nếu
2a

10

Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp
b
b
> 0 , về bên phải nếu
< 0 , sau đó nhờ phép tịnh tiến song song với
2a
2a
∆
∆
∆
trục tung −
đơn vị , lên trên nếu − > 0 , xuống dưới nếu − < 0 .
4a
4a
4a

y

a>0,

b
∆
<0 , −
>0
2a
4a

Ở đây ta thấy có sự khác biệt giữa [M1] với [M3] là : một bên phép tịnh tiến
được trình bày trong 1 mục cụ thể của bài học , dưới dạng công thức đổi trục
toạ độ , một bên được trình bày trong bài đọc thêm nhung có nói rõ là dùng
phép tịnh tiến . Cả hai đều dùng vào việc vẽ đồ thị hàm số từ đồ thị dã được
vẽ từ trước .Tuy nhiên SGK [M3] trình bày rõ hơn qua việc vẽ từng đồ thị .
thế nhưng đó chỉ là bài đọc thêm nên ít được quan tâm , không quan trọng .
và như thế tầm quan trọng của phép tịnh tiến không được sử dụng . Nó trở
thành mờ nhạt khi khơng được củng cố qua bài tập .
Như thế ở đây , một lần nữa mối quan hệ không được thể hiện , và ứng dụng
của phép tịnh tiến không được học sinh khai thác .
Trong [M4]:
Xét chương 2 , bài 1 , mục 4 có trình bày : sơ lược về tịnh tiến đồ thị .
Như vậy tuy trong sgk hình học khơng đề cập tới kiến thức phép tịnh tiến
nhưng ở đây vẫn trình bày , như kiến thức của đại số .:
a. Tịnh tiến 1 điểm : trong mặt phẳng toạ độ xét điểm M . với số k >0 đã
cho ta có thể dịch chuyển điểm M:
Lên trên hoặc xuống dưới( theo phương của trục tung) k đơn vị
Sang trái hoặc sang phải ( theo phương của trục hoành ) k đơn vị .
Khi dịch chuyển M như thế ta còn nói rằng tịnh tiến điểm M song song với
trục toạ độ .
b. Tịnh tiến một dồ thị :
Cho số k>0 . tịnh tiến đồ thị (G) lên trên k đơn vị thì được hình ( G1 ) , hoặc
hình ( G1 ) có được khi tịnh tiến đồ thị (G) lên trên k đơn vị .
Ta lưu ý ở chỗ :
11
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp
Vấn đề là : nếu (G) là đồ thị của hàm số y=f(x) thì ( G1 ) có là một đồ thị của

hàm số khơng ? nếu có thì ( G1 ) là đồ thị của hàm số nào ?
Ở đây xuất hiện nhu cầu , sự cần thiết phải đưa ra phép tịnh tiến .
Ta thấy ở đây có định lí được thừa nhận :
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đồ thị (G)của hàm số y=f(x) ; p, q là hai
số dương tuỳ ý . khi đó :
1. Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số y=f(x) +q;
2. Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số y=f(x) - q;
3. Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số y=f(x+p) ;
4. Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số y=f(x-p);
ví dụ 1:
Nếu tịnh tiến đường thẳng đường thẳng (d):y=2x-1 sang phải 3 đơn vị thì
được đồ thị hàm số nào ?
x

1
1
d1

y
d2

ví dụ 2:
Cho đồ thị (H)của hàm số y=1/x. hỏi muốn có đồ thị hàm số y=(-2x+1)/x thì
ta phải tịnh tiến (H) như thế nào ?
Sang phần hoạt động 8 :
Hãy chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho sau đây :
Khi tịnh tiến parabol sang trái 3 đơn vị , ta được đồ thị hàm số nào ?
( A) : y = (2 x + 3) 2

( B) : y = 2 x 2 + 3

(C ) : y = 2( x − 3)

( D) : y = 2 x 2 − 3

Như đã nói ở trên , phép tịnh tiến khơng cịn trong phạm vi hình học nữa mà
đã thuộc phạm vi đại số . kiến thức được đưa ra , có 2 ví dụ áp dụng , có
thêm hoạt động
Trong bài 2 :Hàm số bậc nhất , xét ví dụ 1:
Đồ thị hàm số y = 2 x + 4 là đường thẳng
qua 2 điểm A ( −2;0 ) và B ( 0; 4 )
Từ đẳng thức 2x+4=2(x+2 )
dễ suy ra rằng đường thẳng có thể thu

B

12
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp
được từ đường thẳng (d): theo một
trong 2 cách sau :
A
Tịnh tiến (d) lên trên 4 đơn vị ;
Tịnh tiến (d) sang trái 2 đơn vị ;
Đây là ví dụ minh hoạ đồ thị hàm số bậc nhất có dùng phép tịnh tiến để vẽ .
Tiếp theo là bài đọc thêm :phép tịnh tiến hệ toạ độ .
Đây là bài nói thêm về phép tịnh tiến , và có nói đến cơng thức đổi trục như

Trong [M1]
.Sang bài 3: Tiếp tục dùng phép tịnh tiến để vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c
( a ≠ 0 ).
ở đây tác giả thực hiện hai phép tịnh tiến liên tiếp :
P

Tịnh tiến( 0 ) sang phải p đơn vị nếu p>0, sang trái nếu p<0, ta được đồ thị
hàm số y = a ( x − p ) . gọi đồ thị này là ( P ).
1
2

tiếp theo , tịnh tiến( P ) lên trên q đơn vị nếu q>0 , xuống dưới q đơn vị nếu
1
q<0 ta được đồ thị hàm số y = a ( x − p ) + q . gọi đồ thị này là . ( P)
Vậy ( P) là đồ thị hàm số .
Ta thấy ở đây được trình bày tương tự như trong bài đọc thêm của sách [M3]
. nhưng lại nằm trong phần bài học , có lý thuyết về phép tịnh tiến nên việc
trình bày như thế này học sinh sẽ dễ hiểu , mạch bài logic ,sau này khi gặp
bài yêu cầu vẽ đồ thị hàm số tương tự ọc sinh sẽ thấy được lợi ích của việc
dùng phép tịnh tiến .
Tiếp theo trong[]và đều có đề cập đến phép tịnh tiến , sử dụng kết quả sau
khi thực hiện các phép tịnh tiến trong việc vẽ đồ thị hàm số để tìm toạ độ và
phương trình trục đối xứng. tiêu biểu như : trong hoạt động 2:
Biết rằng trong phép tịnh tiến thứ nhất,đỉnh 0 của ( P) biến thành đỉnh I1
của( P ) . Từ đó hãy cho biết toạ độ của I1 và phương trình trục đối xứng của
1
( P ).
1
Qua phần bài tập .
Giống như cách trình bày của lí thuyết , phép tịnh tiến được đề cập

xuyên suốt chương 2 , thì tương ứng với mỗi bài học thì bài tập cũng đề
cập đến phép tịnh tiến . Tóm tắt sơ bộ có thể thấy có các dạng bài bài
tập sau :
Tương tự ví dụ 1 trang 43: bài 6 trang 45, bài 16 trang 47 , bài 23 trang
53.
Tương tự ví dụ 2 trang 43: bài 15 Trang 47.
Bài 19:
a) vẽ đồ thị của hai hàm số y = f1 ( x) = 2 x và y = f 2 ( x) = 2 x + 5 trên cùng
một mặt phẳng toạ độ.
b) Cho biết phép tịnh tiến biến đồ thị hàm số f1 thành đồ thị hàm số f 2
Tương tự bài 19 là bài 24 trang 53.
Bài 30:
2

13
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp
Viết mỗi hàm số sau đây thành dạng y = a ( x − p ) + q . từ đó hãy cho biết đồ
thị của nó có thể được suy ra từ đồ thị của hàm số nào nhờ các phép tịnh
tiến song song với các trục toạ độ . hãy mô tả cụ thể phép tịnh tiến đó :
2

a ) y = x 2 − 8 x + 12

b ) y = −3 x 2 − 12 x + 9

Tóm lại ta thấy phép tịnh tiến và ứng dụng trong nhiên cứu vẽ đồ thị hàm số
được thể hiện khá đầy đủ . có rất nhiều bài tập củng cố . qua đó học sinh sẽ

hiểu và thấy được tầm quan trọng của việc ứng dụng phép tịnh tiến trong vẽ
đồ thị . từ đó tư duy toán học , khả năng sáng tạo cho học sinh được nâng
cao .
C. KẾT LUẬN
Qua phân tích 2 bộ sách giáo khoa , ta thấy được rằng việc trình bày phép tịnh
tiến diễn ra ở những mức độ khác nhau . từ đó mức độ thể hiện mối quan hệ giữa
đại số và hình học cũng khác nhau. Trong sách [M1] và [M2] mối quan hệ
không được thể hiện . ở đây hình học và đại số là 2 mơn độc lập , từ đó làm cho
học sinh có sự ngắt quãng trong sự phát triển tư duy sáng tạo giải tốn cho học
sinh.cịn trong [M3] có đề cập đến phép tịnh tiến nhưng lại trong phần đọc
thêm . tuy ứng dụng của phép tịnh tiến được trình bày khá rõ trong bài đọc thêm
này thế nhưng vẫn không đủ , điều này làm suy giảm ứng dụng của phép tịnh
tiến trong nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số .
Trong [M4] mối quan hệ được thể hiện khá rõ , thậm chí phép tịnh tiến khơng
thuộc riêng phạm vi hình học nữa , đã lấn sang phần đại số với mục đích vẽ đồ
thị xét thấy trong [M4] thể hiện đầy đủ nhất ứng dụng phép tịnh tiến trong
nghiên cứu vẽ đồ thị hàm số .tuy nhiên đó chỉ thể hiện ở phần đồ thị , ta đã biết
phép tịnh tiến cịn có những ứng dụng khác mà các sách giáo khoa vẫn không thể
hiện .hy vọng rằng với nghiên cứu nhỏ này sẽ giúp ích được cho bạn nào có cơ
hội đọc được , thấy được điều đã nói ở trên , từ đó có những đổi mới trong cách
học và dạy đem lại hiệu quả cao.
D.MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THỂ HIỆN MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐS-HH
Ở PHẦN ĐỒ THỊ VÀ DẠNG KHÁC:
Đây là các bài tập đơn giản được đưa vào từ sgk và bài tập , được hướng dẫn
giải nhằm làm rõ hơn ứng dụng của phép tịnh tiến trong nghiên cứu vẽ đồ thị
hàm số:
Bài 1:
Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A ( −1;3) , B ( 2; −5 ) , C ( 4; 2 ) hãy tính toạ độ
các điểm có được khi tịnh tiến các điểm đã cho :
a) lên trên 5 đơn vị .

b).xuống dưới 3 đơn vị .
c) sang phải 1 đơn vị .
d) sang trái 4 đơn vị.
Bài 2 :
Hàm số y = 4 x − 3 có đồ thị là đường thẳng (d )
a)Gọi (d1 ) là đường thẳng có được khi tịnh tiến (d ) lên trên 4 đơn vị . hỏi (d1 ) là
đồ thị hàm số nào ?
14
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp
b)Gọi (d 2 ) là đường thẳng có được khi tịnh tiến (d ) sang trái đơn vị . hỏi (d 2 )
là đồ thị hàm số nào ?
BÀI 3:
Gọi (d ) là đường thẳng y = 2 x và (d ' ) là đường thẳng y = 2 x − 3 . ta có thể coi
(d ' ) có được đo tịnh tiến (d ) :
a) lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị ?
b) sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị ?
BÀI 3:
Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng hệ trục toạ độvà nêu nhận xét về quan hệ
giữa chúng :
a) y = x − 2

b) y = x − 3

BÀI 5:
x ≥ 0
y ≥ 0


Tìm số thực x;y thoả mãn hệ 
sao cho z = 2 x + 1, 6 y đạt giá trị lớn
3x + y ≤ 6

x + y ≤ 4


nhất
Bài 6:
Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bpt dưới
đây .hãy xác định (x;y) thuộc S để F đạt GTLN thoả mãn điều kiện cho sẵn với :
F = 2x + 3y
 −2 x + y ≤ −2
x − 2 y ≤ 2

a) 
x + y ≤ 5
x ≤ 0


3 x + y ≥ 9
 2 x + 4 y ≥ 16

b) 
x + 6 y ≥ 2
 x, y ≥ 0


HƯỚNG DẪN
BÀI 1 : Biểu diễn các điểm trên cùng hệ toạ độ thực hiện phép tịnh tiến ta được

kết quả :
BÀI 2:
Biểu diễn đường thẳng trên hệ toạ độ 0xy. Có 2 cách xác định :
Nhìn hình vẽ
Áp dụng định lí Trang 43 trong [M4]
BÀI 3:
Kết quả :
a) lên trên 3 đơn vị.
b) sang phải 3 đơn vị .
bài 4:
Ở đây nếu không vẽ đồ thị hàm số ta cũng nhận ra được nhờ áp dụng định lí
trang 43:
15
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp
Đồ thị hàm số
y = x − 2 và y = x − 3 có mối liên hệ với nhau .

Ta gọi (d1 ) : y = x − 2 , (d 2 ) : y = x − 3 .
Xét đồ thị hàm số (d ) : y = x thì
Khi tịnh tiến (d ) sang phải 2 đơn vị thì được (d1 )
Tịnh tiến (d ) xuống dưới 3 đơn vị thì được (d 2 )
Vậy (d1 ) , (d 2 ) đều thu được nhờ tịnh tiến (d )
Hoặc từ (d1 ) ta tiến hành tịnh tiến sang trái 2 đơn vị thu được (d ) tiếp tục tịnh
tiến xuống dưới 3 đơn vị thu được (d 2 ) .
Vậy mối quan hệ ở đây là (d 2 ) thu được nhờ tịnh tiến (d1 )
BÀI 5:
Ta có bài tốn tổng qt cho bài 5 , 6 ;([M7])

Tìm (x;y) để z = c1 x + c2 y → max(min) thoả hệ ràng buộc
ai1 + ai2 ≤ bi , i = 1, m

Thuật toán :
Bước giải hệ các bất phương trình ai + ai ≤ bi , i = 1, m và biểu diễn miền nghiệm
(D) trên hệ trục toạ độ Oxy.
Bước 2:
Vẽ đường mức (d 0 ) : z = c1 x + c2 y
Bước 3:
Tịnh tiến (d 0 ) thành (d ) : z = c1 x + c2 y = 0 theo hướng tăng z (giảm z tương
ứng với bài toán min )
Bước 4 :
Nếu tồn tại vị trí giới hạn (d * ) sao cho khi được tịnh tiến vượt qua (d * ) và
(d ) ,(D) khơng có điểm chung nào thì những điểm chung của (D) và (d * ) là
những điểm thoả yêu cầu bài toán . nếu khơng thì sang bước 5 . nếu có thì sang
bước 6.
Bước 5:
Khơng có điểm (x;y) nào thoả mãn u cầu bài tốn . ta nói rằng bài tốn
khơng có phương án tối ưu.
Bước 6: kết thúc .
Áp dụng ;
Giải ;
Bước 1: nghệm của hệ được biểu diễn bởi miền (D)trên Oxy.
Bước 2; vẽ (d 0 ) : 2 x + 1, 6 y = 0 .
Bước 3;tịnh tiến (d 0 ) thành (d ) : z = 2 x + 1, 6 y theo hướng tăng z.
Bước 4 : (d ) gặp A ( 1;3) Dduy nhất trước khi rời D nên A ( 1;3) là điểm duy nhất
thoả yêu cầu bài toán.
bước 6:vậy x=1 , y=3 .
1

2

16
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp

y
D
A

O
x
d0

TƯƠNG TỰ ta giải bài 6.

17
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)
Trần Văn Hạo (chủ biên) – Cam Duy Lễ, ĐẠI SỐ 10, Sách chỉnh lí
hợp nhất năm 2000, NXBGD 2000.
.2) Văn Như Cương (chủ biên) – Phan Văn Viện, HÌNH HỌC 10, Sách chỉnh
lí hợp nhất năm 2000, NXBGD 2000.

3) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Vũ Tuấn (Chủ biên), ĐẠI SỐ 10 , SGK
nâng cao , NXBGD 2006.
4) Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên )-Nguyễn Huy Đoan (chủ biên ), ĐẠI SỐ
10, SGK nâng cao , NXBGD 2006.
5) [M5] Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp dạy - học hình học ở trường trung
học phổ thơng, NXB ĐHQG TPHCM 2004.
6) [M6] Lê Thị Hồi Châu , Đổi mới chương trình -nội dung và phương
pháp dạy học toán .(2004-2007)
7) [M7] Nguyễn Văn Vĩnh , Phát triển tư duy cho học sinh qua mơn
tốn (2004-2007).
8) [M8] Tài liệu khoá trước ( tiểu luận của Trần Thị Lụa , Bùi Đức
Tước Hồn).
9) [M9] , Tài liệu học mơn phương pháp giảng dạy 2 – Thầy Nguyễn
Văn Vĩnh.

18
Thổ Thị Nhớ


Chuyên đề phương pháp

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................Trang 1
PHẦN MỞ ĐẦU
Tên đề tài............................................................................................Trang 2
I. Lý do chọn đề tài ...............................................................................Trang 2
II. Định hướng nghiên cứu.....................................................................Trang 3
1. Thu hẹp đề tài ...............................................................................Trang 3
2. Mục đích nghiên cứu .....................................................................Trang 3
III. Phương pháp nghiên cứu....................................................................Trang 3

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
A. Lịch sử hình thành các khái niệm........................................................Trang 4
B. Phân tích sgk
• Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 .............................................Trang 7
• Sách giáo khoa ban CB ...........................................................Trang 9
• Sách giáo khoa ban KHTN ....................................................Trang 11
C. Kết luận..............................................................................................Trang 14
D. Một số kiểu bài tập ............................................................................Trang 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 18

19
Thổ Thị Nhớ