phuong trinh luong giac thi dh cuc hot

Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:

sin cos
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
∗ = ∗ =
Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
Góc
GTLG
0
0
(0)
30
0
(
6
π
)
45
0
(
4
π
)
60
0

(
3
π
)
90
0
(
2
π
)
Sin
0
1
2
2
2
3
2
1
Cos
1
3
2
2
2
1
2
0
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
( )

( )
+ α + α = ∀α∈
π
 
+ α α = ∀α ≠ ∈
 ÷
 
π
 
+ = + α ∀α ≠ + π ∈
 ÷
α
 
+ = + α ∀α ≠ π ∈
α
2 2
2
2
2
2
sin cos 1 R
tan .cot 1 k ,k Z
2
1
1 tan k ,k Z
cos 2
1
1 cotg k ,k Z
sin
Hệ quả:

• sin
2
x = 1-cos
2
x ; cos
2
x = 1- sin
2
x
• tanx=
1
cot x
;
1
cot
tan
x
x
=
• Sin
4
x + cos
4
x = 1 - 2sin
2
x.cos
2
x
• Sin
6

x + cos
6
x = 1 - 3sin
2
x.cos
2
x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π”
D/. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng:
 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
 tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
−
+
a b
a b

 tan(a + b) =
tan tan
1 tan .tan
+
−
a b
a b

2. Công thức nhân đôi:
 sin2a = 2sina.cosa ⇒
1
sina.cosa= sin2
2
a
 cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2 sin
2
a
 tan2a =
2
2tan
1 tan−
a
a
3. Công thức nhân ba:
 sin3a = 3sina – 4sin
3
a
 cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:

 cos
2
a =
1 cos 2
2
a+

 sin
2
a =
1 cos 2
2
a−

 tg2a =
1 cos 2
1 cos2
a
a
−
+
5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
:
 sinx =
2
2
1
t

t+
 cosx =
2
2
1
1
t
t
−
+

 tanx =
2
2
1
t
t−
 cotx =
2
1
2
t
t
−
6. Công thức biến đổi tổng thành tích

a b a b
cosa cos b 2 cos cos
2 2
+ −

   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
cosa cos b 2 sin sin
2 2
+ −
   
− = −
 ÷  ÷
   

a b a b
sin a sin b 2sin cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
sin a sin b 2 cos sin
2 2
+ −
   
− =
 ÷  ÷

   

sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2
±
± = ≠ + ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π
π

sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
+
+ = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π


sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
− +
− = ≠ ∈
a b

a b a b k k Z
a b
π

sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
+ = + = −
a a a cos a
π π

sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
− = − = − +
a a a cos a
π π

cos sin 2 ( ) 2 sin( )
4 4
− = + = − −
a a cos a a
π π
7. Công thức biến đổi tích thành tổng

[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b• = − + +

[ ]

1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b• = − − +
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 1
sinα
2
π
0
π
3
2
π
cosα
0
α
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
• = + + −
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
b a a b a b• = + − −
II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản:

2
) cosu = cosv u = v + k2 ) sinu = sinv ,k
2
c) tanu = tanv u = v + k ,k d) cotu = cotv u = v + k ,k
u v k
a b
u v k
= + π

⇔ ± π , κ∈ ⇔ ∈

= π− + π

⇔ π ∈ ⇔ π ∈
¢ ¢
¢ ¢
Chú ý: a/ Nếu cung α thoả
sin
2 2
a
α
π π
α
=


−
< <



thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương trình
sinx = a ⇔
sin 2
sin 2
x arc a k
k Z
x arc a k
π
π π
= +

∈

= − +


b/ Nếu cung α thoả
cos
0
a
α
α π
=


< <

thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương trình
cos x = a ⇔
arccos 2

arccos 2
x a k
k Z
x a k
π
π
= +

∈

= − +

c/ Nếu cung α thoả
tan
2 2
a
α
π π
α
=



−
< <


thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. Khi đó phương trình
tanx = a ⇔
arctan ,x a k k Z

π
= + ∈

d/ Nếu cung α thoả
cot
0
a
α
α π
=


< <

thì α gọi là arccota cung có cot bằng a. Khi đó phương trình
cotx = a ⇔
arccot ,x a k k Z
π
= + ∈
Một số phương trình đặc biệt:
sin 0 sin 1 2 sin 1 2
2 2
cos 0 1 2 1 2
2
x x k x x k x x k
x x k cosx x k cosx x k
π π
π π π
π
π π π π

⊕ = ⇔ = ⊕ = ⇔ = + ⊕ = − ⇔ = − +
⊕ = ⇔ = + ⊕ = ⇔ = ⊕ = − ⇔ = +
2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
sin cosa x b x c+ =
Phương pháp giải:
2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos
a b c
a x b x c x x
a b a b a b
+ = ⇔ + =
+ + +
Đặt
2 2
2 2
sin
cos
a
a b
b
a b
α
α

=

+




=

+

đưa phương trình về dạng:
2 2
cos( )
c
x
a b
−β =
+
rồi tiếp tục giải.
Điều kiện có nghiệm
2 2 2
a b c+ ≥
3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.
Dạng: a. t
2
+ b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx.
Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp.
Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện
1t ≤
.
4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx:
* Dạng:
2 2
sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + =
(1)
* Cách giải:

Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 2
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
TH1: Xét xem cosx = 0 ⇔
2
x k
π
π
= +
có là nghiệm của (1) hay không ?
TH2: cosx ≠ 0 chia cả 2 vế phương trình cho
2
cos x
, thay
( )
2
2
1 tan
cos
d
d x
x
= +
, sau đó đặt
tant x=
rồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến t rồi tiếp tục giải.
5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng:
( ) ( )
sin cos sin .cos 0A x x B x x C± + + =
Cách giải: Đặt
( )

2
1
sin cos ; 2 2 sin .cos
2
t
t x x t x x
−
= ± − ≤ ≤ ⇒ = ±
. Đưa phương trình về
phương trình đại số theo t:
2
1
0
2
t
At B C
 
−
+ ± + =
 ÷
 
BÀI TẬP:
I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
sin 2 cos 2 0x x
− =

2.
sin 3 2 cos3 0x x+ =

3.
2
4sin 1x =

4 .
2 2
sin sin 2 1x x+ =

5.
sin 4
1
cos 6
x
x
=

6. sin 2x = 2cos x
7.
=
sin .cot 5
1
cos 9
x x
x
8.
tan3 tan 5x x
=

9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1

10.
sin 2
2 cos
1 sin
x
x
x
= −
+
Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm
3
;
2
x
π
π
−
 
∈
 
 
của phương trình
1
sin cos cos .sin
8 8 2
x x
π π
+ =
II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác
Bài 1 : Giải các phương trình sau

1.
cos 2 3sin 2x x+ =

2.
4 2
4sin 12 cos 7x x+ =

3.
2
25sin 100 cos 89x x+ =

4.
4 4
sin 2 cos 2 sin 2 cos 2x x x x+ =

5.
+
=
−
6 6
2 2
sin cos 1
tan 2
cos sin 4
x x
x
x x

6.
+ =

2
3
tan 9
cos
x
x
Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số )
2. sin
2
x – ( 2m -1) sin x + m
2
-1 = 0 ( m là tham số )
Bài 3 : Giải các phương trình
1) 2+cos2x = -5sinx
2) sin3x+2cos2x-2 = 0 (ĐH Đà Nẵng 97)
3) 2+cosx = 2tg
2
x
(Học viện ngân hàng98)
4) cosx = cos
2
(
4
3x
) (ĐH hàng hải97)
5) tg2x + sin2x =
2
3
cotgx (ĐH Thương mại 99)

6) 2 + 3tgx – sin2x = 0 (ĐH Thủy lợi 99)
7)
x
x
sin5
5sin
=1 (ĐH Mỏ địa chất 97)
8) 3cos4x – 2cos
2
(3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98)
9) 2sin
3
x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98)
10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99)
11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D)
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 3
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
12)cho phương trình :sin
4
x + cos
4
x -
4
1
sin
2
(2x) + m = 0
a.Giải phương trình khi m= 2
b.tìm m để phương trình có nghiệm
(Trường Hàng không VN 97

13) 3cos
6
(2x) + sin
4
(2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99)
14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98)
15) 1 + 3tgx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D)
16) 4cos
3
x + 3
2
sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D)
17) sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin2x + 1 = 2cos2(
23
x
−
π
)
(ĐHSP TP.HCM 2000)
18)
x
x
xx
cos4

sin
2sin12sin1
=
++−
(ĐH luật HN 2000)
19) sin4x = tgx (ĐH Y khoa HN 2000)
20) sin3x + sin2x = 5sinx (ĐH Y Hải phòng 2000)
22) 2cos2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
(ĐH NNgữ HN 2000)
23)
5
5sin
3
3sin xx
=
(ĐH Thủy lợi 2000)
24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2
π
) của phương trình
5(sinx +
)
2sin21
3sin3cos
x
xx
+
+
= cos2x + 3 (KA-2002)

25) cotgx – tgx + 4sin2x =
x2sin
2
(KB-2003)
26)sin4x + cos4x + cos(
4
π
−x
).sin(3x -
4
π
) -
2
3
= 0
III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
sin 3 3 cos3 2x x+ =

2.
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

3.
2sin17 3 cos5 sin 5 0x x x+ + =

4.
2sin (cos 1) 3 cos2x x x− =
5.
3 sin 4 cos 4 sin 3 cosx x x x− = −

6.
3cos sin 2 3(cos2 sin )x x x x− = +
7.
sin 3 cos sin 3 cos 2x x x x+ + + =
Bài 2 : Cho
3sin 2
2 cos 2
x
y
x
=
+
1. Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
Bài 3 : Giải phương trình

1)
3
sin2x + cos2x =
2
( ĐH Huế 99)
2) 2cos2x + sin2x = 2
3) 3cos3x + 4sinx +
1sin4cos3
6

++ xx
= 6
4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
5) cosx +
3
sinx = 2cos2x
6) Tìm






∈
7
6
,
5
2
ππ
x
thoả phương trình
cos7x -
3
sin7x= –
2

7) cos7x.cos5x –
2
sin2x = 1 –

sin7x.sin5x
8) 2cosx(sinx – 1) =
3
cos2x
Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 4
Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
9) 3sinx –
3
cos3x = 4sin
3
x – 1
10)
3
sin(x –
3
π
) + sin (x +
6
π
) = 2sin2006x
11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx
13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
14)
)
6
2cos(5)2cos32(sin
2
π
−=−+

xxx
15) 2cos
3
x + cos 2x + sinx = 0
16)
24sin3)cos(sin4
44
=++
xxx
17) 1+ sin
3
2x + cos
3
2x =
2
1
sin4x
18) tgx –3cotgx = 4(sin x+
3
cosx)
19)
xxx cossincossin
33
−=+

20)
4
1
cos)
4

(sin
44
=++
xx
π
IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
1)
2
2sin 2 2 3 sin 2 cos 2 3x x x− =

2)
1
4sin 6 cos
cos
x x
x
+ =

3)
3
sin 3 2 cosx x=
4)
2 2
4sin 3 3 sin 2 2 cos 4x x x+ − =

5)
3 3
cos sin sin cosx x x x+ = −

6)
3
8cos ( ) cos 3
3
x x
π
+ =
7)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +

8)
3
2 sin ( ) 2sin
4
x x
π
+ =

9)
sin 3 cos3 2 cos 0x x x
+ + =
Bài 2 :
Giải phương trình :
1)
3

sinx+cosx =
xcos
1
(ĐH An ninh 98)
2) sin
2
x – 3cos
2
x + 2sin2x = 2
3)sin3x + cos3x = sinx – cosx
4) 2cos
3
x = sin3x (HV KT Quân sự 97)
5) sin
2
x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3
(ĐH NN I HN 99)
6) sinx – 4sin
3
x + cosx = 0
(ĐH Y Khoa HN 99)
7) sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
(ĐH YD HCM 97)
8) cos
3
x – 4sin
3
x – 3cosx.sin

2
x + sinx = 0
(ĐH NT 96)
9)
0sincos.sin4cos3
4224
=+− xxxx
cotg x – 1=
xx
tgx
x
2sin
2
1
sin
1
2cos
2
−+
+

(ĐHBKA-2003)
sin3x + cos3x + 2cosx = 0
x
xx
xx
2cos2
cos.4sin5
cos2sin6
3

=−
)cos.sin2(cos3sin2sin.
22
xxxxxtgx +=−
V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình

1 .
12(sin cos ) 4 sin cos 12 0x x x x+ − − =

2 .
sin 2 5(sin cos ) 1 0x x x+ + + =

3 .
5(1 sin 2 ) 11(sin cos ) 7 0x x x− − + + =
4 .
1
sin 2 (sin cos ) 0
2
x x x+ − + =
5 .
5(1 sin 2 ) 16(sin cos ) 3 0x x x− − − + =

6 .
3 3
2(sin cos ) (sin cos ) sin 2 0x x x x x+ − + + =
7 .
1 1
(sin cos 1)(sin 2 )
2 2

x x x
−
− + + =

8 .
sin cos 4sin 2 1x x x− + =
9 .
sin cos sin 2 0x x x+ − =

10 .
2(sin cos ) tan cotx x x x+ = +

11 .
cot tan sin cosx x x x
− = +

12 .
2sin 2 1 sin cos
2sin 2 1 sin cos 1
x x x
x x x
+ +
=
− + −

Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
1. Giải phương trình với m = -
2
2. Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số

Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh Trang 5