Giới thiệu Đề thi thử HSG số 02 năm 2012

DIỄN ĐÀN BOXMATH.VN
———————–
ĐỀ THI THỬ 05
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: tháng năm 2011
(Đề thi gồm có: 01 trang)
—————————————
Câu 1: (3 điểm)
Giải hệ phương trình:

14x
3
+ 3y
2
+ 1 = 0
4xy + 2y = 5x + 2y
2
+ 2.
Câu 2: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC sao cho đường tròn nội tiếp các tam giác ABM,
ACM bằng nhau. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng: AM
2
= Scot
A
2
.
Câu 3: (3 điểm)
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 5

n
− 1 chia hết cho 2
2011
.
Câu 4: (3 điểm)
Cho dãy số {u
n
} được xác định bởi:



u
1
= 3
u
n+1
=
u
2
n
− 2
2u
n
− 3
(n ≥ 1)
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số {u
n
}.
Câu 5: (3 điểm)
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2 (n ∈ Z), ta luôn có:

C
2
n
(n − 1)
2
+
2C
3
n
(n − 1)
3
+
3C
4
n
(n − 1)
4
+ +
(n − 1)C
n
n
(n − 1)
n
= 1
Câu 6: (3 điểm)
Cho các số a, b, c thỏa mãn a, b, c > 1 và a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
(a
2
− 1)(b
2

− 1)(c
2
− 1) ≤ 8.
Câu 7: (2 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) :
x
2
4
+
y
2
1
= 1 và các đường thẳng d : ax − by = 0,
d

: ax + by = 0. Gọi M, N là giao điểm của (E) với d và P, Q là giao điểm của (E) với d

. Tìm
điều kiện của a, b để diện tích tứ giác MP NQ nhỏ nhất, lớn nhất.
———HẾT———
Copyright
c
 BOXMATH.VN
Created by Pham Tuan Khai