Kỹ thuật giải nhanh các phương trình lượng giác

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

1








(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)
















Gửi tặng: www.Mathvn.com

Bỉm sơn. 08.05.2011
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

2


MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông
Ví dụ như các công thức sau

2 2
sin cos 1
x x
 

2 2
cos2 2cos 1 1 2sin
x x x
   
sin 2 2sin cos
x x x


3
sin3 3sin 4sin
x x x
  …
Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay
không
2 2
sin 2 cos 2 1
x x
 

2 2
cos4 2cos 2 1 1 2sin 2
x x x
   
sin 4 2sin 2 cos2
x x x



3
sin9 3sin3 4sin 3
x x x
  …Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau
Với
0
k

ta có
2 2
sin cos 1
kx kx
 

2 2
cos2 2cos 1 1 2sin
kx kx kx
   
sin 2 2sin cos
kx kx kx


3
sin3 3sin 4sin
kx kx kx
 

1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung

Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với
các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn
đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc
xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào

Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình:
1 1 7
4.sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x


 
  
 
 
 

 
 

Nhận xét:
Từ sự xuất hiện hai cung
3

2
x

 và
7
4
x


mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng một
cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc
đặc biệt
Giải:
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

3

Ta có
3 3 3
sin sin .cos cos .sin cos
2 2 2
x x x x
  
 
   
 

 

     
7 7 7 2
sin sin cos cos .sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
  
 
       
 
 

Sử dụng công thức về các góc đặc biệt
Ta có
3 3
sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x
  

     
      
     
     

Hoặc
3
sin sin 2 sin cos
2 2 2

x x x x
  

 
     
      
     
 
     
 

 
7 7 2
sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x
  


     
         
     
     

Hoặc
 
7 2
sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x

  

  
     
        
     
 
     
 

Chú ý:


 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x


 



 




và


 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x
 
 
   



   




Điều kiện:
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0
2
x
x x k k
x




    





Phương trình
1 1
4sin
sin cos 4
x
x x

 
    
 
 



sin cos 2 2sin .cos sin cos
x x x x x x
    
 


sin cos 2 2sin .cos 1 0
x x x x

   

tan 1
sin cos 0
2
2 2sin .cos 1 0
sin 2
2
x
x x
x x
x
 

 


 


 
 




4 4
2 2 ,
4 8
5

5
2 2
4
8
x k x k
x k x k k
x k
x k
 
 
 
 




 
     
 
 
 
        
 
 
 
 
 
 
 


Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
4
x k


   ;
8
x k


   ;
5
8
x k


  với
k



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

4

Đs:

 
5
, , ,
4 8 8
x k x k x k k
  
  
        


Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình:
cos3 cos2 – cos –1 0
x x x
 

Giải:
Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức
nhân ba và nhân đôi của hàm cos
Phương trình
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0
x x x x
      

3 2
2cos cos 2cos 1 0
x x x
    





2
2cos 1 cos 1 0
x x
   

 
2
1
cos
2cos 1 sin 0
2
sin 0
x
x x
x

 

   




 
2
2
;
3

x k
k
x k




  

 





Đs:
 
2
2 ,
3
x k x k k

 
    


Cách 2:
Nhận xét:
Ta có
3

2
x x
x


và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các hạng tử bằng cách
dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích




 
2
2
cos3 cos – 1 cos2 0 2sin 2 .sin 2sin 0
2sin 2cos 1 0
x x x x x x
x x
      
  

… tương tự như trên
Chú ý:
Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó
Công thức nhân ba
3 3
cos3 4cos 3cos , sin3 3sin 4sin
x x x x x x
   
Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi

Ta có




   
2 2
2 2 3
cos3 cos 2 cos2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin
2cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos
x x x x x x x x x x x
x x x x x x
      
     

Tương tự cho
sin3
x

Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:
6 2
3cos4 – 8cos 2cos 3 0
x x x
  

Giải:
Nhận xét 1:
Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

5



2 2 4 2
cos4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1
x x x x x
       

Cách 1:
Phương trình
6 4 2
4cos 12cos 11cos 3 0
x x x
   
(pt bậc 6 chẵn)
Đặt
2
cos , 0 1
t x t
  

Khi đó ta có
3 2
1
4 12 11 3 0
1

2
t
t t t
t



    



… bạn được giải tiếp được nghiệm , ,
4 2
x k k k
 

  


Nhận xét 2:

Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ
cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi
Cách 2:
Phương trình
   
3
2 2
1 cos2 1 cos2
3 cos 2 1 8 2 3 0 cos2 2cos 2 3cos2 2 0

2 2
cos2 0
,
4 2
cos2 1
x x
x x x x
x
x k
k
x
x k
 

 
   
        
   
   


 


  









Nhận xét 3:
Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình
tích
Cách 3:
0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3
222242
 xxxxxxx
2 2 2 2 2
6cos 2 2cos (2cos 1)cos2 0 cos2 3cos2 cos (2cos 1)
0
x x x x x x x x
 
       
 

2 4 2
cos2 0
4 2
3(2cos 1) 2cos cos 0
k
x x
x x x
 

   




   



Phương trình
2
4 2
2
cos 1 sin 0
2cos 5cos 3 0
3
cos ( )
2
x x x k
x x
x loai


    

     





Đs: , ,
4 2
x k k k

 

  


Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình:


2sin 1 cos2 sin 2 1 cos
x x x x
   
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân
đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
Phương trình
2
4sin .cos 2sin .cos 1 2cos
x x x x x
   
2sin .cos (1 2cos ) 1 2cos
x x x x
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

6

(1 2cos )(sin 2 1) 0
x x
   

1
cos
2
sin 2 1
x
x








2
2
3
4
x k
x k






  




 



Đs:
 
2
2 , ,
3 4
x k x k k
 
 
     


Bài 5: Giải phương trình
3
3sin3 3 cos9 1 4sin 3
x x x
  
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương
trình bậc nhất đối với sin và cos
3

3sin3 4sin 3 3cos9 1 sin9 3cos9 1
x x x x x
      

2
1 3 1 1
18 9
sin9 cos9 sin 9
7 2
2 2 2 3 2
54 9
x k
x x x k
x k
 

 

 

 
       

 
 

 




Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình
sin5
1
5sin
x
x


Giải:
Điều kiện:
sin 0
x


Phương trình
sin 5 5sin sin5 5sin
x x x x
   

Nhận xét:
Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng
Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai
sin5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin
4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1
x x x x x x
x x x x x x
    
   

2
3
cos ( )
cos4 cos2 2 2cos 2 cos2 3 0
2
cos2 1
x loai
x x x x
x

 

       




2
1 cos2 0 2sin 0 sin 0 ( )
x x x loai
      
Vậy phương trình vô nghiệm
Hướng 2: Phân tích cung
5 2 3
x x x
 
, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức
nhân hai, nhân ba



      
2
3 2 2 3 2 2
sin 3 2 5sin sin3 cos2 sin 2 cos3 5sin
3sin 4sin cos sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
    
      

5 3 3 2 2
12sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0
x x x x x
     
… vô nghiệm
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

7

Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm


0;14
x nghiệm đúng phương trình:
cos3 – 4cos2 3cos 4 0
x x x
  

Giải:
Phương trình


3 2
4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0
x x x x
      

3 2 2
cos 2cos 0 cos (cos 2) 0
x x x x
     

cos 0
2
x x k


    
Vì


0;14
x nên
0 14
2
k



  

Đs:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
   
   
Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình
sin3 sin 5
3 5
x x

Giải:
Phương trình






2
5sin3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos4 cos sin 4
x x x x x x x x x
     





   
 
2 2
2 2
5sin 3 4sin 3sin cos4 4cos cos2
sin 0
5 3 4sin 3 cos 4 4cos cos2 *
x x x x x x
x x k
x x x x

   
  


  



Phương trình






2
* 5 3 2 1 cos2 3 2cos 2 1 cos2 cos2
x x x x

 
      
 
 

2
5 1
cos2
6 2
12cos 2 4cos 2 5 0
1
cos2
3
2
x x k
x x
x k
x
 


 
   
 
     
 
 
  
 
 

 

Bài 9: (ĐH – D 2009) Giải phương trình:
3cos5 2sin3 cos2 sin 0
x x x x
  

Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và
3 2 5
x x x
 
ta nghĩ ngay tới việc áp dụng công thức biến đổi tổng
thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý
Phương trình
3cos5 sin5 sin sin 0
x x x x
    

3 1
cos5 sin5 sin
2 2
x x x
  
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

8

12 3
sin 5 sin
3
6 2
x k
x x k
x k
 

 

 

 
    

 
 

  




Đs:
 
, ,
18 3 6 2

x k x k k
   
     


Chú ý:
- Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos là
sin cos
a x b x c
 
học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu
gặp phương trình
sin cos 'sin 'cos , 0,1
a x b x a kx b kx k
   
thì làm thế nào, cứ bình tĩnh nhé, ta coi như
hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự
- Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau

Bài 10: (ĐH – B 2009) Giải phương trình:


3
sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
   
Giải:
Phương trình



2
sin 1 2sin cos .sin2 3cos3 2cos4
x x x x x x
    
1 3
sin3 3cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4
2 2
x x x x x x
     
cos4 cos 3
6
x x

 
  
 
 
4 3 2
6
x x k


 
    
 
 

 
2
6

2
42 7
x k
k
x k


 

  

 


 




Hoặc:
 
1 3 1
sin sin3 sin 3cos3 2(cos4 sin sin3 )
2 4 4
x x x x x x x
      
1 3 3 1
sin3 sin 3 cos3 2cos4 sin sin3
2 2 2 2
x x x x x x

     
1 3
sin3 3cos3 2cos4 sin3 cos3 cos4
2 2
x x x x x x
     

Đs:
 
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
  

     


Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trình: 3
2
cos
cos
2sinsin



x
x
xx

HD:
Điều kiện:
3
2
202coscos


k
xkxxx 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

9

xxxxxxxx sin
2
1
cos
2
3
2sin
2
1
2cos
2
3
2cos3cos32sinsin 

3
2
9
2
6
cos
6
2cos



k
xkxxx 














Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trình:
4 4
4

sin 2 cos 2
cos 4
tan tan
4 4
x x
x
x x
 


   
 
   
   

Giải:
Nhận xét:
Từ tổng hai cung
4 4 2
x x
  
   
   
   
   
nên
tan tan 1
4 4
x x
 

   
  
   
   
và cung 2x có thể đưa về cung 4x
bằng công thức nhân đôi
Điều kiện:
cos 0
4
1
cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0
4 4 2 2
cos 0
4
x
x x x x
x

  


 
 
 

  
     
        

     

     
 

 
 

 


Phương trình
4 4 4 2 2 4 2 4
1
sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 cos 4
2
x x x x x x x x
        
 
 
 
2
2 4 4 2
2
cos 4 1
1
1 1 cos 4 cos 4 2cos 4 cos 4 1 0
1
2
sin 4
2
sin 2 0

sin 4 0 ,
cos2 0
2
x
x x x x
x loai
x
k
x x k
x loai




        

 




     





Chú ý:
- Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà
quy đồng và biến đổi thì…ra không

- Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình lượng giác có dạng phân thức
như trên nếu không khôn khéo thì rất … phức tạp.
- Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau
(ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình:
4 4
7
sin cos cot cot
8 3 6
x x x x
 
   
   
   
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

10

Đs: ,
12 2
k
x k
 
   


Bài 12: (ĐHTL – 2001) Giải phương trình:
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
 
   
  
   
   

Giải:
Nhận xét:
Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế
khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung
3
10 2
x


và
3
10 2
x

 có mối quan hệ với nhau như thế nào
Thật vậy
3 3 9 3 3
sin sin sin sin3
10 2 10 2 10 2 10 2

x x x x
   

       
       
       
       
từ đó ta đặt
3
10 2
x
t

 
và sử
dụng công thức nhân ba là ngon lành
Phương trình
   
3 2
2
sin 0
1 1
sin sin3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 0
2 2
1 sin 0
t
t t t t t t t
t



       

 


TH 1:
3
sin 0 2 ,
5
t t k x k k

 
      


TH 2:
2
1 cos2 1 3
1 sin 0 1 0 cos2 2 4 ,
2 2 6 5 6
t
t t t k x k k
  
 

               


Chú ý:
- Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau

3 3 3
2
10 2 5 10 2
x x
t x t t
  

        

- Với cách phân tích cung như trên ta có thể làm bài toán sau
a. (BCVT – 1999) Giải phương trình: )
4
sin(2sin)
4
3sin(


 xxx
đặt
4
t x

 

Đs:
4 2
k
x
 
  

b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trình:
3
8cos cos3
3
x x

 
 
 
 

đặt
3
t x

 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

11

Đs:
6
2
,
3
x k

x k k
x k






 



   








c. (PVBCTT – 1998) Giải phương trình: xx sin2)
4
(sin2
3



đặt
4

t x

 

Đs: ,
4
x k k


  


d. (QGHCM 1998) Giải phương trình: xx sin2)
4
(sin
3




Bài tập tự giải:

Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm )3;
2
(


x của phương trình sau
xxx sin21)
2

7
cos(3)
2
5
2sin( 



Đs:
13 5 17
,2 , , ,
6 6 6
x
  
 

Bài 2: (ĐHYTB – 1997) Giải phương trình
2 3
2 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x
   
       
      
       
       

Đs:
5 5 5
5 , 5 , 5 ,

4 12 3
x k x k x k k
  
  
        



2. Biến đổi tích thành tích và ngược lại

Bài 1: Giải phương trình :
sin sin2 sin 3 sin 4 sin5 sin 6 0
x x x x x x
     

Giải:
Nhận xét:
Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu ) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng
hoặc hiệu các góc bằng nhau
Phương trình






sin6 sin sin5 sin 2 sin 4 sin3 0
x x x x x x
      

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

12

 
7 5 3 7 3
2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cos 1 0
2 2 2 2 2 2
2
7
sin 0
7
2
3 2
cos 0 ;
2 3 3
2cos 1 0
2
2
3
x x x x x x
x
k
x
x
x k
x k Z

x
x k

 


 
 
      
 
 
 
 










     




 



  





Bài 2: Giải phương trình :
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x

 
Giải:
Nhận xét:
Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà
ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Phương trình
   
2 2
1 1 2 3 2
cos cos4 cos2 sin cos2 cos4
2 2 8
x x x x x x

    
   
   

2 2 2 2 2
2 3 2 2 3 2
cos4 cos sin cos2 cos sin cos4 cos 2
4 4
2
4cos4 2 1 cos4 2 3 2 cos4
2 16 2
x x x x x x x x
k
x x x x k Z
 
 
       
           

Cách khác:
Sử dụng công thức nhân ba
3 3
1 3 3 3 1 3
cos3 cos sin3 sin cos3 cos3 cos sin sin sin3 cos4
4 4 4 4 4 4
x x x x x x x x x x x
   
      
   
   


Bài tập tự giải:

Bài 1: (HVQHQT – 2000) Giải phương trình:
cos cos3 2cos5 0
x x x
  

Đs:
1,2
2
2
x k
x k





 



  


với
1,2
1 17
cos
8




Bài 2: (ĐHNT 1997) Giải phương trình:
9sin 6cos – 3sin 2 cos2 8
x x x x
  

Đs:
2
2
x k


 
Bài 3: (ĐHNTHCM – 2000) Giải phương trình:
1 sin cos3 cos sin 2 cos2
x x x x x
    

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

13

Đs:
2
3
7
,

6 6
x k
x k
x k x k



 
 





  



      


Bài 4: (ĐHYN – 2000) Giải phương trình:
sin 4 tan
x x


Đs:
2
x k
x k








  

với
1 3
cos
2

 

Bài 5: (ĐHYHN – 1996) Giải phương trình:


cos – sin cos sin cos cos2
x x x x x x

Đs:
2
4
x k
x k






 



 



Bài 6: (ĐHHH – 2000) Giải phương trình:




2
2sin 1 3cos4 2sin – 4 4cos 3
x x x x
   

Đs:
2
6
7
2
6
2
x k
x k
k

x






  



 







Bài 7: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình:
3 3
cos – sin sin – cos
x x x x

Đs:
4
x k


 

Bài 8: (ĐTTS – 1996) Giải phương trình:
3 3
cos sin sin – cos
x x x x
 
Đs:
2
x k


 
Bài 9: (ĐHCSND – 2000) Giải phương trình:
3 3
cos sin sin 2 sin cos
x x x x x
   
Đs:
2
k
x


Bài 10: (HVQY – 2000) Giải phương trình:
2 3
cos sin cos 0
x x x
  

Đs:
2

2
4
x k
x k
 

 
 



  

với
1
cos 1
2

 

Bài 11: (HVNHHN – 2000) Giải phương trình:
3 2
cos cos 2sin – 2 0
x x x
  

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

14

Đs:
2
2
2
2
2
x k
x k
x k






 



  







Bài 12: (HVNHHCM – 2000) Giải phương trình:
2 3
sin sin cos 0
x x x
  

Đs:
2
2
4
x k
x k
 

 
 



  

với
1
cos 1
2

 

Bài 13: (DDHBCVTHCM – 1997) Giải phương trình:
2

cos – 4sin cos 0
x x x


Đs:
2
x k
x k


 

 


 

với
1
tan
4



Bài 14: (HVKTQS – 1999) Giải phương trình:
3 3
2sin – sin 2cos – cos cos2
x x x x x
 
Đs:

2
4
4 2
2
x k
k
x
x k


 
 

  



 


 




Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trình:
3
4cos 3 2 sin 2 8cos
x x x
 

Đs:
2
2
4
3
4
x k
x k
x k







 



 



 



3. Sử dụng công thức hạ bậc
Khi giải phương trình lượng giác gặp bậc của sin và cos là bậc nhất ta thường giảm bậc bằng cách sử
dụng các công thức hạ bậc… từ đó đưa về các phương trình cơ bản

Bài 1: (ĐHAG – 2000) Giải phương trình
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
  

Giải:
Nhận xét:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

15

Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung
6 2
4
2
x x
x

 mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng
công thức biến đổi tổng thành tích sau đó nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích

cos2 cos4 cos6 0 cos4 (2cos2 1) 0
x x x x x
      

cos4 0
1
8 4 3
cos2
2
x
k
x x k
x
  




       

 


Bài 2: (ĐH – B 2002) Giải phương trình:
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
  
Giải:
Nhận xét:

Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin, cos mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và kết hợp với công thức biến đổi tổng
thành tích đưa về phương trình tích
Phương trình
1 cos6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
2 2 2 2
x x x
   
   




cos12 cos10 cos8 cos6 0
x x x x
    

2cos11 .cos 2cos7 .cos 0
x x x x
  



cos cos11 cos7 0
x x x
  

cos .sin9 .sin 2 0 sin9 .sin 2 0
x x x x x
   

sin9 0 9
9
,
sin 2 0 2
2
x k
x x k
k
x x k
x k







 
 
   

 
 
 






Đs:
 
; ,
9 2
x k x k k
 
  


Chú ý: Có thể nhóm




cos12 cos8 cos10 cos6 0
x x x x
   

Bài 3: (ĐH – D 2003) Giải phương trình:
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x

 
  
 
 

Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và nhóm các hạng tử đưa về phương trình
tích
Điều kiện:
cos 0
x


Phương trình
2
1 cos tan
2
1 cos
0
2 2
x x
x

 
 
 
 
 

 
 
  






2 2 2 3
1 sin tan 1 cos 0 1 sin sin cos cos 0
x x x x x x x
         

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

16

(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0
sin cos 0
1 sin cos cos sin 0
x x x x x x
x x
x x x x
     
 



   


Khi sin cos 0 tan 1 ;

4
x x x x k k



        


Khi
1 sin cos cos sin 0
x x x x
   

Đặt
2
1
cos sin sin cos
2
t
t x x x x

   
Ta được
2
2 1 0
t t
  
1
t
  

2 3
cos cos
4 2 4
x
 

 
   
 
 

2
3
2
2
4 4
2
x k
x k
x k


 

 

 

     


  



So với điều kiện ta chỉ nhận
2
x k
 
  

Cách 2:
2
2 2
2
1 sin 1
1 cos (1 cos ) (1 sin )sin (1 cos )cos
2 2 2cos
x
x x x x x x
x

 
 
        
 
 
 
 

2
sin 1
2
(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0 cos 1 2
tan 1
4
x k
x
x x x x x x k
x
x k


 



 





          




 


  



Kết hợp với điều kiện ta được



kxkx 
4
2
Chú ý: Vì
cos 0 sin 1
x x
   
nên ta loại ngay được
2
2
x k


 
Đs:
 
2 , ,
4
x k x k k

  
     



Bài 4: (ĐH – A 2005) Giải phương trình:
2 2
cos 3 .cos2 – cos 0
x x x


Giải:
Cách 1:
Phương trình
1 cos6 1 cos2
.cos2 0
2 2
x x
x
 
  

cos6 .cos 2 1 0
x x
  
 
1
cos8 cos4 1 0
2
x x
   

2

2cos 4 1 cos4 2 0
x x
    

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

17

 
2
cos4 1
2cos 4 cos4 3 0
3
cos4 1
2
x
x x
x loai



    

   


 

4 2
2
x k x k k


    


Cách 2:


3 4 2
cos6 cos2 1 0 4cos 2 3cos2 .cos 2 1 0 4cos 2 3cos 2 1 0
x x x x x x x
          

Đs:
 
2
k
x k

 


Cách 3:
cos6 cos2 1
x x
 

cos2 1 cos6 1
cos2 1 cos6 1
x x
x x
  



    


Khi
cos2 1
x

thì

3
cos6 4cos 2 3cos2
x x x
  =1
Khi
cos2 1
x
 
thì

3
cos6 4cos 2 3cos2 1
x x x

   

Vậy hệ trên tương đương
sin 2 0
x

cho ta nghiệm
2
x k


Chú ý: Một số kết quả thu được
1 sin ,cos 1
x x
  

sin 1 cos 1
sin .cos 1
sin 1 cos 1
a b
a b
a b
  

 

    


sin 1 sin 1

sin .sin 1
sin 1 sin 1
a b
a b
a b
  

 

    


cos 1 cos 1
cos .cos 1
cos 1 cos 1
a b
a b
a b
  

 

    



Tương tự cho trường hợp vế phải là 1

sin 1 cos 1
sin .cos 1

sin 1 cos 1
a b
a b
a b
   

  

   


sin 1 sin 1
sin .sin 1
sin 1 sin 1
a b
a b
a b
   

  

   


cos 1 cos 1
cos .cos 1
cos 1 cos 1
a b
a b
a b

   

  

   



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

18

Bài 5: (ĐHL – 1995) Giải phương trình
4 4
cos sin 1
4
x x

 
  
 
 

Giải:
Phương trình
2
2

1 cos 2
1 cos2
2
1
2 2
x
x

 
 
 
 
 

 
 
 
  
 
 
 
 
 
2 2
(1 cos2 ) (1 sin 2 ) 1 cos2 sin 2 1 2 cos 2 1
2
x x x x x

 
            

 
 

1
cos 2 ,
2 2 4
2
x x k x k k
  
 
 
           
 
 


Bài 6: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:


1
1
cos
2
42
sin2cos32
2










x
x
x


Giải:
Điều kiện:
2
1
cos x
Phương trình
0cos
2
3
sin
2
1
20sincos31cos2
2
cos1cos)32( 






















 xxxxxxx








)12(
3
2
1
cos

3
3
0
3
sin2 
















 nx
x
kx
kxx
Đs: ,
3
x k k



  


Bài 7: (QGHN – 1998) Giải phương trình
2 2 2
sin cos 2 cos 3
x x x
 
Giải:
Phương trình
1 cos2 1 cos4 1 cos6
cos2 cos4 1 cos6 0
2 2 2
x x x
x x x
  
       

2
2cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0 4cos3 cos2 co
s 0
x x x x x x x x x
       

6 3
,
4 2
2
x k
x k k

x k
 
 



 



   



 




www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

19

Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình
3 2
2
3(1 sin )

3tan tan 8cos 0
4 2cos
x x
x x x
x


 
    
 
 

Giải:
Phương trình




3 2
3tan tan 3(1 sin ) 1 tan 4 1 sin 0
x x x x x
       





   
 
 

3 2
2
2
3tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0
3tan 1 sin tan 1 sin tan 0
1 sin tan 3tan 1 0
x x x x x
x x x x x
x x x
      
     
    

TH 1:
1
tan ,
6
3
x x k k


      


TH 2:
1 sin tan 0 sin cos sin cos 0
x x x x x x
      
(pt đối xứng với sin và cos)
Giải phương trình này ta được 2 ,

4
x k k

 
   

với
2 1
cos
2



Bài 9: ĐH – B 2007) Giải phương trình:
2
2sin 2 sin7 1 sin
x x x
  
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung x, 2x, 7x và
7
2.2
2
x x
x

 chính vì thế ta định hướng hạ bậc chẵn và áp dụng công
thức biến đổi tổng thành tích
Phương trình



2
sin 7 sin 1 2sin 2 0
x x x
    

2cos4 .sin3 cos4 0
x x x
  

 
cos4 0
cos4 2sin3 1 0
1
sin3
2
x
x x
x



   




4
8 4

2
2
3 2 ,
6 18 3
5 5 2
3 2
6 18 3
x k
x k
x k x k k
x k x k
 

  

  



 
 






      






   
 




Đs:
 
2 5 2
; ,
18 3 18 3
x k x k k
   
    



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

20

Bài tập tự giải:
Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin
4

x +
8
9
)
4
(sin)
4
(sin
44



xx
Đs: ,
2
x k k


   

với
2 6
cos
2

 

Bài 2: (ĐHQGHN – 1998) Giải phương trình:
2 2 2
sin cos 2 cos 3

x x x
 
Đs:
6 3
,
4 2
k
x
k
k
x
 
 

 




 




Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trình:
2 2
17
sin 2 – cos 8 sin 10
2
x x x


 
 
 
 

Đs:
20 10
,
6 3
k
x
k
k
x
 
 

 




 




Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trình:



2 2
sin 4 – cos 6 sin 10,5 10
x x x

 
Đs:
20 10
,
2
k
x
k
x k
 



 




 




Bài 5: (TCKT – 2001)
2 2 2

sin sin 3 3cos 2 0
x x x
  

Đs: ,
3 2
x k x k
 
 
      với
5 1
,cos
2
k


 
Bài 6: (ĐHTDTT – 2001) Giải phương trình: cos3x + sin7x =
2
9
cos2)
2
5
4
(sin2
22
xx



Đs:
12 6
,
4
8 2
k
x
x k k
k
x
 


 

 



  



  




Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình:
8 8 2

17
sin cos cos 2
16
x x x
 
Đs: ,
8 4
k
x k
 
  


Bài 8: (KTMM – 1999) Giải phương trình:
8 8
17
sin cos
32
x x 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

21

Đs: ,
8 4
k
x k

 
  


Bài 9: (HVQY – 1997) Giải phương trình:
8 8
1
sin 2 cos 2
8
x x
 

Đs: ,
8 4
k
x k
 
  


Bài 10: (ĐHSPHN – A 200) Tìm các nghiệm của phương trình
2 2
7
sin sin 4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x

 
   

 
 
thỏa mãn điều kiện
1 3
x
 

Đs:
7
;
6 6
x
 
 
Bài 11: (ĐHSP HCM – A 2000) Giải phương trình:
2 2
sin sin cos sin 1 2cos
2 2 4 2
x x x
x x

 
   
 
 

Đs: ,x k k

 


Bài 12: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình:
2 2 2
2cos 2 cos2 4sin 2 cos
x x x x
 
Đs: ,
8 4
k
x k
 
  



5. Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và một số đẳng thức quan trọng

 
2
2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos
x x x x x x x
     
2 2 2
1 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )
x x x x x x x
     
sin 2
sin cos
2

x
x x 








3 3 2 2
sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos
x x x x x x x x x x x x
       








3 3 2 2
sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cos
x x x x x x x x x x x x
       
2
tan cot
sin 2
x x

x
  ,
cot tan 2cot
x x x
 

4 4 2 2 2 2
1 1 1 3 1
sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos4
2 2 2 4 4
x x x x x x x
        




4 4 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos2
x x x x x
    
6 6 4 4 2 2 2
3 3 5
sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos4
4 8 8
x x x x x x x x
       

6 6 4 4 2 2
cos sin cos2 (sin cos sin cos )
x x x x x x x

   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

22

sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
 
   
   
   
   

1
1 tan .tan
2 cos
x
x
x
 
Mối quan hệ giữa
cos
x
và
1 sin
x


là
2
cos cos 1 sin
1 sin cos (1 sin ) cos
x x x
x x x x

 
 


Bài 1: (ĐH – D 2007) Giải phương trình:
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
 
  
 
 

Giải:
Phương trình
2 2
sin 2sin cos cos 3cos 2
2 2 2 2
x x x x
x

    


sin 3 cos 1
x x
  
1 3 1
sin cos
2 2 2
x x
  


1
sin .cos cos .sin
3 3 2
x x
 
  
1
sin
3 2
x

 
  
 
 

 
2 2
3 6
6
5
2 2
3 6
2
x k x k
k
x k x k
  
 
  
 
 
     
 
  




    
 



Đs:
 

2 , 2 ,
2 6
x k x k k
 
 
     


Bài 2: (ĐH – B 2003) Giải phương trình:
x
xxx
2
sin
2
2sin4tancot 
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện hiệu
cot tan
x x

và
sin 2
x
ta xem chúng có mối quan hệ thế nào, có đưa về nhân tử chung
hay cung một cung 2x hay không
Ta có
2 2
cos sin cos2 2cos2
sin cos sin cos sin 2

x x x x
x x x x x

  từ đó ta định hướng giải như sau
Điều kiện:
sin 0
cos 0 sin 2 0
2
sin 2 0
x
k
x x x
x




    





www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

23

2 2
cos sin 2 cos2 1
4sin 2 2sin 2
sin cos sin 2 sin 2 sin 2
x x x
x x
x x x x x

     

2 2
cos2 2sin 2 1 2cos 2 cos2 1 0
x x x x
      

cos2 1
1
cos2
2
x
x









Khi
cos2 1
x

thì
sin 0
x

không thỏa ĐK
Khi
1
cos2
2
x

 thì
2
1
cos x
4

thỏa mãn điều kiện
Vậy ta nhận
1
cos2
2 3
x x k




    
Đs:
 
,
3
x k k


   


Chú ý:
Từ mối quan hệ giữa
tan
x
và
cot
x
, giữa
tan
x
và
sin 2
x
ta có thể làm như sau
Đặt
2
1
cot
tan

2
sin 2
1
x
t
t x
t
x
t




 







Ta được phương trình
2
2
1 2 1
4 2
2
1
t t
t

t t
t

  

… bạn đọc giải tiếp nhé

Bài 3: (ĐH – D 2005) Giải phương trình:
4 4
3
cos sin cos .sin 3 0
4 4 2
x x x x
 
   
     
   
   

Giải:
Nhận xét:
Từ đẳng thức
4 4 2
1
sin cos 1 sin 2
2
x x x
   và hiệu hai cung
3 2
4 4

x x x
 
   
   
   
   

Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x
Phương trình
2 2
1 1
2sin cos sin 4 sin 2 0
2 2 2
x x x x

 
 
      
 
 
 
 

2
sin 2 cos4 sin 2 1 0
x x x
     

2
sin 2 sin2 2 0

x x
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

24

sin 2 1 ;
4
x x k k


     


Đs:
 
,
4
x k k


  


Bài 4: Giải phương trình
6 6 2

13
cos sin cos 2
8
x x x
 
Giải:
Nhận xét:
Đề bài xuất hiện cung 2x, ta nghĩ xem liệu hiệu
6 6
cos sin
x x
 có biểu diễn qua cung 2x để có nhân tử chung
hay không ta làm như sau
2 3 2 3 2
13
(cos ) (sin ) cos 2
8
x x x
  
2 2 4 4 2 2 2
13
(cos sin )(cos sin sin cos ) cos 2
8
x x x x x x x
    
2 2 2 2 2
1 1 13
cos2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 (8 2sin 2 ) 13cos 2
2 4 8
x x x x x x x

 
      
 
 

2 2 2
cos2 0 cos2 0 cos 2 0
8 2sin 2 13cos2 8 2(1 cos 2 ) 13cos2 2cos 2 13cos2 6 0
x x x
x x x x x x
  
  
  
  
       
  

cos2 0
1
4 2
cos2 (k )
2
cos2 6 ( )
6
x
x k
x
x k
x loai
 






  



   



  







Bài 5: (GTVT – 1998) Giải phương trình
tan cot 2(sin 2 cos2 )
x x x x
  

Giải:
Điều kiện
cos 0
sin 2 0

sin 0
x
x
x


 




sin cos
tan cot 2(sin 2 cos2 ) 2(sin 2 cos2 )
cos sin
1 2
2(sin 2 cos2 ) 2(sin 2 cos 2 )
sin cos sin 2
x x
x x x x x x
x x
x x x x
x x x
      
     

2
1 sin 2 (sin 2 cos2 ) 1 sin 2 sin 2 cos2
x x x x x x
     

2
cos2 0
cos 2 sin 2 cos2 ,
tan2 1
4 2 8 2
x
k k
x x x x x k
x
   


         





Bài 6: (QGHN – 1996) Giải phương trình
3
tan cot 2cot 2
x x x
 
Giải:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498

25

Điều kiện
cos 0
sin 0 sin 2 0
2
sin 2 0
x
k
x x x
x




    





3 3
3 3
sin cos
tan cot 2cot 2 2cot 2
cos sin
2cos2
2cot 2 cot 2 cot 2
sin 2
x x
x x x x

x x
x
x x x
x
    
     

2
cot 2 0
2 ,
2 4 2
cot 2 1 ( )
x
k
x k x k
x loai
  



       

 



Bài 7: (ĐH – A 2006) Giải phương trình: 0
sin22
cossin)sin(cos2
66




x
xxxx

Giải:
Điều kiện:
1
sin
2
x 

Phương trình
4 4 2 2
2(cos sin sin cos ) sin cos 0
x x x x x x
    

2 2
2 6sin cos sin cos 0
x x x x
   
2
3sin 2 sin 2 4 0
x x
   

sin 2 1
4

x x k


    
2
4
;
5
2
4
x k
k
x k





 

 


 




Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
5

2 ;
4
x k k


  


Bài 8: (ĐH – A 2010) Giải phương trình:
 
1 sin cos2 sin
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x

 
  
 
 



Giải:
Điều kiện:
tan 1

cos 0
x
x
 





Phương trình
   
2sin 1 sin cos2 1 tan .cos
4
x x x x x

 
     
 
 


  
sin cos
sin cos 1 sin cos2 .cos
cos
x x
x x x x x
x

   

sin cos2 0
x x
  

www.MATHVN.com
www.mathvn.com