Đề chọn đội tuyển mở rộng 9 năm học 2009-2010
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (114.78 KB, 3 trang )
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUỐC OAI
NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN : TOÁN 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 : Rút gọn biểu thức
2
2
1 1 4 1 2 3
1 1 1 3 2
x x x x x
M
x x x x
− + − − +
= − +
+ − − +
Câu 2 : Tìm thương của phép chia ña thức
2
2 7
x x
− +
cho ña thức
2
2 4
x x
− +
Câu 3
: Phân tích thành nhân tử :
3
7 6
x x
− −
Câu 4
: Giải các phương trình sau :
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2 2 2 2
) 3 1 9 3 18 2
4 14 5 7 9
)
6 1 3 5
a x x x x
x
b
x x x x
+ − = + −
+
− = +
+ + + +
Câu 5
: Cho
, 1
xy m x y
= + =
, tính giá trị biểu thức
4 4
A x y xy
= +
theo m
Câu 6
: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, trung tuyến AM = m. Chứng minh rằng
2
2 2 2
2
2
a
c b m
+ = +
Câu 7
: Cho hình vuông ABCD, lấy E, F trên các cạnh DA, DC sao cho
0
45
EBF
=
. Gọi G, H là giao
ñiểm của AC với BE, BF. Chứng minh :
) ~
) ~
) 2
BFE BGH
a BOG BCF
b BGF BOC
c S S
∆ ∆
∆ ∆
=
Câu 8 : Ghép 2010 số tự nhiên liên tiếp từ 1 ñến 2010 thành các cặp số sao cho mỗi cặp có tổng chia hết
cho 6. Hỏi ghép ñược nhiều nhất bao nhiêu cặp ?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 : Rút gọn biểu thức
2
2
1 1 4 1 2 3
1 1 1 3 2
x x x x x
M
x x x x
− + − − +
= − +
+ − − +
Câu 2 : Tìm thương của phép chia ña thức
2
2 7
x x
− +
cho ña thức
2
2 4
x x
− +
Câu 3 : Phân tích thành nhân tử :
3
7 6
x x
− −
- Ta có :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 2
7 6 6 6 1 1 6 1 1 6 1 3 2
x x x x x x x x x x x x x x x
− − = − − + = − + − + = + − − = + − +
Câu 4
: Giải các phương trình sau :
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2 2 2
4 14 5 7 9
) 3 1 9 3 18 2 )
6 1 3 5
x
a x x x x b
x x x x
+
+ − = + − − = +
+ + + +
-
Ta có :
( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 14 5 7 9
6 1 3 5
5 7 9 10
4
1 3 5 6
5 7 9 10
1 1 1 1 0
1 3 5 6
4 4 4 4
0
1 3 5 6
1 1 1 1
4 0
1 3 5 6
1 1 1 1
2 0
1 3 5 6
x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x x x x
x do
x x x x
+
− = +
+ + + +
⇔ + + + =
+ + + +
⇔ − + − + − + − =
+ + + +
− − − −
⇔ + + + =
+ + + +
⇔ − + + + =
+ + + +
⇔ = ± + + + >
+ + + +
Câu 5
: Cho
, 1
xy m x y
= + =
, tính giá trị biểu thức
4 4
A x y xy
= +
theo m
-
Ta có :
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2
3 3 2
3 .1. 1 3. 1 3
A xy x y xy x y x y xy m m m m
= + = + + − = − = −
Câu 6
: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, trung tuyến AM = m. Chứng minh rằng
2
2 2 2
2
2
a
b c m
+ = +
c
b
a
2
a
2
K
H
M
A
B
C
-
Kẻ
,
BH AM CK AM
⊥ ⊥
. Dễ thấy BH = CK = d, HM = KM = e
-
Theo Pitago ta có :
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
4
2
2
2 2
4
a
c d m e d e m me m me
a
b c m
a
b d m e d e m me m me
= + − = + + − = + −
⇒ + = +
= + + = + + + = + +
Câu 7
: Cho hình vuông ABCD, lấy E, F trên các cạnh DA, DC sao cho
0
45
EBF =
. Gọi G, H là giao
ñiểm của AC với BE, BF. Chứng minh :
) ~
) ~
) 2
BFE BGH
a BOG BCF
b BGF BOC
c S S
∆ ∆
∆ ∆
=
2
1
H
G
O
F
C
D
A
B
E
a)
Xét
,
BOG BCF
∆ ∆
có
0
90
BOG BCF= =
,
1 2
B B
=
(cùng cộng với
0
45
HBO =
). Do ñó
(
)
~ .
BOG BCF g g
∆ ∆
b)
Gọi a là ñộ dài cạnh hình vuông, dễ thấy
2
,
2
a
AB BC CD DA a OA OB OC OD= = = = = = = =
(tính chất hình vuông). Theo câu a :
2 / 2 2
~
2
BG BO a
BOG BCF
BF BC A
∆ ∆ ⇒ = = = . Mặt khác
( )
0
45 ~ . .
GBF OBC BGF BOC c g c
= = ⇒ ∆ ∆
c)
Tương tự câu a, ta có :
( )
2 / 2 2
~ .
2 2
BH BO a
BOH BAE g g
BE AB
∆ ∆ ⇒ = = = . Xét
,
BGH BFE
∆ ∆
có
2
AF 2
BG BH
AE
= = và
B
chung nên
( )
2
2
2 1
~ . .
2 2
BGH
BFE
S
BG
BGH BFE c g c
S BH
∆ ∆ ⇒ = = =
.
Do ñó 2
BFE BGH
S S
=
Câu 8
: Ghép 2010 số tự nhiên liên tiếp từ 1 ñến 2010 thành các cặp số sao cho mỗi cặp có tổng chia hết
cho 6. Hỏi ghép ñược nhiều nhất bao nhiêu cặp ?
-
Giả sử
6
a b
+
⋮
và
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
, 0; 1; 2; 3; 4; 5 ; 0; 0 ; 1; 5 ; 2; 4 ; 3; 3
a b a b∈ ⇒ ∈
ɺ
-
Do ñó với hai bộ
{
}
0; 1; 2; 3; 4; 5
ta sẽ ghép ñược nhiều nhất 6 cặp số có tổng chia hết cho 6
-
Mặt khác 2010 = 6.335 và 335 = 2.167 + 1 nên với 2010 số tự nhiên liên tiếp từ 1 ñến 2010 ta có
167 cặp bộ
{
}
0; 1; 2; 3; 4; 5
và 1 bộ lẻ
{
}
0; 1; 2; 3; 4; 5
-
Vì vậy có thể ghép tối ña 167.6 + 2 = 1004 cặp hai số có tổng chia hết cho 6
