Chuyên đề TỔ HỢP XÁC SUẤT

BT Tổ hợp và xác suất (ban cơ bản) Lưu Q Thảo
1
Chương II. TỔ HỢP -XÁC SUẤT
Bài 1. QUI TẮC ĐẾM
1/ QUY TẮC CỘNG
Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực
hiện, hành động kia có n cách thực hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì
cơng việc đó có m+n cách thực hiện.
Chú ý . Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều trường hợp.
2/ QUY TẮC NHÂN
Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành
động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hồn
thành cơng việc.
Chú ý . Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều trường hợp.

Bài 1. Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đơi song ca nam- nữ?
Bài 2. Trong một lớp có 17 bạn nam và 15 bạn nữ . Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a/ Một bạn phụ trách quỹ lớp ? b/ Hai bạn, trong đó có một nam và một nữ?
Bài 3. Trên giá có 9 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 7 quyển sách tiếng Anh khác nhau và 6 quyển sách tiếng
Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a/ Một quyển sách? b/ Ba quyển sách tiếng khác nhau? c/ Hai quyển sách tiếng khác nhau?
Bài 4.
Từ các chữ số 1;2;3 .Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm :
a/ một chữ số;
b/ có các chữ số phân biệt.
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:
a/ Là số chẵn và có hai chữ số ( khơng nhất thiết khác nhau); c/ Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau;
b/ Là số lẻ và có hai chữ số ( khơng nhất thiết khác nhau); d/ Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau;
Bài 6.Cho tập hợp A =  1;2;3;4;5;6 
a/ Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau hình thành từ tập A.
b/ Có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau hình thành từ tập A và số đó chia hết cho 2.

c/ Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau hình thành từ tập A và số đó chia hết cho 5.
Bài 7.Cho các chữ số 0.1.2.3,4.5.6. Có bao nhiêu số tự nhiên :
a/ Chẵn có 4 chữ số khác nhau? b/ Có 4 chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5.
c/ Lẻ có 5 chữ số khác nhau?
Bài 7: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có
4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 8: Cho tập
{
}
A 0;1;2;3;4
=
. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần
tử của A?
Bài 9: Từ tập
{
}
A 1,2,3,4,5
=
hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần,
còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Bài
10: Tèt nghiƯp THPT, häc sinh cã thĨ lùachän thi vµo §¹i häc, Cao ®¼ng, Trung cÊp. Cã 35 tr-êng §¹i häc,
40 tr-êng cao ®¼ng vµ 21 tr-êng trung cÊp. Hái häc sinh cã bao nhiªu c¸ch chän thi 1 tr-êng?
Bài
11: Thi thùc hµnh tin häc Paxcal, mét häc sinh cã thĨ chän mét trong c¸c bµi Paxcal theo 2 chđ ®Ĩ: Chđ ®Ị 1
cã 17 bµi, chđ ®Ị 2 cã 21 bµi. Hái häc sinh cã bao nhiªu c¸ch chän mét bµi ®Ĩ thùc hµnh?
Bài
12: Mét qu¸n nhËu cã 3 thùc ®¬n cđa ba lo¹i thÞt: tr©u, bß, dª. Thùc ®¬n tr©u cã 7 mãn, bß cã 6 mãn, 7 mãn
dª. Gäi mét mãn ®Ĩ nhËu, hái cã bao nhiªu c¸ch ?
Bài

13: §Ĩ chän ®ång phơc cho líp, GVCN cã ®-ỵc b¶ng mÉu gåm 9 lo¹i ¸o, 8 lo¹i qn vµ 6 lo¹i giÇy. Hái
GVCN cã bao nhiªu c¸ch chän mét bé trang phơc gåm ¸o, qn vµ giÇy?
Bài
14: Líp cã 50 häc sinh, cã bao nhiªu c¸ch giao nhiƯm vơ cho 1 b¹n qt nhµ, 1 b¹n lau bµn, 1 b¹n lau ghÕ?
Cã bao nhiªu biĨn sè xe m¸y gåm 1 d·y kÝ tù, trong ®ã 2 kÝ tù ®Çu lµ ch÷ c¸i; 3 kÝ tù sau lµ lµ ch÷ sè?
Bài
15: Cã 5con ®-êng nèi hai thµnh phè X vµ Y; cã 4 con ®-êng nèi hai thµnh phè Y vµ X. Mn ®i tõ X ®Õn Z
ph¶i qua Y:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BT Tổ hợp và xác suất (ban cơ bản) Lưu Q Thảo
2
a) Hái cã bao nhiªu c¸ch chän con ®-êng ®i tõ X ®Õn Z?
b) Cã bao nhiªu c¸ch ®i tõ X ®Õn Z vµ trë vỊ X b»ng nh÷ng con ®-êng kh¸c nhau?
Bài
16: Tõ tËp
{
}
1 2 3 4 5 6
, , , , ,
A =
cã thĨ l©p ®-ỵc bao nhiªu sè bÐ h¬n 1000?
Bài
17: Tõ tËp
{
}
1 2 3 4
, , ,
A =
cã thĨ l©p ®-ỵc bao nhiªu gåm c¸c ch÷ sè kh¸c nhau?

Bài
18: Cã bao nhiªu sè nguyªn d-¬ng víi c¸c ch÷ sè ph©n biƯt vµ nhá h¬n 10.000?
Bài
19: Cho tËp
{
}
1 2 3 4 5 6
, , , , ,
A =
, cã thĨ lËp ®-ỵc bao nhiªu sè gåm 3 ch÷ sè kh¸c nhau h×nh thµnh tõ tËp A vµ
sè ®ã kh«ng lín h¬n 456?
Bài
20: Víi 5 ch÷ sè 1. 2, 5, 7, 8 cã thĨ lËp ®-ỵc bao nhiªu sè gåm 3 ch÷ sè ph©n biƯt vµ tho¶ m·n ®iỊu kiƯn:
a/. Lµ mét sè ch½n b/. Lµ mét sè nhá h¬n hc b»ng 278 c/. Lµ mét sè ch½n vµ nhá h¬n hc b»ng 278?
Bài
21: Tõ tËp
{
}
1 2 3 4 5
, , , ,
A =
lËp c¸c sè cã 3 ch÷ sè:
c) T×m sè c¸c sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau n»m trong kho¶ng
(
)
300 500
,

d) T×m sè c¸c sè kh«ng cÇn kh¸c nhau vµ thc kho¶ng
(

)
300 500
,

Bài 22 : CHo một hộp đựng 5 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 5 và 10 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 15 . có
bao nhiêu cách chọn một viên bi ?
Bài 23 : Có 7 cuốn sách tốn khác nhau, 10 cốn sách văn khác nhau và 3 cuốn sách lý khác nhau . Hỏi có bao
nhiêu cách chọn một cuốn cách để học ?
Bài 24: Có 5 cửa hàng bán sách, cửa hàng 1 chỉ bán 100 cuốn sách tốn, cửa hàng 2 bán 200 cuốn sách văn, cửa
hàng 3 chỉ bán 50 cuốn cách lý và 50 cuốn sách địa, cửa hàng 4 chỉ bán 150 sách hố, của hàng 5 chỉ bán 150 sách
sinh và 50 sách kỹ thuật . Hỏi có bao nhiêu cách chọn cửa hàng để mua sách .

Bài 2
.HOÁN VỊ - CHỈNH HP - TỔ HP
HOÁN VỊ
1. Đònh nghóa : Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi kết quả của sự sắp thứ tự n phần tử của
tập hợp A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó
2. Số hoán vò của n phần tử :
Nếu kí hiệu số hoán vò của n phần tử là P
n
thì P
n
= n! = 1.2.3………(n-1).n

Bài 1.Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Bài 2.Từ các chữ số 3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng tất cả các số đó.
Bài 3. Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có 6 ngăn hình quạt mẫu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách bày 6
loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó?
Bài 4.Có 7 quyển sách Tốn khác nhau, 6 quyển sách Lý khác nhau và 4 quyển sách Hóa khác nhau . Hỏi có bao
nhiêu cách xếp số sách trên lên một kệ dài, sao cho :

a/ Các quyển sách được xếp tùy ý .
b/ Các quyển sách cùng mơn được xếp cạnh nhau .
Bài 5. a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đơi một khác nhau và đều lớn hơn 5.
b/ Tính tổng của tất cả các số đó .
Bài 6:
Cho tập A có 20 phần tử. a)Có bao nhiêu tập hợp con của A.
b)Có bao nhiêu tập hợp con khác
∅
của A mà các phần tử là số chẵn?
Bài 7
: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số
trên,trong đó có chữ số 6 có mặt đúng 3 lần,các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Bài 8:
Cho tâp hợp A =
{
}
6,5,4,3,2,1
.
a)Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lấy từ tập A ?
b)Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 436 và gồm ba chữ số khác nhau ?
Bài 9:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau.Hỏi trong các số đã thiết lập
được,có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6ø khơng đứng cạnh nhau.
Bài 10: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các
chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BT T hp v xỏc sut (ban c bn) Lu Quớ Tho
3
Bi

11: Cho tập
{
}
1 2 3 4 5 6 7 8 9
, , , , , , , ,
A =

e) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 9 chữ số khác nhau?
f) Từ A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 9 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
g) Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số chẵn gồm 9 chữ số khác nhau?
Bi
12: Cho tập
{
}
1 2 3 4 5 6 7
, , , , , ,
E =
:
h) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong đó có các chữ số 3, 4, 5 đứng cạnh
nhau?
i) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E và bắt đầu bằng 123?
Bi
13: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau lập từ tập
{
}
0 1 2 3 4 5
, , , , ,
A =

Bi

14: Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành hàng ngang để chụp ảnh sao cho có 3 em luôn đứng cạnh nhau?
Bi
15: Từ tập hợp
{
}
1 2 3 5 7 8
, , , , ,
lập đ-ợc bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà chữ số 3 không đứng cạnh chữ
số 7?
Bi
16: Có n quả cầu trắng khác nhau, n quả cầu đen khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp các quả cầu này
thành 1 dãy sao cho 2 quả cầu cùng màu không nằm cạnh nhau?
Bi
17: Một kệ sách dùng để xếp 3 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hoá, 5 quyển sách Sinh theo
từng môn. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Bi
18: Xét tất cả các hoán vị của 6 số: 1, 2,3, 4, 5, 6. Tính tổng S của tất cả các số tạo bởi hoán vị này.
Bi
19: Có thể lập đ-ợc bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau đ-ợc lập từ tập
{
}
1 2 3 4 6 5 7
, , , , , ,
A =
. Chứng
minh rằng tổng các số này chia hết cho 9.
Bi
20: Cho tập
{
}

3 4 5 6 7
, , , ,
A =
:
a/. Từ A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau?
b/. Tình tổng S của tất cả các số đ-ợc tạo ra trong câu a.
Bi
21: Mời 2 ng-ời khách ngồi xung quanh bàn tròn. Có bao nhiêu cách xếp chố ngồi cho n ng-ời khách đó?
Bi
22: Có bao nhiêu cách xếp 6 ng-ời ngồi xung quanh 1 bàn tròn ( hai cách xếp đ-ợc coi là giống nhau nếu
cách này có thể nhân đ-ợc từ cách kia bằng cách quay bàn tròn đi một góc nào đó)?
Bi
23: Từ các 1, 2, 3,4 lập đ-ợc bao nhiêu số có 7 chữ sô trong đó có 4 chữ số 2 và các chữ số còn lại là 1, 3,4
Bi
24: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3
lần, chữ số 2 có mặt 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt một lần?
Bi
25: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập đ-ợc bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau trong đó chữ số 2 có
mặt hai lần mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Bi
26: Cho tập
{
}
1 2 3 4 5
, , , ,
A =
. Từ tập A có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau?
Bi 27:
CHo tp hp s : {1,2,3,4} . Cú bao nhiờu cỏch chn mt s t nhiờn cú:
a> hai ch s ụi mt khỏc nhau ? b/. 3 ch s ụi mt khỏc nhau ? c/. 4 ch s ụi mt khỏc nhau ?

Bi 28:
T tp hp s {1,2,3,4,5} Cú bao nhiờu cỏch chn mt s t nhiờn :
a> Cú hai ch s ụi mt khỏc nhau . c/. 3 ch s ụi mt khỏc nhau v luụn cú mt ch s 5 ?
b> Cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau v luụn cú mt ch s 2 ?
Bi 29 :
T tp hp s : {0,1,2,3,4,5) ta cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn :
a> Cú hai ch s ụi mt khỏc nhau ? c/. Cú 3 ch s ụi mt khỏc nhau ?
b> L s chn cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau ? d/. L s l cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau ?
Bi 30 :
T tp s t nhiờn {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Cú bao nhiờu cỏch lp mt s t nhiờn
a> Cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau ? b/. Cú 8 ch s ụi mt khỏc nhau ?
Bi 31 :
T cỏc s 0,1,2,3,4,5 . Cú biờu cỏch lp mt s t nhiờn
a> L s l cú 3 ch s ụi mt khỏc nhau ? b/. L s chn cú 6 ch s ụi mt khỏc nhau ?
Bi 32 :
T cỏc s : 0,1,2,3,4,5,6 cú bao nhiờu cỏch lp mt s t nhiờn :
a> Cú 2 ch s khỏc nhau v luụn cú mt ch s 2 . c/. Cú 3 ch s khỏc nhau v chia ht cho 3
b> Cú 5 ch s khỏc nhau v luụn nh hn 550
Bi 33:
T cỏc s : 0,1,2,3,4,5 cú bao nhiờu cỏch lp mt s t nhiờn :
a> Cú 3 ch s khỏc nhau . c/. Cú 4 ch .
b> L s l v cú 4 ch s v ụi mt khỏc nhau . d/. L s chn v cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau ?
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
BT Tổ hợp và xác suất (ban cơ bản) Lưu Q Thảo
4
Bài 34 :
Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu các lập một số tự nhiên :
a> Số có 4 chữ số đơi một khác nhau . c/. Số có 5 chữ số .
b> Số có 3 chữ số chia hết cho 5 . d/. Số có 4 chữ số trong đó ln có chữ số 1 .

Bài 35:
Từ các số : 0,4,5,7,8,9 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a> Có 4 chữ số đơi một khác nhau . c/. Có 3 chữ số và ln có mặt chữ số 9 .
b> Có 3 chữ số và lớn hơn 400 .
Bài 36 :
Từ các số 0,2,3,4,5,6 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a/. là số chẵn có 3 chữ số. b/. có 4 chữ số và ln có mặt chữ số 5 . c/. Số có 3 chữ số và lớn hơn 250
Bài 37 :
Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 . Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a/. Có 3 chữ số và đơi một khác nhau. b/. Có 4 chữ số đơi một khác nhau là ln có mặt số 5 .

CHỈNH HP
1. Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử( n
≥ 1) .
K
ết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp thứ tự chúng theo một thứ
tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đcho.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là
A
k
n
thì
)!(
!
kn
n
A
k
n

−
=


Bài 1.Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự gồm 3 người: 1 lớp trưởng,1 lớp phó và 1 thủ quỹ trong một lớp có
30 học sinh ?
Bài 2. Từ các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
a/ hai chữ số khác nhau. b/ ba chữ số khác nhau. c/ bốn chữ số khác nhau.
Bài 3
a/ Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
b/ Tính tổng của chúng.
Bài 4. Trong mặt phẳng có 10 điểm phân biệt, có bao nhiêu vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu và điểm cuối đã
cho?

Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong
các điểm đó?
Bài 6: Từ tập
{
}
A 0,1,2,3,4,5
=
có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Bài 7:
Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau? §S:
4 3
10 9
4536
A A− =

Bài

8: Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 3, 5, 7, 9 cã thĨ lËp ®-ỵc bao nhiªu sè, mçi sè gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau vµ kh«ng chia
hÕt cho 5? §S:
2
4
4 4 192
. A =

Bài
9: Cã thĨ lËp ®-ỵc bao nhiªu sè mµ c¸c ch÷ sè kh¸c nhau tõ ba ch÷ sè kh¸c 0 cho tr-íc?
§S:
1 2 3
3 3 3
15
A A A
+ + =

Bài
10: Víi c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5 cã thĨ lËp ®-ỵc bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau vµ lµ sè ch½n?
§S:
4 3
5 4
3 2 312
A A− =

Bài
11: Víi c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cã thĨ lËp ®-ỵc bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau vµ trong ®ã nhÊt
thiÕt ph¶i cã mỈt ch÷ sè 5? §S: 1560
Bài
12: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn lỴ gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau lín h¬n 70000? §S: 4368
Bài

13: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã cã ch÷ sè ®Çu tiªn lµ ch÷ sè lỴ?
§S: 42000
Bài
14: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã cã ®óng 3 ch÷ sè ch½n vµ 3 ch÷ sè lỴ?
§S: 68400
Bài
15: Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 lËp ®-ỵc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau kh«ng b¾t ®Çu bëi
345? §S:
5 2
6 3
A A
−

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BT Tổ hợp và xác suất (ban cơ bản) Lưu Q Thảo
5
Bài
16: Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lËp ®-ỵc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau, trong ®ã 2 ch÷ sè
3 vµ 4 kh«ng ®øng c¹nh nhau? §S: 444
Bài
17: Cho t¸m ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Tõ t¸m ch÷ sè trªn cã thĨ lËp ®-ỵc bao nhiªu sè cã bèn ch÷ sè ®«i
mét kh¸c nhau vµ kh«ng chia hÕt cho 10? §S: 1260
Bài
18: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm s¸u ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau, trong ®ã cã mỈt ch÷ sè 0 nh-ng kh«ng cã
mỈt ch÷ sè1? §S:
5
8
5
A

Bài 19 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau .
a> Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn ln ở cạnh nhau .
b> Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt .
Bài 20 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế, người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5
nam và 5 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu :
a> Các học sinh ngồi tuỳ ý .
b> Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn .
Bài 21 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho :
a> Bạn C ngồi chính giữa .
b>Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút .
Bài 22 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc
a> Có bao nhiêu cách sếp khác nhau .
b> Có bao nhiêu cách xếp sao cho khơng có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau .
Bài 23 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các thể này
theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu khơng nằm cạnh nhau .
Bài 24 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một
hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau .
Bài 25 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ . Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại diện trong
đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ .
Bài 26 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà tốn học 6 nhà vậ lý, 7 nhà hóc học . Chọn từ đó ra 4 người để dự hội
thảo khoa học .Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a> Phải có đủ 3 mơn .
b> Có nhiều nhất 1 nhà tốn học và có đủ 3 mơn .
Bài 27 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1 trường
đồn,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu như thế .
Bài 24 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra khỏi hộp, có
bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng .
Bài 29 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng, người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp đó, hỏi có bao
nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu .

Bài 30 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3 tem thư dán
vào 3 bì thư chọn ra .
Bài 31 : Có bảy bơng hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bơng hoa vào ba lọ
hoa ( mỗi lọ cắm một bơng )
Bài 32 : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị
sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp .

TỔ HP
1.Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A ( 1 ≤ k ≤ n )
được gọi là là một tổ hợp chập k của n phần tử .
2. Số tổ hợp chập k của n phần tử :
Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là
C
k
n
thì :
( )
!!.
!
knk
n
C
k
n
−
=

3. Các hệ thức giữa các số
C
k

n
:
( ) ( )
1
1 1
1/ 0 2/ 1
k n k k k
k
n
n n n n
k n C k n
C C C C
− −
− −
= ≤ ≤ + = ≤ <


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BT Tổ hợp và xác suất (ban cơ bản) Lưu Q Thảo
6
Bài 1. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra
4 học sinh vào ban trật tự .Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a/ Số nam hoặc nữ trong ban là tuỳ ý?
b/ Phải có 1 nam và 3 nữ . c/ Phải có 2 nam và 2 nữ c/ Ít nhất phải có 1 nam.
Bài 2. Có bao nhiêu cách chia 10 người thành
a/Hai nhóm, một nhóm có 7 người, nhóm kia 3 người? b/ Ba nhóm tương ứng 5,3,2 người?
Bài 3. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của chúng thc tập hợp gồm 10 điểm nằm trên đường tròn?
Bài 4. Một đa giác lồi có bao nhiêu đường chéo?
Bài 5. Trong một môn học,thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó,10 câu hỏi trung bình,15 câu
hỏi dễ.Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau,sao cho trong

mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó,trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
(ĐHK
B
/2004) ĐS:56875
Bài 6:Từ tập thể gồm 14 người,có 6nam và 8 nữ trong đó có An và Bình,người ta muốn chọn một tổ cơng tác
gồm 6 người.Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a)Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ.
b)Trong tổ có1 tổ trưởng,5 tổ viên,hơn nữa An và Bình đồng thời khơng có mặt trong tổ.
Bài 7: Với các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và khơng
lớn hơn 789.
Bài 8
:Một lớp học có 10 học sinh nam và 120 học sinh nữ.Cần chọn ra 5 người trong lớp để đi làm cơng tác
phong trào.Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 người đó phải có ít nhất :
a)02 học sinh nam và 02 học sinh nữ. b)01 học sinh nam và 01 học sinh nữ.
Bài 9: Cho 7 điểm phân biệt khơng tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu
tam giác?
Bài
10: Mét bé bµi cã 52 qu©n, trong ®ã cã 4 qu©n ¸t:
a. Cã bao nhiªu c¸ch rót 3 qu©n trong 52 qu©n? §S: 22100
b. Cã bao nhiªu c¸ch rót 3 qu©n trong ®ã cã ®óng mét qu©n ¸t? §S:
1 2
4 48
4512
C C =

Bài
11: Mét tỉ cã 6 häc sinh nam vµ 5 häc sinh n÷, chän tõ ®ã ra 3 häc sinh ®i lao ®éng. Cã bao nhiªu c¸ch chän
trong ®ã cã Ýt nhÊt 1 häc sinh nam? §S:
3 3
11 5

155
C C− =

Bài
12: Trong sè 16 häc sinh, cã 3 häc sinh giái, 5häc sinh kh¸, 8 häc sinh trung b×nh. Cã bao nhiªu c¸ch chia sè
häc sinh ®ã thµnh 2 tỉ, mçi tỉ cã 8 ng-êi sao cho ë mçi tỉ ®Ịu cã häc sinh giái vµ Ýt nhÊt 2 häc sinh kh¸?
§S:
1 2 5 2 3 4 2 2 4 1 2 5
3 5 8 3 5 8 3 5 8 3 5 8
7560
C C C C C C C C C C C C+ + + =

Bài
13: Mét líp cã 40 häc sinh, trong ®ã cã 18 nam, 22 n÷. Chän ra mét ®éi gåm 7 ng-êi t×nh ngun tham dù
mïa hÌ xanh, trong ®ã ph¶i cã 4 nam vµ 3 n÷. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nh- vËy?
§S:
4 3
18 22
C C

Bài
14: Trong mét hép cã 12 bãng ®Ìn, trong ®ã cã bèn bãng bÞ háng. LÊy ngÉu nhiªn 3 bãng ®Ìn. Cã bao nhiªu
c¸ch lÊy ®Ĩ cã mét bãng bÞ háng? §S:
1 2
4 8
C C

Bài
15: Cã 5 tem th- kh¸c nhau vµ 6 phong b× kh¸c nhau. Ng-êi ta mn chän tõ ®ã ra ba tem th- vµ d¸n tem th-
Êy vµo 3 phong b×. Mçi phong b× chØ d¸n mét tem th Hái cã bao nhiªu c¸ch lµm nh- vËy?

§S:
3 3
5 6
3 1200
!C C =

Bài
16: Mét líp cã 20 häc sinh, trong ®ã cã 2 c¸n bé líp. Hái cã bao nhiªu c¸ch cư 3 ng-êi ®i dù héi nghÞ sao
cho trong 3 ng-êi cã Ýt nhÊt mét c¸n bé líp? §S: 324
Bài
17: Tõ 10 nam vµ 5 n÷ ng-êi ta chän ra mét ban ®¹i diƯn gåm 5 ng-êi trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 nam vµ 2 n÷. Cã
bao nhiªu c¸ch chän nÕu:
c. Mäi ng-êi ®Ịu vui vỴ tham gia? §S:
2 3 3 2
10 5 10 5
1650
C C C C+ =

d. Cã 2 ng-êi tõ chèi tham gia? §S:
2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2
9 4 9 4 8 5 8 5 10 3 10 3
648
C C C C C C C C C C C C+ + + + + =

Bài
18: Cho hai ®-êng th¼ng song song, trªn ®-êng thø nhÊt cã 10 ®iĨm ph©n biƯt, trªn ®-êng thø 2 cã 15 ®iĨm
ph©n biƯt. Hái cã bao nhiªu tam gi¸c ®-ỵc t¹o thµnh bëi c¸c ®iĨm ®· cho?
§S:
2 2
15 10

10 15 1725
C C+ =

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BT T hp v xỏc sut (ban c bn) Lu Quớ Tho
7
Bi
19: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà Toán học nam, 5 nhà Vật Lý nữ và 3 nhà Hoá học nữ. Chọn ra từ
đó 4 ng-ời để dự hội thảo khoa học. Có bao nhiêu cách chọn để trong 4 ng-ời phải có nữ và phải có đủ cả ba bộ
môn? ĐS:
1 1 2 1 2 1 2 1 1
5 8 3 5 8 3 5 8 3
780
C C C C C C C C C+ + =

Bi
20: Kẻ tất cả các đ-ờng chéo của một đa giác lồi 7 cạnh. Biết rằng không có ba đ-ờng chéo nào đồng quy. Hỏi
có bao nhiêu giao điểm của các đ-ờng chéo?
Bi 21 :
T 10 nam v 5 n ngi ta chn ra mt ban i din gm 5 ngi trong ú cú ớt nht hai nam v 2 n,
hi cú bao nhiờu cỏch chn Nu :
a> Mi ngi u vui v tham gia . b/. Cu Tỏnh v cụ Nguyt t chi tham gia .
Bi 22 :
mt lp hc gm 30 hc sinh nam v 15 hc sinh n, chn 6 hc sinh lp mt i tp ca . Hi cú bao
nhiờu cỏch chn
a> Nu ớt nht hai n . b/. Nu chn tu ý .
Bi 23 :
Mt i vn ngh 20 ngi trong ú cú 10 nam v 10 n, Hi cú bao nhiờu cỏch chn ra 5 ngi sao cho:
a> Cú ỳng 2 nam . b/. Cú ớt nht 2 nam v 1 n .

Bi 24 :
Mt hp ng 2 bi , 3 bi trng v 5 bi vng .Ch ngu nhiờn 4 viờn bi t hp ú, hi cú bao nhiờu cỏch
chn s bi ly ra khụng 3 mu .

Bi 3 .NHề THệC NIUTễN
1. Cụng thc nh thc Niu tn
(
)
n
n
n
n
n
na
kkn
k
n
n
n
n
n
n
n
n
bbabababaaba
C
C
C
C
C

C
+++++++=+


1
1
22
2
1
10

(1) =
kkn
n
k
k
n
ba
C

=

0
(*)
H qu
Vi a=b=1, ta cú :
C
C
C
n

n
1
n
0
n
n
2 +++=

Vi a=1;b=-1, ta cú :
(
)
(
)
C
C
C
C
n
n
nk
n
k1
n
0
n
1 1 0 ++++=


Chỳ ý .Trong biu thc v phi ca cụng thc (1)
a/ Soỏ caực haùng t l (n +1).

b/
Cỏc hng t cú s m ca a gim dn t n n 0, s m ca b tng dn t 0 n n, nhng tng cỏc s m ca a
v b trong mi hng t luụn bng n ( qui c a
0
=b
0
=1)
c/ Cỏc h s ca mi hng t cỏch u hai hng t u v cui thỡ bng nhau.
2. Tam giỏc Pa-xcan
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
Nhn xột
k
1n
1k
1n
k
n
CCC



+=

Bi 1. Vit khai trin theo cụng thc nh thc Niu-tn:
a/ ( 2a+b)

4
, b/ ( x-3y)
5
, c/
6
x
3
x






+

Bi 2
a/ Tỡm h s ca x
10
trong khai trin (2+x)
15
, b/ Tỡm h s ca x
9
trong khai trin (2-x)
19
,
Bi 3. Tỡm s hng th nm trong khai trin
10
x
2

x






+
, m trong ú s hng ca x gim dn.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
BT Tổ hợp và xác suất (ban cơ bản) Lưu Q Thảo
8
Bài 4. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của
( )
0x
x
2
x3
5
2
3
≠







−

Bài 5.Trong khai triển
12
x
1
x






+
hãy tìm số hạng tự do.
Bài 6. Hãy tìm hệ số của x
4
trong khai triển của
12
x
3
3
x







−

Bài 7. Biết hệ số của x
2
trong khai triển của (1+3x)
n
bằng 90. Hãy tìm n.
Bài 8. Trong khai triển của (1+ax)
n
ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x
2
. Hãy tìm
n và a.
Bài 9.Tìm hệ số của x
5
trong khai triển :x(1-2x)
5
+x
2
(1+3x)
10
( ĐHK
D
/ 07)
nguyên dương, A
n
k
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C
n
k

là số tổ hợp chập k của n phần tử )
Bài 10:
Tính hệ số của
1025
yx
trong khia triển
(
)
15
3
xyx +
.
Bài 11:
Tìm số hạng khơng chứa x khi khai triển
10
4
1






+
x
x

Bài 12:
Tính các hệ số của x
2

; x
3
trong khai triển của biểu thức : (x+1)
5
+ (x-2)
7
.
Bài 13:
Tìm hệ số của số hạng thứ sáu của khai triển biểu thức M = (a+b)
n
nếu biết hệ số của
s
ố hạng thứ ba trong khai triển bằng 45.
Bài 14:
Trong khai triển
,
2
m
x
a
x






+
hệ số của các số hạng thứ tư và thứ mười ba bằng nhau .Tìm số hạng
khơng chứa x .

Bài 15: Tìm số hạng chứa x
3
trong khai triển (11 + x)
11
.
Bài 16: Trong khai triển
10
3
3
2 x
x
 
−
 
 
, (x > 0), hãy tìm số hạng khơng chứa x.
Bài 17: Tìm hệ số của x
8
trong khai triển
( )
8
2
1 x 1 x
 
+ −
 

Bài 18: Cho khai triển:
( )
10

2 10
0 1 2 10
1 2x a a x a x a x
+ = + + + +
, có các hệ số
0 1 2 10
a ,a ,a , ,a
. Tìm hệ số lớn nhất
Bài 19: Tìm số hạng trong các khai triển sau
1) Số hạng thứ 13 trong khai triển
25
(3 x)
-

2) Số hạng thứ 18 trong khai triển
2 25
(2 x )
-

3) Số hạng khơng chứa x trong khai triển
12
1
x
x
ỉ ư
÷
ç
+
÷
ç

÷
÷
ç
è ø

4) 32) Số hạng khơng chứa x trong khai triển
12
28
3
15
x x x
-
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển
21
3
3

a b
b
a
ỉ ư
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
1) Hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển
12
x 3
3 x
ỉ ư
÷
ç
-
÷
ç
÷

÷
ç
è ø

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BT T hp v xỏc sut (ban c bn) Lu Quớ Tho
9
2) H s ca s hng cha
8
x
trong khai trin
12
5
3
1
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ

3) H s ca s hng cha

8
x
trong khai trin
8
2
1 x (1 x)
ộ ự
+ -
ờ ỳ
ở ỷ

4) H s ca s hng cha
5
x
trong khai trin
(
)
10
2 3
1 x x x+ + +

5) H s ca s hng cha
3
x
trong khai trin
2 10
(x x 2)
- +

6) H s ca s hng cha

4
x
trong khai trin
2 10
(1 x 3x )
+ +

7) H s ca s hng cha
3
x
trong khai trin:
8)
3 4 5 50
S(x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x)
= + + + + + + + +

9) H s ca s hng cha
3
x
trong khai trin:
10)
3 4 5 22
S(x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x)
= + + + + + + + +

11) Tỡm h s ca s hng cha x
10
trong khai trin
10 10
(1 x) (x 1)

+ +
.
Bi
16: Khai triển các nhị thức sau:
a)
( )
5
3 4
x
b)
8
1
2
x
x

+


c)
6
1
3 15
27





Bi

17: Tính giá trị của các biểu thức:
a)
0 1 2 6
6 6 6 6

S C C C C
= + + + +
b)
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
2 2 2 2 2
S C C C C C C
= + + + + +

Bi
18: Tính tổng
a)
17 0 1 16 1 2 15 1 17 17
1 17 17 17 17
3 4 3 4 3 4
S C C C C
= + +
c)
0 2 2 4 4
3
2 2 2
n n n n
n n n n
S C C C C

= + + + +
( n là chẵn)
b)
6 7 8 9 10 11
2 11 11 11 11 11 11
S C C C C C C
= + + + + +
d)
1 1 3 3 5 5 1
3
2 2 2 2
n n n n
n n n n
S C C C C

= + + + +
( n là chẵn)
Bi
19: Rút gọn
a)
1 3 2 1
2 2 2

n
n n n
A C C C

= + +
b)
0 2 2

2 2 2

n
n n n
B C C C
= + +

Bi
20: Tìm số hạng thứ 6 của khai triển :
a)
15
1
x
x

+


b)
( )
21
1 2
x


Bi
21: Tìm số hạng đứng giữa của khai triển
10
3
5

1
x
x

+



Bi
22: Tìm 2 số hạng tử chính giữa của khai triển
(
)
15
3
x xy


Bi
23: Tìm hệ số lớn của
31
x
trong khai triển của
(
)
15
3
x xy


Bi

24: Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển của
15
2
1
x
x

+


ĐS: 3003
Bi
25: Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển của
12
3
3
x
x

+


ĐS: 924
Bi
26: Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển Niutơn của
12
2
4
1
x

x

+



Bi
27: Cho biết hệ số của số hạng thứ trong khai triển
3
2
n
x
x x
x

+



bằng 36. Tìm só hạng thứ 7
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
BT T hp v xỏc sut (ban c bn) Lu Quớ Tho
10
Bi
28: Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ:
(
)
124
4

3 5


Bi
29: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển
(
)
10
4
x x
+
. Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên?
Bi
30: Tìm số nguyên d-ơng bé nhất của n trong khai triển
( )
1
n
x
+
có 2 hệ số liên tiếp có tỉ số là
7
12

Bi
31: Tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển nhị thức
a
/.
( )
20
1 2

x
+
b)
( )
40
1
x
+
c)
8
1 2
2 3

+



Bi
32: Xác định n sao cho trong khai triển nhị thức
( )
2
n
x +
hạng tử thứ 11 là số hạng có hệ số cao nhất.
Bi 33 :
Hóy khai trin cỏc nh thc sau thnh a thc :

( )
( )
( ) ( )

15
6
5 20 17
1
2 2 3 4 2 3
a a b b a c x d x e x
x

> + > > > > +



Bi 34 :
Tỡm h s ca x
3

trong nh thc sau :
6
3
2
1
x
x

+


,
9
2

1
x
x

+


,
9
2
3
1
x
x

+



Bi 35 :
Tỡm h s ca x
5

trong nh thc sau :
15
4
1
x
x

+


,
10
3
2
1
x
x

+


,
20
2
1
x
x

+



Bi 36 :
Tỡm h s ca x
3

trong nh thc sau :

15
2
2
x
x

+


,
8
3
2
x
x

+



Bi 37:
Bit h s ca x
2
trong khai trin (1-3x)
n
l 90 . Tỡm n ?
Bi 38 :
Tỡm h s khụng cha x trong khai trin
20
3

2
2
x
x

+


.
Bi 39 :
Tỡm h s khng cha x trong khai trin :
12
3
3
x
x

+


.
Bi 40
: Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin sau :
15
2
3
3
x
x

+


.
Bi 41 :
Tỡm h s ca x
31
trong khai trin nh thc
40
2
1
x
x

+


.


Bi 4. PHẫP TH V BIN C
I- PHẫP TH, KHễNG GIAN MU
1/ Phộp th
Phộp th ngu nhiờn l phộp th m ta khụng oỏn trc c kt qu ca nú, mc dự ó bit tp
hp tt c cỏc kt qu cú th ca phộp th ú.
2/ Khụng gian mu
Tp hp cỏc kt qu cú th xy ra ca mt phộp th c gi l khụng gian mu ca phộp th v kớ
hiu l

II- BIN C
Bin c l mt tp con ca khụng gian mu
Tp c gi l bin c khụng th . Cũn tp

c gi l bin c chc chn.
III- PHẫP TON TRấN CC BIN C
Tp

\A c gi l bin c i ca bin c A, kớ hiu l
A

Tp AB c gi l hp ca cỏc bin c A v B.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
BT Tổ hợp và xác suất (ban cơ bản) Lưu Quí Thảo
11
Tập A∩B được gọi là giao của các biến cố A và B.
Nếu A ∩B=∅ thì ta nói A và B xung khắc.
Chú ý
A∪B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra .
A∩B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra . Biến cố A∩B còn được kí hiệu A.B
A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nao cùng xảy ra.

Bài 1. Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần và quan sát số chấm xuất hiện
a/ Hãy mô tả không gian mẫu.
b/ Hãy xác định các biến cố sau: A: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”;
B: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”; C: “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 3”
c/ Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc.
Bài 2.Gieo một đồng tiền hai lần . a/ Hãy mô tả không gian mẫu.
b/ Hãy xác định các biến cố sau:

A : “ Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa” B : “ Kết quả hai lần khác nhau .”
Bài 3. Gieo một đồng tiền ba lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N).
a/Xây dựng không gian mẫu .
b/ Hãy xác định các biến cố sau:
A : “ Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp”; B : “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”;
C: “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”; D: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.
Bài 4.Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N) của đồng
tiền và số chấm xuất hiện trên con súc sắc. a/ Hãy mô tả không gian mẫu .
b/ Hãy xác định các biến cố sau: A: “ Mặt 6 chấm xuất hiện”
B : “ Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm ”
C : “ Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm ”
Bài 5. Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi.
a/ Xây dựng không gian mẫu .
b/ Xác định các biến cố sau:
A : “ Hai bi cùng màu trắng”; B : “Hai bi cùng màu đỏ”;
C: “Hai bi cùng màu ”; D: “ Hai bi khác màu ”.
c/ Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối nhau.
Bài 6 : Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát sự cố xuất hiện .
a>Mô tả không gian mẫu .
b>xác định các biến cố sau .
A:”Xuất hiện mặt chẵn chấm “ B:”Xuất hiện mặt lẻ chấm” C:”Xuất hiện mặt có chấm không nhỏ hơn 3”
c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc .
Bài 7 : Một hộp đựng 3 bi trắng được đánh số tử 1 đến 3, 2 bi đỏ được đánh số từ 4 đến 5 , lấy ngẫu nhiên đồng
thời 2 bi :
a>Xây dựng không gian mãu .
b>Xác định các biến cố :
A:”Hai bi cùng màu trắng » B:”Hai bi cùng màu đỏ “ C:”Hai bi cùng màu “ D:”Hai bi khác màu “
c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc
Bài 8 : Gieo một đồng tiền 3 lần và quan sát hiện tượng mặt sấp và mặt ngữa .
a> Xây dựng không gian mẫu .

b> Xác định các biến cố :
A:”Lần gieo đầu tiên mặt sấp” B:”Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”
C:”đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
Bài 9 : Gieo một đồng tiền và một con súc sắc quan sát mặt sấp,mặt ngữa, số chấm suất hiện của con súc sắc .
a> xây dựng không gian mẫu .
b> Xác định các biến cố sau :
A:”đồng tiền suất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm “
B:”Đồng tiền suất hiện mặt ngữa và con súc sắc suất hiện mặt lẻ chấm “
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BT Tổ hợp và xác suất (ban cơ bản) Lưu Quí Thảo
12
C:”Mặt 6 chấm xuất hiện “
Bài 10 : Gieo một đồng tiền 3 lần :
a> Xây dựng không gian mẫu . b/. Xác định các biến cố sau :
A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp “ B:”Mặt sấp xẫy ra đúng một lần “ C:”Mặt ngữa xẫy ra đúng một lần “
Bài 11 : Gieo một con súc sắc 2 lần :
a> Mô tả không gian mẫu .
b> Phát biều biến cố sau dưới dạng mệnh đề :
A:”{(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)} B:”{(2;6),(6;2),(3;5),(5;3),(4;4)}
C:”{(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)}.
Bài 12: Trong một hộp đựng 4 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 4, lấy ngẫu nhiên hai thẻ : Mô tả không gian mẫu .
a> Xác định các biến cố sau :
A:”Tổng các số trên hai thẻ là chẵn “
B:”Tích các số trên hai thẻ là chẵn “ .
Bài 13 : Từ một hộp đựng 5 quả cầu được đánh số từ 1 đến 5, lấy liên tiếp hai lần một lần một quả và xếp thứ tự
từ trái sang phải .
a> Mô tả không gian mẫu .
b> Xác định các biến cố sau :
A:”Chữ số đầu lớn hơn chữ số sau “ B:”Chữ số trước gấp đôi chữ số sau “ C:”Hai chữ số bằng nhau “.

Bài 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I / ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
Định nghĩa
Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.
Ta gọi tỉ số
)(n
)A(n
Ω
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) Vậy
)(n
)A(n
)A(P
Ω
=

Chú ý n(A) là số phần tử của A
n(
Ω
) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
II/ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
1/ Định lí a/ P(∅) =0, P(
Ω
)=1
b/ 0 ≤P(A)≤1, với mọi biến cố A
c/ Nếu A và B xung khắc thì P( A ∪ B ) = P(A)+P(B)
Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có
(
)
(

)
APAP −=1

III/ CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)


Bài 1. Từ một hộp chứa 4 quả cầu ghi chữ T, 3 quả cầu ghi chữ Đ và 1 quả cầu ghi chữ H. Tính xác suất của các
biến cố sau
a/ Lấy được quả cầu ghi chữ T b/ Lấy được quả cầu ghi chữ Đ c/ Lấy được quả cầu ghi chữ H
Bài 2. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau
A: “ Mặt lẻ xuất hiện” B: “Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”
C: “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2”.
Bài 3. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc hai lần
a/ Hãy mô tả không gian mẫu. b/ Hãy xác định các biến cố sau:
A: “ Lần đầu xuất hiện điểm 6” B:” Tổng điểm của hai lần là 4” c/ Tính P(A) và P(B).
Bài 4. Gieo một đồng tiền ba lần: a/ Hãy mô tả không gian mẫu
b/ Hãy tính xác suất của các biến cố sau:
A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp” B: “ Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa”
Bài 5. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để thẻ được lấy ghi số
a/ Chẵn; b/ Chia hết cho 3; c/ Lẻ và chia hết cho 3.
Bài 6. Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
BT T hp v xỏc sut (ban c bn) Lu Quớ Tho
13
a/ C hai u l n; b/ Khụng cú n no; c/ t nht mt ngi l n; d/ Cú ỳng mt ngi l n.
Bi 7. Mt hp cha 10 qu cu c ỏnh s t 1 n 10, 20 qu cu xanh c ỏnh s t 1 n 20. Ly ngu
nhiờn mt qu. Tỡm xỏc sut sao cho qu c chn:
a/ Ghi s chn; b/ Mu ; c/ Mu v ghi s chn; d/ Mu xanh hoc ghi s l.

Bi 8.Gieo hai ng xu cõn i mt cỏch c lp .Tớnh xỏc sut :
a/ C hai ng xu u sp. b/ Cú ớt nht mt ng xu sp. c/ Cú ỳng mt ng xu nga.
Bi 9. Mt hp ốn cú 12 búng, trúng ú cú 7 búng tt cỏc búng cũn li l búng xu ( kộm cht lng ) .Ly ngu
nhiờn 3 búng ốn .Tớnh xỏc sut ly c ớt nht 2 búng tt.
Bi 10. Cú 2 bỡnh, mi bỡnh cha 3 viờn bi ch khỏc nhau v mu.Mt bi xanh, mt bi vng, mt bi . Ly ngu
nhiờn mi bỡnh mt viờn bi .Tớnh xỏc sut c hai viờn bi khỏc mu.
Bi 11.Trong mt hp cú 20 qu cu ging nhau gm 12 qu trng v 8 qu mu en .
1/ Tớnh xỏc sut khi ly bt kỡ 3 qu cu cú ỳng 1 qu mu en .
2/ Tớnh xỏc sut khi ly bt kỡ 3 qu cú ớt nht 1 qu mu en . ( HNNHN/96)
Bi 12.Mt bỡnh ng 5 viờn bi xanh, 3 viờn bi vng, 4 viờn bi trng ch khỏc nhau v mu .Ly ngu nhiờn 3 viờn
bi .Tớnh xỏc sut cỏc bin c sau :
1/ A: Ly c 3 bi xanh. 2/ B: Ly c ớt nht 1 bi vng. 3/ C: Ly c 3 viờn bi cựng mu.
(HNN1HN/96)

Bi 13.Mt hp cú 20 viờn bi, trong ú cú 12 viờn bi mu v 8 viờn bi mu xanh .Ly ngu nhiờn 3 viờn bi.
Tỡm xỏc sut :
a/ C 3 viờn bi u mu ; b/ C 3 viờn bi u mu xanh; c/ Cú ớt nht mt viờn bi mu .
(HCSK
C
/97)

Bi 14. Trong mt hp cú 12 búng ốn ging nhau, trong ú cú 4 búng hng .Ly ngu nhiờn 3 búng .Tớnh xỏc sut
:
a/ c 3 búng tt . b/ c 3 búng hng . c/ c ỳng 1 búng tt . (HAN tpHCM99)
d/ c ớt nht 1 búng tt .
Bi 15.Mt t x s phỏt hnh 20.000 vộ trong ú cú 1 gii nht, 100 gii nhỡ, 200 gii ba, 1000 gii t v 5000
gii khuyn khớch. Tỡm xỏc sut mt ngi mua 3 vộ, trỳng 1 gii nhỡ v hai gii khuyn khớch. (HGTVT/97)
Bi 16.Mt hp ng 6 viờn bi xanh, 4 viờn bi cú kớch thc v trng lng nh nhau .Ly ngu nhiờn 5 viờn bi
. Tỡm xỏc sut ly c ớt nht 3 viờn bi . ( HDL KTCN99)
Bi 17.Mt hp ng 10 viờn bi xanh,trong ú cú 6 viờn bi mu xanh v 4 viờn bi mu .Ly ngu nhiờn 3 viờn bi .

Tỡm xỏc sut trong 3 viờn bi ly ra cú
a/ C 3 viờn u l mu xanh . b/ t nht 1 viờn bi mu xanh . ( CSPthHCM99)
Bi 18. Ngõn hng thi cú 100 cõu hi . Mi thi cú 5 cõu .Mt hc sinh thuc 80 cõu .tỡm xỏc sut hc sinh
ú rỳt ngu nhiờn c 1 thi trong ú cú 4 cõu hi mỡnh ó hc thuc .
Bi 19.Trong 100 vộ s cú 1 vộ trỳng 10000 ng, 5 vộ trỳng 5 000ng v 10 vộ trỳng 1000ng . Mt ngi
mua ngu nhiờn 3 vộ .Tớnh xỏc sut cỏc bin c :
a/ Ngi ú trỳng 3000 ng . b/ Ngoi ú trỳng ớt nht 3 000 ng .

Bi
19/ Nm on thng cú di 1cm, 3cm, 5cm, 7cm, 9cm. Ly ngu nhin 3 on thng trong 5 on
thng trn Tỡm XS 3 on thng ly ra lp thnh 1 tam giỏc
Bi
20/ Cú mt bi kim tra trc nghim 8 cõu vi la chn A,B,C,D (mi cõu chn mt ỏp ỏn).Mt bn hc
sinh tr li i cỏc ỏp ỏn.Tớnh xỏc sut ca bn ú cú th chn ra c ch 4 cõu ỳng
Bi
21/ Rỳt 4 quõn bi trong b bi tỳ l kh gm 52 con. Xỏc sut rỳt c 3 quõn ỏt
Bi
22/ Gieo mt con sỳc sc cõn i v ng cht 2 ln. Xỏc sut ớt nht 1 ln xut hin mt 3 chm
Bi
23/ Mt hp ng 12 búng ốn trong ú cú 8 búng tt . Ly ngu nhiờn 3 búng. Tớnh xỏc sut ly c:
a/ Mt búng hng b/ t nht mt búng hng
Bi
24/ Gieo ng thi hai con xỳc sc cõn i, ng cht. Tớnh xỏc sut tng s nt xut hin trờn hai con
xỳc sc l 7
Bi
25/ Mt khỏch sn cú 6 phũng n. Cú 10 khỏch n thuờ phũng, trong ú cú 6 nam v 4 n. Ngi
qun lớ chn ngu nhiờn 6 ngi. Tớnh xỏc sut :
a) C 6 ngi u l nam. b) Cú 4 nam v 2 n. c) Cú ớt nht hai n.
Bi
26: Tính xác suất sao cho rút đ-ợc 1 con bài chất bích từ bộ bài lơ khơ 52 con

Bi
27: Trong hộp có 6 bi đỏ, 4 bi trắng cùng kích cỡ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất sao cho trong hai
viên bi lấy ra có:
j) Hai viên bi đỏ b/. ít nhất 1 viên bi đỏ c/. Viên thứ 2 màu đỏ.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
BT T hp v xỏc sut (ban c bn) Lu Quớ Tho
14
Bi
28: Bắt 10 con chim nhốt vào 10 cái lồng đ-ợc số từ 1 đến 10 một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để lồng số
1 có 3 con chim.
Bi
29: Có 12 bóng đèn, trong đó có 7 bóng đốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng lấy ra :
k) 2 bóng tốt b/. ít nhất 1 bóng tốt c/. ít nhất 2 bóng tốt.
Bi
30: Có 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để lấy đ-ợc:
a/. 2 viên bi màu đỏ b/. 2 viên bi khác màu. c/. ít nhất một viên bi màu vàng.
Bi
31: Có 7 bút mực xanh và 3 bút mực đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bút ( không hoàn lại); rồi lấy tiếp 1 bút nữa. Tính
xác suất để đ-ợc bút xanh ở lần lấy thứ nhất, bút đỏ ở lần lấy thứ 2.
Bi
32: Có 2 hộp bút : hộp I có 2 bút đỏ và 10 bút xanh; hộp II có 8 bút đỏ và 4 bút xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi
hộp ra 1 bút. Tính xác suất sao cho có 1 bút xanh và 1 bút đỏ.
Bi
33: Ba xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất bắn trúng của 3 ng-ời lần l-ợt là 0,7; 0,8 và 0,9. Tính xác suất để:
a/. Có đúng hai ng-ời bắn trúng b/. Có ít nhất 1 ng-ời không bắn trúng c/. Có ít nhất 1 ng-òi bắn trúng.
Bi
34: Xác suất bắn trúng bia của 1 xạ thủ là 0,8. Tính xác suất sao cho trong 3 lần bắn độc lập ng-ời đó:
a/. Bắn trúng đúng 1 lần b/. Bắn trúng 2 lần c/. Bắn trúng ít nhất 1 lần.
Bi

35: Trong 1 bài kiểm tra trắc nghiệm có 25 cấu, mỗi câu có 4 đáp án. Một học sinh quá dốt, không biết gì làm
bài nên lựa chon nẫu nhiên 1 đáp án cho mỗi câu. Tính xác suất để học sinh đó:
a/. Không đ-ợc điểm nào b/. đ-ợc điểm 5 c/. đ-ợc 10.
Bi
36: Xác suất để 1 cung thủ bắn trúng hồng tâm là 0,4. Cung đó phải bắn trúng tối thiểu bao nhiêu lần để xác
suất bắn trúng hồng tâm của loạt bắn đó lớn hơn 0,95.
Bi
37: Một cầu thủ ném bóng vào rổ cho đến khi trúng rôt thì dừng lại/ Biết xác suất ném trúng ở mỗi lần nem là
0,4. Tính xác suất để cầu thủ đó:
a/. Dừng ném ở lần ném thứ nhất. b/. Ném không quá 4 lần thì dừng lại.
Baứi 38:
Gieo mt con sỳc sc hi ln, tớnh xỏc sut cỏc bin c sau :
a/ Tng ca hai ln gieo bng 6 chm b/ Ln gieo u bng 6
c/ Tớch ca hai ln gieo l mt s chn . d/ Hai ln gieo cú s chm bng nhau .
Baứi 39:
Mt t cú 7 nam v 3 n, chn ngu nhiờu hai hc sinh . Tớnh xỏc sut sao cho :
a/ C hai hc sinh l n . b/ khụng cú n no . c/ cú ớt nht l mt nam . d/ cú ỳng mt hs l n .
Baứi 40:
Mt hp ng 5 viờn bi trng, 7 viờn bi , chn ngu nhiờn 3 viờn bi . Tớnh xỏc sut :
a/ 3 viờn bi cựng mu. b/ cú ỳng 3 bi . c/ cú ớt nht l hai bi trng. d/ cú hai mu .
53: Cú 5 hc sinh nam v 5 hc sinh n c xp ngi ngu nhiờn quanh mt cỏi bn trũn, tỡm xỏc sut nam n
ngi xen k nhau .
Baứi 41:
Cú 5 hc sinh nam v 5 hc sinh n c xp ngi ngu nhiờn vo mt cỏi bn di , tỡm xỏc sut
nam n ngi xen k nhau .
Baứi 42:
Mt hp ng 10 qu cu c ỏnh s t 1 n 10 v 20 qu cu c ỏnh s t 1 n 20 ly ngu
nhiờn mt qu cu . Tớnh xỏc sut sao cho qu cu c chn :
a/Ghi s chn . b/Mu . c/Mu v ghi s chn . d/Mu xanh hoc ghi s l .
Baứi 43:

cú 7 hc sinh hc mụn anh vn v 8 hc sinh hc phỏp vn v 9 hc sinh hc ting nht . chn ngu
nhiờn 3 hc sinh . Tớnh xỏc sut :
a/ chn ỳng cú hai th ting trong ú cú hai hc sinh hc ting anh. b/ Chn cú ỳng ba th ting .
Baứi 44:
Mt lp cú 60 hc sinh trong ú 40 hc sinh hc ting nh, 30 hc sinh hc ting phỏp, 20 hc sinh hc
c ting nh v ting phỏp . Chn ngu nhiờn 1 hc sinh . Tớnh xỏc sut ca cỏc bin c sau :
a/ Sinh viờn c chn hc ting nh. b/sinh viờn c chn ch hc ting phỏp.
c/Sinh viờn c chn khụng hc tin anh v ting phỏp.


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.