Khoá luận phương trình hàm và một số bài toán ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÔ THỊ HUỆ
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN
ỨNG DỤNG
Bộ môn : Giải tích
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Người hướng dẫn
TS.TRƯƠNG VĂN THƯƠNG
Huế, Khoá học 2007-2011
1
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 3
1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Phương trình hàm 9
2.1 Phương trình hàm loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Dạng phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hàm loại I . . 10
2.1.3 Một số ví dụ về phương trình hàm loại I . . . . . . . . . 10
2.2 Phương trình hàm loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Dạng phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Một số tính chất của phương trình hàm loại II với hạt
nhân là toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Một số bài toán liên quan đến phương trình hàm 29
3.1 Các bài toán liên quan đến toán tử compact . . . . . . . . . . . 29
3.2 Một số phương trình hàm sơ cấp có liên quan . . . . . . . . . . 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

2
LỜI MỞ ĐẦU
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không
gian vectơ được trang bị thêm cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính
liên tục giữa chúng. Ngoài những kiến thức cơ bản, đại cương của không gian
định chuẩn và một số định lý quan trọng của giải tích hàm tuyến tính thì nội
dung của ngành giải tích hàm còn xét các vấn đề cụ thể hơn như các không
gian L
p
, không gian Hilbert và các vấn đề liên quan đến toán tử tuyến tính.
Trong chương trình học của chúng em, bộ môn giải tích hàm đã được đưa vào
và trở thành một học phần quan trọng ở học kỳ hai năm ba và học kỳ một năm
bốn. Học phần này chúng em đã được làm quen và nắm được các tính chất của
không gian Banach, toán tử tuyến tính liên tục, toán tử compact Đặc biệt
là toán tử tuyến tính liên tục và toán tử compact có những tính chất đặc biệt
liên quan đến việc giải một số phương trình trong các không gian hàm mà ta
gọi là phương trình hàm. Chính vì điều đó khoá luận này với đề tài: "Phương
trình hàm và một số bài toán ứng dụng" sẽ đi nghiên cứu các dạng phương
trình hàm và ứng dụng giải một số phương trình thường gặp.
Nội dung nghiên cứu của em tuy không phải là những kết quả mới được tìm
thấy, nhưng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽ
đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả. Nội
dung khoá luận gồm ba chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Phương trình hàm.
Chương 3: Một số bài toán liên quan đến phương trình hàm.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân
nên khoá luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm
góp ý của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Huế, ngày 5 tháng 5 năm 2011
Tác giả
3
CHƯƠNG 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian định chuẩn, X được gọi là một
không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm của
nó.
Ví dụ 1.1.2.
1. X = C
[a,b]
là tập hợp các hàm số liên tục trên [a, b] và  x = max
t∈[a,b]
| x(t) |
, với mọi x ∈ X. Khi đó (X,  . ) là một không gian Banach.
2. X = l
2
= {x = (x
n
)
n
⊂ K |
∞

n=1
| x
n
|
2

< +∞}
l
2
là không gian Banach với chuẩn:
 x =




∞

n=1
| x
n
|
2
.
3. Cho (X, A, µ) là một không gian độ đo và E ∈ A. Xét không gian
L
2
(E, µ) = {f : E → C |

E
| f |
2
dµ < +∞}.
Khi đó L
2
(E, µ) là một không gian Banach với chuẩn:
 f = (


E
| f |
2
dµ)
1
2
.
Mệnh đề 1.1.3. X là không gian Banach, M là không gian con đóng của X.
Khi đó M là một không gian Banach.
4
1.2 Toán tử tuyến tính liên tục
Ta kí hiệu L(X, Y ) là không gian gồm các toán tử A : X → Y tuyến tính
liên tục .
Định lí 1.2.1. Giả sử A : X → Y là toán tử tuyến tính có toán tử ngược
A
−1
: Y → X liên tục. Khi đó
(∀x ∈ X)  Ax ≥ m  x , với mọi m ≤ A
−1

−1
Ngược lại, giả sử A toàn ánh và tồn tại m
0
> 0 sao cho
(∀x ∈ X)  Ax ≥ m
0
 x 
thì A
−1

tồn tại, liên tục và  A
−1
≤ m
−1
0
.
Bổ đề 1.2.2. (Bổ đề Riesz). Giả sử Y là không gian con đóng của không gian
định chuẩn X và khác X. Cho z
0
∈ X\Y và  > 0. Lúc đó tồn tại x
0
thuộc
Y

{z
0
} sao cho  x
0
= 1,  x
0
− y > 1 − , với mọi y ∈ Y.
Định lí 1.2.3. (Định lí Banach). Giả sử X, Y là hai không gian Banach và
A : X → Y là một song ánh tuyến tính liên tục. Khi đó A là một phép đồng
phôi tuyến tính.
Mệnh đề 1.2.4. Cho X là không gian định chuẩn. Giả sử x
1
, x
2
, , x
n

là các
vector độc lập tuyến tính trong X. Khi đó tồn tại các phiếm hàm tuyến tính
liên tục x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
∈ X
∗
sao cho
x
∗
i
(x
j
) =



1, nếu i = j
0, nếu i = j
, (i, j = 1, n).
1.3 Toán tử compact
Định nghĩa 1.3.1. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến
tính A : X → Y được gọi là toán tử compact nếu A ánh xạ hình cầu đóng đơn
vị B


(0, 1) của X thành một tập compact tương đối trong Y.
Tính chất 1.3.2.
5
1. Cho A : X → Y là một toán tử tuyến tính. Lúc đó A là toán tử compact khi
và chỉ khi A biến mỗi tập hợp bị chặn trong X thành tập compact tương đối
trong Y.
2. Nếu không gian định chuẩn Y hữu hạn chiều và A : X → Y tuyến tính liên
tục thì A compact.
3. Toán tử đồng nhất I = id : X → X là compact khi và chỉ khi X hữu hạn
chiều.
4. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, A : X → Y là toán tử tuyến tính.
Khi đó A được gọi là toán tử hữu hạn chiều nếu dim A(X) < +∞. Nếu A là
toán tử tuyến tính liên tục và A hữu hạn chiều thì A là compact.
5. Toán tử compact là liên tục.
Định nghĩa 1.3.3. Cho X là một không gian định chuẩn, A : X → X là toán
tử tuyến tính liên tục. Giả sử λ ∈ C sao cho tồn tại vectơ x = 0 trong X nghiệm
đúng
Ax = λx
thì λ được gọi là một giá trị riêng của toán tử A và x là một vectơ riêng ứng
với giá trị riêng λ này.
Định nghĩa 1.3.4. Cho X là một không gian định chuẩn, A : X → X là toán
tử tuyến tính liên tục. Ta gọi λ ∈ C là một giá trị phổ của toán tử A nếu
không tồn tại toán tử ngược bị chặn (A − λI)
−1
. Tập hợp các giá trị phổ của
A được gọi là phổ của toán tử A, ký hiệu là σ(A).
Nếu λ là một giá trị riêng của toán tử A thì λ ∈ σ(A).
Định nghĩa 1.3.5. Số µ không thuộc phổ σ(A) thì µ được gọi là giá trị chính
quy của toán tử A nghĩa là tồn tại toán tử tuyến tính liên tục (A − µI)

−1
. Tập
hợp các giá trị chính quy của A được ký hiệu là ρ(A).
Định lí 1.3.6. Cho X là một không gian Banach, A là một toán tử compact
trong X và λ = 0. Khi đó không gian vectơ con đóng
N(A − λI) = {x ∈ X : (A − λI)x = 0} = {x ∈ X : Ax = λx}
có số chiều hữu hạn.
6
Định nghĩa 1.3.7. (Toán tử liên hiệp). Cho X, Y là hai không gian định
chuẩn, A : X → Y là một toán tử tuyến tính liên tục.
Lúc đó toán tử tuyến tính liên tục A
∗
: Y
∗
→ X
∗
được gọi là toán tử liên hiệp
của toán tử A nếu
∀y
∗
∈ Y
∗
, ∀x ∈ X, (A
∗
y
∗
)(x) = y
∗
(Ax).
Định lí 1.3.8. Giả sử X là một không gian định chuẩn, A là toán tử compact.

Với mọi B là toán tử tuyến tính liên tục, các toán tử BA và AB đều là compact.
Từ định lí này ta suy ra hợp hữu hạn các toán tử compact là một toán tử
compact.
Định lí 1.3.9. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn, và
A : X → Y, B : X → Y
là những toán tử compact. Với mọi số α, β, toán tử αA + βB là compact.
1.4 Không gian Hilbert
Định lí 1.4.1. Cho {e
n
, n = 1, 2, } là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
X và {λ
n
}
n
là một dãy trong trường số K. Ta có chuỗi
∞

n=1
λ
n
e
n
hội tụ về vectơ
x ∈ X khi và chỉ khi chuỗi số
∞

n=1
| λ
n
|

2
hội tụ.
Định nghĩa 1.4.2. (Toán tử liên hiệp trong không gian Hilbert). Cho X, Y là
hai không gian Hilbert, A : X → Y là một toán tử tuyến tính liên tục.
Lúc đó toán tử tuyến tính liên tục A
∗
: Y
∗
→ X
∗
được gọi là toán tử liên hiệp
của toán tử A nếu
∀x ∈ X, y ∈ Y : x, A
∗
y = Ax, y.
Định nghĩa 1.4.3. (Toán tử tự liên hiệp trong không gian Hilbert). Cho X là
một không gian Hilbert, A ∈ L(X). A được gọi là toán tử tự liên hiệp nếu:
∀x, y ∈ X : x, Ay = Ax, y.
7
Định lí 1.4.4. Cho X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là toán tử tự liên
hiệp và µ là một giá trị riêng của A thì µ là một số thực.
Định lí 1.4.5. Cho X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là một toán tử
compact tự liên hiệp. Khi đó với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất một phần tử
x
0
∈ X mà A(x
0
) = 0 sao cho x được biểu diễn dưới dạng
x =
∞


n=1
x, e
n
e
n
+ x
0
,
trong đó {e
n
, n = 1, 2, } là hệ thống trực chuẩn các vectơ riêng của A ứng
với các giá trị riêng khác 0.
Định lí 1.4.6. Cho X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là một toán tử
compact tự liên hiệp và {e
n
, n = 1, 2, } là hệ thống trực chuẩn các vectơ riêng
của A ứng với các giá trị riêng λ
n
= 0 của A. Khi đó với mọi x ∈ X ta có
Ax =
∞

n=1
λ
n
x, e
n
e
n

.
Định lí 1.4.7. Cho A ∈ L(X) là một toán tử compact tự liên hiệp trong không
gian Hilbert X. Khi đó nếu λ = 0 và λ ∈ σ(A) thì λ là một giá trị riêng của A.
Định lí 1.4.8. Tập hợp tất cả các giá trị riêng khác 0 của một toán tử compact
tự liên hiệp A ∈ L(X) trong không gian Hilbert X là hữu hạn hoặc đếm được.
Nếu đếm được thì tập hợp đó tạo thành một dãy hội tụ về 0.
8
CHƯƠNG 2
Phương trình hàm
2.1 Phương trình hàm loại I
2.1.1 Dạng phương trình tổng quát
Cho X, Y là hai không gian Banach mà phần tử của chúng là các hàm số
Định nghĩa 2.1.1.1. Cho A : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục. Phương
trình có dạng:
Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y ) (2.1.1)
được gọi là phương trình hàm loại I
Ví dụ 2.1.1.2. Cho X = Y = C
[1,2]
là không gian định chuẩn gồm các
hàm liên tục trên [1, 2] với  x = max
t∈[1,2]
| x(t) | với mỗi x ∈ X. Khi đó X là
một không gian Banach. Giả sử
A : X → X
x → Ax,
xác định bởi:
Ax(t) = tx(t), với mọi t ∈ [1, 2].
Ta chứng minh được A là toán tử tuyến tính liên tục.
Khi đó ta có phương trình:
Ax = y, (y ∈ X)

là một phương trình loại I.
Nghiệm của phương trình này là hàm x(t) =
y(t)
t
, với mọi t ∈ [1, 2].
9
2.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hàm loại I
Mệnh đề 2.1.2.1. Cho X, Y là hai không gian Banach và A : X → Y là một
song ánh tuyến tính liên tục. Khi đó phương trình (2.1.1) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh . Xét phương trình (2.1.1):
Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y )
Vì A song ánh tuyến tính liên tục nên theo Định lí 1.2.3 với mỗi y ∈ Y tồn tại
duy nhất x ∈ X sao cho Ax = y.
Do đó với mỗi y ∈ Y thì phương trình (2.1.1) có nghiệm duy nhất.
Mệnh đề 2.1.2.2. Nếu X, Y là hai không gian Banach, A : X → Y là một
toàn ánh tuyến tính và tồn tại m
0
> 0 sao cho  Ax ≥ m
0
 x  với mỗi
x ∈ X thì phương trình (2.1.1) có nghiệm.
Chứng minh . Vì A là một toàn ánh tuyến tính và tồn tại m
0
> 0 sao cho
 Ax ≥ m
0
 x  với mỗi x ∈ X nên theo Định lý 1.2.1 suy ra A
−1
tồn tại.
Khi đó với mỗi y ∈ Y tồn tại A

−1
y = x ∈ X thoả mãn phương trình (2.1.1).
Do đó phương trình (2.1.1) có nghiệm.
2.1.3 Một số ví dụ về phương trình hàm loại I
Ví dụ 2.1.3.1. Cho X = C
[1,2]
là không gian định chuẩn trên trường K gồm
các hàm liên tục trên [1, 2] với  x = max
t∈[1,2]
| x(t) | với mỗi x ∈ X. Khi đó X
là một không gian Banach. Giả sử
A : X → X
x → Ax
xác định bởi:
Ax(t) = x(2) − tx(t), với mọi t ∈ [1, 2].
Hãy giải phương trình
Ax = y, (y ∈ X). (2.1.2)
10
Bài giải:
Ta chứng minh được A là toán tử tuyến tính liên tục.
Xét phương trình:
Ax = y
⇔ Ax(t) = y(t), ∀t ∈ [1, 2]
⇔ x(2) − tx(t) = y(t), ∀t ∈ [1, 2]
⇔ tx(t) = x(2) − y(t), ∀t ∈ [1, 2].
Ta có:
x(2) = −y(2).
Do đó
tx(t) = −y(2) − y(t), ∀t ∈ [1, 2]
⇔ x(t) =

−y(2) − y(t)
t
, ∀t ∈ [1, 2].
Ta thấy x(t) ∈ X.
Vậy phương trình (2.1.2) có nghiệm là hàm x(t) =
−y(2) − y(t)
t
với mọi
t ∈ [1, 2].
Ví dụ 2.1.3.2. Cho X = C
[0,1]
là không gian định chuẩn gồm các hàm liên
tục trên [0, 1] với  x = max
t∈[0,1]
| x(t) | với mỗi x ∈ X. Giả sử
A : X → X
x → Ax
xác định bởi:
Ax(t) = t
2
x(t) + x(1 − t), với mọi t ∈ [0, 1].
Tìm nghiệm của phương trình
Ax = y, y(t) = 2t − t
4
, với mọi t ∈ [0, 1]. (2.1.3)
Bài giải:
Xét phương trình :
Ax = y
11
⇔ Ax(t) = y(t), ∀t ∈ [0, 1]

⇔ t
2
x(t) + x(1 − t) = 2t − t
4
, ∀t ∈ [0, 1].
Thế t bằng 1 − t ta có:
(1 − t)
2
x(1 − t) + x(t) = 2(1 − t) − (1 − t)
4
.
Theo giả thiết
x(1 − t) = 2t − t
4
− t
2
x(t).
Suy ra:
(1 − t)
2
[2t − t
4
− t
2
x(t)] + x(t) = −t
4
+ 4t
3
− 6t
2

+ 2t + 1
⇔ (1 − 2t + t
2
)[2t − t
4
− t
2
x(t)] + x(t) = −t
4
+ 4t
3
− 6t
2
+ 2t + 1
⇔ (−t
4
+ 2t
3
− t
2
+ 1)x(t) = t
6
− 2t
5
+ 2t
3
− 2t
2
+ 1
⇔ (−t

4
+ 2t
3
− t
2
+ 1)x(t) = (1 − t
2
)(−t
4
+ 2t
3
− t
2
+ 1)
⇔ x(t) =
(1 − t
2
)(−t
4
+ 2t
3
− t
2
+ 1)
−t
4
+ 2t
3
− t
2

+ 1
(Vì ta chứng minh được hàm −t
4
+ 2t
3
− t
2
+ 1 > 0, với mọi t ∈ [0, 1])
Do đó x(t) = 1 − t
2
với mọi t ∈ [0, 1]. Ta thấy x(t) ∈ C
[0,1]
.
Thử lại:
x(t) = 1 − t
2
⇒ x(1 − t) = 1 − (1 − t)
2
= 2t − t
2
.
Khi đó
t
2
x(t) + x(1 − t) = t
2
(1 − t
2
) + 2t − t
2

= 2t − t
4
.
Vậy nghiệm của phương trình (2.1.3) là hàm x(t) = 1 − t
2
, với mọi t ∈ [0, 1].
Ví dụ 2.1.3.3. Cho X = C
[0,1]
là không gian định chuẩn gồm các hàm liên
tục trên [0, 1] với  x = max
t∈[0,1]
| x(t) |, với mỗi x ∈ X. Giả sử
A : X → X
x → Ax
xác định bởi:
Ax(t) = x(0) + tx(1), với mọi t ∈ [0, 1].
12
Giải phương trình
Ax = 0. (2.1.4)
Bài giải:
Xét phương trình :
Ax = 0
⇔ Ax(t) = 0, ∀t ∈ [0, 1]
⇔ x(0) + tx(1) = 0, ∀t ∈ [0, 1]
⇒






x(0) = 0
x(1) = 0
(∗)
Ta thấy hàm x(t) = t(1 − t), với mọi t ∈ [0, 1] thuộc C
[0,1]
và x(t) = 0,
x(0) = 0, x(1) = 0.
Do đó nghiệm của phương trình (2.1.4) là hàm thuộc C
[0,1]
và thoả mãn điều
kiện (∗). (Ta có thể chọn hàm x(t) = sin πt với mọi t ∈ [0, 1] là nghiệm của
phương trình (2.1.4)).
2.2 Phương trình hàm loại II
2.2.1 Dạng phương trình tổng quát
Định nghĩa 2.2.1.1. Cho X là một không gian Banach và A : X → X là
toán tử tuyến tính liên tục. Phương trình có dạng:
x − λA(x) = y, (x, y ∈ X, λ ∈ K) (2.2.1)
được gọi là phương trình hàm loại II.
Khi đó A được gọi là hạt nhân của phương trình (2.2.1).
Nhận xét 2.2.1.2. Phương trình (2.2.1) là một dạng của phương trình (2.1.1).
Đặt:
T = I − λA
Khi đó (2.2.1) trở thành T (x) = y, đây là phương trình có dạng như phương
trình (2.1.1).
13
Ví dụ 2.2.1.3. Cho X = C
[0,1]
là không gian định chuẩn gồm các hàm liên
tục trên [0, 1] với  x = max
t∈[0,1]

| x(t) | với mỗi x ∈ X. Giả sử
A : X → X
x → Ax
xác định bởi:
Ax(t) = x(0) − tx(t), với mọi t ∈ [0, 1].
Ta chứng minh được A là toán tử tuyến tính liên tục.
Khi đó ta có phương trình hàm loại II
x − Ax = 0
Phương trình này có một nghiệm là hàm x(t) = t, với mọi t ∈ [0, 1].
2.2.2 Một số tính chất của phương trình hàm loại II với hạt nhân
là toán tử compact
Cho X là không gian Banach và A : X → X là toán tử compact. Xét phương
trình:
x − Ax = y, (x, y ∈ X) (2.2.2)
và phương trình liên hợp:
g − A
∗
(g) = f, (f, g ∈ X
∗
). (2.2.3)
Đặt:
T = I − A, T
∗
= I
∗
− A
∗
với I và I
∗
lần lượt là toán tử đồng nhất trong X và X

∗
.
Khi đó (2.2.2) trở thành:
T (x) = y, (2.2.4)
(2.2.3) trở thành:
T
∗
(g) = f. (2.2.5)
Từ đây trở đi ta ký hiệu X
0
= N(T ) = T
−1
({0}).
Trước khi đi đến các tính chất của phương trình hàm loại II với hạt nhân
là toán tử compact ta đi chứng minh một số bổ đề sau:
14
Bổ đề 2.2.2.1. T (X) là một tập đóng trong không gian X.
Chứng minh . Xét không gian thương X = X/X
0
và
 ¯x = inf
x∈¯x
 x  (2.2.6)
Khi đó (X,  . ) là một không gian định chuẩn (xem [3]- trang 89).
Xét đồng cấu tự nhiên:
Φ : X → X
x → Φ(x) = ¯x = x + X
0
Ta thấy Φ là toán tử tuyến tính và
 Φ(x

0
) = inf
x∈Φ(x
0
)
 x ≤ x
0
 .
Do đó Φ là toán tử tuyến tính liên tục. Hơn nữa, với mỗi ¯x ∈ X thì tồn tại
x ∈ X sao cho
¯x = Φ(x),  ¯x ≥
1
2
 x  . (2.2.7)
Xét T : X → X sao cho T (¯x) = T (x), với mọi ¯x ∈ X và x ∈ ¯x.
Lấy y
n
⊂ T(X), giả sử y
n
→ y
0
∈ X.
Ta cần chứng minh y
0
∈ T(X)
Ta có T(X) = T (X) do đó tồn tại x
n
∈ X sao cho y
n
= T (x

n
), với mỗi n ∈ N.
Theo (2.2.7) ta có thể tìm được các phần tử x
n
∈ X thoả mãn (2.2.2) và
x
n
= Φ(x
n
),  x
n
≥
1
2
 x
n
, (n = 1, 2, ) (2.2.8)
Ta sẽ chứng minh dãy {x
n
} bị chặn. Giả sử ngược lại, khi đó ta xây dựng được
dãy con c
n
= x
n
→ +∞.
Từ (2.2.8) ta có dãy {
x
n
c
n

} bị chặn, nên dãy {A(
x
n
c
n
)} là dãy hội tụ.
Giả sử A(
x
n
c
n
) → z
Ta có
T (x
n
) = T(x
n
) = y
n
, (n = 1, 2, )
x
n
c
n
= A(
x
n
c
n
) + T (

x
n
c
n
) = A(
x
n
c
n
) +
y
n
c
n
→ z (vì
y
n
c
n
−→ 0 khi n −→ +∞)
15
Do đó
T (z) = lim
n→∞
T (
x
n
c
n
) = lim

n→∞
(
y
n
c
n
) = 0 ⇒ z ∈ X
0
.
Mặt khác:
x
n
c
n
= Φ(
x
n
c
n
) −→ Φ(z) = 0.
Điều này mâu thuẫn với 
x
n
c
n
= 1, (n = 1, 2, )
Do đó {x
n
} bị chặn. Từ (2.2.8) suy ra {x
n

} bị chặn. Vì vậy ta có thể giả sử
{A(x
n
)} hội tụ.
Nếu A(x
n
) → x, khi đó:
x
n
= T (x
n
) + A(x
n
) = y
n
+ A(x
n
) → y
0
+ x = x
0
Suy ra T(x
n
) → T (x
0
).
Do đó:
y
0
= lim

n→∞
y
n
= lim
n→∞
T (x
n
) = T (x
0
) ∈ T (X).
Vậy T (X) là tập đóng.
Bổ đề 2.2.2.2. Dãy các tập N(T), N(T
2
), , N(T
n
), là một dãy tăng và chỉ
chứa một số hữu hạn các tập phân biệt.
Chứng minh . Xét x ∈ N(T
n
) khi đó ta có T
n
(x) = 0
suy ra T(T
n
(x)) = T
n+1
(x) = 0 nên x ∈ N(T
n+1
).
Vì vậy

N(T ) ⊂ N(T
2
) ⊂ ⊂ N(T
n
) ⊂
Đặt X
n
= N(T
n
)
• Nếu X
n
= X
n+1
với một n nào đó ta sẽ chứng minh X
n+1
= X
n+2
.
Thật vậy:
Ta có X
n+1
⊂ X
n+2
.
Lấy x ∈ X
n+2
suy ra T
n+2
(x) = T

n+1
(T (x)) = 0.
Do đó T(x) ∈ X
n+1
= X
n
⇒ T
n+1
(x) = T
n
(T (x)) = 0
suy ra x ∈ X
n+1
nên X
n+2
⊂ X
n+1
.
Vì vậy
X
n
= X
n+1
= X
n+2
= , (n = 1, 2, ).
16
• Giả sử với mỗi n ta có X
n
= X

n+1
.
Ta có X
n
là không gian con đóng thực sự của X
n+1
nên theo Bổ đề Riesz thì
tồn tại x
n+1
thuộc X
n+1
\X
n
sao cho:
 x
n+1
= 1, d(x
n+1
, X
n
) >
1
2
, n = 1, 2, (2.2.9)
với m > n ta xét phần tử:
A(x
m
) − A(x
n
) = x

m
− T(x
m
) − [x
n
− T(x
n
)] = x
m
− ˜x
trong đó ˜x = T (x
m
) + x
n
− T(x
n
). Ta sẽ chứng minh ˜x ∈ X
m−1
.
Thật vậy:
T
m−1
(˜x) = T
m
(x
m
) + T
m−1
(x
n

) − T
m
(x
n
).
Vì x
n
∈ X
n
⊂ X
m−1
⊂ X
m
nên T
m−1
(x
n
) = 0, T
m
(x
n
) = 0
và x
m
∈ X
m
nên T
m
(x
m

) = 0.
Do đó T
m−1
(˜x) = 0 hay ˜x ∈ X
m−1
.
Theo bất đẳng thức (2.2.9) ta có:
 A(x
m
) − A(x
n
)  =  x
m
− ˜x >
1
2
(m > n, n = 1, 2, ). (2.2.10)
Mà {x
n
} là dãy bị chặn và A là toán tử compact do đó ta có thể chọn được
một dãy con hội tụ của dãy {A(x
n
)}. Điều này mâu thuẫn với (2.2.10).
Vậy dãy các tập {X
n
} chỉ chứa một số hữu hạn các tập phân biệt.
Bổ đề 2.2.2.3. Dãy các tập
T (X), T
2
(X), , T

n
(X), (2.2.11)
chỉ chứa hữu hạn các tập phân biệt.
Chứng minh . Theo Bổ đề 2.2.2.1 ta có các tập ở (2.2.11) là các tập đóng.
Ta sẽ đi chứng minh
T (X) ⊃ T
2
(x) ⊃ ⊃ T
n
(X) ⊃
Lấy y ∈ T
n
(X) khi đó tồn tại x ∈ X sao cho y = T
n
(x) = T
n−1
(T (x)) nên
y ∈ T
n−1
(X). Suy ra dãy các tập ở (2.2.11) là dãy giảm.
17
Tương tự như Bổ đề 2.2.2.2 ta sẽ chứng minh được nếu T
n
(X) = T
n+1
(X) với
một n nào đó thì T
n
(X) = T
n+1

(X) = T
n+2
(X) =
Thật vậy bây giờ ta giả sử T
n
(X) = T
n+1
(X), (n = 0, 1, ).
Theo Bổ đề Riesz ta xây dựng được dãy {x
n
} sao cho
 x
n
= 1, x
n
∈ T
n
(X)\T
n+1
(X), d(x
n
, T
n+1
(X)) >
1
2
, (n = 1, 2, ).
(2.2.12)
Với m > n tương tự Bổ đề 2.2.2.2 ta có:
A(x

n
) − A(x
m
) = x
n
− T(x
n
) − (x
m
− T(x
m
)) = x
n
− ˜x
trong đó ˜x = T (x
n
) + x
m
− T(x
m
).
Vì T (x
n
) ∈ T
n+1
(X), x
m
∈ T
m
(X) ⊂ T

n
(X), T (x
m
) ∈ T
m+1
(X) ⊂ T
n+1
(X)
nên ˜x ∈ T
n+1
(X).
Từ (2.2.12) suy ra:
 A(x
n
) − A(x
m
)  =  x
n
− ˜x >
1
2
, (m > n, n = 1, 2, ).
Điều này mâu thuẫn với giả thiết A là toán tử compact và {x
n
} bị chặn.
Vậy bổ đề đã được chứng minh.
Bây giờ ta kí hiệu r là số không âm nhỏ nhất của n sao cho T
n
(X) = T
n+1

(X),
đặc biệt T(X) = X = T
0
(X) thì ta đặt r = 0.
Đặt X

= T
r
(X), X

= N(T
r
).
Định lí sau sẽ mô tả các tính chất đặc trưng của toán tử T và cũng là tính
chất của phương trình (2.2.2).
Định lý 2.2.2.4.
a. Toán tử T là song ánh từ X’ vào chính nó.
b. X” là không gian hữu hạn chiều. Toán tử T là ánh xạ từ X” vào X”.
c. Mỗi phần tử x ∈ X được biểu diễn duy nhất dưới dạng:
x = x

+ x

với x

∈ X

, x

∈ X


. (2.2.13)
Hơn nữa tồn tại M > 0 sao cho
 x

≤ M  x ,  x

≤ M  x  . (2.2.14)
18
d. Toán tử A có thể được biểu diễn dưới dạng:
A = A

+ A

(2.2.15)
trong đó:
A

: X → X

, A

: X → X

compact
và thỏa mãn phương trình:
A

◦ A


= A

◦ A

= 0. (2.2.16)
Ngoài ra T

= I − A

là một phép đồng phôi.
Chứng minh .
a) Ta có X

= T
r
(X) khi đó :
T (X

) = T
r+1
(X) = T
r
(X) = X

.
Suy ra T : X

→ X

.

Nếu T (x) = 0 với x ∈ X

thì chọn n ≥ r sao cho N(T
n
) = N(T
n+1
). Theo Bổ
đề 2.2.2.2 ta có x ∈ T
n
(X). Do đó tồn tại ˜x ∈ X sao cho x = T
n
(˜x).
Khi đó 0 = T (x) = T
n+1
(˜x) ⇒ ˜x ∈ N(T
n+1
) = N(T
n
) ⇒ x = T
n
(˜x) = 0.
Suy ra T đơn ánh.
Ta có T
r
(X) = T
r+1
(X) ⇒ T(X

) = X


. Suy ra T toàn ánh.
Vậy T là song ánh.
b) T
r
= (I − A)
r
= I − A
1
với A
1
= A
r
.
Khi đó theo Định lí 1.3.8 ta có A
1
compact.
Ta có T
r
(x) = 0 với mỗi x ∈ X

suy ra A
1
(x) = x với mỗi x ∈ X

.
Do đó A
1
= Id
X


compact. Theo tính chất 3 của Tính chất 1.3.2 ta suy ra
dim X

< +∞.
Nếu r > 0 thì T (X

) = N(T
r−1
), khi đó theo Bổ đề 2.2.2.2 ta có
T (X

) ⊂ N(T
r
) = X

.
Nếu r = 0 thì X

= {0} khi đó T(X

) ⊂ X

.
Do đó T : X

→ X

.
c) Ta kí hiệu T
0

là toán tử T chỉ tác động lên X

.
19
Từ Bổ đề 2.2.2.1 ta có X

là tập đóng. Theo Mệnh đề 1.1.2 suy ra X

là một
không gian con Banach của X.
Ta có T
0
là song ánh từ X

vào X

nên theo Định lí Banach nó là một phép
đồng phôi, khi đó ta kí hiệu ánh xạ ngược liên tục của nó là T
−1
0
.
Lấy x ∈ X bất kì, đặt
x

= T
−r
0
◦ T
r
(x), x


= x − x

= x − T
−r
0
◦ T
r
(x). (2.2.17)
Ta có X

= T
r
(X) và T
−r
0
: X

→ X

suy ra x

∈ X

. Vì
T
r
(x

) = T

r
(x) − T
r
◦ T
−r
0
◦ T
r
(x) = T
r
(x) − T
r
(x) = 0
nên x

∈ X

.
Vậy x = x

+ x

với x

∈ X

và x

∈ X


.
Giả sử x = x

1
+ x

1
là một biểu diễn khác của x dưới dạng (2.2.13) với
x

1
∈ X

, x

1
∈ X

.
Khi đó T
r
(x) = T
r
(x

1
) + T
r
(x


1
) = T
r
(x

1
) (vì x

1
∈ X

nên T
r
(x

1
) = 0).
Ta có x

1
∈ X

nên T
r
(x

1
) = T
r
0

(x

1
) suy ra x

1
= T
−r
0
◦T
r
(x

1
) = T
−r
0
◦T
r
(x) = x

.
Do đó sự biểu diễn ở (2.2.13) của x là duy nhất.
Ta có T
−r
0
là toán tử liên tục nên T
−r
0
◦ T

r
liên tục.
Từ (2.2.17) suy ra tồn tại M
1
> 0 sao cho với mỗi x ∈ X
 x

 =  T
−r
0
◦ T
r
(x) ≤ M
1
 x  .
Suy ra
 x

 =  x − x

≤ x  +  x

≤ (M
1
+ 1)  x  .
Khi đó nếu chọn M ≥ M
1
+ 1 thì ta có:
 x


≤ M  x  và  x

≤ M  x  .
d) Ta có A = I − T khi đó:
A(x) = x − T (x) ∈ X

, với mọi x ∈ X

nên A là ánh xạ từ X

vào chính nó.
A(x) = x − T (x) ∈ X

, với mọi x ∈ X

20
suy ra A(X

) ⊂ X

.
Với x ∈ X ta có x = x

+ x

, x

∈ X

, x


∈ X

.
Đặt
A

(x) = A(x

), A

(x) = A(x

). (2.2.18)
Theo bất đẳng thức (2.2.14) ta suy ra A

và A

là toán tử tuyến tính liên tục.
Vì
A(x) = A(x

+ x

) = A(x

) + A(x

) = A


(x) + A

(x), với mọi x ∈ X.
nên A = A

+ A

và A

(X) ⊂ X

, A

(X) ⊂ X

.
Ta có
A

(X

) = A

(X

) = {0}. (2.2.19)
Do đó A

◦ A


= A

◦ A

= 0.
Vì toán tử A

: X → X

tuyến tính liên tục và dim X

< +∞ nên theo tính
chất 4 của Tính chất 1.3.2 suy ra A

là toán tử compact.
Mà A

= A − A

nên theo Định lí 1.3.9 ta có A

là toán tử compact.
Cuối cùng ta chứng minh T

= I − A

là phép đồng phôi.
Giả sử T

(x) = 0.

Ta có 0 = T

(x) = x − A

(x) = x

− A(x

) + x

= T (x

) + x

.
Vì T (x

) ∈ X

và sự biểu diễn duy nhất của 0 theo công thức (2.2.13) nên
T (x

) = x

= 0 ⇒ x

= 0 (theo câu a).
Suy ra x = x

+ x


= 0. Do đó T

đơn ánh.
Xét y ∈ X bất kì khi đó y = y

+ y

(y

∈ X

, y

∈ X

).
Đặt x = T
−1
0
(y

) + y

khi đó T
−1
0
(y

) ∈ X


, A

(x) = A(T
−1
0
(y

)).
Ta có
T

(x) = x −A

(x) = T
−1
0
(y

)−A(T
−1
0
(y

))+y

= T ◦ T
−1
0
(y


)+y

= y

+y

= y.
Do đó T

(X) = X hay T

toàn ánh.
Vì vậy T

là song ánh.
Vậy định lí đã được chứng minh.
Chú ý:
Gọi m là số nhỏ nhất của các số nguyên không âm n sao cho N(T
n
) = N(T
n+1
).
21
Khi đó ta có m = r.
Thật vậy:
• Nếu ta lấy x ∈ N(T
r+1
) và biểu diễn nó theo công thức (2.2.13) ta có:
0 = T

r+1
(x) = T
r+1
(x

) + T
r+1
(x

) = T
r+1
(x

)
Từ (a) của Định lí 2.2.2.4 ta có x

= 0 do đó x = x

∈ N(T
r
).
Vì vậy m ≤ r.
• Nếu y = T
m
(x) (với x ∈ X), khi đó viết x theo công thức (2.2.13) ta có:
y = T
m
(x) = T
m
(x


) + T
m
(x

) = T
m
(x

) = T
m+1
(T
−1
0
(x

))
suy ra y ∈ T
m+1
(X), do đó ta phải có r ≤ m.
Định lý 2.2.2.5. Điều kiện cần và đủ để (2.2.2) giải được với mọi y ∈ X là
phương trình thuần nhất:
T (x) = 0 (2.2.20)
có duy nhất nghiệm (rõ ràng nghiệm là x = 0).
Tính giải được của (2.2.2) với mọi y ∈ X tương đương với T(X) = X, điều
này tức là r = 0. Tính duy nhất nghiệm của phương trình(2.2.20) tương đương
với điều kiện m = 0. Vậy dựa vào Định lí 2.2.2.4 và chú ý trên ta suy ra kết
luận của Định lí 2.2.2.5.
Ta xét mối liên hệ giữa phương trình (2.2.2) và (2.2.3) thông qua định lí sau:
Định lý 2.2.2.6. Hai không gian N(T ) và N(T

∗
) có cùng số chiều hữu hạn.
Chứng minh . Ta có N(T) ⊂ N(T
r
) = X

và theo Định lí 2.2.2.4 thì X

là
không gian hữu hạn chiều do đó N(T ) là không gian hữu hạn chiều. Ngoài ra
vì A
∗
là toán tử compact nên N(T
∗
) cũng là không gian hữu hạn chiều.
Giả sử dim N(T) = n và dim N(T
∗
) = m.
Gọi x
1
, x
2
, , x
n
và g
1
, g
2
, , g
m

lần lượt là hệ các phần tử độc lập tuyến tính
của N(T ) và N(T
∗
).
Vì x
1
, x
2
, , x
n
là hệ độc lập tuyến tính nên áp dụng Mệnh đề 1.2.4 tồn tại các
22
phiếm hàm tuyến tính liên tục f
1
, f
2
, , f
n
sao cho:
f
j
(x
k
) =



1 nếu j = k
0 nếu j = k
, (j, k = 1, 2, , n). (2.2.21)

Tương tự ta cũng có thể tìm được các phần tử y
1
, y
2
, , y
n
⊂ X sao cho:
g
j
(y
k
) =



1 nếu j = k
0 nếu j = k
, (j, k = 1, 2, , n). (2.2.22)
Trước hết giả sử n < m. Xét toán tử V = A + B trên X, trong đó
B(x) =
n

k=1
f
k
(x)y
k
, với x ∈ X.
Ta có B là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào một không gian hữu hạn
chiều nên nó là compact. Do đó V là compact.

Bây giờ ta xét phương trình:
˜
T (x) = x − V (x) = T (x) −
n

k=1
f
k
(x)y
k
= 0. (2.2.23)
Nếu x
0
là một nghiệm của phương trình(2.2.23) thì ta có
˜
T (x
0
) = T (x
0
) −
n

k=1
f
k
(x
0
)y
k
= 0. (2.2.24)

Suy ra
g
s
(T (x
0
)) −
n

k=1
f
k
(x
0
)g
s
(y
k
) = 0 (s = 1, 2, , n). (2.2.25)
Từ (2.2.22) ta có:
g
s
(T (x
0
)) − f
s
(x
0
) = 0 ⇔ T
∗
(g

s
(x
0
)) − f
s
(x
0
) = 0.
Ta có T
∗
(g
s
)(x) = 0 với mọi x ∈ X suy ra
f
s
(x
0
) = 0, (s = 1, 2, , n) (2.2.26)
Từ (2.2.24) suy ra T (x
0
) = 0 hay x
0
∈ N(T ).
Do đó x
0
có thể được biểu diễn dưới dạng x
0
=
n


k=1
α
k
x
k
, khi đó
f
s
(x
0
) =
n

k=1
α
k
f
s
(x
k
) = α
s
23
Từ (2.2.26) kéo theo α
s
= 0 do đó x
0
= 0. Vì vậy (2.2.23) có nghiệm duy nhất.
Theo Định lí 2.2.2.5 suy ra phương trình không thuần nhất tương ứng với
(2.2.23) là giải được với bất kì vế phải. Đặc biệt, phương trình sau có nghiệm:

˜
T (x) = T (x) −
n

k=1
f
k
(x)y
k
= y
n+1
.
Gọi x
∗
là một nghiệm của phương trình này. Ta có:
g
n+1
(T (x
∗
) −
n

k=1
f
k
(x
∗
)y
k
) = T

∗
(g
n+1
)(x
∗
) −
n

k=1
f
k
(x
∗
)g
n+1
(y
k
) = 0
(Vì T
∗
(g
n+1
)(x) = 0, với mỗi x ∈ X và g
n+1
(y
k
) = 0, với mỗi k = 1, n).
Mà g
n+1
(y

n+1
) = 1.
Vì vậy ta phải có m ≤ n.
Lập luận tương tự ta có thể chứng minh được m < n với việc thay (2.2.23) bởi
phương trình sau trong X
∗
T
∗
(g) −
m

k=1
g(y
k
)f
k
= 0.
Kết hợp các định lí vừa được chứng minh ở trên ta thu được kết quả sau:
Định lý 2.2.2.7. Một trong hai phương trình (2.2.2) hoặc (2.2.3) có thể giải
được với mọi vế phải, khi đó chúng có duy nhất nghiệm hoặc các phương trình
thuần nhất
T (x) = 0 và T
∗
(g) = 0
có số nghiệm độc lập tuyến tính giống nhau tương ứng là x
1
, x
2
, , x
n

và
g
1
, g
2
, , g
n
.
Trong trường hợp thứ hai, điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm của phương
trình (2.2.2) và (2.2.3) tương ứng là:
g
k
(y) = 0, (k = 1, 2, , n)
và
f(x
k
) = 0, (k = 1, 2, , n).
24
Khi các điều kiện này được thỏa mãn thì nghiệm tổng quát của phương trình
(2.2.2) có dạng:
x = x
∗
+
n

k=1
c
k
x
k

và nghiệm tổng quát của phương trình (2.2.3) có dạng:
g = g
∗
+
n

k=1
c
k
g
k
trong đó x
∗
, g
∗
lần lượt là các nghiệm tùy ý của phương trình (2.2.2) và (2.2.3),
c
1
, c
2
, , c
n
là các hằng số tùy ý.
Trong trường hợp X là một không gian Hilbert thì Định lí 2.2.2.7 chuyển
thành
Định lý 2.2.2.8. Giả sử X là một không gian Hilbert, A là một toán tử compact
tùy ý trong X, Khi đó
a. Số nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình T (x) = 0 là hữu hạn và
bằng số nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình T
∗

(g) = 0.
b. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.2.2) có nghiệm là y ⊥ N(T
∗
).
Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.2.3) có nghiệm là f ⊥ N(T ).
Cho X là một không gian Hlibert, A : X → X là toán tử compact tự liên
hiệp. Xét phương trình:
Ax − λx = y (2.2.27)
trong đó λ = 0 là một số tùy ý cho trước và y ∈ X là một phần tử tùy ý
cho trước. Khi đó nếu đặt T
λ
= A − λI, với I là toán tử đồng nhất trong
X thì phương trình (2.2.27) trở thành phương trình: T
λ
x = y. Ta kí hiệu
N(T
λ
) = T
−1
λ
({0}).
Định lí sau sẽ chỉ rõ dạng nghiệm của phương trình (2.2.27), nếu nghiệm đó
tồn tại.
Định lý 2.2.2.9. Giả sử X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là một toán
tử compact tự liên hiệp và
λ
1
, λ
2
, , λ

n
,
25