Chuyên đề MTCT hình học lop 9

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
Chuyên đề 5 - phần hình học
I. Tam giác vuông

*Dạng1. Tính độ dài trung truyến, phân giác từ đỉnh góc vuông.
Bài 1. Cho ABC vuông tại C, AB = 7,5cm;

A
= 58
0
25'. Từ C kẻ phân giác CD và trung truyến CM.
a. Tính độ dài các cạnh CA và CB
b. Tính độ dài đờng trung tuyến CM và phân giác CD.
c. Tính diện tích

ABC và

CDM.
Lời giải
a, AC = AB.CosA = 7,5.Cos58
0
25' 3.928035949(cm)
CB = AB.SinA = 7,5.Sin58
0
25' 6.389094896(cm)
b, CM = AB/2 = 7,5:2 = 3,75
Từ A kẻ AE // CD (E

BC)

DCA CAE
=
= 45
0
(so le trong)


CAE vuông cân tại C CE = CA
Mặt khác CD // EA

BEA


BCD
CD BC EA.BC
CD
EA BE BE
= =


CD =
2.CA.BC 2.AB.cosA.AB.sinA 2AB.sin A.cosA
BC CA AB.sinA AB.cosA sin A cosA
= =
+ + +

=
0 0
0 0

2.7,5.sin58 25'.cos58 25'
sin58 25' cos58 25'
+
3,440098294 (cm)
c, Ta có:
ACD
ABC
S
AD.AH AD
S AB.AH AB


= =
mà
AD EC
AB EB
=




ACD
ABC
S
S


=
EC CA ABcosA cosA
EB CA CB ABcosA ABsin A cosA sin A

= = =
+ + +

Trong đó: S

ABC
=
2
1 1 1
CA.CB AB.cosA.AB.sin A AB .cosA.sin A
2 2 2
= =
12.54829721(cm
2
).


S

ACD
=
cosA
cosA sin A
+
. S

ABC
=
2 2
AB cos A.sin A

2(cosA sin A)
+



S

CDM
=
1
2
S

ABC
- S

ACD
=
2
1
AB .cosA.sin A
4
-
2 2
AB cos A.sin A
2(cosA sin A)
+


1,496641828

(cm
2
)
Bài 2.
Cho

ABC vuông tại A có AB = 14,25cm; AC = 23,5cm. AM và AD theo thứ tự là trung
tuyến và phân giác của tam giác.
a. Tính BD và CD
b, Tính diện tích tam giác ADM
Lời giải
a, BC =
2 2
AB AC
+ mà áp dụng tính chất đờng phân giác ta có:

AB DB DB
AC DC BC DB
= =



DB =
AB.BC
AB AC
+
=
2 2
AB AB AC
AB AC

+
+


DB =
( ) ( )
2 2
14,25 14,25 23,5
14,25 23,5
+
+
10,37435833

DC = BC - DB 17,10859093
b, Ta có:
ABD
ADC
S
DB.AH DB AB
S DC.AH DC AC


= = = mà S

ABD
= S

AMB
- S

ADM
=
1
2
S

ABC
- S

ADM

S

ADC
= S

AMC
+ S

ADM
=
1
2
S

ABC
+ S

ADM

ABC ADM
ABC ADM
S 2S
AB
S 2S AC



=
+

S

ADM
=
ABC
S (AC AB
AB.AC(AC AB)
2(AC AB) 4(AB AC)



=
+ +

E
H

M
D
B
C
A
D
M
B
C
A
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
S

ADM
=
23,5.14,25(23,5 14,25)
4(23,5 14,25)

+
20,51386589
*Dạng2. Tính độ dài trung truyến, phân giác từ đỉnh góc nhọn.
Bài 1. Cho ABC (

A
=90
0
), AB =
3
,

ACB
= 60
0
. Các đờng phân giác BM và CN cắt nhau tại I
a. Tính BM và CN
b, Tính diện tích IMN
Lời giải
a. AC =
AB
tgC
mà NC =
AC
C
cos
2
=
AB
C
tgC.cos
2
=
0 0
3
tg60 .cos30


1,154700538
(cm)
(

0 0
B 90 C 30 )
= =



BM =
0
0
AB 3 3
B
30
Cos15
cos
Cos
2
2
= = 1,793150944 (cm)
b,

S

IMN
= S

NMC
- S

IMC
=
1 1
AN.MC r.MC
2 2
(r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC):
S

ABC
= p.r




1 AB AC BC AB.AC
AB.AC .r r
2 2 AB AC BC
+ +
= =
+ +

S

IMN
=
1
2
(AN -
AB.AC
AB AC BC

+ +
).(AC - AM)
=
1
2
(ACtg30
0
-
AB.AC
AB AC BC
+ +
)(AC - ABtg15
0
) (trong đó AC = 1, BC = 2, AB =
3
)
=
1
2
(tg30
0
-
0
3
)(1 3tg15 )
3 3

+
=
0,056624327

(cm
2
)

Bài 2
. Cho ABC vuông tại A với AB = 4,6892; BC = 5,8516
a, Tính góc B (độ, phút, giây)
b, Tính đờng cao AH
c, Độ dài phân giác CI
Lời giải

a, CosB =
AB 4,6892
BC 5,8516
=




B
=
36
0
44'25,64"
b, AH = AB.sinB =
2,805037763

c, IC =
2 2
0

AC AC AB
C
90 B
Cos
Cos
2
2

=

= 3,915754262
Bài 3. Gọi G là trọng tâm ABC vuông tại A, AB =23,82001, AC = 29,1945. Gọi A', B' C' lần lợt
là hình chiếu của G xuống các cạnh BC, AC, AB. Gọi S và S' là diện tích hai tam giác ABC và A'B'C'
a, Tính S'/S (=2/9)
b, Tính S' ( 77,26814244)
Lời giải
a, Kẻ AH BC (H BC)

GA' =
1
3
AH =
h
3
; GB' =
1
3
AB; GC' =
1
3

AC
Mặt khác S

A;B'C'
= S

GA'B'
+ S

GA'C'
+ S

GB'
C'

=
1
2
(GA'.GB'.sin(A'GB') + GA'.GC'.sin(A'GC') + GB'.GC')
=
1
2
(
1
3
.
1
3
h.AB.sinC +
1

3
.
1
3
h.AC.sinB +
1
3
.
1
3
AB.AC)
=
1
18
(h.ABsinC + h.ACsinB + AB.AC) =
1
18
(HB + HC + AB.AC)
N
I
M
B
A
C
I
H
B
A
C
H

A'
C'
B'
G
B
A
C
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
=
1
18
(BC.h + AB.AC) =
1
9
(S

ABC
+ S

ABC
) =
ABC
2
S
9



A'B'C'

ABC
S
2
S 9


=

b, S

A'B'C'
=
ABC
2
S
9

=
1
9
AB.AC =
1
9
.23,82001.29,1945


77,26814244

* Bài tập áp dụng
Bài1

. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ phân giác AD và trung tuyến AM và đờng cao AH (D, B,
H

BC)
a. Cho AB = 3,74cm; AC = 4,51cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AD, AM và AH
b. Cho BC = 8,916cm; BD= 3,178. Tính AB; AC, AM

Bài2
. Cho

ABC vuông tại A; AB = 2,75cm;

C
= 37
0
25'. Từ A kẻ các đờng cao AH, phân giác AD
và trung tuyến AM. (Đề thi Khu vực 2007)
a. Tính độ dài các đoạn AH, AD, AM
b. Tính diện tích

ADM

Bài3
. Cho

ABC vuông tại A với AB = 4,6892; BC = 5,8516
a, Tính góc B (độ, phút, giây)
b, Tính đờng cao AH
c, Độ dài phân giác CI

Bài 4
. Cho

ABC vuông tại A. AB = 15, BC = 26 kẻ phân giác trong BD. Tính DC (D

AC)

Bài 5
. Cho một tam giác vuông có độ dài hai cạnh tam giác vuông là
3
4
và
4
3
. Tính tổng bình
phơng độ dài các đờng trung tuyến

Bài 6.
Cho hình vẽ: Biết
\ AE = CD = 1,5cm
\ ED = 10cm
\


0 0
KBA 45 39'; KBC 51 49'12"
= =

a, Tính gần đúng BH
b, Tính diện tích

ABC
Bài 7.
Cho

ABC vuông tại B. cạnh BC = 18,6cm. Hai trung tuyến BM và CN
vuông góc với nhau. Tính CN


II. Tam giác thờng

Tính cạnh, phân giác trong, trung tuyến, diện tích trong tam giác.

Bài1
. Cho

ABC,

B
= 120
0
, AB = 6cm, BC =12cm. Kẻ phân giác BD (D

AC)
a. Tính độ dài đờng phân giác BD
b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ABC.
c. Tính diện tích

ABD.
Lời giải

a, Qua A kẻ AE // BD cắt BC tại E



ABE đều


AB = AE = BE = 6cm. Vì BD // AE


BD CB
AE CE
=


BD = AE.
CB
CE
= AB.
CB
CB BE
+
=
AB.CB
CB AB
+

BD =
6.12
4
6 12
=
+
cm.
b,
B
ABD
ABC
B
1
h .AD
S
AD EB AB 6 1
2
1
S AC EC AB BC 6 12 3
h .AC
2


= = = = = =
+ +

c, S

ABC
=

1
2
h
A
.BC =
1
2
AB.sin60
0
.BC =
1
2
6.12.Sin60
0



31,17691454
(cm
2
)
C
B
A
E
K
H
D
60
0

60
0
_
/
\
E
D
A
C
B
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
S

ABD
=
ABC
1
S
3




10,39230485
(cm
2
)
Bài2
. Cho

ABC; AB = 4,71cm; BC = 6,26cm; AC = 7,62cm. Phân giác trong BD
a. Tính độ dài đờng cao BH, trung tuyến BM của góc B.
b. Tính diện tích

BHD.
Lời giải

a, +)
Tính độ dài đờng cao BH.
S

ABC
=
1
2
AC.BH =
( )( )( )

p p a p b p c



h = BH = 2
( )( )( )
.
AC

p p a p b p c

=
3,863279635
(cm)
+)
Tính độ dài đờng trung tuyến BM .
Theo định lý Pitago trong tam giác vuông HBC ta có:
BC
2
= HB
2
+ HC
2
= HB
2
+ (HM + MC)
2
= HB
2
+ (
AC
2
+ HM)
2

AB
2
= HB
2
+ HA
2

= HB
2
+ (MA - HM)
2
= HB
2
+ (
AC
2
- HM)
2



AB
2
+ BC
2
= 2HB
2
+
2
AC
2
+ 2HM
2
= 2(HB
2
+ HM
2

) +
2
AC
2
= 2BM
2
+
2
AC
2



BM =
2 2 2
AB BC AC
2 2 4
+ 4,021162767(cm)
b, Tính diện tích tam giác BHD
AH
2
= AB
2
- BH
2
= AB
2
-
2 2 2
AB BC AC

2 2 4
+ AH =
2 2 2
AB BC AC
2 2 4
+
Mặt khác. Do AD là tia phân giác
BA DA BA DA BA DA
BC DC BC BA DC DA BC BA AC
= = =
+ + +



DA =
AC.AB
BC BA
+


HD = DA - AH =
AC.AB
BC BA
+
-
2 2 2
AB BC AC
2 2 4
+

S

BHD
=
1
2
BH.HD =
( )( )( )
.
AC

p p a p b p c
.(
AC.AB
BC BA
+
-
2 2 2
AB BC AC
2 2 4
+
) 1,115296783 cm
2

Bài3. Tính diện tích

ABC biết AB = 18cm,

2 1
A B C
3 2
= =

Lời giải
áp dụng định lý về tổng ba góc trong một tam giác ta có:




0
A B C 180
+ + =
mà theo giả thiết


2 1
A B C
3 2
= =



0 0
9
A 180 A 40
2
= =

0 0
B 60 ,C 80
= =

Kẻ hai đờng cao BH và CD khi đó: BH = ABsinA và BC =
BH ABsin A
sin C sin C
=



S

ABC
=
1
2
AB.CD =
1
2
AB.BC.sinB =
2
AB sin Asin B
2sin C

91,57178586 (cm

2
)

* Bài tập áp dụng
Bài1. Tam giỏc ABC cú cnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm v ủng cao AH = h =
2,75cm. (Đề thi khu vực năm 2007)
D
M
B
A
C
H
18cm
H
C
A
B
D
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
a, Tớnh cỏc gúc A, B, C v cnh BC ca tam giỏc.
(B = 57
o
4744,78, C = 45
o
354,89, A= 76
o
3710,33)
b, Tớnh ủ di ca trung tuyn AM (M thuc BC)
c, Tớnh din tớch tam giỏc AHM.

(gúc tớnh ủn phỳt ; ủ di v din tớch ly kt qu vi 2 ch s phn thp phõn

Bài 2. Cho ABC có đờng cao AH = 12,341. Các đoạn thẳng BH = 4,183, CH = 6,748.
a. Tính diện tích tam giác
b. Tính góc A(độ, phút, giây)
Bài 3. Cho ABC có đờng cao AH = 21,431cm, các đoạn thẳng HB = 7,384cm, HC = 9,318cm
a, Tính các cạnh AB và AC (AB 22,66740428; AC 23,36905828
b, Tính diện tích ABC (S 178,9702810)
c, Tính góc A(độ, phút, giây) (

A
42
0
30'37")
Bài 4. Cho ABC có AB =1,05; BC = 2,08; AC = 2,33.
a, Tính diện tích ABC (S 1,0920)
b, Tính đờng cao BH ( 0,9383)
Bài 5. Cho ABC có BC =10, đờng cao AH = 8. Gọi I và O lần lợt là trung điểm của AH và BC.
Tính diện tích các tam giác IOA và IOC
Bài 6
.
Tam giỏc ABC cú cnh BC = 9,95 cm, gúc

0
114 43'12"
ABC =
, gúc

0
20 46'48"

BCA = . T A
v cỏc ủng cao AH, ủng phõn giỏc trong AD, phõn giỏc ngoi AE v ủng trung tuyn AM.
a) Tớnh ủ di ca cỏc cnh cũn li ca tam giỏc ABC v cỏc ủon thng AH, AD, AE, AM.
b)
Tớnh din tớch tam giỏc AEM.


III. Tam giác đều - Đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp

Bài1. Cho tam giác ABC đều cạnh a = 3,36cm .
a, Tính độ dài đờng cao, tính diện tích tam giác.
b. Tính bán kính đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều.
c, Tính miền diện tích tạo bởi (O;r) và ABC và miền diện tích tạo
bởi (O;R) và ABC
Lời giải
a. Gọi AH là đờng cao hạ từ A xuống cạnh BC
AH =
2
2 2 2
AB 3 3
AB BH AB AB a
2 2 2

= = =


2,909845357 (cm)
S

ABC

=
1
2
AH.BC =
1
2
.
3
a
2
.a =
2
3
a
4



4.888540199
(cm
2
)
b. Gọi O là giao của 3 đờng trung tuyến trong tam giác đều, R và r lần lợt là bán kính đờng tròn
ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC:
R = OA =
2 2 3 3
.AH . a a
3 3 2 3
= =

1,939896904
(cm)
r = OH =
1 1 3 3
.AH . a a
3 3 2 6
= =


0,969948452
(cm)
c, +) Gọi S
1
là phần diện tích giới hạn bởi (O;r) và ABC


S
1
= S

ABC
- S
(O; r)
=
2
3
a
4
-

r
2
=
2
3
a
4
-
2
1
a
12


6.82147003 (cm
2
)
+) S
2
là phần diện tích giới hạn bởi (O; R) va

ABC


S
2
= S
(O; R)
- S

ABC
=

R
2
-
2
3
a
4
=
2
1
a
3

-
2
3
a
4
= 2,045361075 (cm
2
)

r
R
O
A

H
B
C
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
Bài2. Tính diện tích tam giác đều nội tiếp và ngoại tiếp đờng tròn (O; R); với R = 4,25 cm
Lời giải
+) Tính diện tích



ABC đều ngoại tiếp đờng tròn(O; R)
Gọi ABC và A'B'C' lần lợt ngoại tiếp và nội tiếp đờng tròn (O; R)
Trong ABC ba trung tuyến AE, BM và CN cắt nhau tại O
OE = R =
1
AE
3
=
1 3 3
. BC BC
3 2 6
=

BC = 2
3R



S

ABC
=
1
2
AE.BC =
1
2
.3R.2
3R
=
2
3 3R


93,85550314 (cm
2
)

+)
Tính diện tích đều



A'B'C' nội tiếp (O; R)
S

A'B'C'
=
1

2
B'C'.h
A'
=
1
2
BC
2
.
AE
2
=
1
2
.
3R
.
3R
2
=
3 3
4
R
2


23,46387578 (cm
2
)
*

Chú ý: Ta có thể sử dụng công thức
: S

ABC
=
abc
4R
; S

A'B'C'
= pr

Bài3
. Cho ABC; BC = 8,571cm; AC= 6,318cm; AB = 7,624cm
a. Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC.
b. Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài ABC
Lời giải

a,
á
p dụng công thức Hêrông ta có: S

ABC
=
( )( )( )

p p a p b p c

S

23,28705703 (cm
2
)
Mặt khác: S =
abc abc
R
4R 4S
=
= 4,43220058 (cm)
b, Gọi S' là phần diện tích hình tròn nằm ngoài

ABC


S' =

R
2
-
( )( )( )

p p a p b p c
= 38,42765192 (cm
2
)
Quy trình ấn phím liên tục
:
8,571

SHIFT STO A
; 6,318
SHIFT STO B
;7,624
SHIFT STO C

ấn tiếp:
( ALPHA A ALPHA B ALPHA C ) 2 SHIFT STO D
+ + ữ

ấn tiếp:
( ALPHA D ( ALPHA D ALPHA A ) ( ALPHA D ALPHA B )



( ALPHA D ALPHA C ) ) SHIFT STO E

ta tìm đợc diện tích

ABC
ấn tiếp:
ALPHA A x ALPHA B x ALPHA C ( 4 ALPHA E ) SHIFT STO F
ữ
ta tìm đợc R
ấn tiếp:
2
SHIFT EXP x ALPHA F x ALPHA E
=
Kết quả tìm đợc S'
Bài4. T ủim M nm ngoi ủng trũn (O;R) k hai tip

tuyn MA, MB vi ủng trũn. Bit

AOB
= 120
0
v R = 4,23cm
a. Tính diện tích tứ giác AOBM
b. Tính diện tích miền trong tứ giác (phần màu trắng)
Lời giải
a, S
AOBM
= 2.S

AOM
= AO.AM = R. R.tg(AOM)
= R
2
.tg60
0


31,43256524 (cm
2
)
b, Gọi S' là diện tích phần mầu trắng nằm trong tứ giác AOBM.
Diện tích phần hình quạt nằm trong tứ giác AOBM là:
120.2 2
360 3

=

S' = R
2
tg60
0
-
2
3




29,33817013

(cm
2
)


Bài 5. a, Một tam giác có chu vi là 49,49cm, các cạnh tỷ lệ với 20:21:29. Tính bán kính đờng tròn
nội tiếp. ( r 4,242)
Lời giải
R
D
B
C
A
R

O
M
B
A
B
A
C
N
C'
B'
A'
M
E
O
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
Theo giả thiết ta có:
a b c a b c 49,49
20 21 29 20 21 29 70
+ +
= = = =
+ +

a = 14,14cm ; b = 14,847cm; c = 20,503cm
áp dụng công thức: r =
S (p a)(p b)(p c)
p p

= = 4,242 (cm)
Bài 6. Tính khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp của một ngôi sao 5 cánh, nội tiếp trong đờn

tròn bán kính R = 5,712cm
Lời giải
Ta phải tính độ dài đoạn thẳng AC. Kẻ OH AC tại H (AC) khi đó




0
0
1 1 1 1 360
OAH CAD . sđCD . 18
2 2 2 4 5
= = = =
AC = 2AH =2.(OA.cos18
0
) = 2.5,712.cos18
0
10,86486964 (cm)
Bài7: Cho tam giác ABC cân tại C;
k
AB
AC
= ( k

1)
Vẽ các phân giác CM, AN, BP. Chứng minh
2
1

+=
k
k
S
S
MNP
ABC

áp dụng tính S
ABC
biết S
MNP
là 2,3456 cm
2
và k = 1,2345
Lời giải

Gọi PN CM = H ; Đặt CM = h, MH =h
1
. áp dụng tính chất đờng phân giác
Ta có:
AC NC NC
k
CB NB NB

=

=

Mà ABC cân

PAB = NBA(g.c.g)


PA = NB

NP //AB

NP CM


HC
k
HM
=


1
1 1
h h h
k k 1
h h

= = +
(*)

Mặt khác
1 1
h h h
PN CH PN 1 k
1 1
AB CM h AB h k 1 k 1

= = = = =
+ +



AB k 1
PN k
+
=
(**)
Từ (*) và (**)


2
2
ABC
MNP 1
S
h.AB (k 1) 1
k
S h .NP k
k

+

= = = +


(đpcm)
áp dụng: S
MNP
là 2,3456 cm
2
và k = 1,2345

S

ABC

9,486883702 (cm
2
)
Bài8. Cho

ABC đều cạnh a. MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp tam giác. M, N thuộc BC, P và Q
tơng ứng thuộc AC và AB.
a, Xác định điều kiện để MNPQ có diện tích lớn nhất.
b, Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật MNPQ trong trờng hợp: a = 18,17394273
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của A xuống cạnh BC, K là giao điểm của AH với PQ
Đặt AK= x; PQ = y. AH = h; Ta có S
ABC

= S
AQP
+ S
BQPC




ah
2
=
xy
2
+
(y a)(h x)
2
+


ah = xy + yh - xy + ah - ax


yh = ax

y =
ax
h
. Vậy S
MNPQ
= = y.(h - x) = (h - x).

ax
h

=
a
h
x(h - x) mà x(h - x) lớn nhất khi x = h - x

x =
h
2

a, MNPQ có diện tích lớn nhất khi P, Q là trung điểm của AC và AB
b, max S
MNPQ
=
a
h
x(h - x) =
2
ah a 3
4 8
=


71,51035775
(đvdt)

Bài9
. Cho đờng tròn tâm O đờng kính AC, B là một điểm nằm trên đờng tròn, H là hình chiếu

của B lên AC
D
C
B
A
O
E
H
/
/
H
G
P
N
M
A B
C
x
K
H
A
B
C
Q P
NM
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
a, Xác định vị trí của B để diện tích tam giác OBH lớn nhất
b, áp dụng tính khi R = 1,94358198 (cm)
Lời giải

Đặt BH = h, AH = x (0 < x

R, 0 < h

R)
Tacó: h
2
= AH.HB = x(2R- x) h =
x(2R x)


S
OBH
=
OH.HB (R x). x(2R x)
2 2

=
Mặt khác: (R - x)
x(2R x)

lớn nhất khi R - x =
x(2R x)



(R - x)
2
= 2Rx - x
2

2(R - x)
2
= R
2


R - x =
R
2


OH =
R
2


h =
2 2
OB OH
=
R
2
BOH cân tại H
a, Nếu B cách AC một khoảng
R
2
thì S
OBH
đạt giá trị lớn nhất
b, Max S

OBH
=
2
HO.HB 1 R R R
. .
2 2 4
2 2
= =
0,944377728 (cm
2
)

Bài10. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2008
trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho AP = 1004.
Qua P kẻ cát tuyến PCD (C nằm giữa P và D)
sao cho CD =
1004 2

a, Tính độ dài đoạn thẳng PC và PD

b, Tính độ dài các đoạn thẳng CA, AD, BD
Lời giải
a, Vì PBC

PDA (g.g)
PB PC
PD PA
=

PA.PB = PC.PD

1004.2008 = PC(PC + 1004
2
)
PC
2
+ 1004
2
PC - 2016032 = 0

PC = - 502
2
+
2520040


877,5281771


PD

PC + CD = - 502
2
+
2520040
+ 1004
2
= 502
2
+

2520040


2297,398597
b, Ta tính đờng trung tuyến DA trong

PDO. Ta có:

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
PD DH PH DH (PA AH) (AH AO)
OD DH OH DH (AH AO)

= + = + + = +


= + = +



PD
2
+ OD
2
=2DH
2
+ 2AH
2
+ 2AO
2

PD
2
- AO
2
= 2(DH
2
+ AH
2
)

2AD
2
= PD
2
- AO
2



2 2
PD PA
AD
2

=

1461,168077
Gán: 502
2
+
2520040

SHIFT STO A
; 1004
SHIFT STO B
sau đó tính AD


DB =
2 2
AB AD

=
2 2 2 2
2
PD PA 9PA PD
4PA
2 2

=


1377,335054
Ta thấy:

PAC

~


PDB


2 2
PA AC PA.DB PA 9PA PD
AC .
PD DB PD PD 2

= = =

601,9174896

*
Bài tập áp dụng
:
Bài1
. Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp là 9,651cm. Tính bán
kính đờng tròn ngoại tiếp(qua 5 đỉnh)

Bài2
. Cho một tam giác nội tiếp một đờng tròn. Các đỉnh của tam giác chia đờng tròn thành ba
cung có độ dài tỉ lệ 3:4:5. Tính diện tích tam giác đó

Bài 3
. Cho

ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, phân giác trong của góc A lần lợt cắt cạnh BC tại D và

E. Giả sử AD = AE
Hy tính AB
2
+ AC
2
theo R
h
x
O
C
A
B
H
H
D
BO
P
A
C
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
IV. Tính cạnh, diện tích hình thang, hình chữ nhật, hình bình hành.

Bài1. Biết diện tích hình thang vuông ABCD là 9,92cm
2
. AB = 2,25cm;

ABD
= 50
0

. Tính độ dài các
cạnh AD, DC, BC và số đo các góc ABC và BCD.
Lời giải

+) AD = AB.tg50
0
= 2,25.tg50
0
2,681445583(cm).
+) S =
0
AB DC 2S 2S
.AD CD AB AB
2 AD ABtg50
+
= =

CD 5,148994081(cm)
+) BC =
2
2 2 2 2 0
0
2S
AD (DC AB) AB tg 50 2AB
ABtg50

+ = +

3,948964054
(cm)
+) tgC =
0
0
ABtg50
2S
2AB
ABtg50



0,924957246

C

42
0
46'3,02"


CBD
= 180
0
- 50
0
- 42
0
46'3,02" = 87

0
13
'
56,98"

Bài 2
. Cho hình thang cân có hai đờng chéo vuông góc với nhau nhau. Hai đáy có độ dài 15,34cm
và 24,35cm.
a. Tính độ dài cạnh bên của hình thang.
b. Tính diện tích hình thang.
Lời giải


a, Gọi K,H lần lợt là trung điểm của AB và CD, O = AC

BD
Vì ABCD là hình thang cân OAB cân tại O
OB =OA =
AB
2
, Tơng tự OC = OD =
CD
2

AD = BC =
2 2
2 2
AB CD
OB OC
2

+
+ = 20,34991523 (cm)
b, Vì AC BD

S
ABCD
=
1
2
AC.BD =
1
2
AC
2
=
1
2
(OA + OC)
2
=
1
4
(AB
2
+ CD
2
)


207,059525

(cm
2
)
Bài 3
. Cho hình thang vuông ABCD nh hình vẽ:
a. Tính chu vi hình thang ABCD (54,68068285)
b. Tính diện tích hình thang ABCD (166,4328443)
c. Tính các góc còn lại của

ADC
Lời giải

a, Kẻ AE

CD

DE = AE.tg(DAE) = BC.tg33
0



DC = DE + EC = BC.tg33
0
+ AB
Mặt khác: AD =
0 0
AE BC
sin 57 sin57
=

C
ABCD
= AB + BC + CD + DA = 2.12,35 + 10,55 + 10,55tg33
0
+
0
10,55
sin 57

54,68068285 (cm)
b, S
ABCD
=
AB DC AB AB DE
.BC .BC
2 2
+ + +
= =
0 0
2AB BCtg33 2.12,35 10,55tg33
.BC .10,55
2 2
+ +
=


166,4328443 (cm
2
)

c,
AB 12,35
tg(CAE)
BC 10,55
= =



CAE
= 49
0
19'39,69"



DAC
= 82
0
19'36,69"
50
0
2,25cm
A
D
C
B
O
A B
D
C

57
0
12,35cm
10,55cm
A B
C
D
E
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
tg(ACE) =
BC 10,55
AB 12,35
=

ACE
= 40
0
30'20,31"
Bài 4. Cho hỡnh thang ABCD(AD//BC) cú 2 ủng chộo ct nhau ti O.Hai tam giỏc AOD v BOC
cú din tớch ln lt l
3;2
.Tớnh din tớch hỡnh thang ABCD.
Lời giải
Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc và cắt AD tại E, cắt BC tại F.

2
OAD
2
OBC

S
OE.AD OE
S OF.BC OF
= =
OE 2
OF 3
= = k OE = kOF
Đặt S

AOD
= S
1
; S

BOC
= S
2
; EF = h
S
ABCD
= S
1
+ S

ODC
+ S
2
+ S

OAB

= S
1
+ (S

CAD
- S
1
) + S
2
+ (S

BAD
- S
1
)
= S
2
- S
1
+ S

BAD
+ S

CAD
= S
2
- S
1

+
h.AD h.AD
2 2
+
= S
2
- S
1
+ h.AD
= S
2
- S
1
+ (OE + OF)AD = S
2
- S
1
+ (OE +
OE
k
)AD = S
2
- S
1
+
1
2S
+
1
2S

k

= S
2
+ S
1
+ 2.
3
2
S
1
=
3
3 2 2 . 2
2
+ +

=
3 2 2 3 . 2
+ +
=
2
3 2

+


=5,007347938 (đvdt)
Bài5. Một hình thoi có cạnh bằng 24,13cm, khoảng cách giữa hai cạnh là 12,25cm
a. Tính các góc của hình thoi(độ, phút giây) (

A
30
0
30'30,75";

B
149
0
19'29,2")
b, Tính diện tích của hình tròn (O) nội tiếp hình thoi( chính xác đến 4 chữ số thập phân) (S
194,9369057)
Lời giải
Kẻ BE

CD (E

CD)
a, SinC =
BE 12,25
BC 24,13
=



C A
=
=30
0
30'30,75"

B D
=
= 180
0
-

C
= 149
0
29'29,2"
b, Từ O kẻ OF

CD OF là bán kính đờng tròn nội tiếp hình thoi
Dễ thấy OF =
BE
2
(tính chất đờng trung bình trong tam giác)
S
(O)
=

(OF)
2
=

2
BE

4
= 117,8588119 (cm
2
)
Bài6. Cho đờng tròn tâm
O
, bán kính
11,25
R cm
=
. Trên đờng tròn đ cho, đặt các cung
90 , 120
o o
AB BC= =
sao cho
A
và
C
nằm cùng một phía đối với
BO
.
a) Tính các cạnh và đờng cao
AH
của tam giác
ABC
.
b) Tính diện tích tam giác
ABC
(chính xác đến 0,01).
Lời giải

a) Theo hình vẽ:
sđ

AC
= sđ

BC
- sđ

AB
= 120
0
- 90
0
= 30
0
.
Tính các góc nội tiếp ta đợc:

ABC
= 15
0
;

ACB
= 45
0
.
Suy ra:

BAC
= 120
0
;

CAH
= 45
0
;

BAH
= 75
0
.
Ta có:
2
AB R=
;
3
BC R=
.
Vì

AHC vuông cân, nên
AH HC
=
(đặt
AH x
=
).

F
E
O
A
D
C
B
F
E
D
O
A
C
B
O
A
B
C
H
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
Theo định lí Pitago ta có:
2 2 2
AH AB HB
=
. Do đó:
(
)
(
)

2 2
2
3 2
x R x R+ =
hay
2 2
2 2 3 0
x R x R
+ =
. Suy
ra:
1
3
2
R R
x

=
;
2
3
2
R R
x
+
=
.
Vì
AH AC R
< <

, nên nghiệm
2
3
2
R R
x
+
=
bị loại. Suy ra:
( 3 1)
2
2
R
AC AH

= =
.
Gọi diện tích
ABC

là
S
, ta có:

2
1 1 3 (3 3)
3
2 2 2 4
R R R
S AH BC R

= = =
.
ấn phím: 11.25
Min
ì
2
=
MODE
7
2
(15.91) Vậy
15,91
AB cm

.
ấn tiếp phím:
MR
ì
3
=
Kết quả:19.49 Vậy:
19,49
BC cm

.
ấn phím:
MR
ì
[(

3

1
=
ữ
2
=
(5.82) Vậy
5,82
AC cm

.
ấn tiếp phím:
MR
ì
[(
3

1
=
ữ
2
=
(4.12) Vậy:
4,12
AH cm

.
ấn tiếp phím:
MR

SHIFT
2
x
ì
[(
3

3
=
ữ
4
=

Kết quả:
2
40,12
S cm

.
Bài7. (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toán toàn nớc Mỹ, 1972)
Cho hình vuông
ABCD
cạnh bằng 12. Vẽ đoạn

AE
với
E
là điểm trên cạnh

CD

và
5
DE cm
=
.
Trung trực của
AE
cắt
,
AE AD
và
BC
tại
,
M P
và
Q
. Tỷ số độ dài đoạn
PM
và
MQ
là:
(A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21.
Lời giải
Vẽ RS qua M song song với cạnh AB,CD. Ta có:
MP MR
MQ MS
=
.
Vì RM là đờng trung bình của tam giác ADE nên

2
DE
MR =
.
Mà:
MS RS MR
=
. Vậy:
2
2
DE
MP MR
DE
MQ MS
RS
= =

.
áp dụng bằng số với
5 , 12
DE cm RS cm
= =
:
5
/
b c
a
2
=
Min

ữ
[(
12

MR
=
(
5
19
) Đáp số (C) là đúng.
Chú ý: Nếu không sử dụng phân số (5
/
b c
a
2) mà dùng (5
ữ
2) thì máy sẽ cho đáp số dới dạng số
thập phân.
Hy tính: 5
ữ
2
=
Min
ữ
[(
12

MR
(0.2631579)
So sánh: 5

/
b c
a
19
SHIFT
/
b c
a
/
b c
a
Kết quả: 0.2631579
Nh vậy, hai kết quả nh nhau, nhng một kết quả đợc thực hiện dới dạng phân số (khi khai báo
5
/
b c
a
2), còn một kết quả đợc thực hiện dới dạng số thập phân (khi khai báo 5
ữ
2).
Bài 8. Trên đờng tròn tâm O, bán kính
15,25
R cm
=
, ngời ta đặt các cung liên tiếp:

AB
= 60
0
,

BC
= 90
0
,

CD
= 120
0
.
a) Tứ giác
ABCD
là hình gì?
b) Chứng minh AC

BD.
c) Tính các cạnh và đờng chéo của
ABCD
theo
R
chính xác đến 0,01.
d) Tính diện tích tứ giác
ABCD
.
Lời giải
a) sđ

AD
= 360
0

- (sđ

AB
+sđ

BC
+sđ

CD
)
R

S
A
B
Q
E
D
P
M
C
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
= 360
0
- (60
0
+ 90
0
+ 120

0
) = 90
0
.
Suy ra:

AD
=

BC
,

ABD
=

BDC
= 45
0
(vì cùng bằng
0
90
2
).
Từ đó ta có:
//
AB CD
. Vậy
ABCD
là hình thang.
Mặt khác,

ADB
=

BCD
(cùng bằng
0 0
60 +90
2
).
Vậy
ABCD
là hình thang cân (đpcm).
b) Vì

ABD
=

BAC
= 45
0
(vì cùng bằng
0
90
2
).
Suy ra

AEB
= 90

0
, vậy
AC BD

(đpcm).
c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác đều nội tiếp trong đờng tròn bán kính
R
, ta
có:
AB R
=
;
2
AD BC R= =
;
3
DC R=
.
Các tam giác
,
AEB CED
vuông cân, suy ra
2
AB
AE =
,
2
CD
CE =
.

Vậy:
2
R
AE =
,
3
2
R
CE =
. Suy ra
3 (1 3)
2 2
R R R
AC AE EC
+ +
= + = =
.
d)
2 2 2 2
2 2
1 1 1 (1 3) (1 3) (1 3)
[ ]
2 2 2 2 4 2
ABCD
R R R
S AC DB AC
+ + +
= = = = =
.
Tính:

MR
ì
[(
1
+
3
=
ữ
2
=
SHIFT
2
x
MODE
7
2
(433.97).
Vậy
433,97
ABCD
S
cm
2
.
ấn tiếp: 15.25
Min
ì
2
=
Kết quả: 21.57

Vậy
21,57
AD BC
=
cm.
ấn tiếp phím:
MR
ì
3
=
(26.41) Vậy:
26,41
CD cm

.
ấn tiếp phím:
MR
ì
[(
1
+
3
=
ữ
2
=
(29.46)
Vậy
29,46
AC BD cm

=
.
Bài tập áp dụng.

Bài1. Cho hình thang cân có hai đờng chéo vuông góc với nhau, đáy nhỏ dài15,34cm, cạnh bên dài
20,35cm. Tính độ dài đáy lớn.
Bài2. Cho hình thang cân có hai đờng chéo vuông góc với nhau. Đáy nhỏ dài 13,724 cạnh bên dài
21,876. Tính diện tích hình thang
Bài3. Một hình thoi có chu vi là 37,12cm. Tỉ số giữa hai đờng chéo là 2:3. Tính diện tích của hình
thoi (S 79,4939)
Bài4. Cho hình thang vuông ABCD(AB CD), F là điểm chính giữa của CD, AF cắt BC tại E. Biết
AD = 1,482; BC = 2,7182; AB = 2. Tính diện tích BEF
Bài5. Cho hình cân ABCD có hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H. Biết đáy nhỏ AB
= 3 và cạnh bên AD = 6.
a, Tính diện tích hình thang ABCD
b, Gọi M là trung điểm của CD. Tính diện tích AHM
Bài6 Cho hình thang ABCD(AB//CD), có đờng chéo BD hợp với cạnh bên BC một góc bằng góc
DAB (xem hình) Biết. AB = 12,25; DC = 28,5
a, Tính độ dài đờng chéo BD
b, Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD và BDC (chính xác đến 6 chữ số thập phân)
Bài7
. Cho hình thang vuôn ABCD có

BCD
= 65
0
ngoại tiếp đờng tròn tâm O bàn kính R = 3,25.
a, Tính các cạnh của hình thang ABCD
b, Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hình thang ABCD và (O)

A
B

C
D
E
60
120
90
C'

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
IV. diện tích hình quạt, viên phân - đa giác cong.
*) Lý thuyết: Đa giác, hình tròn:
1, Đa giác đều n cạnh, độ dài cạnh là a:
+ Góc ở tâm:
2
n


=
(rad), hoặc:
360
o
a
n
=
(độ)
+ Góc ở đỉnh:

2
A
n
n


=
(rad), hoặc

2
A .180
n
n

=
(độ)
+ Diện tích:
cot
4 2
na
S g

=

2. Hình tròn và các phần hình tròn:
+ Hình tròn bán kính R:
- Chu vi: C = 2R
- Diện tích: S = R
2

+ Hình vành khăn:
- Diện tích: S = (R
2
- r
2
) = (2r + d)d
+ Hình quạt:
- Độ dài cung: l = R ; (: rad)
- Diện tích:
2
1
2
S R

= (: rad)
2
360
R a

= (a: độ)
*) Phần bài tập.
Bài1. Ba đờng tròn có cùng bán kính R = 3 cm đôi một tiêp xúc ngoài (Hình vẽ)
Tính diện tích phần xen giữa ba đờng tròn đó ?
Lời giải
S
gạch xọc
=
1 2 3
O O O

S

- 3 S
quạt
. Tam giác O
1
O
2
O
3
đều, cạnh bằng 3 nên:
1 2 3
1
6.3. 3 9 3
2

= =
O O O
S
S
quạt
=
2
.9.60 3
360 360 2
R a

= =
S
gạch xọc

=
1 2 3
O O O
S

- 3 S
quạt
=
9 18 3 9
9 3 1,451290327
2 2


=

Bài2: Tính diện tích phần đợc tô đậm trong hình tròn đơn vị (R = 1cm)
Lời giải
Gọi O
1
, O
2
, O
3
là tâm của 3 đờng tròn bên trong đờng tròn đơn vị, gọi a
là độ dài bán kính của 3 đờng tròn đó, O là tâm đờng tròn đơn vị
O là trọng tâm

O
1
O

2
O
3
đều OO
1
= OO
2
=OO
3
=
2a 3
3

Mặt khác O là tâm đờng tròn đơn vị
a +
2a 3
3
= 1

a =
3
2 3
+


gạchxọc
S = S
(O)
- 3 S
quạt lớn

-
1 2 3
O O O
S


=


.1
2
- 3
.300
360

2
3
2 3



+

-
3
2
3
2 3

+


=

. -
5 .
2

2
3
2 3



+

-
3
2
3
2 3



+

0,646073543
(cm)

Lu ý
: Nếu các đờng tròn O
1
, O
2
, O
3
đều có bán kính bằng 1 đờng tròn lớn có bán kính
3 2 3
3
+

gạchxọc
S = S
(O)
- 3 S
quạt lớn
-
1 2 3
O O O
S

=

2
3 2 3
3

+



- 3
5
6

-
3
= 4,999547847
Bài3:
Tính tỷ lệ diện tích của phần đợc tô đậm và diện tích phần còn lại trong hình tròn đơn vị.

O
2


O
3


O
1

.
O

R

r
d

R

.
O

a

A



O

O
2
O
1
O
3
a
R
O
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
Lời giải
Ta có:

0 0
AOB 360 :5 72
= =

MON
= 36
0
và

OAH
= 18
0

OH = ON = OA.sin18
0
= 1.sin18
0
NA = 1 - ON = 1 - sin18
0

\ NM = AN.tg18
0
=(1 - sin18
0
)tg18
0

S

AMK
= AN.MN

= (1 - sin18
0
)(1- sin18
0
)tg18
0
=
(1- sin18
0
)
2
tg18
0

\ S
MNOH
= ON.NM = sin18
0
(1- sin18
0
)tg80
0


\ S
(O,OM
) =

(ON
2
+ NM
2
) =

( sin
2
180 +(1 - sin18
0
)
2
tg
2
18)


Diện tích hình quạt AMB là: S
1
=
2
R
5

- S

AMK
- S
MNOH

S
1
=
5

- (1- sin18
0
)
2
tg18
0
- sin18
0
(1- sin18
0
)tg18
0

*) Diện tích phần mầu trắng là:
S =5S
1
+ S
(O,OM)
=

- 5(1- sin18
0
)
2

tg18
0
- 5sin18
0
(1- sin18
0
)tg18
0

+

( sin
2
180 +(1 - sin18
0
)
2
tg
2
18
0
)
*) Diện tích phần mầu đen là:
S' =

1
2
- 5S
1
- S

(O,OM)
= 5(1- sin18
0
)
2
tg18
0
+ 5sin18
0
(1- sin18
0
)tg18
0

-

[sin
2
18
0
+(1 - sin18
0
)
2
tg
2
18
0
]

S '
S
= 0,268113538
Bài4
. Cho đờng tròn tâm
O
, bán kính
3,15
R cm
=
. Từ một điểm
A
ở ngoài đờng tròn vẽ hai tiếp
tuyến
AB
và
AC
(
B
,
C
là hai tiếp điểm thuộc (
O
)).
Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung tròn nhỏ
BC

biết rằng

7,85
AO a cm
= =
(chính xác đến 0,01 cm).
Giải
: Ta có:
3,15
cos
7,85
OB R
OA a

= = =
.

2 . .sin
ABOC AOB
S S a R

= =
;

S
quạt OBC

2 2
.2
360 180
R R

= =
.

S
gạch xọc
=
S
ABOC
-
S
quạt OBC

2
sin
180
R
aR


=
.
Tính trên máy
: 3.15
ữ
7.85
=
SHIFT
-1
cos
SHIFT

,,,


Min
sin
ì

7.85
ì
3.15

SHIFT

ì
3.15
SHIFT
2
x
ì
MR
ữ
180
=
(11.16)
Đáp số
:
S
gạch xọc
= 11,16 cm
2

.
Bài5
. Tính diện tích hình có 4 cạnh cong(hình gạch sọc)
theo cạnh hình vuông a = 5,35 chính xác đến 0,0001cm.
Giải
: Diện tích hình gạch xọc
MNPQ

(S
MNPQ
) bằng diện tích hình vuông

ABCD
(S
ABCD
) trừ đi 4 lần diện tích của
1
4
hình tròn bán kính
2
a
R
=
.
MNPQ
S
=
2
2
4

4
R
a


2
2
4
a
a

=
2
(4 )
4
a


=
2
5,35 (4 )
4


=
.
ấn phím
: 5.35
SHIFT
2

x
ì
[(
4


=
ữ
4
=
MODE
7
2
(6.14)
Kết luận
:
MNPQ
S

6,142441068cm
2
.
Bài6
. Tính diện tích phần hình phẳng (phần gạch xọc) giới hạn bởi các cung tròn và các cạnh của
tam giác đều
ABC
(xem hình vẽ),
biết:
5,75
AB BC CA a cm

= = = =
.
O
B


A

C

A

N
B
P
C
Q
D
M
K
H
M
N
D
E
B
C
O
A
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
Giải:
2 2 3
3 3 2
a
R OA OI IA AH= = = = =
.
Suy ra:
3
3
a
R =
và

0
60
AOI =
.
Diện tích hình gạch xọc bằng diện tích tam giác
ABC
trừ diện tích hình hoa 3 lá
(gồm 6 hình viên phân có bán kính
R
và góc ở tâm bằng 60
0
).

2
3
4

ABC
a
S

=
;
1
2
2 2
3 3 3 3
4 3 4 12
O AI
R a a
S


= = =



.
Diện tích một viên phân:
2 2 2 2
3 3 (2 3 3)
6 4 2 3 2 12
R R R R



= =

.
Tính theo a, diện tích một viên phân bằng:
2
(2 3 3)
36
a


;

S
gạch xọc
2 2 2
3 (2 3 3) (9 3 4 )
6
4 36 12
a a a


= =
;

S
gạch xọc
2
5,75 (9 3 4 )
12

=
.
Bấm tiếp: 5,75
SHIFT
2
x
ì
[(
9
ì
3

4
ì
SHIFT

)]
ữ
12
=

Kết quả:
S
gạch xọc


8,33 cm
2

.
Bài7. Viên gạch cạnh
30
a cm
=
có hoa văn nh hình vẽ .
a) Tính diện tích phần gạch xọc của hình
đ cho, chính xác đến 0,01 cm.
b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích phần
gạch xọc và diện tích viên gạch.
Giải: a) Gọi
R
là bán kính hình tròn.
Diện tích
S
một hình viên phân bằng:

( ) ( )
2 2 2 2
2 2
4 2 4 16
R R R a
S


= = =
.
Vậy diện tích hình gồm 8 viên phân bằng
( )
2

2
2
a


.
Diện tích phần gạch xọc bằng:
(
)
(
)
2 2
2
2 4
2 2
a a
a


=
.
Tính trên máy: 30
SHIFT
2
x
Min
ì
[(
4

SHIFT

)]
ữ
2
=

MODE
7
2
(386.28) Vậy
S
gạch xọc


386,28 cm
2
.
ấn phím tiếp:
ữ
MR
SHIFT
%
(42.92)
Tỉ số của diện tích phần gạch xọc và diện tích viên gạch là 42,92%.
Đáp số: 386,28 cm
2
; 42,92 %.
Bài8. Nhân dịp kỷ niệm 990 năm Thăng Long, ngời ta cho lát lại đờng ven hồ Hoàn Kiếm bằng
các viên gạch hình lục giác đều. Dới đây là viên gạch lục giác đều có 2 mầu (các hình tròn cùng một

mầu, phần còn lại là mầu khác).
Hy tính diện tích phần gạch cùng mầu và tỉ số diện tích giữa hai phần đó,
biết rằng
15
AB a cm
= =
.
Giải: Bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác đều
là:
1 a 3 a 3
3 2 6
R = =
. Diện tích mỗi hình tròn là:
2
2
12
a
R


=

Diện tích 6 hình tròn là:
2
2
a

.
Tính trên máy: 15
SHIFT

2
x
ì

ữ
2
=
Min
(353.4291)
A
C

B
H

I
D
M
A
Q
C

P
N
B

A
B

F

O

Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
Diện tích toàn bộ viên gạch là:
2 2
3 3 3
6
4 2
a a
=
.
Diện tích phần gạch xọc là:
2 2
3 3
2 2
a a


.
Bấm tiếp phím: 3
ì
15
SHIFT
2
x
ì
3
ữ
=

MR
=
(231.13797)
ấn tiếp phím:
ữ
MR
SHIFT
%
Kết quả: 65.40
Đáp số: 353,42 cm
2
(6 hình tròn); 231,14 cm
2
(phần gạch xọc); 65,40 %
Bài9. Viên gạch hình lục giác đều ABCDEF có hoa văn hình sao nh hình vẽ, trong đó các đỉnh hình
sao
, , , , ,
M N P Q R S
là trung điểm các cạnh của lục giác.
Viên gạch đợc tô bằng hai mầu (mầu của
hình sao và mầu của phần còn lại).
Biết rằng cạnh của lục giác đều là a = 16,5 cm.
+ Tính diện tích mỗi phần (chính xác đến 0,01).
+ Tính tỉ số phần trăm giữa hai diện tích đó.
Giải: Diện tích lục giác
ABCDEF
bằng: S
1
=6

2
a 3
4

=
2
3a 3
2
.
Lục giác nhỏ có cạnh là
a
2
b
=
, 6 cánh sao là các tam giác đều cũng có cạnh là
a
2
b
=
. Từ đó suy ra:
diện tích lục giác đều cạnh
b
là S
2
bằng: S
2
=
2
3b 3
2

=
2
3a 3
8
, diện tích 6 tam giác đều cạnh
b
là S
3
:
S
3
=
2
3a 3
8
.
Tính trên máy: 3
ì
16.5
SHIFT
2
x
ì
3
ữ
8
ì
2
=
MODE

7
2
(353.66)
Min

ấn tiếp phím: 3
ì
16,5
SHIFT
2
x
ì
3
ữ
2
=

MR
=
(353.66)
ấn tiếp phím:
ữ
MR
SHIFT
%
Kết quả: 100.
Vậy diện tích hai phần bằng nhau.
Lời bình: Có thể chứng minh mỗi phần có 12 tam giác đều bằng nhau, do đó diện tích hai phần bằng
nhau. Từ đó chỉ cần tính diện tích lục giác đều và chia đôi.
Bài10. Cho lục giác đều cấp 1

ABCDEF
có cạnh
36
AB a mm
= =
. Từ các trung điểm của mỗi cạnh
dựng một lục giác đều
' ' ' ' ' '
A B C D E F
và hình sao 6 cánh cũng có đỉnh là các trung điểm
', ', ', ', ', '
A B C D E F
(xem hình vẽ). Phần trung tâm của hình sao là lục giác đều cấp 2
MNPQRS
.Với
lục giác này ta lại làm tơng tự
nh đối với lục giác ban đầu
ABCDEF
và đợc
hình sao mới và lục giác đều cấp 3. Đối với
lục giác cấp 3, ta lại làm tơng tự nh trên
và đợc lục giác đều cấp 4. Đến đây ta dừng lại.
Các cánh hình sao cùng đợc tô bằng một mầu
(gạch xọc), còn các hình thoi trong hình chia thành
2 tam giác và tô bằng hai mầu: mầu gạch xọc và mầu "trắng". Riêng lục giác đều cấp 4 cũng đợc tô
mầu trắng.
a) Tính diện tích phần đợc tô bằng mầu "trắng" theo a.
b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích phần "trắng" và diện tích hình lục giác ban đầu.
Giải: a) Chia lục giác thành 6 tam giác đều có cạnh là a bằng 3 đờng chéo đi qua 2 đỉnh đối xứng qua
tâm, từ đó ta có S = 6

2
3
4
a

=
2
3 3
2
a
.Chia lục giác
ABCDEF
thành 24 tam giác đều có cạnh bằng
a
2
.
F
A
D
O
C
B
R
M
N
P
Q
S

E

E
'
D'
D
C'

F
F'
A

B'
A'
B
S

M
N
P
Q
R
c
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
Mỗi tam giác đều cạnh
a
2
có diện tích bằng diện tích tam giác "trắng"
' '
A NB

(xem hình vẽ). Suy ra
diện tích 6 tam giác trắng vòng ngoài bằng
6 1
24 4
=
diện tích lục giác cấp 1
ABCDEF
.
Vậy diện tích 6 tam giác trắng vòng ngoài là:
2
1 3 3
4 2
a

. (1)
b) Tơng tự với cách tính trên ta có:
2
a
MN b
= =
;
2
b
c
=
.
Diện tích 6 tam giác trắng của lục giác cấp 2
MNPQRS
là:
2

1 3 3
4 2
b

. (2)
Diện tích 6 tam giác trắng của lục giác cấp 3 là:
2
1 3 3
4 2
c

. (3)
Diện tích lục giác trắng trong cùng bằng (với
2
c
d
=
):
2
3 3
2
d
. (4)
Tóm lại ta có:
S
1
=
2
1 3 3
4 2

a

=
2
3
3 3
2
a
; S
2
=
1
4
2
3 3
2
b

=
1
4
2
2
3 3
2 2
a


=
2

5
3 3
2
a
;
S
3
=
1
4
2
3 3
2
c

=
1
4
2
2
3 3
2 4
a


=
2
7
3 3
2

a
; S
4
=
2
3 3
2
d
=
2
2
3 3
2 8
a

=
2
7
3 3
2
a
.
S
trắng
=S
1
+S
2
+S
3

+S
4
=
2
3 3
a
(
3 5 7
1 1 2
2 2 2
+ +
)=
2
3 3
2
a
4 2
6
2 2 2
2
+ +
.
ấn phím: 3
ì
36
SHIFT
2
x
ì
3

ữ
2
=
MODE
7
2
(3367.11)
Min

Vậy S
ABCDEF
= 3367,11 mm
2
.
ấn tiếp phím: 2
SHIFT
y
x
4
+
2
SHIFT
x
+
2
=
ữ
2
SHIFT

y
x
6
ì
MR
=
(1157.44) Vậy S
trắng


1157,44 mm
2
.
ấn tiếp phím:
ữ
MR
SHIFT
%
(34.38). Vậy
trang
ABCDEF
S
S


34,38%.
Đáp số: 1157,44 mm
2
và 34,38%.
Bài11. Cho hình vuông cấp một

ABCD
với độ dài cạnh là
40
AB a cm
= =
. Lấy
, , ,
A B C D
làm tâm, thứ tự vẽ các cung tròn bán kính bằng a, bốn cung tròn cắt nhau tại
, , ,
M N P Q
.
Tứ giác
MNPQ
cũng là hình vuông, gọi là hình vuông cấp 2. Tơng tự nh trên, lấy
, , ,
M N P Q
làm
tâm vẽ các cung tròn
bán kính
MN
, đợc 4 giao điểm
, , ,
E F G H

là hình vuông cấp 3. Tơng tự làm tiếp đợc
hình vuông cấp 4
XYZT
thì dừng lại (xem hình vẽ).

a) Tính diện tích phần hình không bị
tô mầu (phần để trắng theo a).
b) Tìm tỉ số phần trăm giữa hai diện tích tô mầu và không tô mầu.
Giải: a) Tính diện tích 4 cánh hoa trắng cấp 1 (bằng 4 viên phân trừ đi 2 lần diện tích hình vuông
cấp 2).
S
1
=
2 2
2
a a
4 - 2
4 2
b


(
b
là cạnh hình vuông cấp 2).
Tơng tự, tính diện tích 4 cánh hoa trắng cấp 2 và cấp 3:

2 2
2
2
4( - ) 2
4 2
b b
S c

=

(
c
là cạnh hình vuông cấp 3).

2 2
2
3
( - ) 2
4 2
c c
S d

=
(
d
là cạnh hình vuông cấp 4).
Rút gọn: S
1
= a
2
(

- 2) - 2b
2
; S
2
= b
2
(

- 2) - 2c
2
; S
3
= c
2
(

- 2) - 2d
2
;
S
trắng
=S
1
+S
2
+S
3
=

(a
2
+ b
2
+ c
2
)-4(b
2
+ c

2
)-2 (a
2
+ d
2
).
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
b) Ta có:

MCQ
= 30
0
; b = QM = 2MK = 2a.sin15
0
= a(2sin15
0
).
Tơng tự: c = 2b.sin15
0
= a(2sin15
0
)
2
; d = 2c.sin15
0
= a(2sin15
0
)
3

.
Ký hiệu x = 2sin15
0
, ta có: b = a.x; c = ax
2
; d = ax
3
.
Thay vào công thức tính diện tích S
trắng
ta đợc:
S
trắng
=

(a
2
+ a
2
x
2
+ a
2
x
4
) - 4(a
2
x
2
+ a

2
x
4
) - 2(a
2
+ a
2
x
6
)
=
2
a

(1 + x
2
+ x
4
) - 4a
2
(x
2
+ x
4
) - 2a
2
(1 + x
6
)
ấn phím: 15

o,,,
sin
ì
2
=
Min
SHIFT
y
x
4
+
MR
SHIFT
2
x


+
1
=
ì
SHIFT

ì
40
SHIFT
2
x

4

ì
40
SHIFT
2
x
ì


[(
MR
SHIFT
2
x
+
MR
SHIFT
y
x
4
)]

2
ì
40
SHIFT
2
x
ì

[(
1
+
MR
SHIFT
y
x
6
=
MODE
7
2
(1298.36)
Min

Vậy S
trắng


1298,36 cm
2
.
Bấm tiếp phím: 40
SHIFT
2
x

MR
=
(301.64) Vậy S

gạch xọc

301,64 cm
2
.
Bấm tiếp phím:
ữ
MR
SHIFT
%
(23.23) Vậy
gach xoc
trang
S
S

23,23%. Đáp số: 1298,36 cm
2
;
23,23%.
Bài12. Cho tam giác đều

ABC
có cạnh là
33,33
a cm
=
và tâm là O. Vẽ các cung tròn qua hai đỉnh và
trọng tâm O của tam giác đợc hình 3 lá. Gọi
', ', '

A B C
là các trung điểm các cạnh BC, CA và AB.
Ta lại vẽ các cung tròn qua hai trung điểm và
điểm O, ta cũng đợc hình 3 lá nhỏ hơn.
a, Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) của ABC để đợc hình 6 lá còn lại.
b, Tính tỉ số phần trăm giữa phần cắt bỏ và diện tích của tam giác ABC.
Giải:
' ' '
A B C

cũng là tam giác đều nhận O làm tâm (vì
', ', '
AA BB CC

cũng là các đờng cao, đờng trung tuyến của

' ' '
A B C
). 6 chiếc lá chỉ
có điểm chung duy nhất là O, nghĩa là không có phần diện tích chung.
Mỗi viên phân có góc ở tâm bằng 60
0
, bán kính bằng
2
3
đờng cao tam giác đều. Gọi S
1
là diện tích 1
viên phân. Khi ấy S
1

=
2 2
3
-
6 4
OA OA

=
2
12
OA
(2

-3
3
). Ta có:
2
3
OA
=
3
2
a
=
3
3
a
.
Gọi S là diện tích 3 lá lớn, S
'

là diện tích 3 lá nhỏ. Khi ấy: S =6S
1
=
2
2
OA
(2

-3
3
)=
2
6
a
(2

-3
3
).
Gọi cạnh tam giác đều
' ' '
A B C
là b, tơng tự ta cũng có: S
'
=
2
6
b
(2

-3
3
) =
2
24
a
(2

-3
3
).
Tổng diện tích 6 lá là: S + S
'
= (2

-3
3
)(
2 2
6 24
a a
+
).
Diện tích phần gạch xọc (phần cắt bỏ) là S
''
.
S
''
=
ABC

S

-(S + S
'
)=
2
3
4
a
- (2

-3
3
)(
2 2
2
7 3 5
) ( )
6 24 8 12
a a
a

+ =
.
Tính
ABC
S

: 33.33
SHIFT

2
x
ì
3
ữ
4
=
(481.0290040)
Min

Tính S
''
: 7
ì
3
ữ
8

5
ữ
12
ì

=
ì
33.33
SHIFT
2
x
=

(229.4513446)
Vậy S
''


229,45 cm
2
.
ấn tiếp phím để tính
ABC
S''
S
:
ữ
MR
SHIFT
%
Kết quả: 47.70
Đáp số: S
''


229,45 cm
2
;
ABC
S''
S

47,70 %.

Bài13. Tính tỉ số diện tích phần tô đậm và không tô đậm
B

A'

O
A


B'
C
Ôn thi HSG giải toán trên máy tính Casio Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi - Chuyên đề Hình Học
biết rằng ABCD là hình chữ nhật, các tam giác là các tam giác đều.
Lời giải
Gọi DC = DQ = QC = a (a > 0) PQ =
a 3
2


S

ADQ
+ S
BCQ
= DP.PQ =
2
a a 3 a 3
.
2 2 4

= = S

QDC

\ S
(O,OP)
=

OP
2
=

2
2
a 3 a
3.2 12

=



; S
(O; OH)
=

2
2
PQ a
6 48

=



\ S

PEF
=
2
1 DC PQ 1 a a 3 a 3
. . . .
2 2 2 2 2 4 16
= =
*) Tổng diện tính phần màu trắng:
S
1
= S

QDC
- S
(O,OP)
+ S

PEF
- S
(O; OH)
= (
2
a 3
4

-
2
a
12

) + (
2
a 3
16
-
2
a
48
) =
2
5 3a
16
-
2
5a
48


*) Tổng diện tích phần tô đậm:
S
2
=
2
a 3
4

+ (
2
a
12

-
2
a 3
16
) +
2
a
48
=
2
3 3a
16
+
2
5a
48



2
1
S
S
= (
2

3 3a
16
+
2
5a
48

):(
2
5 3a
16
-
2
5a
48

) = (
3 3
16
+
5
48

):(
5 3
16
-
5
48

)
3,046532985
Lu ý
: Nếu tính tỷ số ngợc lại thì: S
1
: S
2


0,328241973
Bài tập áp dụng.

Bài1. Cho 3 hỡnh trũn cú cựng bỏn kớnh R=3
2
,tip xỳc ngoi nhau ti A;B;C.Tớnh din tớch tam
giỏc cong ABC.
Bài2. Cho hỡnh vuụng cnh a=
562
26
+

, ng

i ta d

ng 4
ủ
ng trũn cú
ủ
ng kớnh l b

n c

nh
c

a hỡnh vuụng.Tớnh di

n tớch hỡnh hoa th

4 cỏnh.

Bài3
. Qua 1
ủ
i

m tựy ý n

m bờn trong tam giỏc ABC,ta d

ng 3
ủ
ng th

ng l

n l

t song song v

i
3 c

nh c

a tam giỏc.Cỏc
ủ
ng th

ng
ủ
ú chia tam giỏc thnh sỏu ph

n trong
ủ
ú cú ba ph

n l ba tam
giỏc cú di

n tớch l

n l

t l: .3;1;
222
++

Tớnh di

n tớch tam giỏc ABC.

Bài 4
. Tính diện tích phần nằm trong tam giác nhng nằm ngoài các hình tròn
bằng nhau có bán kính 3cm
K
H
O
P
E
F
A B
Q
D
C