Phân tích và thiết kế kết cấu bằng phần mềm sap

PHÂN TÍCH VÀ THI
Ế
T K
Ế
K
Ế
T C
Ấ
U B
Ằ
NG
PH
Ầ
N M
Ề
M SAP2000 – VERSION 9.X

Bùi Đức Vinh
Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng
Đại Học Bách Khoa Tp HCM



TẬP I: PHẦN CƠ BẢN




VERSION 9.X

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
LỜI MỞ ĐẦU CHO LẦN XUẤT BẢN THỨ HAI

Sau lần xuất bản đầu tiên của hai tập sách « Phân tích và thi
ế
t k
ế
k
ế
t c
ấ
u b
ằ
ng ph
ầ
n m
ề
m
SAP2000 », tác giả đã nhận được rất nhiều câu hỏi, ý kiến đóng góp qua email, thư tín và những
cuộc trao đổi trực tiếp của bạn đọc từ khắp mọi miền đất nước và một số bạn đang học tập tại nước
ngoài. Đặc biệt các câu hỏi của các bạn sinh viên từ khắp các trường đại học kỹ thuật trong cả nước
chiếm một số lượng đáng kể. Trước tiên, cho phép tác giả bày tỏ sự biết ơn của mình đến bạn đọc,
những người đã dành nhiều thời gian và sự quan tâm đến các nội dung của sách. Nhân đây tác giả
cũng gởi lời xin lỗi đến bạn đọc vì trong nhiều thư gởi đến, đã có nhiều vấn đề chưa được trả lời và
được trả lời thoả đáng. Tác giả mong bạn đọc thông cảm bởi vì có nhiều câu hỏi thực sự quá khó và
thời gian dành để trả lời bạn đọc cũng bị chi phối rất nhiều. Những ý kiến đóng góp của bạn đọc đã
giúp tác giả học thêm được rất nhiều điều mới, nó luôn là nguồn động lực cho tác giả cập nhật,
nâng cao chất lượng nội dung và góp phần thúc đẩy sự ra đời các tập tiếp theo của sách. Qua thư
bạn đọc tác giả cũng biết thêm có nhiều bạn sinh viên học viên, cao học đã sử dụng phần mềm

SAP2000 để giải các bài toán phân tích kết cấu trong lĩnh vực xây dựng, cơ khí chế tạo, kết cấu tàu
thuỷ, công trình giao công, công trình thuỷ lợi, kết cấu hàng không

Với sự phát triển liên tục của phần mềm SAP2000, phiên bản mới 9.x với nhiều tính năng vượt
trội trong khả năng tính toán và xử lý đồ hoạ trong khai báo dữ liệu, nó đã đáp ứng tốt hơn rất nhiều
yêu cầu giải các bài toán kỹ thuật phức tạp. Lần xuất bản lần thứ hai của sách « Phân tích và thi
ế
t k
ế

k
ế
t c
ấ
u b
ằ
ng ph
ầ
n m
ề
m SAP2000 » sẽ trình bày các phần chính của phiên bản mới. Cấu trúc của
sách được sắp xếp lại sao cho người đọc có thể hiểu được phần lý thuyết cơ bản, cách thao tác sử
dụng phần mềm và khả năng áp dụng trong các bài toán thực tế kỹ thuật. Các ví dụ và bài tập trong
sách phần lớn được lấy từ các thiết kế kỹ thuật thực tế, tuy nhiên chúng đã được đơn giản hóa và
các số liệu chỉ có tính chất tham khảo.

Cấu trúc của sách được chia làm 3 tập chính như sau:

Tập một: Phần cơ bản, trình bày các điểm chính của lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn,
nguyên lý hoạt động của một phần mềm phần tử hữu hạn nói chung và phần mềm SAP2000 nói

riêng. Các công cụ và phương pháp xây dựng mô hình kết cấu, trình tự thực hiện bài toán phân tích
tĩch của các loại kết cấu như hệ thanh, tấm vỏ, bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi, kết cấu hỗn
hợp được trình bày chi tiết. Cũng trong tập này, các phương pháp kiểm tra, đánh giá và xử lý kết
quả tính toán cũng được đề cập đến.

Tập hai: Phần nâng cao, trọng tâm của tập hai sẽ tập trung vào các bài toán phức tạp như kết cấu
khối, kết cấu chịu tải trọng di động, bài toán bất ổn định tổng thể kết cấu đây là điểm mới và được
ứng dụng rất hiệu quả trong tính toán và thiết kế kết cấu thép. Phần phân tích động lực học bao
gồm: phân tích tần số dao động riêng, phân tích kết cấu chịu tải trọng thay đổi theo thời gian, phân
tích đáp ứng phổ gia tốc, năng lượng. Một số các ví dụ minh họa chi tiết quá trình thực hiện tính toán
các bài toán động lực học, ngoài ra một số bài toán chuyên sâu như đáp ứng của cọc trong đất cũng
Copyright (C) by Bui Duc Vinh
được giới thiệu. Phần thiết kế sẽ có nhiều hiệu chỉnh và bổ sung thêm thiết kế kết cấu nhôm cùng
với kết cấu bê tông và thép đã có.

Tập ba: Các chuyên đề đặc biệt, toàn bộ nội dung sẽ tập trung vào các bài toán kỹ thuật có độ phức
tạp cao, bao gồm bài toán bất ổn định của kết cấu vỏ, bài toán phân tích phi tuyến, phân tích kết cấu
trong giai đoạn thi công, các kỹ thuật xử lý đối với kết cấu có hình dạng phức tạp.

Các ví dụ trong sách được sắp xếp theo độ phức tạp tăng dần với phương châm bạn đọc có
thể tự học, tự làm được và vận dụng tốt trong các trường hợp bất kỳ (trong giới hạn cho phép).

Để sử dụng phần mềm có hiệu quả yêu cầu người đọc phải có kiến thức chuyên môn về Cơ
học kết cấu, Sức bền vật liệu, kỹ năng sử dụng thành thạo máy tính và khả năng nhận xét kết quả
tính toán. Người đọc coi như đã từng biết sử dụng một phần mềm phần tử hữu hạn nào đó.

Tác giả xin bày tỏ lòng cám ơn đến TS. Lê Văn Nam đã viết lời giới thiệu, PGS.TS Chu Quốc
Thắng đã viết chương đầu tiên về phương pháp phần tử hữu hạn cho cuốn sách, PGS.TS Nguyễn Việt
Trung – ĐHGT VT Hà Nội đã có những góp ý định hướng cho chương phân tích kết cấu chịu tải trọng
di động.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên trong khoa KTXD-ĐHBK Tp HCM kiểm tra
các ví dụ mẫu và bài tập. Ngoài ra, tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn đồng nghiệp
đang công tác tại một số công ty tư vấn xây dựng đã cung cấp một số kết cấu thật và đưa ra nhiều
nhận xét giá trị. Tác giả cũng xin gởi lời cám ơn đến các anh chị ở Ban xuất bản giáo trình Trường
Đại Học Bách Khoa Tp HCM đã nhiệt tình giúp đỡ để cuốn sách này đến tay bạn đọc.

Đây là cuốn sách được viết với sự cố gắng và tận tâm cao nhất. Tuy nhiên, với trình độ
chuyên môn, kinh nghiệm và thời gian còn hạn chế. Trong lần xuất bản này nội dung cuốn sách sẽ
còn có những sai sót. Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng của bạn đọc để nội dung của
sách được hoàn chỉnh.

Ý kiến đóng góp xin gởi về
Bùi Đức Vinh
Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng,
Đại Học Kỹ thuật Tp HCM
268 Lý Thường Kiệt, Quận 10 Tp Hồ Chí Minh.

Địa chỉ email cho hỗ trợ trực tuyến các vấn đề liên quan đến nội dung của sách :
email:
Web: www.hcmut.edu.vn/~bdvinh/sap2000.html

Tp HCM, tháng 10 n
ă
m 2004
Tác giả



Copyright (C) by Bui Duc Vinh

TÀI LIỆU THAM KHẢO


[1] Chu Quốc Thắng, Phương pháp phần tử hữu hạn. NXB Khoa học-Kỹ thuật, 1997.
[2] Chu Quốc Thắng, Bùi Đức Vinh, Bùi Văn Chúng, Đỗ Kiến Quốc…, Tự động hoá tính toán kết
cấu hệ thanh-phần mềm BK-XD01. Đề tài NCKH, Đại Học Kỹ Thuật Tp HCM, 1997.
[3] K.J Bathe, E.L Wilson, Numerical Methods in Finite Element Analysis. Prentice-Hall, 1976.
[4] K.J Bathe, Finite Element Procedures. Prentice Hall, 1996.
[5] H. Krisnamoothy, Finite Element Analysis-Theory and Programming. Tata McGraw Hill, 1996.
[6] T.J.R Hughes, The Finite Element Method. Prentice Hall Inc, 1987.
[7] O.C Zeinkiewicz and R. Taylor, The Finite Element Method. Vol. 1,2, 4th Ed., McGraw-Hill,
1991.
[8] E.L Wilson, Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures. Computer and
Structures Inc (CSI), Berkeley California, 1998.
[9] E.L Wilson, Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures. Computer and
Structures Inc (CSI), 3
rd
Edit. Berkeley California, 2002.

[9] SAP2000-Analysis References, Vol. 1&2. CSI, 1998.
[10] SAP2000-A to Z problems, C SI, 1998.
[11] SAP2000-Concrete Design manual, version 7.0. CSI, 1998.
[12] SAP2000-Steel Design Manual Version 7.0. CSI, 1998.
[13] SAP2000-Verification Manual Version 6.1. CSI, 1997.
[14] SAP2000- Getting Started Version 6.1. CSI, 1997.
[15] SAP2000- Web Tutorial 1, 2-Detailed Tutorial Including Pushover Analysis. CSI, 1998.
[16] Vũ Mạnh Hùng, Cơ học và kết cấu công trình. NXB Xây Dựng, 1999.

[17] Đỗ Đức Thắng, Một vài vấn đề cấu tạo và thông số hình học hợp lý của hệ không gian cấu trục
mạng tinh thể áp dụng vào hệ mái nhịp lớn và nhà công nghiệp. Tuyển tập công trình khoa học hội
nghị Cơ học toàn quốc lần VI, Hà nội, 1997.


Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
1
Chương I

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN
TĨNH VÀ ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU

Chu Quốc Thắng, Bùi Đức Vinh

I. Đại cương về phương pháp phần tử hữu hạn
I.1. Phương pháp phần tử hữu hạn và các mô hình phân tích bài toán kết cấu.

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element method – FEM, PP PTHH) là một phương pháp
đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định của nó. PP
PTHH ra đời từ thực tiễn phân tích kết cấu, sau đó được phát triển một cách chặt chẽ và tổng quát
như phương pháp (PP) biến phân hay số dư có trọng số để giải quyết các bài toán vật lý khác nhau.
Tuy nhiên khác với PP biến phân số dư có trọng số cổ điển như Ritz hay Galerkin, PP PTHH không
tìm dạng xấp xỉ của hàm trong toàn miền xác định mà chỉ trong từng miền con (phần tử ) thuộc
miền xác định đó. Do vậy PP PTHH rất thích
hợp với các bài toán vật lý và kỹ thuật nhất
là đối với bài toán kết cấu, trong đó hàm
cần tìm được xác định trên những miền

phức tạp bao gồm nhiều miền nhỏ có tính
chất khác nhau.

Trong PP PTHH miền tính toán được
thay thế bởi một số hữu hạn các miền con
gọi là ph
ầ
n t
ử
û
*
, và các phần tử xem như
chỉ được nối kết với nhau qua một số điểm
xác định trên biên của nó gọi là
đ
i
ể
m nút
(HI-1).



Trong phạm vi mỗi phần tử (miền con V
e
) đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ theo dạng phân
bố xác định nào đó, chẳng hạn đối với bài toán kết cấu đại lượng cần tìm là chuyển vị hay ứng suất
nhưng nó cũng có thể được xấp xỉ hóa bằng một dạng phân bố xác định nào đó. Các hệ số của hàm
xấp xỉ được gọi là các thông s
ố
hay các t

ọ
a
độ
t
ổ
ng quát. Tuy nhiên các thông số này lại được biểu
diễn qua trị số của hàm và có thể cả trị số đạo hàm của nó tại các điểm nút của phần tử. Như vậy
các hệ số của hàm xấp xỉ có ý nghĩa vật lý xác định, do vậy nó rất dễ thỏa mãn điều kiện biên của
bài toán, đây cũng là ưu điểm nổi bật của PP PTHH so với các phương pháp xấp xỉ khác.

Tùy theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ trong bài toán kết cấu người ta chia ra làm ba mô hình sau:

*
Để tiện cho việc trình bày từ đây về sau miền con được thay thế bằng phần tử.
Hình
1
.1. K
ết cấu v
à s
ự rời r
ạc
hoá b
ằng PTHH

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
2

i) Mô hình tương thích biểu diễn dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử, ẩn số là các
chuyển vị và đạo hàm của nó được xác định từ hệ phương trình thành lập trên cơ sở nguyên lý biến
phân Lagrange hoặc định lý dừng của thế năng toàn phần.

ii) Mô hình cân bằng biểu diễn một cách gần đúng dạng gần đúng của ứng suất hoặc nội
lực trong phần tử. Ẩn số là các lực tại nút và được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở
nguyên lý biến phân Castigliano hoặc định lý dừng của năng lượng bù toàn phần.

iii) Mô hình hỗn hợp biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị và ứng suất trong
phần tử. Coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt, các ẩn số được xác định từ hệ
phương trình thành lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner-Helinge.

Trong ba mô hình trên thì mô hình tương tích được sử dụng rộng rãi hơn cả, hai mô hình còn
lại chỉ sử dụng có hiệu quả trong một số bài toán, mô hình này được sẽ trình bày chi tiết để phân tích
và thành lập phương trình tính toán hệ thanh theo PP PTHH.

I.2. Phân tích bài toán tĩnh học kết cấu theo mô hình tương thích

Theo mô hình tương thích, đại lượng cần tìm là hàm chuy
ể
n v
ị
, tuy nhiên như đã nói ở trên
trong PP PTHH thay vì tìm hàm chuyển vị trong toàn miền xác định V của kết cấu, người ta tìm hàm
chuyển vị trong từng miền con V
e
- phần tử. Bởi vậy sau bước rời rạc hóa kết cấu thành một số hữu
hạn E phần tử có hình dạng hình học và số điểm nút thích hợp ta sẽ tìm hàm chuyển vị u
e
trong từng

phần tử.

(,,)
(,,)
(,,)
e
e
uxyz
uvxyz
wxyz


=



(1-1)

Ở bước tiếp theo, vì các hàm chuyển vị là chưa biết nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó, điều
này cho phép ta khả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm
nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản. Vì vậy bước quan trọng đầu tiên cần
nói đến là việc chọn hàm đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử và
đảm bảo tính hội tụ của phương pháp.

Trong phạm vi giới hạn, chương này sẽ giới thiệu hai loại hàm dạng khác nhau: Hàm xấp xỉ
đa thức và hàm xấp xỉ Hyperbolic cho phần tử thanh.

Các hàm xấp xỉ của chuyển vị được xem như một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức (khi
chọn hàm xấp xỉ là đa thức), hoặc một tổ hợp tuyến tính các hàm Hyperbolic dưới dạng ma trận nó
được viết như sau :

ee
a.Fu =
(1-2)
Trong đó : F : Ma trận các đơn thức, hoặc các hàm hyperbolic
a
e
: Vec tơ tham số mà các thành phần của nó là các hệ số của hàm xấp xỉ.

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
3
Các thành phần của vec tơ tham số a
e
cần được xác định duy nhất qua chuyển vị nút của
phần tử, các chuyển vị nút này bao gồm các chuyển vị và đạo hàm của chúng tại các nút của phần
tử. Tập hợp số chuyển vị nút các đạo hàm của chuyển vị của tất cả các nút thuộc phần tử được gọi
là vec tơ chuyển vị nút q
e
.

Số thành phần của vec tơ chuyển vị nút q
e
phải bằng số thành phần của vec tơ tham số a
e
để
đảm bảo việc biểu diễn hàm xấp xỉ theo vec tơ chuyển vị nút q
e

, nói cách khác các hàm xấp xỉ được
nội suy theo vec tơ chuyển vị nút q
e
.

Giả sử phần tử có n điểm nút và tại điểm nút thứ i có tọa độ (x
i
, y
i
, z
i,
i = 1,2, n) ta có các
chuyển vị nút và đạo hàm của nó hợp thành vec tơ q
ie
thì vec tơ q
ie
được xác lập như sau :


)z,y,x(u.Vq
iiieie
=

hay
eiiiie
a)z,y,x.(F.Vq =
(1-3)

Trong đó : V là ma trận các toán tử vi phân
Khi đó vec tơ chuyển vị nút qe sẽ là :

[
]
ee
T
nee21e1e
a.Aq qqq ==
(1-4)

với
















=
)z,y,x(F.V
)z,y,x(F.V

)z,y,x(F.V
)z,y,x(F.V
A
nnn
iii
222
111
e
(1-5)

là một ma trận vuông cấp m
e
không suy biến. Từ (1-4) ta có thể xác định a
e
qua chuyển vị
nút q
e


e
1
e
q.Aa
−
=
(1-6)

Thay (1-6) vào (1-2) ta biểu diễn được hàm xấp xỉ của chuyển vị theo vec tơ chuyển vị nút
phần tử q
e

:

e
1
ee
qA.Fu
−
=

hay
eee
q.Nu =
(1-7)
trong đó
1
ee
A.FN
−
=
(1-8)

Ma trận N
e
phản ánh dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử ứng với các thành phần
chuyển vị nút đơn vị và được gọi là ma trận các hàm dạng. Biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc
phần tử sẽ được biểu diễn qua chuyển vị nút :

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
4

[] []
x
y
z
eee
x
e
y
z
ux
uy
uz
u
uv
v.N.qBq
yx
w
vw
zy
wu
xz
=
∂∂


∂∂
ε




∂∂
ε



∂∂


ε
+

ε===∂∂=

 
∂∂
γ



∂∂



γ
+



∂∂
γ



∂∂

+

∂∂

(1-9)
Trong đó :

[]
ee
x00
0y0
00z
B.N.N
yx0
0zy
z0x
∂∂


∂∂


∂∂

=∂=

∂∂∂∂


∂∂∂∂

∂∂∂∂

(1-10)

Ứng suất của một điểm bất kỳ thuộc phần tử được tìm bằng định luật Hooke và biểu diễn qua
chuyển vị nút :

0e0
.Dq.B.D)(D ε−=ε−ε=σ
(1-11)
Trong đó : D là ma trận các hằng số đàn hồi của vật liệu :






















υ−
υ−
υ−
υ−υυ
υυ−υ
υυυ−
υ−υ+
=
2)21(00000
02)21(0000
002)21(000
0001
0001
0001
)21)(1(
E
D


Với E - Mô đun đàn hồi của vật liệu
ν - Hệ số poisson của vật liệu

ε
o
- vec tơ các biến dạng ban đầu của phần tử trong trường hợp vật thể chịu sự tác dụng biến
thiên của nhiệt độ, với vật liệu đẳng hướng thì :


[
]
T
0
000111Tα=ε


α - hệ số dãn nở nhiệt của vật liệu
T - độ biến thiên nhiệt độ.


Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
5
Thế năng toàn phần của phần tử :


∫∫∫
−−σε=Π
Se
T
e

Ve
T
e
Ve
T
e
pdS.ugdV.udV.
2
1
(1-12)
Trong đó :
{
}
T
zyx
gggg =
vec tơ các lực thể tích (lực khối)

{
}
T
zyx
pppp =
vec tơ lực phân bố (lực mặt)

Sử dụng các công thức trên, ta biểu diễn thế năng toàn phần của phần tử Π
e
theo chuyển vị
nút:

TTTTTTTT
eeee0eeee
VeVeVeSe
1
q.B.D.BqdVq.B.D.dVq.N.gdVq.N.pdS
2
Π=−ε−−
∫∫∫∫
(1-13)

Hay
TTTTTT
eeeee0ee
VVeVeSe
1
qB.D.BqdVqqB.D.dVN.gdVN.pdS
2

Π=−ε++


∫∫∫∫

e
T
eee
T
ee
p.qq.Kq

2
1
−=Π


Trong đó K
e
, P
e
: ma trận độ cứng và vec tơ tải của phần tử


T
e
Ve
KB.D.BdV
=
∫
(1-14)

TTT
e0ee
VeVeSe
PB dVNgdVNpdS
=ε++
∫∫∫
(1-15)

Trong các biểu thức (1-12) và (1-13) ta mới chỉ xét đến các lực mặt và lực khối của một phần
tử, như vậy thế năng toàn phần của hệ bao gồm E phần tử.

E
en
e1
q.P
=
Π=Π−
∑
(1-16)
Trong đó :
{
}
T
N21
q qqq =
là vec tơ chuyển vị nút của toàn hệ

q còn được gọi là vec tơ các thành phần chuyển vị nút của kết cấu, nó là tập hợp N chuyển
vị nút (bậc tự do) của tất cả các nút trong hệ kết cấu.

P
n
là vec tơ tải trọng tập trung đặt tại các nút tác dụng theo phương tương ứng của vec tơ
chuyển vị nút kết cấu q, nó thường được gọi là vec tơ tải trọng nút.

Nhận thấy rằng, để đảm bảo tính tương thích giữa các phần tử thì mỗi bậc tự do của vec tơ
chuyển vị nút q
e
cũng là một thành phần nào đó trong vec tơ chuyển vị nút tổng thể q. Nói cách

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
6
khác các thành phần của qe nằm trong các thành phần của q, và giữa hai vec tơ này tồn tại mối quan
hệ :

.qL q
ee
=
(1-17)

Trong đó : L
e
- ma trận định vị của phần tử, nó cho thấy hình ảnh sắp xếp các thành phần của
q
e
trong q.

Sử dụng (1-17) thế năng toàn phần của hệ được biểu diễn theo vec tơ chuyển vị nút kết cấu
như sau :


EE
TTTT
eeeeen
e=1e=1
1
qL,K.LqqL.P.P

2

Π=−+


∑∑


TT
1
q.K.qq.P
2
Π=−
(1-18)
trong đó :
Ma trận độ cứng tổng thể hay ma trận độ cứng của kết cấu:

E
T
eee
e1
KL.K.L
=
=
∑
(1-19)
Vec tơ tải trọng tổng thể.
E
T
een

e1
PL.PP
=
=+
∑
(1-20)

Quá trình thực hiện (1-19) và (1-20) để xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và vec tơ tải
trọng tổng thể P được qọi là quá trình ghép nối phần tử. Việc sử dụng ma trận định vị L
e
để để tìm K
và P thực chất là sắp xếp các thành phần của các ma trận K
e
và vec tơ P
e
vào các vị trí tương ứng
của chúng trong ma trận K và P. Tuy nhiên trong thực tế chúng ta sử dụng phương pháp đánh số mã
hóa để thực hiện việc ghép nối các phần tử này chứ không dùng ma trận định vị L
e
, khi đó ta có thể
viết một cách quy ước quá trình ghép nối như sau :

1
E
e
e
KK
=
=
∑

; (1-21)

1
E
en
e
PPP
=
=+
∑
(1-22)
trong đó dấu
1
E
e=
∑
không có nghĩa là “phép cộng ma trận” thông thường mà là “phép s
ắ
p x
ế
p
“ các thành phần của các K
e
và P
e
vào vị trí tương ứng trong K và P.

Sử dụng nguyên lý biến phân của chuyển vị (nguyên lý Lagrange ) hay sử dụng thế năng toàn
phần dừng.
“Trong t

ấ
t c
ả
các tr
ườ
ng chuy
ể
n v
ị
có th
ể
có, thì tr
ườ
ng nào t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i tr
ạ
ng thái cân
b
ằ
ng t
ứ
c là có th
ậ
t, s
ẽ

làm cho th
ế
n
ă
ng toàn ph
ầ
n d
ừ
ng” . Nghĩa là :

⇔
=
Π
δ
0
sự cân bằng.
Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
7
Ap dụng với hệ đang khảo sát ta có :


{}
0
q
0 =
∂
Π

∂
⇒=Πδ

Cụ thể hơn :












=
∂
Π∂
=
∂
Π∂
=
∂
Π∂
⇒=Πδ
0
q

0

q
0
q
0
N
2
1


Kết quả nhận được hệ phương trình cân bằng của hệ

K.qP
=
(1-23)
Chú ý rằng các biểu thức tính các ma trận cứng của phần tử và vec tơ tải phần tử (K
e
, P
e
) ở
(1-14) và (1-15) được viết trong hệ tọa độ địa phương (của phần tử).

Trong trường hợp tổng quát khi hệ tọa độ địa phương không trùng với hệ tọa độ tổng thể
(kết cấu) thì trước khi thực hiện “ghép nối” phần tử để xây dựng các ma trận cứng và vec tơ tải
tổng thể cho toàn hệ ta cần thực hiện phép chuyển hệ trục tọa độ địa phương sang hệ trục tọa độ
tổng thể bằng các ma trận chuyển hệ trục của phần tử (transformation matrix). Thông qua ma trận
chuyển vec tơ chuyển vị nút trong hệ tọa phần tử có thể biểu diễn qua vec tơ chuyển vị nút trong hệ
tọa độ tổng thể như sau:

eee
qT.q'

= (1-23a)

Khi đó hệ phương trình cân bằng (1-23) có dạng :
K’.q’ = P’ (1-23b)

Trong đó : q’ - vec tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể (các thành phần của nó lấy theo hệ
tọa độ tổng thể XYZ)
K’ - ma trận cứng tổng thể theo hệ tọa độ tổng thể

E
T
eee
e1
K'T.K.T
=
=
∑
(1-23c)
P’ - vec tơ tải tổng thể
E
T
een
e1
P'T.PP
=
=+
∑
(1-23d)
Tuy nhiên hệ phương trình (1-23) hay (1-23a) chưa thể giải được bởi ma trận hệ số K (hay K’)
bị suy biến, ý nghĩa cơ học của điều này là ở chỗ kết cấu cần có những liên kết nào đó để đảm bảo

hệ bất biến hình và có khả năng chịu lực mà không chuyển động tự do khi nó được xem là một vật
thể rắn tuyệt đối. Bởi vậy, việc áp đặt các điều kiện biên động học là cần thiết trước khi giải hệ
phương trình (1-23) hay (1-23a). Kết quả ta có hệ phương trình sau :

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
8

'P
~
'q
~
'.K
~
=
(1-23e)
Giải hệ phương trình (1-23e) ta được
'q
~
cùng với các chuyển vị đã biết do áp đặt điều kiện
biên ta hoàn toàn xác định được chuyển vị của các nút thuộc phần tử theo hệ tọa độ địa phương,
dùng (1-9) và (1-11) ta có thể xác định được ứng suất và biến dạng trong từng phần tử.

I.3. Phân tích bài toán động lực học kết cấu - dao động tự do

Trong các bài toán động lực học ta có các đại lượng chuyển vị, ứng suất, biến dạng và tải
trọng biến thiên theo thời gian Khi xét đến yếu tố thời gian thì chuyển vị của phần tử là hàm theo
các biến tọa độ điểm và thời gian :

ee
e
u(x,y,z,t)
uu(x,y,z,t)v(x,y,z,t)
w(x,y,z,t)


==



(1-24a)

Cũng như cách phân tích bài toán tĩnh học ở trên, hàm chuyển vị được xấp xỉ theo giá trị của
nó tại các nút và nội suy trong phần tử bằng các hàm dạng như sau :


)t(q).z,y,x(N)t,z,y,x(uu
eeee
==
(1-24b)

Trong đó : N
e
(x,y,z) - ma trận các hàm dạng nói trên
q
e
(t) - vec tơ chuyển vị nút phần tử và được coi là hàm của thời gian t.

Tương tự như trên khi đó, biến dạng và ứng suất của phần tử được biểu diễn theo q
e
là :

e
B.q
ε=

(1-25)

e
D.B.D.q
ε=σ= (1-26)

Ngoài ra, bằng cách đạo hàm theo biến thời gian t, ta cũng có thể tìm được tọa độ chuyển
động :

eeee
d
u(u)N(x,y,z)q(t)
dt
==
&
&
(1-27)
Với :
e
q
&
là vec tơ vận tốc nút phần tử

Sử dụng phương trình Lagrange loại hai trong dạng ma trận toàn kết cấu ta có thể dẫn đến
phương trình động học chuyển động của kết cấu, với chú ý rằng động năng và thế năng của cả hệ
hoàn toàn có thể biểu diễn theo các tọa độ suy rộng - các chuyển vị nút.


{}
dLLR
0
dtqqq

∂∂∂
−+=

∂∂∂

&&
(1-28a)

Trong đó : L = T - Π là hàm thế năng
Π - thế năng toàn phần của hệ
Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
9
R - hàm tiêu tán năng lượng
q và
q
&

và vec tơ chuyển vị nút và vận tốc tổng thể

Đối với một phần tử, động năng, thế năng và hàm tiêu tán có thể được tính như sau :

e
T
eee
V
1
Tu.udV
2
=ρ
∫
&&
(1-28b)

TTT
eee
VeVeSe
1
dVq.g.dVq.p.dS
2
Π=εσ−−
∫∫∫
(1-28c)
Trong đó : V
e
- thể tích phần tử,
ρ - khối lượng riêng của vật liệu

e
u
&
- là vec tơ vận tốc của phần tử.

Nếu xem rằng tồn tại các lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động thì biểu thức hàm tiêu tán của
phần tử được biểu diễn như sau :


T
eee
Ve
1
RuudV
2
=µ
∫
&&
với µ - hệ số cản (1-28d)

Sử dụng các công thức từ (1-24) đến (1-27) ta có thể biểu diễn động năng, thế năng và hàm
tiêu tán đối với phần tử theo vec tơ chuyển vị và tốc độ nút phần tử như sau :


TTT
eeeeeeee
Ve
11
TqN.N.dVqq.M.q
22


=ρ=


∫
&&&&
(1-29)









+−








=Π
∫∫∫
Se
T
e

Ve
T
e
T
ee
Ve
TT
ee
gdS.NgdV.NqqBdV.D.Bq
2
1


TT
eeeee
1
q.K.qq.P
2
=−
(1-30)

e
TTT
eeeeeeee
V
11
RqN.NdVqqC.q
22

=µ=



∫
&&&
(1-31)

Trong đó : M
e
- ma trận khối lượng phần tử

T
eee
Ve
MN.N.dV
=ρ
∫
(1-32)
K
e
- ma trận độ cứng phần tử


T
e
Ve
KB.D.BdV
=
∫
(1-33)
C

e
- ma trận cản của phần tử

T
eee
Ve
CN.N.dV
=µ
∫
(1-34)
P
e
: vec tơ tải phần tử
Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
10


TT
eee
VeSe
PNgdVNpdS
=+
∫∫
(1-35)

Cũng lập luận như khi ghép nối phần tử ở trên với toàn hệ, các đại lượng như động năng, thế
năng toàn phần và hàm tiêu tán năng lượng có thể biểu diễn qua vec tơ chuyển vị vận tốc nút tổng

thể như sau :

EE
TT
ee
e1e1
11
TTqMqq.M.q
22
==

===


∑∑
&&&&
(1-36)

EEE
TT
eeen
e1e1e1
1
qKqqPP
2
===

Π=Π=−+



∑∑∑
(1-37)

P.qq.K.q
2
1
TT
−=Π


EE
TT
ee
e1e1
11
RRqCqq.C.q
22
==

===


∑∑
&&&&
(1-38)
Trong đó :
M - ma trận khối lượng kết cấu (tổng thể )

E
e

e1
MM
=
=
∑
(1-39)
K - ma trận độ cứng kết cấu

E
e
e1
KK
=
=
∑
(1-40)
C - ma trận cản kết cấu

E
e
e1
CC
=
=
∑
(1-41)
P - vec tơ tải trọng kết cấu

E
en

e1
PPP
=
=+
∑
(1-42)
Chú ý : trong các bi
ể
u th
ứ
c trên
1
E
e=
∑
là t
ổ
ng quy
ướ
c nó không ph
ả
i là phép c
ộ
ng ma tr
ậ
n
thông th
ườ
ng mà là phép t
ổ

ng có s
ắ
p x
ế
p khi ghép n
ố
i ph
ầ
n t
ử
nh
ư

đ
ã nói
ở
ph
ầ
n trên.

Bằng cách dựa vào các biểu thức (1-36), (1-37) và (1-38) và phương trình Lagrange (1-28)
chúng ta có được phương trình động lực học của chuyển động của hệ như sau :


)t(P)t(q.K)t(qC)t(qM
=
+
+
&
&

&
(1-43)

Trong đó :
q
&
&
là vec tơ gia tốc nút tổng thể.

Phương trình (1-43) được gọi là phương trình dao động cưỡng bức của kết cấu có kể đến ảnh
hưởng của lực cản.

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
11

Các trường hợp riêng :
- Nếu tải trọng ngoài P(t) = 0 thì (1-43) trở thành


{
}
Mq(t)Cq(t)K.q(t)0
++=
&&&
(1-44)
(1-44) là phương trình dao động tự do có cản của kết cấu.

Dao động tự do có được bằng cách tác động vào kết cấu một lực kích thích nào đó rồi bỏ lực
kích thích, kết cấu sẽ thực hiện dao động tự do một cách tuần hoàn. Chuyển động của dao động này
là một thuộc tính của kết cấu, nó phụ thuộc vào sự phân bố của khối lượng và độ cứng trong toàn
kết cấu. Trong trường hợp có cản biên độ dao động của hệ sẽ giảm dần - dao động tắt dần khi độ
lớn của lực cản không vượt quá một giá trị giới hạn nào đó. Trường hợp ngược lại nếu lực cản lớn kết
cấu nhanh chóng trở lại vị trí cân bằng ban đầu mà không thực hiện một dao động nào ngay sau khi
bỏ lực kích thích.

Nếu xem lực cản bằng không kết cấu sẽ dao động liên tục với biên độ phụ thuộc vào chuyển
vị hay độ lệch ban đầu gây ra bởi lực kích thích. Các đại lượng như tần số riêng, hay dạng dao động
của kết cấu trong dao động tự do là rất quan trọng trong việc nghiên cứu các đáp ứng động lực học
của kết cấu cũng như tránh cộng hưởng xảy ra đối với công trình.

Trong trường hợp không cản phương trình vi phân dao động tự do của hệ có dạng :

{
}
Mq(t)K.q(t)0
+=
&&
(1-45)
Bằng cách xem xét các dao động điều hòa đối với biên độ q và tần số góc ω,
ti
e.q)t(q
ω
=
thì
phương trình vi phân dao động tự do (1-45) dẫn tới bài toán trị riêng có dạng :

(
)
{
}
2
K.M.q0
−ω=
(1-46)
Trong đó : q -biểu diễn biên độ của chuyển vị nút kết cấu khi dao động.
ω - tần số riêng của hệ

Phương trình (1-46) là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nó sẽ có nghiệm không tầm
thường đối với q khi và chỉ khi :


2
det(K- .M)0
ω=
(1-47)

Phương trình đại số bậc N đối với ω
2
có N nghiệm thực dương. Nó là các trị riêng của
phương trình (1-46). Từ đó ta tìm được N tần số riêng ω
i
của hệ (i = 1,2,3 N). Tương ứng với mỗi
tần số riêng ta được vec tơ riêng tương ứng q
i
bằng cách thay giá trị ω
i

vào phương trình (1-46) và
giải q
i
từ đó cho ta dạng dao động (mode shapes) của kết cấu tương ứng với tần số riêng thứ i.

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
12

II. Ứng dụng vào hệ thanh

Từ các bước phân tích, các thủ tục cơ bản và các công thức tổng quát đã trình bày ở phần
trước đây, đối với việc tính toán bài toán cơ học vật rắn biến dạng theo mô hình tương thích của PP
PTHH, chúng ta có thể thấy rằng, để áp dụng đối với hệ thanh vấn đề còn lại là thiết lập và xây
dựng các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec tơ tải trọng của phần tử trong hệ tọa độ địa
phương đối với một phần tử thanh của hệ. Ngoài ra để không mất đi tính tổng quát ta sẽ thiết lập
các ma trận và vec tơ này cho cho phần tử thanh dầm không gian có hoặc không tiếp giáp với nền
đất theo mô hình nền Winkler.

Phần tử thanh dầm không gian là một thanh lăng trụ thẳng có mặt cắt ngang không đổi dọc
theo chiều dài phần tử, các phần tử của hệ được nối kết với nhau bởi hai nút (I và J) ở hai đầu
thanh. Có thể thấy rằng khi hệ chịu lực hai nút này thực hiện các chuyển vị thẳng và xoay độc lập
theo ba phương vuông góc nhau, nếu xét theo hệ trục tọa độ địa phương xyz của phần tử thì có thể
thấy các chuyển vị này như hình (H 2.1). Tập hợp mười hai bậc tự do chuyển vị này là vec tơ chuyển
vị nút q
e
trong hệ tọa độ địa phương.

{
}
121110987654321e
qqqqqqqqqqqqq =


Trong đó: Trục x là trục của phần tử, y,z là trục chính của mặt cắt ngang phần tử.
Và : : q
1
q
6
: lần lượt là các chuyển vị thẳng và xoay quanh các trục x,y,z tương ứng tại nút
I của phần tử.
tương tự : q
7
q
12
lần lượt là các chuyển vị thẳng và xoay quanh các trục x,y,z tương ứng tại nút J
của phần tử.

Dướisự tác dụng của tải trọng ngoài, trong thanh dầm đồng thời tồn tại lực dọc, hai moment
uốn trong hai mặt phẳng chính và moment xoắn.

Có thể thấy rằng trong mười hai thành phần chuyển vị nút độc lập của q
e
thì :

- q
1
và q

7
: chuyển vị dọc trục phần tử của các nút, chỉ gây ra biến dạng dọc trục và liên quan
tới lực dọc Nx trong phần tử.
- q
4
và q
10
: chuyển vị xoay quanh trục x của phần tử, chỉ gây ra biến dạng xoắn của trục và
liên quan tới moment xoắn Mx trong phần tử.
- q
2
và q
8
: (chuyển vị theo phương trục y), q
6
q
12
chuyển vị xoay của các nút trong mặt
phẳng xy, nó chỉ gây ra biến dạng uốn trong mặt phẳng xy và liên quan tới moment uốn Mz trong
mặt phẳng này.
- q
3
và q
9
(chuyển vị thẳng theo phương trục z) và q
5
, q
11
(chuyển vị xoay của các nút trong
mặt phẳng xz) chỉ gây ra biến dạng uốn trong mặt phẳng xz và liên quan tới moment uốn My trong

mặt phẳng này.
Mười hai thành phần chuyển vị này gây ra 4 nhóm biến dạng độc lập nhau. Như vậy ma trận
cứng phần tử có kích thước (12x12) sẽ được thành lập từ bốn ma trận con gồm hai ma trận cấp 2
và hai ma trận cấp 4. Các ma trận con này được xây dựng một cách độc lập nhau bằng cách xét 4
nhóm chuyển vị trên riêng lẻ.
Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
13

II.1 Các chuyển vị dọc trục

Vì chỉ có hai chuyển vị q
1
và q
7
gây ra biến dạng dọc trục nên hàm chuyển vị u(x) của phần tử
được lấy xấp xỉ là một đa thức bậc nhất (H I.3)

12
u(x)aa.x
=+ (2-1)








Theo các bước ở trên, bỏ qua các diễn toán đơn giản, có thể biểu diễn chuyển vị dọc trục theo
các chuyển vị nút q
1
và q
7
như sau :


ea

u(x)N.q
= (2-2)
trong đó :
{
}
T
17
q(a)qq
=
và
a
xx
N(1)
ll

−



vì
( )
x17
u
qql
x
∂
ε==−
∂

Nên áp dụng ta có :

e
B.q
ε= với
a
N
11
B
xll
∂

==−

∂


Hình I.3 Hàm d
ạng bậc nhất

Hình I.
2. Các thành ph
ần chuyển vị

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
14


Trong trường hợp này ta có :

D.
σ=ε

với
x
{}
σ=σ
và D = [E]

Vậy ma trận độ cứng tương ứng với các chuyển vị dọc trục q
a
theo (1.14) là

T
e
Ve
11
EA
KB.D.Bdv
11
l
−

==

−

∫
(2-3)
A - diện tích mặt cắt ngang của phần tử

Sử dụng (1-32) và (2-2) ta có ma trận khối lượng của phần tử M
e
tương thích với các bậc tự
do chuyển vị dọc trục q
e
.

l
TT
eeeee
Ve0
21
.A.l
MNNdvFNNdx
12
6

ρ
=ρ=ρ=


∫∫
(2-4)

II.2. Các chuyển vị xoắn dọc trục

Rõ ràng có thể thấy hai bậc tự do (BTD) chuyển vị xoay quanh trục x q
4
và q

10
gây ra sự xoắn
phần tử, do đó góc xoắn θ(x) của một mặt cắt ngang bất kỳ được lấy xấp xỉ là một đa thức bậc nhất.
(H 2.3)


34
(x)aa.x
φ=+

và có thể nội suy qua các BTD chuyển vị xoắn
xx
(x)N.q
φ=
Trong đó :
{
}
T
104x
qqq =



x
xx
N1
ll


=−





ma trận các hàm dạng bậc nhất

Như trong giáo trình Sức Bền Vật Liệu, với trường hợp thanh tiết diện tròn thì khi bị xoắn trên
mặt cắt ngang chỉ tồn tại biến dạng trượt :


yz
d(x)
r
dx
θ
γ=
với r - khoảng cách từ tâm tiết diện đến điểm khảo sát
Ứng suất tiếp
yzyzyz
E
G.
2(1)
τ=γ=γ
+ν


Nếu sử dụng các công thức ở phần trươc ta có :


B.q(x)

ε=
với
yz
{}
ε=γ








−==
l
r
l
r
dx
dN
rB
x

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
15

Và quan hệ giữa ứng suất và biến dạng có dạng : σ = D.E

với : σ = {τ
xy
} và D = [G]
trong đó : G, υ - Modul đàn hồi trượt và hệ số Poisson của vật liệu.

Cuối cùng sử dụng (1-14) ta có ma trận độ cứng K
x
tương ứng với các bậc tự do chuyển vị
xoắn phần tử :

l
T2
x
Ve0F
1
11
l
KB.D.BdvdxrdF
1
ll
l

−



==−






∫∫∫


x
x
11
GJ
K
11
l
−

=

−

(2-6)
Jx - Moment quán tính xoắn của tiết diện ngang, trong trường hợp thanh có tiết diện
tròn, moment quán tính xoắn bằng với mô ment quán tính độc cực.

Để thiết lập ma trận khối lượng của phần tử, trong trường hợp này ta cần chú ý rằng hàm
chuyển vị đặc trưng cho sự xoắn thanh lúc này là hàm góc xoắn θ(x,t). Do vậy có thể thấy rằng vận
tốc chuyển động của một điểm cách tâm tiết diện khoảng cách r là :


xx
q.N.r)t,x(.r

&
&
=θ
.
Động năng T
e
của phần tử chuyển động xoắn quanh trục x là :

( )
2TT2
exxxx
VeVe
11
T.r.dvqN.N.rdVq
22

=ρθ=ρ


∫∫
&
&&
(2-7)
hay
T
exxx
1
Tq.M.q
2
=

&&

trong đó :
T2
xxx
Ve
MN.N.rdV
=ρ
∫

Với ma trận hàm dạng (2-5) ta có :

l
2T2
x
xxx
0F
21
.l.J
M.NNdxrdF
12
6

ρ
=ρ=


∫∫
(2-8)

Chú ý : Các công thức (2-6) và (2-8) được xây dựng với giả thiết phần tử có tiết diện tròn.
Tuy nhiên trong trường hợp tiết diện là một hình bất kỳ thì ta chỉ cần tính Jx bằng các công thức
thích hợp.

II.3 Các chuyển vị gây uốn trong mặt phẳng xy

Do bốn chuyển vị nút q
2
, q
6
, q
8
và q
12
phần tử bị uốn trong mặt phẳng xy, trục phần tử bị uốn
cong trong mặt phẳng này, hàm độ võng v(x) của các điểm thuộc trục phần tử có thể được
xấp xỉ hóa bằng dạng đa thức bậc 3 (H2.4) như sau :

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
16

23
5678
v(x)aaxaxax
=+++
(2-9)

Trong trường hợp phần tử tiếp giáp với nền đất thì v(x) được xấp xỉ hóa trong dạng các hàm
hyperbolic sẽ được trình bày trong phần sau.

Hàm độ võng (2-9) có thể được nội suy qua các chuyển vị nút gây uốn trong mặt phẳng xy
như sau :

xyxy
v(x)N.q
=
(2-10)
Trong đó :
{ }
T
xy26812
qqqqq=

( ) ( ) ( ) ( )
T
3233223232
xy
3232
2x3lxlx2lxlx2x3lxxlx
N
llll

−+−+−−−

=



là ma trận các hàm dạng tương ứng

Dễ thấy rằng trong trường hợp này các vec tơ biến dạng và ứng suất có dạng :

{ }
2
xxy
2
uv
y.B.q
xx

∂∂


ε=ε==−=

∂∂




{
}
{
}
ε=ε=σ=σ .D.E
xx

với D = [E]

( )
( )
( )
( )
22
3
y
B12x6l6xl4l12x6.l6l.x2l
l

=−−−−+−

(2-11)

Ma trận cứng phần tử tương ứng, theo (1-14) là :


∫∫ ∫
==
F
T
Ve l
T
xy
BdF.BdxEBdv.D.BK


1
1
Hình I
-
4. Các hàm x
ấp xỉ chuyển vị thanh dầm

H
0

x

H
4
(x)

H

1
(x)

H
2
(x)

H
3
(x)

H(x)
=N(x)

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
17

hay
3
2
z
xy
22
12dx
6l4l
EJ
K

126l12l
6l2l6l4l



=

−−

−

(2-12)

trong đó Jz : moment quán tính của tiết diện đối với trục z.

Theo (1-32) ma trận khối lượng phần tử tương ứng nhận được là :

∫
ρ=
l
xy
T
xyxy
dx.F.NNM















−−
ρ
=
22
2
xy
l.4l.22l.3l.13
156l1354
l.4l.22
sym156
420
F.l.
M
(2-13)

II.4. Các chuyển vị uốn trong mặt phẳng xz

Nhóm các chuyển vị nút
{
}
T
11953xz

qqqqq =
gây uốn trong mặt phẳng xz cũng hoàn
toàn tương tự như nhóm qxy gây uốn trong mặt phẳng xy. Do vậy có thể nhận được dễ dàng các
ma trận cứng và khối lượng tương ứng q
xz
:


3
2
y
xz
22
12dx
EJ
6l4l
K
126l12l
6l2l6l4l



=

−−

−


2

xz
22
156dx
22.l4.l
.l.A
M
5413.l156420
13.l3l22.l4.l


ρ

=


−−−

(2-14)

Trong đó Jy : moment quán tính của tiết diện đối với trục y.

II.5 Ma trận độ cứng phần tử thanh dầm không gian

Như đã nói ở trên ma trận độ phần tử được ghép từ các ma trận cứng thành phần tương ứng
với các nhóm chuyển vị nút độc lập vừa thiết lập ở trên, cụ thể đối với phần tử không tiếp giáp đất.

II.6. Ma trận khối lượng phần tử

Cũng tương tụ mục trên, ma trận khối lượng phần tử có kích thước (12x12) tương thích với
các bậc tự do chuyển vị nút của của q

e
được thành lập từ các ma trận M
a
, M
x
, M
xy
, M
xz
, đã có ở mục
trên. Cuối cùng ta nhận được ma trận khối lượng trong hệ tọa độ địa phương là :
Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
18

z
3
y
3
x
yy
3
zz
2
e
zzz
323
yyy

323
xx
yyyy
23
zzz
22
EA
l
12EI
0
l
12EI
00Sym
l
GJ
000
l
6EI4EI
000
ll
6EI4EI
0000
ll
K
EAEA
00000
ll
12EI6EI12EI
00000
lll

12EI6EI12EI
000000
lll
GJGJ
00000000
ll
6EI2EI6EI4EI
0000000
llll
6EI2EI6EI
000000
lll
−
=
−
−−
−
−
−
−
z
4EI
00
l




































x
2
2
e
x
22
22
1
3
13
0
35
13
00Sym
35
J
000
3F
11ll
000
210105
11ll
0000
210105
M.F.l
11
00000
63

913l13
00000
7042035
913l13
000000
7042035
J
000000000
3F
13ll11.ll
0000000
420140210105
13ll11.ll
00000000
420140210105












−
=ρ
−

−
−−−





































Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
19

II.7 Vec tơ tải phần tử

Khi trên chiều dài phần tử có các tải trọng tác dụng thì được quy đổi thành các lực tập trung
đặt tại nút phần tử. Các thành phần lực quy đổi này có phương và chiều dương quy ước cũng tương
tự như các thành phần chuyển vị nút tương ứng trong vec tơ chuyển vị nút phần tử. Các dạng tải
trọng trên phần tử thường gặp trong thực tế là trọng lực hay moment tập trung tại các nút, lực phân
bố đều tam giác hay hình thang Trong trường hợp chung công thức tính vector tải trọng phân bố
trên phần tử như sau :
∫
=
le
T
ee
dl)x(pNP

Với các dạng tải trọng khác nhau ta có vec tơ tải phần tử cho trong bảng (1.1)

Các thành phần hình chiếu theo 3 trục tọa độ địa phương xyz của phần tử là hoàn toàn xác
định (với chiều dương quy ước của chúng theo chiều dương của các trục tọa độ x, y, z)
Nhận thấy rằng các tải trọng thành phần này cũng chỉ gây ra các biến dạng và nội lực độc lập
nhau nên có thể xét một cách riêng biệt. Sử dụng các công thức như ở phần I để xác định vec tơ tải
phần tử P
e
, cũng như các ma trận hàm dạng đã nói ở mục trên, ta có thể dễ dàng nhận được vec tơ
tải trọng trong hệ tọa độ địa phương.

Bảng 1.1 Vector tải một số dạng











( )
2
1
3
Pb
P3ab
L
=−+
;

2
2
2
Pab
P
L
=−

( )
2
3
3
Pa
Pa3b
L
=+
;
2
4
2
Pab
P
L
=

13
ql
PP
2
=−
;
2
24
ql
PP
12
=−−







1
3PL
P
20
=− ;
2
2
Pl
P
30
=−

3
PL
P
20
=− ;
2
4
Pl
P
20
=






13
3
6Mab
PP
l
=−=−
2
2
Mb
P(2ab)
L
=−−
;

4
2
Ma
P(2ba)
L
=−−

l
e

p
1

x

z

y
p
2

p
3

p
3

p
4

a

b

P

l

q

l

q

a

b

M

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
20

III.1. Sử dụng hàm xấp xỉ dạng hyperbolic cho phần tử thanh dầm trên nền đàn hồi.

Trong thực tế các công trình được xây dựng trên các móng đặt trong nền đất, hiện nay việc
tính toán kết cấu thường được giải quyết riêng lẻ với hai phần :

- Kết cấu bên trên liên kết cứng vào phần móng được xem là cứng tuyệt đối;
- Kết cấu bên dưới (móng) đặt trên nền đàn hồi với các mô hình nền khác nhau.

Việc tính toán sự làm việc đồng thời của cả hai phần này cho đến nay vẫn đang được quan
tâm nghiên cứu, đặc biệt đối với móng cọc đài mềm thường gặp ở công trình cảng, móng băng và
móng băng giao nhau trong công trình dân dụng. Các yêu cầu tính toán sự làm việc đồng thời của
kết cấu bên trên và dưới dẫn đến giải quyết bài toán dầm trên nền đàn hồi. Như đã biết, với mô
hình nền Winkler dưới tác dụng của tải trọng dầm bị võng và cường độ phản lực nền tại một điểm tỉ
lệ với độ chuyển vị của dầm tại điểm đó, cụ thể là :








po(x) = k. v(x) (3-1)

Trong đó :
po(x) : cường độ phản lực nền trên 1 đơn vị chiều dài dầm
v(x) : chuyển vị của dầm tại điểm có hoành độ x trên dầm.
k = ko.b với b : bề rộng của dầm và ko : hệ số nền

Khi đó phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi là :


0v.k
dx
vd

EJ
4
4
=+
(3-2)

Phương trình (3-1) đã được giải và nghiệm tổng quát của nó chứa các hàm Krilov. Nhận thấy
rằng lời giải của Krilov có thể được xem như một tổ hợp tuyến tính của tập hợp các hàm hyperbolic
độc lập tuyến tính sau :

{
}
ch(x).cos(x),ch(x).sin(x),sh(x).sin(x),s
h(x).cos(x)
αααααααα
(3-3)
Trong đó :
4
EJ4
k
=α
với J : moment quán tính tiết diện ngang của dầm

Chính vì sẽ đó, đối với các phần tử dầm chịu uốn trên nền đàn hồi, chuyển vị của mọi điểm
theo phương vuông góc với trục phần tử v(x) được chọn bằng hàm xấp xỉ Hyperbolic thay cho hàm
xấp xỉ đa thức :

x
y
po(x)

Copyright (C) by Bui Duc Vinh
Chương I: Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán… Bản nháp I-

Lần cập nhật gần nhất: 13/09/2004
21


11223344
v(x)a.(x)a.(x)a.(x) a.(x)
=ϕ+ϕ+ϕ+ϕ

hay
4
ii
i1
v(x)a.(x)
=
=ϕ
∑
(3-4)
trong đó :

1
(x)ch(x).cos(x)
ϕ=αα
;
2
(x)ch(x).sin(x)
ϕ=αα

3
(x)sh(x).sin(x)
ϕ=αα

4
(x)sh(x).cos(x)
ϕ=αα
(3-5)

Viết dưới dạng ma trận :

v(x)F.a
=
(3-6)
trong đó : F - ma trận các hàm hyperbolics
a - các vec tơ tham số

[
]
1234
F(x)(x)(x)(x)
=ϕϕϕϕ (3-7)
{
}
1234
aaaaa
=

Góc xoay θ(x) của mặt cắt ngang tại mọi điểm thuộc trục dầm được xác định:

e
a.
dx
dF
dx
)x(dv
)x( ==θ


(
)
(
)
(
)
(
)
142213342413
a(x)-(x)a(x)(x)a(x)(x)a(x)(x)
=αϕϕ+αϕ+ϕ+αϕ+ϕ+αϕ+ϕ

(3-8)
Từ điều kiện đồng nhất chuyển vị nút là các giá trị của hàm v(x) và đạo hàm bậc nhất của nó
tại các điểm nút I và J của phần tử ta có :


ee
qA.a

= (3-9)
trong đó : q
e
- vector chuyển vị nút phần tử

{ }
T
e12
e
qv1v2
= (3-10)

{ }
T
e
=v(0)(0)v(l)(l)

Ma trận A :


[ ] [ ] [ ] [ ]
1234
42134213
1000
000
A
(l)(l)(l)(l)
(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)(l)



α

=

ϕϕϕϕ

αϕ−ϕαϕ+ϕαϕ+ϕαϕ−ϕ

(3-9)

Ma trận nghịch đảo của A :

Copyright (C) by Bui Duc Vinh