ĐỀ THI CAO HỌC TOÁN QUY NHƠN 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN

ðỀ CHÍNH THỨC
ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009
NGÀNH: TOÁN HỌC
Môn thi: GIẢI TÍCH
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề.

Câu 1. a) Tính giới hạn
( )
2 2
2 2
0
0
lim
x y
x
y
x y
→
→
+ .
b) Chứng minh rằng hàm số
f
xác ñịnh trên
2
ℝ
cho dưới ñây liên tục nhưng không khả

vi tại
(
)
0,0
:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
khi , 0,0
,
0 khi , 0,0
xy
x y
x y
f x y
x y

≠

+
=


≠



Câu 2. a) Cho dãy số
{

}
n
a
và hàm số
[
]
: 0,1f →
ℝ
xác ñịnh bởi
1 1
1
khi
( )
0 khi 0
n
n n
a x
f x
x
+
< ≤


=


=


Chứng minh rằng nếu tồn tại

(
)
0,1
α
∈
sao cho
n
a
n
α
 
 
 
hội tụ thì
f
khả tích Lebesgue trên
[
]
0,1
. Từ ñó xét tính khả tích Lebesgue của
f
trên
[
]
0,1
trong trường hợp
n
a n
=
.

b) Xét tính khả tích và tính tích phân Lebesgue (nếu có) của
1
( )
1
f x
x
=
−
trên
[
)
0,1
.
Câu 3. a) Giả sử
{
}
n
f
là một dãy các ánh xạ co từ không gian mê-tric ñầy ñủ
X
vào chính nó
hội tụ ñều về ánh xạ
f
trên
X
, và các hệ số co
n
α
của
n

f
thỏa mãn
sup 1
n n
α
<
. Chứng
minh rằng
f
cũng là ánh xạ co.
b) Cho :
f X X
→
là một ánh xạ liên tục từ không gian mê-tric compact
(
)
,
X d
vào
chính nó thỏa mãn ñiều kiện

(
)
(
)
(
)
(
)
{

}
( ), ( ) max , , , ( ) , , ( ) , , , .
d f x f y d x y d x f x d y f y x y X x y
< ∀ ∈ ≠

Chứng minh rằng
f
có duy nhất ñiểm bất ñộng.
Câu 4. Cho không gian vec-tơ
[
]
1
1,1
C −
các hàm số có ñạo hàm liên tục trên
[
]
1,1
−
. Xét ánh xạ
[
]
1
. : 1,1C − →
ℝ
cho bởi
(
)
[ ]
(

)
[
]
1
1,1
: 0 max ' , 1,1 .
t
x x x t x C
∈ −
= + ∀ ∈ −

a) Chứng minh rằng
[
]
(
)
1
1,1 , .
C − là m
ộ
t không gian Banach.

b)
Xét các ánh x
ạ

[
]
1
0

, : 1,1f f C
ε
− →
ℝ
, v
ớ
i
0 1
ε
< <
, cho b
ở
i
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
; ' 0 .
2
f x x x f x x
ε
ε ε
ε
= − − = 
 

i) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

0
,
f f
ε
là các phi
ế
m hàm tuy
ế
n tính liên t
ụ
c trên
[
]
1
1,1
C −
và tính
0
, .
f f
ε

ii) Ch
ứ
ng minh
f
ε
h
ộ
i t

ụ

ñơ
n gi
ả
n nh
ư
ng không h
ộ
i t
ụ
theo chu
ẩ
n v
ề

0
f
khi
0.
ε
→

HẾT
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.