phuong trinh THI DH

WWW.VNMATH.COM

1
Chuyên đề:
phơng trình, bất phơng trình vô tỉ, hệ phơng trình
v hệ bất phơng trình
QUA CáC Đề THI ĐạI HọC

Phần I:
Phơng trình vô tỉ

Phơng pháp 1:Phơng pháp giải dạng cơ bản:
1/




fx gx



2
gx 0
fx
g
x

2/






fx
g
xhx Bình phơng hai vế

1-(ĐHQGHN KD-1997)
16x 17 8x 23


2-(ĐH Cảnh sát -1999)
22
x x 11 31


3-(HVNHHCM-1999)
2
x4x22x
4-(ĐH Thơng mại-1999) Giải v biện luận pt:
2
mx3x2x

5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt:
2
xmx22x1
6-(ĐGKTQD-2000)
5x 1 3x 2 x 1 0


7-(ĐHSP 2 HN)

2
xx 1 xx 2 2x
8-(HVHCQ-1999)
x3 2x1 3x2
9-(HVNH-1998)
3x 4 2x 1 x 3



10-(ĐH Ngoại thơng-1999)
22
3xx 2xx 1

Phơng pháp 2: phơng pháp đặt ẩn phụ:

I-Đặt ẩn phụ đa pt về pt theo ần phụ:

Dạng 1
: Pt dạng:
22

ax bx c px qx r trong đó
ab
pq


Cách giải
: Đặt
2
tpxqxr ĐK t0
WWW.VNMATH.COM

2
1-(ĐH Ngoại thơng-2000)

2
x52x 3x 3x
2-(ĐH Ngoại ngữ -1998)

2
x4x1 3x 5x26
3-(ĐH Cần thơ-1999)
2
(x 1)(2 x) 1 2x 2x
4-
22
4x 10x952x 5x3
5-
3
22
18x 18x 5 3 9x 9x 2

6-
22
3x 21x 18 2 x 7x 7 2

Dạng 2
: Pt Dạng: P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0


0



Cách giải
: * Nếu


Px 0



Px 0
pt
Qx 0

* Nếu


Px 0 chia hai vế cho


Px sau đó đặt



Qx
t
Px

t0
1-(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:
4
2
3x1 mx1 2x 1


2-


23

2x 3x 2 3x 8 3-


23
2x 2 5 x 1



Dạng 3
: Pt Dạng :








22
Px Qx Px Qx
2Px.Qx 0 0



Cách giải
: Đặt

2
tPx Qx tPxQx2Px.Qx
1-(ĐHQGHN-2000)
2
2
1xxx1x
3


2-(HVKTQS-1999)
2
3x2 x14x923x 5x2
3-(Bộ quốc phòng-2002)
2
2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16


4-
2
4x 3 2x 1 6x 8x 10x 3 16

5-(CĐSPHN-2001)
2
x2 x2 2x 42x2

WWW.VNMATH.COM

3

Dạng 4
: Pt Dạng:




a cx b cx d a cx b cx n
Trong đó
a,b,c, d,n l các hằng số ,c0,d0
Cách giải
: Đặt


tacxbcx(abt2ab
1-(ĐH Mỏ-2001)
22
x4x23x4x
2-

3x 6x 3x6x 3
3-(ĐHSP Vinh-2000) Cho pt:


x1 3x x13x m

a/ Giải pt khi
m2 b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm
4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt 1 x 8 x (1 x)(8 x) a
a/Gpt khi
a3
b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm
5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các gt của m để pt có nghiệm

x 1 3 x (x 1)(3 x) m
6-(ĐH Ngoại ngữ-2001)
x1 4x (x1)(4x) 5

Dạng 5
: Pt dạng:
22
xa b2axb xa b2axb cxm
Trong đó
a,b, c,m
l hằng số a0


Cách giải
: Đặt txb ĐK: t0 đa pt về dạng:

2
ta ta c(t b)m
1-(ĐHSP Vinh-2000)
x12x2 x12x2 1
2-(HV BCVT-2000)
x2x1 x2x1 2
3-(ĐHCĐ KD-2005)
2x22x1 x1 4
4-(ĐH Thuỷ sản -2001)
x5
x22x1 x22x1
2



5-
x3
x2x1 x2x1
2


WWW.VNMATH.COM

4
6- XÐt pt:
xm
x6x9 x6x9
6



a/ Gi¶i pt khi
m23
b/ T×m c¸c gt cña m ®Ó pt cã nghiÖm

II-Sö dông Èn phô ®−a pt vÒ Èn phô ®ã ,cßn Èn ban ®Çu coi lμ tham sè
:
1-

22
6x 10x 5 4x 1 6 x 6x 5 0 
2-(§H D−îc-1999)

22
x310x x x12
3-(§H D−îc-1997)

22
21 x x 2x 1 x 2x 1
4-

22
4x 1 x 1 2x 2x 1 5-

22
21 x x x 1 x 3x 1

  
6-(§HQG-HVNH KA-2001)
22
x3x1(x3)x1


  


III-Sö dông Èn phô ®−a vÒ hÖ pt:

D¹ng 1
: Pt D¹ng:
n
n
xabbxa 
C¸ch gi¶i: §Æt
n
ybxa khi ®ã ta cã hÖ:
n
n
xb
y
a0
y
bx a 0










1-(§HXD-DH HuÕ-1998)
2
x1 x1



2-
2
xx55
3-
2
x 2002 2002x 2001 2001 0



4- (§H D−îc-1996)
33
x122x1 

D¹ng 2
: Pt D¹ng:


2
ax b r u x v dx e    trong ®ã a,u,r 0
Vμ
uard,vbre 

C¸ch gi¶i

: §Æt uy v ax b  khi ®ã ta cã hÖ:


2
2
u
y
vruxv dxe
ax b uy v





 



1-(§HC§ KD-2006)
2
2x 1 x 3x 1 0  
2-
2
2x 15 32x 32x 20   3-
2
3x 1 4x 13x 5

  
4-
2

x5 x 4x3   5-
2
x2x2



6-
2
x1 3xx

WWW.VNMATH.COM

5


D¹ng 3
: PT D¹ng:




nm
afx bfx c
C¸ch gi¶i: §Æt




nm
uafx,vbfx  khi ®ã ta cã hÖ:

nm
uvc
uv ab






1-(§HTCKT-2000)
3
2x1 x1 
2-
33
x34 x31  3-
3
x2 x13



4-
4
4
97 x x 5  5-
4
4
18 x x 1 3



Ph−¬ng ph¸p 3: Nh©n l−îng liªn hîp:

D¹ng 1
: Pt D¹ng:




fx a fx b 
C¸ch gi¶i
: Nh©n l−îng liªn hîp cña vÕ tr¸i khi ®ã ta cã hÖ:
 
 
fx a fx b
fx a fx ab

 







1-
22
4x 5x 1 4x 5x 7 3  2-
22
3x 5x 1 3x 5x 7 2


   
3- 3- (§H Ngo¹i th−¬ng-1999 )
22
3xx 2xx 1


4-(§H Th−¬ng m¹i-1998)
22
x3x3 x3x63

  
5-(HVKTQS-2001)
11
1
x4 x2 x2 x



 

D¹ng 2
: Pt D¹ng:











fx
g
xmfx
g
x 
1-(HVBCVT-2001)
x3
4x 1 3x 2
5

  
2-(HVKTQS-2001)
3(2 x 2) 2x x 6

  

Ph−¬ng ph¸p 4:Ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸:

1-
2
x2 4x x 6x11     2-
222
xx1xx1xx2

    
3-(§HQGHN-Ng©n hμng KD-2000)
2

4x 1 4x 1 1


4-(§H N«ng nghiÖp-1999)
2
x2x5 x12

 
WWW.VNMATH.COM

6


Ph−¬ng ph¸p 5:Ph−¬ng ph¸p ®k cÇn vμ ®ñ:

1-T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm duy nhÊt:
x2xm


2- T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm duy nhÊt
x5 9x m


3- T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm duy nhÊt
44
x1xx1xm

  

Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸p hμm sè (Sö dông ®¹o hμm)

1-(§HC§ KB-2004) - T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm :



22 422
m 1x 1x 2 21x 1x 1x 
2- - T×m m ®Ó c¸c pt sau cã nghiÖm :
1*/
2
4x mxm2  2*/ x1 x1 5x 183x 2m1

 
3 (§HC§ KA-2007) T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm:

4
2
3x1 mx1 2x 1

 
4-(§HC§KB-2007) CMR
m0
pt sau cã 2nghiÖm pb:
2
x2x8 m(x2)

 
5- 1*/
xx5x7x1614

2*/
3
x1 x 4x5   3*/
2
2x 1 x 3 4 x



6-(HVAn ninh KA-1997)T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm:
22
x2x4 x2x4m

  


WWW.VNMATH.COM

7
Phần II: BấT Phơng trình vô tỉ
Phơng pháp 1: Phơng pháp giải dạng cơ bản:


1/
2
g(x ) 0
f(x) 0
f(x) g(x)
g(x ) 0
f(x)
g

(x)


















2/
2
g(x ) 0
f(x) g(x) f(x) 0
f(x)
g
(x)

3/
f(x)
g
(x) h(x) Bình phơng hai vế bpt
1-(ĐHQG-1997)
2
x6x582x

2-(ĐHTCKT Tphcm-1999)
2x 1 8 x


3-(ĐH Luật 1998)
2
x2x 11x


4-(ĐH Mỏ-2000)
(x 1)(4 x) x 2



5-(ĐH Ngoại ngữ)
x5 x4 x3

6-(ĐHCĐKA-2005)
5x 1 x 1 2x 4


7-(ĐH Ngoai thơng-2000)
x3 2x8 7x



8-(ĐH Thuỷ lợi -2000)
x2 3x 52x


9-(ĐH An ninh -1999)
5x 1 4x 1 3 x
10-(ĐHBK -1999)
x1 3 x4


11-(ĐHCĐ KA-2004)
2
2(x 16)
7x
x3
x3 x3

Phơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng

1/
f(x) 0
f(x)
0
g
(x) 0
g(x )






hoặc
f(x) 0
g
(x) 0






2/
f(x) 0

f(x)
0
g
(x) 0
g(x )






hoặc
f(x) 0
g
(x) 0






WWW.VNMATH.COM

8
Lu ý: 1*/
2
B0
A
1
B

AB






2*/
B0
A
1
A0
B






hay
2
B0
A0
AB

1-(ĐHTCKT-1998)
2
51 2x x
1
1x



2-(ĐHXD)
2
3x x 4 2
2
x




3-(ĐH Ngoại ngữ -1998)
2
114x
3
x


4-(ĐHSP)
2x4x3
2

x




Phơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp:

1-(ĐHSP Vinh-2001)

2
2
x
x4
11x


2-(ĐH Mỏ-1999)

2
2x
x21
392x2





3-
22
4(x 1) (2x 10)(1 3 2x)

Phơng pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế
:
1-(ĐH An ninh -1998)
22 2
x x 2 x 2x 3 x 4x 5


2-(ĐHBK-2000)
22 2
x3x2 x6x5 2x9x7


3-(ĐH Dợc -2000)
22 2
x8x15 x2x15 4x18x18


4-(ĐH Kiến trúc -2001)
22
x4x3 2x3x1x1


Phơng pháp 4: Đặt ẩn phụ:

1-(ĐH Văn hoá)
22
5x 10 x 1 7 x 2 x

2-(ĐH Dân lập phơng đông -2000)
22
2x 4x 3 3 2x x 1


3-(HV Quan hệ qt-2000)
2
(x 1)(x 4) 5 x 5x 28


4-(ĐH Y-2001)
22
2x x 5x 6 10x 15


5-(HVNH HCM-1999)
22
x(x 4) x 4x (x 2) 2


6-ĐH Thái nguyên -2000)
31
3x 2x 7
2x
2x


WWW.VNMATH.COM

9

7-(ĐH Thuỷ lợi)
21
4x 2x 2
2x
x


8-(HV Ngân hng 1999)
x2x1 x2x132
9- Cho bpt:
2
4(4 x)(2 x) x 2x a18
a/ Giải bpt khi
a6

b/Tìm a để bpt nghiệm đúng


x2;4


10-Xác định
m để bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra :

2
(4 x)(6 x) x 2 x m trên


4;6

Phơng pháp 5: Phơng pháp hm số:

1-(ĐH An ninh-2000)
2
7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x

2-
2
xx72x7x352x
3-
2
x2 x52x 7x1052x
4- Xác định
m để bpt sau có nghiệm: a/
4x 2 16 4x m



b/
2
2x 1 m x




WWW.VNMATH.COM

10

Phần III: Hệ Phơng trình
A- một số hệ pt bậc hai cơ bản
I-hệ pt đối xứng loại 1
1*/ Định nghĩa
:
f(x;
y
)0
g
(x;
y
)0





Trong đó f(x;
y
)f(
y
;x),
g
(x;
y
)
g
(
y
;x)

2*/ Cách giải
: Đặt Sx
y
,P x
y
ĐK:
2
S4P
Dạng 1: Giải phơng trình

1-(ĐHQG-2000)
22
xyxy11
x
y
3(x
y
)28





2-
x
yy
x30
xx

yy
35










3-(ĐHGTVT-2000)
22
x
y
x
y
11
x
yy
x30





4-(ĐHSP-2000)
22
4422

x
y
x
y
7
x
y
x
y
21









5- (ĐH Ngoại thơng-1997)
22
22
11
xy 5
xy
11
x
y
9
xy

6-(ĐH Ngoại thơng -1998)
22
4224
xy5
xx
yy
13







7-(ĐHCĐKA-2006)
x
y
x

y
3
x1
y
14










Dạng 2: Tìm ĐK để hệ có nghiệm:

1-(ĐHCĐKD-2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm:
xy1
xx
yy
13m

2- Tìm a để hệ sau có nghiệm:
22
x
y
x
y
a
x
y
a







3-Cho hệ pt:
22
x
y
x
y
8
x
y
(x 1)(
y
1) m

a/ Giải hệ khi
m12 b/ Tìm m để hệ có nghiệm
WWW.VNMATH.COM

11
4-Cho hÖ pt:
22
xx
yy
m1
xy yx m







a/ Gi¶i hÖ khi m=-2
b/ T×m
m ®Ó hÖ cã Ýt nhÊt mét nghiÖm


x;
y

tho¶ m·n x0,y0
5- T×m m ®Ó hÖ cã ®óng hai nghiÖm:

22
2
x
y
2(1 m)
xy 4









6-(§HC§KD-2007) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:
33
33
11
xy5
xy
11
x
y
15m 10
xy








  



D¹ng 3: T×m §K ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.

1-(HHVKTQS-2000) T×m
m®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt
22
x
y
x
y
m2
x
yy
xm1







2-(§HQGHN-1999) T×m
m®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt:
2
xx
yy
2m 1
x
y
(x
y
)m m

 






3- T×m
m®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt:
22
x
yy
x2(m1)
2x
y
x
y
2(m 2)


 


 


D¹ng 4: HÖ pt ®èi xøng ba Èn sè :

NÕu ba sè
x,
y
,z tho¶ m·n
x y z p,xy yz zx q,xyz r    
th× chóng lμ
nghiÖm cña pt:
32
tptqtr0
1-Gi¶i c¸c hÖ pt sau :
a/
333
xyz1
x
yy
zzx 4
x
y
z1









b/
222
333
x
y
z1
x
y
z1
x
y
z1











c/

xyz9
x
yy
zzx 27
111
1
xyz














WWW.VNMATH.COM

12
2- Cho hệ pt:
222
x
y
z8
x

yy
zzx 4





Giả sử hệ có nghiệm duy nhất
CMR:
88
x,y,z
33



II-Hệ phơng trình đối xứng loại 2


1*/ Định nghĩa
f(x;
y
)0
g
(x;
y
)0

trong đó :f(x;
y
)
g
(
y
;x),f(
y
;x)
g
(x;
y
)


2*/ Cách giải
: Hệ pt
f(x;
y
)
g
(x;
y
)0 (x
y
)h (x;
y
)0
f(x;y) 0 f(x;y) 0

x
y
0
f(x;
y
)0






hay
h(x;
y
)0
f(x;
y
)0

Dạng 1: Giải phơng trình:

1-(ĐHQGHN-1997)
y
x3
y
4
x
x
y
3x 4
y









2-(ĐHQGHN-1998)
3
3
x3x8
y

y
3
y
8x








3-(ĐHQGHN-1999)
13
2x
y
x
13
2y
x
y

4-(ĐH Thái nguyên-2001)
3
3
x12
y
y
12x








5-(ĐH Văn hoá-2001)
x1 7
y
4
y
17x4







6-(ĐH Huế-1997)
2

2
8
7x
y
0
x
8
7
y
x0
y










Dạng 2:Tìm đk để hệ có nghiệm:

1-(ĐHSP Tphcm-2001) Tìm
m để hệ có nghiệm:
x1
y
2m
y
1x2 m

WWW.VNMATH.COM

13
2- Tìm m để hệ có nghiệm:
2x
y
3m
2
y
x3 m








Dạng 3: Tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất

1-(ĐHSP-Tphcm-2001) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2
2
x1
y
a
(
y
1) x a










2- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
2
x
y
xm(
y
1)
x
yy
m( x 1)

3- Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
2
x
y
ax
y
1
y
xax
y
1

III - Hệ phơng trình đẳng cấp:

*/ Hệ pt đợc gọi l đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng
22
ax bx
y
c
y
d


*/ Cách giải: Đặt
xt
y

*/ Lu ý: Nếu
(a;b) l nghiệm của hệ thì (b;a ) cũng l nghiệm của pt.
Dạng 1: Giải phơng trình:

1-(ĐHPĐ-2000)
22
22
2x 3x
yy
12
xx
y
3
y

11







2-(ĐHSP Tphcm-2000)
22
22
x2x
y
3
y
9
2x 2x
yy
2








3-(ĐH Mỏ-1998)
22
33

x
y
x
y
30
x
y
35








Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm, có nghiệm duy nhất

1-(ĐHQG HCM-1998) Tìm
m để hệ sau có nghiệm :
22
22
3x 2xy y 11
x2x
y
3
y
17 m

2-(ĐHAnninh2000)Tìm ađể hệ có nghiệm:
22
22432
x2xy3y8
2x 4x
y
5
y
a 4a 4a 12 105








3-Tìm
mđể hệ sau có nghệm diuy nhất:
222
222
xmx
yy

m3m2
x2x
y
m
y
m4m3










B- Một số phơng pháp giải hệ pt :

WWW.VNMATH.COM

14
Phơng pháp 1:Phơng pháp thế:

1-(ĐHSP Quy nhơn -1999) Cho hệ pt:
22 2
xym1
x
yy
x2m m3

1/ Giải hệ khi
m3
2/Tìm
m để hệ trên có nghiệm
2-(ĐHCĐKB-2002)
3
x
y
x
y
x
y
x
y
2







3-(HVQY-2001)

22 22
xy xy2
x
y
x
y
4








4-(ĐH Huế-1997) Tìm
k để hệ sau có nghiệm:
22
x
y
1
x
y
k

5-(ĐH Thơng mại-2000) Cho hệ pt:
22
xmym
x
y
x0








a. GiảI hệ khi
m1 b. Biện luận số nghiệm của pt
c.Khi hệ có hai nghiệm phân biệt
11 2 2
(x ;
y
);(x ;
y
) tìm m để :

22
21 21
A(x x) (y y)
đạt giá tri lớn nhất
6-(SP TPHCM-1999) Tìm

m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt:
33
xy1
x
y
m( x
y
)







Phơng pháp 2: phơng pháp biến đổi tơng đơng:

1-(ĐHGTVT TPHCM-1999)
22
xy 3x 2y 16
x
y
2x 4
y
33

HD:nhân pt đầu với 2 vcộng với pt sau
2-(ĐHThơng mại-1997)
xx
yy
1
yy
zz4
zzxx9








3-(ĐHBKHN-1995)
222
2
xyz7
x
y
z21
xz y

4-(ĐHSPHN-2000)
22
22 2
y
x
y
6x
1x
y
5x







HD:chia cả hai vế của2pt cho
2
x
Phơng pháp 3: Phơng pháp đặt ẩn phụ:

WWW.VNMATH.COM

15
1-(§H Ngo¹i ng÷-1999)
x16
xy
y
3
y
9
xy
x2









2-(§H C«ng ®oμn-2000)
23
2
xx
() () 12
yy
(x
y
)x
y
6









3-(§H Hμng h¶i-1999)
xy7
1
yx
x
y
xx
yy
x
y
78

 





(x 0,y 0)
4-(§H Thuû s¶n-2000)
x1 y13
x

y
1
y
x1
y
1x16

 


   



WWW.VNMATH.COM

16
Phần:IV Hệ Bất Phơng trình
A- Hệ bpt một ẩn số:
Cho hệ:


1
2
fx 0(1)
f(x) 0(2)

(I) Gọi
12
S,SLần lợt l tập nghiệm của (1)&(2)
S l tập nghiệm của (I)
12
SS S
Tìm
m để hệ sau có nghiệm:
1-(HVQH Quốc tế-1997)
2
2
x(m2)x2m0
x(m7)x7m0








2-(ĐH Thơng mại-1997)
2
22
x2x1m0
x(2m1)xmm0

3-
2
2
x(m2)x2m0
x(m3)x3m0








4-(ĐH Thuỷ lợi-1998)
2
x2mx0
x1m 2m








5-(ĐH Thơng mại-1998)

2
32
x3x40
x3xxm15m0









Tìm
m để hệ sau vô nghiệm:
1-
2
2
x10
(m x )( x m) 0







2-
2
22

x6x50
x 2(m1)xm 10








3-
2
2
x7x80
mx 1 3 (3m 2)x









Tìm
m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
1-
2
2
x3x20

x6xm(6m)0







2-
2
2
x2xa0
x4x6a0










3-
22
42
x(2m1)xmm20
x5x40

B- Hệ bpt hai ẩn số:

Tìm a để hệ sau có nghiệm:
WWW.VNMATH.COM

17
1-(§HGTVT-2001)
xy2
x
y
2x(
y
1) a 2




 


2-
22
x
y

2x 2
xya0

 





3-
22
4x 3
y
20
xya






T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:
1-
22
x
y
2x 1
x
y
a0


 



2-
x
y
2x
y
m1
xy1







