Đề chọn đội tuyển mở rộng 9 năm học 2007-2008

ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 9 HUYỆN QUỐC OAI
NĂM HỌC 2008 – 2009
Bài 1 (4 ñiểm)
a) Phân tích thành nhân tử :
(
)
2
3 2
x x 7 36x
− −

b) Chứng minh ña thức sau luôn không âm với mọi giá trị của x :
(
)
(
)
(
)
x x 1 x 2 x 3 1
+ + + +

Bài 2 (3 ñiểm)
Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và
bắt ñầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau sáu ngày tổ A ñược hỗ trợ 10 công nhân
may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B, nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công
nhân ngay từ ñầu thì họ hoàn thành công việc trước tổ B một ngày. Xác ñịnh số công nhân
ban ñầu của mỗi tổ biết mỗi công nhân may mỗi ngày ñược 20 sản phẩm.
Bài 3 (4 ñiểm)
Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và



0
ADC DCB 90
+ =
. Gọi I, N, J,
M lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC, CD, BD.
a) Tứ giác INJM là hình gì ?
b) Giả thiết


ADC BCD
>
và A, B chuyển ñộng sao cho AD = BC, hỏi ñiểm I di
chuyển trên ñường nào ?
Bài 4 (5 ñiểm)
a) Tìm các số x, y, z thỏa mãn :
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
x y z x y y z
1, x y z 12
y z x y z x y
 
+ +
   
+ + = + + + + =
   
 
+ +

   
 

b)

Cho các số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
2 2
2x x 3y y
+ = +
. Chứng minh rằng
2x 2y 1, x y, 3x 3y 1
+ + − + +
là các số chính phương.
Bài 5

(4 ñiểm)

Cho tam giác ABC có các phân giác AA’, BB’, CC’ ñồng qui tại O
a)

Chứng minh
OA OB OC
1
AA' AB' AC'
+ + =
?
b)

Chứng tỏ rằng
2bc

AA'
b c
<
+
(trong ñó AC = b, AB = c) ?
HƯỚNG DẦN GIẢI
Bài 1

(4 ñiểm)

a)

Phân tích thành nhân tử :
(
)
(
)
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )( )( )( )
2 2
3 2 2 2
2 2
3 3

3 3
2 2
x x 7 36x x x x 7 36
x x x 7 6 x x 7 6
x x 7x 6 x 7x 6
x x 6x x 6 x 6x x 6
x x x 1 x 1 6 x 1 x x 1 x 1 6 x 1
x x 1 x x 6 x 1 x x 6
x x 1 x 1 x 3 x 2 x 3 x 2
 
− − = − −
 
 
   
= − + − −
   
= − + − −
= − − + − − −
= − + − − − + − +
   
   
= − + − + − −
= − + + − − +

b)

Chứng minh ña thức sau luôn không âm với mọi giá trị của x :
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
x x 1 x 2 x 3 1 x 3x x 3x 2 1
t t 2 1 t x 3x
t 2t 1
t 1 0
+ + + + = + + + +
= + + = +
= + +
= + ≥

Bài 2

(3 ñiểm)

Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và
bắt ñầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau sáu ngày tổ A ñược hỗ trợ 10 công nhân
may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B, nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công

nhân ngay từ ñầu thì họ hoàn thành công việc trước tổ B một ngày. Xác ñịnh số công nhân
ban ñầu của mỗi tổ biết mỗi công nhân may mỗi ngày ñược 20 sản phẩm.
Giải
Gọi x là số công nhân tổ A ban ñầu
(
)
x N *
∈

Mỗi ngày tổ A may ñược 20x (sản phẩm)
Sau sáu ngày tổ A may ñược 120x (sản phẩm)
Nếu ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân thì số công nhân tổ A là x + 10 (công nhân)
Số sản phẩm mà số công nhân này may ñược là 16800 – 120x (sản phẩm)
Thòi gian may số sản phẩm này là
( )
16800 120x
20 x 10
−
+
(ngày)
Thời gian tổ B hoàn thành công việc là
( )
16800 120x
6
20 x 10
−
+
+
(ngày)
Nếu ñược hỗ trợ 10 công nhân ngay từ ñầu thì tổ A sẽ hoàn thành công việc trong

( )
16800
20 x 10
+
(ngày)
Do tổ B hoàn thành công việc sau tổ A một ngày nên thời gian ñể tổ B hoàn thành
công việc là
( )
16800
1
20 x 10
+
+
(ngày)
Ta có phương trình :
( ) ( )
16800 16800 120x
1 6
20 x 10 20 x 10
−
+ = +
+ +

Giải phương trình :
( ) ( )
( )
16800 16800 120x
1 6
20 x 10 20 x 10
840 480 6x

5
x 10 x 10
5 x 10
840 840 6x
x 10 x 10 x 10
840 5x 50 840 6x
x 50
−
+ = +
+ +
−
⇔ = +
+ +
+
−
⇔ = +
+ + +
⇔ = + + −
⇔ =

Vậy tổ A ban ñầu có 50 công nhân
Số ngày tổ A hoàn thành công việc nếu có 60 công nhân là 16800 : 1200 = 14 ngày
Số ngày tổ B hoàn thành công việc là 15 ngày
Số công nhân ban ñầu của tổ B là 16500 : 300 = 55 (công nhân)
ðáp số : Tổ A – 50 công nhân; Tổ B – 55 công nhân
Bài 3

(4 ñiểm)

Cho tứ giác lồi ABCD, AB = b, CD = a, AD = BC và



0
ADC DCB 90
+ = . Gọi I, N, J,
M lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, AC, CD, BD.
a)

Tứ giác INJM là hình gì ?
b)

Giả thiết


ADC BCD
> và A, B chuyển ñộng sao cho AD = BC, hỏi ñiểm I di
chuyển trên ñường nào ?

Giải
a)

Theo tính chất ñường trung bình tam giác ta có :
1
MI// AD// NJ
2
= = và
1
MI// BC// MJ
2
= = mà AD = BC nên tứ giác INJM là hình thoi. Kéo dài AD và

BC cắt nhau tại E, do


0
ADC DCB 90
+ =
nên
DE CE MI NI
⊥ ⇒ ⊥
nên tứ giác
INJM là hình vuông.
b)

Gọi K là giao ñiểm của IJ và EC, kẻ phân giác Et của

BEC
, dễ thấy Et // IJ (do



0
JIN JKC 45 TEC
= = =
ở vị trí ñồng vị) mà J cố ñịnh, Et cồ ñịnh nên I chạy trên
ñoạn thẳng JK (ñi qua J và song song với phân giác của

BEC
)
Bài 4

(5 ñiểm)

a)

Tìm các số x, y, z thỏa mãn :
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
x y z x y y z
1, x y z 12
y z x y z x y
 
+ +
   
+ + = + + + + =
   
 
+ +
   
 

Giải
ðặt
2 2 2
a x , b y , c z a b c 12
= = = ⇒ + + =

Ta có :

( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 3
2 2
2 2
2 2 2 2
a b c a b b c
1
b c a b c a b
a a b b c b a b b c c a b b c
b c a
a b b c a b b c
a ab b bc ac b ab b bc ac
b c
c ab b bc ac
a 3ab 3b 3bc c ac
a
a c ab b
a ab ac b ab
b c c
b c bc
bc c a 3ab 3b 3bc c ac
a a
+ +

+ + = + +
+ +
+ + + + + +
⇔ + + =
= + + + + + +
+ + + + + +
⇔ + +
+ + +
+ = + + + + +
⇔ + + + + + + + +
+ + + + = + + + + +
2 2 3 2 2
2
2 3 2 2 3 2
2
2
a c ab b b c bc
ab 2b 2bc
b c c a a
a c b a c c b b c b c a
2b
b c b a c a a c
2ab 4b 4bc
⇔ + + + + = + +
     
 
⇔ + + + + + + +
     
 
 

     
= + +

Mặt khác :
( )
( )
2 3 2 2 3 2
2
3 2
2
a c b a c c b b c b c a
2b
b c b a c a a c
c
2ab 2 ac 2b 4b Cauchy
a
2ab 4bc 4b Cauchy
     
 
+ + + + + + +
     
 
 
     
≥ + + +
≥ + +

Vậy ñẳng thức xảy ra khi
a b c 4
= = =

b)

Cho các số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
2 2
2x x 3y y
+ = +
. Chứng minh rằng
2x 2y 1, x y, 3x 3y 1
+ + − + +
là các số chính phương.
Giải
Ta có :
( )( ) ( )
( )( )
2 2
2 2 2
2
2
2x x 3y y
2x x 2y y y
2 x y x y x y y
x y 2x 2y 1 y
+ = +
⇔ + − − =
⇔ − + + − =
⇔ − + + =

Ta ñi chứng minh
(

)
x y; 2x 2y 1 1
− + + =

Thật vậy :
( )
( )( )
( )
2
x y d
d x y; 2x 2y 1
2x 2y 1 d
4x 4y d
2x 2y 1 d
4y 1 d 1 d do y x y 2x 2y 1 d y d
−

= − + + ⇒

+ +

−

⇒

+ +

⇒ + ⇒ = − + + ⇒
⋮
⋮

⋮
⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Do ñó
(
)
x y; 2x 2y 1 1
− + + =
hay
2x 2y 1, x y
+ + −
là các số chính phương
Tương tự :
( )( ) ( )
( )( )
2 2
2 2 2
2
2
2x x 3y y
3x x 3y y x
3 x y x y x y x
x y 3x 3y 1 x
+ = +
⇔ + − − =
⇔ − + + − =
⇔ − + + =

Và

(
)
x y; 3x 3y 1 1
− + + =
hay
3x 3y 1, x y
+ + −
là các số chính phương
Tóm lại
2x 2y 1, x y, 3x 3y 1
+ + − + +
là các số chính phương
Bài 5

(4 ñiểm)

Cho tam giác ABC có các phân giác AA’, BB’, CC’ ñồng qui tại O
a)

Chứng minh
OA OB OC
1
AA' AB' AC'
+ + =
?
b)

Chứng tỏ rằng
2bc
AA'

b c
<
+
(trong ñó AC = b, AB = c) ?

Giải
a)

Kẻ AH, OG vuông góc với BC, ta có :
OBC
ABC
OA' OG S
AA' OH S
= =

Tương tự ta cũng có các tỷ số
OAC OAB
ABC ABC
OB' S OC' S
;
BB' S CC' S
= =
.
Do ñó :
OBC OAC OAB ABC
ABC ABC
OA OB OC S S S S
1
AA' AB' AC' S S
+ +

+ + = = =

b)

Từ C kẻ ñường thẳng song song với AB cắt AA’ tại N
Dễ thấy NC = AC = b và
A'N NC b b
A'N AA'
AA' AB c c
= = ⇒ =

Áp dụng bất ñẳng thức tam giác vào
ACN
∆
ta có :
( )
AC CN AN 2b AA' A'N
b b c
2b AA' AA' 2b AA'
c c
2bc
2bc b c AA' AA'
b c
+ > ⇔ > +
+
⇔ > + ⇔ >
⇔ > + ⇔ <
+