ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TN ĐH TỪ XA

Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN
PHẦN A
MÔN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
I/ NHÓM
Bài tập 1/ Xét vành
26
Z
các số nguyên môdulô 26 và G là tập hợp các phần tử khả nghịch
trong
26
Z
đối với phép nhân.
a/ Xác định G và CMR G là một nhóm với phép nhân.
b/ Lập bảng nhân với nhóm G.
c/ Tìm cấp các phần tử trong G và G có là nhóm nhân cyclic không.
GIẢI
a/ Ta có
n
x Z∈
là khả nghịch ⇔
( )
, 1x n =
Do đó
( )
{ }
{ }
26
0 25; ,25 1 1, 3, 5,7, 9,11,15,17,19,21,23,25G x Z x x= ∈ ≤ ≤ = =
+
, ; .a b G a b G∀ ∈ ∈

vì a,b khả nghịch và
( )
1
1 1
ab b a
−
− −
=
nên phép nhân cótính kết hợp trên G.
+
1 G∈
nên G có đơn vị là
1
+
a G∀ ∈
, a khả nghịch và nghịch đảo là
1
a G
−
∈
vì
1
a
−
khả nghịch và
( )
1
1
a a
−

−
=
Vậy G là một nhóm với phép nhân.
b/
1
3
5
7
9
11
15
17
19
21
23
25
1
1
3
5
7
9
11
15
17
19
21
23
25
3

3
9
15
21
1
7
19
25
5
11
17
23
5
5
15
25
9
19
3
23
7
17
1
11
21
7
7
21
9
23

11
25
1
15
3
17
5
19
9
9
1
19
11
3
21
5
23
15
7
25
17
11
11
7
3
25
21
17
9
5

1
23
19
15
15
15
19
23
1
5
9
17
21
25
3
7
11
17
17
25
7
15
23
5
21
3
11
19
1
9

19
19
5
17
3
15
1
25
11
23
9
21
7
21
21
11
1
17
7
23
3
19
9
25
15
5
23
23
17
11

5
25
19
7
1
21
15
9
3
25
25
23
21
19
17
15
11
9
7
5
3
1
c/ Do
12G =
nên
( )
, 12a G ord a∀ ∈
hay
( )
1;2;3;4;6;12ord a =

( )
1 1ord =
;
2
3 9=
;
3
3 1=
⇒
( )
3 3ord =
;

2
5 25=
;
3
5 21=
;
4
5 1=
⇒
( )
5 4ord =
;

2
7 23=
;

3
7 5=
;
4
7 9=
;
6
7 25=
⇒
( )
7 12ord =

( )
2 3
9 3; 9 1 ord 9 3= = =
;

( )
2 3 4 6
11 17; 11 5; 11 3; 11 25 rd 11 12o= = = = ⇒ =
Trang 1
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán

( )
2 3 4 6
15 17;15 21; 15 3; 15 25 ord 15 12= = = = ⇒ =

( )
2 3 4 6
17 3; 17 25; 17 9; 17 1 17 6ord= = = = ⇒ =

( )
2 3 4 6
19 23; 19 21; 19 9; 19 25 ord 19 12= = = = ⇒ =

( )
2 3 4
21 25; 21 5; 21 1 21 4ord= = = ⇒ =

( )
2 3 4 6
23 9; 23 25; 23 3; 23 1 ord 21 6= = = = ⇒ =

( )
2
25 1 ord 25 2= ⇒ =
Do cấp
12G =
và trong G có phần tử cấp 12, nên G là một nhóm cyclic.
Bài tập 2/ Kí hiệu
( )
11 11
2, , ; 1
0 1
m b
H GL Z m b Z m
 
 
= ∈ ∈ = ±
 

 ÷
 
 
Trong đó
( )
11
2,GL Z
là nhóm
nhân các ma trận vuông cấp 2 khả nghịch lấy hệ số trên trường
11
Z
các số nguyên modulô 11.
CMR
a/ H là nhóm con các nhóm
( )
11
2,GL Z
là 22 phần tử.
b/ Mỗi phần tử có thể viết được duy nhất dưới dạng
i j
A B
, trong đó
0 11; 0 j 2i≤ ≤ ≤ ≤
và

1 1 1 0
; B=
0 1 0 1
A
   

−
=
 ÷  ÷
   
GIẢI
a/ Rõ ràng
H ≠ ∅
và H có 22 phần tử, vì có 2 cách chọn cho m và 11 cách chọn cho b.

11
1 1 1
,
0 1 0 1 0 1
b c b c
b c Z H
    
± ± ± ±
∀ ∈ = ∈
 ÷ ÷  ÷
    
;
1 1 1 0
0 1 0 1 0 1
b b
    
± ± ±
=
 ÷ ÷  ÷
    
1

1 1
0 1 0 1
b b
H
−
   
± ± ±
⇒ = ∈
 ÷  ÷
   
; Vậy H là một nhóm con của nhóm
( )
11
2,GL Z
có 22 phần tử.
b/
1 1
, 0 11
0 1 0 1
i i
H i
 
   
−
 
= ≤ ≤
 
 ÷  ÷
 
   

 
;
11
1 1 1
,
0 1 0 1 0 1
b c b c
b c Z
    
±
∀ ∈ =
 ÷ ÷  ÷
    

1 1 1
; 0 i 11; j=0
0 1 0 1
i
i j
i
A B
   
= = ≤ ≤
 ÷  ÷
   
;
2
1 0 1 0 1 0
B =
0 1 0 1 0 1

    
− −
=
 ÷ ÷  ÷
    

1 1 1 0 1 1 1 0
; 0 i 11; j=1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
i
i j
i i
A B
        
− − −
= = = ≤ ≤
 ÷  ÷ ÷  ÷  ÷
        
Bài tập 3/
a/ Trong nhóm nhân
*
C
các số phức khác không, hãy xác định nhóm con cyclic sinh bởi
phần tử
*
2 2
C
2 2
x i= − + ∈
.

b/ Trên tập hợp
3
G Z=
với Z là tập các số nguyên, xet phép toán hai ngôi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
, , , ', ', ' ; , , * ', ', ' ', ', ' 'a b c a b c Z a b c a b c a a b b c c ba∀ ∈ = + + + −
.
CMR
( )
,*G
là nhóm không aben.
GIẢI
Trang 2
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
a/
2 2

2 2
x i= − +
;
2
x i= −
;
3
2 2

2 2
x i= +

;
4
1x = −
;
5
2 2
2 2
x i= −
;
6
x i=
;

7
2 2

2 2
x i= − −
;
8
1 x =
. Vậy
{ }
2 3 4 5 6 7
1, , , , , , ,x x x x x x x x=
.
b/
( ) ( ) ( )
, , , ', ', ' , '', '', ''a b c a b c a b c G∀ ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , * ', ', ' * '', '', '' ', ', ' ' * '', '', ''a b c a b c a b c a a b b c c ba a b c
 
= + + + −
 

( )
( )
' '', ' '', ' '' ' ' ''a a a b b b c c c ba b b a= + + + + + + − − +

( ) ( ) ( ) ( )
' '' , ' '' , ' '' ' '' ' ''a a a b b b c c c b a b a a
 
= + + + + + + − − +
 

( )
[ ]
, , * ' '', ' '', ' '' ' ''a b c a a b b c c b a= + + + −

( ) ( ) ( )
, , * ', ', ' * '', '', ''a b c a b c a b c
 
=
 
⇒ Phép * có tính kết hợp.
Ta lại có
( ) ( ) ( )
, , * 0,0,0 , ,a b c a b c=
;

( ) ( ) ( )
0,0,0 * , , , ,a b c a b c=

⇒
( )
0,0,0
là phần tử trung hòa của
( )
,*G
.
Mặt khác
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , * , , 0,0,0 , , * , ,a b c a b c ab a b c ab a b c− − − − = = − − − −
⇒
( )
, ,a b c
khả nghịch và
( ) ( )
1
, , , ,a b c a b c ab
−
= − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0,0 * 0,1,0 1,1,0 1,1, 1 0,1,0 * 1,0,0= ≠ − =
Vậy
( )
,*G
là nhóm không aben.
II/ VÀNH

Bài tập 1/ Kí hiệu

0 0
0 , , , , ,
a
U b d a b c d e f R
c e f
 
 
 
 ÷
= ∈
 
 ÷
 
 ÷
 
 
là một tập con của
( )
3,M R
.
Trong đó
( )
3,M R
là vành các ma trận vuông cấp 3 hệ số thực.
a/ Chứng tỏ rằng U là một vành con của vành
( )
3,M R
.

b/ U có phải là iđean trái, iđean phải của vành
( )
3,M R
không ?
GIẢI
a/ Ta có
3
1 0 0
0 1 0 U
0 0 1
I U
 
 ÷
= ∈ ⇒ ≠ ∅
 ÷
 ÷
 

0 0 ' 0 0
0 ; ' ' 0 U
' ' '
a a
A b d B b d
c e f c e f
   
 ÷  ÷
∀ = = ∈
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

⇒
' 0 0
' ' 0
' ' '
a a
A B b b d d U
c c e e f f
−
 
 ÷
− = − − ∈
 ÷
 ÷
− − −
 

' 0 0
' ' ' 0
' ' ' ' ' '
aa
A B ba db dd U
a c b e fc ed fe ff
 
 ÷
× = + ∈
 ÷
 ÷
+ + +
 
.

Vậy U là một vành con của
( )
3,M R
.
Trang 3
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
b/ Với
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I U
 
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 
và
( )
0 0 1
0 0 0 3,
0 0 0
X M R
 
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 

ta có

3
X I X U× = ∉
⇒ U không là iđean trái của
( )
3,M R

3
I X X U× = ∉
⇒ U không là iđean phải của
( )
3,M R
Bài tập 2/ Xét vành
n
Z
các số nguyên môđulô n
a/ Tìm tất cả các đồng cấu vành từ
120
Z
vào
42
Z
.
b/ Tìm ảnh và hạt nhân của từng đồng cấu vành ở câu a.
GIẢI
a/ Cho f :
m n
Z Z→
là một đồng cấu nhóm cộng.

Đặt
( )
1a f=
, ta có :
n
a Z∈
cho nên
( )
ord a n
,
Ngoài ra:
( ) ( )
( )
( )
1 1 0 0m a mf f m f m f× = = = = =
⇒
( )
ord a m
Do đó
( ) ( )
,ord a m n
. Đảo lại :
Cho
n
a Z∈
sao cho :
( ) ( )
,ord a m n
. Xét phép tương ứng : f :
m n

Z Z→
cho bởi
( )
f x xa=
Ta có :
( ) ( ) ( )
, ; m
m
x y Z x y x y ord a x y∀ ∈ = ⇒ − ⇒ −
⇒
( ) ( ) ( )
0 x y a xa ya f x f y− × = ⇒ = ⇒ =
. Vậy f là một ánh xạ.

( )
( )
( )
( ) ( )
, ; f =f f f
m
x y Z x y x y x y a xa ya x y∀ ∈ + + = + × = + = +
Do đó f là một đồng cấu nhóm cộng và
( )
1f a=
.
Cho f :
m n
Z Z→
là một đồng cấu nhóm cộng. Khi đó : f là một đồng cấu nhóm vành
⇔

( ) ( ) ( )
, ;
m
x y Z f x y f x f y∀ ∈ × = ×
⇔
( )
( ) ( )
, ;
m
x y Z f xy f x f y∀ ∈ = ×
⇒
( ) ( ) ( )
, ; 1 1 1x y Z f xy f x f y∀ ∈ × = × × ×
⇒
( ) ( ) ( )
, ; 1 1 1x y Z xy f x f y f∀ ∈ = ×
⇔
( ) ( )
2
1 1f f=
Khi m=120, n=42. Ta có :
( )
120,42 6=
; các phần tử trong
42
Z
có cấp ước của 6 là :

0,7,14,21,28,35
do đó ta có 6 đồng cấu nhóm cộng

i
f
:
120 42
; 0 i 5Z Z→ ≤ ≤
như sau :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 3 4 5
0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35f x f x x f x x f x x f x x f x x= = = = = =
Do
2 2 2 2
2 2
0 0 ; 7 49 7 ; 14 28 14 ; 21 21 ; 28 28 ; 35 7 35= = = = ≠ = = = ≠
Vậy các đồng cấu vành từ
120
Z
vào
42
Z
là
0 1 3 4
; ; ; f f f f
b/ Ta có :
Trang 4
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán

{ }
{ }
{ }

{ }
0 0 120
1 42 1 120
3 42 1 120
4 42 1 120
Im 0 ; ker
Im 0,7,14,21,28,35 =7Z ; ker 6
Im 0,21, =21Z ; ker 2
Im 0,28,14 =14Z ; ker 3
f f Z
f f Z
f f Z
f f Z
= =
= =
= =
= =
Bài tập 3/ Xét vành C các số phức và
2 2
C
2 2
a i= + ∈
. Chứng tỏ rằng tập hợp :
{ }
2 3
, , ,S m na pa qa m n p q Z= + + + ∈
là vành con của C sinh bởi a. S có là một iđean của C
không ?
GIẢI
+/ Chứng tỏ S là vành con của C sinh bởi a.

Ta có :
2
2 3 4
2 2 2 2 2 2
; ; 1
2 2 2 2 2 2
a i i a i i i a
   
= + = = + = − + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Lại có :
2 3
0 0 0 0 0 S Sa a a= + + + ∈ ⇒ ≠ ∅
.
, , , , , , ', ', ', 'x y S m n p q m n p q Z∀ ∈ ∃ ∈
sao cho :

2 3 2 3
; ' ' ' 'x m na pa qa y m n a p a q a= + + + = + + +
Vì :

( ) ( ) ( ) ( )
2 3
' ' ' ' Sx y m m n n a p p a q q a− = − + − + − + − ∈

( ) ( )
( ) ( )
2 3

' ' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' S
x y mm nq qn pp mn nm pq qp a
mp pm np pn a mq qm np pn a
× = − − − + + − − +
+ + + + + + + + ∈
Do đó S là một vành con của C.

2 3
0 2 0 0 S a a a a= + + + ∈
. Cho T là một vành con tùy ý của C và
T a
∋
. Khi đó :

2 3 4
, , , 1T a a a a∋ = −
. Nên
( ) ( )
2 3
, , , ; T 1 , , ,m n p q Z m na pa qa∀ ∈ ∋ − −
.
Do đó
2 3
T m na pa qa∋ + + +
. Hay
T S⊃
Vậy S là vành con nhỏ nhất của C mà chứa a, hay S là vành con của C sinh bởi a.
+/ S có là một iđean của C không ?
Giả sử S là một iđean của C, khi đó với

2
1 ,
2
S i C∈ ∈
. Ta có :
2 2
1
2 2
i i S× = ∈
nên

, , ,m n p q Z∃ ∈
sao cho
2 3
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
i m na pa qa m n i pi q i
   
= + + + = + + + + − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

( ) ( )
2 2
2 2
m n q i p n q
   
= + − + + +
   

   
⇔
( )
( )
0
2
0
0
0
2

1
0
2 2
2
1
2 2
m
m p
m n q
n q
p
n q
p n q
n q
=


= =
+ − =




− =
  
⇔ ⇔
  
=
= =
  

+ + =
 
+ =


vô lí
Vậy S không là iđean của C.
Bài tập 4/ Kí hiệu T là vành tất cả các ma trận tam giác dưới cấp 3 trên vành Z các số
nguyên.
Đặt
Trang 5
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán

0 0 0 0 0 0
0 0 , , ; 0 0 , ,
2 0 2 2 0
I a a b c Z J l l m n Z
b c m n
   

   
   
 ÷  ÷
= ∈ = ∈
   
 ÷  ÷
   
 ÷  ÷
   
   
. Chứng minh rằng :
a/ I là iđean hai phía của T và J là iđean hai phía của I
b/ J là iđean phải của T, nhưng không là iđean trái của T.
GIẢI
a/ Ta có :
; I T J I⊂ ⊂
và
0 0 0
0 0 0
0 0 0
I I
 
 ÷
∈ ⇒ ≠ ∅
 ÷
 ÷
 
;
0 0 0 0 0 0
0 0 ; 0 0

2 0 2 0
A a B d I
b c e f
   
 ÷  ÷
∀ = = ∈
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

0 0
0
x
X y t I
z u v
 
 ÷
∀ = ∈
 ÷
 ÷
 
, ta xét :
( )
0 0 0
0 0
2 0
A B a d I
b e c f
 
 ÷

− = − ∈
 ÷
 ÷
− −
 
;
0 0 0
0 0
2 0
X A at I
au bv cv
 
 ÷
× = ∈
 ÷
 ÷
+
 

0 0 0
0 0
2 2 0
A X ax I
bx cy ct
 
 ÷
× = ∈
 ÷
 ÷
+

 
. Vậy T là iđean hai phía của T.
Mặt khác :

0 0 0
0 0 0
0 0 0
J J
 
 ÷
∈ ⇒ ≠ ∅
 ÷
 ÷
 
;
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 ; 0 0 ; 0 0
2 2 0 2 2 0 2 0
C l D p J A a I
m n q r b c
     
 ÷  ÷  ÷
∀ = = ∈ ∀ = ∈
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
Ta có :
( ) ( )
0 0 0
0 0

2 2 0
C D l p J
m q n r
 
 ÷
− = − ∈
 ÷
 ÷
− −
 
;
0 0 0 0 0 0
0 0 0 ; 0 0 0
2 0 0 2 0 0
A C J C A J
cl na
   
 ÷  ÷
× = ∈ × = ∈
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Vậy J là một iđean hai phía của vành I.
b/ Theo câu a ở trên J là một nhóm con của nhóm cộng T.

( )
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 ; 0 ; C X 0 0
2 2 0 2 2 0
x

C l J X y t T lx J
m n z u v mx ny nt
 
   
 ÷
 ÷  ÷
∀ = ∈ ∀ = ∈ × = ∈
 ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷
+
   
 
Vậy J là một iđean phải của T.

0 0 0
X C 0 0
2 2 0
tl J
mv lu nv
 
 ÷
× = ∈
 ÷
 ÷
+
 
; Chọn
0 0 0 0 0

0 0 ; 0 ;
2 2 0
x
C l J X y t T
m n z u v
   
 ÷  ÷
= ∈ = ∈
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
⇒
X C J× ∉
.
Vậy J không là một iđean trái của T.
Bài tập 5/ Kí hiệu Q là trường các số hữu tỉ và
( )
Q P
là trường các số thực có dạng :
a b p+
với
,a b Q∈
‘ ở đây p là số nguyên tố’.
a/ CMR tập hợp các ma trận có dạng :
; ,
5
a b
a b Q
b a
 

∈
 ÷
 
là một trường đối với phép cộng và
phép nhân ma trận, trường này có đẳng cấu với trường
( )
5Q
Trang 6
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
b/ Chứng tỏ rằng trường
( )
5Q
không đẳng cấu với trường
( )
7Q

GIẢI
a/ Đặt
,
5
a b
K a b Q
b a
 
 
= ∈
 
 ÷
 
 

. Ta có
( )
2,K M Q⊂
. Chọn a=0 ; b=0 ta có :
0 0
0 0
K K
 
∈ ⇒ ≠ ∅
 ÷
 

( )
;
5
5 5
a c b d
a b c d
A B K A B K
b d a c
b a d c
− −
 
   
∀ = = ∈ ⇒ − = ∈
 ÷
 ÷  ÷
− −
   
 

;

( ) ( )
5 5
;
5 5 5 5
ac bd ad bc ca db bc ad
A B K B A A B
ad bc ac bd bc ad ca db
+ + + +
   
× = ∈ × = = ×
 ÷  ÷
+ + + +
   
Chọn a=1; b=0 ta có :

2
1 0
0 1
I K
 
= ∈
 ÷
 
;
; A 0
5
a b
A K

b a
 
∀ = ∈ ≠
 ÷
 
tức là a, b không đồng thời bằng 0
( )
2 2
5 0a b− ≠

2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
5 1
5 5 5
0 5
5 5 5
a a b
c
ac bd
a b a b a b
A
bc ad b b a
d
a b a b a b
−
−
  
=
 ÷


+ =


− − −
⇔ ⇒ =
 ÷
 
+ = − −
 ÷


=
 ÷

− − −
  
Vậy K làmột trường .
Xét ánh xạ f :
( )
5K Q→
cho bởi
5
5
a b
f a b
b a
 
= +
 ÷

 
. Rõ ràng f là một song ánh

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
; ; f 5
5
5 5
a c b d
a b c d
A B K A B f a c b d f A f B
b d a c
b a d c
+ +
 
   
∀ = = ∈ + = = + + + = +
 ÷
 ÷  ÷
+ +
   
 

( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5

f 5 5 5 5
5 5
ac bd ad bc
A B f ac bd ad bc a b c d f A f B
ad bc ac bd
+ +
 
× = = + + + = + + = ×
 ÷
+ +
 
Vậy f là một đẳng cấu.
b/ Giả sử tồn tại một đẳng cấu g :
( ) ( )
5 7Q Q→
.
Khi đó
( )
1 1g =
nên
( ) ( ) ( )
5 5 1 5 1 5 1 5g g g= × = = × =
. Và ta có :

( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
5 5 5 5 5 5 7 ; a,b Qg g g g a b= = × = = + ∈
⇔
2 2 2 2

5 2 7 7 2 7 5 7a ab b ab a b= + + ⇒ = − −
+ xét a=0 ta có :
2
0 5 7b= −
vô lí
+ xét b=0 ta có :
2
0 5 7a= −
vô lí
+ xét
0; 0a b≠ ≠
ta có :
2 2
5 7
7
2
a b
ab
− −
=
vô lí
Vậy trường
( )
5Q
không đẳng cấu với trường
( )
7Q

III/ MÔĐUN
Bài tập 1/

a/ Dùngđịnh lí cơ bản của đồng cấu môđun. Chứng minh Z đẳng cấu sau :

( )
3 7
3
7 7 21
Z Z
Z Z
Z Z Z
+
≅ ≅
b/ Tính
( )
5 7
,
Z
Hom Z Z
.
GIẢI
Trang 7
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
a/ Ta có :
{ } { }
3 3 ; 7 7Z x x Z Z x x Z= ∈ = ∈
. Do
( )
3,7 1; , 3 7 1x y Z x y= ∃ ∈ + =
Vì
3 ,7 3 7Z Z Z Z Z Z⊂ ⇒ + ⊂
. Thật vậy :

, z=3xz+7yz 3Z+7Z Z 3Z+7Zz Z∀ ∈ ∈ ⇒ ⊂
Do đó :
3 7Z Z Z
= +
. Vậy
( )
3 7
7 7
Z Z
Z
Z Z
+
≅
Mặt khác :
{ } { }
3 7 3; 7 21 21Z Z x Z x x x Z x Z∩ = ∈ = ∈ =M M M
Theo định lí cơ bản của đồng cấu môdun R ta có :
( )
( )
3 7
3 3
7 3 7 21
Z Z
Z Z
Z Z Z Z
+
≅ ≅
∩
b/ Do
( )

5,7 1; x,y Z 5 7 1x y= ∃ ∈ + =
. Khi đó :
( )
5 7
,
Z
f Hom Z Z∀ ∈
. Ánh xạ f :
5 7
Z Z→
là một đồng
cấu Z-môđun và :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 5 7 5 7 7 7 0f f x y f x y f y f y= + = + = = =
⇒
( )
( ) ( )
5
; 1 1 0 0a Z f a f a a f a∀ ∈ = × = × = × =
⇒ f = 0.
Vậy
( )
5 7
,
Z
Hom Z Z
chỉ có duy nhất phần tử
{ }
0

. Hay
( ) { }
5 7
, 0
Z
Hom Z Z =
.
Bài tập 2/ Cho nhóm cộng aben R các số thực được xem như là một môđun trên vành Z các
số nguyên. Tồn tại hay không một Z-môđun S sao cho
5R Z S
 
= ⊕
 
?
GIẢI
Giả sử tồn tại một Z-môđun S sao cho
5R Z S
 
= ⊕
 
.
Khi đó với
1
; , ,
2
R a b Z s S∈ ∃ ∈ ∃ ∈
sao cho :

( )
( ) ( ) { }

1
5 2 1 2 2 5 Z 5 0
2
a b s s a b S
 
= + + ⇔ = − + − ∈ =
 
I
⇒ 2s=0 ⇒ s=0 ⇒
1
1
5
2
2
0
a
a b
b

=

= + ⇒


=

vô lí
Vậy không tồn tại một Z-môđun S sao cho
5R Z S
 

= ⊕
 
Bài tập 3 : Cho ϕ :
A B→
và ψ :
B C→
là hai đồng cấu R-môđun sao cho ϕ.ψ là một
đẳng cấu. Chứng minh rằng B= Imϕ ⊕ ker ψ.
GIẢI

( )
; b B b C
ψ
∀ ∈ ∈
, do ϕ.ψ là một toàn cấu
a A
∃ ∈
sao cho
( ) ( )
a b
ψ ϕ ψ
× =
.
Đặt
( )
x a
ϕ
=
. Ta có
Imx

ϕ
∈
và đặt
y b x= −
ta có :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
0y b x b x b a
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ϕ
= − = − = − =
nêm
kery
ψ
∈
.
Tóm lại :
; x Im , y kerb B
ϕ ψ
∀ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈
:
b x y= +
.
Do đó B= Im
ϕ
⊕ ker
ψ
.

( )

( )
,
Im
Im ker
0
ker
a A b a
b
b
b
b
ϕ
ϕ
ϕ ψ
ψ
ψ

∃ ∈ =
∈


∈ + ⇒ ⇒
 
=
∈



⇒
( ) ( )

( )
( )
0a a b
ψ ϕ ψ ϕ ψ
× = = =
⇒
( ) { }
ker 0 a
ψ ϕ
∈ × =
( do ϕ.ψ đơn cấu).
⇒
( )
0 0 0a b
ϕ
= ⇒ = =
.
Do đó
{ }
Im ker 0
ϕ ψ
+ =
. Vậy B= Im
ϕ
⊕ ker
ψ
.
Trang 8
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
Bài tập 4 : Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và M, M’ và N là các R-môđun. Chứng

minh rằng
( ) ( ) ( )
', , ',
R R R
Hom M M N Hom M N Hom M N× ≅ ×
.
GIẢI
Xét hai phép nhúng i :
. 'M M M
→
:
( )
,0x xa
; j :
' . 'M M M
→
:
( )
0,y ya
.
Ta có i và j là 2 đồng cấu R-môđun. Do đó :
( )
',
R
f Hom M M N∈ ×
ta có

( )
,
R

f i Hom M N× ∈
và
( )
',
R
f j Hom M N× ∈
.
Xét ánh xạ : ψ :
( ) ( ) ( )
', , ',
R R R
Hom M M N Hom M N Hom M N× → ×

( )
,f f i f j× ×a

( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
, ', ; , ,
,
= a , ,
=a
R
f g Hom M M N a b R
af bg af bg i af bg j
f i f j b g i g j
f b g

ψ
ψ ψ
∀ ∈ × ∀ ∈
+ = + × + ×
× × + × ×
+
Do đó ψ là một đồng cấu R-môđun.

( ) ( )
, , ',
R R
g h Hom M N Hom M N∀ ∈ ×
.
Xét ánh xạ f :
' NM M× →
cho bởi
( ) ( ) ( )
,f x y g x h y= +

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
, , , ' , , , , , ,x y u v M M a b R f a x y b u v f ax bu ay bv∀ ∈ × ∀ ∈ + = + +

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )

( ) ( )
, ,
g ax bu h ay bv
ag x bg u ah y bh v
a g x h y b g u h v
af x y bf u v
= + + +
= + + +
= + + +
= +
Do đó f là một đồng cấu R-môđun hay
( )
',
R
f Hom M M N∈ ×
.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,0 0
, ',
0, 0
f i x f x g x h g x
f i g
x M y M
f j y f y g h y h y
f j h

× = = + =
× =



∀ ∈ ∈ ⇒
 
× = = + =
× =



⇒
( ) ( ) ( )
, ,f f i f j g h
ψ
= × × =
. Do đó ψ là một toàn cấu.
Cho f ∈ kerψ ⇒
( ) ( )
0
, 0
0
f i
f f i f j
f j
ψ
× =

= × × = ⇒

× =


⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
, . ' , f , ,0 0, ,0 0, 0x y M M x y f x y f x f y f i x f j y∀ ∈ = + = + = × + × =
⇒
0f =
Do đó
{ }
ker 0
ψ
=
. Hay
ψ
là một đơn cấu.
Vậy
ψ
làmột đẳng cấu.
Bài tập 5 : Cho hai trường hữu hạn các số nguyên môđulô
7
Z
và
11
Z
. Ta định nghĩa các phép
toán trên
{ }
*
7 11 11
\ 0Z Z Z× =

như sau :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
*
7 11
, , ', ' , ; , ', ' ', ' ; , ,
n
x y x y Z Z n Z x y x y x x yy n x y nx y×∀ ∈ ∀ ∈ + = + =
a/ Chứng tỏ rằng
*
7 11
Z Z×
là một môđun trên vành Z các số nguyên.
b/
n
Z
là nhóm cộng các số nguyên môđulô n được xem như là Z-môđun. Môdun
*
7 11
Z Z×
có
đẳng cấu với
70
Z
không ?
Trang 9
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
c/ Môđun
*

5 11
Z Z×
có đẳng cấu với
50
Z
không ?
GIẢI
a/
( ) ( ) ( )
*
7 11
, , ', ' , '', '' , , x y x y x y Z Z n m Z
×
∀ ∈ ∀ ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1. , ', ' ', ' ' , ' ', ' ,x y x y x x yy x x y y x y x y+ = + = + = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2. , ', ' '', '' ', ' + '', ''
' '', ' ''
, ' '', ' ''

x y x y x y x x yy x y
x x x yy y
x y x x y y
 
+ + = +

 
= + +
= + +
( ) ( ) ( )
= , ', ' '', ''x y x y x y
 
+ +
 

( )
( ) ( )
( )
3. , 0, 1 0, 1 ,x y x y x y+ = + =

( )
( )
( )
( )
( )
1 1
4. , , , 0, 1x y x y x x yy
− −
+ − = + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
5. , ', ' ', ' ' , '
= ', ' , ', '
= , ', '

n
n n n n
n x y x y n x x yy n x x yy
nx nx y y nx y nx y
n x y n x y
 
 
+ = + = +
 
 
+ = +
+

( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
6. , , ,
= , , , ,
n m
n m
n m
n m x y n m x y nx mx y y
nx y mx y n x y m x y
+
 
+ = + = +
 
+ = +

( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
7. , , , = , ,
n
m m nm
n m x y n mx y nmx y nmx y nm x y
 
 
= = =
 
 
 

( )
( )
( )
1
8. 1. , 1. , ,x y x y x y= =
Vậy
*
7 11
Z Z×
là một Z-môđun
b/ Ta có :
7
Z
là nhóm cộng cyclic cấp 7 ;
*

11
Z
là nhóm cộng cyclic cấp 10.
Mà :
( )
7,10 1=
cho nên
*
7 11
Z Z×
là nhóm cyclic cấp
7 10 70
× =
.
Mặt khác :
70
Z
là nhóm cyclic cấp 70. Do đó
*
7 11 70
Z Z Z× ≅
.
Vậy Z-môđun
*
7 11
Z Z×
đẳng cấu với Z-môđun
70
Z
.

c/
( ) ( )
( )
( )
* 10
5 11
, , 10 , 10 , 0,1x y Z Z x y x y×∀ ∈ = =
. Nên
( )
,x y
có cấp là ước của 10.
Do đó mọi phần tử trong
*
5 11
Z Z×
đều có cấp là ước của 10. Nên không có phần tử nào của
*
5 11
Z Z×
có cấp là 50. Trong khi
50
Z
là nhóm cyclic cấp 50, tức là tồn tại một phần tử trong
50
Z

có cấp 50.
Vậy Z-môđun
*
5 11

Z Z×
không đẳng cấu với Z-môđun
50
Z
.
IV/ ĐA THỨC
Bài tập 1 :
a/ Trên trường Q tìm ƯCLN của :
( )
4 3 2
2 7 10 10 6f x x x x x= + + + +
;
( )
3 2
2 3 2 3g x x x x= + + +
b/ Trên trường
5
Z
tìm ƯCLN của :
( )
6 5 4 2
3 4 2f x x x x x x= + + + + +
;
( )
5 2
2 2g x x x x= − + −
c/ hãy nhân tử hóa trên Q đa thức :
( )
5 3 2
7 12 4f x x x x x= − + + −

.
GIẢI
a/
Trang 10

4 3 2
2 7 10 10 6x x x x+ + + +

3 2
2 3 2 3x x x+ + +

4 3 2
2 3 2 3x x x x+ + +

2x
+

3 2
4 8 7 6x x x+ + +

3 2
4 6 4 6x x x+ + +

2
2 3x x+

3 2
2 3 2 3x x x+ + +

2

2 3x x+

3 2
2 3x x+

x

2 3x +


2
2 3x x+

2 3x +

2
2 3x x+

x

0

Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
Vậy ƯCLN
( ) ( )
( )
, 2 3f x g x x= +
b/
Vậy ƯCLN
( ) ( )

( )
, 2f x g x =
c/ 1 0 -7 1 12 -4
2 1 2 -3 -5 2 0
-2 1 0 -3 1 0

( ) ( ) ( )
( )
3
2 2 3 1f x x x x x⇒ = − + − +
Đặt
( )
3
3 1q x x x= − +
ta có
( ) ( ) ( )
3
3 2
2 2 3 2 1 6 9 3q x x x x x x+ = + − + + = + + +
. Đây là đa thức
bất khả quy trên Q theo tiêu chuẩn Eisensten với p=3. Do đó
( )
q x
là bất khả quy trên Q.
Vậy ta có phân tích
( )
f x
thành các đa thức bất khả quy trên Q là

( ) ( ) ( )

( )
3
2 2 3 1f x x x x x= − + − +
Bài tập 2/ Cho đa thức hệ số thực
( )
6 5 4 3 2
3 2 3 1p x x x x x x x= − + − + − +
.
a/ Chứng tỏ đơn vị ảo i là nghiệm kép của
( )
p x
.
b/ Hãy phân tích
( )
p x
thành tích các đa thức bất khả quy trên R.
Trang 11
6 5 4 2
+x 3 4 2x x x x+ + + +

5 2
2 2x x x− + −
6 3 2
4x 4 3x x x+ +

1x +


5 4 3 2
+x +x 2x x x+ + +

5 2
2 2x x x− + −


4 3 2
x +x 2 4 4x x+ + +
5 2
4 4 2x x x+ + +

4 3 2
2 4 4x x x x+ + + +
5 4 3 2
2 4 4x x x x x+ + + +

4x +


4 3
4x +3x 3 2x+ + +

4 3 2
4x +4x 3 1x x+ + +


3 2
4x 2 2 2x x+ + +
4 3 2
+ 2 4 4x x x x+ + +

3 2
4 2 2 2x x x+ + +
4 3 2
+3 3 3x x x x
+ +

4 2x +


3 2
3 4 4x x x+ + +

3 2
3 4 4 4x x x+ + +


2x
3 2
4 2 2 2x x x+ + +

2x
3
4x

2
2 1x x+ +


2
2 2 2x x+ +

2
2x


2 2x +

2x

2

2x

2

2x

x


0

Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
GIẢI
a/ Ta có
( )
6 5 4 3 2
3 2 3 1 1 3 2 3 1 0p i i i i i i i i i i= − + − + − + = − − + + − − + =

( )

5 4 3 2
' 6 5 12 6 6 1p x x x x x x= − + − + −

( )
5 4 3 2
' 6 5 12 6 6 1 6 5 12 6 6 1 0p i i i i i i i i i⇒ = − + − + − = − − + + − =

( )
4 3 2
'' 30 20 36 12 6p x x x x x= − + − +

( )
4 3 2
'' 30 20 36 12 6 30 20 36 12 6 8 0p i i i i i i i i⇒ = − + − + = + − − + = ≠
Vậy i là nghiệm kép của
( )
p x
.
b/ Do
( )
p x
có hệ số thực và i là nghiệm kép của
( )
p x
ta có liên hợp của i là –i cũng là
nghiệm kép của
( )
p x
. Do đó
( )

p x
chia hết cho
( ) ( )
( )
2
2 2
2 4 2
1 2 1x i x i x x x− + = + = + +

6 5 4 3 2
3 2 3 1x x x x x x− + − + − +

4 2
2 1x x+ +

6 4 2
2 x x x+ +

2
1x x− +


5 4 3 2
2 2 1x x x x x− + − + − +

5 3
2 x x x− − −

4 2
2 1x x+ +

4 2
2 1x x+ +

0
Ta thấy
2
1x x− +
là bất khả quy trên R vì
1 4 3
∆ = − = −
< 0 .
Vậy ta có phân tích
( )
p x
thành tích các đa thức bất khả quy trên R là

( )
( ) ( )
2
2 2
1 1p x x x x= + − +
.
Bài tập 3/
a/ Cho
*
n N∈
và
R
θ

∈
. Tìm dư của phép chia Euclid
( )
cos sin
n
x
θ θ
+
cho
2
1x +
trong
[ ]
C x
b/ Cho
*
; ,n N a b C∈ ∈
sao cho
a b≠
và hai đa thức

( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
2 2 2 2
;
n n
A x a x b B x a x b C x= − + − = − − ∈
.
Xác định dư của phép chia Euclid A cho B.
GIẢI

a/ Thực hiện phép chia Euclid
( )
cos sin
n
x
θ θ
+
cho
2
1x +
.
( )
[ ]
, ,q x C x a b C∃ ∈ ∃ ∈
sao cho

( )
( )
( ) ( )
2
cos sin 1
n
x x q x ax b
θ θ
+ = + + +
.
Thay
x i=
và
x i= −

vào trong đẳng thức trên ta có

( )
( )
cos sin
cos sin sin
cos sin cos
cos sin
n
n
i ai b
ai b n i n a n
ai b n i n b n
i ai b
θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ

+ = +
+ = + =
 

⇔ ⇔
  
− + = − =
− = − +
 



Dư cần tìm là
sin cosx n n
θ θ
+
.
b/ Thực hiện phép chia Euclid A cho B ,
[ ]
,Q R C x∃ ∈
sao cho
( )
deg 3A BQ R R= + ≤

( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
R A BQ.
n
n
n
R a a b
R a b
R b b a

= −

⇒ = − ⇒ ⇒ − −


= −


có hai nghiệm a và b.

( ) ( ) ( )
2n
R a b x a x b S⇒ − − = − −
. Trong đó
[ ]
( )
; deg 1S C x S∈ ≤
.
Trang 12
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
Ta có đạo hàm
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2
2 2 2
' ' ' ' 2 2
2 '
' '
n
R A B Q BQ n x a x a x b Q
x a x b Q x a x b Q
R x b S x a S x b x a S
−


= − + = − − − −



− − − − − −

= − + − + − −



( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 2
2 1 2 2
' 2 2
' 2 2
n n
n n
R a n a b a b S a S a n a b
R b n b a b a S b S b n b a
− −
− −
 
= − = − = −
 
⇒ ⇒
 

= − = − = −
 
 

( )
2 2
2
n
S n a b
−
⇒ − −
có hai nghiệm phân biệt a và b.

( )
2 2
2 0
n
S n a b
−
⇒ − − =
vì
( )
deg 1S ≤

( )
2 2
2
n
S n a b
−

⇒ = −
Vậy dư cần tìm là
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
n n
R n a b x a x b a b
−
= − − − + −
Bài tập 4/ Trên trường R các số thực, hãy phân tích phân thức hữu tỷ sau thành tổng các phân
thức đơn giản.
( )
8 4
3
2
2
1
x x
x x
− +
− +
GIẢI
Ta có
2
1x x− +
bất khả quy trên R vì
1 4 3∆ = − = −
< 0.

8 4

2x x− +

2
1x x− +

8 7 6
x x x− +

6 5 3 2
2 1x x x x x+ − − − +

7 6 4
2x x x− − +

7 6 5
x x x− +

5 4
2x x− − +

5 4 3
-x x x− +

4 3
2 2x x− + +

4 3 2
2 2 2 2x x x− + − +

3 2

2 2x x− + +

3 2
x x x− + +

2
2x x+ +

2
1x x− +

2 1x +
Do đó
( ) ( )
( )
8 4 6 5 3 2 2
2 2 1 1 2 1x x x x x x x x x x− + = + − − − + − + + +

( ) ( )
( )
6 5 3 2 4 3 2 2
2 1 2 2 5 1 4 6x x x x x x x x x x x x+ − − − + = + + + − − + + − +
Trang 13
6 5 3 2
2 1x x x x x+ − − − +

2
1x x− +
6 5 4
x x x− +

4 3 2
2 2 5x x x x+ + − −


5 4 3 2
2 2 1x x x x x− − − − +

5 4 3
2 2 2x x x− +

4 3 2
3 2 1x x x x− − − +

4 3 2
x x x− +

3 2
2 3 1x x x− − − +

3 2
2 2 2x x x− + −

2
5 1x x− + +

2
5 5 5x x− + −

4 6x− +

4 3 2
2 2 5x x x x+ + − −

2
1x x− +

4 3 2
x x x− +

2
3 3x x+ +


3
3 2 5x x− −

3 2
3 3 2x x x− +

2
3 5 5x x− −

2
3 3 3x x− +

2 8x
− −
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán

( ) ( )
( )
4 3 2 2 2
2 2 5 3 3 1 2 8x x x x x x x x x+ + + − = + + − + + − −
Phân tích cần tìm là
( ) ( ) ( )
8 4
2
3 2 3
2
2 2 2
2 2 8 4 6 2 1
3 3
1
1 1 1
x x x x x
x x
x x
x x x x x x
− + − − − + +
= + + + + +
− +
− + − + − +
Bài tập 5/ Cho hai đa thức
[ ]
{ }
, \ 0A B F x∈
với F là một trường . CMR hai đa thức sau đây
tương đương.
a/ A và B không nguyên tố cùng nhau.

b/
[ ]
{ }
, \ 0U V F x∃ ∈
sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
deg deg ;deg degU V V A〈 〈
và
0AU BV
+ =
GIẢI
b/ Từ câu a ⇒ câu b. Gọi
( )
,D UCLN A B=
. Do A và B không nguyên tố cùng nhau ta có

( )
deg 1D ≥
. Do
( )
[ ]
{ }
1 1
, ; , \ 0D UCLN A B A B F x= ∃ ∈
sao cho
1
.A D A=
và
1
.B D B=

1 1 1 1 1 1
0AB BA DA B DA B⇒ − = − =
Đặt
1
U B=
và
1
V A= −
thì ta có
0AU BV
+ =

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
deg deg deg
deg deg deg
U B B
V A A
= 〈
= 〈
vì
( )
deg 1D ≥
a/ Từ câu b ⇒ câu a.
Giả sử
[ ]
{ }

, \ 0U V F x∃ ∈
sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
deg deg ;deg degU V V A〈 〈
và
0AU BV+ =
.
Gọi
( )
[ ]
{ }
1 1
, ; , \ 0D UCLN A B A B F x= ∃ ∈
sao cho
1
.A D A=
;
1
.B D B=
và
( )
1 1
, 1A B =
Từ
0AU BV+ =
⇒
1 1 1 1 1 1
0 0DAU DBV AU BV AU B V+ = ⇒ + = ⇒ = −

( )

[ ]
{ }
1 1 1 1 1 1
do , 1 \ 0 sao cho A B V A V A B P F x V A P⇒ ⇒ = ⇒ ∃ ∈ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
deg deg deg deg 1 A V A D do A DA≤ 〈 ⇒ ≥ =
Vậy A và B không nguyên tố cùng nhau.
V/ MỞ RỘNG TRƯỜNG
Bài 1/ Chứng minh rằng
a/
( ) ( )
, , ,Q a b Q a b a b Q= + ∀ ∈
b/
( ) ( )
2, 3, 5 2 3 5Q Q= + +
GIẢI
a/ Vì
( ) ( ) ( )
, ,a b Q a b Q a b Q a b+ ∈ ⇒ + ⊂
ta có

( ) ( )
( )
a b a b
a b
a b Q a b
a b a b
+ −

−
+ = = ∈ +
− −

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
1
2
a a b a b Q a b
b a b a b Q a b

 
= + + − ∈ +

 

⇒


 
= + − − ∈ +
 



( ) ( )
,Q a b Q a b⇒ ⊂ +
Vậy

( ) ( )
, , ,Q a b Q a b a b Q= + ∀ ∈
Trang 14
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
b/ Ta có
( ) ( ) ( )
2 3 5 2, 3, 5 2 3 5 2, 3, 5Q Q Q+ + ∈ ⇒ + + ⊂
vì
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5 24
 
+ + + − = + − =
 
 


( )
( )
( )
2
2
24
2 3 5 2 3 5
2 3 5
Q⇒ + − = ∈ + +
+ +

mặt khác

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 2 3 5 20 4 6
 
+ + + + − = + + = +
 
 

( ) ( ) ( )
2 2
1
6 2 3 5 2 3 5 20 2 3 5
4
Q
 
⇒ = + + + + − − ∈ + +
 
 
Ta lại có
( ) ( )
( )
2 3 5 2 3 5
2 6
2 3 5 2 3 5
2 3 5 2 3 5
Q
+ − + +
+ − = = ∈ + +
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
1
2 3 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 2 3 5
2
1
5 2 3 5 2 3 5 2 3 5
2
Q Q
Q

 
+ = + + + + − ∈ + + ⇒ + ∈ + +

 

⇒


 
= + + − + − ∈ + +
 



( ) ( )
2, 3, 5 2 3 5Q Q⇒ ⊂ + +
Vậy
( ) ( )
2, 3, 5 2 3 5Q Q= + +
Bài tập 2 :

a/ Chứng minh rằng đa thức
5 3 2
7 28 21 14x x x x− + − +
bất khả quy trên trường
( )
4
11,5Q i+
b/ Tìm
( )
5 5
81 4 27 :Q Q
 
−
 
GIẢI
a/ Đa thức
( )
5 3 2
7 28 21 14f x x x x x= − + − +
là đa thức bất khả quy trên Q theo tiêu chuẩn
Eisenstein với p=7.
Xét mở rộng :
( ) ( )
4 4
11 11,5Q Q Q i⊂ ⊂ +
ta có :

( ) ( )
( )
( ) ( )

4 4 4 4
11,5 : 11 5 : 11 11 :Q i Q Q i Q Q Q
     
+ = +
     
Vì
4
11
là nghiệm của phương trình
4
11x +
đây là đa thức bất khả quy trên Q theo tiêu
chuẩn Eisenstein với p=11.
Cho nên :
( )
4
11 : 4Q Q
 
=
 
.
Mặt khác : 5+i là nghiệm của phương trình :
( )
2
5 1x − +
là đa thức bất khả quy trên R và nó
là bất khả quy trên
( )
4
11Q R⊂

nên :
( )
( )
( )
4 4
11 5 : 11 2Q i Q
 
+ =
 
Do đó
( )
4
11,5 : 2.4 8Q i Q
 
+ = =
 
.
Giả sử
( )
f x
khả quy trên
( )
4
11,5Q i+
ta có hai trường hợp :
+ Trường hợp
( )
f x
có nghiệm u ∈
( )

4
11,5Q i+
, xét mở rộng :

( )
( )
4
11,5Q Q u Q i⊂ ⊂ +
ta có :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 4
11,5 : 11 5 : :Q i Q Q i Q u Q u Q
   
 
+ = +
 
   

Trang 15
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
vô lí vì
( )
4
11,5 : 2.4 8Q i Q
 
+ = =
 
và
( )

: 5Q u Q
 
=
 
vì
( )
8,5 1=
.
+ Trường hợp
( )
f x
vô nghiệm trên
( )
4
11,5Q i+
:
( ) ( ) ( )
f x p x q x=
. Trong đó
( ) ( )
,p x q x
là bất
khả quy trên
( )
4
11,5Q i+
lần lượt có bậc 2 và 3.
Gọi u là nghiệm của
( )
f x

. Ta có
( )
4
11,5u Q i∉ +
và u là nghiệm của
( )
p x
hoặc
( )
q x
.
Xét mơ rộng
( ) ( )
4 4
11,5 11,5 ,Q Q i Q i u⊂ + ⊂ +
và ta có :

( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 4 4 4
11,5 , : 11,5 , : 11,5 11,5 : 2.8 16 3.8 24Q i u Q Q i u Q i Q i Q
    
+ = + + + = = =
    
Xét mơ rộng
( )
( )
4
11,5 ,Q Q u Q i u⊂ ⊂ +
ta có :

( ) ( )
( ) ( )
4 4
11,5 , : 11,5 , : :Q i u Q Q i u Q u Q u Q
   
 
+ = +
 
   
vô lí .
Vậy
( )
f x
bất khả quy trên
( )
4
11,5Q i+
.
Bài tập 3 : Cho
( )
2
1u v v Q v= + + ∈
. Với v là nghiệm của đa thức :
3
17 17x x+ −
. Phần tử u có
sinh ra mở rộng
( )
Q v

của trường Q không ?
GIẢI
Ta có
( ) ( ) ( )
u Q v Q u Q v∈ ⇒ ⊂
.
Do v là nghiệm của
3
17 17x x+ −
⇒
3 3
17 17 0 17 17v v v v+ − = ⇒ = − +

( )
( )
( )
( )
( )
2
1 17 17
17 17
1 17 17
17 16
16
17
v u v v
uv v v v
uv u
v u u
u

v Q u
u
⇒ − − = − +
⇒ − + = −
⇒ − − = −
⇒ + = +
+
⇒ = ∈
+

( ) ( )
Q v Q u⇒ ⊂
Vậy
( ) ( )
Q v Q u=
. Hay u sinh ra mở rộng
( )
Q v
của trường Q.
Bài tập 4 : Cho trường
7
Z
các số nguyên môđulô 7 và đa thức
( )
[ ]
2
7
3p x x x Z x= + + ∈
.
a/ Giả sử u là một nghiệm của đa thức trên . Đặt

( )
7
Z u
là trường mở rộng của
7
Z
. Tìm bậc
mở rộng
( )
7
Z u
của
7
Z
.
b/ Xác định tất cả các tự đẳng cấu trường của
( )
7
Z u
.
GIẢI
a/ Ta có :

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 3 0 ; 4 2 0
1 5 0 ; 5 5 0
2 2 0 ; 6 3 0

3 1 0
p p
p p
p p
p
= ≠ = ≠
= ≠ = ≠
= ≠ = ≠
= ≠
Do đó
( )
p x
vô nghiệm trên
7
Z
mà
( )
( )
deg 2p x =
.
Trang 16
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
Nên
( )
p x
bất khả quy trên
7
Z
.
Vậy

( )
7 7
: 2Z u Z
 
=
 
b/ Ta có :
( )
{ }
7 7
,Z u a bu a b Z= + ∈
. Gọi v là nghiệm thứ hai của
( )
p x
. Ta có :

1 6 6u v v u+ = − = ⇒ = −
.
Khi đó trường nghiệm của
( )
p x
là
( ) ( )
7 7
,Z u v Z u=
, nên :

( )
( )
7

7Z
Aut Z u
là nhóm Galois của đa thức
( )
p x
.
Do
( )
p x
có hai nghiệm phân biệt trên
( )
7
Z u
, ta có
( )
p x
là tách được trên
7
Z
. Nên :

( )
( )
( )
7
7 7 7
: 2
Z
Aut Z u Z u Z
 

= =
 

( )
( )
( ) ( )
7 7 7
, :f Aut Z u f Z u Z u∀ ∈ →
là đẳng cấu trường , nên :
( )
1 1f =
.

( ) ( ) ( )
7
, .1 . 1 .1x Z f x f x x f x x∀ ∈ = = = =
. Do đó
( )
( )
7
7Z
f Aut Z u∈
.
Vậy
( )
( )
( )
( )
7
7 7Z

Aut Z u Aut Z u=
.

( )
( )
7
f Aut Z u∀ ∈
, u và
( )
f u
là nghiệm của đa thức bất khả quy nên
( )
f u u=
.
Vậy ta có hai tự đẳng cấu trường của
( )
7
Z u
là :

( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 7 7
1 7 7
: :
: : 6
f Z u Z u a bu a bu
f Z u Z u a bu a b u
→ + +
→ + + −

a
a
Bài tập 5 : Cho
( )
2
1p x x= +
và
( )
2
2q x x x= + +
là hai đa thức hệ số trên trường
3
Z
. u,v lần
lượt là hai nghiệm của
( ) ( )
,p x q x
.
a/ Lập bảng nhân mở rộng đơn
( )
3
Z u
.
b/ Xác định một đẳng cấu từ
( )
3
Z u
lên
( )
3

Z v
.
GIẢI
a/ Do
( ) ( ) ( )
0 1 0 ; 1 2 0 ; 2 2 0P P P= ≠ = ≠ = ≠
.
Ta có :
( )
p x
vô nghiệm trên
3
Z
mà
( )
( )
deg 2p x =
nên
( )
p x
bất khả quy trên
3
Z
.
Do đó :
( )
3 3
: 2Z u Z
 
=

 
.
Vậy
( )
{ }
{ }
3 3
, 0,1,2, ,1 ,2 ,2 ,1 2 , 2 2Z u a bu a b Z u u u u u u= + ∈ = + + + +
.
Do u là nghiệm của
( )
p x
, ta có :
2 2
1 0 hay 2u u+ = =
.
0
1
2
u
1 u+
2 u+
2u
1 2u+
2 2u+
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
1
0
1
2
u
1 u+
2 u+
2u
1 2u+
2 2u+
2
0
2
1
2u
2 2u+
1 2u+
u
2 u+
1 u+
u
0
u
2u
2

2 u+
2 2u+
1
1 u+
1 2u+
1 u+
0
1 u+
2 2u+
2 u+
2u
1
1 2u+
2
u
2 u+
0
2 u+
1 2u+
2 2u+
1
u
1 u+
2u
2
2u
0
2u
u
1

1 2u+
1 u+
2
2 2u+
2 u+
1 2u+
0
1 2u+
2 u+
1 u+
2
2u
2 2u+
u
1
2 2u+
0
2 2u+
1 u+
1 2u+
u
2
2 u+
1
2u
Trang 17
M
O
x
y

Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
b/ Do
( ) ( ) ( )
0 2 0 , 1 1 0 , 2 2 0q q q= ≠ = ≠ = ≠
.
Nên
( )
q x
vô nghiệm trên
3
Z
mà
( )
( )
deg 2q x =
nên
( )
q x
bất khả quy trên
3
Z
.
Do đó :
( )
3 3
: 2Z v Z
 
=
 
.

Vậy
( )
{ }
{ }
3 3
, 0,1,2, ,1 ,2 ,2 ,1 2 ,2 2Z v a bv a b Z v v v v v v= + ∈ = + + + +

( ) ( )
2
2
2 2 1 2 0p v v v v+ = + + = + + =
, nên u và
2v +
là hai nghiệm của đa thức bất khả quy
( )
p x
trên
3
Z
.
Do đó ta có đẳng cấu trường :
( )
( )
( )
3 3 3
: 2Z u Z u Z v
ϕ
→ + =
cho bởi :
( )

( )
2a bu a b v
ϕ
+ = + +
.
PHẦN B :
CƠ SỞ GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
I/ TÍCH PHÂN HAI LỚP :
1/ Cách tính tích phân hai lớp.
Xét tích phân :
( ) ( )
2
, , D R , ,
D
I f x y dxdy f x y= ⊂
∫∫
liên tục trên D.
a/ Nếu
( ) ( ) ( )
{ }
1 2
, : ;D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤
trong đó
( ) ( )
1 2
,y x y x
là hai hàm số liên tục trên
[ ]
,a b
thì :

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
1
, ,
y x
b b
y x
y x
a y x a
I dx f x y dy f x y dy dx
 
= =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
b/ Nếu
( ) ( ) ( )
{ }
1 2
, : ;D x y c y d x y x x y= ≤ ≤ ≤ ≤
trong đó
( ) ( )
1 2

,x y x y
là hai hàm số liên tục trên
[ ]
,c d
thì :

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
1
, ,
x y
d d
x y
x y
c x y c
I dy f x y dx f x y dx dy
 
= =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
2/ Đổi biến số :
Gỉa sử phép đổi biến số :
( )

( )
,
,
x x u v
y y u v

=


=


thỏa mãn :
+ Ánh xạ :
( ) ( )
, ,u v x y→
là một song ánh từ D’ vào D trong đó
'D Ouv
∈
.
+Các hàm
( ) ( )
, , ,x u v y y u v= =
có các đạo hàm riêng liên tục trên D.
+ Định thức :
' '
0
' '
u v
u v

x x
J
y y
= ≠
trên D’. Khi đó :

( ) ( ) ( )
( )
'
, , , ,
D D
f x y dxdy f x u v y u v J dudv=
∫∫ ∫∫
3/ Đổi biến số trong tọa độ cực.
Trong mặt phẳng xOy giả sử
( )
,M x y
, tọa độ cực của M là cặp
( )
,x y
trong đó :
+
x OM=
+
·
( )
,Ox OM
ϕ
=
uuuur

Trang 18
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
A
B
C
E
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
y
M
N
P
Q

Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
Khi đó :
' '
cos cos sin
; J=
' '
sin sin cos
r
r
x x
x r r
r
y y
y r r
ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
=

= =

=

Do đó :
( ) ( )
, , 'x y D r D
ϕ
∈ ⇔ ∈
thì

( ) ( )
'
, cos ,
D D
f x y dxdy f r r r drd
ϕ ϕ ϕ
=
∫∫ ∫∫
.
Bài tập 1 : Tính
D
I ydxdy=
∫∫
trong đó D là tam giác ABC với
( ) ( ) ( )
3,1 , 6,3 , 1,5A B C
.
GIẢI
Phương trình đường thẳng AB là :
3 1 2 3
6 3 3 1 3
x y x
y
− − −
= ⇒ =
− −
Phương trình đường thẳng BC là :
6 3 27 2
1 6 5 3 5

x y x
y
− − −
= ⇒ =
− −
Phương trình đường thẳng CA là :
1 5
7 2
3 1 1 5
x y
y x
− −
= ⇒ = −
− −
Đường thẳng qua A song song với Oy cắt CB tại E, chia
mền D thành hai miền.
1 2
;D AEC D ABE= ∆ = ∆
.
Ta có :
( )
1
27 2
, :1 3;7 2
5
x
D x y x x y
−
 
= ≤ ≤ − ≤ ≤

 
 

( )
2
2 3 27 2
, : 3 6;
3 5
x x
D x y x y
− −
 
= ≤ ≤ ≤ ≤
 
 
Vậy
1 2
27 2
27 2
3 6
5
5
2 3
1 7 2 3
3
x
x
x
x
D D D

I ydxdy ydxdy ydxdy ydy dx ydy dx
−
−
−
−
 
 
= = + = +
 ÷ ÷
 
 
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
( )
27 2 27 2
5 5
3 6
2 2
1 3
2 3
7 2
3
2 2 2
3 6
2
1 3
2 2
3 6
1 3

3
3 2
1
1 1
2 2
1 27 2 1 27 2 2 3
7 2
2 5 2 5 3
1 96 592 496 1 64 672 6336
2 25 2 225
1 1 64
32 296 496
50 450 3
x x
x
x
y dx y dx
x x x
x dx dx
x x x x
dx dx
x x x x
− −
−
−
= +
   
− − −
     
= − − + −

   
 ÷  ÷  ÷
     
   
   
− + − − − +
= +
= − + − + −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
6
3 2
3
336 6336
1
32.27 296.9 496.3 32 296 496
50
1
128.36 336.36 6336.6 64.9 336.9 6336.3
450
544 5904
24
50 450
x x
 
− +
 ÷

 
 
= − + − − − + −
 
 
+ − − + − − − +
 
= + =
Bài tập 2 : Tính
( )
2 3
D
I x y dxdy= +
∫∫
, D là hình bình hành MNPQ với
( ) ( ) ( )
3,1 ; 5,3 ; 4,5M N P
GIẢI
Giả sử
Trang 19
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán

( )

( )
( )
( )
, do
hay 4, 5 3 5,1 3
2
2,3
3
Q Q
Q Q
Q
Q
Q x y PQ MN
x y
x
Q
y
=
− − = − −
=

⇔ ⇒

=

uuur uuuur
Phương trình đường thẳng MN là : x-y=2
Phương trình đường thẳng NP là : 2x+y=13
Phương trình đường thẳng PQ là : x-y=-1
Phương trình đường thẳng QM là : 2x+y=7

Đổi biến số :

( )
( )
1
3
2 1
2
3
x u v
u x y
v x y
y u v

= +

= −


⇒
 
= +


= − +


,
' '
' '

1 1
1
3 3
2 1
3
3 3
u v
u v
x x
J
y y
= = =
−

( ) ( ) ( )
{ }
. , ' , 1 2;7 13x y D u v D u v u y∈ ⇒ ∈ = − ≤ ≤ ≤ ≤
Vậy :

( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
'
2 13
1 7
'

13
2 2
2
1 1
7
2
2
1
2 1
2 3 2
3 3
1 1
4 5 5 4
9 9
1 5 1
= 4 300 24
9 2 9
1 1
= 300 12 300.2 12.4 300 12 96
9 9
D
D
D
I x y dxdy u v u v dudv
u v dudv v u dv du
v uv du u du
u u
−
− −
−

 
= + = + + − +
 
 
= − + = −
 
− = −
 ÷
 
 
− = − − − + =
 
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
Bài tập 3 : Tính
( )
2 2
D
I x y dxdy= +
∫∫
với
( )
{ }
2 2
, , ; 1D x y y x x y= ≤ + ≤
GIẢI
Đường thẳng y=x cắt đường tròn
2 2
1x y+ =

tại hai điểm

2 2 2 2
, ; ,
2 2 2 2
B C
   
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
.
Đường thẳng y=-x cắt đường tròn
2 2
1x y+ =
tại hai điểm

2 2 2 2
, ; ,
2 2 2 2
A E
   
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Miền D là hình quạt nhỏ AOB như hình vẽ.
Đổi biến số sang tọa độ cực :

cos

sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=


=

ta có :
( ) ( ) ( )
, , ' , : 0 1;
4 4
x y D r D r r
π π
ϕ ϕ ϕ
 
∈ ⇒ ∈ = ≤ ≤ − ≤ ≤
 
 
Trang 20
B
A
C
E
O
1 2 3 4 5
1
2

3
4
5
x
y
A
B
C
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán

( )
( ) ( )
2 2
2 2 3
' '
1
1
3 4
4 4
0
0
4 4
cos sin
1 1
=
4 4 2 8
D D D
I x y dxdy r r rdrd r drd
r dr d r
π

π
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ
− −
 
= + = + =
 
= = × =
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫ ∫
Bài tập 9 : Tính
( )
D
I x y dxdy= +
∫∫
, D là miền giới hạn bởi các đường thẳng

1 2 3
: 2 5; : 2 10; : 1d x y d x y d y x+ = + = − =
GIẢI
Giao điểm
1
d
và
2
d
có tọa độ là nghiệm của hệ :

( )
2 5 5
5,0
2 10 0
x y x
A
x y y

+ = =

⇔ ⇒
 
+ = =



Giao điểm
2
d
và
3
d
có tọa độ là nghiệm của hệ :

( )
1 3
3,4
2 10 4
y x x
B

x y y

− = =

⇔ ⇒
 
+ = =


Giao điểm
1
d
và
3
d
có tọa độ là nghiệm của hệ :

( )
2 5 1
1,2
1 2
x y x
C
y x y

+ = =

⇔ ⇒
 
− = =



Đường thẳng qua B song song với Oy cắt AC tại E chia D thành hai miền :
( ) ( )
1 2
5 5
, :1 3; 1 ; , : 3 5; 10 2
2 2
x x
D BCE x y x y x D BEA x y x y x
− −
   
= ∆ = ≤ ≤ ≤ ≤ + = ∆ = ≤ ≤ ≤ ≤ −
   
   
Vậy :
( ) ( ) ( )
1 2
D D D
I x y dxdy x y dxdy x y dxdy= + = + + +
∫∫ ∫∫ ∫∫

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 1 5 10 2
5 5
1 3
2 2
1 10 2

3 5
2 2
1 3
5 5
2 2
3 5
2 2
1 3
3 5
3 2 3 2
1 3
1 1
2 2
1 1
15 6 21 3 90 375
8 8
1 1
5 3 21 45 375
8 8
14 16 30
x x
x x
x x
x x
x y dy dx x y dy dx
xy y dx xy y dx
x x dx x x dx
x x x x x x
+ −
− −

+ −
− −
   
= + + +
   
   
   
= + + +
 ÷  ÷
   
= + − + − +
= + − + − +
= + =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
II/ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP II VỚI HỆ SỐ HẰNG.
Phương trình có dạng :
( ) ( )
'' ' , , 1ay by cy f x a b c R+ + = ∀ ∈
Phương trình thuần nhất của (1) có dạng :
( )
'' ' 0 2ay by cy+ + =
Phương trình đặc trưng của (2) ẩn số k có dạng :
( )
2
0 3ak bk c+ + =
1/ Giải (3) : lập
2
4b ac∆ = +

có 3 trường hợp :
a/ ∆ > 0 phương trình (3) có hai nghiệm thực :
1,2
2
b
k
a
− ± ∆
=
b/ ∆ = 0 phương trình (3) có nghiệm kép thực :
0
2
b
k
a
= −
Trang 21
E
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
c/ ∆ < 0 phương trình (3) có hai nghiệm phức :
1,2
;
2 2
b
k i
a a
α β α β
 
−∆
= ± = − = ±

 ÷
 ÷
 
2/ Giải (2) có 3 trường hợp :
a/ Nếu phương trình (3) có hai nghiệm thực :
1,2
2
b
k
a
− ± ∆
=
khi đó (2) có nghiệm tổng quát
là :
1 2
1 2 1 2
C ,
k x k x
y C e C e C= +
là hằng số.
b/ Nếu phương trình (3) có nghiệm kép thực :
0
2
b
k
a
−
=
khi đó (2) có nghiệm tổng quát là :
( )

0
1 2 1 2
C ,
k x
y C C x e C= +
là hằng số.
c/ Nếu phương trình (3) có hai nghiệm phức :
1,2
; , Rk i
α β α β
= ± ∈
khi đó (2) có nghiệm
tổng quát là :
( )
0
1 2 1 2
cos sin C ,
k x
y e C x C x C
β β
= +
là hằng số.
3/ Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1) :
a/
( ) ( )
x
n
f x e P x
α
=

(
( )
;R P x
α
∈
là đa thức bậc n)
Nếu α là nghiệm bội bậc l của (3) thì (1) có một nghiệm riêng dạng :

( )
*
l x
n
y x e Q x
α
=
(
( )
n
Q x
là đa thức bậc n) .
b/
( ) ( ) ( )
cos sin
x
m n
f x e P x x Q x x
α
β β
 
= +

 
(
( ) ( )
, ; ,
m n
R P x Q x
α β
∈
là các đa thức bậc m,n ) .
Nếu
i
α β
+
là nghiệm bội bậc l của (3) thì (1) có một nghiệm riêng dạng :

( ) ( )
*
cos sin
l x
y x e S x x T x x
α
β β
 
= +
 
(với
( ) ( )
,S x T x
là các đa thức có bậc
( )

,Max m n
) .
Biết được dạng của nghiệm riêng của (1) ta có thể tìm nghiệm riêng đó bằng phương pháp hệ
số bất định.
4/ Tính chất :
a/ Nghiệm tổng quát của (1) :
*
y y y= +
.
b/ Nếu phương trình (1) vế phải có dạng :
( ) ( ) ( )
1 2
f x f x f x= +
và

( )
1
y y x=
là nghiệm riêng tổng quát của phương trình
( )
1
'' 'ay by cy f x+ + =

( )
2
y y x=
là nghiệm riêng tổng quát của phương trình
( )
2
'' 'ay by cy f x+ + =

Thì :
( ) ( )
1 2
y y x y x= +
là nghiệm riêng của (1) .
Bài tập 1 : Giải phương trình :
2
'' 5 ' 6 2
x
y y y xe− + =
(1) .
GIẢI
Phương trình thuần nhất của (1) là :
'' 5 ' 6 0y y y− + =
(2)
Phương trình đặc trưng của (2) là :
2
5 6 0k k− + =
(3)
Giải (3) có hai nghiệm thực
1 2
2; 3k k= =
nên (2) có nghiệm tổng quát là :

2 3
1 2
x x
y C e C e= +
Nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng :

( )
( )
2 2 2
*
x x
y xe ax b e ax bx= + = +
khi đó :

( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
' 2 2 2 2 2
'' 2 2 2 2 4 2 2
= 4 8 4 2 4
x x x
x x
x
y e ax bx e ax b e ax a b x b
y e ax a b x b e ax a b
e ax a b x a b
 
= + + + = + + +
 
 
= + + + + + +
 

 
+ + + +
 
Trang 22
Phụ chú :
( ) ( )
2
1
.2
2 1
1
x x
f x e P x e x
k l
n
α
α
= =
= = ⇒ =
=
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
Thay vào (1) ta có :

( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
4 8 4 2 4 5 2 2 2 6 2
x x x x
e ax a b x a b e ax a b x b e ax bx xe
   

+ + + + − + + + + + =
   

2 2 2ax a b x⇔ − + − =

2 2 1
2 0 2
a a
a b b
− = = −
 
⇔ ⇔
 
− = = −
 
Phương trình (1) có nghiệm riêng là :
( )
2 2
*
2
x
y e x x= − +
Vậy (1) có nghiệm tổng quát là :
( )
2 2 2 3
* 1 2
2
x x x
y y y e x x C e C e= + = − + + +
Bài tập 2 : Giải phương trình :

'' 2 ' 2 siny y y x x− + =
(1)
Phương trình thuần nhất của (1) là :
'' 2 ' 2 0y y y− + =
(2)
Phương trình đặc trưng của (2) là :
2
2 2 0k k− + =
(3)
Giải (3) có hai nghiệm ảo
( )
1,2
1 ; 1, 1k i i
α β α β
= ± = ± = =
nên (2) có nghiệm tổng quát là :
( )
1 2
cos sin
x
y e C x C x= +
Nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng :

( ) ( )
*
cos siny ax b x cx d x= + + +
khi đó :

( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
' cos sin sin cos
= cos sin
'' cos sin sin cos
= 2 cos 2 sin
y a x ax b x c x cx d x
cx a d x ax b c x
y c x cx a d x a x ax b c x
ax b c x cx a d x
= − + + + +
+ + − + −
= − + + − − + −
− − + + − − −
Thay vào (1) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 cos 2 sin 2 cos sin
2 cos sin sin
ax b c x cx a d x cx a d x ax b c x
ax b x cx d x x x
− − + + − − − − + + − + −
 
+ + + + =
 

( ) ( )
2 2 2 2 cos 2 2 2 2 sin sina c x a b c d x a c x a b c d x x x
   

⇔ − − + + − + + − + − + =
   

( )
( )
2 2 2 2 0
2 2 2 2
a c x a b c d
a c x a b c d x

− − + + − =

⇔

+ − + − + =


2
5
2 0
14
2 2 2 0
25
2 1 1
5
2 2 2 0
2
25
a
a c

b
a b c d
a c
c
a b c d
d

=


− =


=

− + + − =


⇔ ⇔
 
+ =
 
=
 
− + − + =



=


Phương trình (1) có nghiệm riêng là :
*
2 14 1 2
cos sin
5 25 5 25
y x x x x
   
= + + +
 ÷  ÷
   
Vậy (1) có nghiệm tổng quát là :
( )
* 1 2
2 14 1 2
cos sin cos sin
5 25 5 25
x
y y y x x x x e C x C x
   
= + = + + + + +
 ÷  ÷
   
Bài tập 3 : Giải phương trình :
2
'' ' 2 siny y x x− =
(1)
Hay
'' 'y y−
cos2x x x
= −

(2)
Phương trình thuần nhất của (2) là :
'' ' 0y y− =
(3)
Phương trình đặc trưng của (3) là :
2
0k k− =
(4)
Giải (4) có hai nghiệm thực
1 2
0; 1k k= =

Trang 23
Phụ chú :
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
1,2
cos sin
. 0cos sin
2
0
1
0
max , 1
1
x
x
f x e P x x Q x x

e x x x
i i k l
m
m n
n
α
β β
α
α β
β
 
= +
 
= +
=

⇒ + = ≠ ⇒ =

=

=

⇒ =

=

Phụ chú :
( ) ( )
0
1

0 1
1
x
f x e P x x
k l
n
α
= =
= = ⇒ =
=
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
nên (3) có nghiệm tổng quát là :
0
1 2 1 2
x x x
y C e C e C C e= + = +
Nghiệm riêng của phương trình :
'' 'y y x− =
(5 ) là :

( )
0 2
*
l x
y x e ax b ax bx= + = +

' 2 '' 2y ax b y a= + ⇒ =
Thay vào phương trình (1) ta có :
2 2a ax b x
− − =

1
2 1
2
2 0
1
a
a
a b
b
−

− =
=


⇔
 
− =


= −

Phương trình (5) có nghiệm riêng là :
2
*
1
2
y x x
 

= − +
 ÷
 
Nghiệm riêng của phương trình :
'' ' cos2y y x x− = −
(6 ) là :

( ) ( )
( ) ( )
0 0
**
cos2 sin 2
cos2 sin 2
x
y x e ax b x cx d x
ax b x cx d x
 
= + + +
 
= + + +

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
' cos 2 2 sin 2 sin 2 2 cos 2
= 2 2 cos2 2 2 sin 2
'' 2 cos 2 2 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 2 cos 2
= 4 4 4 cos 2 4 4 4 sin 2
y a x ax b x c x cx d x

cx a d x ax b c x
y c x cx a d x a x ax b c x
ax b c x cx a d x
= − + + + +
+ + + − − +
= − + + − + − − +
− − + + − − −
Thay vào (6) ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 cos2 4 4 4 sin 2 2 2 cos 2 2 2 sin 2 cos2ax b c x cx a d x cx a d x ax b c x x x− − + + − − − − + + − − − + = −
( ) ( )
4 2 4 4 2 cos 2 2 4 4 2 4 sin 2 cos2a c x a b c d x a c x a b c d x x x
   
⇔ − − − − + − + − − + − − = −
   
( )
( )
1
5
4 2 1
13
4 2 4 4 2
4 4 2 0
100
2 4 4 2 4 0
2 4 0 1
10
4 2 4 0
4
25

a
a c
b
a c x a b c d x
a b c d
a c x a b c d
a c
c
a b c d
d


= −




− − = −


=


− − − − + − = −
− − + − =

 
⇔ ⇔
  
− − + − − =

− =


 
=
 
− + − − =
 
 
= −



Phương trình (6) có nghiệm riêng là :
**
1 13 1 4
cos2 sin 2
5 100 10 25
y x x x x
   
= − + + −
 ÷  ÷
   
Vậy (1) có nghiệm tổng quát là :

2
* ** 1 2
1 13 1 4 1
cos2 sin 2
5 100 10 25 2

x
y y y y x x x x x x C C e
     
= + + = − + + − − + + +
 ÷  ÷  ÷
     
Bài tập 4 : Giải phương trình :
2
2 '' 52 ' 3
x
y y y x e− + =
(1)
Phương trình thuần nhất của (1) là :
2 '' 5 ' 3 0y y y− + =
(2)
Phương trình đặc trưng của (2) là :
2
2 5 3 0k k− + =
(3)
Giải (3) có hai nghiệm thực
1 2
3
1;
2
k k= =

nên (2) có nghiệm tổng quát là :
3
2
1 2

x
x
y C e C e= +
Trang 24
Phụ chú :
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
1,2
cos sin
. cos 2 0sin 2
0
2 0
2
1
max , 1
0
x
x
f x e P x x Q x x
e x x x
i i k l
m
m n
n
α
β β
α
α β

β
 
= +
 
= − +
=

⇒ + = ≠ ⇒ =

=

=

⇒ =

=

Phụ chú :
( ) ( )
2
1
1 1
2
x x
f x e P x e x
k l
n
α
α
= =

= = ⇒ =
=
Cao Văn An – Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán
Nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng:
( ) ( )
2 3 2
*
x x
y xe ax bx c e ax bx cx= + + = + +


( ) ( )
( ) ( )
3 2 2 3 2
' 3 2 3 2
x x x
y e ax bx cx e ax bx c e ax a b x b c x c
 
= + + + + + = + + + + +
 

( ) ( ) ( )
3 2 2
'' 3 2 3 2 3 2
x x
y e ax a b x b c x c e ax a b x b c
   
= + + + + + + + + + +
   

( ) ( )
3 2
= 6 6 4 2 2
x
e ax a b x a b c x b c
 
+ + + + + + +
 
Thay vào (1) ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2 3 2 3 2 2
2 6 6 4 2 2 5 3 2 3
x x x x
e ax a b x a b c x b c e ax a b x b c x c e ax bx cx e x
   
+ + + + + + + − + + + + + + + + =
   
( )
2 2
3 12 2 4ax a b x b c x⇔ − + − + − =

1
3 1
3
12 2 0 2
4 0 8
a
a
a b b

b c c

= −

− =



⇔ − = ⇔ = −
 
 
− = = −



Nghiệm riêng của (1) là :
3 2
*
1
2 8
3
x
y e x x x
 
= − + +
 ÷
 
Vậy nghiệm tổng quát của (1) là :
3
3 2

2
* 1 2
1
2 8
3
x
x x
y y y e x x x C e C e
 
= + = − + + + +
 ÷
 
Bài tập 7 : Giải phương trình :
2
'' 2 ' 10 2 sin 3
x
y y y e x
−
+ + =
(1)
Hay :
( )
'' 2 ' 10 1 cos6 cos6
x x x
y y y e x e e x
− − −
+ + = − = −
(2)
Phương trình thuần nhất của (2) là :
'' 2 ' 10 0y y y+ + =

(3)
Phương trình đặc trưng của (3) là :
2
2 10 0k k+ + =
(4)
Giải (3) có hai nghiệm phức
( )
1,2
1 3 1; 3k i i
α β α β
= ± = − ± = − =

nên (2) có nghiệm tổng quát là :
( )
1 2
cos3 sin3
x
y e C x C x
−
= +
Xét phương trình
'' 2 ' 10
x
y y y e
−
+ + =
(5) có nghiệm riêng là :

*
' ''

x x x
y ae y ae y ae
− − −
= ⇒ = − ⇒ =
Thay vào (5) ta có :
2 10
x x x x
ae ae ae e
− − − −
− + =

1
9 1
9
a a⇔ = ⇒ =
Phương trình (5) có nghiệm riêng là :
*
1
9
x
y e
−
=
Xét phương trình
'' 2 ' 10 cos6
x
y y y e x
−
+ + = −
(6) có nghiệm riêng là :

( )
**
cos6 sin 6
x
y e a x b x
−
= +

( ) ( ) ( ) ( )
' cos6 sin 6 6 sin 6 6 cos6 6 cos6 6 sin 6
x x x
y e a x b x e a x b x e a b x a b x
− − −
 
= − + + − + = − + + − −
 

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' 6 cos6 6 sin 6 6 6 sin 6 6 6 cos6
= 35 12 cos6 12 35 sin 6
x x
x
y e a b x a b x e a b x a b x
e a b x a b x
− −
−
   
= − − + + − − + − − + + − −

   
 
− − + −
 
Thay vào (6) ta có :

( ) ( ) ( ) ( )
( )
35 12 cos6 12 35 sin 6 2 6 cos6 6 sin 6
+10 cos6 sin6 cos6
x x
x x
e a b x a b x e a b x a b x
e a x b x e x
− −
− −
   
− − + − + − + + − − +
   
+ = −
Trang 25