Chuyên đề tổ hợp- Xác suất đầy đủ các dạng.doc

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 1

CHƯƠNG 3: TỔ HỢP- SÁC XUẤT
A. TỔ HỢP
I. QUY TẮC ĐẾM
1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu
phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì
cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực
hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực
hiện.
BÀI TẬP
Bài 1: ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp THPT đều có quyền dự thi
vào một trường đại học( có 35 trường ) hoặc một trường cao đẳng ( có 25 trường) hoặc một trường
trung học chuyên nghiệp ( có21 trường ). Hỏi mỗi học sinh tốt nghiệp THPT có bao nhiêu cách
chọn trường thi ?
Giải
- có 35 cách chọn trường đại học
- Có 25 cách chọn trường cao đẳng
- Có 21 cách chọn trường trung học chuyên nghiệp
Khi đã chọn thi trường đại học thì không chọn trường thi là cao đẳng và chuyên nghiệp, tương tự
với cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, do đó có tất cả:
35 + 25 + 21 = 81 cách chọn trường thi
Bài 2:
Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, mỗi thí sinh cần thực hiện 2 việc:
- Chọn trường thi có tất cả 33 trường
- Chọn khối thi, mỗi trường có 4 khối thi là A, B, C, D. Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ ?
Giải

Ta thấy có 33 cách lập trường thi và ứng với mỗi cách chọn trường đó, có 4
cách chọn khối để thi.
Do đó, có tất cả: 33. 4 =132 cách lập hồ sơ
Bài 3:
Bạn An có 5 bông hoa hồng khác nhau, 4 bông hoa cúc khác nhau, 3 bông hoa lan khác nhau, bạn
cần chọn ra 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa
trong lọ phải có đủ cả loại.
giải:
Bài toán xảy ra 3 trường hợp.
+Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan.
- Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách
- Chọn 1 bông hồng thứ hai có 4 cách
- Chọn 1 bông cúc có 4 cách
- Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.4.3=240 cách (1)
+Trường hợp 2: Chọn 1bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan.
- Chọn 1 bông hồng có 5 cách
- Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách
- Chọn 1 bông cúc thứ hai có 3 cách
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 2

- Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.3 = 180 cách (2)
+Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan.
- Chọn 1 bông hồng có 5 cách
- Chọn 1 bông cúc có 4 cách
- Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách
- Chọn 1 bông lan thứ hai có 2 cách
Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.2=120 cách (3)

Từ (1), (2), (3), theo quy tắc cộng ta có: 240+180+120=540 cách
Bài 4:
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên trong mỗi trường hợp sau:
1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.
2. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau.
Lời giải:
1. Gọi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là abcd
Chọn chữ số d có 3 cách chọn,
Chọn chữ số a có 5 cách chọn,
Chọn chữ số b có 5 cách chọn,
Chọn chữ số c có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: 3.5.5.5=375 (số).
2. Gọi số tự nhiên thỏa ycbt là abcd
- Nếu d=0:
Chọn chữ số d có 1 cách chọn
Chọn chữ số a có 5 cách chọn
Chọn chữ số b có 4 cách chọn
Chọn chữ số c có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: 1.5.4.3=60 (số) (∗)
- Nếu d≠ 0, có 2 cách chọn chữ số d
Chọn chữ số a có 4 cách chọn
Chọn chữ số b có 4 cách chọn
Chọn chữ số c có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 (số) (∗∗)
Từ (∗) và (∗∗) theo Quy tắc cộng ta có 60+96=156 (số)
Bài 5:
Cho các chữ số 0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên . Hỏi:
a. Có bao nhiêu số chẵn
b. Có bao nhiêu số có mặt chữ số 1
Lời giải:

a. Gọi số đã cho có dạng : a1a2a3a4 ( a4 là chữ số chẵn)
- Tìm số các số dạng trên kể cả a1=0 :
- a4 có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có A37=210 cách chọn nên số các số nầy là :630 số
- Tìm số các số dạng trên mà a1 = 0 :
- a4 có 2 cách chọn , các vị trí còn lại có A26=30 cách chọn nên số các số nầy là: 60 số
Vậy số các số chẵn cần tìm là :630 –60 = 570 số
b. Gọi số đã cho có dạng : a1a2a3a4
- Tìm số các số dạng trên kể cả a1 = 0 :
Chọn vị trí cho chữ số 1 : có 4 cách , các vị trí còn lại có A37=210 cách chọn nên số các số này là
=840 số
- Tìm số các số dạng trên mà a1 # 0 :
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 3

a1 có 3 cách chọn , các vị trí còn lại có A26=30 cách chọn nên số các số nầy là :90 số
Vậy số các số cần tìm là :840 – 90 = 750 số (quy tắc cộng)

Bài 6:
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào
ngồi cạnh nhau nếu
a. Ghế sắp thành hàng ngang
b. Ghế sắp quanh một bàn tròn.
Lời giải:
a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7
vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có A47 cách. Vậy có 6!.A47 cách
b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6
vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có A46 cách.
Vậy có 5!. A46 cách sắp xếp.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con

đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3
con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu
đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 đường.
Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có
bao nhiêu trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy
cách chọn lấy 1 bông hoa?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?
ĐS: a) 18. b) 15.
Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ
được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách
chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như
nhau?
ĐS: 36.
Baøi 5: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng.
Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a) 35. b) 29.
Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một
đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có
bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?
Baøi 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài
sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Baøi 8: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.

ĐS: a) 6
6
b) 6! c) 3.5! = 360
Baøi 9: a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 4

b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì
giống nhau?
e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000.
Baøi 10: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Gồm 2 chữ số? b) Gồm 2 chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm 2 chữ số?
d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24.
Baøi 11: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a) Khác nhau?
b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48.
Baøi 12: a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ
hơn 400?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong
khoảng (300 , 500).
ĐS: a) 35. b) 24.

II. HOÁN VỊ
1. Giai thừa:
n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n

!
!
n
p
= (p+1).(p+2)…n (với n>p)

!
( )!
n
n p

= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
2. Hoán vị (không lặp):
Một tập hợp gồm n phần tử (n

1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó
được gọi là một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là: P
n
= n!
3. Hoán vị lặp:
Cho k phần tử khác nhau: a
1
, a
2

, …, a
k
. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n
1
phần tử a
1
,
n
2
phần tử a
2
, …, n
k
phần tử a
k
(n
1
+n
2
+ …+ n
k
= n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một
hoán vị lặp cấp n và kiểu (n
1
, n
2
, …, n
k
) của k phần tử.
Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n

1
, n
2
, …, n
k
) của k phần tử là:
P
n
(n
1
, n
2
, …, n
k
) =
1 2
!
! ! !
k
n
n n n

4. Hoán vị vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là
một hoán vị vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Q
n
= (n – 1)!
BÀI TẬP
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT

VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 5

Dạng 1. Bài toán đếm, sắp xếp, phân phối
Bài 1: . Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi trong một bàn học sinh.
Giải
Số cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi bằng số hoán vị của 4 phần tử
Vậy P
4
= 4! = 1.2.3.4 = 24 cách sắp xếp.

Bài 2: Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh vào một kệ
sách theo từng môn. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Giải
Có 4 loại sách, do đó có 4! Cách sắp xếp theo môn.
ở mỗi loại sách có: 3! Cách sắp xếp sách toán.
4! Cách sắp xếp sách lý
2! Cách sắp xếp sách hoá
5! Cách sắp xếp sách sinh
Vậy có tất cả: 4!. 3!. 4!. 2!. 5! = 829440 cách sắp xếp.
Bài 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành
hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.
Giải.
Ghép An và Bình thành một phần tử M có 2! cách. Xếp 9 phần tử(gồm 8 bạn còn lại và phần tử M)
vào 9 vị trí có 9! Cách. Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách.

Bài 4: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số
đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?
ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

Bài 5. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số
đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bởi chữ số 9? b) Không bắt đầu bởi chữ số 1?
c) Bắt đầu bởi 19? d) Không bắt đầu bởi 135?
ĐS: a) 24. b) 96. c) 6 d) 118
Bài 6. Một tổ có 10 học sinh. Có bao nhiêu cách:
a. Xếp thành 1 hàng dọc.
b. Ngồi quanh một bàn tròn 10 ghế.
Giải
a. Số cách xếp 10 học sinh thành 1 hàng dọc là 10!.
b. Người thứ nhất có 1 cách chọn, không kể vị trí vì ngồi ở đâu cũng giống nhau.
Khi người thứ nhất đã ngồi thì 9 vị trí còn lại cho 9 người ngồi, có 9!
Vậy có 1.9! = 9!
Bài 7. Cho 5 quả cầu màu trắng khác nhau và 4 quả cầu xanh khác nhau. Ta sắp xếp 9 quả cầu đó
vào một hàng 9 chỗ cho trước.
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau?
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho hai quả cầu đứng cạnh nhau không cùng màu?
c. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 quả cầu trắng đứng cạnh nhau.
Giải
a. Có 9! = 362880 cách
b. Gọi các vị trí cần sắp xếp là 123456789.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 6

Vì có 5 quả cầu màu trắng, 4 quả cầu màu xanh nên các vị trí số 1, 3, 5, 7, 9 là các quả cầu trắng,
các vị trí 2, 4, 6, 8 là các quả cầu màu xanh
Để sắp xếp 5 quả cầu trắng có 5! cách.
Để sắp xếp 4 quả cầu xanh có 4! cách
Vậy có 5!4! = 2880 cách

c. Ta gọi 5 quả cầu trắng là vị trí a, như vậy với 9 vị trí như trên thì có 4 vị trí số và 1 vị trí a.
Xếp 5 quả cầu trắng vào vị trí a có 5! cách.
Xếp 4 quả cầu xanh vào các vị trí số là 4!.
Có 5 các chọn vị trí a
Vậy có 5.5!4! = 14400 cách.
Bài 8. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau
và chia hết cho 9.
Giải
Gọi số có 3 chữ số và chia hết cho 9 là số abc, với a + b +c

9
Vậy {a, b, c} = {0, 4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}
Với tập {0, 4, 5} có 2.2.1 = 4 số
Với các tập{1, 3, 5} và {2, 3, 4}, mỗi tập có 3! Số
Vậy có 4 + 2.3! = 16 số.

Dạng 2. tính toán
Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
 

 
 
B =
2011! 2009
.
2010! 2009! 2011


C =
5! ( 1)!
.
( 1) ( 1)!3!
m
m m m

 

D =
2
7! ( 2)!
.
( ) 4!( 1)!
m
m m m

 
E =
1
. !
n
k
k k


F =
2
1
!

n
k
k
k




A =
6! 1 ( 1)! .( 1)!
. .
( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 5)!5! 12.( 4)!3!
m m m
m m m m m m
 
 

 
     
 
(với m  5)
Baøi 2: Chứng minh rằng:
a)
–1 –1
– ( –1)
n n n
P P n P

b)
1 2 2 1

( 1) ( 2) 2 1
n n n
P n P n P P P
 
       

c)
2
1 1
! ( 1)! ( 2)!
n
n n n
 
 
d)
1 1 1 1
1 3
1! 2! 3! !
n
     

e)
1
! 2
n
n



Baøi 3: Giải các bất phương trình sau:

a)
1 5 ( 1)! .( 1)!
. 5
2 1 ( 3)!4! 12( 3).( 4)!2!
n n n
n n n n n
 
 
 
 
    
 
b)
4 ! ( 1)! 50
n n
   

c)
3
!
10
( 2)!
n
n
n
 


ĐS: a)


( 1)
5
6
n n




n = 4, n = 5, n = 6 b) n = 2, n = 3
Baøi 4: Giải các phương trình sau:
a)
2
2 3
. – . 8
P x P x

b)
1
1
1
6
x x
x
P P
P





c)
( 1)!
72
( 1)!
n
n




GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 7

d)
! !
3
( 2)! ( 1)!
n n
n n
 
 
e)
!
( 3)!
20
n
n
n
 
f)

3
!
10
( 2)!
n
n
n
 


ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 c) n = 8
d) n = 3 e) n = 6 f) n = 2
III. CHỈNH HỢP
1. Chỉnh hợp (không lặp):
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1

k

n) theo một thứ tự
nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
!
( 1)( 2) ( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
     





Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.


Khi k = n thì
n
n
A
= P
n
= n!
2. Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp
lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của
n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử:
k k
n
A n


BÀI TẬP
DẠNG 1: Bài toán đếm, sắp xếp, phân phối
Bài 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn
nữ nào ngồi cạnh nhau nếu
a. Ghế sắp thành hàng ngang
b. Ghế sắp quanh một bàn tròn.

Giải
a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7
vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có
4
7
A
cách. Vậy có 6!.
4
7
A
cách
b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6
vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có
4
6
A
cách.
Vậy có 5!.
4
6
A
cách sắp xếp.

Bài 2: ( ĐHQG HCM - 99) Với các số 1,2,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3
chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện:
a. Là 1 số chẵn. b. Là 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 278.
c. Là 1 số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278.
Giải
Cách 1: Đặt E = {1,2,5,7,8 }.
Gọi số tự nhiên gồm 3 chữ số là

n

1 2 3
a a a
(
1
0
a

)
a. Do
n
chẵn nên a
3


{2,8}

a
3
có 2 cách chọn
a
1


E \ {a
3
}

a

1
có 4 cách chọn
a
2


E \ {a
1
,a
3
}

a
2
có 3 cách chọn
Vậy: có 2.3.4 = 24 cách chọn hay có 24 số.
Cách 2: a. Do
n
chẵn nên a
3


{2,8}

a
3
có 2 cách chọn
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 8

a
1
, a
2
là 1 bộ phận biết thứ tự được chen từ E\{a
3
} do đó nó là một chỉnh hợp chập 2

2
4
A

cách chọn.
Theo qui tắc nhân, số các số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt hình thành từ tâp E bằng 2.
2
4
A
=
24 (số).
b. Do
n
nhỏ hơn 278 nên a
1


{1;2}.
Trường hợp 1: Nếu a
1
= 1 thì a
2


E\{a
1
}

a
2
có 4 cách chọn
a
3


E \ {a
1
,a
2
}

a
3
có 3 cách chọn


có 1.4.3 = 12 cách chọn .
Trường hợp 2: nếu a
1
= 2 thì a
2


E\{2,8}

a
2
có 3 cách chọn
a
3


E \ {a
1
,a
2
}

a
3
có 3 cách chọn


có 1.3.3 = 9 cách chọn .
Vậy: có 12 + 9 = 21 cách chọn số có 3 chữ số phân biệt và nhỏ hơn 278. Tức là có 21 số thoả
mãn ycbt
c. Do
n
chẵn nên a
3



{2,8} và số cần tìm nhỏ hơn 278 nên a
1


2.
Trường hợp 1: nếu a
1
= 2

a
1
có 1 cách chọn
a
3


{2,8}

a
3
có 2 cách chọn
a
2


E \ {a
1
,a
3
}


a
2
có 3 cách chọn


có 1.2.3 = 6 cách chọn .
Trường hợp 2: nếu a
1
= 2

a
1
có 1 cách chọn
a
3


{2,8}\{a
1
}

a
3
có 1 cách chọn
a
2


E \ {a

1
,a
3
}

a
2
có 3 cách chọn


có 1.1.3 = 3 cách chọn .
Vậy: có 6 + 3 = 9 cách chọn số tự nhiên chẵn gồm các chữ số khác nhau và nhỏ hơn hoặc bằng 278.
Tức là có 9 số thoả mãn ycbt.
Bài 3:
Với tập E={1,2,3,4,5,6,7} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và :
a) Là số chẵn.
b) Trong đó có chữ số 7.
c) Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.
Lời giải:
a) Sử dụng kiến thức về hoán vị :
* a5 được chọn từ tập F={2,4,6} ⇒ Có 3 cách chọn.
* a1,a2,a3,a4 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{a5} do đó nó là một chỉnh hợp chập 4 của
6
⇒ Có A46 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt , hình thành từ tập E bằng :
3.A46=1080 số.
b) Chọn 1 vị trí trong 5 vị trí của các chữ số để đặt chữ số 7
⇒ có 5 cách chọn
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 9

Bốn vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{7} do đó nó là một chỉnh
hợp chập 4 của 6
⇒ Có A46 cách chọn.
Vây, số các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, trong đó có chữ số 7, bằng :
⇒ 5.A46=1800 số.
c) Gán a2=1⇒ Có 1 cách chọn
Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí của các chữ số để đặt chữ số 7 ⇒ Có 4 cách chọn.
Ba vị trí còn lại nhận giá trị là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{7,1} do đó nó là một chỉnh
hợp chập 3 của 5
⇒ có A35 cách chọn.
Vậy, số các số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng
ngàn là chữ số 1, bằng :
1.4.A35=240 số.
Bài 4: với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu:
a. Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau.
b. Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau:
Giải
Gọi số có 4 chữ số là abcd
a. Số cần lập là số lẻ nên:
Có 3 cách chọn số d.
Có 4 cách chọn số a.
Có
2
4
A
cách chọn số bc
Vậy có: 3. 4 .
2
4

A
= 144 số.
b. Số cần lập là số chẵn:
Trường hợp 1: d = 0
 Số cách lập được số có 4 chữ số với d = 0 là
3
5
A

Trường hợp d  0
Có 2 cách chọn số d.
Có 4 cách chọn số a
Có
2
4
A
cách chọn bc
 có 2.4.
2
4
A
= 96 số.
Vậy có
3
5
A
+ 96 = 156 số.
Bài 5. Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà có mặt của chữ số 0 và chữ số 9.
Giải
Gọi số cần lập là A = a

1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

Trường hợp a
1
= 9  9 a
2
a
3
a
4
a
5
a
6

Có 5 vị trí chọn số 0
4 vị trí còn lại chọn 4 trong 8 số còn lại  có
4
8
A

 5.
4
8
A

Trường hợp a
1
 9, a
2
= 9  a
1
9a
3
a
4
a
5
a
6

Số 0 có 4 vị trí
4 vị trí còn lại có
4
8
A
cách chọn.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 10

 4.
4
8
A

Vì số 9 ở vị trí a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
là như sau nên ta có 5.4.
4
8
A
số
Vậy có . 5.
4
8
A
+ 5.4.
4
8
A
= 42000 số.
Bài 6. Từ các chữ số từ 1 đến 9, lập các số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau, có bao nhiêu số:

a. Chia hết cho 5. b. Số 9 đứng ở chính giữa.
Giải
a. số các số chia hết cho 5 là:
8
8
A
= 40320 số.
b. Chữ số 9 ở chính giữa thì có 1 cách chọn, 8 vị trí còn lại cho 8 số
 số các số thoả mãn yêu cầu là
8
8
A
= 40320 số
Bài 7. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, có bao nhiêu số bé
hơn 345
Giải
Gọi số cần lập là
abc
, vì
abc
< 345 nên ta có các trường hợp:
Trường hợp 1: a  3
a có thể là 1 hoặc 2  có 2 cách chọn a.
bc
chọn trong 5 số  có
2
5
A

 có 2.

2
5
A
= 40 số.
Trường hợp a = 3, vì
3bc
< 345
Nếu b = {1, 2,} thì b có 2 cách chọn
Chữ số c có 4 cách chọn.
 2.4 = 8 cách chọn.
Nếu b = 4 thì có 2 cách chọn c  có 2 số.
 có 2 + 8 = 10 số.
Vậy có 10 + 40 = 50 số cần lập
Bài tập tự giải
Baøi 1: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành
3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
ĐS: Có
3 3
10 6
.
A A
cách
Baøi 2: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ –
không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?
ĐS:
2
4
A
= 12 vectơ
Baøi 3: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ

có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa
đủ số học sinh)
ĐS:
2
n
A
= 132

n = 12
Baøi 4: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký.
Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 6840.
Baøi 5: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá
quả số 4.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 11

ĐS: a) 55440. b) 120.
Baøi 6: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí.
Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
ĐS: a) 6!. b) 360. c) 20160.
Baøi 7: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

ĐS: a)
4
9
9.
A
b) Có 9
5
số
Baøi 8: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?
ĐS: a) 6.
4
6
A
b)
3 3
5 5
6. 3.5
A A

c) Số gồm 5 chữ số có dạng:
abcde



Nếu a = 5 thì có
4
6

A
số


Nếu a

5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e

có 4 cách
chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại

có
3
5
A
cách chọn.


Có
4 3
6 5
4.5.
A A
 = 1560 số
DẠNG 2: bài toán tính toán
Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
2 5
5 10
2 5

7
A A
P P
 B =
1 2 3 4
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4
PA P A P A P A PP P P
   
C =
12 11 10 9
49 49 17 17
10 8
49 17
A A A A
A A
 

D =
2
5 4 3 2
5
4 3 2 1
5 5 5 5
P P P P
A
A A A A
 
  
 
 

E =
10
49
10 11
49 49
39A 12!(5! 4!)
38A 13!4!
A



F =
3 2
5 4 3 2
4 3 2 1
5 5 5 5
21( )
20
P P
P P P P
A A A A

 
  
 
 

ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42
Baøi 2: Chứng minh rằng:

a)
2 2 2
2 3
1 1 1 1
, , 2.
n
n
vôùi n N n
A A A n

     

b)
2 1 2
.
n n n
n k n k n k
A A k A
 
  
 
với n, k

N, k

2
c)
1
1 1
.

k k k
n n n
A A k A

 
 
Baøi 3: Giải các phương trình sau:
a)
3
20
n
A n
 b)
3 2
5
n n
A A
 = 2(n + 15) c)
2 2
2
3 42 0.
n n
A A
  

d)
2
4
1 3
210

.
n
n
n
P
A P



 e) 2(
3 2
3
n n
A A
 ) = P
n+1
f)
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A
  

g)
10 9 8
9 .
x x x
A A A
  h)
2 2

. 72 6( 2 )
x x x x
P A A P
   i)
2 2
2
2 50
x x
A A
 
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 12

k)
1
1
1
.
72.
y
x x y
x
A P
P

 


l)
5

3 5
720A .
n n n
P P
 

m)
6 5 4
n n n
A A A
 

ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6 d) n = 5
e) n = 4 f) n = 2; 3 g) x = 11. h) x = 3; 4.
i) x = 5. k) x = 8,
7, .
y y N
 

Baøi 4: Giải các bất phương trình:
a)
4
4
15
( 2)! ( 1)!
n
A
n n



 
b)
4
2
2 1
143
0
4
n
n n
A
P P

 
 
c)
3
15 15
n
A n
 
d)
3 2
12
n n
A A
 
e)
1
1

2 1
143
0
4
n
n n
A
P P

 
 

ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2

n

36




IV. TỔ HỢP

1. Tổ hợp (không lặp):
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1

k

n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
!
! !( )!
k
k
n
n
A n
C
k k n k
 




Qui ước:
0
n
C
= 1
Tính chất:

0 1 1
1 1
1
1; ; ;
n k n k k k k k k
n n n n n n n n n
n k
C C C C C C C C C

k
  
 
 
     
2. Tổ hợp lặp:
Cho tập A =


1 2
; ; ;
n
a a a
và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một
hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:
1
1 1
k k m
n n k n k
C C C

   
 
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:


Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:
!
k k

n n
A k C



Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự.


Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp
Ngược lại, là tổ hợp.


Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k

n):
+ Không thứ tự, không hoàn lại:
k
n
C

+ Có thứ tự, không hoàn lại:
k
n
A

+ Có thứ tự, có hoàn lại:
k
n
A

DẠNG 1: Bài toán đếm, sắp xếp, phân phối
Bài 1: Một lớp học có 40 h/s gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp gồm:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 13

a. 3 học sinh
b. 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ
c. 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam.
Giải
Ban cán sự lớp gồm 3 người trong lớp không có sự sắp xếp
a) Mỗi một ban cán sự 3 người là một tập con 3 phần tử của tập hợp 40 học sinh của lớp. Vậy có:
3
40
9880
C  cách lập ban cán sự lớp 3 người.
b) Có
1
25
C
cách chọn 1 học sinh nam và
2
15
C
cách chọn 2 học sinh nam.
Do đó có
1 2
25 15
. 2625
C C  cách lập một ban cán sự lớp gồm 1 nam và 2 nữ
c) Có

3
15
455
C  cách chọn 3 nữ sinh nên có 455 cách lập ban cán sự lớp 3 người toàn n
ữ.
Dó đó có: 9880 – 455 = 9425 cách lập ban cán sự 3 người ma trong đó có ít nhất một nam
Bài 2: (ĐH, CĐ 2005 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
Giải.
Gọi 3 tỉnh có tên là A, B, C
Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
4 1
12 3
C .C

Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
4 1
8 2
C .C

Chọn đội thanh niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có
4 1
4 1
C .C

Theo quy tắc nhân ta có:
4 1
12 3
C .C
.

4 1
8 2
C .C
4 1
4 1
C .C
= 207900


Bài 3: (Đề thi CĐ 2005 – Khối D) Một bó hồng gồm 10 bông hồng bạch và 10 bông hồng nhung.
Bạn Hoa muốn chọn ra 5 bông để cắm bình, trong đó phải có ít nhất 2 bông hồng bạch và 2 bông
hồng nhung. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải
Bạn Hoa có 2 cách chọn bông cắm bình như sau:
Cách 1: Chọn 2 bông hồng bạch và 3 bông hồng nhung
+ Số cách chọn 2 bông hồng bạch trong 10 bông:
2
10
C

+ Với mỗi cách chọn 2 bông hồng bạch lại có
3
10
C
cách chọn 3 bông hồng nhung trong 10
bông.
Vậy cách 1 có
2
10
C

.
3
10
C
cách chọn bông.
Cách 2: Chọn 3 bông hồng bạch và 2 bông hồng nhung. Lập luận tương tự như trên, ta cũng
có
2
10
C
.
3
10
C
cách chọn bông.
Vậy bạn Hoa có số cách chọn bông là:
3 2
10 10
2 10800
C C  cách chọn
Bài 4: (ĐH 2004 – KB) . Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi
khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,
mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, dễ và
trung bình) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
Giải
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 14

Trong đề kiểm tra, số câu hỏi dễ có thể là 2 hoặc 3.
Ta có các trường hợp như sau:

- Trường hợp 1: Đề gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó: có
2 2 1
15 10 5
C .C C

- Trường hợp 2: Đề gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó: có
2 1 2
15 10 5
C .C C

- Trường hợp 3: Đề gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó: có
3 1 1
15 10 5
C .C C

Vậy ta có
2 2 1
15 10 5
C .C C
+
2 1 2
15 10 5
C .C C
+
3 1 1
15 10 5
C .C C
= 56785 đề thi

Bài 5. Một bộ bài tây có 52 con, cần rút ra 5 con bài. Hỏi có bao nhiêu cách:
a. Rút tuỳ ý.
b. Có ít nhất 2 con át.
Giải
a. Số cách rút 5 con bài tuỳ ý là:
5
52
C

b. Ta xét các trường hợp:
- rút được 2 con át và 3 con bài không phải át là:
2 3
4 48
C .C

- Rút được 3 con át và 2 con không phải át là:
3 2
4 48
C .C

- Rút được 4 con át và 1 con không phải át là:
4 1
4 48
C .C

Vậy có
2 3
4 48
C .C
+

3 2
4 48
C .C
+
4 1
4 48
C .C
cách chọn.


Bài 6. Đội thanh niên xung kích của nhà trường có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp
B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này không quá 2
lớp.
Giải
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh là
4
12
C

Nếu chọn 4 học sinh từ 3 lớp thì:
Số cách chọn 2 học sinh từ lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C là:
2 1 1
5 4 3
C .C .C

Số cách chọn 1 học sinh từ lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C là:
1 2 1
5 4 3
C .C .C

Số cách chọn 1 học sinh từ lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C là:
1 1 2
5 4 3
C .C .C

 Số cách chọn 4 học sinh từ 3 lớp là
2 1 1
5 4 3
C .C .C
+
1 2 1
5 4 3
C .C .C
+
1 1 2
5 4 3
C .C .C

Vậy số cách chọn 4 học sinh từ không quá 2 lớp là:
4
12
C
- (
2 1 1
5 4 3
C .C .C
+
1 2 1
5 4 3
C .C .C

+
1 1 2
5 4 3
C .C .C
)
* Bài toán sắp xếp:
Bài 7.
a. Một người có 4 pho tượng khác nhau và muốn bày 4 pho tượng vào dãy 6 vị trí trên một kệ trang
trí. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
b. Một người có 8 pho tượng khác nhau và muốn bày 6 pho tượng trên vào 6 vị trí trên một kệ trang
trí. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Giải
a. Số cách bày 4 pho tượng khác nhau vào dãy 6 vị trí trên một kệ trang trí là:
4
6
A

b. Số cách chọn 6 pho tượng trong 8 pho tượng là:
6
8
C

Số cách bày 6 pho tượng vào 6 vị trí là: 6!
Vậy có
6
8
C
.6! = 20160 cách
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 15

Bài 8. Có n nam và n nữ ngồi vào 2 dãy ghế đối diện. Có bao nhiêu cách sắp xếp:
a. Nam nữ ngồi tuỳ ý.
b. Nam nữ ngồi đối diện nhau.
Giải
a. Có 2 cách chọn dãy ghế.
Tổng cộng có 2n người, cần chọn n người thì có
n
2n
C
cách chọn.
Xếp n người đó vào n vỉtí của dãy là: n!
Vậy có: 2.
n
2n
C
.n! cách.
b. Bước 1: Xếp n nam vào 1 dãy thì có n! cách
Bước 2: Xếp n nữ vào 1 dãy thì có n! cách
Bước 3: đổi chỗ n cặp nam nữ thì có 2.2….2 = 2
n
cách.
Vậy có n!.n!.2
n
cách.

Bài 9. Có bao nhiêu cách tặng 5 món quà khác nhau cho 3 người mà người nào cũng có quà.
Giải
Chia 5 món quà cho 3 người, người nào cũng có quà, ta có những cách chia như sau:
Trường hợp 1: Một người nhận 1 món quà, hai người còn lại, mỗi người nhận 2 món quà:

- Có 3 cách chọn người nhận 1 món quà
- Có 5 cách cho người nhận 1 món quà
- Có
2
4
C
cách cho quà người nhận 2 món quà thứ nhất.
- Có 1 cách cho người cuối cùng
 có 3.5.
2
4
C
.1 = 90 cách.
Trường hợp 2: Một người nhận 3 món quà, hai người mỗi người nhận 1 món quà.
- Có 3 cách chọn người nhận 3 món quà.
- Có
3
5
C
cách cho người nhận 3 quà.
- Có 2 cách cho người nhận 1 món quà thứ nhất.
- Có 1 cách cho người nhận 1 quà thứ hai.
 có 3.
3
5
C
.2 = 60 cách.
Vậy có 90 + 60 = 150 cách
Bài 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó số 1 có mặt
đúng 3 lần và các số khác có mặt đúng 1 lần.

Giải
Gọi số có 7 chữ số là a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7

Trường hợp a
1
= 1
Chọn 2 vị trí trong 6 vị trí cho số 1 là
2
6
C
.
4 vị trí còn lại cho 4 số 0, 2, 3, 4  có 4! cách

2
6
C
.4!

Trường hợp a
1


1
Chọn 3 vị trí cho số 1 là
3
6
C

Có 3 vị trí cho số 0
3 vị trí còn lại cho 3 số còn lại  3! Cách
 3
3
6
C
.3!
Vậy có
2
6
C
.4! + 3
3
6
C
.3! = 720 cách
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 16

Bài 11. Có thể thành lập bao nhiêu số có 8 chữ số, trong đó chữ số 1 và chữ số 6 đều có mặt 2 lần,

các chữ số 2, 3, 4, 5 đều cómặt đúng 1 lần.
Giải

Chọn vị trí số 1 có
2
8
C
cách.
Chọn vị trí số 6 có
2
6
C
cách.
4 vị trí còn lại chọn cho 4 số còn lại  4! cách.
Vậy có
2
8
C
.
2
6
C
.4! = 10.080 cách.
Bài 12. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt
đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
Giải
Gọi số cần lập là B = a
1
a
2

a
3
a
4
a
5
a
6
a
7

Chọn vị trí cho số 2 có
2
7
C
cách.
Chọn vị trí cho số 3 có
3
5
C
cách.
Hai vị trí còn lại chọn cho các số còn lại, nếu tính cả a
1
có thể bằng 0 thì có
2
8
A
cách.
 có
2

7
C
.
3
5
C
.
2
8
A
cách.
Nếu a
1
= 0
Chọn vị trí cho số 2 có
2
6
C

Chọn vị trí cho sô 3 có
3
4
C

Vị trí còn lại chọn cho 7 số còn lại, có 7 cách chọn

2
6
C
.

3
4
C
.7
Vậy số các số cần lập là:
2
7
C
.
3
5
C
.
2
8
A
-
2
6
C
.
3
4
C
.7 = 11340 số
Bài tập tự giải
Baøi 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi.
Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết
và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
ĐS:


Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:
2 1
4 6
. 36
C C 



Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:
1 2
4 6
. 60
C C


Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
Baøi 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn
một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ.

d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.
ĐS: a)
4
40
C
b)
1 3
25 15
.

C C
c)
2 2
25 15
.
C C
d)
1 3 2 2 3 1 4
25 15 25 15 25 15 25
. . .
C C C C C C C
  
e)
4 4 4
40 25 15
C C C
 
Baøi 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ tạo
thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy?
ĐS: 20 ; 10.
Baøi 4: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư,
3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu
cách làm như vậy?
ĐS: 1200.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 17

Baøi 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách
lấy được:
a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?

ĐS: a) 20. b) 150.
Baøi 6: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy
viên. Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS: 4651200.
Baøi 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một
khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa
trong đó:
a) Có đúng 1 bông hồng đỏ?
b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
ĐS: a) 112 b) 150
Baøi 8: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường nào
đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
ĐS:

Số giao điểm:
2
( 1)
2
n
n n
C




Số tam giác:
3
( 1)( 2)
6
n

n n n
C
 

Baøi 9: Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?
b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?
c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?
d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo
thành?
ĐS: a)
2
10
C
b)
2
10
A
c)
3
10
C
d)
4
10
C

Baøi 10: Cho đa giác lồi có n cạnh (n  4)
a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?
b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không

phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?
ĐS: a)
2
n
C n n
 


n = 5
b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2
đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm
bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác:
4
n
C

Baøi 11: Cho một đa giác lồi có n-cạnh
( , 3)
n b
 
.
a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?
b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?
c) Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?
ĐS: a)
( 3)
; 5.
2
n n
n



b)
( 2)( 1)
.
6
n n n
 
c)
( 1)( 2)( 3)
24
n n n n
  
.
DẠNG 2, tính toán biểu thức tổ hợp

Baøi 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
A =
23 13 7
25 15 10
3
C C C
  B =
4 3 4 2
7 7 8 3
5 6 6
10 10 11 2
1
1
C C C A

C C C P
  

  
C =
8 9 10
15 15 15
10
17
2
C C C
C
 

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 18

D =
5 6 7
15 15 15
7
17
2
C C C
C
 

ĐS: A = – 165 B = 4
Baøi 2: Rút gọn các biểu thức sau:
A =

2 3
. .
n n n
n n n
C C C
; B =
8 9 10
2 15 15 15
10
17
2
.
n
k
n n k
P C C C
A P C


 
 ;
C =
2
1
1 1 1
2
k n
n n n
n
k n

n n n
C C C
C k n
C C C
 
    

Baøi 3: Chứng minh các hệ thức sau:
a)
. .
k p k p k
n n k n p
C C C C



(k  p  n) b)
1
1
k k
n n
n
C C
k


 (1

k


n)
c)
1 1 1
2
2
k k k k
n n n n
C C C C
  

   d) . .
m k k m k
n m n n k
C C C C


 (0  k  m  n)
e)
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
    
 
     f)
2
2
( 1) ( 1)

k k
n n
k k C n n C


   ( 2 < k < n)
g)
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
  

    (3  k  n)
h)
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
   

    
(4  k  n)
ĐS: Sử dụng tính chất:
1
1

k k k
n n n
C C C


 
Baøi 4: Chứng minh rằng:
2
2
1 1
.
2
2 1
n
n
n
C
n


( n  N, n  1)
HD: Biến đổi vế trái:
2
2 2
1 (2 )! 1.3.5 (2 1)
.
2 2 . ! ! 2.4.6 (2 )
n
n
n n

n n
C
n n n

 

Vậy ta phải chứng minh:
1.3.5 (2 1) 1
2.4.6 (2 )
2 1
n
n
n




Ta có:
2 2
2 2
2 1 ( 2 1) ( 2 1) 2 1
2
2 1
4 4 1
k k k k
k
k
k k
   
  




Baøi 5: Giải các phương trình sau:
a)
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C




b)
4 5 6
1 1 1
x x x
C C C
  c)
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x x
   

d)
4 2 10
10 10
x x
x x
C C
 
 
 e)
2 2 1
4 3 3
. . 0
x
x C x C C
  
f)
2 2
2
101
x
x x
A C


 
g)
3 3
8 6
5
x

x x
C A

 
 h)
2 3
1 1
2 7( 1)
x
x x
C C x

 
  
i)
3 2
14
x
x x
A C x

 
k)
5
5
2
336
x
x
x

A
C


 l)
2
28
2 4
24
225
52
x
x
C
C

 m)
1 2 3
7
2
x x x
C C C x
  
n)
1 2 3 10
1023
x x x x
x x x x
C C C C
   

     o)
1 2 1
1 4
1 1 7
6
x x x
C C C
 
 
ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 7 d) x = 14 e) x = 3
f) x = 10 g) x = 17 h) x = 5 i) x = 5 k) x = 8
l) x = 7 m) x = 4 n) x = 10 o) x = 3; x = 8
Baøi 6: Giải các bất phương trình:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 19

a)
3
1
4
1 3
1
14
n
n
n
C
A P




 b)
2
5
3
60
( )!
k
n
n
P
A
n k





c)
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
  
  

d)

2 2
1
2 3 30
x x
C A

 
e)
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
  
f)
2 1
1 1
100
n n
n n
C C
 
 
 
ĐS: a) đk: n

3, n

2
+ n – 42 > 0

n

6
b)
( 5)( 4)( 1) 0
k n
n n n k



    




Xét với n

4: bpt vô nghiệm


Xét n

{0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)
c) đk: n

5, n
2

– 9n – 22 < 0

n = 5; 6; 7; 8; 9; 10
d) x = 2 e) x = 3, x = 4
Baøi 7: Giải các hệ phương trình:
a)
1
1
126
720
x
y
y x
y
x
x
A
C
P
P




 






b)
1 1
1
6 5 2
y y y
x x x
C C C
 

  c)
1
1
0
4 5 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C



 


 



d)
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

 


 


e)
2
1
:
3
1
:
24
x x
y y
x x
y y
C C
C A











f)
2 1
1
5 3
y y
x x
y y
x x
C C
C C
 









g)
1
1
2
126
720
x
y
y x
y
x
x
A
C
P
P

 


 





h)
3 2
5 5
2 3

4 5
7
4 7
y y
x x
y y
x x
A A
C C
 
 







i)
2 180
36
y y
x x
y y
x x
A C
A C

 



 



ĐS: a)
5
7
x
y





b)
8
3
x
y





c)
17
8
x
y






d) x = 5, y = 2.
e) x = 4, y = 8. f) x = 7, y = 4
Baøi 8: Tìm số tự nhiên k sao cho
1 2
14 14 14
, ,
k k k
C C C
 
lập thành một cấp số cộng.
ĐS: k = 4; 8.
V. NHỊ THỨC NEWTON

1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n

N và với mọi cặp số a, b ta có:
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b



 


2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T
k+1
=
k n k k
n
C a b

( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:
k n k
n n
C C


5)
0
1
n
n n
C C
 
,
1
1

k k k
n n n
C C C


 
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 20

* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta
sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)
n
=
0 1 1

n n n
n n n
C x C x C

  



0 1
2
n n
n n n
C C C
   

(x–1)
n
=
0 1 1
( 1)
n n n n
n n n
C x C x C

   


0 1
( 1) 0
n n
n n n
C C C
    

DANG 1: Xác định hệ số, số hạng
Bài 1: (ĐH HCQG, 2000)
Tìm hệ số x
8
trong khai triển
12
1
1
x
 


 
 

Giải
Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là:
12 12 2
12 12
1
k
k x k k
k
a C x C x
x
 
 
 
 
 



0 12
k 
Ta chọn
12 2 8 2
k k
   

Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x

8
và có hệ số là:
2
12
66
C



Bài 2: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
 
7
3
4
1
f x x
x
 
 
 
 
với
0
x


Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển:
 
 

7 7
7
3
3 12
1 7 7
4
1
, 7
k
k
k
k k
k
T C x C x k k
x



 
   
 
 


Ứng với số hạng không chứa x ta có:
7 7
0 4
3 12
k k
   

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển


f x
là:
4
7
35
C


Bài 3: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
11 7
2
2
1 1
A x x
x x
   
   
   
   

Giaûi:

Công thức khai triển của biểu thức là:
 

 
11 7
7
11 2
11 7
2
0 0
11 7
11 3 14 3
11 7
0 0
1 1

1
k
n
k k n
n
k n
k
k k n n
k n
A C x C x
x x
A C x C x


 
 
 

 
  
 
 
   
 
 

Để số hạng chứa x
5
vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x
5
là
2 3
11 7
90
C C
 

Bài 4: Tìm hệ số x
3
trong khai triển
2
2
n
x
x
 

 

 
biết n thoả mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
n
n n n
C C C

   

Giải
Khai triển: (1+x)
2n
thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 21

Khai triển:
12
12
2 24 3
12
0
2
2
k k k
k
x C x
x



 
 
 
 

hệ số x
3
:
7 7
12
2
C =101376

Bài 5: (ĐH KA 2004)
Tìm hệ số của x
8
trong khai triển đa thức của:
 
8
2
1 1
x x
 
 
 

Giải
Cách 1: Ta có:

     
8 8
2 2
8 8
0 0 0
1 1 .
k
k
k
i
k k k i i
k
k k i
f x C x x C x C x
  
 
 
   
 
 
 
  

Vậy ta có hệ số của x
8
là:


8
1

i
k i
k
C C
 thỏa mãn
0
0 8
4
2 8
2
,
3
i
i k
k
k i
i
i k
k
 

  




 

  
















Hệ số trong khai triển của x
8
là:




0 2
4 0 3 2
8 4 8 3
1 1
C C C C
  
=238

Cách 2: Ta có:

       
3 4 8
0 3 2 4 2 8 2
8 8 8 8
1 1 1
f x C C x x C x x C x x
     
        
     

Nhận thấy: x
8
chỉ có trong các số hạng:
 Số hạng thứ 4:
 
3
3 2
8
1
C x x
 

 

 Số hạng thứ 5:
 
4
4 2
8
1

C x x
 

 

Với hệ số tương đương với: A
8
=
3 2 4 0
8 3 8 4
C C C C
 =238
Bài 6: ( ĐHSPHN, khối D,2000) Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức


2
1
n
x


bằng 1024. Hãy tìm hệ số a


*
a N
 của số hạng ax
12
trong khai triển đó.
Giải

Ta có:
 
2 2 1 2 12 2
0
1
n
k n k k k
n n n n
k
x C x C C x C x


     


Với x=1 thì:
0 1
2 1024
n n
n n n
C C C    
10
2 2 10
n
n
   

Do đó hệ số a (của x
12
) là:

6
10
210
C 
Bài 7:
a)Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau


21
3
x xy


b)Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau
 
20
4
2
3
1
x x
xy
 
 

 
 

giải
a. Khai triển



20
3
x xy

có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12.
 Số hạng thứ 11 là:


 
11
10
10 3 10 43 10
21 21
C x xy C x y


GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 22

 Số hạng thứ 12 là:


 
10
11
11 3 10 41 11
21 21
C x xy C x y



b. Khai triển
 
20
4
2
3
1
x x
xy
 
 

 
 
có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số là số hạng
thứ
 
10
10
65 20
7
2
10 10
6 3
4
3
20 20
21

1 16:
2
C x xy C x y


 
 
 
  
 
 
 
 
 
 

( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x).
Bài 8: Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển:
3 15
( )
x xy



Lời giải
* Số hạng tổng quát trong khai triển ( x
3
- xy)
15
là:

3 15
1 15
( ) ( )
k k k
k
T C x xy


 
* Trong khai triển trên có n = 15 do đó có 16 số hạng nên ssố hạng đứng giữa là số hạng thứ
8 và thứ 9:

7 3 15 7 7 31 7
8 7 1 15
( ) ( ) 6435
T T C x xy x y


    

8 3 15 8 8 29 8
9 8 1 15
( ) ( ) 6435
T T C x xy x y


   

Bài 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức:
10
9 10
0 1 9 10
1 2
.
3 3
x a a x a x a x
 
     
 
 

Hãy tìm số hạng
k
a
lớn nhất
Giải
Ta có:
   
10
10
10 10
10 10 10
0
1 2 1 1 1
1 2 2 2
3 3 3 3 3
n
k

k k k
k
k
x x C x a C

 
     
 
 


Ta có a
k
đạt được max
     
     
 
 
1 1
1 10 10
1 1
1
10 10
2 2
2 2
2 10! 2 10!
1 2
! 10 ! 1 ! 9 !
19 22
10 1

2 2
3 3
2 10! 2 10!
11
! 10 ! 1 ! 11 !
7 , 0,10
k k k k
k k
k k k k
k k
k k
k k
a a C C
a a
C C
k k k k
k k
k
k k
k k k k
k k k
 

 


 


 

 











  
 
 
    
 
 






  

   

Vậy max
7

7
7 10
10
2
3
k
a a C
 
Bài 10:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:








9 10 14
1 1 1
Q x x x x
      
Ta được đa thức:


14
0 1 14

Q x a a x a x
   
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT

VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 23

Xác định hệ số a
9
.
Giải
Hệ số x
9
trong các đa thức






9 10 14
1 , 1 , , 1
x x x
  
lần lượt là:
9 5 9
9 10 14
, , ,
C C C

Do đó:
9 5 9
9 9 10 14
1 1 1 1
1 10 .10.11 .10.11.12 .10.11.12.13 .10.11.

12.13.14
2 6 24 20
a C C C         
=11+55+220+715+2002=3003


Bài tập tự giải
Baøi 1: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:
a)
9 4
( 3) ;
x M x
 
b)
12 5
(2 1) ;
x M x
 
c)
15 9
(2 ) ;
x M x
 

d)
11 6
(1 3 ) ;
x M x
 
e)

2 12 15
(3 ) ;
x x M x
 
f)
13 7
(2 5 ) ;
x M x
 

g)
10
2 11
2
;
x M x
x
 
 
 
 
h)
12
3
1
2 ;
x M x
x
 
 

 
 
i)
14
2
2
;
y M y
y
 
 
 
 

k)
17 8 9
(2 3 ) ;
x y M x y
  l)
3 15 25 10
( ) ;
x xy M x y
  k)
25 12 13
(2 3 ) ;
x y M x y
 
ĐS:
Baøi 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
a)

10
4
1
x
x
 

 
 
b)
12
2
4
1
x
x
 

 
 
c)
5
3
2
1
x
x
 

 

 
d)
6
2
1
x
x
 

 
 

e)
10
1
2x
x
 

 
 
f)
10
2
3
1
x
x
 


 
 
g)
15
3
2
2
x
x
 

 
 
h)
10
1
x
x
 

 
 

ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15 e) –8064 f) 210
Baøi 3: Khai triển đa thức P(x) dưới dạng:
2
0 1 2
( )
n
n

P x a a x a x a x
     . Xác định hệ số a
k
:
a)
9 10 14
9
( ) (1 ) (1 ) (1 ) ;
P x x x x a
       ?
b)
2 3 20
15
( ) (1 ) 2(1 ) 3(1 ) 20(1 ) ;
P x x x x x a
         ?
c)
80 2 80
0 1 2 80 78
( ) ( 2) ;
P x x a a x a x a x a
       ?
d)
50 2 50
0 1 2 50 46
( ) (3 ) ;
P x x a a x a x a x a
       ?
e)
3 4 5 30

3
( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ;
P x x x x x a
         ?
ĐS: a)
9
3003
a

b)
15
400995
a

c)
78
12640
a

d) a
46
= 18654300
Baøi 4: Trong khai triển
( )
n
x y z
  , tìm số hạng chứa
.
k m
x y

(k, m < n)
ĐS: Trước hết tìm tất cả số hạng chứa x
k
.
Ta có: (x + y + z)
n
=
   

n
n k
k k
n
x y z C x y z

     
 
 

mà (y + z)
n–k
=

m m n k m
n k
C y z
 

 

 số hạng chứa
.
k m
x y
là: .
k m k m n k m
n n k
C C x y z
 


Baøi 5: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:
a)
2 10 6
(1 ) ;
x x M x
  
b)
2 10 17
(1 2 ) ;
x x M x
  

c)
2 5 3
( 1) ;
x x M x
  
d)
2 3 8 8

(1 ) ;
x x M x
  

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 24

e)
2 3 10 5
(1 ) ;
x x x M x
   
f)
8
2 8
1 (1 ) ;
x x M x
 
  
 

Baøi 6:
a) Cho biết trong khai triển
3
2
1
n
x
x
 


 
 
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
bằng 11. Tìm hệ số của
2
x
.
b) Cho biết trong khai triển
2
1
,
n
x
x
 

 
 
tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
là 46. Tìm hạng tử không chứa x.
c) Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển
2
2
3
n
x
 

 

 
là 97. Tìm hạng
tử của khai triển chứa x
4
.
d) Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển
7
4
1
n
x
x
 

 
 
, biết rằng:

1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
  
    
.

e) Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển
(2 )
n
x
 , biết rằng:

0 0 1 1 2 2
3 3 3 ( 1) 2048
n n n n
n n n n
C C C C
 
     
ĐS: a)
2
4
4, 6
n C
 
b) n = 9 ; 84 c) n = 8;
4
1120
x
d) n = 10;
26
210
x

e) n = 11;
10
22
x

Baøi 7: a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức:


5
3
3 2

b) Tìm số mũ n của biểu thức
3
1
12
n
b
 

 
 
. Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và thứ
3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2. Tìm số hạng thứ 6?
c) Tìm số hạng thứ 6 của khai triển
15
1
.
x

x
 

 
 

d) Tìm số hạng chứa a
7
trong khai triển
12
2
3
3 2
.
64 3
a a
 

 
 

e) Tìm số hạng giữa của khai triển
10
3
5
1
.
x
x
 


 
 

f) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:
12
1
x
x
 

 
 
.
g) Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển
16
3
1
.
x
x
 

 
 

ĐS: a)
2
5
.3.2 60

C

b) n = 9

T
6
=
 
5
4
5
9
2 2
3 3
1 126
.C b
b b b
 

 
 
c)
5
6 15
.
T C


d)
7 30

924 .2 .
a

e)
15 30 15
16 30
. . .
T C x y
 f) 495. g) 1820.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP –XÁC SUẤT
VĂN LANG –HƯNG HÀ-THÁI BÌNH 01649802923 25

Baøi 8: Trong khai triển của nhị thức:
21
3
3
a b
b a
 

 
 
, tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa
giống nhau?
ĐS: Ta có: T
k+1
=
21
3
21

3
. .
k k
k
a b
C
b a

   
   
   
=
21 21
3 6 2 6
21
. .
k k k k
k
C a b
 
 




21 21
3 6 2 6
k k k k
 
  


k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T
10
=
5 5
9
2 2
21
. .
C a b

Baøi 9: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau:
a)
10
4
( ) .
x x
 b)
13
3
1
.
x
x
 

 
 

ĐS: a)

2 6 7 10 10
10 10 10
, , .
C x C x C x
b)
0 13 3 9 6 5 9
13 13 13 13
, , , .
C x C x C x C x

Baøi 10: a) Tìm số hạng của khai triển
9
3
( 3 2)

là một số nguyên.
b) Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển
6
( 3 15) .

c) Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển
36
5 3
( 3 7) .


d) Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển
124
4
( 3 5) .


ĐS: a)
4 10
4536, 8.
T T
 
b)
1 3 5 7
27, 2005, 10125, 3375.
T T T T
   

c)
7 22 37
, , .
T T T
d) 32 số hạng
Baøi 11: a) Tìm số hạng thứ ba của khai triển
13
1
n
a
a
a

 

 
 
nếu

3 2
: 4:1.
n n
C C 
b) Trong khai triển
(1 )
n
x
 theo lũy thừa tăng của x, cho biết :
3 5
4 6
4
40
3
T T
T T







. Tìm n và x?
c) Trong khai triển
4
1
n
a a
a

 

 
 
cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là
44. Tìm n.
ĐS: a)
51
13
3
14, 91 .
n T a
  b)
1
6, .
2
n x
  
c) n = 11
Dạng 2: tính tổng
1
1
k k
n n
kC nC


 VÀ
1
1

1 1
1 1
k k
n n
C C
k n



 

Bài 1: Tính tổng
1 2 3
2 3
n
n n n n
S C C C nC
    

Giải
Số hạng tổng quát của tổng có dạng
k
n
kC
, vì vậy ta có thể áp dụng ngay tính chất trên.
Áp dụng tính chất (*) ta có:
1
1
k k
n n

kC nC


 với
1
k n
 

Khi đó:
0 1 2 1 1 1
1 1 1 1
( ) (1 1) .2
n n n
n n n n
S n C C C C n n
  
   
       

Bài 2: