TÀI LIỆU DẠY GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO HAY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (578.42 KB, 52 trang )
NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP
I. GIỚI THIỆU CƠ BẢN VỀ MÁY FX-500MS.
1. Các phím thông thường :
- Có 3 loại phím:
+ Phím màu trắng: bấm trực tiếp.
+ Phím màu vàng: bấm sau phím
IFTSH
+ Phím màu đỏ: bấm sau phím
ALPHA
- Các phím chức năng: (xem trong CATANO giới thiệu máy).
- Cài đặt cho máy:+ Ấn
MODE
nhiều lần để chọn các chức năng của máy.
+ Ấn
MODE
1
: Tính toán thông thường.
+ Ấn
MODE
2
: Tính toán với bài toán thống kê.
+ Ấn
MODE
MODE
1
2
: Giải hệ phương trình bậc1, 2 ẩn.
+ Ấn
MODE
MODE
1
3
: Giải hệ phương trình bậc1, 3 ẩn.
+ Ấn
MODE
MODE
1
>
2
: Giải phương trình bậc 2.
+ Ấn
MODE
MODE
1
>
3
: Giải phương trình bậc 3.
+ Ấn
IFTSH
CLR
1
=
: Xoá giá trị ở các ô nhớ A,B
+ Ấn
IFTSH
CLR
2
=
: Xoá cài đặt trước đó (ô nhớ vẫn còn)
+ Ấn
IFTSH
CLR
3
=
: Xoá tất cả cài đặt và các ô nhớ.
- Phép gán vào các ô nhớ:
+
10
IFTSH
STO
A
: Gán 10 vào ô nhớ A.
+
12
IFTSH
STO
B
: Gán 10 vào ô nhớ B.
+
0
IFTSH
STO
A
: Xoá ô nhớ A.
+
STO
A
(
ALPHA
A
=
): Kiểm tra giá trị của ô nhớ A.
Chú ý: Các ô nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y, M là các biến nhớ mà khi gán giá trị mới vào thì giá trị
mới sẽ thay thế giá trị trước đó. Còn riêng ô nhớ M-ngoài chức năng trên-Nó còn là 1 số nhớ độc lập,
nghĩa là có thể thêm vào hoặc bớt ra ở ô nhớ này.
2. Cách SD phím
EXP
: Tính toán với các số dạng a.10
n
.
VD: 3.10
3
+ 4.10
5
= ?
Ấn phím:
3
x
EXP
3
+
4
x
EXP
5
=
(Kết quả là 403 000)
3. Cách SD phím
Ans
:
Kết quả tự động gán vào phím
Ans
sau mỗi lần ấn phím
=
hoặc
IFTSH
%
hoặc
M
+
hoặc
IFTSH
M
−
hay
IFTSH
STO
( là 1 chữ cái)
1
PH Ç N I
VD: Tính giá trị của biểu thức:
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
Cách ấn phím và ý nghĩa của từng lần ấn như sau:
3
=
Nhớ 3 vào phím
Ans
1
+
1
b
c
a
Ans
=
Máy thực hiện phép tính
s
1
1
An
+
được kq là
3
1
1
nhớ vào
Ans
=
Máy thực hiện phép tính
s
1
1
An
+
được kq là
4
3
1
nhớ vào
Ans
=
Máy thực hiện phép tính
s
1
1
An
+
được kq là
7
4
1
nhớ vào
Ans
=
Máy thực hiện phép tính
s
1
1
An
+
được kq là
11
7
1
nhớ vào
Ans
=
Máy thực hiện phép tính
s
1
1
An
+
được kq là
18
11
1
nhớ vào
Ans
Kết quả cuối cùng là
18
11
1
Nhận xét: Dòng lệnh
1
1
Ans
+
được máy thực hiện liên tục.Sau mỗi lần ấn dấu
=
thì kết quả lại được nhớ
vào phím
Ans
(
1
1
Ans
+
→
Ans
), cứ ấn dấu
=
một số lần nhất định ta sẽ nhận được kết quả của biểu
thức.
Phím
Ans
có tác dụng rất hữu hiệu với bài toán tính giá trị của biểu thức dạng phân số chồng như VD
trên.
II. SỬ DỤNG CASIO FX-500MS ĐỂ GIẢI TOÁN NHƯ THẾ NÀO?
1. Quy trình lặp cơ bản của máy FX-500MS.
Dòng lệnh 1.
Dòng lệnh 2.
Dòng lệnh 9.
8
IFTSHK
1 442 4 43
# # #
#
(Gọi các dòng lệnh để đưa vào quy trình)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ nhất)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ nhất)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 9 lần thứ nhất)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ hai)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ hai)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 9 lần thứ hai)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ ba)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 2 lần thứ ba)
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 9 lần thứ ba)
2
=
(Máy thực hiện dòng lệnh 1 lần thứ tư)
VD1:
Dòng lệnh 1.
Dòng lệnh 2.
Dòng lệnh 3.
Dòng lệnh 4.
8
IFTSHK
1 442 4 43
# # #
#
10
+
1
=
10
+
2
=
10
+
3
=
10
+
4
=
3
IFTSH
1 4 2 4 3
# # #
#
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 1).
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 2).
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 3).
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 4).
Lần
thứ nhất
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 1).
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 2).
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 3).
=
(máy thực hiện dòng lệnh 10 + 4).
Lần
thứ hai
VD2:
10
IFTSH
STO
A
.
100
IFTSH
STO
B
.
DL1:
ALPHA
A
+
1
IFTSH
STO
A
.(A tăng thêm 1, được 11 và 11 nhớ vào A)
DL2:
ALPHA
B
+
1
IFTSH
STO
B
.(B tăng thêm 1, được 101 và 101 nhớ vào B)
Lặp:
#
IFTSH
#
=
(A tăng thêm 1, được 12 và 12 nhớ vào A)
=
(B tăng thêm 1, được 102 và 102 nhớ vào B)
=
(A tăng thêm 1, được 13 và 13 nhớ vào A)
=
(B tăng thêm 1, được 103 và 103 nhớ vào B)
* Chú ý:
ALPHA
A
+
1
IFTSH
STO
A
. sau này kí hiệu là A+1→ A
ALPHA
B
+
1
IFTSH
STO
B
. sau này kí hiệu là B+1→ B
3
VD3:
10
IFTSH
STO
A
.
100
IFTSH
STO
B
.
1000
IFTSH
STO
C
.
DL1:
ALPHA
A
+
1
IFTSH
STO
A
.(A tăng thêm 1, được 11 và 11 nhớ vào A)
DL2:
ALPHA
B
+
1
IFTSH
STO
B
.(B tăng thêm 1, được 101 và 101 nhớ vào B)
DL3:
ALPHA
C
+
1
IFTSH
STO
C
.(C tăng thêm 1, được 1001 và 1001 nhớ vào C)
Lặp:
#
#
IFTSH
#
=
(A tăng thêm 1, được 12 và 12 nhớ vào A)
=
(B tăng thêm 1, được 102 và 102 nhớ vào B)
=
(C tăng thêm 1, được 1002 và 1002 nhớ vào C)
=
(A tăng thêm 1, được 13 và 13 nhớ vào A)
=
(B tăng thêm 1, được 103 và 103 nhớ vào B)
=
(C tăng thêm 1, được 1003 và 1003 nhớ vào C)
DẠNG I.CÁC BÀI TOÁN VỀ : “ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ”
Bài 1: Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16!.
Giải:
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + + (17! – 16!)
S = 17! – 1!.
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính
theo cách sau: Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10
n
+ b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy
không bị tràn, cho kết quả chính xác.
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 10
6
+ 208 . 10
2
nên
S = (6227 . 10
6
+ 208 . 10
2
) . 5712 . 10 – 1
= 35568624 . 10
7
+ 1188096 . 10
3
– 1 = 355687428096000 – 1
= 355687428095999.
Bài 2: Tính kết quả đúng của các tích sau: M=2222255555.2222266666; N= 20032003 .20042004.
Giải:
a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.
Ta có M = (A.10
5
+ B)(A.10
5
+ C) = A
2
.10
10
+ AB.10
5
+ AC.10
5
+ BC
Tính trên máy: A
2
= 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
Tính trên giấy:
A
2
.10
10
4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB.10
5
1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0
AC.10
5
1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0
BC 3 7 0 3 6 2 9 6 3 0
M 4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0
b) Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:
N = (X.10
4
+ X) (Y.10
4
+ Y) = XY.10
8
+ 2XY.10
4
+ XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả:
M = 4938444443209829630.
N = 401481484254012.
Bài tập tương tự: Tính chính xác các phép tính sau:
4
A = 20!; B=5555566666.6666677777; C=20072007.20082008; D=1038471
3
; E=20122003
2
DẠNG II. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN
a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:
Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)
Suy ra r = a – b . q
Cách làm:
a
IFTSH
STO
A
:
b
IFTSH
STO
B
:
Lập biểu thức: A : B =
Lấy phần nguyên c (số nguyên lớn nhất không vượt quá số đó) của kết quả thì đó chính là thương của phép
chia A cho B.
Sau đó lập bt: A – c.B = Kết quả này là số dư của phép chia.
VD1: Tìm thương và dư của phép chia (3
20
+1) cho (2
15
+1)?
Cách làm:
3
^
20
+
1
IFTSH
STO
A
:
2
^
15
+
1
IFTSH
STO
B
:
ALPHA
A
÷
ALPHA
B
=
(106 404,9682) → thương là 106 404.
ALPHA
A
-
106404
ALPHA
B
=
(31 725) → số dư là 31 725.
Ví dụ 2 : Tìm số dư trong các phép chia sau:
1) 9124565217 cho 123456
2) 987896854 cho 698521
b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:
Phương pháp:
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)
- Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.
- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên
tiếp như vậy.
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.
Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.
Kết quả số dư cuối cùng là 26.
Bài tập: Tìm số dư của các phép chia:
a) 983637955 cho 9604325 b)903566896235 cho 37869. c)1234567890987654321 : 123456
c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.
* Phép đồng dư:
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo
modun c ký hiệu
(mod )a b c
≡
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+
(mod )a a m
≡
(mod ) (mod )a b m b a m
≡ ⇔ ≡
(mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m
≡ ≡ ⇒ ≡
(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m
≡ ≡ ⇒ ± ≡ ±
(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m
≡ ≡ ⇒⇒ ≡
(mod ) (mod )
n n
a b m a b m≡ ⇔ ≡
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 12
6
cho 19
Giải:
5
( )
2
3
6 2 3
12 144 11(mod19)
12 12 11 1(mod19)
= ≡
= ≡ ≡
Vậy số dư của phép chia 12
6
cho 19 là 1
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004
376
cho 1975
Giải:
Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:
2
4 2
12 3
48 4
2004 841(mod1975)
2004 841 231(mod1975)
2004 231 416(mod1975)
2004 416 536(mod1975)
≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
Vậy
60
62
62.3 3
62.6 2
62.6 4
2004 416.536 1776(mod1975)
2004 1776.841 516(mod1975)
2004 513 1171(mod1975)
2004 1171 591(mod1975)
2004 591.231 246(mod1975)
+
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡
Kết quả: Số dư của phép chia 2004
376
cho 1975 là 246
Bài tập thực hành: Tìm số dư của phép chia :
a) 13
8
cho 27 b)25
14
cho 65 c)1978
38
cho 3878. d)2005
9
cho 2007 e)7
15
cho 2001
DẠNG III. TÌM BCNN, UCLN
Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản
A a
B b
=
Tá áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau:
+ UCLN (A; B) = A : a
+ BCNN (A; B) = A . b
Nhận xét: Nếu a không chia hết cho b, giả sử a = b.q + r
gọi d là ƯCLN của a và b, thế thì ta có a = d.a’; b = d.b’
thay vào (1) ta được d.a’= d.b’.q + r
hay d.a’ = d.(b’.q) + r
theo tính chất chia hết của một tổng thì r cũng chia hết cho d.thế nên ƯCLN (a;b) = ƯCLN(b;r).
Dựa vào nhận xét trên ta lập quy trình tìm ƯCLN(a;b) như sau:
a
IFTSH
STO
A
:
b
IFTSH
STO
B
:
ALPHA
A
b
c
a
ALPHA
B
=
IFTSH
b
c
a
-Nếu kết quả là phân số
m
n
thì B:n = (được kết quả là ƯCLN(a,b))
-Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách
Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức A – c.B → D
Bài toán trở về tìm ƯCLN(B,D).
Ta nhập vào máy biểu thức:
ALPHA
B
b
c
a
ALPHA
D
=
IFTSH
b
c
a
-Nếu kết quả là phân số
p
q
thì D:q = (được kết quả là ƯCLN(a,b))
-Nếu kết quả là số thập phân thì ta đi tìm số dư bằng cách
Lấy phần nguyên c của kết quả rồi lập biểu thức B – c.D → F
Cứ tiếp tục làm như vậy đến khi kết quả của dòng lệnh dạng
ALPHA
A
b
c
a
ALPHA
B
=
IFTSH
b
c
a
6
là một phân số thì chia mẫu cho mẫu sẽ được ƯCLN.
VD1: Tìm ƯCLN(44 505; 25 413)
Cách làm:
44505
IFTSH
STO
A
:
25413
IFTSH
STO
B
:
ALPHA
A
b
c
a
ALPHA
B
=
IFTSH
b
c
a
Kết quả máy báo là một phân số
m
n
=
345
197
Khi đó ta lấy mẫu số của phân số
A
B
chia cho mẫu của phân số
m
n
tức là B:n (
ALPHA
B
÷
197
=
129) . Vậy ƯCLN(44 505; 25 413) = 129.
VD2: Tìm ƯCLN(4 107 530669; 4 104 184 169)
Cách làm:
4107530669
IFTSH
STO
A
:
4104184169
IFTSH
STO
B
:
ALPHA
A
b
c
a
ALPHA
B
=
IFTSH
b
c
a
Kết quả máy báo là một số thập phân 1,000815387
Ta đi tìm số dư: A – 1.B → A
Lặp lại dòng lệnh:
ALPHA
B
b
c
a
ALPHA
A
=
IFTSH
b
c
a
Kết quả máy báo là một số thập phân 1226,410928. (lấy phần nguyên là 1226)
Ta lại đi tìm số dư: B – 1226.A → B
Lặp lại dòng lệnh:
ALPHA
A
b
c
a
ALPHA
B
=
IFTSH
b
c
a
Kết quả máy báo là một số thập phân 2,43351908. (lấy phần nguyên là 2)
Ta tiếp tục đi tìm số dư: A – 2.B → A
Lặp lại dòng lệnh:
ALPHA
B
b
c
a
ALPHA
A
=
IFTSH
b
c
a
Kết quả máy báo là một phân số
m
n
=
14177
6146
Khi đó ta lấy mẫu số của phân số
B
A
chia cho mẫu của phân số
m
n
tức là A:n (
ALPHA
A
÷
6146
=
97) Vậy ƯCLN(4 107 530 669; 4 104 184 169) = 97
Ví dụ 3: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531
HD: Ghi vào màn hình :
2419580247
3802197531
và ấn =, màn hình hiện
7
11
UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321
BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 10
10
(tràn màn hình)
Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247 . 11
Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.10
9
. 11 = 26615382717
Ví dụ 4: Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438
Giải: Ấn 9474372 ↵ 40096920 = ta được : 6987↵ 29570.
UCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356.
Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c)
Do đó chỉ cần tìm UCLN(1356 ; 51135438).
Thực hiện như trên ta tìm được:
UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678
7
Bài tập:Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.
a) Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034.
b) Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510.
c) Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B
2
.
DẠNG IV. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM
CỦA MỘT LUỸ THỪA:
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 17
2002
Giải:
( )
2
1000
2 2000 1000
17 9(mod10)
17 17 9 (mod10)
≡
= ≡
2
1000
2000
9 1(mod10)
9 1(mod10)
17 1(mod10)
≡
≡
≡
Vậy
2000 2
17 .17 1.9(mod10)≡
. Chữ số tận cùng của 17
2002
là 9
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 23
2005
.
Giải
+ Tìm chữ số hàng chục của số 23
2005
1
2
3
4
23 23(mod100)
23 29(mod100)
23 67(mod100)
23 41(mod100)
≡
≡
≡
≡
Do đó:
( )
5
20 4 5
2000 100
2005 1 4 2000
23 23 41 01(mod100)
23 01 01(mod100)
23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100)
= ≡ ≡
≡ ≡
⇒ = ≡ ≡
Vậy chữ số hàng chục của số 23
2005
là 4 (hai chữ số tận cùng của số 23
2005
là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23
2005
1
4
5
20 4
2000 100
23 023(mod1000)
23 841(mod1000)
23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000)
23 201 (mod1000)
≡
≡
≡
≡ ≡
≡
5
100
2000
2005 1 4 2000
201 001(mod1000)
201 001(mod1000)
23 001(mod1000)
23 23 .23 .23 023.841.001 343(mod1000)
≡
≡
≡
= ≡ ≡
Vậy chữ số hàng trăm của số 23
2005
là số 3
(ba chữ số tận cùng của số 23
2005
là số 343)
DẠNG V-Tìm ước của một số?
Cơ sở: Chia a cho các số không vượt quá a.
Quy trình:
1 → A
a
÷
A → B
A + 1 → A
Gán 1 vào ô nhớ A.
Dòng lệnh 1. B là một biến chứa.
Dòng lệnh 2. A là một biến chạy.
#
IFTSH
#
=
Lặp 2 DL trên, ấn dấu
=
và quan sát rồi chọn các
kết quả nguyên – đó là Ước.
VD: Tìm tất cả các ước của 60?
1 → A
60
÷
A → B
A + 1 → A
Được 60 là một ước.
#
IFTSH
#
=
=
=
=
Được 30 là một ước.
Được 20 là một ước.
Được 15 là một ước.
Được 12 là một ước.
8
=
=
=
=
=
=
=
Được 10 là một ước.
Được 6 là một ước.
Được 5 là một ước.
Được 4 là một ước.
Được 3 là một ước.
Được 2 là một ước.
Được 1 là một ước.
Bấm
=
đến khi A = 60 thì dừng lại.
Hoặc có thể đọc kết quả như sau:
1 → A
60
÷
A → B
A + 1 → A
Được 60 và 1 là 2 ước.
#
IFTSH
#
=
=
=
=
=
Được 30 và 2 là 2 ước.
Được 20 và 3 là 2 ước.
Được 15 và 4 là 2 ước.
Được 12 và 5 là 2 ước.
Được 10 và 6 là 2 ước.
(các dấu
=
ở đây là của các kết quả nguyên)
Vậy Ư(60) =
{
1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
}
DẠNG VI-Kiểm tra một số là nguyên tố hay hợp số?
Cơ sở là nội dung Định lí sau: “a là một số nguyên tố nếu nó không chia hết cho mọi số nguyên tố
không vượt quá
a
”
Xuất phát từ cơ sở đó, ta lập 1 quy trình bấm phím liên tiếp để kiểm tra xem số a có chia hết cho các
số nguyên tố nhỏ hơn
a
hay không!
Nhận xét: Mọi số nguyên tố đều là lẻ (trừ 2), thế nên ta dùng phép chia a cho các số lẻ
không vượt quá
a
.
Cách làm:
1. Tính
a
.
2. Lấy phần nguyên b của kết quả.
3. Lấy số lẻ lớn nhất c không vượt quá b.
4. Lập quy trình
c → A
a
÷
A → B
A – 2 → A
Gán số lẻ c vào ô nhớ A làm biến chạy.
Dòng lệnh 1. B là một biến chứa.
Dòng lệnh 2. A là một biến chạy.
#
IFTSH
#
=
Lặp 2 DL trên, ấn dấu
=
và quan sát đến khi A = 1
thì dừng.
5. Trong quá trình ấn
=
:
9
- Nếu tồn tại kq nguyên thì khẳng định a là hợp số.
- Nếu không tồn tại kq nguyên nào thì khẳng định a là số nguyên tố.
VD1: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số?
1. Tính
8191
được 90,50414355
2. Lấy phần nguyên được 90.
3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 89.
4. Lập quy trình:
89 → A
8191
÷
A → B
A – 2 → A
#
IFTSH
#
=
5. Quan sát các kết quả ta thấy đều không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố.
VD2: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số?
1. Tính
99873
được 316,0268976.
2. Lấy phần nguyên được 316.
3. Lấy số lẻ lớn nhất không vượt quá nó là 315.
4. Lập quy trình:
315 → A
99 873
÷
A → B
A – 2 → A
#
IFTSH
#
=
5. Quan sát màn hình thấy có kết quả nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là hợp số.
DẠNG VII-Phân tích một số ra thừa số nguyên tố?
Nhận xét: Các số nguyên tố đều là số lẻ (trừ số 2)
Cách làm:
TH1: Nếu số a có ước nguyên tố là 2, 3 (Dựa vào dấu hiệu chia hết để nhận biết). Ta thực hiện theo
quy trình:
‘ a → C
2 → A (hoặc 3 → A)
C : A → B
B : A → C
#
IFTSH
#
=
=
Máy báo kq nguyên → ta nghi 2 (hoặc 3)là một SNT.
Các kq vẫn là số nguyên thì mỗi lần như thế ta nhận được 1 TSNT là 2 (hoặc 3).
Tìm hết các TSNT là 2 hoặc 3 thì ta phân tích thương còn lại dựa vào trường hợp
dưới đây
10
VD1: Phân tích 64 ra thừa số nguyên tố?
Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả
64 → C
2 → A
C : A → B
B : A → C
#
IFTSH
#
=
=
=
=
Gán
Gán
Kq là số nguyên 32. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 16. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 8. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 4. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 2. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 1. Ghi TSNT 2
Vậy 64 = 2
6
VD2: Phân tích 540 ra thừa số nguyên tố?
Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả
540 → C
2 → A
C : A → B
B : A → C
3 → A
C : A → B
B : A → C
C : A → B
Gán
Gán
Kq là số nguyên 270. Ghi TSNT 2
Kq là số nguyên 135. Ghi TSNT 2
Nhận thấy 135
M
2 nhưng 135
M
3 ta gán:
Kq là số nguyên 45. Ghi TSNT 3
Kq là số nguyên 15. Ghi TSNT 3
Kq là số nguyên 5. Ghi TSNT 3
Thương là B = 5 là 1 TSNT.
Vậy 540 = 2
2
3
3
5
TH2: Nếu a là số không chứa TSNT 2 hoặc 3. Quy trình được minh hoạ qua các VD sau đây.
VD3: Phân tích 385 ra thừa số nguyên tố?
Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả
385 → C
3 → A
C : A → B
A + 2 → A
#
IFTSH
#
=
Gán
Gán
Lập dòng lệnh 1
Lập dòng lệnh 2
Lặp 2 DL trên.
Kq là số nguyên 77.
Chứng tỏ C
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 5
∇
/ B:A → C
A + 2 → A
11
#
IFTSH
#
=
=
Kq là số nguyên 11.
Chứng tỏ B
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 7
∇
/ C:A → B
A + 2 → A
#
IFTSH
#
=
=
=
Kq là số nguyên 1. (quá trình kết thúc)
Chứng tỏ C
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 11
Vậy 385 = 5.7.11.
VD3: Phân tích 85 085 ra thừa số nguyên tố?
Mô tả quy trình bấm phím Ý nghĩa hoặc kết quả
85085 → C
3 → A
C : A → B
A + 2 → A
#
IFTSH
#
=
=
(2 lần dấu
=
)
Gán
Gán
Lập dòng lệnh 1
Lập dòng lệnh 2
Lặp 2 DL trên.
Kq là số nguyên 17 017.
Chứng tỏ C
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 5
∇
/ B:A → C
A + 2 → A
#
IFTSH
#
=
Kq là số nguyên 2431.
Chứng tỏ B
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 7
∇
/ C:A → B
A + 2 → A
#
IFTSH
#
=
=
=
Kq là số nguyên 221.
Chứng tỏ C
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 11
∇
/ B:A → C
A + 2 → A
#
IFTSH
#
=
Kq là số nguyên 17.
Chứng tỏ B
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 13
∇
/ C:A → B
A + 2 → A
#
IFTSH
#
Kq là số nguyên 1. (Dừng lại ở đây)
12
=
=
Chứng tỏ C
M
A, A là 1 số nguyên tố. Khi đó ta ấn
AC
#
#
rồi ghi SNT là 17
Vậy 85 085 = 5.7.11.13.17
DẠNG VIII. SỐ THẬP PHÂN TUẦN HOÀN.
Ví dụ 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau:
a) 0,(123) b)7,(37) c)5,34(12)
Giải: Ghi nhớ:
1 1 1
0,(1); 0,(01); 0,(001)
9 99 999
= = =
a) Cách 1:
Ta có 0,(123) = 0,(001).123 =
1 123 41
.123
999 999 333
= =
Các câu b,c (tự giải)
Cách 2:
Đặt a = 0,(123)
Ta có 1000a = 123,(123) .
Suy ra 999a = 123. Vậy a =
123 41
999 333
=
Ví dụ 2: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321)
Giải: Đặt 3,15(321) = a.
Hay 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006
Vậy
16650
52501
999000
315006
==
a
VD 3: Tính
2 2 2
0,19981998 0,019981998 0,0019981998
A = + +
Giải : Đặt 0,0019981998 = a.
Ta có:
1 1 1 2.111
2.
100 10 100
A
a a a a
= + + =
÷
Trong khi đó : 100a = 0,19981998 = 0,(0001) . 1998 =
1998
9999
Vậy A =
2.111.9999
1111
1998
=
DẠNG IX. TÍNH SỐ LẺ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY.
Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Bước 1:+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn
và hiển thị kết quả trên màn hình)
→
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923
+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999
17 - 16,9999999 = 0,0000001
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001
(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn. Không lấy
số không vì : 17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,30769230 . 13 + 0,0000001
Bước 2:
+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692
→
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692
Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là: 307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.
Ta có 105 = 6.17 + 3 (
105 3(mod 6)
≡
)
Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7
13
Ví dụ 2:Tìm chữ số thập phân thứ 13
2007
sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19
Giải: Ta có
250000 17
13157
19 19
= +
.
Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 13
2007
sau dấu phẩy trong phép chia 17:19
Bước 1: Ấn 17 : 19 = 0,8947368421.
→
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10
-9
Bước 2: Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
→
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10
-8
= 17 . 10
-9
Bước 3: Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.
→
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10
-9
Bước 4: Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
→
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157
= 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.
Ta có
( )
669
3 2007 3 669
13 1(mod18) 13 13 1 (mod18)
≡ ⇒ = ≡
Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân.
Kết quả : số 8
Bài tập: Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:
a) 1 chia cho 49
b) 10 chia cho 23
DẠNG X:Các bài toán về đa thức.
Định lý Bezout: Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
Dạng 1. Tính giá trị của đa thức
Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x
0
, y = y
0
; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết
n n 1
0 1 n
P(x) a x a x a
−
= + + +
dưới dạng
0 1 2 n
P(x) ( (a x a )x a )x )x a= + + + +
Vậy
0 0 0 1 0 2 0 0 n
P(x ) ( (a x a )x a )x )x a= + + + +
.
Đặt b
0
= a
0
; b
1
= b
0
x
0
+ a
1
; b
2
= b
1
x
0
+ a
2
; …; b
n
= b
n-1
x
0
+ a
n
. Suy ra: P(x
0
) = b
n
.
Từ đây ta có công thức truy hồi: b
k
= b
k-1
x
0
+ a
k
với k ≥ 1.
Giải trên máy: - Gán giá x
0
vào biến nhớ M.
- Thực hiện dãy lặp: b
k-1
ALPHA M
+ a
k
Ví dụ 1.1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính
− + − +
=
− + +
5 4 2
3 2
3x 2x 3x x 1
A
4x x 3x 5
khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ
Ans
Ấn phím: 1
.
8165
=
− + − +
÷ − + + =
2
2
( 3 Ans ^ 5 2 Ans ^ 4 3 Ans x Ans 1)
( 4 Ans ^ 3 Ans x 3 Ans 5 )
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
X
Aán phím: 1
.
8165
SHIFT STO X
− + − +
÷ − + + =
2
2
( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x ALPHA X 1)
( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x 3 ALPHA X 5 )
Kết quả: 1.498465582
14
Nhận xét: Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx-500A, còn
đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa
biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm
CALC
, máy hỏi X? khi
đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là
=
xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán
giá trị x
0
vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
Ví dụ 1.2: Tính
− + − +
=
− + +
5 4 2
3 2
3x 2x 3x x 1
A
4x x 3x 5
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x
1
= - 0,235678 vào biến nhớ X:
( )
.−
235678
SHIFT STO X
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím
=
là xong.
Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng tính toán dẫn đến
sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt
quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết
quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn).
Dạng 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số
(không chứa biến x). Thế
b
x
a
= −
ta được P(
b
a
−
) = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(
b
a
−
),
lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
Ví dụ 2.1: (Sở GD TPHCM, 1998)
Tìm số dư trong phép chia:P=
14 9 5 4 2
x x x x x x 723
x 1,624
− − + + + −
−
Số dư r = 1,624
14
- 1,624
9
- 1,624
5
+ 1,624
4
+ 1,624
2
+ 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
1. 624 SHIFT STO X
− − + + + − =
ALPHA X ^14 ALPHA X ^ 9 ALPHA X ^ 5 ALPHA X ^ 4 ALPHA X ^ 2 ALPHA X 723
Kết quả: r = 85,92136979
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được
P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho ax +b thì m + r = 0
hay m = -r = - P(
b
a
−
). Như vậy bài toán trở về dạng toán 1.
Ví dụ 3.1: Xác định tham số(Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000).
Tìm a để
4 3 2
x 7x 2x 13x a+ + + +
chia hết cho x+6.
Giải : Ta luôn có
( ) ( ) ( )
4 3 2
7 2 13 6 .f x x x x x a x Q x R
= + + + = + +
(R là số dư trong phép chia
( ) ( )
: 6f x x
+
)
Từ đẳng thức trên ta thấy rằng khi x= -6 thì
( )
6R f= −
⇔
( ) ( )
= − + − + − + − +
2
4 3
R ( 6) 7( 6) 2 6 13 6 a
( )
f x
chia hết cho
( )
6x +
khi và chỉ khi R=0
⇔
( ) ( )
= − + − + − + − + =
2
4 3
R ( 6) 7( 6) 2 6 13 6 a 0
⇔
( ) ( )
= − − + − + − + −
2
4 3
a ( 6) 7( 6) 2 6 13 6
Nếu đặt
( )
= + + +
4 3 2
G x x 7x 2x 13x
thì
( )
= − −
a G 6
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
( )
−
6
SHIFT
STO
X
15
( )
−
(
ALPHA
X
^
4
+
7
ALPHA
X
3
x
+
2
ALPHA
X
2
x
+
13
ALPHA
X
)
=
Kết quả: a = -222
Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001)
Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625. Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3?
Giải : Để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3 thì a
2
= - P(-3)
⇔
a
2
= -
( ) ( )
3
3 3 17 3 625
− + − −
=> a =
±
( ) ( )
3
3 3 17 3 625
− − + − −
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
3
( ) ( 3 ( ( ) 3 ) 17 ( ( ) 3 ) 625 )− − + − − =x
Kết quả: a =
±
27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x
3
+ 17x – 625 = (3x
2
– 9x + 44)(x+3) – 757.
Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a
2
= 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Vi du3.3 Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5) + m = P
1
(x) + m. Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P
1
(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có:
1 1
2 2
0
3 3
P m m P
− + = ⇒ = − −
Tính trên máy giá trị của đa thức P
1
(x) tại
2
3
x = −
ta được m =
Vi du3.4: Cho hai đa thức P(x) = 3x
2
- 4x + 5 + m; Q(x) = x
3
+ 3x
2
- 5x + 7 + n
Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung
0
1
2
x =
H.Dẫn:
0
1
2
x =
là nghiệm của P(x) thì m =
1
1
2
P
−
, với P
1
(x) = 3x
2
- 4x + 5
0
1
2
x =
là nghiệm của Q(x) thì n=
1
1
2
Q
−
với Q
1
(x) = x
3
+ 3x
2
- 5x + 7.
Tính trên máy ta được: m =
1
1
2
P
−
= ;n =
1
1
2
Q
−
=
Vi du3.5: Cho hai đa thức P(x) = x
4
+ 5x
3
- 4x
2
+ 3x + m;Q(x) = x
4
+ 4x
3
- 3x
2
+ 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy nhất một
nghiệm.
H.Dẫn: a) Giải tương tự VD 3.4, ta có: m = ;n =
b) P(x)
M
(x - 2) và Q(x)
M
(x - 2) ⇒ R(x)
M
(x - 2)
Ta lại có:R(x)= x
3
- x
2
+ x -6=(x -2)(x
2
+x +3), vì x
2
+ x +3 >0 với mọi x nên R(x) chỉ có một nghiệm x =2.
Ví dụ 3.6Cho đa thức f(x) = x
4
+ 9x
3
+ 2x
2
+ 11x .
1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6
2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho:
x =
2
3
11
2
3
1
++
+
+
2
3
11
2
3
1
−−
−
Giải:
1. f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết được dưới d ạng f(x) + m = Q(x)(x+6)
do đ ó f(-6) + m = 0
⇔
m = - f(-6)
HS lập quy trình tính đ úng k ết quả m = - f(-6) = - (- 642)= 642
2. Với m = 642 ta được đa thức P(x) = x
4
+ 9x
3
+ 2x
2
+ 11x + 642
Học sinh tính được x = 1. Thay x = 1 vào và tính đ úng P(1) = 665
16
Dạng 5. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho nhị thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai
Q(x) = b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
và số dư r. Vậy a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
= (b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
)(x-c) + r = b
0
x
3
+ (b
1
-b
0
c)x
2
+ (b
2
-b
1
c)x + (r + b
2
c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b
0
= a
0
; b
1
= b
0
c + a
1
; b
2
= b
1
c + a
2
; r = b
2
c +
a
3
.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức
P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải: - Để tìm dư: ta giải như bài toán 1
- Để tìm hệ số của đa thức thương:
dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x) cho (x +
b
a
)
Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) cho (x-a).
Cơ sở: Giả sử f(x) = g(x).(x-a) + r [g(x) là thương và r là số dư]
Thế thì f(a) = g(a).(a-a) + r Suy ra f(a) = o + r hay
( )r f a=
Nghĩa là: Để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc nhất (x-a) ta chỉ việc tính giá trị của
đa thức tại a. Còn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ hoocner
Nếu đa thức bị chia là a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
, đa thức chia là x – a,
ta được thương là b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có:
= = = =
Ví dụ 5.1 Tìm thương và số dư trong phép chia x
7
– 2x
5
– 3x
4
+ x – 1 cho x – 5.
Giải: Ta có: c = - 5; a
0
= 1; a
1
= 0; a
2
= -2; a
3
= -3; a
4
= a
5
= 0; a
6
= 1; a
7
= -1; b
0
= a
0
= 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
− × + =
× − =
× + − =
× + =
× + =
× + =
× + − =
( ) 5 SHIFT STO M 1 ALPHA M 0
ALPHA M 2
ALPHA M ( ) 3
ALPHA M 0
ALPHA M 0
ALPHA M 1
ALPHA M ( )1
( -5)
(23)
(-118)
( 590)
( -2950)
(14751)
( -73756)
Vậy x
7
– 2x
5
– 3x
4
+ x – 1 = (x + 5)(x
6
– 5x
5
+ 23x
4
– 118x
3
+ 590x
2
– 2590x + 14751) – 73756.
Ví dụ5.2: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x
7
- 2x
5
- 3x
4
+ x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
1 0 -2 -3 0 0 1 -1
-5 1 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
( )−
5
SHIFT
STO
M
1
×
ANPHA
M
+
0
=
(-5) : ghi ra giấy -5
×
ANPHA
M
+
-
2
=
(23) : ghi ra giấy 23
×
ANPHA
M
-
3
=
(-118) : ghi ra giấy -118
×
ANPHA
M
+
0
=
(590) : ghi ra giấy 590
×
ANPHA
M
+
0
=
(-2950) : ghi ra giấy -2950
×
ANPHA
M
+
1
=
(14751) : ghi ra giấy 14751
17
a
a
1
a
2
a
3
a
0
b
0
rb
1
b
2
a
0
ab
0
+ a
1
ab
1
+ a
2
ab
2
+ a
3
×
ANPHA
M
-
1
=
(-73756) : ghi ra giấy -73756
x
7
- 2x
5
- 3x
4
+ x - 1 = (x + 5)(x
6
- 5x
5
+ 23x
4
- 118x
3
+ 590x
2
- 2950x + 14751) – 73756
Vi du5.3: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x
3
+ 2x
2
- 3x + 1 cho (2x - 1)
Vidu 5.4:Chia x
8
cho x+0,5 được thương q
1
(x) dư r
1
.Chia q
1
(x) cho x+0,5 được thương q
2
(x) dư r
2
.Tìm r
2
?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x
8
= (x + 0,5).q
1
(x) + r
1
q
1
(x) = (x + 0,5).q
2
(x) + r
2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q
1
(x), q
2
(x) và các số dư r
1
, r
2
:
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1
2
−
1
1
2
−
1
4
1
8
−
1
16
1
64
1
128
−
1
256
1
2
−
1 -1
3
4
1
2
−
5
16
3
16
−
7
64
1
16
−
Vậy:
2
1
16
r = −
VD5.6:Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) = x
3
-5x
2
+11x-19 cho (x-2)?.
Mô hình sơ đồ Hoocner:
Quy trình:
2 → A
1 x A + (-5) =
IFTSH
b
c
a
(Ghi kết quả -3)
x A + 11 =
IFTSH
b
c
a
(Ghi kết quả 5)
x A +(-19)=
IFTSH
b
c
a
(Ghi kết quả -9)
Vậy thương là 1x
2
– 3x + 5, dư là -9
Dạng 6. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c:
P(x)=r
0
+r
1
(x-c)+r
2
(x-c)
2
+…+r
n
(x-c)
n
.
Ví dụ6.1 Phân tích x
4
– 3x
3
+ x – 2 theo bậc của x – 3.
Giải
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q
1
(x)(x-c)+r
0
theo sơ đồ Horner để được q
1
(x) và r
0
. Sau đó lại tiếp tục
tìm các q
k
(x) và r
k-1
ta được bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x
4
-3x
2
+x-2
3 1 0 0 1 1 q
1
(x)=x
3
+1, r
0
= 1
3 1 3 9 28 q
2
(x)=x
3
+3x+1,r
1
=28
3 1 6 27 q
3
(x)=x+6, r
0
= 27
3 1 9 q
4
(x)=1=a
0
, r
0
= 9
Vậy x
4
– 3x
3
+ x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)
2
+ 9(x-3)
3
+ (x-3)
4
.
18
DẠNG.8. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC KHI BIẾT MỘT SỐ GIÁ TRỊ KHÁC CỦA ĐA THỨC
Ví dụ 8.1 Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + f .
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 25 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Giải: Ta có P(1) = 1 = 1
2
; P(2) = 4 = 2
2
; P(3) = 9 = 3
2
; P(4) = 16 = 4
2
; P(5) = 25 = 5
2
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x
2
. ( đa thức H(x)= x
2
gọi là đa thức phụ )
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x
5
bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 6
2
Hay P(6) = 5! + 6
2
= 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 7
2
Hay P(7) = 6! + 7
2
= 769
Ví dụ 8.2 Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:- Giải tương tự bài 1, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3).
Từ đó tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Ví dụ 8.3 Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. Tính
(5) 2 (6)
?
(7)
P P
A
P
−
= =
H.Dẫn:- Giải tương tự bài 1, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +
( 1)
2
x x +
.
Từ đó tính được:
(5) 2 (6)
(7)
P P
A
P
−
= =
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)
H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên:
10
12
8 4 2 4
27 9 3 1
d
a b c d
a b c d
a b c d
=
+ + + =
+ + + =
+ + + =
lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b, c trên
MTBT cho ta kết quả:
5 25
; ; 12; 10
2 2
a b c d= = − = =
⇒
3 2
5 25
( ) 12 10
2 2
f x x x x= − + +
⇒
(10)f =
Ví dụ8.5:Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) đều được dư là 6 và
f(-1) =-18 .Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự như bài 4, ta có f(x) = x
3
- 6x
2
+ 11x
Từ đó tính được f(2005) =
Dạng 9 :Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
Cơ sở kiến thức:
1. “Nếu tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c có 2 nghiệm là x
1
, x
2
thì nó viết được dưới dạng
ax
2
+ bx + c = a(x-x
1
)(x-x
2
)”.
2. “Nếu đa thức f(x)=a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x +a
0
có nghiệm hữu tỷ
p
q
thì p là ước của a
0
, q là ước của a
0
”.
3. Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có a
1
=1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của a
0
”.
4. Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x-a).
19
VD1: Phân tích đa thức f(x) = x
2
+ x - 6 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 2 nghiệm là
x
1
= 2; x
2
= -3.Khi đó ta viết được: x
2
+ x - 6 = 1.(x-2)(x+3)
VD2: Phân tích đa thức f(x) = x
3
+3x
2
-13 x -15 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là
x
1
= 3; x
2
= -5; x
3
= -1. Khi đó ta viết được: x
3
+3x
2
-13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1).
VD3: Phân tích đa thức f(x) = x
3
- 5x
2
+11 x -10 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 1 nghiệm
thực là x
1
= 2. Nên ta biết được đa thức x
3
- 5x
2
+11 x -10 chia hết cho (x-2).
Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x
3
- 5x
2
+11 x -10 cho (x-2) ta có:
Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-2).
Quy trình: 2 → X
1
x
X
+
5−
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -3
x
X
+
11
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 5
x
X
+
10−
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0
Khi đó ta có f(x) = (x-2)(x
2
- 3x + 5)
Tam thức bậc hai x
2
- 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa.
Vậy x
3
- 5x
2
+11 x -10 = ( x-2)(x
2
- 3x + 5)
VD4:Phân tích đa thức f(x) = x
5
+ 5x
4
– 3x
3
– x
2
+58x - 60 thành nhân tử?
Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).
Ta có Ư(60) = {
±
1;
±
2;
±
3;
±
4;
±
5;
±
6;
±
10;
±
12;
±
15;
±
20;
±
30;
±
60}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:
Gán: -1 → X
Nhập vào máy đa thức: X
5
+ 5X
4
– 3X
3
–X
2
+58X -60 rồi ấn dấu
=
máy báo kq -112
Gán tiếp: -2 → X /
#
/
=
/ máy báo kq -108
Gán tiếp: -3 →X/
#
/
=
/ máy báo kq 0
Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+3). Khi đó bài toán trớ về
tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3).
Quy trình: - 3 → X
1
x
X
+
5
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 2
x
X
−
3
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -9
x
X
−
1
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 26
x
X
+
58
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -20
x
X
−
60
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0
20
Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x
4
+2x
3
-9x
2
+26x-20)
* Ta lại xét đa thức g(x) = x
4
+2x
3
-9x
2
+26x-20 Nghiệm nguyên nế có là ước của 20.
Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {
±
1;
±
2;
±
4;
±
5;
±
10;
±
20}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):
Gán: -1 → X
Nhập vào máy đa thức: x
4
+2x
3
-9x
2
+26x-20 rồi ấn dấu
=
máy báo kq -96
Gán tiếp: -2 → X /
#
/
=
/ máy báo kq -148
Gán tiếp: -4 → X /
#
/
=
/ máy báo kq -180
Gán tiếp: -5 → X /
#
/
=
/ máy báo kq 0
Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+5). Khi đó bài
toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5).
Quy trình:
-5 → X
1
x
X
+
2
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -3
x
X
+
9−
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 6
x
X
+
26
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -4
x
X
+
20−
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0
Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x
3
-3x
2
+6x-4)
* Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa thức h(x) = x
3
-3x
2
+6x-4
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x-1)(x
2
-2x+4)
Ta thấy đa thức (x
2
-2x+4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử.
Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x
2
-2x+4)
Vidụ 5: Chia đa thức B(x) = 5x
4
- 9x
3
– 8x
2
- 21x + 17 cho đa thức C(x) = x – 4 ta lập bảng sau :
a
4
= 5 a
3
= -9 a
2
= -8 a
1
= -21 a
o
=17
m = 4 b
3
= a
4
=5 b
2
= mb
3
+ a
3
=4.5 – 9 = 11
b
1
= mb
2
+ a
2
=4.11 – 8 = 36
b
0
= mb
1
+ a
1
=4.36
– 21 = 123
r
= mb
0
+ a
0
=4.123 + 17 = 509
Kết luận : Đa thức thương : D(x) = 5 x
3
+ 11x
2
+ 36x + 123
số dư r = 509
Ấn:
4 SHIFT STO A
5 x ALPHA A + (-) 9 = Ghi 11
x ALPHA A + (-) 8 = Ghi 36
x ALPHA A + (-) 21 = Ghi 123
x ALPHA A + 17 = Ghi 509
Vậy B(x) = 5x
4
- 9x
3
– 8x
2
- 21x + 17 = (x – 4 )(5 x
3
+ 11x
2
+ 36x + 123) + 509
21
BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giá trị của đa
Bài tập:1.1Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
tại x = 0,53241
Q(x) = x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
+ x
10
tại x = -2,1345
H.Dẫn:- Áp dụng hằng đẳng thức: a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
). Ta có:
P(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
=
2 9 10
( 1)(1 ) 1
1 1
x x x x x
x x
− + + + + −
=
− −
Từ đó tính P(0,53241) =
Tương tự:Q(x) = x
2
+ x
3
+ +x
8
+x
9
+ x
10
= x
2
(1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
) =
9
2
1
1
x
x
x
−
−
Từ đó tính Q(-2,1345) =
Bài tập1.2:Cho đa thức
9 7 5 3
1 1 13 82 32
( )
630 21 30 63 35
P x x x x x x
= − + − +
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên
1
( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)
2.5.7.9
P x x x x x x x x x x
= − − − − + + + +
Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì tích:
( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)x x x x x x x x x
− − − − + + + +
chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau).
Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
Bài tập1.3:Cho
( )
2
3 2
35 37 60080
10 2007 20070
x x
P x
x x x
− +
=
− + −
và
( )
2
10 2007
a bx c
Q x
x x
+
= +
− +
a) Với giá trị nào của a, b, c thì P(x) = Q(x) đúng với mọi x thuộc tập xác định .
b) Tính giá trị của P(x) khi x =
13
5
−
.
Tính n để
( )
( )
( )
( )
= −
− +
2
2
10 2007
P x
T x n
x x
chia hết cho x + 3
Dạng 2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)cho nhị thức ax + b
Bài tập2.1: (Sở GD Cần Thơ, 2003) . Cho
( )
4 4 2
x
P x 5x 4x 3x 50= + − + −
.
Tìm phần dư r
1
, r
2
khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r
1
,r
2
)?
Bài tập2.2: Cho f(x) = 2x
6
-4x
5
+7x
4
-11x
3
-8x
2
+5x-2007. Gọi r
1
và r
2
lần lượt là số dư của phép chia
f(x) cho x-1,12357 và x+0,94578. Tính B=0,(2006)r
1
-3,(2007)r
2
.
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b
Bài tập3.1: a)Viết qui trình ấn phím để:
Tìm m để đa thức
+ + − + + −
5 4 3 2
5 3 5 17 1395x x x x x m
chia hết cho
( )
+ 3x
b) Với giá trị nào của m thì đa thức
+ − + − +
5 4 2
4 9 11 29 4 3x x x x m
chia hết cho 6x + 9
Bài tập3.2:Tìm m để đa thức
+ + − + + −
5 4 3 2
5 3 5 17 1395x x x x x m
chia hết cho
( )
3x −
Bài tập3.3:Cho đa thức
( )
= − + − + +
5 4 3 2
3 4 5 6P x x x x x x m
a) Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005
b) Tìm giá trị m
1
để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m
2
để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x + m.
a)Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x + 5.
b) Với m tìm được ở câu a), hãy tìm số dư r khi chia đa thức P(x) cho x – 3.
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của P(x ) thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Bài tập4.1:
Cho biết đa thức P(x) = x
4
+ mx
3
– 55x
2
+ nx – 156 chia hết cho x – 2 và chia
hết cho x – 3. Hãy tìm giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức
22
Bài tập4.2:Xác định các hệ số a , b ,c của đa thức
2007)(
23
−++= cxbxaxxP
để sao cho P(x) chia cho
(x – 13) có số dư là 1 , chia cho (x – 3) có số dư là 2 và chia cho (x - 14) có số dư là 3. ( Kết quả lấy với 2
chữ số ở phần thập phân )
Giải:Lập luận đưa đến hệ 2 điểm; tìm được a,b,c đúng mỗi ý cho 1 điểm
Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28
Bài tập4.3Cho hai đa thức sau: f(x) = x
4
+ 5x
3
- 4x
2
+ 3x + a và g(x) = -3x
4
+ 4x
3
- 3x
2
+ 2x + b
a)Tìm điều kiện của a và b để hai đa thức f(x) và g(x) có nghiệm chung x = 0,25 ?
b) Cho đa thức:Q(x) =5x
5
- x
4
- 6x
3
+ 27x
2
- 54x + 32
Sử dụng các phím nhớ. Lập quy trình tìm số dư trong phép chia đa thức Q(x) cho 2x + 3?
c)Tính a để x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x + a chia hết cho x + 6
d)Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625. Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3
Bài tập4.4:Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?’
Bài tập4.5:Biết đa thức Q(x) = x
4
+ mx
3
- 44x
2
+ nx - 186 chia hết cho x + 2 và nhận x = 3 là nghiệm. Hãy
tính giá trị của m và n rồi tìm tất cả các nghiệm còn lại của Q(x).
Giải
Từ giả thiết => Q(-2) = Q(3) = 0 => tìm m, n
Từ giả thiết => Q(x) có 2 nghiệm nguyên => Q(x) = (x+2)(x-3)(x
2
+7x-31)
Dùng máy giải ph/tr bậc 2 => 2 nghiệm còn lại.
m = 6; n = -11
x
2
= -2
x
3
≈
3,076473219
x
4
≈ -10,076473219
Bài tập4.6:Biết rằng số dư trong phép chia x
5
+ 4x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
– ax + 7 cho (x + 5) bằng 2007. Tìm a.
Dạng 5: Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đa thức
Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x
4
+8x
3
-7x
2
+8x -12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc
là 3 . Hãy tìm hệ số của x
2
trong Q(x) ?
Bài tập5.2:Cho P(x) =
4 3
2
2 5 7
3
x x x− + +
.
a)Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
Bài tập5.3:Tìm số dư trong phép chia đa thức x
5
– 7,834x
3
+ 7,581x
2
– 4,568x + 3,194 cho x – 2,652.
Tìm hệ số của x
2
trong đ thức thương của phép chia trên.
Dạng8. tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức
Bài tập8.1:Cho P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9. viết quy trình để tính P(9) và P(10) ?
Bài tập8.2: Cho P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11. (đa thức phụ H
(x)
= 2x +3)
a. Tìm a, b, c, d
b. Tính
( ) ( )
15 12
15
20
P P
A
+ −
= +
.
Giải:
a, C1: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)(x – 4) + 2x + 3
Suy ra a, b, c, d
C2: Giải hệ phương trình , suy ra a, b, c, d
b, Nhập P(x) = x
4
- 10x
3
+ 35x
2
- 48x + 27 vào máy
Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ; Calc nhập (-)12 shift
Sto B; Nhập ( Alpha A + Alpha B ) : 20 + 15 =
a. a = - 10, b = 35
c = - 48, d = 27
b. 3400.8000
Bài tập8.3: Cho
( )
= + + + +
4 3 2
P x x ax bx cx d
. biết P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 .
Tính giá trị của a , b , c , d và P(8) , P(2007) ? (đa thức phụ H
(x)
=1/2 x
2
)
Bài tập8.4: Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e . Biết P(1)= 3, P(2)= 9, P(3) =19, P(4)= 33, P(5)= 51 .
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) . (đa thức phụ H
(x)
= 2x
2
+1)
Bài tập8.5: Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9.
Hãy viết quy trình để tính P(9) và P(10) ? (đa thức phụ H
(x)
= x
2
)
Bài tập8.6: Cho đa thức
( )
dcxbxaxxxf
++++=
234
. Biết rằng
( ) ( )
;112;61
==
ff
( )
;163
=
f
( )
214
=
f
.
a) Hãy tính đúng giá trị của
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9;8;7;6;5 fffff
(trình bày vắn tắt lời giải)(đa thức phụ H
(x)
= 5x +1)
23
b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho
( )
nf
chia hết cho 24. ( trình bày vắn tắt lời giải)
Giải
( )
15 += xxf
tại
( ) ( ) ( )
155;4;3;2;1 +−=⇒= xxfxgx
có 5 nghiệm là 1; 2; 3; 4;5
( ) ( )( )( )( )
4321 −−−−=⇒ xxxxxg
hay
( ) ( )( )( )( ) ( )
154321 ++−−−−= xxxxxxf
. Thay x = 5; 6; 7; 8; 9
ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
17269;8818;3967;1516;505 ===== fffff
Bài tập8.7: Cho đa thức P(x)=x
3
+ax
2
+bx+c Biết rằng:P(1945) =1945; P(1954)=1954 ; P(1975)= 1975.
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=-5874;,b = 11501055,19;c =-7506045115)
a) Tính P(2005). (đa thức phụ H
(x)
= x )
b) Đặt Q(x) = P(x) + m. Tìm giá trị của m để đa thức Q(x) chia hết cho (x - 2005,05) (chính xác đến 5 chữ
số thập phân).
Bài tập8.8: Cho đa thức
( )
5 4 3 2
P x x ax bx cx dx e
= + + + + +
. biết P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) =
31 , P(5) = 49 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11) ? (đa thức phụ H
(x)
= 2x
2
-1)
Bài tập8.9:Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x
3
là k, k ∈ Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001.
Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số.
H.Dẫn:* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b).
Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0
1999 2000 0 1
2000 2001 0 1
a b a
a b b
+ + = =−
⇔ ⇔
+ + = = −
⇒ g(x) = f(x) - x - 1
* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
(x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x
0
)
⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x
0
) + x + 1.
Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Bài tập khác
Bài tập1: Cho đa thức Q(x) = ( 3x
2
+ 2x – 7 )
64
.
Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.
Giải:Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.
Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)
64
= 2
64
.
Để ý rằng : 2
64
=
( )
2
32
2
=
2
4294967296
.
Đặt
42949 = X
;
67296 = Y
Ta có : A =
5 2 2 10 5 2
( X.10 +Y) = X .10 + 2XY.10 + Y
Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:
X
2
.10
10
= 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2XY.10
5
= 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0
Y
2
= 4 5 2 8 7 5 1 6 1 6
A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6
Vậy A = 18446744073709551616
Bài tập2: Cho x
1000
+ y
1000
= 6,912; x
2000
+ y
2000
= 33,76244
Tính A = x
3000
+ y
3000
Giải:Đặt a = x
1000
, b = y
1000
. Ta có: a + b = 6,912; a
2
+ b
2
= 33,76244
Khi đó : a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) = (a + b)
3
- 3.
( )
( )
( )
2
2 2
2
a b a b
a b
+ − +
⋅ +
Đáp số : A = 184,9360067
Bài tập3: Cho:
17 16 15
P(x) = ax + bx + cx +. . .+ m
.biết: P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . ; P(17) = 17. Tính P(18)
Bài tập4: Cho
( )
3 2
2 15 16P x x x x m= − + +
và
( )
3 2
9 81 182Q x x x x n= − + +
a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 1 ?
b)Với m vừa tìm được, Tính số dư r khi chia P(x) chox–2 và phân tích P(x) thành tích các thừa số bậc nhất
c) Tìm n để 1 nghiệm của P(x) cũng là 1 nghiệm của Q(x) , biết nghiệm đó phải khác – 0,5 và 2 ? Phân
tích đa thức Q(x) thành tích các thừa số bậc nhất ?
Bài tập5: Cho đa thức
( )
= + + + +
4 3 2
P x x ax bx cx d
, biết P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1
a)Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
b)Tính các giá trị của P(22) , P(23) , P(24) , P(25) . ( Đa thức phụ H
(x)
= 2x -7)
24
c)Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên
d)Tìm số dư r
1
trong phép chia P(x) cho (7x -5) ( chính xác đến 5 chữ số ở phần thập phân ) .
Bài tập6: Cho đa thức
( )
= + − + − +
5 4 2
5 8 12 7 1 3P x x x x x m
.
a) Tính số dư r trong phép chia P(x) cho x – 4,138 khi m = 2007 ?
b) Tính giá trị m
1
để đa thức P(x) chia hết cho
+3 2x
?
c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 3 thì m
2
có giá trị bao nhiêu ?
Bài tập7: Cho đa thức f(x) = 2x
5
+ x
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480.
1. Tìm các hệ số b , c, d , của f(x).
2. Tìm hệ số của x
2
trong phép chia f(x) cho x + 3
Giải
1. Theo bài ra ta có: f(1) = 2 + 1 + b + c + d = - 18
f(2) = 64 + 8 + 4b + 2c + d
f(3) = 486 + 27 + 9b + 3c + d
Tức là ta có hệ:
−+++
−=++
−=++
3639
2324
16
dcb
dcb
dcb
Gi ải hệ pt trên ta được: b= -2; c=2; d=- 15 Vậy f(x) = 2x
5
+ x
3
- 3x
2
- 2x - 15
2. Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta đ ược:
F(x) = (x+3)(2x
4
- x
3
+ x
2
- 60x + 182) – 561 Vậy hệ số của x
2
trong phép chia trên là 1.
Bài tập8: Cho P(x) = x
5
+ 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 5x + m .
a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 .
b) Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5
c) P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m .
Bài tập9: Cho đa thức
( )
5 4 3 2
3 4 5 6P x x x x x x m= − + − + +
a)Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005
b)Tìm giá trị m
1
để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m
2
để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
Bài tập10: Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 7x
2
– 16x + m .
a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3
b)Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích P(x) thành tích của các
thừa số bậc nhất
Tìm m và n để Q(x) = 2x
3
– 5x
2
– 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2 .
c)Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất.
Bài tập11: Cho P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x + m và Q(x) = x
4
+ 4x
3
- 3x
2
+ 2x + n .
a) Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 .
b) Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ
có một nghiệm duy nhất
Bài tập12: Cho Q(x)=22x
3
+ 2x-2008.
a) Tính
( )
Q 14 2
b) Tìm m để Q(x) + m
3
chia hết cho x-5
Bài tập13: Cho đa thức f(x) . Biết f(x) chia x-3 thì dư 7, chia x-2 dư 5, chia (x-2)(x-3) được thương là 3x
và còn dư.
a) Tìm f(x)
b) Tính chính xác tổng f(2007)+f(2008)+f(2009)
Bài 14. Khi chia đa thức 2x
4
+ 8x
3
– 7x
2
+ 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc là 3.
Hãy tìm hệ số của x
2
trong Q(x)
Bài 15.Cho đa thức P(x) = x
8
+ 4x
7
+ 6x
6
+ 4x
5
+ x
4
1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị : -
2
,
π
,
2
, 1, -
2
1
.
2. Trong trường hợp x là một số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x)
M
16.
Bài 16 . Cho đa thức f(x) =
5
1
x
5
+
3
1
x
3
+
15
7
x + 2008
1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -
2
1
;
2
.
2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
HD
25
