Giáo trình thực tại ảo BKHN Đường cong trong không gian 3D CURVE

Khoa CNTT DHBK Hanoi
1
Đường cong trong không gian
3D CURVE
Khoa CNTT DHBK Hanoi
2
Đường cong - Curve
 Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong không gian
 Điểm biểu diễn Đường cong -curve represents points:
– là phương pháp được sử dụng trong khoa học vật lý và kỹ nghệ nói
chung.
– Các điểm dữ liệu được đo chính xác trên các thực thể sẽ chính đối
tượng cơ sở. Đường cong đi qua các điểm dữ liệu hiển thị hỗ trợ cho
việc nhận ra xu hướng và ý nghĩa cả các điểm dữ liệu.
– Các kỹ thuật phức tạp “vd bình phương sai số” được dùng đưa đường
cong hợp với 1 dạng toán học cơ bản.

 Biểu diễn Điểm và kiểm soát đường cong -Points represent-and
control-the curve.
– đường cong là các đối tượng cơ bản thường là kết quả của tiến trình
thiết kế và các điểm đóng vai trò là công cụ để kiểm soát và và mô hình
hoá đường cong.
– Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric
Design (CAGD).
Khoa CNTT DHBK Hanoi
3
Phân loại
 Trên cơ sở ràng buộc giữa điểm và đường trong cả ứng dụng khoa
học và thiết kế ta co thể phân làm 2 loại:
 Nội suy-Interpolation - đường cong đi qua các điểm, trong ứng
dụng khoa học các yêu cầu về ràng buộc sử dụng đa thức hay các

hàm bậc cao tuy nhiên kết quả thường có những hiệu ứng phụ như
sai số phóng đại hay độ nhấp nhô của đường cong do đa thức bậc
cao tạo nên.
 Trong thiết kế nôi suy là cần thiết với các đối tượng nhưng không
phù hợp với các đối tượng có hình dáng bất kỳ "free form“.
 Xấp xỉ-Approximation - đường cong không cần đi qua các điểm,với
các ứng dụng khoa học ta gọi là trung bình dữ liệu- data averaging
hay trong thiết kế điểu khiển đường cong.

Khoa CNTT DHBK Hanoi
4
Polynomial Parametric Curves
 What degree should we use to represent a
curve?
– We choose the third degree:
 Cubic polynomials
– Higher degrees:
 Require more computation
 Have extra “wiggles”
 Provide more flexibility than is required.
 Are often used to model cars and aeroplanes
Khoa CNTT DHBK Hanoi
5
Tính chất cả đường cong bậc 3
 Tham biến – parametric sử dụng tham biến ngoài để biểu diễn cho
các tham biến trong
 Độ mượt - smooth. Với đường cong Hermite and Bézier tính liên
tục continuity của đường cong hay đạo hàm bậc 1-first derivative tại
các điểm kiểm soát-control point. Với B-splines tính liên tục trên đạo
hàm bậc 2 second derivative hay độ cong được đảm bảo curvature.

 Độ biến đổi -"variation diminishing." đường cong ít bị khuếch đại
sai số bởi các điểm kiểm soát hay tính nhấp nhô của đường cong
hạn chế -oscillate.
 Ví dụ Bézier curve, for instance, lies within the convex hull (polygon
envelope) of the set of control points.
 Điêm kiểm soát cục bộ-local control. đường cong bị ảnh hưởng
mạnh nhất với chính các điểm kiểm soát gần chúng nhất.
Khoa CNTT DHBK Hanoi
6
Đường cong đa thức bậc ba
 Phải đảm bảo là đường cong không gian với 3 trục toạ
độ x, y, z
 tránh được những tính toán phức tạp và những phần
nhấp nhô ngoài ý muốn xuất hiện ở những đường đa
thức bậc cao
 Why cubic?
– lower-degree polynomials give too little flexibility in controlling the
shape of the curve
– higher-degree polynomials can introduce unwanted wiggles and
require more computation
– lowest degree that allows specification of endpoints and their
derivatives
– lowest degree that is not planar in 3D
Khoa CNTT DHBK Hanoi
7
 Kinds of continuity:
– G0: two curve segments join together
– G1: directions of tangents are equal at the joint
– C1: directions and magnitudes of tangents are equal
at the joint

– Cn: directions and magnitudes of n-th derivative are
equal at the joint


Khoa CNTT DHBK Hanoi
8
P0
P1
p2
p3
P0
P'0
P1
P'1
Đường cong bậc 3
 Theo Lagrange:
 x = a
1
+ b
1
u + c
1
u
2
+ d
1
u
3

 y = a

2
+ b
2
u + c
2
u
2
+ d
2
u
3

 z = a
3
+ b
3
u + c
3
u
2
+ d
3
u
3

 3 phương trinh với 12 ẩn số
 Với 3 điểm P0, P1, P2, P3 phương trình xác định

Khoa CNTT DHBK Hanoi
9

Đường cong Hermite
 Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn
Ferguson hay Coons năm 60
 đường bậc ba sẽ xác định bởi hai điểm đầu và cuối cùng với hai góc
nghiêng tại hai điểm đó
 p = p(u) = k
0
+ k
1
u + k
2
u
2
+ k
3
u
3

 p(u) = kiui

in
 p’ = p’(u) = k
1
+ 2k
2
u + 3k
3
u
2

 p
0
và p
1
ta có hai độ dốc p
0
’ và p
1
’ với u = 0 và u = 1 tại hai điểm đầu
cuối của đoạn [0,1].
 k
1
+ 2k
2
+ 3k
3
= p
1
’
 k
0
= p
0
k
1
= p
1
’
 k

2
= 3(p
1
– p
0
) - 2p
0
’ – p
1
’
 k
3
= 2(p
0
-p
1
) + p
0
’ + p
1
’
Khoa CNTT DHBK Hanoi
10

 Thay vào:
 p = p(u) = p
0
(1-3u
2
+2u

3
) + p
1
(3u
2
-2u
3
)
+ p
0
’(u-2u
2
+u
3
) + p
1
’(-u
2
+u
3
)
p = p(u) = [ 1 u u
2
u
3
]



























1
0
1
0
'
'
.
1122

1233
0100
0001
p
p
p
p
Khoa CNTT DHBK Hanoi
11
Khoa CNTT DHBK Hanoi
12
Đường cong Bezier
 Sử dụng điểm và các vector kiểm soát được độ
dốc của đường cong tại nhưng điểm mà nó đi
qua.(Hermit)
 không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác,
không tiếp cận vào các độ dốc của đường cong
bằng các giá trị số (Hermite).
 Paul Bezier, RENAULT, 1970 đường và bề mặt
UNISURF
Khoa CNTT DHBK Hanoi
13
 po, p
3
tương đương với p
0
, p
1
trên đường
Hermite. diểm trung gian p

1
, p
2
được xác định
bằng 1/3 theo độ dài của vector tiếp tuyến tại
điểm po và p
3

 p
0
’ = 3(p
1
– p
0
)
 p
3
’ = 3(p
3
– p
2
)
 p = p(u) = p
0
(1-3u2+2u3) + p
1
(3u2-2u3) + p
0
’(u-
2u

2
+u
3
) + p
1
’(-u
2
+ u
3
)
 p = p(u) = p
0
(1 - 3u + 3u
2
- u
3
) + p
1
(3u-6u
2+
3u
3
)
+ p
2
(3u
2
- 3u
3
) + p

3
u
3

Khoa CNTT DHBK Hanoi
14
p = p(u) = [ 1 u u
2
u
3
]




























3
2
1
0
1331
0363
0033
0001
p
p
p
p
Khoa CNTT DHBK Hanoi
15
Ưu điểm
 dễ dàng kiểm soát hi`nh dạng của đường cong
hơn vector tiếp tuyến tại p
0
’ và p
1
’ của Hermite.
 Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung

gian tuỳ ý( số bậc tuỳ ý)
 đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm
soát, tiếp xúc với cặp hai vector của đầu cuối đó
Khoa CNTT DHBK Hanoi
16
De Casteljau algorithm
Khoa CNTT DHBK Hanoi
17
Biểu thức Bezier-Bernstain
 Tổng quát hoá với n +1 điểm kiểm soát







 p
0
pn : vector vị trí của đa giác n+1 đỉnh

))(()(
)()(
1
0
1,
0
,
ii
n

i
ni
i
n
i
ni
PpuBnup
puBup









ini
ni
uuinCuB

 )1(),()(
,
)!in(!i
!n
)i,n(C


Khoa CNTT DHBK Hanoi
18

Tính chất
 P0 và Pn nằm trên đường cong.
 Đường cong liên tục và có đạo hàm liên tục tất cả các
bậc
 Tiếp tuyến của đường cong tại điểm P0 là đường P0P1
và tại Pn là đường Pn-1Pn .
 Đường cong nằm trong đường bao lồi convex hull của
các điểm kiểm soát.
 This is because each successive Pi(j) is a convex
combination of the points Pi(j-1) and Pi-1(j-1) .
 P1 ,P2 , … ,Pn-1 nằm trên đường cong khi và chỉ khi
đường cong là đoạn thẳng.
Khoa CNTT DHBK Hanoi
19
Review:
Bézier Curve Prop’s [1/6]
 We looked at some properties of Bézier curves.
 Generally “Good” Properties
– Endpoint Interpolation
– Smooth Joining
– Affine Invariance
– Convex-Hull Property
 Generally “Bad” Properties
– Not Interpolating
– No Local Control
Khoa CNTT DHBK Hanoi
20
Đường bậc ba Spline
 Spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là
đường bậc ba độc lập có độ dốc và độ cong liên

tục tại mỗi điểm kiểm soát hay điểm nút
 Với n điểm:n-1 đoạn với mỗi đoạn 4 vector hệ
số 4(n-1) cho n-1 đoạn, và 2(n-1) điều kiện biên
và n-2 điều kiện về độ dốc cùng n-2 về độ cong
 Spline dùng để chỉ phương pháp biểu diễn
đường cong mềm thông qua các đoạn cong tham
biến bậc ba với các điều kiện liên tục tại các điểm
đầu nút
Khoa CNTT DHBK Hanoi
21
Đường cong bậc ba
Spline
 u
0
= 0 với : (u
0
un
-1
) uj
+1
> uj
 ui
+1
= ui + di
+1

 C
0
để không có sự gián đoạn giữa hai đoạn cong.
 C

1
tính liên tục bậc nhất hay đạo hàm bậc nhất tại điểm
nối.
 C
2
đạo hàm bậc hai liên tục của đường cong tại điểm nối
Khoa CNTT DHBK Hanoi
22
 tính liên tục của đạo hàm bậc hai tại các điểm nối có thể dễ
dàng đạt được bằng cách đặt P’’i
-1
(ui
-1
=1) là đạo hàm bậc
hai tại điểm cuối của đoạn (i-1) bằng với P’’i(ui=0) đạo hàm
bậc hai tại điểm đầu của đoạn thứ i.
 P’’i
-1
(1)= P’’i(0)
y P
n-1
’



P
n-1


P

o
’
P
1

x z P
o

p = [ 1 u u
2
u
3
]


























1
0
1
0
1122
1233
0100
0001
'
'
.
p
p
p
p
Khoa CNTT DHBK Hanoi
23
Đường cong B-spline
 Đường cong B-spline là đường cong được sinh
ra từ đa giác kiểm soát mà bậc của nó không phụ
thuộc vào số đỉnh của đa giác kiểm soát.

Khoa CNTT DHBK Hanoi
24
B-Splines:
The Idea [1/2]
 The repeated-lirping idea that produced the Bézier
curves has the drawbacks that is produces polynomials
with high degree that are nonzero almost everywhere.
– Using functions defined in pieces, we can fix these two.
 Start: An order-1 B-Spline has blending functions that are
always either 1 or 0. When a function is 1, all the rest are
zero.
– So an order-1 B-spline is just a sequence of points.
– Any number of control points may be used.
 Now we make higher-order B-splines using a repeated-
lirping procedure.
– But this time, we can use any number of control points.
Khoa CNTT DHBK Hanoi
25
B-Splines:
The Idea [2/2]
 We form an order-2 B-Spline by lirping between the order-1 blending
functions.
– As discussed, we get functions that start at 0, ramp up to 1 and back
down, then stay at zero. Each function is 0 most of the time.
– So each blending function is defined in pieces. Each piece is a
polynomial of degree 1 (graph is a line).
– So an order-2 B-spline is just the control polygon.
– Again, any number of control points may be used.
 We form an order-3 B-Spline by lirping between the order-2 blending
functions.

– Now blending functions are smooth. They start at 0, curve up to 1 then
back down. Again, each function is 0 most of the time.
– Again, each blending function is defined in pieces. Each piece is a
polynomial of degree 2.
 We continue this repeated-lirping procedure to define B-splines of
higher order.
– See the blue book for details and graphs.